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VIBRAÇÕES EM TABULEIRO DE PONTE SOB AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO Arthur Peixoto Curi Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientadora: Profª. Michèle Schubert Pfeil Rio de Janeiro Março de 2015
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VIBRAÇÕES EM TABULEIRO DE PONTE
SOB AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO
Arthur Peixoto Curi
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientadora: Profª. Michèle Schubert Pfeil
Rio de Janeiro
Março de 2015
ii
VIBRAÇÕES EM TABULEIRO DE PONTE
SOB AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO
Arthur Peixoto Curi
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinada por:
_________________________________________
Profª. Michèle Schubert Pfeil, D.Sc.
_________________________________________
Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.
_________________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2015
iii
Curi, Arthur Peixoto
Vibrações em tabuleiro de ponte sob ação dinâmica de
vento turbulento / Arthur Peixoto Curi. – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.
XII, 62 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadora: Michèle Schubert Pfeil
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Civil, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 61-62.
1. Dinâmica estrutural 2. Ação de vento 3. Pontes
Estaiadas
I. Pfeil, Michèle Schubert. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Civil. III. Título.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família.
À professora Michèle Pfeil, por sua orientação atenciosa em muitas etapas da minha
graduação, desde a Iniciação Científica até a conclusão deste projeto, pela sua paciência
e gentileza, pelos inúmeros ensinamentos, idéias e enorme incentivo.
Aos meus colegas do curso de Engenharia Civil, pela amizade e ajuda nesses anos de
muito estudo e trabalho. Agradecimentos especiais à amiga Bruna e ao coloc André, que
foram as melhores companhias que eu poderia ter nesses últimos semestres.
A todos os demais amigos que, de perto ou de longe, me apoiam em toda dificuldade.
Ao professor Ronaldo Battista, pela confiança em dividir seus projetos, pela motivação
no estudo da dinâmica estrutural e pelos ensinamentos diários.
À Universidade Federal do Rio de Janeiro e aos professores que contribuíram na minha
formação de engenheiro.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
VIBRAÇÕES EM TABULEIRO DE PONTE
SOB AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO
Arthur Peixoto Curi
Março/2015
Orientador: Michèle Schubert Pfeil
Curso: Engenharia Civil
Pontes com grandes vãos, pontes estaiadas e pontes suspensas podem sofrer uma
série de efeitos dinâmicos decorrentes da ação de vento, particularmente na
superestrutura. Este trabalho é dedicado ao estudo das vibrações induzidas pela
turbulência do vento, caracterizadas principalmente por oscilações no modo vertical de
vibração do tabuleiro. Embora as amplitudes das vibrações devidas à turbulência não
costumem levar a ponte a um estado crítico de estabilidade, elas podem ocasionar sérios
danos à estrutura, desconforto humano e fadiga precoce dos elementos. Tendo como
objetivo a análise aerodinâmica de uma estrutura existente, o trabalho introduz
conceitos básicos de dinâmica estrutural, apresenta a formulação das forças de vento
turbulento e métodos de estimativa das amplitudes da resposta dinâmica, em
comparação com as prescrições da NBR 6123 e do Eurocódigo EN-1991-1-4.
Palavras-chave: Dinâmica estrutural, Ação de Vento, Pontes Estaiadas.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
VIBRATIONS ON BRIDGE DECK
UNDER TURBULENT WIND ACTION
Arthur Peixoto Curi
March/2015
Advisor: Michèle Schubert Pfeil
Course: Civil Engineering
Long-span bridges, cable-stayed bridges and suspended bridges may be affected
by a range of dynamic effects produced by wind action, particularly on its deck. This
project is dedicated to the study of turbulence-induced vibrations, mainly described by
vertical mode oscillations of the superstructure. Though buffeting amplitudes do not
usually put a bridge in risk of instability, they may cause serious structural damages,
human discomfort and premature fatigue of its elements. Focused on the aerodynamic
analysis of an existing bridge, this work introduces the basic principles of structural
dynamics, the formulation of turbulent wind forces and calculation methods to the
dynamic response amplitudes, compared to the Brazilian and the European standards
recommendations.
Keywords: Structural dynamics, Wind action, Cable-stayed bridges.
vii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1
1.1. Apresentação do tema............................................................................................................ 1
1.2. Objetivo e Metodologia ......................................................................................................... 3
1.3. Organização do trabalho ........................................................................................................ 3
CAPÍTULO 2 - PRINCÍPIOS DA ANÁLISE DE VIBRAÇÕES .............................. 4
2.1. Sistema de 1 G.L ................................................................................................................... 5
2.1.1. Formulação da equação de movimento ......................................................................... 5
2.1.2. Resposta em vibrações livres ........................................................................................ 6
2.1.3. Determinação do amortecimento................................................................................... 9
2.1.4. Cargas dinâmicas e ressonância .................................................................................... 9
2.2. Sistemas de múltiplos G.L ................................................................................................... 12
2.2.1. Propriedade de ortogonalidade e equações desacopladas ........................................... 14
CAPÍTULO 3 - CARACTERIZAÇÃO DOS VENTOS FORTES PARA A
ENGENHARIA ESTRUTURAL ................................................................................ 16
3.1. Ciclones extratropicais (EPS) .............................................................................................. 17
3.2. Perfil vertical da velocidade média ..................................................................................... 18
3.3. Turbulência do vento ........................................................................................................... 19
3.3.1. Descrição matemática .................................................................................................. 20
3.3.2. Parâmetros estatísticos de um processo aleatório ........................................................ 21
3.3.3. Propriedades da turbulência ......................................................................................... 21
CAPÍTULO 4 - AÇÃO DE VENTO SOBRE TABULEIROS DE PONTE ............ 27
4.1. Forças aerodinâmicas devidas à turbulência ....................................................................... 28
4.2. Solução modal no domínio do tempo .................................................................................. 31
4.3. Solução modal no domínio da frequência ........................................................................... 33
4.4. Recomendações normativas ................................................................................................ 35
4.4.1. Segundo a NBR 6123 .................................................................................................. 35
4.4.2. Segundo o Eurocódigo EN 1991-1-4 .......................................................................... 37
viii
CAPÍTULO 5 - ESTUDO DE CASO – PONTE ESTAIADA DO SABER ............. 40
5.1. Descrição da estrutura ......................................................................................................... 40
5.2. Descrição do modelo em elementos finitos ......................................................................... 42
5.3. Análise estática (de acordo com o item 4 da NBR 6123:1988) ........................................... 43
5.4. Análise de vibrações livres .................................................................................................. 45
5.5. Metodologia de análise dinâmica ........................................................................................ 48
5.5.1. Solução no domínio do tempo ..................................................................................... 48
5.5.2. Solução no domínio da frequência .............................................................................. 50
5.6. Deslocamentos no tabuleiro sob ação de vento turbulento .................................................. 51
5.6.1. Resultados para a componente de velocidade média ............................................... 51
5.6.2. Resultados para as componentes flutuantes - Solução no tempo ................................ 52
5.6.3. Resultados para as componentes flutuantes - Solução em frequência ........................ 55
5.6.4. Respostas totais ........................................................................................................... 57
5.6.5. Resposta segundo os procedimentos do Eurocódigo................................................... 58
CAPÍTULO 6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................... 59
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 61
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Resposta estrutural típica sob ação de vento turbulento. 2
Figura 2.1 – Sistema massa-mola-amortecedor com 1 G.L. 5
Figura 2.2 – Equilíbrio de forças do sistema de 1 G.L sob ação de . 6
Figura 2.3 – Resposta no tempo de um sistema de 1 G.L para diferentes fatores de
amortecimento . 7
Figura 2.4 – Vetor de resposta em vibrações livres com amortecimento subcrítico. 8
Figura 2.5 – Decaimento da amplitude de resposta do sistema amortecido. 9
Figura 2.6 – Ações dinâmicas típicas sobre estruturas. 10
Figura 2.7 – Variação do fator de amplificação dinâmica e . 12
Figura 2.8 – Variação do ângulo de fase dinâmica com e . 12
Figura 3.1 – Ordem de grandeza das dimensões espaciais e temporais de diferentes
movimentos de ar na atmosfera.
17
Figura 3.2 – Sinal registrado de velocidade de vento turbulento, separado em parcela
média e flutuante.
19
Figura 3.3 – Espectros teóricos de potência e , na outras duas direções de flutuação. 24
Figura 3.4 – Espectros teóricos de potência , e , por von Kármán. 25
Figura 3.5 – Espectros teóricos de potência , e , por Kaimal. 25
Figura 3.6 – Espectros teóricos de potência , e , pelo ESDU. 26
Figura 4.1 – Oscilações que levaram ao colapso da ponte de Tacoma Narrows (EUA,
1940) registradas em filme.
28
Figura 4. 2 – Sistema de coordenadas para a formulação das forças de vento sobre o
tabuleiro.
29
Figura 4. 3 – Sistema de três graus de liberdade da seção transversal do tabuleiro. 30
Figura 4. 4 – Coeficientes aerodinâmicos , e em função do ângulo de ataque
para as Pontes da Europa (Áustria), de Oberkassel (Alemanha) e de
Vancouver (Canadá).
30
Figura 4.5 – Relação entre as soluções nos domínios do tempo e da frequência: processo
probabilístico de Davenport.
35
Figura 5.1 – Ponte estaiada do Saber sobre o canal do Cunha, vista da Linha Vermelha. 40
Figura 5.2 – Numeração dos 21 estais (15 no tabuleiro estaiado e 06 retro-estais). 41
x
Figura 5.3 – Desenho de fôrmas dos blocos de fundação da torre e dos blocos de
retaguarda (onde são ancorados os 06 retro-estais).
41
Figura 5.4 – Desenho de fôrmas da seção transversal típica do tabuleiro em viga celular. 42
Figura 5. 5 – Perspectiva do modelo em elementos finitos da ponte, realizada no
SAP2000
42
Figura 5.6 – Vista aérea da localização da ponte. 44
Figura 5.7 – Cinco primeiros modos de vibração da estrutura em serviço. 46
Figura 5.8 – Cinco primeiros modos de vibração da estrutura em fase construtiva
avançada.
47
Figura 5.9 – Históricos de velocidade flutuante de vento para o centro do vão. 49
Figura 5.10 – Histórico de deslocamentos laterais (em cm) do tabuleiro da ponte em
serviço sob ação do vento turbulento.
53
Figura 5.11 – Histórico de deslocamentos laterais (em cm) do tabuleiro da ponte em
serviço sob ação do vento turbulento.
53
Figura 5.12– Histórico de deslocamentos laterais (em cm) do tabuleiro da ponte em fase
construtiva avançada sob ação do vento turbulento.
54
Figura 5.13 – Histórico de deslocamentos verticais (em cm) do tabuleiro da ponte em fase
construtiva avançada sob ação do vento turbulento.
54
Figura 5.14 – Deslocamentos (em cm) verticais e laterais da extremidade em balanço do
tabuleiro da ponte em fase construtiva avançada.
54
Figura 5.15 – Densidade espectral da ação dinâmica em escala logarítmica. 56
Figura 5.16 – Densidade espectral da ação dinâmica em escala logarítmica. 56
Figura 5.17 – Densidade espectral da amplitude de resposta em escala logarítmica. 56
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Parâmetros de rugosidade para as categorias de terreno da NBR6123
(Blessmann, 1995).
