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1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas

A(1, 3); B(–4, –2); C(–1, 3); D(3, –4) e .

1.1. Determine a de modo que os pontos A e E sejam coincidentes.

1.2. Indique as coordenadas da imagem do ponto:

1.2.1. A pela reflexão de eixo Ox;

1.2.2. B pela reflexão de eixo Oy;

1.2.3. C pela reflexão de centro O, a origem do referencial.

1.3. Represente os pontos A, B e C e desenhe o triângulo [ABC].

Determine a sua área.

2. Determine o declive da reta que passa pelos pontos:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

3. Indique o declive e a ordenada na origem de cada uma das retas.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5.

4. Represente no mesmo referencial, ortogonal e monométrico, as retas cujas equações são:

; ; e

Ficha de revisão 3Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Ficha de revisão 3Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano


Professor / /20

Ficha de revisão 3

5. Considere as retas r, s, t e p representadas no referencial ortogonal e monométrico da figura.

Escreva a equação reduzida de cada uma das retas.

6. Resolva cada um dos sistemas de equações.

6.1.

6.2.

6.3.

7. Resolva, em , cada uma das equações do 2.º grau.

Comece por escrever uma expressão equivalente à expressão do 1.º membro da equação na

forma , onde a, d e e são números reais e a é diferente de zero, ou seja, use o método de completar o quadrado.

7.1.

7.2.

7.3.

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano


Professor / /20

Miniteste 1 (20 min)

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(–2 , 2), B(5 , –1) e C(4 , 6).

1.1. Classifique o triângulo [ABC] quanto à medida do comprimento dos lados.

1.2. Determine o valor exato do comprimento do segmento de reta [DE], sendo:

D o ponto médio do segmento [AB]; E o ponto médio do segmento [AC].Apresente o valor pedido com denominador racional.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o hexágono regular [ABCDEF], do qual a origem do referencial é o seu centro. Sabe-se ainda que dois dos seus vértices estão sobre o eixo das abcissas.Determine as coordenadas de todos os vértices do hexágono, admitindo que a medida de comprimento do seu lado é igual a duas unidades.

Item de seleção

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(5 , 3) e B(–4 , 2).

A distância do ponto médio do segmento de reta [AB] à origem do referencial é igual a:

(A) (B) (C) (D)

Item de construção

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o quadrilátero [ABCD] cujos vértices são os pontos de coordenadas A(4 , 2), B(–4 , 2), C(–5 , –2) e D(5 , –2).

2.1. Represente o quadrilátero [ABCD] no referencial e classifique-o.

2.2. Determine a área e o perímetro do quadrilátero [ABCD].



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Questão-aula 1



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1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(–3 , –4), B(–1 , 2)

e .

1.1. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].

1.2. Determine a equação reduzida da circunferência de centro no ponto C e que passa pelo ponto B.

1.3. Determine o valor exato da área do quadrado de que o segmento de reta [AC] é uma diagonal.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a

elipse centrada na origem, de focos e de que P é um dos seus pontos. Sabe-se, ainda, que:

● ● é um ponto da elipse.

Determine a equação reduzida da elipse.

Item de seleção

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de equação

. Admita que são as coordenadas do centro dessa

circunferência, onde a e b são dois números reais. A expressão é igual a:

(A) (B) (C) (D)

Item de construção2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, dois números reais a e b e os

pontos .

2.1. Prove que a distância entre os pontos A e B é igual a 5.

2.2. Considere a = 1 e b = –2.

2.2.1. Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].



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Questão-aula 2

Teste de avaliação 1

2.2.2. Admita que [AB] é a altura de um triângulo equilátero. Determine o valor exato da área desse triângulo. Apresente o valor pedido com denominador natural.



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1. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas condições.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de centro C(5 , 0), o ponto A(2 , 0) pertencente à circunferência e as retas horizontas r e t.

2.1. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.

2.2. Sejam P e Q os pontos tais que:

P é o ponto de menor abcissa que pertence simultaneamente à reta r e à circunferência;

Q é o ponto de maior abcissa que pertence simultaneamente à reta t e à circunferência.

Determine o valor exato da medida do comprimento do segmento de reta [PQ].

Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(0 , 2), B(–3 , 1) e

, onde a é um número real.Os valores de a para os quais o ponto P pertence ao semiplano fechado inferior em relação à mediatriz do segmento de reta [AB] são:

(A) (B) (C) (D)



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Questão-aula 3


Item de construção2. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas

condições.

