CÁLCULO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS DE VIGAS

RECTANGULARES DE BETÃO ARMADO SUJEITAS A FLEXÃO SIMPLES PLANA

DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 2

E. JÚLIO Professor Auxiliar DEC FCTUC Coimbra

SUMÁRIO

Neste artigo apresentam-se expressões de cálculo de vigas de betão armado de secção rectangular sujeitas a flexão plana, seguindo a metodologia proposta em 1985 por D’Arga e Lima et al. mas introduzindo as actualizações necessárias para ter em conta as 14 classes de resistência de betão e as diferenças na curva parábola-rectângulo consideradas no Eurocódigo 2 (Abril 2004) face ao REBAP.

ABSTRACT (SUMÁRIO EM INGLÊS)

In this paper are presented design expressions for reinforced concrete beams with rectangular cross-section subjected to pure bending, following the methodology proposed in 1985 by D’Arga e Lima et al. but introducing the necessary improvements to take into account the 14 strength classes of concrete and the differences in the parabola-rectangle curve considered in Eurocode 2 (April 2004) relatively to REBAP.

1. INTRODUÇÃO

Em 1985 D’Arga e Lima et al. publicaram um documento [1] de extrema importância para os projectistas de estruturas, no qual são fornecidos, na forma de tabelas/ábacos e de fórmulas simplificadas, meios de dimensionamento de armaduras para Estado Limite Último (ELU) de elementos de betão armado sujeitos a flexão, simples e composta, plana e desviada. Os valores e as expressões apresentados são baseados nos critérios de dimensionamento constantes no Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado (REBAP) [2] de 1983, ainda em vigor, e para as classes de betões e tipos de aço aí definidos. Tendo em consideração a iminente substituição dos regulamentos nacionais de dimensionamento de estruturas pelos eurocódigos, que se prevê ter lugar até 2010, e atendendo às diferenças significativas entre estes, torna-se necessário proceder a actualizações dos meios de cálculo desenvolvidos com base nos primeiros. A substituição do REBAP pelo Eurocódigo 2 (EC 2) [3] implica reformulações profundas para atender a algumas diferenças fundamentais nos pressupostos de cálculo referindo-se, seguidamente, as mais relevantes relativas aos materiais. Como resultado do desenvolvimento registado na formulação de betões nos últimos anos, as 9 classes de resistência consideradas no REBAP deram lugar a 14 no EC 2, passando o máximo valor característico da resistência à compressão de 50 MPa para 90 MPa. Como os betões de elevada resistência exibem relações tensão-extensão diferentes das dos betões correntes, no EC 2, embora sendo apresentado um diagrama parábola-rectângulo semelhante ao do REBAP, é de referir a diferença nos valores da extensão última e da extensão de transição do troço parabólico para o rectangular. De salientar ainda o facto do EC 2 não afectar do coeficiente 0,85 o valor de cálculo da tensão de rotura do betão, fcd, ao contrário do REBAP, onde esta correcção é definida para ter em conta o efeito de diminuição da capacidade resistente sob carga constante. No que respeita ao aço, em ambos os regulamentos são considerados 3 tipos, embora no caso do REBAP os valores característicos da tensão de cedência sejam 235, 400 e 500 MPa e, no caso do EC 2, sejam 400, 500 e 600 MPa. De salientar ainda uma diferença fundamental na extensão última que, no primeiro caso, é de 10 ‰ e que, no segundo, admitindo um diagrama de cálculo elástico-perfeitamente plástico, não tem limite, o que implica que a rotura seja sempre pelo betão. Com o presente artigo, reconhecendo a utilidade da publicação do LNEC [1], pretende-se dar um contributo para a sua actualização, nomeadamente definindo os valores limite de α, μ e ω acima dos quais a rotura é frágil ou a partir dos quais é mais racional armar duplamente uma secção rectangular de betão armado sujeita a flexão simples plana, de acordo com o EC 2. Apresentam-se ainda expressões de cálculo das armaduras de tracção e de compressão, em função dos valores limite anteriormente referidos ou de valores limite definidos pelo projectista, constituindo deste modo um meio de cálculo mais flexível do que as “fórmulas simplificadas” apresentadas em [1], com a vantagem acrescida dos resultados serem mais rigorosos. 2. DIAGRAMAS PARÁBOLA-RECTÂNGULO DO EC 2 Apresentam-se os diagramas parábola-rectângulo definidos no EC 2 para as 14 classes de resistência de betões de densidade normal. De referir ainda que são considerados, na Secção 11 do EC 2, betões

de densidades reduzidas (desde 1,0 até 2,0), sendo necessário, nestes casos, corrigir os correspondentes diagramas de cálculo. No presente artigo não são incluídos estes betões, remetendo-se para [4] os leitores interessados no seu estudo. O diagrama parábola-rectângulo, apresentado no EC 2 para dimensionamento de secções de betão armado para ELU, é definido pelas seguintes expressões:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

n

c

ccdc f

211

εε

σ para 20 cc εε ≤≤ (1)

cdc f=σ para 22 cucc εεε ≤≤ (2)

