Vibrações e ondas2015/2016

Célia Henriques

Bibliografia

Movimento harmónico simples (MHS)

Cacterísticas gerais:

• Periodicidade• Posição de equilíbrio• Força restauradora• Ponto de viragem• Trocas entre energia potencial e cinética

Boa aproximação/modelo para muitos sistemas reais….as simplificações tornam os problemas tratáveis …

… podem depois introduzir-se correcções/melhoramentos …

Descrição matemática geral sem complicações de maior

VO 2015/2016

VO 2015/2016

Sistema mola-massaAproximações:• mola sem massa• atrito desprezável• pequenas distensões

Gráfico da posição em função do tempoquando se começou a contar o tempo?

• Amplitude …• Período … frequência (Hz=s-1)…

• Fase …

⌫ =1

T

�

Posição de equilíbriomola não distendida

distensão da mola

VO 2015/2016

Sistema mola-massaAproximações:• mola sem massa• atrito desprezável• pequenas distensões

d2x

dt2= �!

2x

força por unidade de deslocamento e de massa

Força restauradora

VO 2015/2016

d2x

dt2= �!

2x

Equação diferencial linear de 2ª ordemde qualquer oscilador harmónico simples

solução geral … d2 + !2 = 0 ) d = i! _ d = �i!

x(t) = A (cos!t cos�� sen!t sen�)

A =pa

2 + b

2, cos� =

a

A

, sen� =�b

A

x(t) = a cos!t+ b sen!t

x(t) = (a+ b) cos!t+ i(a� b) sen!t

x(t) = a e

i!t + b e

�i!t

x(t) = Acos (!t + �)

VO 2015/2016

x(t) = Acos (!t + �)

x=-A x=A

x(0) = x(T ) = A

cos(0) = cos(! T )

! T = 2⇡ , ! =2⇡

T

x(t) = Acos(!t)

x(t) = Acos(!t)

Posição num MHS

frequência angular (rad.s-1)

VO 2015/2016

Fase na origemcaracterísticas do movimento no início da contagem dos tempos

Quando t = 0 em x = A:x(t) = Acos(!t)

a contagem do tempo começa atrasada de :�t

�t =�

!

x(t) = A cos [!t + !�t] = A cos [!t + �]

x(t) = A cos [!t + !�t]

x(t) = A cos [!(t + �t)]

VO 2015/2016

Posição, velocidade e aceleração num MHS

t

t

t

pontos de viragem

desfazamentos de T/4 (em tempo) ou /2 em ângulo⇡

x(t) = Acos(!t + �)

v(t) =dx

dt= �A! sen(!t + �)

a(t) =dv

dt= �A!

2cos(!t + �)

VO 2015/2016

… o que se expressa por um cos também se expressa por um sen …

x(t) = Acos(!t + �) x(t) = Asen(!t + �

0)

�0 = � +⇡

2

VO 2015/2016

~v

~v

x(t) = Acos(!t + �) v(t) = �A! sen(!t + �)

sen� < 0cos� < 0

sen� > 0cos� < 0

� ângulo de 3º quadrante

� ângulo de 2º quadrante

VO 2015/2016

! =

rk

m

x(t) = Acos(!t + �)

determinadas pelas condições iniciais

determinado pelas propriedades do osciladorfrequência natural de oscilaçãod2x

dt2= �!

2x

! =

rmg rCM

I

! =

r1

LC

CM

~rCM

✓

Id2✓

dt2⇡ � rCM mg ✓

Ld2q

dt2= � 1

Cq

q(t)

VO 2015/2016

Energia* de um oscilador harmónico simples

*ferramenta poderosa

Energia potencialEnergia cinética

K =1

2mv2 U =

Zx

0k x

0 dx0 =1

2k x

2

Lei de Newton m

dv

dt= �k x ) mv dv = �k x dx ,

, d

✓1

2mv

2

◆= � d

✓1

2k x

2

◆)

dW = k x

0 dx0x

0 �! x

0 + dx0

Conservação de energia

1

2mv

2 +1

2k x

2 = E

VO 2015/2016

!2 A2 sen2(!t + �)

A2cos

2(!t + �)

E =1

2mv

2 +1

2k x

2

E = K + U =1

2k A2

U(t) =k

2

A2cos

2(!t + �)

U(x) Poço de potencial parabólico

~F ~F

~F = �gradU

equilíbrio

K(t) =k

2A2 sen2(!t + �)

) E =1

2k A2

VO 2015/2016

Em quase todas as situações físicas … suficientemente próximo do equilíbrio a forma dos poços de potencial é parabólica

Pêndulo

Molécula de H2

VO 2015/2016

Matematicamente …

Expansão em série de Taylor em torno da posição de equilíbrio

origem da energia potencial (arbitrária)

Para pequenos x :

constante elástica da mola no sistema mola-massa

Energia de qq OHSE =

1

2↵ v

2 +1

2� x

2

VO 2015/2016

“Assinaturas” de um OHS (equações “padrão”)

E =1

2↵ v

2 +1

2� x

2d2x

dt2= �!

