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1º Teste de Análise de Estruturas I Mestrado Integrado em Engenharia Civil Responsável: Prof. J. P. Moitinho de Almeida 13 de Abril de 2012 Duração de 2 horas É interdito o uso de telemóveis e de calculadoras que não cumpram o estabelecido nas regras de avaliação Identifique todas as folhas Inicie cada problema numa nova folha Justifique adequadamente todas as respostas Consulta apenas do formulário Quem entregar o teste e obtiver menos de 7,0 valores só terá acesso à Época de recurso
Problema 1 (3,5 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 1, sujeita a uma força
2,3=R kN no ponto (0, L).
a) Mostre que o campo de deslocamentos compatível ( ) ( )fDLyLLxyyxw22 2 −+−= não é a
solução exacta; b) Mostre que o campo de esforços equilibrado 0== yyxx mm e 6,1=xym kNm/m não é a
solução exacta; c) Para a solução da alínea anterior, calcule as componentes do tensor das tensões no ponto (x, y, z) = (L/2, L/2, h/2).
Figura 1
E, h uniformes ν = 0,2
Problema 2 (3 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 2, sujeita a uma carga
1=xr kN/m em x = L.
a) Indique as condições de admissibilidade estática e determine a expressão analítica de uma solução equilibrada; b) Indique as condições de admissibilidade cinemática e determine uma solução compatível quando, para além da carga, existe o deslocamento imposto ( ) ( )( )Lxsenxw 20, π= (m).
Figura 2
E, h uniformes ν = 0,2
L
x
y
L
y
L
L
x
Problema 3 (1,5 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 3. Na mesma figura, indicam-se as curvas de nível correspondentes a seis campos de uma solução da laje que pode ser considerada exacta. Explique porque é que, em cada linha, as duas legendas estão trocadas.
E = 104 kN/m2 h = 0,1 m ν = 0,2 q = 1 kN/m2
mxx vx
Figura 3
vy myy
mxy w
Problema 4 (5 valores) Considere a viga contínua representada na figura 4. Para uma estrutura-base à sua escolha: a) Calcule a matriz de flexibilidade da estrutura-base; Trace a deformada da estrutura-base devida a uma das forças hiperestáticas e identifique aí os coeficientes relevantes desta matriz; b) Determine a equação resolvente do Método das Forças quando a viga está sujeita a uma variação de temperatura ∆TL = 20ºC; Trace a deformada correspondente à solução particular e identifique aí os coeficientes relevantes desta equação.
EI constante α = 10-5 ºC-1 h = 0,4 m
Figura 4 Problema 5 (3 valores) Considere que a estrutura representada na figura 5 foi "resolvida" pelo Método das Forças. Devido a um erro ocorrido após o cálculo de B e X0, mas antes do cálculo de X = B p + X0, obteve-se a solução equilibrada, mas não exacta, indicada na mesma figura. a) Trace os diagramas de esforços (M, V, N) correspondentes a essa solução; b) Sem calcular a solução exacta, mostre que os esforços independentes indicados não podem ser os exactos.
EI constante (kNm2) EA = 10 EI (kN)
−
−
−
−
=
kN 440
0
kNm 400
kN 100
kNm 022
kNm 500
0
kNm 500
0
X
Figura 5 Problema 6 (4 valores) Considere o pórtico representado na figura 6. Indique uma estrutura-base, com as respectivas incógnitas hiperestáticas, e trace os correspondentes diagramas (M, N) devidos à carga.
Figura 6
3 m
2 m 2 m 4 m 4 m 4 m
4 kN
2 m 4 m
4 m
5 m 6 m
40 kN/m
(1) (2)
(3)
Formulário
x
w
x
∂θ
∂= −
y
w
y
∂θ
∂= −
n x x y y
n nθ θ θ= +
2
2xx
w
x
∂χ
∂= −
2
2yy
w
y
∂χ
∂= −
2
xy
w
x y
∂χ
∂ ∂= −
xyxx
yy xy
y x
x y
χχ
χ χ
∂∂=
∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂
1 0
1 0
0 0 1
xx xx
yy f yy
xy xy
m
m D
m
ν χ
ν χ
ν χ
= −
2
1 01
1 0(1 )
0 0 1
xx xx
yy yy
f
xy xy
m
mD
m
χ ν
χ νν
χ ν
− = − − +
3
212(1 )f
EhD
ν=
−
( )yyxxxx
Eνεε
νσ +
−=
21
( )xxyyyy
Eνεε
νσ +
−=
21
xyxy
Eε
νσ
+=
1
2 22nn xx x xy x y yy ym m n m n n m n= + + ( ) ( )2 2
nt yy xx x y xy x ym m m n n m n n= − + −
[ ][ ] −+ −== ntntnt mmmR
xyxxx
mmv
x y
∂∂
∂ ∂= +
yy xy
y
m mv
y x
∂ ∂
∂ ∂= +
n x x y y
v v n v n= +
xy
x x
mr v
y
∂
∂= +
xy
y y
mr v
x
∂
∂= +
ntn n
mr v
t
∂= +
∂
2 22
2 22yy xyxx
m mmq
x y x y
∂ ∂∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + = −
4 4 4
4 2 2 42
f
w w w q
x x y y D
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + =
x y
f f fn n
n x y
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ( )y x
f f fn n
t x y
∂ ∂ ∂= − +
∂ ∂ ∂
0= +X Bp X = +u F X u T Tr' '= −δ B u B r
2 1 0
1 2 06
0 0 6 /
L
EII A
=
F
* 0+ =F p v v T* =F B FB T T
0 0 r= −v B u B r
Carga de vão iθ jθ je
x
yL
p i p j
+
360
7
360
81 33 Lp
Lp
EIji
+
360
8
360
71 33 Lp
Lp
EIji
0
Variação de
temperatura uniforme
no vão
2LT L
h
α ∆
2LT L
h
α ∆
UT Lα ∆