Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Mecnica dos Slidos 1 Cdigo: Cdigo ECIV018 Professor: Professor: Eduardo Nobre Lages

Esttica das Partculas

Macei/AL

Objetivo Estudo do efeito de sistemas de foras concorrentes.TAB TAC

Wcaixa

Resultante de Duas Foras ConcorrentesRegra do Paralelogramo para Adio de Foras: Duas foras atuando numa partcula podem ser substitudas por uma nica fora, chamada resultante, obtida traando a diagonal do paralelogramo que tem por lados as duas foras dadas.

PA

R

Q

Observaes: As foras concorrentes devem apresentar origens em comum; As inclinaes das foras devem ser obedecidas; Os tamanhos dos vetores devem obedecer a uma nica escala de converso.

Resultante de Duas Foras ConcorrentesExemplo:

4,5 kN25 50

6 kNDuas foras so aplicadas cabea de um parafuso preso em uma viga. Determine a intensidade, a direo e o sentido de sua resultante.

Resultante de Duas Foras ConcorrentesExemplo (continuao):Princpio da Transmissibilidade Lei do Paralelogramo 6,5 kN

25 50

4,5 kN

6 kN

88 25 50

4,5 kN

6 kN

Resposta: 6,5 kN

88

Resultante de Duas Foras ConcorrentesRegra do Tringulo: Da lei do paralelogramo possvel deduzir um outro mtodo para se determinar a fora resultante.

P Q

R Q P

A

O mesmo vetor fora resultante pode ser determinado combinando-se os dois vetores fora originais na seqncia ponta-a-cauda e, em seguida, unindo-se a cauda do primeiro desenhado ponta do segundo desenhado.

R

A ordem da combinao dos vetores originais no altera a fora resultante (a soma de vetores comutativa).

Identidades Trigonomtricas para Solues Analticasb Teorema angular de Tales:

+ + = 180o

c

Lei dos senos:

a

sin sin sin = = a b c

Lei dos co-senos:

a 2 = b 2 + c 2 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 2ac cos c = a + b 2ab cos 2 2 2

Identidades Trigonomtricas para Solues AnalticasExemplo Anterior:Regra do Tringulo

4,5 kN25 50

4,5 kN25 50

6 kN50

R

Lei dos co-senos:

R 2 = 4,52 + 6 2 2 4,5 6 cos 75o R = 6,502 kN

6 kN

Lei dos senos:

Como

sin 75o sin = = 41,954o R 4,5 50 o + + = 180 o = 88,046o

Resultante de Mais de Duas Foras ConcorrentesA princpio possvel encontrar a fora resultante aplicando-se sucessivamente a lei do paralelogramo ou a regra do tringulo. Aplicao sucessiva da lei do paralelogramo:

R PRPQ

S

A

Q

A ordem da combinao dos vetores originais no altera a fora resultante (a soma de vetores comutativa).

Resultante de Mais de Duas Foras ConcorrentesRegra do Polgono: O vetor fora resultante de um sistema de vrias foras concorrentes pode ser determinado como uma extenso da regra do tringulo, combinando-se os vetores fora originais na seqncia ponta-a-cauda e, em seguida, unindo-se a cauda do primeiro desenhado ponta do ltimo desenhado.

P SA

S R P Q

Q

A ordem da combinao dos vetores originais no altera a fora resultante (a soma de vetores comutativa).

Resultante de Foras ConcorrentesExerccio:120 N P

Uma estaca cravada no solo solicitada por dois trechos de corda. Impondo que a resultante das duas foras aplicadas estaca seja vertical, determine: a) O valor de para o qual a intensidade de P seja mnima; b) A correspondente intensidade de P.

Componentes de uma ForaAnteriormente vimos que um sistema de duas ou mais foras concorrentes pode ser substitudo por uma fora nica que gera o mesmo efeito sobre o corpo em que atua. Reciprocamente, uma fora nica pode ser substituda por duas ou mais foras que, juntas, geram o mesmo efeito sobre o corpo em que atuam. Essas foras so chamadas de componentes da fora original, e o processo de substituio da original por elas denominado decomposio dos componentes da fora. Para cada fora existe um nmero infinito de possveis conjuntos de componentes.