No Quadro 1 indicam-se os valores característico e de dimensionamento da tensão de rotura à compressão do betão, assim como os valores da extensão de transição do troço parabólico para o rectangular, εc2, da extensão última, εcu2, e do expoente, n, necessários à definição do diagrama parábola-rectângulo, para cada uma das classes de resistência consideradas no EC 2, os quais são representados na Figura 1.

Quadro 1 – Parâmetros da expressão do diagrama parábola-rectângulo do EC 2

Classes 12/15 a 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

fck(MPa) 12~50 55 60 70 80 90

fcd(MPa) 8,0~33,3 36,7 40,0 46,7 53,3 60,0

εc2(‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

εcu2(‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6

n 2 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4

A partir da expressão do diagrama parábola-rectângulo do EC 2 podem deduzir-se as correspondentes expressões da resultante das tensões, Fc, soma das resultantes dos troços rectangular (Fc1) e parabólico (Fc2), e respectiva posição da sua linha de acção. Para secções rectangulares, de largura b, sujeitas a flexão plana, assumindo a posição do eixo neutro a uma distância x da fibra mais comprimida, tem-se:

xbfFcu

ccucdc ⋅⋅

−⋅=

2

221 ε

εε (3)

xbn

nfFcu

ccdc ⋅⋅⋅

+⋅=

2

22 1 ε

ε (4)

xbn

fFFFcu

ccdccc ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⋅=+=

2

221 1

11εε (5)

0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

σ (MPa )

ε

C90/105C80/95C70/85C60/75

C55/67

C12/15 C50/60

Figura 1 – Diagramas parábola-rectângulo do EC 2

As extensões ao nível das linhas de acção das resultantes Fc1 e Fc2 são, respectivamente:

2

221

cucG

εεε += (6)

22 423

cG nn εε

++

= (7)

Sendo c a distância da linha de acção da resultante à fibra mais comprimida, vem:

21

222

211

cc

cuGc

cuGc

FF

xFxFcx

+

⋅⋅+⋅⋅=−

εε

εε

(8)

Substituindo (3), (4), (6) e (7) em (8) obtém-se:

( )( )

x

n

nnc

cu

c

cu

c

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−−=

2

2

2

2

2

111

211

21

1

εε

εε

(9)

As expressões (5) e (9) podem ser reescritas da seguinte forma:

xbkfF cdc ⋅⋅⋅= 1 (10) xkc ⋅= 2 (11) apresentando-se, no Quadro 2, os valores dos coeficientes k1 e k2, para cada uma das classes de resistência consideradas no EC 2. Quadro 2 – Coeficientes para determinação da resultante do diagrama parábola-rectângulo do EC 2

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583

k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353

3. VALORES ADIMENSIONAIS DA ÁREA DE ARMADURA E DO MOMENTO RESISTENTE É habitual utilizar valores adimensionais da área da armadura longitudinal de flexão, As, e do momento resistente, MRd, de uma secção transversal de betão armado, os quais se designam por, respectivamente, percentagem mecânica de armadura, ω, e momento resistente reduzido, μ, podendo ser determinados através das seguintes expressões:

cd

yds

bdffA

=ω (12)

cd

Rd

fbdM

2=μ (13)

Em flexão simples plana, para secções simplesmente armadas, a resultante de tracção na armadura iguala a resultante de compressão no betão pelo que o numerador de (12) pode ser substituído pela expressão (10). Sendo ainda α a relação entre a posição do eixo neutro, x, e a altura útil da secção, d, tem-se: αω ⋅= 1k (14) O momento resistente pode ser definido, neste caso, como o binário constituído pelas resultantes de tracção na armadura e de compressão no betão. Substituindo o numerador de (13) pelo produto da resultante de compressão no betão, dada por (10), pelo braço do binário, dado pela diferença entre a altura útil da secção, d, e a distância da linha de acção da resultante de compressão no betão à fibra mais comprimida, c, dada por (11), tem-se: ( )ααμ ⋅−⋅⋅= 21 1 kk (15)