18
Tabela 3.2 – Espectros teóricos de potência , na direção longitudinal do vento. 23
Tabela 3.3 – Espectros teóricos de potência e , na outras duas direções de
flutuação.
24
Tabela 4.1 – Pontes destruídas por ação de vento (Svensson, 2012). 27
Tabela 4.2 – Constante para diferentes formas modais. 39
Tabela 5.1 – Massas da estrutura da ponte estaiada introduzidas na modelagem 3D. 43
Tabela 5.2 – Frequências e modos de vibração da superestrutura da ponte estaiada
acabada, sob ação das cargas permanentes e forças de protensão dos estais.
45
Tabela 5.3 – Frequências e modos de vibração da superestrutura em fase construtiva
avançada da ponte estaiada, sob ação das cargas permanentes e forças de
protensão dos estais.
47
Tabela 5.4 – Coeficientes aerodinâmicos , e em função do ângulo de ataque
considerados nos cálculos das forças de vento.
50
Tabela 5.5 – Deslocamentos máximos dos históricos sob componentes flutuantes, em
serviço.
52
Tabela 5.6 – Deslocamentos máximos dos históricos sob componentes flutuantes, em
fase construtiva.
53
Tabela 5.7 – Deslocamentos de pico sob componentes flutuantes (solução no tempo). 55
Tabela 5.8 – Deslocamentos máximos sob componentes flutuantes (solução em
frequência).
57
Tabela 5.9 – Deslocamentos máximos totais da análise dinâmica. 57
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1. Apresentação do tema
Os projetos de estruturas no curso de Graduação em Engenharia Civil costumam
ser muito concentrados nos critérios normativos de dimensionamento, os quais são
quase sempre baseados na ação de cargas estáticas, seja para a verificação da resistência
dos elementos estruturais em ELU ou para verificação de deslocamentos em ELS.
Embora a análise estática seja adequada para um grande número de tipologias
estruturais, qualquer estrutura configura um sistema físico dinâmico, constituído de
massa, rigidez e amortecimento, com frequências e modos naturais de vibração.
O vento é uma importante ação dinâmica atuante sobre as estruturas. Sua
velocidade é caracterizada por flutuações ao longo do tempo e suas maiores amplitudes
estão associadas a baixas frequências. Sobre este aspecto, a NBR 6123 - Forças devidas
ao vento em edificações faz a seguinte consideração:
"Em edificações com período fundamental T1 igual ou inferior a 1 s, a influência
da resposta flutuante é pequena (...) Entretanto, edificações com período
fundamental superior a 1 s, em particular aquelas fracamente amortecidas,
podem apresentar importante resposta flutuante na direção do vento médio."
O trecho da norma faz distinção entre duas categorias de resposta estrutural à
ação das flutuações do vento, conforme ilustrado na Figura 1.1 [7]:
i) para estruturas com altas frequências e altas taxas de amortecimento, a resposta
diante da ação dinâmica de vento é quase estática (Figura 1.1.b), ou seja,
depende apenas dos valores instantâneos da ação (Figura 1.1.a);
ii) caso contrário, para estruturas com baixas frequências naturais e baixas taxas de
amortecimento, há ressonância da excitação com a frequência da estrutura, e a
resposta será dinâmica (Figura 1.1.c).
Em tabuleiros esbeltos de pontes de grandes vãos, incluindo pontes estaiadas e
suspensas, a ação de vento pode ocasionar diferentes tipos de respostas dinâmicas:
vibrações induzidas por turbulência, oscilações induzidas por desprendimento
2
cadenciado de vórtices e instabilidade aerodinâmica ("flutter"). Neste trabalho são
abordadas apenas de baixa frequência, i.e. oscilações induzidas pelas flutuações do
vento, as quais apresentam deslocamentos do tabuleiro sobretudo no modo de flexão
vertical.
A análise deste comportamento dinâmico tem tanto o objetivo de aumentar a
segurança no dimensionamento quanto de prevenir possíveis oscilações que levem ao
desconforto dos usuários ou à redução da vida útil à fadiga dos elementos estruturais.
Destaca-se que com o auxílio de ferramentas computacionais, o
dimensionamento sob ações estáticas conduz à concepção de estruturas mais esbeltas,
resultando numa redução das primeiras frequências naturais da estrutura e tornando o
tabuleiro ainda mais susceptível aos efeitos das cargas dinâmicas, tanto produzidas pelo
vento quanto pelo tráfego de veículos pesados.
Figura 1.1 − Resposta estrutural típica sob ação de vento turbulento (a):
quase estática (b), dinâmica (c), adaptado de [7].
3
1.2. Objetivo e Metodologia
O presente Projeto de Graduação tem como principal objetivo estudar o
comportamento dinâmico do tabuleiro de uma ponte submetida à ação do vento em
escoamento turbulento.
Os resultados serão apresentados em termos de deslocamentos máximos, obtidos
segundo duas análises:
Uma solução no domínio do tempo, com auxílio de um modelo em elementos
finitos no programa SAP 2000;
Uma solução no domínio da frequência, na qual o valor máximo do
deslocamento flutuante é estimado por integração da função de densidade
espectral da resposta (ver Figura 1.1).
1.3. Organização do trabalho
Este trabalho é composto de 6 capítulos, incluindo este introdutório. O capítulo
2 faz um breve resumo de princípios básicos da análise estrutural dinâmica que serão
utilizados nos capítulos seguintes. Nele é apresentada a equação de movimento e são
definidos conceitos como frequência e modos naturais de vibração, amortecimento e
ressonância.
O capítulo 3 é dedicado à descrição da natureza dos ventos considerados no
projeto de estruturas, desde a sua formação como fenômeno meteorológico até sua
modelagem matemática.
Em sequência, o capítulo 4 apresenta a formulação das forças devidas à ação de
vento turbulento e os métodos de cálculo (nos domínios do tempo e da frequência) para
estimativa dos deslocamentos máximos no tabuleiro.
No capítulo 5, é realizado um estudo de caso aplicado à Ponte do Saber
(localizada na Ilha do Fundão, RJ), apresentando os resultados das análises
aerodinâmicas e uma comparação entre os métodos utilizados. Finalmente, o capítulo 6
reúne uma síntese dos conhecimentos apreendidos e as conclusões do trabalho.
4
CAPÍTULO 2
PRINCÍPIOS DA ANÁLISE DE VIBRAÇÕES
Neste capítulo são apresentados algumas definições importantes ao estudo do
comportamento dinâmico das estruturas. Sua elaboração foi integralmente baseada nas
referências [2], [9], [11] e [16].
Vibração é um fenômeno dinâmico que pode se manifestar em qualquer sistema
físico e consiste no movimento com amplitudes de deformação variável em torno de
uma dada configuração estática de equilíbrio. Costuma-se classificar as vibrações em
livres − determinadas apenas pelas forças internas do sistema, referentes à massa, ao
amortecimento e à rigidez − ou forçadas, sob ação de carregamentos externos.
Estruturas civis são sistemas físicos frequentemente muito difíceis de analisar,
uma vez que são constituídas de grande número de elementos que atuam em conjunto,
mas também de modo independente entre si, com massa, amortecimento e rigidez
próprios. Além disso, suas características físicas nem sempre podem ser determinados
com métodos matemáticos, somente por meios experimentais (em especial, o
amortecimento). Mesmo depois de estimados características dos elementos constituintes
do sistema, é ainda necessário definir um modelo matemático o mais simplificado
possível, porém representativo da estrutura como um todo.
Os sistemas físicos reais são contínuos e suas propriedades distribuídas ao longo
de seus componentes. No entanto, em muitos casos é possível descrever a mesma
estrutura contínua segundo um sistema equivalente discreto, no qual as propriedades
são concentradas em nós, associados a um número finito de graus de liberdade
(enquanto sistemas contínuos possuem infinitos graus de liberdade). A distinção entre
estas duas abordagens é importante na otimização da análise, pois enquanto a
formulação matemática de modelos contínuos é baseada em equações diferenciais
parciais, modelos discretos podem ser descritos em equações diferenciais ordinárias, de
solução consideravelmente mais simples.
Um movimento vibratório pode ainda ser classificado em linear ou não linear.
Esta classificação se dá pelas equações diferenciais que o descrevem: se as variáveis
5
dependentes são elevadas apenas à primeira potência, não há produtos cruzados e o
problema pode ser considerado linear, no qual vale o princípio da superposição dos
efeitos. Caso contrário, havendo potências maiores que 1 (ou frações de potência), o
sistema é não linear.
Para chegar ao estudo do comportamento dinâmico de um sistema estrutural
completo, é útil partir de um simples sistema mecânico com um único grau de
liberdade, constituído de massa, mola e amortecedor.
2.1. Sistema de 1 G.L
2.1.1. Formulação da equação de movimento
A Figura 2.1 ilustra o referido sistema massa-mola-amortecedor. A massa do
sistema está toda contida no bloco, considerado rígido, e seu deslocamento sobre
rodinhas é restrito a uma única componente . Desse modo, o movimento do sistema
pode ser descrito por uma única coordenada independente, à qual se dá o nome de grau
de liberdade. Consideram-se ainda uma mola sem massa, de rigidez , que oferece
resistência elástica ao deslocamento e um amortecedor de parâmetro (esta propriedade
será melhor explicada mais adiante).
Figura 2.1 − Sistema massa-mola-amortecedor com 1 G.L.
O sistema é então submetido à ação de uma força dinâmica (i.e. variável no
tempo) chamada aqui de . Assim, a equação de movimento pode ser formulada por
simples escrita das forças que equilibram o sistema na direção do deslocamento . A
força correspondente à mola é diretamente proporcional ao seu alongamento, igual ao
produto da rigidez com o deslocamento :
(2.1.a)
Associada à massa existe uma força inercial que, pelo princípio d'Alembert ou
pela 2ª lei de Newton, é produto de pela aceleração.
6
(2.1.b)
Por fim, considera-se a força proporcional ao amortecimento, produto da
constante pela velocidade do deslocamento:
(2.1.c)
O equilíbrio (ver Figura 2.2) do sistema de 1 G.L tem a forma da equação de
movimento:
(2.2)
Figura 2.2 − Equilíbrio de forças do sistema de 1 G.L sob ação de .
2.1.2. Resposta em vibrações livres
Na ausência da força externa , o equilíbrio é dado apenas pelas forças
internas e o sistema está, portanto, sob vibrações livres:
(2.3)
cuja solução tem forma:
(2.4)
sendo uma amplitude arbitrária do deslocamento e o valor de dependente do
parâmetro de amortecimento .
(2.5)
Como , tem-se que .
Introduzindo os conceitos de frequência circular natural (ou velocidade angular)
, fator de amortecimento viscoso e coeficiente de amortecimento crítico , a
expressão (2.5) fica:
(2.6)
7
onde (2.7)
(2.8)
(2.9)
Devem ser introduzidos também os conceitos de frequência natural de vibração
e o seu inverso, período natural de vibração .