2.1. 2.2. 2.3.



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1. Na figura está representado um octógono [ABCDEFGH], o qual foi dividido em quatro quadrados iguais.

Utilizando as letras da figura, indique dois vetores com:

1.1. a mesma direção e sentidos opostos;

1.2. simétricos;

1.3. a mesma norma que o vetor ;

1.4. colineares com comprimentos diferentes.

2. Na figura está representado um losango [EFGH] inscrito num retângulo [ABCD], sendo O o ponto de interseção das diagonais do losango [EFGH].

Determine o vetor resultante de cada uma das somas com origem no ponto A.

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

Item de seleção

1. Relativamente a dois pontos, P e T, e um vetor , sabe-se que . Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) (B) (C) (D)


2. Considere os vetores tais que , e

.



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Questão-aula 4


2.1. Determine tal que .

2.2. Prove que os vetores são colineares.



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1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os vetores e

. Determine as coordenadas do vetor:

1.1. tal que ; 1.2. tal que .

2. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e

.

2.1. Determine as coordenadas do vetor tal que .

2.2. Determine . Compare os resultados obtidos.

Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos , e

. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) Os vetores são colineares.

(B)

(C)

(D) Não é verdade que os vetores não sejam colineares.

Itens de construção2. Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos ,

e são vértices de um paralelogramo.Verifique se o paralelogramo [PQRS] é, ou não, um retângulo.

3. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e

.



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Questão-aula 5


3.1. Determine as coordenadas do vetor colinear a , de sentido contrário e de norma

.

3.2. Determine as coordenadas de um ponto P tal que .



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1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas,

respetivamente, por

1.1. Mostre que a equação reduzida da reta r é .

1.2. Determine a abcissa do ponto da reta s cuja ordenada é –2.

1.3. Mostre que r e s definem a mesma reta.

Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos A(–3 , 4) e B(5 , –2).

Qual das seguintes equações não define uma equação da reta AB?

(A) (B)

(C) (D)


2. Considere, num referencial cartesiano do plano, a reta s definida por .

Determine uma equação da circunferência tangente ao eixo Ox cujo centro é o ponto da reta s de ordenada igual a metade da abcissa.

Questão-aula 6Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano


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Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

1. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações cartesianas, cada um dos conjuntos de pontos do plano.

1.1. Pontos que distam igualmente dos pontos A(–2 , 1) e B(3 , –5)

1.2. Pontos cuja distância ao ponto é igual a

1.3. Pontos cuja soma das medidas das distâncias aos pontos é iguala 15

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos

e .

2.1. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo.

2.2. Determine o valor exato do perímetro e da área do triângulo [ABC].

3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as circunferências , cujas equações são:

3.1. Identifique o valor lógico da seguinte proposição:

p: Se a circunferência tem centro no ponto de coordenadas , então o seu raio é igual a 1.

3.2. Considere que os pontos A e B são respetivamente o centro da circunferência e o

centro da circunferência .

Determine o valor exato da medida do segmento de reta [AB].

4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o polígono definido

analiticamente pela condição .

Represente geometricamente esse polígono e determine o valor exato da medida da sua área.

5. Identifique e defina analiticamente, por meio de uma condição, cada um dos conjuntos de pontos no plano.

5.1. Pontos cuja distância ao ponto A(–2 , 3) é menor que a distância ao ponto B(1 , 4)


5.2. Pontos cuja distância ao ponto A(1 , 2) é dupla da distância ao ponto B(4, 2)


6. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas seguintes condições.

6.1.

6.2.

7. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e um triângulo [ABC] cujos vértices são os pontos A(0 , –1) , B(4 , –2) e C(2 , 3).

Defina, por meio de uma condição, o triângulo [ABC].

8. Na figura encontram-se dois segmentos orientados que representam os

vetores .

Construa o vetor:

8.1. resultante da soma de com o simétrico de ;

8.2. tal que .

9. Na figura está representado um paralelogramo [ABCD], o qual foi dividido em quatro

paralelogramos iguais e os vetores .

Utilizando letras da figura indique todos os representantes de:

9.1. 9.2. 9.3.

9.4. 9.5.

10. Simplifique.

10.1.

10.2.


11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos ,

onde a é um número real.

