C53. M = "261. (a) A distância mínima é V5/2.
(b) A menor distânciaé a partir do ponto (312,O)até o ponto (1,1) no gráfico de y = vs:,o que ocorre no valor de x = 1,onde D(x), o quadrado da distância, tem seu valor mínimo.
y,D(x)
2.5D(x)
0.5 2,5
63. (a) V(x) = V;e7T~7T-xy Ja2 - e7T~7T-xy
4V6 4V3(b) Quandoa = 4: r = ~,h = ~; quandoa = 5: r =
5V6 5V3 . Ir . r;:;- h = -' quando a = 6' r = 2 v 6 h = 2 v ,j3'
3 ' 3 ' . , ,8V6 8V3
quandoa = 8:r = ~' h = ~aV6 aV3 - r . r;:;
(c) Uma vez que r = ~ e h = ~' a relaçao é li= v 2.
Seção 3.6, p. 298-3011. lOx- 13 3. L(x)= 2
5. L(x) = x - 7T
7. fiO) = 1.Portanto,f'(x) = k(1 + x)k-1,entãof'(O) = k. Issosignifica também que a linearização em x = Oé L(x) = 1 + kx.
9. Centro= -1, L(x) = -5
x 1 4x 911. Centro= 1,L(x) = 4 + 4' oucentro= 1,5,L(x)= 25 + 25
13. (a) 1,01
15. (3X2 - -1- )dx2VS:
(b) 1,003
17. (a) (2x Inx + x) dx
1-y
19. \IV dx3 y +x.23. (1 + x)e' dx
25. (a) 0,21
27. (a) -2/11
29. 47Ta2dr
21. (a) dy =(cos x)esenx dx
(b) 0,2
(b) -1/5
(c) 0,01
(c) 1/55
31. 3a2dx
(b) 2%33. (a) 0,087T m2
35. dV"" 565,5 pol3
Respostas 631
137. 3% 39. 0,05%
41. O raio é igual a 37,87, portanto uma mudança na aceleraçãodagravidade da Lua tem aproximadamente 38 vezes o efeito queuma mudança de mesma magnitude na Terra.
47. (a) L(x) = 1 + (1n2)x "" 0,69x+ 1
Seção3.7. p. 307-309. 5 13 51 5.763
1. X2 = -3' 2T 3. X2= -31' 4.945
7. XI e as aproximações seguintes serão iguais a x.
9. y
~-~ ~ x
{-{;.x;,oy= ~.x<o
11. Os pontos de intersecção de y = K e y = 3x + 1 ou Y = K -3x e y = 1 têm os mesmos valores de x conforme as raízes doitem (i) ou as soluções do item (iv).
15. 1,165561185
17. (a) Duas(b) 0,35003501505249 e -1,0261731615301
19. :t 1,3065629648764, :t0,5411961O01462
21. O, 0,53485
23. A raiz é 1,17951.
25. (a) ParaXo= - 2 ou Xo= -0,8, Xi~ -1 quando i aumenta.(b) Para Xo= -0,5 ouXo = 0,25,Xi ~ Oquandoi aumenta.(c) Paraxo = 0,8 ou Xo= 2, Xi~ l~ando i aumenta.(d) Paraxo = -V2l/7 ouxo = \/21/7, o método de Newton
não converge. Os valores de Xi variam entre - V2l/7 eV2l /7 quando i aumenta.
27. As respostas variarão com a velocidade da máquina.
29. 2,45,0,000245
Capitulo3 Exercíciosde Fixação,p. 310-313
1. Valor mínimo global de tem x = 2
3. (a) [-3, -2] e [1,2](b) [-2, O)e (O,1](c) Máximos locais em x = -2 e x =2; mínimos locais em x
= - 3 e x = 1 (dado que f seja contínua em x = O).5. Não
7. Sem mínimo,máximoabsoluto:1(1) = 16, pontoscríticos:x=le.!l
39. Sim 11. Não
13. (b) Uma 0,855599677215. (b)
Capítulo 3 ExercíciosAdicionais, p. 313-3161. Se M e m são os valores máximo e mínimo, respectivamente,
então m s; f(x) s; M para todo x E I. Se m = M, então f é con-stante em I.