(2.10)
A expressão (2.6) é chamada de equação característica. A literatura costuma
desenvolver sua solução em duas condições distintas: quando e, portanto, não há
amortecimento (o que não passa de uma idealização matemática, pois todo sistema
físico real apresenta algum amortecimento) e quando , ou seja, o sistema é
amortecido. Nesse último caso, admite-se ainda que a equação pode apresentar três
respostas diferentes − em função do coeficiente de amortecimento do sistema −
caracterizadas pelas relações (amortecimento subcrítico), (amortecimento
crítico) ou (amortecimento supercrítico). O aspecto das respostas no tempo para
estas diferentes condições de amortecimento é apresentado na Figura 2.3.
Figura 2.3 − Resposta no tempo de um sistema de 1 G.L para diferentes fatores de
amortecimento .
A não ser que sistemas de amortecimento sejam intencionalmente incorporados
à estrutura, a maioria das construções civis costuma apresentar valores de fator de
amortecimento dentro da faixa de 0,5 a 5,0%. Desse modo, o comportamento
dinâmico de estruturas pertence à categoria de sistemas com amortecimento subcrítico.
8
A solução da equação característica para tem a forma:
(2.11)
onde (2.12)
Sendo a frequência angular amortecida, embora não seja muito diferente do
valor de para a faixa de mencionada anteriormente. Substituindo a expressão (2.11)
em (2.4), tem-se que:
(2.13)
Fazendo (equação de Euler):
(2.14)
Sendo e constantes determinadas a partir das condições iniciais (ou seja,
para ), dadas por:
e (2.15)
A expressão (2.14), referente à resposta do sistema em vibrações livres, é
chamada de solução transiente. Alternativamente, pode ser escrita também na forma de
um vetor no plano complexo:
(2.16)
onde (2.17)
(2.18)
Figura 2.4 − Vetor de resposta em vibrações livres com amortecimento subcrítico.
9
2.1.3. Determinação do amortecimento
Todo sistema físico possui amortecimento, que pode ser definido como sua
propriedade em dissipar energia ao longo do tempo. No entanto, as características de
amortecimento de uma estrutura real são muito complexas e difíceis de determinar.
Usualmente, é aplicado o método do decremento logarítmico, a partir de um
histórico de resposta do sistema (ver Figura 2.5).
Figura 2.5 − Decaimento da amplitude de resposta do sistema amortecido.
Entre dois picos mostrados na Figura 2.5, pode-se ajustar uma curva
exponencial, expressa por:
(2.19)
Introduzindo o conceito de decremento logarítmico :
(2.20)
Para pequenos amortecimentos, e .
2.1.4. Cargas dinâmicas e ressonância
Até agora, a força externa foi descrita genericamente como uma função variável
no tempo . A Figura 2.6 ilustra alguns exemplos típicos de forças dinâmicas
atuantes sobre as estruturas, normalmente classificadas em dois tipos principais:
periódicas ou não periódicas.
10
Figura 2.6 − Ações dinâmicas típicas sobre estruturas [9].
Periódicas: (a) Harmônica; (b) Complexa. Não periódicas: (c) Impulsiva; (d) Longa duração.
Todas estas ações mostradas na Figura 2.6 podem ser descritas em expressões
determinísticas, uma vez que seu valor é conhecido para cada instante de tempo . Em
muitos casos, podem ser escritas na forma de séries de Fourier. As funções que
descrevem estas ações, substituídas na equação de movimento (equação 2.2), dão
origem a diferentes soluções do deslocamento . No entanto, podem atuar também
ações de comportamento estocástico (ou aleatório), como o vento, cuja magnitude não
pode ser determinada para cada instante de tempo , mas descrita apenas em termos
estatísticos, como será apresentado no capítulo 3 deste trabalho.
Para introduzir o conceito de ressonância e concluir a descrição do sistema de 1
G.L, considera-se o carregamento harmônico (Figura 2.6.a), definido por:
(2.21)
onde é a amplitude do carregamento;
é a frequência de excitação.
11
A solução da equação de movimento obtida da substituição de (2.21) em (2.2) é:
(2.22)
onde é a solução transiente já escrita na equação (2.14) e é a solução
permanente, dada por:
(2.23)
onde
(2.24.a)
(2.24.b)
(2.25)
Ou, na forma de um vetor no plano complexo:
(2.26)
onde
(2.27)
(2.28)
A expressão (2.27) de representa a amplitude da resposta dinâmica. A razão
entre a resposta dinâmica e a estática é definida como o fator de amplificação dinâmica
, dado por:
(2.29)
A amplificação da resposta da estrutura sob ação dinâmica varia com a razão e
o fator de amortecimento . Esta relação é ilustrada na Figura 2.7. O ângulo de fase
(expressão 2.28) é também função destas duas grandezas, conforme mostra a Figura 2.8.
Os picos no diagrama de evidenciados na Figura 2.7 caracterizam o
fenômeno de ressonância. Quando a frequência de excitação se aproxima da frequência
natural de vibração do sistema, a resposta atinge seu valor máximo, cuja amplificação é
minorada pelos efeitos do amortecimento, mas que pode superar em muito a resposta
estática.
12
Figura 2.7 − Variação do fator de amplificação dinâmica com e [16].
Figura 2.8 − Variação do ângulo de fase dinâmica com e [16].
2.2. Sistemas de múltiplos G.L
Considera-se agora o modelo 3D de uma estrutura completa, discretizado em
nós. Cada nó está associado a 6 G.L (sendo 3 translações e 3 rotações) e o sistema
possui portanto graus de liberdade ao todo.
13
Para o sistema de 1 G.L, foi definida apenas uma frequência natural para
descrever as oscilações segundo uma única coordenada . Já o sistema de G.L estará
associado a frequências naturais e a configurações, chamadas de modos de
vibração, referentes a cada grau de liberdade.
A formulação do sistema obedece aos mesmos princípios da equação de
movimento (2.2) para o sistema de 1 G.L e pode ser escrita na forma matricial:
(2.30)
onde , e são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez da estrutura;
, e são vetores de aceleração, velocidade e deslocamentos nodais;
é o vetor de forças nodais.
Da expressão (2.13), foi concluído que as frequências naturais em sistemas de
baixo amortecimento tem boa aproximação com as frequências naturais não
amortecidas:
(2.31)
cuja solução tem forma semelhante à expressão (2.4):
(2.32)
O vetor coluna representa as amplitudes do movimento. Derivando a expressão
(2.32) duas vezes:
(2.33)
Em seguida, substituindo (2.33) e (2.32) em (2.31), tem-se:
(2.34)
Como é uma solução trivial, . (2.35)
A expansão do determinante da expressão (2.35) dá origem a um polinômio de
grau e constitui um problema de autovalor, cujas raízes são as frequências naturais
(autovalores) de cada modo de vibração . Aplicadas à equação (2.34), podem ser
determinados os autovetores , que descrevem as amplitudes de deslocamento dos nós
para cada um dos modos de vibração associados a estas frequências.
14
2.2.1. Propriedade de ortogonalidade e equações desacopladas
Uma das principais propriedades dos modos naturais de vibração é a
ortogonalidade. A expressão (2.34) é reescrita abaixo para um modo de vibração ,
substituindo o autovetor pelo autovetor normalizado .
(2.36)
O processo de normalização consiste em dividir todos os coeficientes do por
aquele de maior valor, de modo que tem valor máximo igual a 1. Multiplica-se em
seguida toda a expressão acima por , transposição do autovetor normalizado do
modo :
(2.37)
Igualmente, multiplicando por a expressão (2.36) para o modo , resulta em:
(2.38)
As matrizes de rigidez e de massa são simétricas, permitindo que toda a
expressão possa também ser transposta na forma:
(2.39)
Finalmente, subtraindo (2.39) de (2.37), resulta em:
(2.40)
A não ser que seja igual a , é necessário que seja nulo e,
portanto, seja também nulo. Na literatura, é usual dizer que os modos de
vibração e são ortogonais com relação às matrizes de massa e de rigidez. Esta
propriedade de ortogonalidade dá condições ao método de solução da expressão (2.30)
por superposição modal.
Para o sistema com G.L, o vetor de deslocamentos pode ser escrito como
produto da matriz de autovetores normalizados pelo vetor de amplitudes modais :
(2.41)
onde
15
Substituindo (2.41) em (2.30) e multiplicando toda a expressão por , tem-se
que:
(2.42)
Tendo em vista a ortogonalidade, os termos , e resultam
em matrizes diagonais e a equação é, portanto, constituída de um sistema de equações
desacopladas, com uma equação correspondente a cada modo de vibração. Costuma-se
usar a simplificação , sendo um coeficiente de proporcionalidade entre
amortecimento e massa, devido à dificuldade em se determinar diretamente a matriz de
amortecimento da estrutura. Na realidade, o amortecimento pode também ser escrito
com uma parcela proporcional à rigidez da estrutura, mas a parcela proporcional à
massa é preponderante no caso de estruturas flexíveis, com baixas primeiras frequências
naturais [2]. Assim, a equação desacoplada para um dado modo de vibração é dada
por:
(2.43)
onde é a amplitude de resposta do modo de vibração ;
é o coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento e a massa;
é a massa modal;
é a rigidez modal;
é a força modal.
16
CAPÍTULO 3
CARACTERIZAÇÃO DOS VENTOS FORTES PARA A
ENGENHARIA ESTRUTURAL
A seguir são introduzidos alguns conceitos úteis à descrição dos ventos atuantes
sobre as estruturas. A literatura sobre o assunto é extensa e, no Brasil, devem-se
destacar as publicações do Engº Joaquim Blessmann, professor da UFRGS, cujos
estudos contribuíram à elaboração da NBR 6123 - Forças devidas ao vento em
edificações. Este capítulo foi escrito a partir das referências [4], [5] e [6], baseadas
também nos trabalhos anteriores de outros autores − entre eles, Theodore von Kárman,
Alan G. Davenport, Barry J. Vickery, Robert H. Scanlan e R. I. Harris.
A formação de ventos naturais se deve principalmente às diferenças na pressão
atmosférica, causadas pelas variações da temperatura do ar. De acordo com as leis da
termodinâmica, uma diminuição de temperatura corresponde a uma diminuição de
pressão (expansão) e um aumento de temperatura corresponde a um aumento de pressão
(compressão). Assim, quando uma massa de ar é aquecida, tende a se mover para
reestabelecer o equilíbrio de pressões, abrindo espaço para o deslocamento de outra
massa de ar, mais fria.
Já as variações de temperatura são devidas à absorção desigual da energia solar
pela crosta terrestre, seja pelas diferenças de latitude, pelo movimento de rotação da
Terra ou pelo tipo de cobertura da superfície.
Os movimentos de ar podem adquirir dimensões temporais e espaciais muito
variáveis, que vão da turbulência (vórtices de ar da ordem de metros e duração de
alguns minutos) até ondas planetárias (percorrendo grandes extensões da Terra ao longo
de muitos dias). Desse modo, costuma-se classificá-los em fenômenos de macroescala,
mesoescala e microescala, como ilustrado na Figura 3.1.
Para a engenharia estrutural, os sistemas meteorológicos de maior interesse são
aqueles que originam os ventos fortes, de alta velocidade. Em regiões temperadas, a
causa mais comum da formação de ventos fortes são os ciclones extratropicais,
17
fenômenos de macroescala, caracterizados por movimentos circulatórios de ar em torno
de centros de baixa pressão.
Figura 3.1 − Ordem de grandeza das dimensões espaciais e temporais de diferentes movimentos
de ar na atmosfera, adaptado [12].