Componentes de uma ForaPensando no processo prtico de decomposio de uma fora em duas outras, para o caso plano, duas situaes podem ser propostas: 1) Um dos dois componentes, P, conhecido

P

F Q P F

O segundo componente obtido aplicando-se a regra do tringulo unindo-se a ponta do componente conhecido ponta da fora original.

Componentes de uma Fora2) A linha de ao de cada componente conhecida

FA intensidade e o sentido dos componentes so obtidos aplicando-se a lei do paralelogramo traando-se retas, a partir da ponta da fora original, paralelas s linhas de ao dadas. P

FQ

Componentes Retangulares de uma ForaAnteriormente foram apresentados mtodos grficos (lei do paralelogramo, regra do tringulo e regra do polgono), assim como um mtodo analtico (derivado da regra do tringulo), para composio de foras concorrentes. Os mtodos grficos, a exemplo da regra do polgono, podem ficos ser aplicados na determinao da fora resultante de um sistema de foras concorrentes, porm incorpora ao clculo imprecises inerentes ao processo de manipulao grfica. O mtodo analtico, derivado da regra do tringulo, est tico limitado composio de duas foras concorrentes. Para o caso de mais foras preciso aplicar este mtodo analtico repetidamente. O prximo passo ser definir um mtodo analtico prtico que possa trabalhar um sistema com uma quantidade qualquer de foras concorrentes.

Componentes Retangulares de uma ForaAnteriormente foi discutido o conceito de componentes de uma fora, em particular, quando se estabelecem, no caso plano, duas direes de decomposio, tendo como suporte a lei do paralelogramo. P

F

Q Estabelecendo direes de decomposio perpendiculares, o paralelogramo se transforma num retngulo, o que leva a expresses analticas simples para os componentes da fora (componentes cartesianos ou retangulares). retangulares y

r FyO

r Fr Fx

x

r r r F = Fx + Fy r Fx = Fx Fx = F cos i r Fy = Fy Fy = F sin j

Adio de Foras pela Soma dos ComponentesIndependentemente das duas direes de decomposio, os componentes da fora resultante de um conjunto de foras concorrentes podem ser determinados atravs das somas dos componentes das foras envolvidas. envolvidasy y

r Sr r r r R = P+Q+S

r Px

S y j S x i

Py j

Px ix

r Q

Qx i Qy j

r R = Px + Py + Qx + Q y + S x + S y i j i j i j r R = (Px + Qx + S x ) + (Py + Q y + S y ) i j

(

) (

) (Ry

)

Rx

Adio de Foras pela Soma dos ComponentesExemplo:210 cm C

702 N

5

12

A 53 450 N

B

Sabendo que a trao na haste AC vale 638 N, determine a resultante das trs foras exercidas no ponto A da viga AB.

200 cm

Adio de Foras pela Soma dos ComponentesExemplo (continuao): y638 N A 200 o arctan = 43,6 210 53 450 N

5 arctan = 22,6o 12 702 N

x

Rx = 638 cos 43,6o + 702 cos 202,6o + 450 cos 307 o

Rx = 84,7 N

R y = 638 sin 43,6o + 702 sin 202,6o + 450 sin 307 oR y = 189,2 N

Adio de Foras pela Soma dos ComponentesExemplo (continuao):

yA 84,7 N 65,9

x

189,2 N2 R = Rx2 + R y

207,3 N

R = 207,3 N

Ry = arctan R x

= 65,9o

Equilbrio de uma PartculaQuando a fora resultante equivalente de TODAS as foras concorrentes que atuam numa partcula igual a zero, a partcula est em equilbrio.F4 = 1800 N Polgono de foras Equilbrio

AF3 = 900 N

F1 = 1350 N F2 = 779,4 N Polgono fechado

Algebricamente o equilbrio corresponde a r que em termos dos componentes retangulares pode ser expresso como

r 0 R=

Rx = Fx = 0

R y = Fy = 0

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaA maioria dos problemas que tratam do equilbrio de uma partcula se enquadra em duas categorias: Verificao: quando todas as foras que atuam na partcula so conhecidas e se deseja saber se a condio de equilbrio ou no atendida.