3. Os pontos extremos não estarão na extremidade aberta de umintervalo aberto.
5. (a) Um mínimo local em x = -I, pontos de inflexão em x = Oex = 2
(b) Um máximo local em x'= Oe mínimos locais em x = -I
2 d'
fI - 1:tV7ex= ,pontos em exaoemx=~
11. a = I, b = O,c = I 13. Simh
15. Perfure o buraco em y = "2
RH17. r = 2(H - R) para H > 2R, r = R para H $ 2R21. (a) 0,8156 pé
(b) 0,00613 s(c) Perderá em torno de 8,83 min/dia.
25. (b) 610
CAPíTULO4 INTEGRAÇÃO
Seção 4.1, p. 323-326
1. (a) 3r (b) X88
X8
(c) 8 - 3r + 8x
x4 I(c) - + -
4 2x2I
3. (a) 2x1
(b) - 4X2
5. (a) r/3 (b) Xl/3
(b) 2 tg (~)
(c) X-1I3
2
(3X
)(c) -3tg 27. (a) tg x
,x-9. "2 + x + C
13 - -x + ~ + C. e In 4
I 417. "7y + li4 + CY
11. ln Ix I- 5 arc tg x + C
415. 2 are seny - 3l14 + C
19. 2Vt - ~+ C
621. -21 cos3 + C
25. -cos 6 + 6 + C
23. tg 6 + C
d
(X2
)2x X2
31. (a) Errada: dx "2 sen x + C = 2 sen x + "2 cos x =X2
x sen x + "2 cos xd
(b) Errada: dx (- x eos x + C) = - eos x + x sen xd
(c) Certa: dx (-xcosx + senx + C) = -cosx + xsenx +eos x = x sen x
33. (b) 35. y = r - 7x + 10
37. y = 9XI/3+ 4
41. v = 3 are sec t - 7T
39. s = sen t - COSt
43. Y= r - K + 4x + I
45. y = K - 4X2 + 549. s = 16t2 + 20t + 5
I53. y = x - X4/3+ "2
57. 48 m/s
Respostas 633
47. s = 4,9r + 5t + 1051. y = 2K/2 - 50
55. y = - sen x - eosx - 2
8859. t = k' k = 16
61. (a) v = IOt3/2- 6t 1/2(b) s = 4t5/2- 4t3/2
65. (a) i: 33,2 unidades; ii: 33,2 unidades; iii: 33,2 unidades(b) Sim, é verdade
Seção 4.2, p. 333-334
1. -i cos 2r + C
5. -6(1 - r3 )1/2 + C
7. t(K/2 - 1) - i sen (2K/2 - 2) + C
I9. (a) -4 (cotg226) + C
11. -t (3 - 2S)3/2+ C
15. -t (7 - 3/)3/2 + C1
19. 3tg (3x + 2) + C
23. -~COS (K/2 + I) + C
227. -3 (cotg3y)1/2+ C
31. In I2 - eos t I+ C
I1
5X
I35. V2arc sec V2 + C
39. arc tg (eX) + C
641. (a) - 3 + C
2 + tg x6
(c) - 2 + C2 + tg x
43. isen V3(2r - 1)2+ 6 + C
.47. s = 4t - 2 sen (2t + ~) + 9
51. s = sen (2t - I)+ 1O0t + 1
53. y = 2(e-X + x) - 1
27T
57. y = arc sec (x) + 3' x> I
63. (a) arc sen (~) + C
V3 (\13X
)(b) Taretg ~ + C
3. -(7x - 2)-4 + C
I(b) -4 (cosec226) + C
13.-2
3 +C-x
17. 4eY.; + C
21. -e"t + C
I25. 2 cos (2t + 1) + C
I29. "2 In I2x - 1 I+ C
133. "2are sen (2x) + C
I37. 3 arc tg (3x + 1) + C
(b) 6 3 + C2 + tg x
45. s = ~ (3t2 - 1)4 - 5
49. y = 1 - cos (e' - 2)
55. y = arc sen (x)
59.6m
634 Respostas
Seção4.3, p. 342-3451. = 44,8, 6,7 11m
3. (a) 87 pol
5. (a) 3.490 pés
(b) 87 poI
(b) 3.840 pés
(b) 6%
(b) 9%
(b) ElTo = 11%
(b) 20%
7. (a) 807T
9. (a) 9;7T,superestimada11. (a) II8,57Tou = 372,28 m3
13. (a) ]07T,subestimada
15. (a) 74,65 pésls
17 11. ]6
(b) 45,28 pésls (c) 146,59 pés
19. I
21. (a) Superestimado = 758 gal, subestimado = 543 gal(b) Superestimado = 2.363 gal, subestimado = 1.693 gal(c) =3],4h,=32,4h
(b) 2v2 = 2,82823. (a) 2
(c) 8sen(i) =3,061(d) Cada área é menor que a área do círculo, p. Quando n au-
menta, a área do polígono se aproxima de 7T.
