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XI - Bifurcações

Referência Principal: Chaos

K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. YorkeSpringer (1997)

I - Introdução

•Bifurcação: mudança do atrator com variação do parâmetrode controle.

•Bifurcações ocorrem em sequência com a variação doparâmetro de ocntrole.

•Mesmas bifurcações são observadas em diferentessistemas dinâmicos.

•Identificar bifurcações é importante no estudo desistemas dinâmicos.

II – BifurcaçõesSela – Nó

Duplicação de Períodos

)v (a, fou )v( f

I. a I, parâmetros de espaço um em definido a

parâmetro um de dependente fase) de (espaço R em mapa :)v( f

Definição

.bifurcação de parâmetro

ao entecorrespond órbita :bifurcação de Órbita

solução. da deestabilida da perda

a ocorre que em valor :bifurcação de Parâmetro

a

na

rr

r

∈

duplicado

período com órbita surge :período de Duplicação

fixos pontos de surgimento :nó-sela sBifurcaçõe

:básicas sBifurcaçõe

f Ddx

fd f

onalunidimensi Mapa

a

aa

≡′

ChaosAlligood et al.

Bifurcação Sela - Nó

Sem ponto fixo Um ponto fixo Dois pontos fixos


Diagrama de BifurcaçãoBifurcações Sela – Nó e Duplicação de Período


Bifurcação: Duplicação de Período

ChaosAlligoode t al.

Duplicação de Período


Diagrama de Bifurcação na BifurcaçãoDuplicação de Período


Bifurcação Sela – NóÓrbita de Período 3


Diagrama de BifurcaçãoÓrbita de Período 3


Esquemas das Bifurcações

Sela - nó Duplicação de período


Diagramas de BifurcaçãoMapa de Hénon

q p sela, de ponto de bifurcação 4

b) - (1 - a

fixo ponto há não 4

b) - (1 - a

) 2

a 4 b)-(1 b)-(1 - ,

2

a 4 b)-(1 b)-(1 - ( q

) 2

a 4 b)-(1 b)-(1 - ,

2

a 4 b)-(1 b)-(1 - ( p

xx

x x b x- a:q ep fixos Pontos

fixo b ,1bx) x,b x- (a h

Hénon de Mapa

2

2

22

22

2

2a

rr

r

r

rr

=⇒=∗

⇒<

+−+−=

++++=

==+

<+=

1.3a3.0bPara

1com),2

b - 1,

2

b - 1( )y,(xemocorreIsso

pramonoperíododeduplicaçãocombifurcação4

b) - (1 3 a

.nóSela.repulsoréq,atratorép 4

b) - (1 - a

b-

1

2

b) - (1 -x

4

)b1(aPara

bx x-

0 1

b - x2-

01

b x2- h D

xy

xb x- a x

Hénon de Mapa

2

2

2

2nn

nn

n1 n

n2n1 n

≅∗⇒−=

−=λ=∗∗

⇒=∗

−⇒>

=λ⇒=∗⇒−−=∗

+±=λ

=λ−

λ⇒

=

=+=

+

+

r

rr


4 a 0 para raizes duas 1 a

dupla raiz0 x 1 a fixos Pontos

x)- 1 ( x a y

logístico Mapa

<<⇒≠=⇒=

=

Bifurcação Transcrítica


Bifurcação da Forquilha


Bifurcação da Forquilha

Diagrama de Bifurcação

III – Continuação de Pontos Fixos

1. f que desde ocorre Isso

período). de duplicaou existir de (deixa

bifurcaçao uma até

onalunidimensi mapa um de fixo ponto do contínua Variação

a ≠′

aaem)v,a(deocontinuaçãaé)v,a (

)v(Npara)dad,-a ( de g contínua função uma de gráfico o é

)v(Nx)dad,-a (

de ça vizinhanna f de fixos pontos de conjunto Um

contínuatrajetóriaemiarvar,aapara,f de v se lcontinuáveév

v)v(ffixoponto,Remf

Definição

cc

a

an

a

=∗∗

⇒

∗+∗∗∗+∗∗

≅∗∗

∗=∗

ε

ε

∗

rr

r

r

rr

rr


Continuação do Ponto Fixo

Exemplo

Variação contínua doponto fixo no intervalo-1/4 < a< 3/4

ocontinuaçã sem fixo ponto

1 (-1) (-1) (1/2) f (1/2) f (1/2) f

1/2) (3/4, x)(a, em bifurcação com f Mapa

ocontinuaçã com fixo ponto 1- (1/2) f

1/2) (3/4, x)(a, em período de dobra bifurcação com f Mapa

1/4- xpara ocontinuaçã sem

1/2)- (-1/4, x)(a, em nó - sela Bifucação

x- a f Mapa

anterior, slide o d exemplo No

4/34/34/32

2

4/3

2

⇒==′′=′=

⇒=′=

<⇒

=

=

ocontinuaçãtem)x,a(1

vpontono)v(Dfjacobianamatrizdaautovalor:

v)v(f

1n,R em suavef )b

ocontinuaçãtem)x,a(1)x(f

x)x(f R, em definido suave mapa f a)