Imposio: quando algumas das foras que atuam na partcula so desconhecidas e se deseja saber quem so essas foras desconhecidas que garantem a condio de equilbrio.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaPara identificao da situao fsica real do problema de equilbrio faz-se um esboo conhecido como diagrama espacial.

Alguns problemas podem ser estabelecidos: Quo resistentes devem ser os cabos? Quo resistentes devem ser os fixadores das roldanas? Quo fortes devem ser os operrios?

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaPara os problemas que envolvem o equilbrio de uma partcula, escolhe-se uma partcula SIGNIFICATIVA e traa-se um diagrama separado, denominado de diagrama de corpo livre, mostrando essa partcula e todas as foras que atuam sobre ela.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaTChB TChC30

B 50

C

TAC TAC

TAB

TAB

TAC TAB TAB TAC50 A

30

THE

THD

Wcaixa

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaExemplo:

Dois cabos esto ligados em C e so carregados tal como mostra a figura. Visando a especificao dos trechos de cabo AC e BC, determine as traes nos mesmos.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaExemplo (continuao):Diagrama de Corpo Livre

TAC 36 arctan = 36,9 o 48 C

TBC 60 arctan = 43,6o 63

2700 N

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaExemplo (continuao):Imposio do Equilbrioy

TAC36,9oC

TBC43,6ox

2700 N

Rx = 0 TBC cos 43,6o + TAC cos143,1o + 2700 cos 270o = 0R y = 0 TBC sin 43,6o + TAC sin 143,1o + 2700 sin 270o = 0

0,724 TBC 0,800 TAC = 0 0,690 TBC + 0,600 TAC = 2700

TAC = 1981,8 N TBC = 2189,8 N

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaExerccio:

P

Dois cabos esto ligados em C e so carregados tal como mostra a figura. Sabendo-se que os trechos de cabo AC e BC suportam at 2400 N e 2200 N, respectivamente, determine a mxima fora horizontal P que pode atuar no arranjo.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma PartculaExerccio:

PNos cabos do arranjo mostrado, a maior trao permitida de 300 N no cabo AC e de 400 N no cabo BC. Determine a maior fora P que pode ser aplicada em C e o valor correspondente de .

Componentes Retangulares de uma Fora no EspaoAnteriormente foi discutido o conceito de componentes de uma fora, em particular, quando se estabelecem, no caso plano, duas direes ortogonais de decomposio, levando aos denominados componentes retangulares (ou cartesianos) da fora. y

r FyO

r Fr Fx

x

r r r F = Fx + Fy r Fx = Fx Fx = F cos i r Fy = Fy Fy = F sin j

O objetivo, por hora, consiste em estender a idia de decomposio de foras no espao. Para tal sero necessrios trs direes independentes de decomposio, que por simplicidade sero consideradas ortogonais entre si.

Componentes Retangulares de uma Fora no Espaor Fyy

r FO

r Fx

x

r Fzz

r r r r F = Fx + Fy + Fz

Como definir esses componentes a partir de informaes de fcil identificao no diagrama espacial?

Componentes Retangulares de uma Fora no Espaor Fyy

yO

r F

r Fx

Fh = F sin yx

r Fzz

r Fhr Fx = Fx i r Fy = Fy j r Fz = Fz k

Fx = Fh cos

Fx = F sin y cos Fz = F sin y sin

Fy = F cos y

Fz = Fh sin

Componentes Retangulares de uma Fora no Espaor Fyy

yO

x

r F

z

r Fzz

r Fx x r Fx = Fx i r Fy = Fy j r Fz = Fz k

Fx = F cos xFy = F cos y

Fz = F cos z

Os co-senos de x, y e z so conhecidos como co-senos diretores da fora F.

Componentes Retangulares de uma Fora no Espaor r r r F = Fx + Fy + Fzr Fx = Fx i r Fy = Fy j r Fz = Fz k

Fx = F cos xFy = F cos y

r F = F cos x + F cos y + F cos z k i j r F = F cos x + cos y + cos z k i j r F=F

Fz = F cos z

(

)

O vetor fora pode ser gerado do produto de sua intensidade por um vetor unitrio na mesma direo e sentido.