2x

d

dt�! d

dx

dx

dt

d

dt�! d

dv

dv

dt

↵ v

dv

dt+ � x

dx

dt= 0 , d2x

dt2= ��

↵

x ! =

r�

↵

“Força restauradora por unidade deslocamento”armazenamento de energia potencial

“Inércia do sistema”armazenamento de energia cinética

O sistema pode ser descrito em termos energéticos ou pelas eq. do movimento. Parte-se do que for mais simples

conservação de energia dE

dt= 0 , d

dt

✓1

2↵ v

2

◆+

d

dt

✓1

2� x

2

◆= 0

VO 2015/2016

Sistema descrito pelas equação padrão => OHS (mesmo que estejam envolvidas quantidades físicas que não a força, a massa de inércia e o deslocamento linear)podem ser usados os resultados gerais para um OHS

ATENÇÃO: ✓ 6= !

E =1

2I ✓2 + mg y

Pêndulo

x = l sen✓ ⇡ l ✓

y

2 + x

2 = 2 l y ) y ⇡ x

2

2l✓ �! 0y2 �! 0

“Inércia do sistema”momento de inércia

“Torque restaurador por unidade de deslocamento angular”

↵ �

✓(t) = ✓0 cos(!t + �)! =

r�

↵=

rg

l,

E =1

2ml2 ✓2 +

1

2mg l ✓2

VO 2015/2016

Circuito RL {condensador, bobine} (oscilações elétricas)

d2q

dt2= � 1

LCq

Ld2q

dt2= � 1

Cq

↵

�

! =

r1

LC q(t) = q0 cos(!t + �)

E =1

2↵ q2 +

1

2� q2 E =

1

2L q2 +

1

2

1

Cq2

E =1

2LI2 +

1

2C V 2

VO 2015/2016

Sistemas que podem ser descritos com base em MHS:

diapasão

cordas de uma guitarra

vibrações moleculares

cristais piezoeléctricos (microfones, relógios de quartzo,etc)

A energia de um OH quântico só pode tomar determinados valores, i.e., está quantizada

E =(n+ 1)

2~!

VO 2015/2016

Oscilador harmónico amortecido

Forçasdissipavas

A oscilação éamortecida

A amplitude da oscilaçãoé reduzida

Perdas de energia

A frequência não se altera significativamenteo “grau” de amortecimento é pequeno

mede o grau de amortecimento

Muitas vezes num oscilador mecânico as forças dissipavas são ≈

pequenasv

fluido viscoso

• forma do corpo• viscosidade do fluido

VO 2015/2016

Na aproximação

,

frequência natural de oscilação!02 =

k

m� =

b

m

• ligeiro• forte• crítico

involve oscilação

o sistema não oscila voltando “lentamente” à situação de equilíbrio

o sistema volta rapidamente à situação de equilíbrio (não oscila)

fluidoviscoso

As soluções dependem do grau de amortecimento

… relação entre e !02�2

4termo de amortecimento

VO 2015/2016

fluido poucoviscosoAmortecimento ligeiro

8<

:

� = �2

!2 = !02 � �2

4

oscilantereal!

�2

4< !0

2 se �2

4<< !0

2, ! ⇡ !0 (diapasão)

8<

:

2�! � �! = 0

�2 � !2 � �� + !02 = 0

VO 2015/2016

Amortecimento ligeiro �2

4< !0

2

!2 = !02 � �2

4

� =b

m

envolvente

decréscimo logarítmico

VO 2015/2016

Amortecimento ligeiro�2

4< !0

2

decréscimo logarítmico

Oscilador harmónico amortecido

VO 2015/2016

Perda de energia num oscilador harmónico amortecido

Amortecimento muito ligeiro

se �2

4<< !0

2, ! ⇡ !0 (diapasão)

Tempo de decaimento/ constante de tempo…

…

VO 2015/2016

0, 37⇥ E0

Taxa de dissipação de energia Taxa a que o oscilador realiza trabalho contrariando a força dissipativa

VO 2015/2016

Factor de qualidade • adimensional• tanto maior quanto menor o grau de amortecimento

Q =!0

�T⌧

… comparação entre e T … ⌧ 2⇡⌧

T

VO 2015/2016

Variação  na  frequência  do  oscilador  relativamente  à  situação  de  ausência  de  amortecimento  é  aproximadamente  

E(t+ T ) = E0 exp [�� (t+ T )) = E(t) exp(�� T )

Fração de energia perdida por ciclo de um oscilador com amortecimento muito ligeiro, E(t) = E0 exp(�� t)

E(t+ T )� E(t)

