7/24/2019 382 Apostila Pesquisa Operacional Parte 3
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Programao Inteira
Pesquisa Operacional I
Flvio Fogliatto
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Tipos de problemas deprogramao inteira (PI)
Puros - todas as variveis de deciso sointeiras
Mistos - algumas variveis de decisoso inteiras
Booleanos - variveis de deciso s
apresentam valores inteiros no intervalo[0, 1]
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Programao inteira
A todo o problema de PI existe um problema de
problema de PL correspondente no qual as
restries de no-fracionariedade so
removidas (ou relaxadas)
Alguns resultados se seguem:
Espao de solues viveis do PI Espao de
solues viveis do PI relaxado
Valor timo de z do PI no mximo to bom quanto ovalor timo do PI relaxado
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Abordagem para soluo deproblemas de PI
Resolver seus problemas correspondentes
relaxados e arredondar as variveis de
deciso p/ o maior ou menor inteiro mais
prximo
Dois problemas podem resultar:
Valores arredondados podem resultar inviveis no PI
Solues resultantes so altamente sub-timas
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Mtodo Branch-and-Bound parasoluo de problemas PIs puros
Considere o problema de PI:
Max z = 8x1 + 5x2
s.a
x1 + x2 6
9x1 + 5x2 45
x1 , x2 0
x1 , x2 inteiros
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Branch-and-bound operacionalizado em 5 passos
Passo 1: Comece resolvendo o PI relaxado.
Se a soluo tima for inteira, esta a soluo do PI
Caso contrrio, soluo tima do IPR (problema de programao inteira
relaxado) o limite superiorda soluo tima do PI
Soluo tima do IPR dado anteriormente :
z* = 165/4
x1 = 15/4
x2 = 9/4
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Passo 2
Escolha uma varivel de deciso
fracionria em z* do PIR: por exemplo, x1 = 15/4.
PI admite valores de x1 3 ou x1 4, mas
no em 3 < x1 < 4
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Crie dois subproblemas apartir de x1
SP2: SP1 + restrio x1 4
SP3: SP1 + Restrio x1 3
SP = subproblema
Problema designado por SP1 o prprio
problema de PI em estudo, relaxado das
restries de no-fracionariedade
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Passo 3
Escolha qualquer SP listado no passoanterior e resolva como se fosse um
problema de PL:
Por ex., SP2, com soluo tima z* = 41, x1 =
4 e x2 = 9/5
Resultados obtidos at agora podem serapresentados na forma de uma rvore
hierrquica
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Arvore hierrquica desoluo do problema
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Passo 4
Repita o procedimento no Passo 3 usando o
SP2 e a varivel de deciso fracionria x2
= 9/5
Subproblemas resultantes:
SP4: SP1 + x1 4 + x2 2 ou SP2 + x2 2
SP5: SP1 + x1 4 + x2 1 ou SP2 + x2 1
Tem-se trs problemas que podem ser
resolvidos: SP3, SP4 e SP5
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Escolha um para resoluoPor exemplo: SP4
SP4 no apresenta solues viveis, no
podendo, assim, gerar uma soluo tima parao problema de PI:
Assim, diz-se que este nodo da rvore foi terminado
Dentre os SPs no resolvidos, escolhe-se o
mais recente, SP5:
Soluo vm apresentada na rvore do problema, aseguir
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Arvore hierrquica desoluo do problema
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Repita procedimento em (3)usando SP5 e var. fracionria x1
Subproblemas resultantes so:
SP6: SP5 + x1 5
SP7: SP5 + x1 4
Trs SPs podem ser resolvidos: SP3, SP6 e SP7.
Escolhe-se, aleatoriamente, um dos mais recentes:
SP7, por exemplo
Soluo tima p/ SP7 vem dada na rvore a seguir
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SP7 gera a primeira soluocandidata para PI
Soluo s possui
valores inteiros p/ avarivel de deciso:
Pode ser interpretada
como soluo
candidata ou um limite
inferior no valor timo
do problema de PI
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Problemas SP3 e SP6 aindano foram resolvidos
Escolhe-se SP6 (+ recente), com soluo dada
na rvore a seguir: Soluo de SP6 inteira e melhor do que aquela
obtida para SP7
Assim, termina-se nodo da rvore em SP7 (identifica-
se o nodo terminado por um ou escrevendo soluo
excluda) e atualiza-se o limite inferior da rvore;
novo LI = 40
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Arvore hierrquica desoluo do problema
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ltimo SP a ser resolvido SP3
Soluo de SP3 z*
= 39, x1 = x2 = 3: Trata-se de uma soluo candidata com z* 12pode desconsiderada
Com isto, termina-se os nodos 1, 2, 5, 6, e
9. Arvore de resultados parciais dada na
sequncia
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rvore parcial de resultados
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Desdobra-se o nodo 3
Qualquer sequncia deve ter x13 = 1, x23 = 1 ou x43 = 1.
Clculo do limite inferior de atraso :
x13 = trabalho 1 completo no final do dia (8+4+6) = 18 - 8 = 10 +
11 = 21
x23 = trabalho 2 completo no final do dia (8+4+6) = 18 - 4 = 14 +
11 = 25
x43 = trabalho 4 completo no final do dia (8+4+6) = 18 - 16 = 2 +
11 = 13
Sequncia tima 2 - 1 - 3 - 4. Atraso total de 12 dias
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Arvore final de resultados
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