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CENTRO UNIVERSITRIO DA FUNDAO
EDUCACIONAL DE BARRETOS
UNIFEB
MECNIC A DOS SLIDOS(Notas de aulas)
ENGENHARIA CIVILENGENHARIA AMBIENTAL
Prof. Paula Cacoza Amed AlbuquerqueBarretos, 2011
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1 TENSO MECNICA - CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.1 - Definio de Tenso MecnicaHaste em equilbrio esttico quando sujeita a um sistema de foras axiais e
centradas de intensidade F.
imaginando a separao da haste em 2 partes:
o equilbrio garantido pelas Foras Internas.
Definio: TensaoFora interna no Corpo
Area em que atua=
O valor da tenso depende do ngulo do plano de corte (a rea varia com ongulo).
Tenso um tensor e no um vetor.no valem as leis da lgebra vetorial para as tenses, mas somente para
as suas resultantes.
Considerando o equilbrio de apenas uma parte do corpo deformvel:
Fx F t dA= + =
0 0.
e admitindo tenso distribuda uniformemente na superfcie de corte (t=cte):
tF
A=
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unidades de tenso :Kgf
cm
tf
mpsi
N
mPa
2 2 2; ; ; =
Obs.: usualmente aproxima-se como:
1 10
1 0 12
kgf N
kgf
cmMPa
,
conveniente substituir a tenso total tpor suas 2 componentes ortogonais:
Perspectiva
Vista Lateral
tenso normal ()ao plano de cortetenso tangencial ou de cisalhamento ()//ao plano de corte
1.2 - Teorema de CauchyConsiderando o mesmo corpo anterior, pode-se passar outros planos de
corte imaginrios.
elemento de volume de espessura e
em planos //s, tensest so iguais eopostas idem para e
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M ae b be aA
= =
= 0 0
Teorema de Cauchy)
( ) ( )
(
'
tenses de cisalhamento em planos perpendiculares so iguais, convergindo ou
divergindo de uma mesma aresta.
1.3 - Tenso no PontoCorpo em equilbrio esttico sob a ao de um sistema de foras espacial:
F resultante da fora interna que atua na rea S
S
Ftlim=
S
Fnlim
S
Flim=t
0S
0S
0S
=
1.4 - Estado Triplo de TensoReferindo as tenses a um sistema de coordenadas cartesianas tri-ortogonal,
as tenses em torno de um ponto ficam:
Analisando um elemento de volume em torno do ponto A, tm-se o seguinte
Estado de Tenso:
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Apenas 6 tenses independentes
Do Teorema de Cauchy: xy= yx
xz = zxyz = zy
1.5 - Estado Duplo ou Plano de Tenses
No caso mais comum, na prtica, de considerar que as aes sobre os corposatuam em um nico plano, tm-se um caso particular do Estado Triplo de Tensesonde 2 faces paralelas esto isentas de tenses
Caso todas as aes estejam contidas no plano xy, vem:
z = 0 = zx = zy
xz = yz
O estado duplo de tenso fica determinado conhecendo-se apenas 3 tenses
independentes em cada ponto: x, ye xy= yx=
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vista pelo plano sem tenses
2. ESFOROS SOLICITANTES
2.1 IntroduoConsidere um corpo em equilbrio esttico, no espao, e as tenses num
ponto de coordenadas qualquer (y,z) numa seo de corte imaginrio.
Define-se como Esforo Geral Solicitante a resultante das tenses x, xyexz que atuam em todos os pontos do plano de corte imaginrio, podendo serdecomposto em:
x)detornoemTorsor;T(Momento=.z)dS.y(
y)detornoemFletor;(MomentoM=.z.dS
z)detornoemFletor;(MomentoM=.y.dS
z)a//Cortante;(foraV=.dS
y)a//Cortante;(foraV=.dS
x)a//Normal;(foraN=.dS
xyxz
y
S
x
z
S
x
S
zxz
Syxy
S
S
x
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No caso particular de Estrutura Plana, onde todas foras so aplicadas em
um nico plano, por exemplo, plano xy, so nulas as tenses paralelas a z, erestam:
x
xy
=apenas 2 tensoes no plano de corte.
=
e apenas 3 componentes do Esforo Geral Solicitante, pois as distncias paralelas aztambm so nulas:N = .dS ; V = .dS; M = - .y.dS
SSS
Objetivo: Determinar e a partir do conhecimento de N, V e Me das leis devariao das tenses.