Seção 4.4. p. 355-3566(1) 6(2)
1. 1+1 + 2 + 1.= 7
3. cos (l7T) + cos (27T) + COS(37T) + COS(47T) = O
7T 7T \13-25. sen 7T- sen 2" + sen"3 = ~
7. (a) (b)(2.3)
(2.3)
f(x)=,'-I.0~x52
Esquerda
C]
~=}é2.
C3r=1 c 2
.".. ' 4
-lf_'.tU
c]c,=lc,C4=2
-I
(c)(2,3)
9. (a)
f(x) =senx.-1t5x 5 1tEsquerda
c =1tI
1t
(b) y
f(x) =senx.
I-1t 5x5 1t
Direita1
~I)
-N/. =0 c, c, =1t
~--- -11 .
(c)
-1t' .L-
11. f02 X2 dx
15. Ia' V 4 - X2dx
17. Área = 2] unidades quadradas
13. f7 (X2- 3x) dx
~=++~4 ,.
2G'=++3)
-3 -2 -I
19. Área = 2,5 unidades quadradas
y
1,5
(y= Ixl!
0.5
-2 -1,5 -I -<J.5 0.5
. 2, b21. Area = - unidadesquadradas2
2b. -- -- - -- - -- -- - - - -- -- ---
(y=2x)
2a.----
23. m(f) = 1/227. (a) O
(d) 10
29. (a) 5(c) -5
31. (a) 4
25. m(j) = 1T/4
(c) -12(O 16
(b) 5V3(d) -5
(b) -4
(b) -8
(e) -2
33. a = Oe b = 1 maximizam a integral.
37. Limitesuperior= 1; limite inferior = 1/2
39. 37,5 mifh
Seção 4.5. p. 365-3681. 6 3. 1
7. O5. 1T
9. 21T33
13.e-12
1116\12 - 17
. 48
15. (cosYÍx{2~)
19. ví+717. 4t5
21. _~x-lf2senxeX+1
23. 2133x
27. 7!.+ sen 22
25. O
29. Y = J sec t dt + 32
31. Y = 1 - cos (el - 2)
2833. "337. 1T
35. 8
39. (a) $9,00 (b) $10,00
I
ds d I41. (a) u = dI = di f(x) dx =f(t) ==}u(5) = f(5) = 2 mlso
(b) a = ~ é negativa, uma vez que o coeficiente angular de
uma reta tangente em t = 5 sejanegativo.3
(c) s = If(x) dx = ~ (3)(3) = ~ m, uma vez que a integral se-o
ja a área do triângulo formado por y = f(x), pelo eixo x epor x = 3.
(d) Em t = 6, uma vez que depois de t = 6 a I = 9 a região sesitue abaixo do eixo x.
(e) Em t = 4 e 1= 7, uma vezqueexistam tangenteshorizontais.(O Em direção à origem entre t = 6 e t = 9, uma vez que a
velocidade seja negativa nesse intervalo. Fora da origementre I = Oe t = 6,umavezquea velocidadesejapositiva.
(g) À direita ou do lado positivo, porque a integral de f de Oa9 é positiva, sendo maior a área acima do que abaixo doeixox.
8
43. I1T(64 - X2) dx = 3201T4 3
45. 2x - 2 47. -3x + 5
Respostas 635
49. (a) Verdadeira, uma vez que f seja contínua, g é derivávelpela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.