3.1. Ciclones extratropicais (EPS)
Ciclones extratropicais, quando em estágio "maduro", são chamados também de
sistemas de pressão plenamente desenvolvidos ou de tormentas EPS (extratropical
pressure systems). Estas tormentas se originam da agitação mecânica do ar, no encontro
de duas massas de temperaturas diferentes ou de grandes correntes atmosféricas em
cadeias de montanhas [4].
Os ventos originados de ciclones extratropicais apresentam bom equilíbrio
dinâmico com a rugosidade da superfície da terra e sopram com velocidade constante
por até dezenas de horas. Suas dimensões vão de algumas centenas a três milhares de
quilômetros e sua velocidade não costuma superar 200 km/h.
São fenômenos bem estudados e servem de base para muitas normas que tratam
de forças devidas ao vento em estruturas, incluindo a norma brasileira NBR 6123. Neste
trabalho, serão considerados sempre os ventos originados de ciclones extratropicais:
com altas velocidades e estabilidade neutra.
18
3.2. Perfil vertical da velocidade média
A velocidade média do vento varia ao longo da altura acima do solo em função
da rugosidade do terreno e pode ser descrita pela lei logarítmica (equação 3.1) ou pela
lei potencial (3.2). Junto à superfície, a velocidade do vento é nula devido ao atrito com
o terreno e, à medida que se distancia da superfície do terreno, a rugosidade perde
influência sobre o fluxo.
Lei logarítmica:
(3.1)
onde: é a velocidade média;
é a altura do fluxo (considerado horizontal e homogêneo);
é o comprimento de rugosidade;
é a constante de von Kármán, obtida experimentalmente e igual a 0,4;
é a velocidade de fricção (ou velocidade de cisalhamento), obtida
substituindo o valor conhecido de na equação, para uma altura de referência
.
Lei potencial:
(3.2)
Os valores de e do comprimento de rugosidade dependem do tipo de terreno
e variam entre diferentes autores. A Tabela 3.1 apresenta os parâmetros de rugosidade
e − além do coeficiente de arrasto superficial − adotados para cada uma das cinco
categorias de terreno definidas na norma brasileira.
Tabela 3.1 − Parâmetros de rugosidade para as categorias de terreno da NBR6123 [4].
Categoria (em 10 min) (mm)
I 0,095 5 0,0028
II 0,15 70 0,0065
III 0,185 200 0,0105
IV 0,23 700 0,0226
V 0,31 1750 0,0527
19
3.3. Turbulência do vento
A Figura 3.2 ilustra um registro típico de velocidade de vento, medido por um
anemômetro. Pode-se interpretar o sinal em duas componentes independentes: uma
parcela de velocidade média e outra de velocidade flutuante, caracterizada por rajadas.
Figura 3.2 − Sinal registrado de velocidade de vento turbulento (a), separado em parcela média
(b) e flutuante (c), adaptado de [12]
As flutuações ao longo do tempo ocorrem pela interação do vento com a
superfície rugosa da Terra numa camada entre 500 e 1000m de altitude, denominada
camada limite atmosférica. O atrito com o terreno dá origem aos turbilhões (chamados
também de redemoinhos), com dimensões da ordem de milímetros a centenas de
metros. O sinal da componente flutuante registrado pelo anemômetro se refere à
superposição de turbilhões de diferentes dimensões e, considerando um intervalo de
tempo suficientemente longo (de 10 minutos, por exemplo), tem valor médio nulo.
Além da agitação do escoamento por atrito, as flutuações também podem estar
relacionadas a processos de convecção causados por gradientes térmicos. Em ciclones
extratropicais, no entanto, a contribuição térmica é desprezada, pois a estabilidade da
atmosfera é considerada neutra.
20
3.3.1. Descrição matemática
A velocidade do vento costuma ser escrita com base num sistema cartesiano, em
três componentes. A componente na direção média do escoamento (direção longitudinal
) é decomposta em duas parcelas: uma de valor médio , função apenas da altura e
aproximadamente constante ao longo do tempo por dezenas de minutos, e outra
flutuante . Nas outras duas direções (lateral, no plano horizontal) e (vertical,
positiva para cima), atuam as componentes flutuantes e .
na direção longitudinal : (3.3.a)
na direção lateral : (3.3.b)
na direção lateral : (3.3.c)
As componentes flutuantes de velocidade do vento tem comportamento
complexo e aleatório ao longo do tempo. Por este motivo, não podem ser descritas por
funções determinísticas como outras ações dinâmicas em estruturas, mas através de
parâmetros estatísticos. Algumas hipóteses são adotadas:
O vento tem direção horizontal e constante ao longo da altura.
Esta consideração despreza a influência da chamada aceleração de Coriolis
(referente à força perpendicular à velocidade do vento, devida ao movimento
relativo entre o ar e a rotação da Terra). Também pressupõe-se, novamente, que
a estabilidade da atmosfera é neutra e não há movimentos verticais importantes;
As flutuações de vento turbulento são processos estacionários e ergódicos.
Por estacionário, entende-se que num sinal qualquer registrado, os parâmetros
estatísticos são invariantes para qualquer deslocamento da origem do tempo (se a
amostra for tomada sobre um intervalo de tempo representativo).
Já por ergódico, entende-se que basta uma única amostra para descrever o
fenômeno, pois os parâmetros estatísticos se repetem em qualquer amostra. Estas
duas propriedades ajudam a simplificar os trabalhos de aquisição e
processamento dos sinais de flutuação.
21
3.3.2. Parâmetros estatísticos de um processo aleatório
As características estatísticas de fenômenos ergódicos são determinadas por
médias calculadas no tempo, dadas pelas Equações 3.4.
Média:
(3.4.a)
Média quadrática:
(3.4.b)
Variância:
(3.4.c)
Valor RMS (raiz da média quadrática): (3.4.d)
Desvio padrão: (3.4.e)
Uma vez calculadas estas médias, a frequência relativa de ocorrência das
velocidades de vento pode ser expressa numa distribuição probabilística que, de acordo
com Davenport [4], se aproxima de uma distribuição normal (gaussiana).
3.3.3. Propriedades da turbulência
Além dos parâmetros estatísticos, que são informações genéricas de qualquer
processo ergódico, é útil definir algumas propriedades das flutuações de vento, como se
segue.
a. Intensidade de turbulência
A intensidade de turbulência serve de medida adimensional da energia cinética
das flutuações da velocidade e é definida pelo quociente entre o desvio padrão das
flutuações e uma velocidade de referência − podendo ser a velocidade média no ponto
em que se determinou o desvio padrão.
Para cada componente flutuante, tem-se:
na direção longitudinal :
(3.5.a)
na direção lateral :
(3.5.b)
na direção lateral :
(3.5.c)
22
b. Função de autocorrelação (correlação temporal)
A interdependência entre os valores de uma amostra ergódica nos instantes de
tempo e é medida pela função de autocorrelação, dada pela Equação 3.6.
(3.6)
para a componente flutuante longitudinal . A mesma expressão se aplica às
componentes e .
Quanto menor a defasagem , espera-se que seja maior a correlação entre dois
valores e, para uma defasagem nula ( ), a função de autocorrelação é igual à
média quadrática .
c. Função de correlação cruzada (correlação espacial)
Define-se como função de correlação cruzada a medida da interdependência
entre as flutuações e , referentes às velocidades em dois pontos
distintos e :
(3.7)
As funções de correlação cruzada permitem a determinação das dimensões
médias dos maiores turbilhões (redemoinhos), nos quais estão contidos a maior
contribuição de energia cinética da flutuação.
A área sob a curva da função é chamada escala espacial da turbulência
(ou também macroescala, escala integral ou apenas escala de turbulência) e indica uma
dimensão média característica da turbulência.
d. Espectros de potência
Espectros (ou densidades espectrais) de potência descrevem a distribuição da
energia do processo em função da frequência. Sua expressão matemática tem origem na
função de autocorrelação, sobre a qual se aplica a transformada de Fourier:
(3.8)
23
Se a função de autocorrelação é real, par e não negativa, a função de
densidade espectral é também uma função real e fornece as mesmas informações
no domínio da frequência. A inversão de Fourier também é válida e dada por:
(3.9)
Assim, para uma defasagem de tempo real nula, tem-se:
A área sob o gráfico do espectro de potência é, portanto, igual à média
quadrática . A Tabela 3.2 resume algumas das diversas expressões propostas para as
funções de densidade espectral de potência (na direção longitudinal do vento)
escritas na forma adimensional.
Destaca-se que o espectro de Harris é o adotado pela NBR 6123 e que o espectro
ESDU (Engineering Sciences Data Unit, 1974) é utilizado pela norma europeia EN
1991-1-4. Estes espectros teóricos são comparados na Figura 3.3.
Tabela 3.2 − Espectros teóricos de potência , na direção longitudinal do vento [4].
AUTOR Função de densidade espectral
Harris
,
Davenport
,
von
Kármán
Kaimal
ESDU
24
Figura 3.3 − Espectros teóricos de potência (na direção longitudinal do vento), Tabela 3.2.
A Tabela 3.3 apresenta as funções de densidade espectral e , nas outras
duas direções de flutuação, ilustradas nas Figuras 3.4 a 3.6.
Tabela 3.3 − Espectros teóricos de potência e , nas outras duas direções de flutuação [4].
AUTOR Função de densidade espectral
von
Kármán
Kaimal
ESDU
25
A relação entre os desvios padrão e entre as variâncias das três componentes
pode ser tomada como [4]:
Figura 3.4 − Espectros teóricos de potência , e , por von Kármán (ver Tabelas 3.2 e 3.3)
Figura 3.5 − Espectros teóricos de potência , e , por Kaimal (ver Tabelas 3.2 e 3.3).
26
Figura 3.6 − Espectros teóricos de potência , e , pelo ESDU (ver Tabelas 3.2 e 3.3).
e. Espectros cruzados de turbulência
Semelhantes aos espectros de potência, os espectros cruzados de turbulência são
obtidos por aplicação da transformada de Fourier sobre as funções de correlação
cruzada. Estas funções descrevem, assim, a correlação espacial das flutuações no
domínio da frequência entre dois pontos e .
(3.10)
sendo é o co-espectro normalizado dado por:
(3.11)
onde ( , , ) e ( , , ) são coordenadas dos pontos e ;
é a velocidade média entre os pontos e ;
, , são coeficientes de decaimento, obtidos experimentalmente.
27
CAPÍTULO 4
AÇÃO DE VENTO SOBRE TABULEIROS DE PONTE
Embora a consideração das ações dinâmicas de vento constitua uma parte
importante no projeto de novas pontes estaiadas, suspensas ou pontes de grandes vãos,
seus efeitos foram por muito tempo desconhecidos para a engenharia estrutural e
causaram problemas e colapsos em várias estruturas na Europa e nos EUA. A Tabela
4.1 [19] lista algumas pontes que foram à ruína por ação de vento, pelo pouco
conhecimento de tais efeitos dinâmicos na época em que foram projetadas e construídas.
Tabela 4.1 - Pontes destruídas por ação de vento [19].
