XI - Bifurcações · Chaos Alligood et al. Mapa de Hénon Conservativo Pontos elíptico e...

XI - Bifurcações

Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke

Springer (1997)

I - Introdução

• Bifurcação: mudança do atrator com variação do parâmetro de controle.

• Bifurcações ocorrem em sequência com a variação do parâmetro de ocntrole.

• Mesmas bifurcações são observadas em diferentes sistemas dinâmicos.

• Identificar bifurcações é importante no estudo de sistemas dinâmicos.

II – Bifurcações Sela – Nó

Duplicação de Períodos

)v (a, fou )v( fI. a I, parâmetros de espaço um em definido a

parâmetro um de dependente fase) de (espaço R em mapa :)v( fDefinição

.bifurcação de parâmetroao entecorrespond órbita :bifurcação de Órbita

solução. da deestabilida da perda a ocorre que em valor :bifurcação de Parâmetro

a

na

!!

!

∈

duplicadoperíodo com órbita surge :período de Duplicação

fixos pontos de surgimento :nó-sela sBifurcaçõe

:básicas sBifurcaçõe

f Ddxfd f

onalunidimensi Mapa

a

aa

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≡ʹ

Chaos Alligood et al.

Bifurcação Sela - Nó

Sem ponto fixo Um ponto fixo Dois pontos fixos


Diagrama de Bifurcação Bifurcações Sela – Nó e Duplicação de Período


Bifurcação: Duplicação de Período

Chaos Alligoode t al.

Duplicação de Período


Diagrama de Bifurcação na Bifurcação Duplicação de Período


Bifurcação Sela – Nó Órbita de Período 3


Diagrama de Bifurcação Órbita de Período 3


Esquemas das Bifurcações

Sela - nó Duplicação de período


Diagramas de Bifurcação Mapa de Hénon

Mapa de Hénonha = (a - x2 + b x, x) b <1, b fixo

Pontos fixos !pe !q:a - x2 + b x = xx = x

⎧⎨⎩

!p = ( - (1-b) + (1-b)2 + 4 a2

, - (1-b) + (1-b)2 + 4 a2

)

!q = ( - (1-b) − (1-b)2 + 4 a2

, - (1-b) − (1-b)2 + 4 a2

)

Nota : Para a < - (1 - b)2

4 ⇒ não há ponto fixo

a∗ = - (1 - b)2

4 ⇒ bifurcação de ponto de sela, !p = !q

Mapa de Hénonxn + 1 = a - xn

2 + b xn

yn + 1 = xn

D h = -2 xn b1 0⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒

-2 xn -λ b1 −λ

= 0

λ = - xn ± xn2 +b

Para a∗ = −(1− b)2

4⇒ x∗ = - (1 - b)

2 ⇒ λ =

1-b ⎧⎨⎩

________________________________________

a > - (1 - b)2

4 ⇒ !p é atrator, !q é repulsor. Sela−nó.

______________________________________

a∗ = 3 (1 - b)2

4⇒ bifurcação com duplicação de período no ramo !p

Isso ocorre em (x∗, y∗) = (1 - b2

,1 - b2

), com λ=−1

Para b=− 0.3 ⇒ a∗≅ 1.3


4 a 0 para raizes duas 1 a

dupla raiz0 x 1 a fixos Pontos

x)- 1 ( x a y logístico Mapa

⎩⎨⎧

<<⇒≠

=⇒=

=

Bifurcação Transcrítica


Bifurcação da Forquilha


Bifurcação da Forquilha Diagrama de Bifurcação

III – Continuação de Pontos Fixos

1. f que desde ocorre Isso

período). de duplicaou existir de (deixa bifurcaçao uma até

onalunidimensi mapa um de fixo ponto do contínua Variação

a ≠ʹ

aaem)v,a(deocontinuaçãaé)v,a (

)v(Npara)dad,-a ( de g contínua função uma de gráfico o é)v(Nx)dad,-a (

de ça vizinhanna f de fixos pontos de conjunto Um

contínuatrajetóriaemiarvar,aapara,f de v se lcontinuáveév

v)v(ffixoponto,RemfDefinição

cc

a

an

a

=∗∗

⇒

∗+∗∗

∗+∗∗

≅∗∗

∗=∗

ε

ε

∗

!!

!

!

!!

!!


Continuação do Ponto Fixo

Exemplo

Variação contínua do ponto fixo no intervalo -1/4 < a< 3/4

ocontinuaçã sem fixo ponto 1 (-1) (-1) (1/2) f (1/2) f (1/2) f

1/2) (3/4, x)(a, em bifurcação com f Mapa

ocontinuaçã com fixo ponto 1- (1/2) f1/2) (3/4, x)(a, em período de dobra bifurcação com f Mapa

1/4- xpara ocontinuaçã sem 1/2)- (-1/4, x)(a, em nó - sela Bifucação

x- a f Mapa anterior, slide o d exemplo No

4/34/34/32

2

4/3

2

⇒==ʹʹ=ʹ

=

⇒=ʹ

=

<⇒

=

=

ocontinuaçãtem)x,a(1vpontono)v(Dfjacobianamatrizdaautovalor:

v)v(f

1n,R em suavef )b

ocontinuaçãtem)x,a(1)x(fx)x(f R, em definido suave mapa f a)

Teorema

a

a

na

a

aa

⇒≠λ

λ

=

>

⇒≠ʹ

=

!!

