3VIGAS ESTRUTURAIS3.1Hipteses da teoria de viga de Euler BernoulliConsidera-seumavigadecomprimentoL,delarguraB,dealturaH,readaseotransversalAemomentodeinrciaI,sobreaqualatuaumasriedecargasverticaisemomentos contidos no plano xz, Figura 3.1 Oate (1992).A teoria de vigas de Euler Bernoulli compartilha das seguintes hipteses.1. Osdeslocamentosverticaisdetodosospontosdeumamesmaseotransversalsopequenos e iguaisao eixo da viga.2. O deslocamento lateral (segundo o eixo y nulo).3. Asseestransversaisnormaisaoeixodavigaantesdadeformao,permanecemplanas e ortogonais ao eixo aps a deformao. Figura 3.1 Viga convencional de Euler Bernoulli463.2 Hipteses da teoria de viga de TimoshenkoConsidera-seumavigadecomprimentoL,delarguraB,dealturaH,readaseotransversalAemomentodeinrciaI,sobreaqualatuaumasriedecargasverticaisemomentos contidos no plano xz, Figura 3.2 Oate (1992).A teoria de vigas de Timoshenko compartilha das seguintes hipteses.1. Osdeslocamentosverticaisdetodosospontosdeumamesmaseotransversalsopequenos e iguaisao o eixo da viga. 2. O deslocamento lateral (segundo o eixo y nulo). 3. As sees planas normais para o eixo da viga antes da deformao mantm-se planas,porm no necessariamente normais ao eixo depois da deformao, Figura 3.2.Figura3.2TeoriadeflexodevigasdeTimoshenko.Deformaodeumaretanormal linha neutra.47Estahipteserepresentaumamaioraproximaodadeformaorealdaseotransversal em vigas. Na medida que a relao entre o comprimentoL e alturaH aumenta, astensesdecisalhamentonadireodaalturatornam-seimportantesenopodemmaisserdesprezadas.NaFigura3.2ahiptesedeTimoshenkosupetomarumarotaomdianadireodaseoplananormalaoeixodaviga,demaneiraqueosefeitosprticospossamcontinuar sendo considerados planos.Da Figura 3.2 tem-se que a rotao da seo normal pode ser expressa por, + dxdw(3.1)na qualdx dw odeclivedadeformaodoeixodavigae umgiroadicionaldevidodeformaopor cortante, como podemos ver a seguir. O campo de deslocamento da viga se expressa da seguinte forma.) ( ) , , ( x z z y x u 0 ) , , ( z y x v (3.2)) ( ) , , ( x w z y x w Por outro lado, as Equaes (3.1) e (3.2) mostram que as deformaes no nulas so asseguintes:dxdzdxdux (3.3) + dxdwdzdudxdwxzna qual x a deformao normal xz a distoroConseqentemente,ateoriadeTimoshenkoconsideraoefeitodadeformaoporcortante transversal,coincidindo a magnitude dessa deformao com a rotao adicionaldanormal .48Asduastensesnonulas x e z x serelacionamcomascorrespondentesdeformaes, zEdxdzE Ex x (3.4)

,_

dxdwG Gxz xznaqualx atensonormal,Gomodulodeelasticidadetransversaledx d acurvatura do eixo da viga.Omomentofletoreoesforocortante,deacordocomossinaisdaFigura3.3,sodefinidos como, AxEIdxdEI dA z M (3.5) ,_