Teorema

a

a

na

a

aa

⇒≠λλ

=

>

⇒≠′=

rr

rr

IV – Bifurcações em Mapas Unidiminesionais

2a

a

2aa

a

a

f de fixo ponto do idadeDescontinu

f de fixo ponto do deContinuida

período de Duplicação

1 f 1- f Se

período). de duplicaou existir de (deixa

bifurcaçao na f de fixo ponto do adescontínu Variação

bifurcação 1 f

=′⇒=′

⇒=′

0DAseaaparafixospontosexistemNão

0DAseaaparafixospontos

)x ,a( de emanam fixos pontos de curvas Duas

0x

)x,a(fDe0

a

)x,a(fA

1)x(f,x)x(f

parâmetroum,ensionaldimuni,suavemapa:f

nó) - sela o(bifurcaçãTeorema

2

2

aa

a

>><>∃

⇒

≠∂

∂=≠∂

∂=

=′=


Ilustração do Teorema

Bifurcaçãosela- nó

Ocorrência de Bifurcação


Ilustração do Teorema


Bifurcações em Mapas Unidimensionais

V – Bifurcações em Mapas Bidimensionais Dissipativos

fonteseatratores:f

selas,atratores:g

1)x(gparaocorreBifurcação

0.2

)x(g 0

- 0.2 0

0 - x a 2 - a

0.2 0

0 x a 2 - a Df

x)-(1 x a g ; y) 0.2 (x),g ( f Mapa

a

a

a

a

a

aaa

=′

′

=λ⇒=λ

λ

=

==

1b para voconservati é mapa Esse

b-01

bx2)v(Dfdet

)x,by x- (a f

:Exemplo

Rv 1, )v(Dfdet se voconservati mapa um é f

Rv 1, )v(Dfdet se odissipativ mapa um é f

jacobianamatriz:)v(Df,R em suave mapa f

:Definições

2

2

2

2

=

==

+=

∈∀=

∈∀<

r

rr

rr

r


Mapa de Hénon

a)Dissipativob)Expansivoc)Conservativo

-0.9 < b < -1.1

VI – Bifurcações no PlanoMapas Conservativos

i2

35.0fixo ontop 0.5)- ,5.0(

voconservatimapa1bDhDet

)x,by x- (-1 h

Hénon de Mapa

:Exemplo

bi a valor -auto bi a valor -auto

vosconservati mapas dos opriedadePr

b

2b

21

±=λ⇒−

=−=+=

−=λ∃⇒+=λ∃


Mapa de Hénon Conservativo

Ponto elíptico surge em a = -1(dois auto-valores λ = 1)

Ele se transforma emponto de sela em a = 3(um auto-valor λ > 1)

ilha) de o(duplicaçã

período de dobra com bifurcação 3 a

ib a

elíptico ponto um e sela de ponto um fixos, pontos dois 1- a

1 1),- (-1, em fixo ponto 1- a

ffixos pontos há não 1- a

)x,y x- (ah

1)- (b voconservatiHénon de Mapa

Exempo

2 1,

21

2a

⇒=

±=λ⇒>

=λ+λ⇒=⇒<

−==

)f18.11.Fig(destruidasKAMerfíciessup97.0a

)a18.11.Fig(yxxxrotaçãodeNúmero

y

yx

y

x 0a

yexem2TperíodocomperiódicoMapa

y) (x sen a y

yx

y

x S

],[x,y

Padrão Mapa

nn1n

n

nn

1n

1 n

n

nn

1n

1 n

a

⇒=

=−≡∆≡ι

+=

⇒=

π=

+++

=

≡

π−π∈

+

+

+

+

+


Mapa Padrão

Variação com o parâmetro de controle

a) - g) várias órbitas

f) uma órbita

VII – Bifurcações em Equações Diferenciais

23

ii

i

i

0v

1n

n

RemperiódicaórbitaRemperiódicaÓrbita

seladeponto1e1

atrator1

tmapadovaloresauto:

.periódicaórbitada)Floquetde(doresmultiplicadeadosmindenosão

)v(TD),1n(x)1n(,jacobianamatrizdavaloresautoos:Definição

RemPoincarédemapaoosanalisarem

Rem)v(fvisdiferencia equações Para

⇒

⇒<λ<λ

⇒<λ−λ

γ−−−

=+

r

r&r

r


Mapa de Poincaré


Exemplo de Mapa de Poincaré

Atrator:ciclo limite com r = 1

...}r,r,{r

:Poincaré de Mapa

,210


BifurcaçãoSela-Nó


Dobramento de Período


Bifurcação de Hopf

)yxa(yxy

)yx-x(ay-x

Exemplo

22

22

−−+=−+=

&

&


Ilustração da Bifurcação de Hopf


Bifurcação de Hopf Sub-Crítica1

rr2arr 53

=θ

−+=&

&


Bifurcação de Hopf Sub-Crítica nas Equações de Lorenz

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