(b) Verdadeira: g é contínua porque é derivável.(c) Verdadeira, uma vez que g'(1) = f(1) = O.(d) Falsa, uma vez que g"(1) = l' (1) > O.(e) Verdadeira, uma vez que g'(1) = Oe g"(l) = 1'(1) > O.(O Falsa: g"(x) = 1'(x) > O,portanto g" nunca muda de sinal.(g) Verdadeira, uma vez que g'(l) = f(l) = Oe g'(x) = f(x)
seja uma função crescente de x (porquel' (x) > O).
51. (a) 1256 (b) h = 254 (d) ~ bh
Seção 4.6, p. 374-37614
1. (a) "3
3. (a) 2
(b) ~3(b) 2
(b) 185. (a) O
7. (a) O
19. "6
13. e-I
(b) O
111. "515. I
17. y(t) = ~ (3 - tg (1Te~(»
21 ~. 15
19. 7!.2
23. 383
(b) 71325. (a) 6
27. (a) O (b) ~3
29. 323
33. 8
831. :335. 4
37. 4 - 1T1T
39. 1
41. 323
Seção 4.7, p. 384-388
1. I: (a) 1,5,O (b) 1,5,O11: (a) 1,5,O (b) 1,5,O
3. I: (a) 2,75,0,08 (b) 2,67,0,0811: (a) 2,67, O (b) 2,67, O
5. I: (a) 6,25,0,5 (b) 6,0,2511: (a) 6, O (b) 6, O
7. I: (a) 0,509,0,03125(b) 0,5,0,009(c) 0,018 = 2%
11: (a) 0,5004, 0,002604(b) 0,5,0,0004(c) 0,08%
9. I: (a) 1,8961,0,161(b) 2,0,1039(c) 0,052 = 5%
(c) 0%(c) 0%(c) 0,0312 = 3%(c) 0%(c) 0,0417 = 4%(c) 0%
636 Respostas
11: (a) 2,00456, 0,0066(b) 2,0,0046(c) 0,23%
11. (a) 0,31929(b) 0,32812
I(c) 3,0,01404,0,00521
13. (a) 1.95643(b) 2,00421(c) 2.0,04357, -0,00421
15. 15,990 pés3
17. 1,032 mi ou 5.443,5 pés
19. = 10,63pés
21. 4, 4
23. (a) SIO= 0,8427
(b) IE 1
~ I - O(O 1)412 = 67 X 10-6, 180' ,
25. (a) f"(x) = 2 cos (.r) - 4.r sen (X2)
(b)
3<::r (x) = -4x' scn(x') + 2 cos(r)
(c) o gráfico mostra que - 3 ~ f"(x) ~ 2 para -I ~ x ~ l.1-(-1) h2
(d) 1 ET 1 ~ 12 (h2)(3) = 2h2 012
(e) 1 ET 1 ~ - ~ -'- < 0,012 2
(O n:2: 20
27. Sso = 3,1379, SIOO= 3,14029
29. 1,37076
31. (a) TIO= 1,983523538;TIOO= 1,999835504, Tl.ooo=1,999998355
(b)n
10
100
1.000
1 ET I= 2 - Tn
0,016476462 = 1,6476462 X 10-2
1,64496 X 10-4
1,645 X 10-6
(c) IET"",1= 10-21 ET" I
7T2(d) b - a = 7í, h2= 2; M = In
(2
)7T37T 7T --
IET" I~ 12 -;? - 12n 2
3
IE I< 7T = 10-2 1
E IT"", - 12(lOn)2 T"
Capítulo 4 Exercícios de Fixação, p. 389-393
1. f + % X2 - 7x + C 3. 2,'12 - ~ + C
5. - I + C 7. - (2 - ()2)312+ C2(r2 + 5)
9. -cos e' + C
13. -[In 1 cos (ln v) I] + C
17. -cotg (1 + In r) + C
21. (a) Aproximadamente 680 pés
(b) h (pés)~
700
600
soo400300200100
s
23. I(2x - 1)-1/2 dx = 21
27. (a) 4(d) -27T
29. 16
(b) 2(e) 8/5
33. I
37. 1/6
41. 9/14
45. -I
49. I
53. 8/3
57. I
61. 7T2 + V232 2 - I
65. Mín.: -4; máx.: O;área: 27/4
69. r = 4(-'/2 + 4p/2 - 8t