Ponte Comprimento
(m)
Ano do
colapso
Dryburgh Abbey (Escócia) 80 1818
Union (Inglaterra) 140 1821
Nassau (Alemanha) 75 1834
Brighton Chain Pier (Inglaterra) 80 1836
Montrose (Escócia) 130 1838
Menai Straits (País de Gales) 180 1839
Roche-Bernard (França) 195 1852
Wheeling (EUA) 310 1854
Niagara-Lewiston (EUA) 320 1864
Tay (Escócia) 85 1879
Niagara-Clifton (EUA) 380 1889
Tacoma Narrows (EUA) 850 1940
Em 1940, o acidente da ponte de Tacoma Narrows atraiu enorme atenção dos
pesquisadores e definiu um marco para a estudo do comportamento aeroelástico de
pontes. A superestrutura já apresentava oscilações consideráveis em flexão vertical
desde a sua abertura mesmo para pequenas velocidades de vento e, por isso, estava
sendo constantemente monitorada pela Universidade de Washington. No filme que
registra o colapso (ver Figura 4.1) é possível identificar vibrações de grandes
amplitudes num modo de torção antissimétrico, que segundo medições de um
anemômetro teria sido excitado por ventos com velocidade média de cerca de 60 km/h.
28
Figura 4.1 – Oscilações que levaram ao colapso da ponte de Tacoma Narrows (EUA, 1940)
registradas em filme.
De modo geral, os efeitos dinâmicos da ação de vento mais frequentemente
encontrados nos tabuleiros de pontes estão associados a três mecanismos [19]:
Vibrações induzidas pela turbulência;
Vibrações induzidas por desprendimento cadenciado de vórtices;
Vibrações induzidas por autoexcitação da estrutura − Foram vibrações desta
natureza (associadas ao fenômeno de instabilidade aerodinâmica do tipo
drapejamento, ou "flutter") que provocaram o colapso de Tacoma Narrows.
Dos fenômenos citados, o objeto de estudo do presente trabalho são as vibrações
induzidas pela turbulência, caracterizadas pela amplificação dinâmica dos
deslocamentos da estrutura sob excitação das forças aleatórias de vento.
4.1. Forças aerodinâmicas devidas à turbulência
Como apresentado no capítulo 3, o vetor velocidade de vento é escrito em três
componentes, orientadas segundo os eixos cartesianos. A Figura 4.2 ilustra o sistema de
coordenadas adotado na formulação das equações deste capítulo, com a componente
média do vento incidindo perpendicularmente ao eixo da ponte.
29
Figura 4.2 – Sistema de coordenadas para a formulação das forças de vento sobre o tabuleiro.
Os efeitos da componente flutuante (na direção ) costumam ser
desconsiderados na análise da superestrutura, embora sejam importantes na
determinação das forças atuantes sobre as torres de pontes estaiadas e suspensas.
Assim, as forças podem ser escritas [18] em termos das componentes na direção
do vento em (força de arrasto ) e na direção perpendicular ao vento (força de
sustentação ), além do momento no plano ( ):
(4.1.a)
(4.1.b)
(4.1.c)
onde
é a massa específica do ar;
é a velocidade média do fluxo;
é a largura do tabuleiro;
é o comprimento do trecho;
é o ângulo de ataque;
, e são coeficientes aerodinâmicos de arrasto, sustentação e momento.
Nas equações (4.1), podem-se reconhecer as parcelas média e flutuante das
forças aerodinâmicas.
30
Desse modo, o problema pode ser descrito como o sistema de três graus de
liberdade apresentado na Figura 4.3: deslocamento lateral ( ), deslocamento vertical ( )
e rotação ( ).
Figura 4.3 – Sistema de três graus de liberdade da seção transversal do tabuleiro.
Os coeficientes aerodinâmicos , e são parâmetros que descrevem a
perturbação do fluxo de ar causada pela geometria da seção transversal do tabuleiro, e
são determinados por meio de ensaios em modelos reduzidos em túnel de vento. Na
verdade, , e se constituem em valores médios das forças aerodinâmicas
adimensionalizadas , e :
(4.4)
A Figura 4.4 [21] apresenta os coeficientes aerodinâmicos de três pontes
existentes em função do ângulo de ataque .
Figura 4.4 – Coeficientes aerodinâmicos , e em função do ângulo de ataque para as
Ponte da Europa (Áustria), de Oberkassel (Alemanha) e de Vancouver (Canadá) [21].
31
Para melhor observar a interação de toda a estrutura com o fluido no ensaio em
túnel de vento, procura-se construir um modelo reduzido completo, tridimensional, no
qual a geometria e os parâmetros físicos (massa, rigidez e amortecimento) respeitem as
propriedades da estrutura real de acordo com a Teoria de Semelhança. No entanto,
devido ao alto custo e largo prazo de tempo para fabricar e ensaiar um modelo completo
e especialmente devido à dificuldade de atender todos os critérios de semelhança (e aos
inerentes problemas de escala), costumam-se adotar modelos seccionais. Estes modelos
simplificados reproduzem apenas um trecho do tabuleiro em escala geométrica. Já os
coeficientes aeroelásticos são obtidos de ensaios do mesmo modelo seccional, porém
apoiado sobre molas e amortecedores nas extremidades, que para uma massa adequada
simulam os primeiros modos de vibração por flexão e torção da estrutura. Os gráficos
de variação dos coeficientes aerodinâmicos apresentados na Figura 4.4 [21] foram
obtidos a partir de ensaios no túnel de vento em modelos seccionais rígidos, para vários
ângulos de ataque.
4.2. Solução modal no domínio do tempo
No domínio do tempo, o sistema de equações de movimento pode ser resolvido
por diferentes métodos de integração numérica. Softwares comerciais de análise
estrutural como o SAP 2000 costumam oferecer ferramentas de integração direta ou
superposição modal para este tipo de problema. Como visto no capítulo 2, utilizando as
propriedades de ortogonalidade dos autovetores em relação às matrizes de massa e de
rigidez da estrutura, o sistema pode ser descrito em equações desacopladas para cada
modo de vibração , na forma:
(4.3)
onde
é a amplitude de resposta do modo de vibração ;
é o coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento e a massa;
, e são, respectivamente, massa modal, rigidez modal e força modal.
O coeficiente é composto da soma de um coeficiente de amortecimento
estrutural e de um coeficiente de amortecimento aerodinâmico .
32
(4.4)
onde é a frequência do modo de vibração .
O amortecimento aerodinâmico está associado a alterações na velocidade
relativa do ar em relação às oscilações da estrutura em torno da posição deformada
média. Neste trabalho, no entanto, desprezou-se a contribuição do amortecimento
aerodinâmico.
Para um tabuleiro discretizado em nós, as componentes flutuantes de força de
vento sobre cada nó podem ser obtidas a partir das equações (4.5):
(4.5.a)
(4.5.b)
(4.5.c)
A força modal correspondente, associada a um modo de vibração , pode ser
escrita numa única expressão:
(4.6)
ou apenas
(4.7)
com e
.
Substituindo a expressão (4.7) na equação de movimento desacoplada (4.3),
pode-se determinar a amplitude de resposta do modo por meio de integração da
equações modal referida. O deslocamento total num nó qualquer do tabuleiro
discretizado pode finalmente ser determinado por superposição modal com:
(4.8)
33
4.3. Solução modal no domínio da frequência
A equação de movimento desacoplada para um modo de vibração pode ser
escrita na forma:
(4.9)
A equação correspondente no domínio da frequência é obtida por aplicação da
transformada de Fourier. A amplitude do deslocamento e a força modal são então
expressas em termos de funções de densidade espectral, na forma:
(4.10)
com
função da densidade espectral da amplitude , no modo ;
função de densidade espectral da força modal , no modo ;
função de transferência (ou admitância mecânica), dada por (4.11).
(4.11)
onde
é a frequência natural de vibração do modo ;
é a razão de amortecimento crítico, composto pela soma do amortecimento
estrutural e do amortecimento aerodinâmico .
A função de densidade espectral da força modal é também obtida a partir da
aplicação da transformada de Fourier, sobre a expressão (4.7) exposta no item anterior.
Para o tabuleiro discretizado em nós, tem-se:
(4.12)
34
onde , , e são funções de densidade espectral cruzadas das
componentes flutuantes de vento e em dois nós e do tabuleiro. Os espectros
cruzados e podem ser desprezados, enquanto os espectros e
são dados por:
(4.13.a)
(4.13.b)
onde
, , e são os espectros de turbulência (Item 3.3.3.d) sobre e ;
e são os co-espectros normalizados dados pelas expressões
4.14.
, com (4.14.a)
, com (4.14.b)
Estas funções repetem a expressão (3.11) apresentada no capítulo anterior, que
descreve a correlação espacial das componentes flutuantes nas três direções , e . No
entanto, admite-se apenas a correlação segundo a direção , na qual está orientado o
eixo do tabuleiro. Os coeficientes de decaimento para cada componente são obtidos
experimentalmente, embora na ausência de ensaios possam ser adotados os valores
conservadores [18] dados acima.
Substituindo a equação 4.12 na equação 4.10, obtém-se a densidade espectral da
amplitude de resposta do tabuleiro. A variância da amplitude de resposta do modo é
então obtida por integração de :
(4.15)
Para modos de vibração, a variância de um deslocamento é dada por:
(4.16)
Considerando modos com frequências suficientemente afastadas [9].
35
Finalmente, o deslocamento máximo pode ser estimado pela expressão:
(4.17)
onde é o deslocamento sob ação da velocidade média .
é o fator de pico, com
.
A Figura 4.5 resume esquematicamente os dois métodos de cálculo
apresentados. Foi a partir desta relação que Davenport desenvolveu o método de fator
de rajada, cujos princípios serviram também de base à elaboração de procedimentos
normativos de estimativa da resposta estrutural dinâmica, descritos a seguir.
Figura 4.5 – Relação entre as soluções nos domínios do tempo e da frequência: processo
probabilístico de Davenport [5].
4.4. Recomendações normativas
4.4.1. Segundo a NBR 6123
A norma brasileira sugere dois procedimentos para determinação das forças de
vento sobre as estruturas: o primeiro considera que a estrutura responde "estaticamente",
enquanto o segundo considera uma resposta dinâmica devida à turbulência. Estes
procedimentos são descritos, respectivamente nos itens 4 e 9 da norma.
36
O procedimento indicado pelo item 9, no entanto, é de formulação restrita à
estruturas verticais engastadas na base, como edifícios altos e flexíveis, torres de
armazenamento, postes e chaminés, não sendo aplicável ao objeto deste trabalho. Além
disso, de acordo com [7], o procedimento 9 resulta em estimativas de deslocamentos
aquém dos valores máximos obtidos com as soluções nos domínios do tempo e da
frequência.
Admitindo que a estrutura terá uma resposta quase estática à ação do vento, o
item 4 da NBR 6123 indica os passos para determinação da força de arrasto . A
velocidade média é calculada para um certo intervalo de tempo que depende das
dimensões da estrutura e, portanto, das rajadas a serem consideradas.
O mapa de isopletas (Figura 1 da NBR) fornece os valores de velocidade básica
referentes a uma média de medições sobre 3s, a 10 m sobre o nível do terreno em
lugar aberto e plano (cat. II) realizadas em 49 pontos de amostragem espalhados pelo
território nacional. Esta velocidade deve ser corrigida em função do terreno, das
dimensões da estrutura e do grau de segurança requerida através da expressão:
(4.17)
onde: é a velocidade básica retirada do mapa de isopletas;
é o fator topográfico;
é o fator que considera a rugosidade do terreno, as dimensões da edificação e
a altura sobre o terreno;
é o fator estatístico.
