A probabilidade de X tomar um dado valor é zero. Calcula-se a probabilidade de X estar dentro de um intervalo. Função de densidade 1. f(x) ≥ 0 +2. f(x) dx = 1 -bP(a < X < b) = f(x) dx
a Função de distribuição
xF(x) = P(X < x) = P(-< X < x) = f(u)du
- dF(x)/dx = f(x)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Independência Duas variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes se os acontecimentos X ≤ x e Y ≤ y são independentes. F(x, y) = F1(x) . F2(y) ESPERANÇA MATEMÁTICA +E(X) = x . f(x) dx - VARIÂNCIA +E[(X-)2] = (x-)2 . f(x) dx
-
COVARIÂNCIA ++
Cov (X, Y) = (x-x)(y-y) f(x,y) dxdy
--
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL X n (, ) - X é uma variável aleatória normal com média e desvio padrão . Função densidade de probabilidade f(x) = f(x, , ) = __= 1/( √2) . e -1/2[(x-)/2
para: - < x < + - < < + e > 0
E (X) = Var (X) = 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
012345
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Estatura (cm)
Nº
de
in
div
ídu
os
Média = 150s = 10
Média = 160s = 10
012345
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Estatura (cm)
Nº
de
in
div
ídu
os
Média = 150s = 20
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Para o cálculo de probabilidades as distribuições normais são transformadas na normal-padrão, que se encontra tabelada. X tem distribuição normal, então Z tem uma distribuição normal padrão: X – Z = ——— n ()
Função densidade de probabilidade __(z) = 1/√2 . e -z2/2
Função de distribuição (z) = P(Z ≤ z)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A distribuição normal como aproximação da distribuição binomial Se X b (x; n; p) com n e p próximo de 0,5 Na prática n > 20 e 0,1 < p < 0,9 Então ___X n (np; √npq ) ___(X - np)/√npq n (0; 1)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A distribuição normal como aproximação da distribuição de Poisson Se X p (x, ) Com
Na prática > 20 Então
_X n (; √) _(X - ) / √ n (0, 1)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Aproximação da distribuição binomial à Poisson A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando:
n e p
mantendo-se = np constante. Na prática:
n > 20 e p ≤ 0,05
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Coeficiente de assimetria Terceiro momento em relação à média: _k 3 = n . (Xi - X) 3] / [(n-1)(n-2)] g1 = k 3 / s 3
Simétrica g1 = 0 Assimétrica à esquerda g1 < 0 Assimétrica à direita g1 > 0
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Assimetria
Normal típica Bimodal
g1>0;
Assimétrica à direita
g1>0;
Assimétrica à esquerda
Coeficiente de achatamento (curtose) k 4 =
_ _{n (Xi - X) 4 . n(n+1)(n-1)] - 3 [(Xi - X) 2] 2 } / [(n-3)(n-2)] g2 = k 4 / s 4
Mesocúrtica g2 = 0 Platicúrtica g2 < 0 Leptocúrtica g2 > 0
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Achatamento
Mesocúrtica
Platicúrtica
g2<0
Leptocúrtica
g2>0
Top Related