75. (a) b
79. V2 + COS3x
83. T = 7T,S = 7T
11. tg (e' - 7) + C
I x15. "2x - sen "2+ C
I x'19. 2 In 3 (3 ) + C
1(5)
o
25. Icos ~ dx = 2
(c) -2
31. 15/16 + ln 2
35. 8
39. 2V2 - 2
43. 7T/Y3
47. 7T/12
51. Y3 7T/4
55. 62
59. 1/6
63.4
I67. y = x - X - I
73. y = J (se~ t) dt - 3(b) b
81.~3 + X4
87. custo = $12.518,10 (Regra do Trapézio); não
85. 2SOF
89. Sim 91 y = Ix sen t dt + 3. t
s
93. (a) O
(c) -7T(e) y = 2x + 2 - 7T
(g) [-27T, O]95. 600, $18,00
(b) -1(d) x = 1(O x = -1, x = 2
97. 300, $6,00
Capítulo 4 ExercíciosAdicionais,p. 393-3951. (a) Sim (b) Não5. (a) 1/4 (b) Vi2
7. f(x) = x 9. y = y + 2x - 4v?+I11. 36/5 13. 1 - 2
2 7iy
y =x2l)
.1'=/
-8 -4x
-4.I'=-4
-I
15. 13/3
-----.1'=2
, x2-2 -I
17. 1/2sen 4y sen y21 - --
. 0 20
19. 2/x
CAPíTULO5 APLICAÇÕESDEINTEGRAIS
Seção 5.1, p. 405-4101. (a) A(x) = 7T(1- r)
(c) A(x) = 2(1 - X2)
3. 16
(b) A(x) = 4(1 - X2)(d) A(x) = V3(1 - r)
5. (a) ~2
7. (a) 2V3
(b) 27T
(b) 8
9. 87T
11. (a) S2!J (b) S2!J
15. 4 - 7T13. 27T13
17. 327T/5 19. 367T
23. 7T(i + 2V2- 131)27. 27T
21. 7T
25. 27T
29. 37T 31. "r - 27T
33. 27T/3 35. I I77T/5
Respostas 637
37. 7T(7T- 2)
41. 87T
45. (a) 87T
(c) 87T/3
47. (a) 167T/1549. V = 2a2b"r
39. 47T/3
43. 77T/6
(b) 327T/5(d) 2247T/15
(b) 567T/15 (c) 647T/BI5
51. (a) V = 7T!J2(3; - !J)
55. V = 3.308 cm357. (a) c = 27T
(c)
1(b) 1207Tm/s
(b) c = O
,,'12
v =" (c'1<+ T -4C)
2/R
59. (a) 2,3,1,6,1,5,2,1,3,2,4,8,7,0,9,3,10,7,10,7,9,3,6,4,3,26
(b) 4~ f (C(y»2 dyo
(c) = 34,7 pol3(d) V = 34,75 pol3 pela Regra de Simpson. A estimativa da
Regra de Simpson deve ser mais precisa que a estimativapela Regra do Trapézio. O erro na estimativa de Simpson éproporcional a !J4= 0,0625, enquanto o erro na estimativado trapézio para !J2= 0,25, um número maior quando !J =0,5 pol.
Seção 5.2, p. 414-4161. 67T5. 147T/3
9. 57T/6
3. 27T7. 87T
11. 7T( 1 - t)15. 1~; (3V2 + 5)19. 47T/3
13. (b) 47T
17. 87T/321. 167T/323. (a) 67T/5 (b) 47T/5
(c) 27T (d) 27T
25. (a) Em tomo do eixo x: V = 27T/15,em tomo do eixoy: V = 7T/6(b) Em tomo do eixo x: V = 27T/15,em tomo do eixo y: V = 7T/6
27. (a) 57T/3 (b) 47T13
(c) 27T (d) 27T/329. (a) 47T/15 (b) 77T13031. (a) 247T/5 (b) 487T/533. (a) 97T/16 (b) 97T/16
Seção 5.3, p. 422-4241. 12 3. 53/65. 123/32 7. 99/89. 2 11. 27Ta
13. e3+ 2 15. V2(e""- I)17. Sim,f(x) = :tx + C,ondeCé qualquernúmeroreal,de(1, I)
a(4,2).
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