O intervalo de tempo de 3s corresponde a rajadas de dimensões de
aproximadamente 20 m na direção do vento médio. Quanto mais veloz é a rajada,
menores são as dimensões do turbilhão correspondente (ver Figura 3.1). Caso a maior
dimensão frontal da estrutura supere 80 m, recomenda-se na norma que o fator e o
intervalo de tempo sejam estimados de acordo com o Anexo A, por aproximações
sucessivas, com as expressões:
(4.18)
onde: é a maior dimensão da superfície frontal da edificação;
é a velocidade média do vento sobre segundos num dado
ponto da edificação, calculada por aproximações sucessivas;
37
(4.19)
onde os parâmetros , e são retirados da Tabela 21 da norma [1] e servem para
corrigir o valor da velocidade básica (medida sobre 3s e cat, II) para outros
intervalos de tempo e categorias de terreno. Finalmente, a força de arrasto (na direção
do vento) é calculada segundo:
(4.20)
onde: é a massa específica do ar (igual a );
é o coeficiente de arrasto;
é a velocidade característica do vento;
é a área frontal efetiva.
4.4.2. Segundo o Eurocódigo EN 1991-1-4
A norma europeia apresenta, além da formulação das forças de vento para uma
análise estática, dois procedimentos de estimativa direta da resposta dinâmica. Estas
estimativas, porém, são limitadas à resposta no sentido longitudinal do vento, ou seja,
para a parcela flutuante . O deslocamento flutuante é calculado com base no
resultado de deslocamento sob ação da componente de velocidade média dado por:
(4.21)
onde: é o deslocamento máximo obtido da ação da componente média;
é o fator de pico;
é a intensidade de turbulência com comprimento de rugosidade;
e são os fatores de resposta não ressonante e ressonante calculados segundo
os dois procedimentos da norma.
Como já mencionado, as vibrações em tabuleiros de ponte induzidas por
turbulência de vento se manifestam principalmente no modo de flexão vertical, no qual
a componente preponderante é a flutuação vertical . Desse modo, a estimativa obtida
com a expressão (4.21) não cobre as vibrações consideradas mais importantes na análise
pretendida no presente trabalho. Os procedimentos da EN-1991-1-4 são ainda assim,
apresentados a seguir.
38
a. Procedimento 1 (Anexo B do Eurocódigo EN 1991-1-4)
O deslocamento máximo devido à componente flutuante (no sentido
longitudinal do vento) pode ser estimado também segundo o método de Davenport, a
partir do deslocamento máximo devido à componente média, com os fatores de resposta
definidos pelos anexos do Eurocódigo EN 1991-1-4:
O fator de resposta não ressonante (background) é dado pela expressão:
(4.22)
onde e são, respectivamente, altura e comprimento do tabuleiro;
é o comprimento de escala de turbulência e é
o comprimento de rugosidade e depende da categoria do terreno.
Já fator ressonante:
(4.23)
com decremento logarítmico de amortecimento;
densidade espectral da excitação;
frequência adimensional de resposta;
,
e
,
, funções de admitância mecânica.
b. Procedimento 2 (Anexo C do Eurocódigo EN 1991-1-4)
O anexo C propõe outras expressões para os fatores de resposta não ressonante e
ressonante. Este procedimento considera que as equações propostas pelo anexo B
subestimam a parcela não ressonante em estruturas com dimensões inferiores a 50m e
superestima para estruturas grandes. A formulação foi desenvolvida por [12] e consiste
nas Equações 4.24 a 4.26.
39
O fator de resposta não ressonante (background):
(4.24)
O fator de resposta ressonante:
(4.25)
com
(4.26)
,
e .
As constantes e dependem da variação da forma modal ao longo dos eixos
e , respectivamente e são indicados na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Constante para diferentes formas modais.
Forma modal
uniforme
linear
parabólica
senoidal
40
CAPÍTULO 5
ESTUDO DE CASO – PONTE ESTAIADA DO SABER
A Ponte estaiada do Saber está situada sobre o canal do Cunha, na cidade do Rio
de Janeiro, e serve de saída da Cidade Universitária da UFRJ (Ilha do Fundão) à via
expressa João Goulart (Linha Vermelha). A Figura 5.1 ilustra a estrutura estaiada, cujo
comportamento sob ação do vento turbulento será estudado neste capítulo.
Figura 5.1 – Ponte estaiada do Saber sobre o canal do Cunha, vista da Linha Vermelha.
5.1. Descrição da estrutura
A ponte possui uma única torre, com os estais em arranjo assimétrico e vão
principal de 179,40 m de comprimento. O projeto estrutural executivo foi realizado pelo
escritório VGarambone Projetos e Consultoria e a construção pela Queiroz Galvão. Já
as análises de interação veículo-estrutura e da ação dinâmica do vento foram realizadas
pela Controllato − Projetos, Monitoração e Controle de Estruturas. Variados aspectos
desta estrutura, tanto no que se refere à construção quanto ao projeto, são apresentados
em trabalhos anteriores, referências [14] e [19].
O tabuleiro foi construído em concreto armado por método de balanços
sucessivos, com aduelas de 5m de comprimento cada. Dos 21 estais (ver Figura 5.2), 15
41
são ancorados no trecho estaiado e dispostos num único plano entre as duas pistas de
rolamento. Os outros 06, retro-estais, são arranjados em dois planos externos ao
tabuleiro.
Figura 5.2 – Numeração dos 21 estais (15 no tabuleiro estaiado e 06 retro-estais) [13].
Os retro-estais são ancorados em dois blocos de retaguarda, construídos sobre 27
estacas raiz de 40 cm de diâmetro e atirantados ao solo. A fundação da torre é
constituída de um bloco sobre 70 estacas de aço tubulares cravadas à percussão e
posteriormente preenchidas de concreto, com diâmetro externo de aproximadamente 1
m. A Figura 5.3 mostra o bloco de fundação da torre e os blocos de retaguarda, com as
vigas e escoras que os associam (a fim de equilibrar os esforços horizontais).
Figura 5.3 – Desenho de fôrmas dos blocos de fundação da torre e dos blocos de retaguarda
(onde são ancorados os 06 retro-estais) [13].
A torre possui altura 94m com seção celular variável e enrijecida por nervuras
horizontais. Os 21 estais são compostos por cordoalhas de 15.7mm e aço CP177-RB
(tensão de escoamento de 1736MPa, módulo de elasticidade de 195GPa).
42
A superestrutura é constituída de uma única viga de seção caixão com almas
inclinadas, constante em toda a sua extensão, como representada na Figura 5.4. A laje
superior possui 22 cm de espessura e, no centro, uma viga de enrijecimento recebe a
ancoragem dos estais.
Figura 5.4 – Desenho de fôrmas da seção transversal típica do tabuleiro em viga celular [13].
5.2. Descrição do modelo em elementos finitos
A Figura 5.5 ilustra o modelo em elementos finitos da ponte estaiada em
perspectiva, realizado no programa comercial SAP2000 pelo escritório projetista,
representando a estrutura completa com suas fundações.
A superestrutura, constituída de viga caixão com seção transversal constante, foi
modelada em elementos de barra. Já a torre, por ter seção muito variável, foi
representada em elementos planos de casca. As estacas são também representadas por
elementos de barra e os blocos de fundação em elementos sólidos.
Figura 5.5 – Perspectiva do modelo em elementos finitos da ponte, realizada no SAP2000 [3].
43
Os estais são discretizados em número de elementos suficiente para permitir sua
deformação elástica sob ação de peso próprio e força de protensão inicial. O modelo
possui ainda: links para representação das ancoragens dos estais no tabuleiro
(permitindo a rotação em torno do eixo paralelo ao eixo da ponte); massas rotacionais
distribuídas ao longo da superestrutura, massas uniformemente distribuídas devidas ao
pavimento asfáltico e às barreiras (ver Tabela 5.1), massas discretas aplicadas nas
seções de ancoragem dos estais na superestrutura (que representam os enrijecedores) e
consideração dos efeitos de 2ª ordem.
Tabela 5.1 – Massas da estrutura da ponte estaiada introduzidas na modelagem 3D.
Massa Massa Rotacional
pavimento asfáltico 2,0 t/m 22,57 t.m2/m
2 barreiras 1,48 t/m 47,84 t.m2/m
superestrutura / viga celular 16,40 t/m 118,89 t. m2/m
enrijecedores da torre (variável) (variável)
5.3. Análise estática (de acordo com o item 4 da NBR 6123:1988)
Como já descrito no subitem 4.4.1, este procedimento considera que a estrutura
responderá estaticamente à ação da turbulência do vento. Considerando que o tabuleiro
estaiado tem comprimento de 179,40m, um turbilhão muito pequeno (referente a uma
rajada muito rápida) não afeta todo o seu campo aerodinâmico. Desse modo, deve-se
determinar o tempo da rajada que corresponde ao turbilhão de dimensões compatíveis
com a largura da estrutura, utilizando as expressões (4.18) e (4.19) do Anexo A da NBR
6123..
Do mapa das isopletas, retira-se o valor da velocidade básica do vento na cidade
do Rio de Janeiro . Considera-se a rugosidade do terreno onde se encontra
a ponte (ver Figura 5.6) como sendo de categoria III e o fator .
Com estes dados, o intervalo de tempo estimado pelo Anexo A é de
aproximadamente e os parâmetros obtidos por interpolação linear da Tabela 21
da NBR 6123 são e . Para a altura do tabuleiro a
aproximadamente do nível d'água do Canal do Cunha, a velocidade característica
para o projeto é .
44
Figura 5.6 – Vista aérea da localização da ponte [15].
A força aplicada no modelo não será calculada com a expressão (4.20), que
apenas considera o sentido do arrasto, mas a partir das parcelas médias da expressão
(4.1):
(5.1.a)
(5.1.b)
(5.1.c)
Sendo , e os coeficientes aerodinâmicos para um ângulo de
ataque º iguais a , e (apropriados da Ponte da
Europa, Figura 4.4), as forças resultantes concentradas nos nós da estrutura discretizada
são: , e .
Os deslocamentos máximos no tabuleiro obtidos por aplicação das forças acima
calculadas no modelo numérico da Figura 5.5 são os seguintes: ,
e (no ponto de ancoragem do estai E13).
Neste cálculo, o valor estatístico admite uma probabilidade de 63% da
velocidade ser igualada e excedida num tempo de recorrência médio de 50 anos,
valor considerado adequado para a estrutura em serviço. Se for considerada a situação
da ponte em estado construtivo avançado (no qual o tabuleiro ainda está em balanço e,
portanto, mais flexível e susceptível a ações dinâmicas), deve-se considerar um tempo
45
de recorrência menor, de por exemplo 2 anos. O fator estatístico pode então ser
calculado segundo a expressão (Anexo B da NBR 6123):
(5.2)
onde é o tempo, em anos;
é a probabilidade da velocidade ser igualada ou excedida.
Tomando uma probabilidade de 90% para o tempo de recorrência de 2 anos,
resulta em e .
Recalculando as forças estáticas, tem-se: , e
. Os deslocamentos correspondentes foram: ,
e .