Axz xzGAdxdwGA dA Q Figura3.3 TeoriadevigasdeTimoshenko.Distribuiodetensesnormaise tangenciais.Convenodesinaisparaomomentofletoreoesforocortante.49AnalisandoadistribuiosupostadateoriadevigasdeTimoshenkoeadistribuioexatadastensesnormaisetangenciaisFigura3.3,observa-sequeavariaolineardastensesnormais x comalturaHnateoriadevigasdeTimoshenkocoincidecomadistribuio exata. Pelo contrario, a variao uniforme da tenso tangencial z x comaalturaHdateoriadevigasdeTimoshenkoestemcontradiocomadistribuioexata.Assim,considerando que a distribuio da tenso de cisalhamento ao longo da altura no uniforme,porm aproximadamente parablica introduz-se um fator ,xz xzG (3.6)xz xzG A G A Q * (3.7)na qual ocoeficientedeformaoudedistorodaseo,eA A *sedenominareareduzida.Na Figura 3.4 so apresentados os valores dos coeficientes de distoro que dependemda geometria da seo transversal.Figura3.4Valordocoeficientededistoro paratiposdiferentesdeseesde viga.3.2.1Princpio de trabalhos virtuaisOprincpiodostrabalhosvirtuaisouprincpiodosdeslocamentosvirtuaisestabelecequeotrabalhorealizadopelastensesinternasnadeformaovirtualdocorpoigualaotrabalhorealizadopelasforasexterioresnosdeslocamentosvirtuaisdosseuspontosdeaplicao Zienkiewicz (1988), Cook (2002).Deummodomaissimplescomumafirmarqueo trabalho interno de deformao igual ao trabalho externo das foras aplicadas.50Trabalho Interno = Trabalho Externo(3.8)Considerando,fiW = Trabalho interno associado flexociW = Trabalho interno associado cortanteeW = Trabalho externoDe acordo com a Equao (3.8) tem-se:fiW + ciW = eW (3.9)Com base no principio de trabalhos virtuais Azevedo (2003), Craig (1981),tem-se:[ ] + 11*11) (| | ] )[ ( ] [ | | ] )[ ( ] [ d J B GA B d J B EI B Kc T c f T f e(3.10)[ ] + 1111) (| | ] [ ] )[ ( | | ] [ ] )[ ( d J N N A d J N N I MT T e (3.11)Na qual[ ]) (eKe[ ]) ( eM somatrizesquadradas,simtricas,denominadasmatrizderigidez e matriz de massa do elemento, respectivamente.3.2.2 Elementos finitos para flexo de vigas de TimoshenkoNa figura abaixo se encontra representado um elemento de viga com dois ns.Figura 3.5Elemento de viga de Timoshenko de dois ns.OsdeslocamentosgeneralizadosdosnsdoelementofinitorepresentadonaFigura(3.5) so os seguintes:51{ };'2211wwa(3.12)A interpolao do deslocamentow e da rotao efetuado separadamente para cadaumadestasvariveis.Umavezque w e apresentamdoisvaloresnodaiscada,utilizadaaseguinte interpolao unidimensional com dois ns.2 2 1 1) ( ) ( ) ( w N w N w + (3.13)2 2 1 1) ( ) ( ) ( N N + (3.14)As Equaes (3.13) e (3.14) podem ser escritas na forma que se apresenta a seguir:[ ] { } ;'21) () () (ii ia Nw (3.15)Naqual[ ] ) (iN umamatriz ) 4 2 ( constitudadasfunesdeforma) (iNapresentadas nas Equaes (2.20) e (2.21),[ ]1]1