4. VALORES LIMITE PARA ARMAR SIMPLESMENTE SECÇÕES RECTANGULARES Uma das situações limite, consideradas em [1], é a fronteira entre rotura frágil e rotura dúctil, ou seja, consiste em admitir um diagrama de extensões na secção em que a fibra mais comprimida de betão apresenta a extensão última e a armadura de tracção assume a extensão de cedência, sendo:

ydcu

culim εε

εα+

=2

2 (16)

Introduzindo (16) em (14) e (15) obtêm-se as correspondentes expressões de cálculo dos valores limite da percentagem mecânica de armadura e de momento resistente reduzido, respectivamente:

ydcu

culim k

εεεω

+⋅=

2

21 (17)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅−⋅

+⋅=

ydcu

cu

ydcu

culim kk

εεε

εεεμ

2

22

2

21 1 (18)

apresentando-se, no Quadro 3, os valores para cada classe de resistência de betão e tipo de aço.

Quadro 3 – Valores de αlim, ωlim e de μlim entre rotura frágil e dúctil Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599 ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350

S400

μlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276 αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545 ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318

S500

μlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257 αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499

ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291

S600

μlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240

Outra situação limite, igualmente considerada em [1], representa a fronteira a partir da qual é mais racional armar duplamente a secção. Para uma secção simplesmente armada, tem-se: ( )cdfAM ydsRd −⋅⋅= (19)

Derivando esta expressão em ordem a As, pode determinar-se o incremento de momento resistente com o aumento de armadura de tracção:

( )[ ]cdfAdAd

dAdM

ydsss

Rd −⋅⋅= (20)

Substituindo na expressão anterior c pelo valor dado por (11), tem-se:

( )[ ]xkdfAdAd

dAdM

ydsss

Rd2−⋅⋅= (21)

Atendendo a que: ccdydss FxbkffAF =⋅⋅⋅=⋅= 1 (22)

a expressão (21) pode ser reescrita na seguinte forma:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅=

bkffA

kdfAdAd

dAdM

cd

ydsyds

ss

Rd

12 (23)

vindo:

[ xkdfbkf

fAkdf

dAdM

ydcd

ydsyd

s

Rd ⋅⋅−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅= 2

12 22 ] (24)

Se o aumento de armadura for distribuído igualmente pelas faces traccionada e comprimida da secção, tem-se que:

( adfAM yds

Rd −⋅⋅=2

ΔΔ ) (25)

sendo a a distância da fibra mais comprimida da secção ao centro de gravidade da armadura de compressão. A partir de (25) pode definir-se:

( adfdA

dMyd

s

Rd −⋅⋅=21 ) (26)

Para que seja mais racional armar duplamente a secção, terá de se verificar a seguinte inequação, obtida de (24) e (26):

[ ] ( adfxkdf ydyd −⋅⋅<⋅⋅−⋅212 2 ) (27)

De onde vem que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=

da

klim 14

1

2α (28)

Substituindo (28) em (14) e (15) vem, respectivamente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=

da

kk

lim 14 2

1ω (29)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=

da

da

kk

lim 14111

4 2

1μ (30)

apresentando-se, no Quadro 4, os valores para cada classe de resistência de betão e três relações a/d:

Quadro 4 – Valores de αlim, ωlim e de μlim função da eficácia do posicionamento dos varões a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744 ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434 0,05 μlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320 αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779 ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455 0,10 μlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330 αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815

ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 0,15

μlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339

Comparando os valores do Quadro 3 com os do Quadro 4, verifica-se que: (a) para betões de classe superior a C50/60, a condicionante é sempre o limite entre rotura frágil e dúctil (Quadro 3); (b) para betões de classe inferior ou igual a C50/60 e aços S500 ou S600, a condicionante é a mesma (Quadro 3); (c) para betões de classe inferior a C50/60 e aço S400, a condicionante ainda é a mesma (Quadro 3), para a/d=0,15, passando a ser a eficácia do posicionamento das armaduras (Quadro 4), para a/d=0,10 e a/d=0,05. 5. EXPRESSÕES DE CÁLCULO DE ARMADURAS PARA SECÇÕES RECTANGULARES É útil, em várias situações práticas, poder determinar-se de forma expedita, ainda que aproximada, a área de armadura de tracção e de compressão, sem ter que recorrer a cálculo automático ou a tabelas/ábacos. Por este motivo, são apresentadas em [1] “fórmulas simplificadas”. Sendo limμμ ≤ , a secção será simplesmente armada. Substituindo (14) em (15) vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ωωμ

1

21kk (31)

podendo obter-se a expressão de cálculo da percentagem mecânica de armadura:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−−⋅=

21

1

2

2

1 4112

μωkk

kk (32)

