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Exerccio 1 Resposta E

Na posio de equilbrio a elongao da mola igual a amplitude do movimento:

Fm=k.ym

Na anlise das foras, o mdulo da fora da mola acaba sendo igual a fora peso:

Fm=P

k.ym=m.g

k.0,05=4.10

k=800 (N/m)

A energia mecnica do sistema dada por EM=0,5.k.(ym)^2

EM=0,5.800.0,05^2

EM=1 J

Como no estado de equilbrio tem apenas energia cintica, a energia cintica acaba sendo igual a energia mecnica do sistema.

EM=ECequilbrio=1 J

Exerccio 2 Resposta B

A energia mecnica a soma da energia cintica com a energia potencial em qualquer posio do movimento, ento:

EM=EC+EP

Logo:

1=0,5.m.v^2+0,5.k.x^2

Substituindo:

2=4.v^2+800.0,02^2

4.v^2=1,68

v=0,648 m/s

Exerccio 3 Resposta D

Calcula o valor da pulsao por w=2.pi.f

w=2.3,14.2,5

w=15,7

Calcula a amplitude atravs da frmula dada:

ym=(y(0)^2+(v(0)/w)^2)^1/2

ym=(0,011^2+(0,011/15,7)^2)^1/2

ym=0,0146 m = 1,46 cm

Exerccio 4 Resposta A

A amplitude da velocidade de um MHS calculada por vm=ym.w

vm=1,46.15,7

vm=22,9 (cm/s)


Primeiro analisamos as foras envolvidas no movimento:

-Fm-Fv=Fr

Fm = Fora da mola; Fv = Fora viscosa; e Fr = Fora resultante.

-y.k-v.b=m.a

Substitui se o que der e resolve se a equao diferencial:

-y.32000 -v.640 -80.a=0 (divide por 80)

-y.400-v.8 -a=0

Resolvendo a equao diferencial, chega-se ao seguinte:

y=e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)]

Derivando a equao acima obtemos a equao da velocidade:

V=-4. e^(-4t) .[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t) .[-19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)]

Substituindo as condies iniciais, descobre-se o valor de A e de B, chegando a equao do movimento completa:

y= e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

Agora termina-se de resolver o exerccio:

y(0,4) = e^(-4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)]

y(0,4) = 0,202.[0,0069+0,6089]

y(0,4) = 0,124 m


Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve-se igualar a equao do movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor.

0 = e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

A raiz de mais baixo valor ser obtida pela parte oscilante da equao, ento:

0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)

- 0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t)

-0,492/0,609 = tg(19,6t)

tg(19,6t) = -0,808

19,6t = -0,679

O valor encontrado negativo, a tangente tem uma periodicidade de Pi rad, ento basta somar Pi ao valor de - 0,679:

19,6t=2,462

t = 0,126 s


Em amortecimento crtico o valor equivalente a metade da razo entre a constante de viscosidade e a massa, igual velocidade angular inicial que igual a raiz quadrada da razo entre a constante elstica e a massa, logo:

0,5.b/m = (k/m)^(1/2)

0,5.b/80 = (32000/80)^(1/2)

0,00625.b = 20

b = 3200 N.s/m


A equao que descreve uma situao de amortecimento crtico :

y= (C1 + C2.t).e^(-g.t)

Aplicando as condies iniciais e calculando o valor de g, encontramos a equao:

g = 0,5.b/m

g = 20

0,1 = (C1 + C2.0). e^(-20.0)

0,1 = (C1 +0).1

0,1 = C1

v = C2.e^(-g.t) + (0,1 + C2.t).(-20).e^(-20.0t)

2 = C2.e^(-g.t0) + (0,1 + C2.0).(-20).e^(-20.0)

2=C2 -2

C2 = 4

y = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t)

As razes da equao nos daro os instantes em que o corpo est na posio de equilbrio:

0 = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t)

0 = (0,1 + 4.t)

-0,1 = 4.t

t = -0,025 s

E a outra raiz, como no existe logaritmo de zero, colocamos um numero muito pequeno no lugar de zero = 0,001

0,001 = e^(-20.0t)

-6,9077 = -20.t

t= 0,345 s

A diferena entre os dois instantes dar o intervalo necessrio para que o corpo volte para posio de equilbrio:

T = 0,345 - (- 0,025)

T = 0,37 s

Exerccio 9 Resposta C

A = 2.ym.cos[(Pi/4).0,5]

A = 2.1.cos[Pi/8]

A = 1,85 mm


Para descobrir a diferena de fase pedida, basta usar a mesma equao usada no exerccio anterior, porm sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude.

