7/25/2019 Volume Da Esfera

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Volume da

EsferaConsideremos um cilindro de raio da baser ( a altura 2r) e seja S

o ponto mdio do eixo do cilindro.Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como

vrtice comum ( a reunio desses dois cones um slido chamadoClpsidra ).

Ao slido que est dentro do cilindro e ora dos dois cones vamos

chamar de slidoX( este slidoX chamado anticlepsidra ).

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Consideremos a#ora uma esera de raio re o

slidoX descrito acima

s

$uponhamos que a esera sejatan#ente a um plano %& que ocilindro ( que ori#inou o slido X )tenha base em % e que os dois

slidos& esera e slido X, estejamnum mesmo semi'espao dosdeterminados por %.ualquer plano secante *& paraleloa %& distando ddo centro da esera( e do vrtice do slidoX )& tambm

secciona o slidoX. Temos+

,rea da seco na esera ! -s ! -(r ' d) c/rculo,rea da seco no slidoX = -r ' -d ! -(r ' d) coroa circular

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As reas das sec0es na esera e no slidoXso i#uais+ ento& pelo

princ/pio de Cavalieri& a esera e o slidoXt1m volumes i#uais.

2 esera ! 2slido 3

4as5

2slido 3 ! 2cilindro ' "2cone ! -r . "r6 " . (789 - r . r )= -r . "r 2/3-r: ! ;89 -r:

Concluso < volume de uma esera de raio r de ;89 -r:

2! ;89 -r:

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rea da superfcie esfrica

A! ; -r

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Noo intuitiva$e considerarmos uma super/cie limitada de rea ! e sobreela ormarmos um slido de altura "de bases = paralelas >&teremos& indicando com #& o volume do slido de base !ealtura".

2!!" != #/"?sta @ltima i#ualdade veriicada para qualquer".$ntuiti%amente, uma super&'cie ima(inada como uma placas*lida+ de espessura in&initamente pequena+

or isso& se uma = placa slida = de volume 2p e espessura"or tal que a expresso ( uno).

#p/x tem sentido para"! B& ento

#p/"( para x !B ) ser deinida como a rea da placa!ssi a(indo, podemos deduir as e"press-es das reaslateral da super&'cie es&rica.