Componentes Retangulares de uma Fora no Espaor F=FEsta forma de representao interessante pois em muitos problemas so conhecidos dois pontos de referncia ao longo da linha de ao da fora em questo.

y

= MN MNx z

= ON OM ON OM

Adio de Foras no Espao pela Soma dos ComponentesIndependentemente das trs direes de decomposio, os componentes da fora resultante de um conjunto de foras concorrentes podem ser determinados atravs das somas dos componentes das foras envolvidas. envolvidasy y

r Sr r r r R = P+Q+Sz

r Px

S y j S x i

Py j

Px ix

r Q

r R = Px + Py + Pz k + Qx + Q y + Qz k + S x + S y + S z k i j i j i j r R = (Px + Qx + S x ) + (Py + Q y + S y ) + (Pz + Qz + S z )k i j

(

) (

Qx i Pz k z Qz k Qy j

S zk

) (

)

Rx

Ry

Rz

Adio de Foras no Espao pela Soma dos ComponentesExemplo:

barra AO aplicada uma carga P. Sabendo que a trao no cabo AB de 850 N e que a resultante da carga P e das foras aplicadas pelos cabos em A deve ter a direo de AO, determine a trao no cabo AC e a intensidade de P.

Adio de Foras no Espao pela Soma dos ComponentesExemplo (continuao):

850 N

TAC

Como a fora resultante dessas trs foras deve ter a direo de AO, que a direo x, os componentes nas direes y e z devem ser nulos.

P

Adio de Foras no Espao pela Soma dos ComponentesExemplo (continuao): r P = (0; P; 0 ) r = AB = ( 600; 360; 270) TAB = TAB ( 600; 360; 270) AB

r TAB = 850( 0,800; 0,480; 0,360) = ( 680; 408; 306 ) N

= ( 0,800; 0,480; 0,360)

r TAC = TAC C r TAC

= AC = ( 600; 320; 510 ) C ( 600; 320; 510) AC

= ( 0,706; 0,376; 0,600 ) = ( 0,706TAC ; 0,376TAC ; 0,600TAC )

Adio de Foras no Espao pela Soma dos ComponentesExemplo (continuao):

R y = P + 408 + 0,376TAC = 0Rz = 0 + 306 0,600TAC = 0

TAC = 510 N

P = 599,76 N

Equilbrio de uma Partcula no EspaoQuando a fora resultante equivalente de TODAS as foras concorrentes que atuam numa partcula igual a zero, a partcula est em equilbrio. Algebricamente o equilbrio corresponde a

0 r r R=

que em termos dos componentes retangulares pode ser expresso como

Rx = Fx = 0

R y = Fy = 0 Rz = Fz = 0

Equilbrio de uma Partcula no EspaoExemplo:

Um caixote de 7500 N sustentado por trs cabos. Determine a trao em cada cabo.

Equilbrio de uma Partcula no EspaoExemplo (continuao):

Diagrama de Corpo Livre

TAB TAC TAD

7500 N

Equilbrio de uma Partcula no EspaoExemplo (continuao): r P = (0; 7500; 0 )N

r TAB = TAB r TAC = TAC C r TAD = TAD D

= AB = ( 0,480; 0,800; 0,360) AB = AC = (0,000; 0,882; 0,471) C AC = AD = (0,519; 0,779; 0,351) D AD

Equilbrio de uma Partcula no EspaoExemplo (continuao):

Rx = 0 0 0,480TAB + 0 + 0,519TAD = 0R y = 0 7500 + 0,800TAB + 0,882TAC + 0,779TAD = 0

Rz = 0 0 0,360TAB + 0,471TAC 0,351TAD = 0 0,480TAB + 0,519TAD = 0 0,800TAB + 0,882TAC + 0,779TAD = 7500 0,360TAB + 0,471TAC 0,351TAD = 0 TAB = 2676,2 N TAC = 3890,0 NTAD = 2475,1 N