) ( 0 ) ( 00 ) ( 0 ) () (2 12 1 N NN NNi (3.16)e{ }ia uma matriz coluna) 1 4 ( constituda dos deslocamentos e das rotaesde cada n doelemento.{ };'2211wwai(3.17)Verificaqueparacadandoelementoestoassociadasdoisgrausdeliberdade:doisdeslocamentos (1we 2w ) e duas rotaes (1e 2 ).523.2.3 Campo de deslocamento do elemento paramtricoDeumaformageral,orefinamentodasoluodeumproblemaqualquerpodesedaratravsdautilizaodeelementosdeordemfixa,paraosquaisotamanhoh sucessivamentereduzido (refinamento tipoh ), bem como, atravs da utilizao de elementosde forma fixa, para os quais a ordemp aumenta sucessivamente (refinamento tipo p ).No desenvolvimento deste trabalho, considera-se o refinamento tipo , p umavezquesepretendeoaprimoramentodasoluosemquehajaaalteraodamalhadediscretizao.Entretanto,quandoseempregamfunesdeformapadrocomoaquelasdafamliaLagrangeana,acadamudanadeordem,correspondeumaumentodonumerodensdoelementogerandoconseqentementefunesdeformatotalmentediferentesparacadanvelde aproximao. Se este fosse o procedimento adotado, todos os clculos j efetuados quandoda anlise anterior deveriam ser repetidos ocasionando um aumento do custo computacional.Portanto,vantajosoevitarestadificuldadeeconsideraraaproximaocomoumasrienaqualasfunesdeformanomaisdependemdosnsdoelemento.Oaumentodaordemdoelementosemoconseqenteaumentodoseunmerodenspodeserobtidoapartirdasfunesdeformahierrquicasquerepresentamsimplesmenteumrefinamentodeordemsuperior.Assim,orefinamentodaexpansoquadrticaespecificadapelaEquao(3.15)podeser obtido adicionando funes de forma hierrquicas) (hmN de ordem superior a um.Neste trabalho o refinamento da expanso quadrtica ser feito adicionando funes deformahierrquicasdesegundo,terceiroequartograus.Portanto,asfunes) (hmN sopolinmios de grau m (m = 2, 3, 4) associados a cada elemento.Asfunesdeformahierrquicasutilizadasforamdefinidasemtermosdasintegraisdos polinmios de Legendre Szabo (1991), definido na Equao (2.41).1 ) (22 hN (3.18)) ( 2 ) (33 hN (3.19)) 3 18 15 (41) (2 44+ hN (3.20)Destaforma,odeslocamentodadopelaEquao(3.15)paraocasodoelementoisoparamtrico, torna-se:53[ ] { } [ ] { } + ;'2142~) (~) () () (i mhm hm i ia N a Nw (3.21)paraocasodeelementoparamtricodotipohierrquico.Nestaexpresso,{ }hma~ovetorconstitudodosparmetroshierrquicos.Asfunesdeforma) (hmN quandoinseridasnaEquao(3.15)nomodificamonveldeaproximaodoelemento,mas,aincgnita{ }hma~deixa de ter o significado fsico de varivel nodal.Se respectivamente, hmwe hmso as componentes do vetor{ }hma~aequaoanteriorpode ser reescrita da seguinte forma:[ ] [ ] ;' +;' ;'2142) (~) () () (i h hmhmhmiiiiiwNwwNw (3.22)Na qual[ ] ) (~hmN umamatriz) 2 2 ( constitudadasfunesdeformahierrquicas) (hmN :[ ]1]1

) ( 00 ) () (~hmhmhmNNN (3.23)a matriz[ ] ) (iNj foi definida anteriormente atravs da Equao (3.16). Sendo{ }iaa matrizcoluna) 1 4 ( definida a partir da equao (3.17),{ }hma~uma matriz coluna) 1 2 ( constitudados parmetros hierrquicos:{ };'hmhmhmwa~(3.24)A Equao (3.22) pode ser representada da seguinte forma matricial:54[ ]{ }{ }{ }{ };' ;'4324 3 2~~~)] (~[ )] (~[ )] (~[ )] ( [) () (hhhih h h iaaaaN N N Nw (3.25)De uma maneira compacta, a equao anterior pode, ainda ser dada por:{ } [ ] { } a N u (3.26)na qual{ } u umamatrizcoluna) 1 2 ( ,constitudadosdeslocamentoserotaesiwe i ,{ } a umamatrizcoluna) 1 10 ( ,constitudadosdeslocamentosnodais iw e i edosparmetros hierrquicos hmw e hm . E[ ] N umamatriz) 10 2 ( ,constitudadasfunesdeforma) (iN e) (hmN :[ ] [ ] )] (~[ )] (~[ )] (~[ )] ( [4 3 2 h h h iN N N N N (3.27)3.3 Deslocamento axial de vigasO campo de deslocamento da viga se expressa da seguinte forma.) ( ) , , ( x u z y x u 0 ) , , ( z y x v (3.28)0 ) , , ( z y x wPor outro lado, a Equao (3.28) mostra que a deformao no nula a seguinte:dxdux (3.29)A tenso no nula xrelaciona com a correspondente deformao,x xE (3.30)553.3.1Princpios de trabalhos virtuaisCom base no principio de trabalhos virtuais Azevedo (2003),Craig(1981),tem-se,deacordo com as Equaes (3.8) e (3.9),[ ]11) (| | ] )[ ( ] [ d J B EA B Ka T a e(3.31)[ ]11) (| | ] [ ] )[ ( d J N N A MT e(3.32)Na qual[ ]) (eKe[ ]) ( eM somatrizesquadradas,simtricas,denominadasmatrizderigidez e matriz de massa do elemento, respectivamente.Oelementofinitodevigacomdoisnsconsiderandoodeslocamentoaxialrepresentado pela Figura 3.6.Figura 3.6Elemento de viga de dois ns com deslocamento axial.OdeslocamentoaxialdosnsdoelementofinitorepresentadopelaFigura3.6soosseguintes:{ };'21uua (3.33)Ainterpolaododeslocamentoaxialefetuadautilizandoaseguinteinterpolaounidimensional com dois ns.2 2 1 1) ( ) ( ) ( u N u N u + (3.34)A Equao (3.34) pode ser escrita na forma que se apresenta a seguir:56[ ];' 00000 0 ) ( 0 0 ) ( ) (212 1uuN N u (3.35)De uma maneira compacta, a Equao (3.35) pode ser dada por:{ } [ ]{ } 21 ii i u N u(3.36)3.3.2Campo de deslocamento axial do elemento paramtricoDemaneiraanlogaaoquefoiapresentadonaseo(3.2.4)eutilizandoasmesmasfunes de forma hierrquicas dadas pelas Equaes (3.18) (3.20)Odeslocamento{ } ) ( u dadopelaEquao(3.36)paraocasodoelementoisoparamtrico, torna-se:{ } [ ] { } [ ] { } + 4221 mhm hmii i u N u N u(3.37)paraocasodeelementoparamtricodotipohierrquico.Nestaexpresso,{ } hm u ovetorconstitudodoparmetrohierrquico.Asfunesdeforma) (hmN quandoinseridasnaEquao(3.37)nomodificamonveldeaproximaodoelemento,mas,aincgnita{ } hm udeixa de ter o significado fsico de varivel nodal.DevidoaintroduodograudeliberdadeaxialrepresentadopelaEquao(3.33),osdeslocamentos dos ns dado pela Equao (3.12) passaro a ter a seguinte forma,{ };'222111wuwua(3.38)57As Equaes (3.13) e (3.14) sero agrupadas com a Equao (3.34) resultando,2 2 1 1) ( ) ( ) ( u N u N u + (3.39)2 2 1 1) ( ) ( ) ( w N w N w + (3.40)2 2 1 1) ( ) ( ) ( N N + (3.41)Reescrevendo as Equao (3.39), (3.40) e (3.41), tem-se[ ]{ } iii a N wu ;'21) () () ( (3.42)na qual[ ]111]1

