Vetores V. Produto Misto Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w,...

Vetores V

Produto Misto

Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w] , é o número real

[u, v, w]= (u x v) . w

Exemplo 1

Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2) , temos:

[u, v, w] = ?

[v, u, w] =?

Exemplo 1

Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2), temos:

[u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)] . (0,3,-2) = (-2,-5,1) . (0,3,-2) = -17

[v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)] . (0,3,-2) = (2,5,-1) . (0,3,-2) =17

Interpretação geométrica

Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. Sabemos que o volume V desse paralelepípedo é:

V = área da base x

altura

Considerando a altura h desse paralelepípedo, em relação à base ABCD e aplicando cálculo vetorial obtem-se

V =| AB x AD | h


Interpretação Geométrica

Considere agora o tetraedro de arestas AB, AD e AE. Seja VT o volume desse tetraedro

Logo VT = 1/3 áreaBase

X altura

Considerando a base ABD desse tetraedro, nota-se que a altura relativa a essa base coincide

com a altura do pa-

ralelepípedo anterior

Logo, VT = 1/3 (1/2 | AB x AD|) |AE ||cosθ|

=1/6 |(AB x AD ).AE |

= 1/6| [AB,AD,AE] |

Exemplo 2

Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

Exemplo 2

Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB) . OC| =| (-2,-1,1) . (2,1,0) | = 5 u.v.

Exemplo 2

Calcule a altura deste paralelepípedo

Exemplo 2

Calcule a altura deste paralelepípedo

..6

65|)

6

6,

6

6,

3

6()0,1,2(| cu

Observação

Considere uma base {v1, v2 , v3} do espaço. Pela definição do produto vetorial a base {v1, v2 , v1 x v2} é positiva. Assim, se v3 estiver no mesmo semi-espaço que v1 x v2, em relação a um plano que contiver representantes de v1 e v2, a base {v1, v2 , v3} será também positiva, já que o observador não muda de posição. Caso contrário esta base será negativa

Observação

Pode-se verificar se v3 está no mesmo semi-espaço que v1 x v2 em relação a um plano que contiver representantes de v1 e v2, através do ângulo entre estes vetores. Caso este ângulo seja agudo, então v3 está no mesmo semi-espaço que v1 x v2, caso contrário, não

Observação

Por outro lado, para determinar se o ângulo entre dois vetores é agudo ou obtuso, basta calcular o produto escalar entre eles

(v1 x v2 ) . v3 > 0, temos que o ângulo entre os vetores é agudo, logo a base {v1, v2, v3} é positiva, caso contrário, negativa

Observação

Podemos então concluir que uma base {v1, v2, v3} é positiva se o produto misto [v1, v2, v3 ] > 0 e será negativa se [v1, v2, v3 ] < 0

Propriedade 1

[u, v, w] = 0 u, v e w são coplanares

Se [u, v, w] = 0, então o volume do paralelepípedo cujas arestas são representantes de u, v e w é zero

Assim, esse paralelepípedo é degenerado, e portanto, u, v e w são coplanares

Propriedade 2

[u, v, w]= [v, w, u]= [w, u, v] Temos que | [u, v, w] | = | [v, w, u] | =

| [w, u, v, ] |, como volume de um mesmo paralelepípedo. Se u, v e w são L D, então

| [u, v, w] | =| [v, w, u] | =| [w, u, v ] |= 0

Propriedade 2

Se u, v e w são LI, então as bases {u, v, w}, {v, w, u} e {w, u, v} pertencem a mesma classe. Logo

[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v ]

Propriedade 3

[u, v, w]=- [v, u, w]

[u, v, w] = (u x v) . w= -(v x u) . w= -[(v x u). w] = - [v, u, w]

Propriedade 4

(u x v). w= u.(v x w)

(u x v). w= (v x w). u = u.(v x w)

Propriedade 5

[u1 + u2, v,w] = [u1,v,w] + [u2,v,w] Deve-se demonstrar a distributividade do

produto vetorial em relação à adição de vetores

u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

Propriedade 5

u x (v + w) - (u x v) - (u x w) = 0 Considere a= u x (v + w) - (u x v) - (u x w) a . a = a .(u x (v + w) - (u x v) - (u x w))= a .(u x (v + w)) - a . (u x v) - a . (u x w)= (a x u) . (v + w) – (a x u) . v – (a x u) . w = (a x u) . (v + w) - (a x u) . (v + w) = 0 Logo a = 0

[u1 + u2, v,w] = ((u1 + u2) x v).w = ((u1 x v) + (u2 x v) ).w = ((u1 x v) .w) + ((u2 x v) .w) = [u1,v,w] + [u2 ,v,w]

Propriedade 5

Propriedade 6

6) t [u, v,w]= [t u, v,w]= [u, t v,w] =[u, v, t w]

[tu, v,w] = (tu x v). w =(u x tv).w= [u, tv,w]

Expressão Cartesiana

Dada uma base ortornomal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2 , y2 , z2 ) e w = (x3 , y3, z3 )

[u, v, w] = (u x v) . w = (y1z2- z1y2 , z1x2- x1z2 , x1y2- y2x1 ) . (x3 , y3 , z3 ) =

(y1z2-z1y2)x3+(z1x2- x1z2)y3+(x1y2- y2x1)z3

Expressão cartesiana

Exemplo 3

Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC = (1,3,2)

Calcule o valor de x, para que o volume desse tetraedro seja igual a 2 u.v.

Exemplo 3

Sabemos que o volume VT do tetraedro é dado por: 1/6| [AB,AD,AE] |

Como VT = 2 u.v., temos:1/6 | 2x - 10 | =2 Logo, x = 11 ou x = -1

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