E(t)= exp(�� T ) � 1 ⇡ �

2⇡

!0=

2⇡

Q

e

x ⇡ 1 + x

! � !0

!0=

1

8Q2

!2 = !02 � �2

4

(1� x)1/2 ⇡ 1� x

2 Q =!0

�

VO 2015/2016

Amortecimento fortefluido com grande

viscosidade

amortecimentoligeiro

�2

4> !0

2

… comportamento não oscilante

↵2 > 0↵2 < 0↵2 =

�2

4� !0

2

Sistema de suspensão de um carro

VO 2015/2016

Amortecimento crítico

↵2 = 0

VO 2015/2016

�2

4> !0

2

�2

4< !0

2Amortecimento ligeiro

Amortecimento crítico Amortecimento forte

VO 2015/2016

Oscilações eléctricas amortecidas

Amortecimento ligeiro:

=> Q = 200Valores típicos: L = 10 mH, C = 2,5 nF e R = 10 ⌦

1

VO 2015/2016Oscilações forçadas

• Uma força externa periódica (força motriz)é imposta ao sistema

• Após o transiente inicial o sistema oscila com a frequência da força

• A frequência da força motriz tem uma enorme influência na amplitude de oscilação … frequência de ressonância …

• … na presença de forças dissipavas a resposta do sistema depende do factor de qualidade Q

VO 2015/2016

O ponto de suspensão é posto em movimento harmónico

colocando o pêndulo em oscilação

Frequências muito baixas movimentos com a mesma amplitude e em fase

Com o aumento da frequência• a amplitude da oscilação do pêndulo aumenta dramaticamente …

muito maior do que a do ponto de suspensão• quando o valor é próximo do da frequência natural… ressonância …• para valores ainda maiores a amplitude decresce (inércia) … o

pêndulo move-se na direcção oposta ao do ponto de suspensão

equilíbrio

equilíbrio

Oscilações forçadas sem amortecimento

Força motriz

! = 0Se x =F0

k

VO 2015/2016

A extremidade superior da mola oscila harmonicamente na vertical

comprimento de equilíbrio

VO 2015/2016

Ângulo de fase!Amplitude

F0

entre a força motriz e o deslocamento resultante

Variação de : comportamento semelhante ao do pêndulo simples forçado!

!

� �! ⇡� �! 0 muito baixas frequências

muito altas frequências

VO 2015/2016

� = 0 _ � = ⇡

Não se verificahá sempre amortecimento

para para

Amplitude

VO 2015/2016

para

para

Amplitude

Amplitude algébrica

VO 2015/2016

Oscilações forçadas com amortecimento

depende da frequência

… desfazamento deslocamento-força

Força e velocidade em fase!

VO 2015/2016

Máximo de A( ) !

VO 2015/2016Valor finito para o máximo da amplitude

Q = !0�

VO 2015/2016

A

� = 0

!

�1

�2

!0

F0k

VO 2015/2016

Durante um violento tremor de terra a superfície terrestre oscila com um período de cerca de 20 minutos e com uma amplitude tal que o máximo da aceleração é de cerca de 10-9 ms-2. Qual o menor valor de A (amplitude de y(t)) que tem de ser mensurável para se conseguir detectar este fenómeno? (Considerar )

k

⌘

(French 4.6 adaptado) Um sismógrafo simples é constituído por uma massa M presa por uma mola a uma estrutura rígida ligada à terra (ver figura).

Considere que y é o deslocamento de M em relação à Terra e que é o deslocamento da superfície terrestre (relativamente a um referencial fixo). O sismógrafo tem um período de cerca de 30 s e Q≈2.

…

d2ydt2 + � dy

dt + !02 y = �d2⌘

dt2

VO 2015/2016

Estado estacionário / regime transitório do oscilador forçado• O sistema perturbado pela força motriz “tenta” oscilar com a sua frequência natural• O sistema tende a oscilar com a frequência imposta mais ou menos rapidamente

dependendo do grau de amortecimento

VO 2015/2016

Potência absorvida pelo oscilador forçado

• Em regime estagionário a força motriz repõe a energia perdida devido ao amortecimento

• A potência absorvida pelo oscillator é exactamente igual à taxa a que a energia é dissipada

e da potência. Máximo da velocidade …

VO 2015/2016

VO 2015/2016

Q = frequencia de ressonancia

largura a meia altura da curva de potencia

VO 2015/2016O circuito RLC com alimentação alterna

… selecção e amplificação de um sinal de rádio

VO 2015/2016

RMN - ressonância magnética nuclear

• Os núcleos são como que magnetes atómicos• Na presença de um campo magnético só orientações

discretas (estados) são possíveis

VO 2015/2016

• Radiação com a frequência correcta pode causar transição entre estes estados • A transição pode causar tensões induzidas detectáveis numa bobine• Na prática são usadas frequências constantes e varia-se o campo magnético

Contraste entre diferentes tecidos

Ritmos diferentes de regresso ao estado de equilíbrio

Radiofrequência

VO 2015/2016

informação de fase informação

de amplitude

Notação “complexa”

As quantidades físicas (desloca/, velocidade, aceleração, …) são representadas pela parte real de um número complexo z

OHS

…