2 12 12 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0N NN NN NNi(3.43)Adicionando a Equao (3.37) na Equao (3.22) obtm,[ ] [ ];' +;' ;' hmhmhmi mhmiiiiiii wuNwuwuN wu 2142~) () () () ((3.44)asmatrizes[ ] ) (iN e{ }ia jforamdefinidasanteriormentee[ ] ) (~hmN umamatriz) 3 3 ( constituda das funes de forma hierrquicas) (hmN :[ ]111]1

) ( 0 00 ) ( 00 0 ) () (~hmhmhmhmNNNN (3.45)58e{ }hma~uma matriz coluna) 1 3 ( constituda dos parmetros hierrquicos:{ };'hmhmhmhm wua~(3.46)A equao (3.44) pode ser reescrita da seguinte forma:;') () () ( wu[ ]{ }{ }{ }{ };'4324 3 2~~~)] (~[ )] (~[ )] (~[ )] ( [hhhih h h iaaaaN N N N (3.47)De uma maneira compacta, a equao anterior pode, ainda ser dada por:{ } [ ] { } a N u (3.48)na qual{ } u uma matriz coluna) 1 3 ( , constituda dos deslocamentos e rotaesiw , ui e i ,{ } a umamatrizcoluna) 1 15 ( ,constitudadosdeslocamentosnodais iw ,ui e i edosparmetros hierrquicos hmw ,hm u e hme[ ] N umamatriz) 15 3 ( ,constitudadasfunesde forma) (iN e) (hmN :[ ] [ ] )] (~[ )] (~[ )] (~[ )] ( [4 3 2 h h h iN N N N N (3.49)3.4 Estado de DeformaoParaadeterminaodoestadodedeformaobastaobterasderivadasdosdeslocamentos u e w e da rotao . Fazendo uso da Equao (3.39) o campo de deformaescorrespondente a uma viga sujeita a um esforo axial ser definido do seguinte modo 1]1

+1]1

2121 ihmhmiiiuddNdxduddNdxdddudxddxdu (3.50)59utilizando as Equaes (3.40) e (3.41) a curvaturaser dada por, 1]1