11.1. Exprima as coordenadas do vetor em função de a.

11.2. Determine o valor de a para que o quadrilátero [ABCD] seja um paralelogramo.

12. O ponto P de coordenadas pertence à reta de equação .

Determine as coordenadas do ponto P.

13. Considere, num referencial cartesiano do plano, os pontos .

13.1. Escreva uma equação vetorial do segmento de reta [AB].

13.2. Mostre que o ponto pertence à reta AB mas não pertence à semirreta de

equação , com .

14. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, o quadrado [ABCD] e os pontos E e F, respetivamente, ponto médio do lado [BC] e ponto médio do lado [CD].

14.1. Seja P o ponto de interseção dos segmentos [AF] e [ED].

Determine as coordenadas do ponto P.

14.2. Defina por meio de uma condição a região sombreada.

15. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferência de

centro A definida pela equação , os pontos B e C de interseção da circunferência com o eixo Oy e o ponto D de interseção da circunferência com o eixo Ox e de abcissa negativa.

15.1. Determine as coordenadas dos pontos B, C e D.


15.2. Determine um sistema de equações paramétricas que defina a reta CD.

15.3. Calcule a área do triângulo [BCD].



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Teste de avaliação 3 (90 min)

1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferência de equação

.

A área do quadrado inscrito nesta circunferência é igual a:

(A) 8 (B) 16 (C) 24 (D) 32

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos

O ponto M é o ponto médio do segmento de reta [AB].

Quais são as coordenadas do ponto B?

(A) (15 , –4) (B) (14 , –6) (C) (13 , –8) (D) (–7 , 3)

3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado os pontos

e . O triângulo [ABC] é:

(A) retângulo e não isósceles (B) retângulo e isósceles

(C) equilátero (D) isósceles e não retângulo

4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos e .

Em qual dos seguintes referenciais ortonormados está representado o simétrico do segmento de reta [AB] relativamente à reflexão do eixo Ox?

(A) (B)

(C) (D)


5. Na figura estão representados os vetores .

Qual das seguintes afirmações pode ser verdadeira?

(A) (B)

(C) (D)

6. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o triângulo [ABO] e a circunferência inscrita neste, como mostra a figura seguinte.

Sabe-se, ainda, que:

o triângulo [ABC] é retângulo em O;

o raio r de uma circunferência inscrita num triângulo cujos lados tenham a, b e c

unidades de medida, pode ser calculado utilizando a fórmula , onde p é o semiperímetro do triângulo.

6.1. Determine o raio da circunferência inscrita no triângulo [ABC].

6.2. Escreva a equação reduzida da circunferência inscrita no triângulo [ABC].

7. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equação

e a circunferência de centro no ponto , onde b é maior que zero e raio igual a a unidades.

7.1. Prove que a circunferência passa pelos focos da elipse.

7.2. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.


8. Na figura está representado um hexágono não regular [ABCDEF], o qual foi dividido em 11 quadrados iguais.

8.1. Determine:

8.1.1.

8.1.2.

8.1.3.

8.2. Determine o valor real de de modo que cada uma das afirmações seja verdadeira.

8.2.1.

8.2.2.

8.3. Admita que . Determine:

8.3.1.

8.3.2.

9. Considere dois vetores tais que:

Seja o vetor tal que .

Mostre que .


10. Na figura estão representados um retângulo [ABCD] e um triângulo [EFG].

Sabe-se, ainda que:

● G é o ponto médio do lado [BC] do retângulo;

● os pontos E e F pertencem ao lado [AD] do retângulo;

●

Fixado um certo referencial ortonormado, tem-se que:

10.1. Determine as coordenadas do ponto B, do ponto E, do ponto F e do ponto G.

10.2. Determine uma equação da circunferência de diâmetro [AD].

10.3. Determine o valor exato da área da região sombreada.

11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida por:

Sabe-se, ainda, que:

● o ponto C é o centro da circunferência;

● o ponto A tem coordenadas e pertence à circunferência;

● a reta t é tangente à circunferência no ponto A.

11.1. Determine a equação reduzida da reta AC.

11.2. Considere a afirmação:

O produto dos declives de duas retas perpendiculares é igual a –1.

Determine a equação reduzida da reta t.

11.3. Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta t que passa pelo ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, que tem ordenada positiva.

11.4. P e Q são dois pontos da circunferência.

A área da região sombreada é .

Indique, justificando, a amplitude do ângulo QCP e, em seguida, determine o valor exato da área do triângulo [QCP].

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