5.4. Análise de vibrações livres
No capítulo 2, foi visto que quando a estrutura for caracterizada por frequências
fundamentais baixas (e com baixas taxas de amortecimento), ela está mais sensível à
uma reposta dinâmica. Assim, são apresentados os modos de vibração e as frequências
naturais associadas à estrutura sob ação de cargas permanentes e forças de protensão
nos estais em duas situações: para a ponte acabada, em pleno serviço, e para a ponte em
fase avançada de construção, com um grande vão em balanço.
a. Para a ponte em serviço
A Tabela 5.2 apresenta as frequências naturais obtidas para os 5 primeiros
modos de vibração da ponte estaiada e as Figuras 5.7 (i a v) ilustram as configurações
deformadas (amplificadas).
Tabela 5.2 – Frequências e modos de vibração da superestrutura da ponte estaiada acabada, sob
ação das cargas permanentes e forças de protensão dos estais.
Modos Período
(s)
Frequência
(Hz) Modos de Vibração do Tabuleiro
1 1,90 0,526 1º modo de flexão vertical
2 1,83 0,546 1º modo de flexão lateral
3 1,67 0,600 1º modo de torção com flexão lateral
4 1,03 0,968 2º de flexão vertical do tabuleiro
5 0,99 1,012 1º de flexão lateral com torção do tabuleiro
46
(i) 1º modo ( )
(ii) 2º modo ( )
(iii) 3º modo ( )
(iv) 4º modo ( )
(v) 5º modo ( )
Figura 5.7 – Cinco primeiros modos de vibração da estrutura em serviço: (i) 1º modo de flexão
vertical do tabuleiro + 1º modo de flexão longitudinal da torre; (ii) 1º modo de flexão lateral
do tabuleiro + flexão lateral da torre (iii) 1º modo de flexão lateral da torre + 1º modo de torção
com flexão lateral do tabuleiro; (iv) 2º de flexão vertical do tabuleiro + flexão longitudinal da
torre; (v) 1º de flexão lateral com torção do tabuleiro + flexão lateral da torre.
47
b. Para a ponte em fase avançada de construção
Considera-se também a ponte em fase avançada de construção, na qual a última
aduela já foi construída e os 15 estais ancorados, mas a extremidade do tabuleiro
estaiado ainda não está apoiado sobre o pilar de chegada.
De modo semelhante à ponte em serviço, são apresentadas na Tabela 5.3 as
frequências naturais obtidas para os 5 primeiros modos de vibração da ponte em fase
avançada de construção. As Figuras 5.8 (i a v) mostram as configurações deformadas
associadas. Observa-se que a estrutura incompleta tem menor rigidez e, portanto, as
frequências dos primeiros modos de vibração são mais baixas. Espera-se também que os
efeitos da ação de vento sejam mais acentuados nesta fase construtiva, tanto estáticos
quanto dinâmicos.
Tabela 5.3 – Frequências e modos de vibração da superestrutura em fase construtiva avançada
da ponte estaiada, sob ação das cargas permanentes e forças de protensão dos estais.
Modos Período
(s)
Frequência
(Hz) Modos de Vibração do Tabuleiro
1 6,70 0,149 1º modo de flexão lateral
2 2,76 0,362 1º modo de flexão vertical
3 1,67 0,600 2º de flexão vertical
4 1,55 0,644 1º modo de torção com flexão lateral
5 1,04 0,965 2º de flexão lateral com torção
(i) 1º modo ( )
(ii) 2º modo ( )
Figura 5.8 – Cinco primeiros modos de vibração da estrutura em fase construtiva avançada: (i)
1º modo de flexão lateral do tabuleiro + flexão lateral da torre; (ii) 1º modo de flexão vertical do
tabuleiro + 1º modo de flexão longitudinal da torre.
48
(iii) 3º modo ( )
(iv) 4º modo ( )
(v) 5º modo ( )
Figura 5.8 (cont.) – Cinco primeiros modos de vibração da estrutura em fase construtiva
avançada: (iii) 2º de flexão vertical do tabuleiro + flexão longitudinal da torre; (iv) 1º modo de
flexão lateral da torre + 1º modo de torção com flexão lateral do tabuleiro (v) 2º de flexão lateral
com torção do tabuleiro + flexão lateral da torre.
5.5. Metodologia de análise dinâmica
5.5.1. Solução no domínio do tempo
Nesta análise, as forças de vento são aplicadas sobre o modelo em elementos
finitos como funções variáveis num tempo de 10 minutos. São consideradas apenas as
forças de vento atuantes sobre o tabuleiro da ponte, referentes às componentes de
velocidade ( ) e .
O projeto real completo deveria considerar também a ação do vento sobre os
demais elementos da estrutura. Das Figuras 5.7 e 5.8, é possível identificar que a torre
apresenta modos de vibração próprios, sobretudo em flexão lateral e longitudinal,
sensíveis à ação da componentes de vento ( ) e .
49
As componentes flutuantes da velocidade de vento são funções aleatórias no
tempo, geradas a partir dos espectros teóricos de potência de Harris [4] (para a
componente ) e de Busch e Panofsky [18] (para a componente ). A geração de tais
históricos considera a correlação espacial dos turbilhões ao longo do comprimento do
tabuleiro (dada pelo co-espectro normalizado, equação 4.14) e foi apropriada das
referências [10] e [17].
espectro de Harris:
, com
e (5.5.a)
espectro de Busch e Panofsky:
, com
(5.5.b)
A Figura 5.9 ilustra os históricos de para o centro do vão da estrutura
completa.
Figura 5.9 – Históricos de velocidade flutuante de vento para o centro do vão.
As forças de vento foram calculadas com as equações (4.5), de Simiu & Scanlan
(1996), reescritas a seguir:
(4.5.a)
(4.5.b)
(4.5.c)
Na ausência de resultados de ensaio de túnel de vento para esta seção
transversal, os coeficientes aerodinâmicos , e considerados nos cálculos, para
um ângulo de ataque º (e suas derivadas com relação a ) são retirados das curvas
encontradas na literatura para a Ponte da Europa (ver Figura 4.4). Seu valores são
apresentados na Tabela 5.4.
50
Tabela 5.4 – Coeficientes aerodinâmicos , e em função do ângulo de ataque
considerados nos cálculos das forças de vento.
-9º 1,813 -0,042 0,528 -1,604 2,177 1,604
5º 1,705 0,113 0,626 -1,662 2,292 0,401
0º 1,500 0,453 0,524 -0,229 3,724 -0,802
5º 1,554 0,393 0,474 1,261 -1,318 -0,458
9º 1,628 0,299 0,450 0,917 -1,547 -0,344
Da análise em vibrações livres, constatou-se que os dois primeiros modos de
vibração natural da estrutura acabada são, respectivamente, de flexão vertical (com
) e de flexão lateral do tabuleiro ( ). No caso da ponte em
estágio avançado de construção, é o 1º modo que apresenta flexão lateral da
superestrutura (frequência natural ) e o 2º modo, flexão vertical (
).
Para cada uma dessas duas condições, espera-se que a componente flutuante da
velocidade seja preponderante na amplificação dos deslocamentos do modo de flexão
vertical e, de maneira semelhante, a componente flutuante para o modo de flexão
lateral. Visto que as respostas em termos de deslocamentos segundo a solução no
domínio da frequência são obtidas para cada modo separadamente, é interessante que se
avalie a influência de cada componente do vento nas contribuições modais para otimizar
a análise aerodinâmica, considerando um número adequado de modos de vibração que
seja representativo da resposta dinâmica total. Será considerado, em todas as análises,
taxa de amortecimento constante igual a 2%.
5.5.2. Solução no domínio da frequência
A análise em frequência foi realizada com o auxílio de uma pequena rotina
escrita em linguagem Fortran, que resolve os cálculos descritos pelas equações (4.10) a
(4.16) do capítulo anterior. Os espectros de potência foram os mesmos utilizados na
geração dos históricos de velocidade flutuante no domínio do tempo: Harris para a
componente e Busch e Panofsky para a componente , dados pelas equações (5.5).
51
Considera-se o tabuleiro discretizado em nós. Para dois nós e do tabuleiro,
tem-se a função de densidade espectral da amplitude de resposta do modo dada por:
(5.6)
A estimativa da variância da amplitude de resposta consiste em integrar a
equação (5.6) num dado intervalo de frequência, com e variando de 1 a nós do
tabuleiro. Os dados de entrada fornecidos à rotina são:
passo de integração, limites inferior e superior do intervalo de integração;
coordenadas nodais;
coeficientes aerodinâmicos (e derivadas com relação ao ângulo de ataque);
dimensões e ;
coeficientes de decaimento (16 para e 8 para );
velocidade média do vento em serviço e em
construção;
taxa de amortecimento (igual a 2,0% em todos os modos);
propriedade modais da estrutura: frequências naturais de vibração, massas
modais e autovetores normalizados do tabuleiro.
As propriedades modais foram retiradas do modelo em elementos finitos (Figura
5.5) também utilizado na solução no domínio do tempo. A amplitude do deslocamento
devido às componentes flutuantes, para cada modo de vibração, é determinada com:
(5.7)
onde
e
.
Finalmente, o deslocamento do nó no modo é dado por:
(5.8)
5.6. Deslocamentos no tabuleiro sob ação de vento turbulento
5.6.1. Resultados para a componente de velocidade média
A velocidade média de projeto é calculada tomando-se um intervalo de tempo de
600 segundos, no qual a velocidade mantém-se constante. A expressão é a mesma da
52
análise estática , mas os parâmetros , e para o cálculo de não
consideram o intervalo de tempo estimado por (4.18), mas o tempo de 600 s:
(5.9)
As forças características são: (ponte em serviço) e
(em fase construtiva).
As forças resultantes concentradas nos nós da estrutura discretizada são:
, e (em serviço);
, ; (em fase construtiva).
Os deslocamentos máximos no tabuleiro :
, e (em serviço);
, e (em fase construtiva).
5.6.2. Resultados para as componentes flutuantes - Solução no tempo
Conforme a metodologia descrita no subitem 5.5.1, são aplicadas as funções de
força de vento sobre o modelo em elementos finitos. As respostas obtidas são também
funções no tempo, em termos de deslocamentos, das quais são estimados os valores de
pico. A Tabela 5.5 apresenta os valores máximos retirados dos históricos de
deslocamentos da ponte em serviço (ver Figuras 5.10 e 5.11), que ocorrem no ponto de
ancoragem com o estai E13, por contribuição modal. As rotações axiais foram
desprezadas, pois os valores obtidos foram muito pequenos.
Tabela 5.5 – Deslocamentos máximos dos históricos sob componentes flutuantes, em serviço.
MODO
Deslocamento
lateral (cm)
Deslocamento
vertical (cm)
Em serviço
(na ancoragem do
estai E13)
1º modo 0,10 7,42
2º modo 2,92 0,06
3º modo 0,04 0,0
4º modo 0,0 0,51
5º modo 0,16 0,0
5 modos 3,10 7,51
53
Figura 5.10 – Histórico de deslocamentos laterais (em cm) do tabuleiro da ponte em serviço sob
ação do vento turbulento.
Figura 5.11 – Histórico de deslocamentos verticais (em cm) do tabuleiro da ponte em serviço
sob ação do vento turbulento.