+1]1

2142 i mhmhmiiddNdxdddNdxddddxddxd (3.51)e a deformao da cortante( ) 1]1

+ 1]1

2142 i mhmhmi i iixzwddNdxdN wddNdxddxdw (3.52)Utilizandoumaformulaoisoparamtricaidnticaaempregadaparaoelementodebarra de dois ns doCapitulo 2 obtm-se ) (2el dx d e as Equaes (3.50), (3.51) e (3.52)podem ser escritas na seguinte forma matricial.[ ] { } [ ] { } + 42 mhmahm iaa B a B (3.53){ } { } + 42~] [ ] [mhmfhm ifa B a B (3.54){ } { } + 42~] [ ] [mhmchm icxza B a B (3.55)Na qual] [aB uma matriz) 6 1 ( relacionada a deformao axial,] [fB umamatriz) 6 1 ( relacionada a flexo,] [cB uma matriz) 6 1 ( relacionada ao cisalhamento e[ ]ahmB ,] [fhmBe] [chmBso matrizes) 3 1 ( ,] [ ] [6 5 4 3 2 1a a a a a a aB B B B B B B (3.56)] [ ] [6 5 4 3 2 1f f f f f f fB B B B B B B (3.57)] [ ] [6 5 4 3 2 1c c c c c c cB B B B B B B (3.58)] [ ] [, 3 , 2 , 1ahmahmahmahmB B B B (3.59)] [ ] [, 3 , 2 , 1fhmfhmfhmfhmB B B B (3.60)] [ ] [, 3 , 2 , 1chmchmchmchmB B B B (3.61)60Os elementos das matrizes] [aB ,] [fB ,] [cB ,] [fhmB ,] [chmBe] [ahmBso determinadospelas equaes abaixo Elementos da matriz)] ( [ aB :( )

,_

ddNJBa 111 (3.62)( ) 02 aB(3.63)( ) 03 aB(3.64)( )

,_

ddNJBa 241(3.65)( ) 05 aB (3.66)( ) 06 aB (3.67)Elementos da matriz)] ( [ cB :( ) 01 cB(3.68)( )

,_

ddNJBc 121 (3.69)( ) ) (1 3N Bc (3.70)( ) 04 cB(3.71)( )

,_

ddNJBc 251(3.72)( ) ) (2 6N Bc (3.73)Elementos da matriz)] ( [ fB :( ) 01 fB (3.74)( ) 02 fB (3.75)61( )

,_

ddNJB f 131(3.76)( ) 04 fB (3.77)( ) 05 fB (3.78)( )

,_

ddNJB f 261(3.79)Elementos da matriz)] ( [ ahmB( )

,_

ddNJBhm ahm1, 1(3.80)( ) 0, 2 ahmB(3.81)( ) 0, 3 ahmB(3.82)Elementos da matriz)] ( [ chmB( ) 0, 1 chmB (3.83)( )

,_

ddNJBhm chm1, 2 (3.84)( ) 0, 3 chmB(3.85)Elementos da matriz)] ( [ fhmB :( ) 0, 1 fhmB (3.86)( ) 0, 2 fhmB(3.87)( )

,_

ddNJBhm fhm1, 3 (3.88)AsEquaes(3.53),(3.54)e(3.55)podem,ainda,seremdadasnaseguinteformamatricial:62[ ];' }~{}~{}~{} {] [ ] [ ] [ ] [4324 3 2hhhiahahahaaaaaB B B B (3.89)[ ];' }~{}~{}~{} {] [ ] [ ] [ ] [4324 3 2hhhifhfhfhfaaaaB B B B (3.90)[ ];' }~{}~{}~{} {] [ ] [ ] [ ] [4324 3 2hhhichchchcxzaaaaB B B B (3.91)pode-se escrever as Equaes (3.89), (3.90) e (3.91)de uma forma compacta[ ]{} a BA (3.92)[ ] {} a BF (3.93)[ ]{ } a BCxz (3.94)naqualasmatrizes[ ] BA ,[ ] BFe[ ] BC somatrizes) 15 1 ( constitudasdasderivadasdasfunesdeformae{ } a umamatriz) 1 15 ( constitudasdosdeslocamentosnodaisedosparmetros hierrquicos. As matrizes[ ] BA , [ ] BFe[ ] BCso dadas por:[ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [4 3 2ahahahaB B B B BA (3.95)[ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [4 3 2fhfhfhfB B B B BF(3.96)[ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [4 3 2chchchcB B B B BC(3.97)