2 = 2.1.cos[o.0,5]

1 = cos[0,5.o]

0,5.o = arccos(1)

0,5.o = 0

o = 0


Para descobrir a velocidade transversal na posio e instante pedido, basta derivar a equao do movimento no tempo, assim se obtm a equao da velocidade transversal, ento depois basta substituir os valores de tempo e posio:

y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3]

vt = 15.sen[Pi.x/4].(- 30.Pi)sen[30.Pi.t + Pi/3]

vt = -1414.sen[Pi.x/4]. sen[30.Pi.t + Pi/3]

vt (2;2) = -1414.sen[Pi.2/4]. sen[30.Pi.2 + Pi/3]

vt (2;2) = -1225 cm/s


Para descobrir a amplitude da oscilao em dado ponto e em dado instante, basta pegar a parte da equao que o termo da amplitude e substituir a condies:

y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3]

A = 15.sen[Pi.x/4]

A (2;2) = 15.sen[Pi.2/4]

A (2;2) = 15 cm

Exerccio 13 Resposta C

Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio:

d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm

d1 = 0,0026 kg/m

d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm

d2 = 0,0078 kg/m

Agora atravs da equao que relaciona a frequncia com comprimento de onda, tenso na corda e densidade linear, substitumos os valores que temos de cada parte da corda e igualamos as equaes:

f1 = [n1/(2.L1)].[F/d1]^(1/2)

f2 = [n2/(2.L2)].[F/d2]^(1/2)

Igualam-se as duas equaes e substitui as variveis conhecidas:

[n1/(2.0,6)].[100/0,0026]^(1/2) = [n2/(2.0,866)].[100/0,0078]^(1/2)

[n1/(2.0,6)]^2.1 /2,6 = [n2/(2.0,866)]^2.1/7,8

n1 = [3,74.(n2)^2/23,4]^(1/2)

n1 = 0,4.n2

n2 = 2,5.n1

Uma vez que se descobriu a relao entre o numero da corda de ao e o numero da corda de alumnio, isolamos a razo n2/n1:

n2/n1= 2,5

n2/n1= 2/5 (Na forma de frao mais simplificada)

Onde n2 = 5, que corresponde ao ao e n1 = 2, que corresponde ao alumnio.

Atravs das propriedades no fio de ao ou no fio de alumnio, possvel determinar a frequncia.

f = [ n1 / (2. L1) ].[ ( F/d1 ) ^ (1/2) ]

f = [ 2 / (2. 0,6) ].[ ( 100/0,0026 ) ^ (1/2) ]

f = 327 Hz

f = 1034 Hz


Visto que no exerccio anterior determinou-se o numero de ventre de cada parte da corda temos o numero total de ventres = 7, logo o numero total de ns 8, descontando os ns das extremidades, temos:

Nns = 6.


Primeiro identificamos em qual parte do grfico est o instante pedido, ento calculamos o fluxo magntico nesta parte do grfico:

Calculando o fluxo magntico entre 0 e 2 segundos.

f = 0,2.t.(PI.r^2) = 0,2.t.(3,14.3,99^2)

f = -10.t

E = df/dt = -10

Portanto o mdulo da fora eletromotriz : 10 V


Primeiro identificamos em qual parte do grfico est o instante pedido, ento calculamos o fluxo magntico nesta parte do grfico:

Calculando o fluxo magntico entre 5 e 10 segundos.

f = -0,08.(PI.3,99^2).t

f = -4.t

E= +4 V

E = R.I

4 = 20.I

I = 0,2 A

Sentido horrio.


Req = R1.R2/(R1 + R2)

Req = 10.15/(10 + 15)

Req = 6 ohm

I = (B.l/Req).v

I = (0,5.0,4/6).20

I = 0,667 A


Uma vez que j temos a corrente, calculada no exerccio anterior, basta substituir na equao P = I^2.Req

P = 0,667^2.6

P = 2,67 W


Primeiro calculamos o valor de k:

c = w/k

k = 10^15/3.10^8

k = 3,33.10^6

O vetor velocidade de propagao igual ao produto vetorial entre o campo eltrico e o campo magntico dividido pelo produto escalar do campo magntico por ele mesmo:

cv = Ev x Bv/( Bv .Bv)

-3.10^8.i = [(E.k) x (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j]/((10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x)^2)

(3.10^8.k). (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) = E.k

E = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) (N/C)

Ev = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).k (N/C)


Primeiro calculamos o valor mdio do vetor poynting

S = 0,5.8,85.10^-12.3.10^8.900

S = 1,19

Agora calculamos a energia eletromagntica:

Dw = S.A.Dt

Dw = 1,19.3.7200

Dw = 25807 J


Como o campo magntico uniforme na regio e varia somente com o tempo, no h a necessidade da integrao.

f = B.n.A

f = (0,2t^2 2,4t +6,4)k.k.(0,5.0,5)

f(2) = (0,2.(2)^2 2,4.(2) +6,4).0,25

f(2) = 0,6 weber

f(9) = (0,2.(9)^2 2,4.(9) +6,4).0,25

f(9) = 0,25 weber


Atravs da derivada temporal da equao que descreve o fluxo, obtemos a equao da fora eletromotriz.

E = - (0,1t - 0,6)

E(2) = - (0,1.(2) 0,6)

E(2) = 0,4 V

I(2) = 0,4/40

I(2) = 0,01 A (anti-horrio)

E(9) = - (0,1.(9) 0,6)

E(9) = -0,3 V

I(9) = - 0,3/40

I(9) = - 0,0075 A (horrio)


Primeiro deve-se descobrir a funo que descreve o fluxo em funo do tempo:

f = B.A

O campo magntico no varia em funo do tempo

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