!!

IV – Bifurcações em Mapas Unidiminesionais

2a

a

2aa

a

a

f de fixo ponto do idadeDescontinu

f de fixo ponto do deContinuidaperíodo de Duplicação

1 f 1- f Se

período). de duplicaou existir de (deixa bifurcaçao na f de fixo ponto do adescontínu Variação

bifurcação 1 f

=ʹ⇒=ʹ

⇒=ʹ

0DAseaaparafixospontosexistemNão0DAseaaparafixospontos

)x ,a( de emanam fixos pontos de curvas Duas

0x

)x,a(fDe0a

)x,a(fA

1)x(f,x)x(fparâmetroum,ensionaldimuni,suavemapa:f

nó) - sela o(bifurcaçãTeorema

2

2aa

a

>>

<>∃

⇒

≠∂

∂=≠

∂

∂=

=ʹ=


Ilustração do Teorema

Bifurcação sela- nó

Ocorrência de Bifurcação


Ilustração do Teorema


Bifurcações em Mapas Unidimensionais

V – Bifurcações em Mapas Bidimensionais Dissipativos

fonteseatratores:fselas,atratores:g

1)x(gparaocorreBifurcação

0.2)x(g

0 - 0.2 0

0 - x a 2 - a

0.2 00 x a 2 - a

Df

x)-(1 x a g ; y) 0.2 (x),g ( f Mapa

a

a

a

a

a

aaa

=ʹ

⎩⎨⎧ ʹ

=λ⇒=λ

λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

==

1b para voconservati é mapa Esse

b-01bx2

)v(Dfdet

)x,by x- (a f:Exemplo

Rv 1, )v(Dfdet se voconservati mapa um é f

Rv 1, )v(Dfdet se odissipativ mapa um é fjacobianamatriz:)v(Df,R em suave mapa f

:Definições

2

2

2

2

=

==

+=

∈∀=

∈∀<

!

!!

!!

!


Mapa de Hénon a) Dissipativo b) Expansivo c) Conservativo

-0.9 < b < -1.1

VI – Bifurcações no Plano Mapas Conservativos

i235.0fixo ontop 0.5)- ,5.0(

voconservatimapa1bDhDet)x,by x- (-1 h

Hénon de Mapa:Exemplo

bi a valor -auto bi a valor -auto vosconservati mapas dos opriedadePr

b

2b

21

±=λ⇒−

=−=

+=

−=λ∃⇒+=λ∃


Mapa de Hénon Conservativo

Pontos elíptico e hiperbólico surgem em a = -1 (dois auto-valores λ = 1) Em a = 3 ocorre dobramento de período. Ponto elíptico se transforma em ponto de sela (um auto-valor λ > 1)

Não há ponto fixo para a < -1

Imag λ

Real λ

Exempo

Mapa de Hénon conservativo (b = -1)ha =(a - x2 − y, x)

a < -1 ⇒ não há pontos ffixosa = -1 ⇒ ponto fixo em (-1, -1), λ1 + λ2 = 1

a > -1 ⇒ dois pontos fixos: um ponto de sela e um ponto elípticoλ1, 2 = a ± ib

a = 3 ⇒ bifurcação com dobra de período(duplicação de ilha)

Mapa Padrão

y, x ∈ [π, −π ]

Sa ≡ xn + 1

yn+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

xn + ynyn + a sen (xn + yn )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Mapa periódico com período T =2π em x e y

a=0 ⇒ xn + 1

yn+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

xn + ynyn ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Número de rotação ι ≡ Δ x ≡ xn+1 − xn = yn (Fig. 11.18a)

a=0.97 ⇒ superfícies KAM destruidas (Fig. 11.18 f )


Mapa Padrão Variação com o parâmetro de controle

a)  - g) várias órbitas

f) uma órbita

VII – Bifurcações em Equações Diferenciais

Para equações diferenciais !"v=f (!v) em Rn

analisaremos o mapa de Poincaré em Rn−1

Definição :os auto− valores da matriz jacobiana, (n−1)x (n−1), D!v T (!v0 )são denominados de multiplicadores (de Floquet) da órbita periódica γ.

λi : auto− valores do mapa tλi <1 ⇒ atrator

λi <1 e λi >1 ⇒ ponto de sela

Órbita periódica em R3 ⇒ órbita periódica em R2


Mapa de Poincaré


Exemplo de Mapa de Poincaré

Atrator: ciclo limite com r = 1

...}r,r,{r:Poincaré de Mapa

,210


Bifurcação Sela-Nó


Dobramento de Período


Bifurcação de Hopf

)yxa(yxy)yx-x(ay-x

Exemplo

22

22

−−+=

−+=

!

!


Ilustração da Bifurcação de Hopf


Bifurcação de Hopf Sub-Crítica 1

rr2arr 53

=θ

−+=!!


Bifurcação de Hopf Sub-Crítica nas Equações de Lorenz

XI - Bifurcações · Chaos Alligood et al. Mapa de Hénon Conservativo Pontos elíptico e...

Documents

Transcript of XI - Bifurcações · Chaos Alligood et al. Mapa de Hénon Conservativo Pontos elíptico e...