Se limμμ > , a secção será duplamente armada. Admitindo que o acréscimo de momento reduzido,

limμμ − , é conseguido através da colocação de uma armadura de compressão e de um acréscimo de igual valor de armadura de tracção, mantendo-se a posição do eixo neutro inalterada relativamente à situação limite considerada, da expressão (25) pode obter-se:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅′=−⋅⋅

⋅⋅

′=−

daadf

fdbA

ydcd

s 12lim ωμμ (33)

de onde se obtém a expressão de cálculo da percentagem mecânica de armadura de compressão:

da

−

−=′

1

limμμω (34)

sendo a percentagem mecânica de armadura de tracção dada por: ωωω ′+= lim (35) De notar que as expressões de cálculo da percentagem mecânica de armadura propostas, (32), (34) e (35), além de actualizadas de acordo com o EC 2, apresentam algumas vantagens relativamente às “fórmulas simplificadas” de [1], nomeadamente: a expressão (32), para o caso de secções simplesmente armadas, é exacta; e as expressões (34) e (35), para secções duplamente armadas, permitem ao projectista utilizar os valores limite, dados nos Quadros 3 e 4, ou, em alternativa, utilizar valores limite definidos pelo próprio. Exemplificando, o projectista pode entender considerar, em lugar do valor dado por (16), o limite:

ydcu

culim m εε

εα⋅+

=2

2 (36)

sendo m um real superior ou igual a 1. Neste caso, substituindo (36) em (17) e (18), tem-se:

ydcu

culim m

kεε

εω⋅+

⋅=2

21 (37)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅−⋅

⋅+⋅=

ydcu

cu

ydcu

culim m

km

kεε

εεε

εμ2

22

2

21 1 (38)

Assim, caso o momento reduzido actuante seja superior ao valor dado por (38), é igualmente possível utilizar as expressões (34) e (35) para determinar as armaduras de tracção e de compressão, tendo o diagrama de extensões na rotura sido definido pelo projectista, em função da ductilidade pretendida.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS As alterações introduzidas pelo EC 2, relativamente ao REBAP, tornam obsoletos documentos de enorme importância para os projectistas de estruturas de betão armado, a menos que seja feito um esforço de actualização e melhoramento destes. Com o presente artigo, pretende-se dar um singelo contributo no que respeita ao dimensionamento de vigas de secção rectangular sujeitas a flexão plana simples, matéria abordada em [1]. Com a consideração de 14 classes de resistência de betão, o número de situações a considerar para a definição de valores limite para armar simples ou duplamente o tipo de vigas anteriormente referido, de acordo com o EC 2, aumentou substancialmente, relativamente ao REBAP. Além disso, com as diferentes curvas parábola-rectângulo, os valores fornecidos em [1] deixam de ser aplicáveis. Nos Quadros 3 e 4 apresentam-se os valores actualizados. Tendo em conta o facto de, actualmente, serem grandes as potencialidades das calculadoras de bolso, considerou-se justificável apresentar a expressão exacta de cálculo da percentagem mecânica de armadura, em lugar de uma fórmula simplificada, para o caso de secções simplesmente armadas: expressão (32). Para o caso de secções duplamente armadas, considerou-se mais interessante apresentar as expressões de cálculo da percentagem mecânica das armaduras de tracção e de compressão, (34) e (35), em função dos valores limite, podendo ser usados os valores tabelados nos Quadros 3 e 4 ou utilizados valores limite definidos pelo projectista. 7. REFERÊNCIAS [1] D’ARGA E LIMA, J., MONTEIRO, V., MUN, M., Betão Armado. Esforços Normais e de

Flexão (REBAP – 83), Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1985. [2] REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, Dec.-Lei N.º 349-

C/83 de 30 de Julho, 1983. [3] EN 1992-1-1, Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão. Parte 1-1: Regras gerais e regras

para edifícios, CEN, Abril 2004 (versão Portuguesa). [4] LOURENÇO, J., JÚLIO, E., MARANHA, P., Betões de Agregados Leves. Guia para a sua

Utilização, APEB, 2004. EDUARDO NUNO BRITO SANTOS JÚLIO. Professor no DEC FCTUC. Vice-Presidente do Conselho de Departamento, Vice-Presidente da Comissão Científica e Presidente da Coordenação do Mestrado em “Reabilitação do Espaço Construído”. Coordenador do Grupo “Structural Concrete” do Institute for Sustainability and Innovation in Structural Engineering (ISISE). Director da revista “Construção Magazine”. Especialista em “Estruturas” e vogal do Colégio de Engenharia Civil da Ordem dos Engenheiros. Consultor em reabilitação e reforço estrutural. Autor de uma patente e de cento e quarenta publicações técnico-científicas.