De modo semelhantes, as Figuras 5.12 a 5.14 ilustram os deslocamentos laterais
e verticais do tabuleiro da ponte em fase construtiva avançada, que ocorrem na
extremidade livre do tabuleiro em balanço. A Tabela 5.6 reúne os valores máximos
retirados dos históricos, por contribuição modal.
Tabela 5.6 – Deslocamentos máximos dos históricos sob componentes flutuantes,
em fase construtiva.
MODO
Deslocamento
lateral (cm)
Deslocamento
vertical (cm)
Em fase construtiva
avançada
(na extremidade em
balanço)
1º modo 16,67 0,0
2º modo 0,0 6,95
3º modo 0,0 0,0
4º modo 0,0 1,51
5º modo 0,22 0,0
5 modos 16,60 7,36
54
Figura 5.12 – Histórico de deslocamentos laterais (em cm) do tabuleiro da ponte em fase
construtiva avançada sob ação do vento turbulento.
Figura 5.13 – Histórico de deslocamentos verticais (em cm) do tabuleiro da ponte em fase
construtiva avançada sob ação do vento turbulento.
Figura 5.14 – Deslocamentos (em cm) verticais e laterais da extremidade em balanço do
tabuleiro da ponte em fase construtiva avançada.
Os valores de pico dos deslocamentos devidos às componentes flutuantes são
obtidos a partir do desvio padrão das respostas no domínio do tempo e o fator de pico ,
segundo as expressões (5.10).
(5.10.a)
55
(5.10.b)
onde: é o fator de pico dado pela expressão (5.10);
é o número de ciclos da resposta;
e são os desvios padrões das respostas no tempo.
(5.11)
Tabela 5.7 – Deslocamentos de pico sob componentes flutuantes (solução no tempo).
MODO
Deslocamento
lateral (cm)
Deslocamento
vertical (cm)
Em serviço
(na ancoragem do
estai E13)
1º modo 0,0 3,55 . 1,90 = 6,73
2º modo 3,47 . 0,77 = 2,60 3,37 . 0,01 = 0,05
3º modo 3,36 . 0,01 = 0,03 0,0
4º modo 0,0 3,70 . 0,15 = 0,56
5º modo 3,55 . 0,04 = 0,15 0,0
5 modos 3,47 . 0,80 = 2,76 3,55 . 1,89 = 6,71
Em fase construtiva
avançada
(na extremidade em
balanço)
1º modo 3,12 . 5,63 = 17,55 0,0
2º modo 0,0 3,43 . 1,98 = 6,79
3º modo 0,0 0,0
4º modo 0,0 3,56 . 0,40 = 1,43
5º modo 3,49 . 0,06 = 0,22 0,0
5 modos 3,12 . 5,62 = 17,52 3,43 . 2,01 = 6,88
Embora os valores de pico da Tabela 5.7 sejam uma estimativa mais apropriada
(e geralmente mais conservadora) para projeto, não são muito distantes dos máximos
retirados diretamente dos históricos de deslocamentos apresentados nas Tabelas 5.5 e
5.6.
5.6.3. Resultados para as componentes flutuantes - Solução em frequência
A seguir são apresentados os deslocamentos obtidos do programa de solução no
domínio da frequência, descrito no subitem 5.5.2. As Figuras 5.15 a 5.17 ilustram as
funções de densidade espectral da força modal, de admitância mecânica e de densidade
56
espectral da amplitude de resposta, todos em escala logarítmica, referentes à
determinação dos deslocamentos verticais do tabuleiro da ponte em serviço, para o
primeiro modo de vibração. As amplitudes resultantes e os deslocamentos máximos
(determinados pela equação 5.8) até o 5º modo são apresentados na Tabela 5.8.
Figura 5.15 – Densidade espectral da ação dinâmica em escala logarítmica.
Figura 5.16 – Função de admitância mecânica em escala logarítmica.
Figura 5.17 – Densidade espectral da amplitude de resposta em escala logarítmica.
57
Tabela 5.8 – Deslocamentos máximos sob componentes flutuantes (solução em frequência).
MODO Amplitude
(cm) Deslocamento
lateral (cm)
Deslocamento
vertical (cm)
Em serviço
(na ancoragem
do estai E13)
1º modo 3,13 . 2,53 =
7,92 0,11 7,92
2º modo 3,28 . 1,38 =
4,53 4,53 0,36
3º modo 0,0 0,0 0,0
4º modo 3,02. 0,23 =
0,70 0,0 0,08
5º modo 2,98 . 0,05 =
0,15 0,05 0,0
Em fase
construtiva
avançada
(na extremidade
em balanço)
1º modo 3,20 . 6,85 =
21,92 21,92 0,17
2º modo 3,37 . 2,34 =
7,89 0,12 7,89
3º modo 0,0 0,0 0,0
4º modo 0,0 0,0 0,0
5º modo 3,17 . 0,07 =
0,22 0,0 0.07
Os deslocamentos possuem uma diferença de até ~30% com relação aos obtidos
no domínio do tempo. Tal como no subitem anterior, os deslocamentos nos dois
primeiros modos apresentaram as maiores amplitudes.
5.6.4. Respostas totais
A Tabela 5.9 resume os deslocamentos totais no tabuleiro, obtidos da soma da
parcela devida às componentes flutuantes do vento com aquela devida à componente
(subitem 5.6.1).
e
(5.12)
Tabela 5.9 – Deslocamentos totais da análise dinâmica.
Deslocamento
lateral (cm)
Deslocamento
vertical (cm)
solução no tempo solução em
frequência solução no tempo
solução em
frequência
Em
serviço
2,45 + 2,60
= 5,05
2,45 + 4,53
= 6,98
0,82 + 6,73
= 7,55
0,82 + 7,92
= 8,74
Em fase
construtiva
avançada
6,68 + 17,55
= 24,23
6,68 + 21,92
= 28,60
0,50 + 6,79
= 7,29
0,50 + 7,89
= 8,39
58
Nota-se que todos os resultados apresentados na Tabela 5.9 superaram os
deslocamentos obtidos da aplicação das cargas estáticas calculadas segundo o item 4
da NBR 6123, confirmando que a estrutura responde dinamicamente à ação de vento
turbulento.
As contribuições dos dois primeiros modos representaram quase integralmente
os deslocamentos totais obtidos por superposição modal e se manifestaram
principalmente nas direções vertical e lateral. As pequenas rotações podem ser
atribuídas à grande rigidez à torção da viga celular.
As amplitudes de deslocamento na fase construtiva são maiores do que as
estimadas em ELU para a ponte em serviço, confirmando a influência da rigidez do
sistema nas frequências naturais de vibração e na suscetibilidade de uma estrutura a
ações dinâmicas.
5.6.5. Resposta segundo os procedimentos do Eurocódigo
Conforme descrito no subitem 4.4.2, a norma europeia fornece ferramentas de
estimativa da resposta dinâmica apenas no sentido longitudinal do vento. Na ponte em
estudo, estes procedimentos só são úteis na determinação das amplitudes de oscilação
do tabuleiro em fase construtiva avançada, onde foram observadas vibrações no modo
de flexão lateral. As expressões (4.21) a (4.26) resultam nos seguintes valores:
a. Procedimento 1
Fatores de resposta não ressonante e ressonante: e
Fator de pico:
Intensidade de turbulência:
→
b. Procedimento 2
Fatores de resposta não ressonante e ressonante: e
Fator de pico:
Intensidade de turbulência:
→
Estimativas compatíveis com os resultados apresentados segundo as análises
dinâmicas: 24,23 cm e 28,60 cm.
59
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este Projeto de Graduação procurou apresentar os principais conceitos
necessários à análise de um tabuleiro de ponte sob ação da turbulência de vento e
desenvolveu um estudo aplicado a uma ponte existente, através de duas soluções
numéricas – nos domínios do tempo e da frequência – e dos procedimentos de cálculo
manual indicados pelas normas NBR 6123 e EN-1991-1-4.
Em face das análises realizadas sobre a Ponte do Saber, fica evidente a
importância dos efeitos dinâmicos do vento no projeto estrutural. No entanto, todos os
resultados foram baseados em coeficientes aerodinâmicos de uma seção transversal que
não representa a aerodinâmica do tabuleiro da Ponte do Saber. Desse modo, os
deslocamentos apresentados no capítulo 5 servem apenas para fins de estudo neste
trabalho. Deve-se destacar os seguintes pontos:
O tabuleiro respondeu dinamicamente à ação de vento turbulento, apresentando
oscilações superiores aos deslocamentos estáticos obtidos a partir do item 4 da
norma brasileira;
Foi constatado que tanto a NBR 6123 quanto o Eurocódigo EN 1991-1-4
possuem limitações na determinação da resposta dinâmica de estruturas sob ação
de turbulência. Para a ponte em fase construtiva avançada, na qual o modo de
vibração preponderante é em flexão lateral (na direção longitudinal do vento) os
procedimentos do Eurocódigo foram suficientes na estimativa dos
deslocamentos máximos. Já para a ponte em serviço, a norma europeia não
fornece procedimento de cálculo direto para as amplitudes de deslocamento no
sentido vertical. A NBR 6123 não aborda comportamento de tabuleiros de ponte;
Embora a componente de velocidade tenha amplitudes inferiores à flutuação
no sentido longitudinal do vento , a ponte completa apresentou maiores
oscilações no modo flexão vertical, com amplitudes seis vezes superiores aos
deslocamentos obtidos segundo a análise estática. Destaca-se que na expressão
da força flutuante vertical, a parcela dependente da componente de velocidade
60
é dominante em razão do valor da derivada do coeficiente de sustentação com
relação ao ângulo de ataque ser bem maior do que os outros coeficientes;
Os valores obtidos das duas soluções (nos domínios do tempo e da frequência)
apresentaram correlação aceitável, com erros de até ~30%, que podem ser
atribuídos às incertezas na metodologia adotada na geração dos históricos de
velocidade de vento. Neste trabalho, foi utilizada a geração segundo Buchholdt
et al., apresentada na referência [10]. A fim de melhorar a comparação entre os
resultados, pode-se futuramente adotar o procedimento descrito na referência
[7], que obteve boa correlação para um exemplo de chaminé sob ação de vento;
A solução no domínio da frequência permite estimar diretamente a amplitude
modal de pico de resposta em termos de deslocamentos com a solução de um
duplo somatório, o que faz esta análise ser mais rápida do que a realizada no
domínio do tempo. No entanto, a determinação das respostas em termos de
esforços necessita de outros procedimentos que não foram abordados neste
trabalho;
A solução no domínio do tempo, apesar de consistir num procedimento mais
trabalhoso, pode fornecer também valores de acelerações, velocidades, reações
de apoio, esforços seccionais e tensões, além dos resultados em termos de
deslocamentos apresentados;
A construção do modelo numérico computacional completo da estrutura foi
fundamental em ambas as soluções, tanto na integração das funções de força
para solução no tempo quanto na determinação das propriedades modais da
estrutura para a solução em frequência.
61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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devidas ao vento em edificações, Rio de Janeiro.
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da Ponte Estaiada sobre o Canal do Cunha,Controllato - Projeto, Monitoração e
Controle de Estruturas Ltda., Rio de Janeiro.
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UFRGS, Porto Alegre.
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edição, editora da UFRGS, Porto Alegre.
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62
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Saber, Rio de Janeiro.
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Doutorado COPPE/UFRJ.
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