2.2 Vinculao das Estruturas Planas
2.2.1 Definies
a) Estrutura plana: conjunto de elementos lineares cujas dimenses transversaisso menores do que o seu comprimento de modo significativo.
b) Barra simples (barra):elemento linear com funo esttica de transmitir apenasN.
c) Barra geral (chapa):elemento linear com funo esttica de transmitir N,V eM.
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d)Vnculos (apoios):elementos de ligao entre chapas, barras e a chapa-terra.e) N:encontro de apenas barras simples (2 ou mais).
Uma chapa possui 3 graus de liberdade no plano 3 deslocamentosindependentes.
Um n possui 2 graus de liberdade no plano.
Os vnculos so utilizados para impedir esses movimentos.
2.2.2. Vnculos Planos Bsicos
VNCULOS MOV. IMPEDIDOS
Apoio Mvel 1
Apoio Fixo 2
Engaste Fixo 3
Engaste Mvel 2
Rtulas (artic.) 2
N 0
Ressalvas:
Barra impede 0 movimentos
Chapa impede 2 movimentos
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Chapas 2(c-1)
Para cada movimento impedido, h uma reao de apoio correspondente.
2.3 Determinao Esttica
Uma estrutura composta por cchapas, nns e bbarras ( reais ou vinculares)fica em equilbrio esttico segundo o n. de movimentos impedidos no plano, onde:
bnec
= 2n + 3c
qdo: b
b Estrutura Hipostatica
= b Estrutura Isostatica
> b Estrutura Hiperestaticaex
nec
nec
nec
<
2.3.1 Exemplos1)
===
=
3313
1
exist
nec
b
b
c
Isosttico ou Determ.
2)
=
==
=
4
313
1
exist
nec
b
b
c1x Hiperesttico
3)
=
==
=
6
623
2
exist
nec
b
b
c
Isosttico ou Determ.
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2.3.2 Problemas Propostos:Determinar estaticamente as estruturas abaixo1) 2)
3)
2.4 Conveno de Sinais para os Esforos Planos
Estrutura plana em equilbrio esttico
Separando a estrutura em 2 partes atravs de um corte normal ao seu eixo,podemos determinar os esforos solicitantes pela imposio do equilbrio estticode cada parte separada.
N> 0 tracao
compressao
< 0
V> 0 rotacao horaria
rotacao anti - horaria
< 0
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M> 0 traciona em baixo
traciona em cima
< 0
Os esforos solicitantes so iguais e opostos em cada parte separadabasta determinar apenas em uma parte.
Conhecidas as aes e reaes, os esforos solicitantes podem serdeterminados atravs dasEquaes de Equilbrio Esttico.
2.5 Tipos de Aes
a) Cargas Concentradas
b) Cargas Distribudas
uniforme
linear
qualquer
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c) Cargas Momento
2.5.1 Clculo de Reaes de Apoio
Equaoes de Equilibrio
F
F
M
h
v
=
=
=
0
0
00
Exemplo 1) Determinar as reaes de apoio da viga abaixo.
Determinao Esttica:
c
b
b
nec
exist
=
= =
=
1
3 1 3
3
Isostatico ou Determinado
Aplicao das Equaes de Equilbrio:
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F
HH
A
=
= 0
0
F
V V
V V
V
V kN
V
A B
A B
A
A
=
+ =
=
=
=
0110
110
110 60
50
M horario
V
V
V kN
A
B
B
B
=
+ =
+ =
=
040 2 70 4 6 0
80 280 6
60
( )
Exemplo 2) Determinar as reaes de apoio da viga abaixo.
Determinao Esttica:
c
b
bnec
exist
=
= =
=
1
3 1 3
3
Isostatico ou Determinado
Aplicao das Equaes de Equilbrio:
FH
H kN
H
A
A
= =
=
030 0
30
F
V V
V V
V V
V
V kN
V
A B
A B
B A
B
B
=
+ =
+ =
=
=
=
040 100 0
140
140
140 66 67
7333
,
,
M horarioV
V
V kN
B
A
A
A
= =
=
= =
06 40 5 100 2 0
6 200 200 0
400
666 67
( )
,
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Problemas Propostos : Determinar as reaes de apoio.
1)
2)
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2.5.2 Clculo Analtico dos Esforos Solicitantes
Clculo dos Esforos M, N e V em funo de uma abscissa x, quecorre ao longo do eixo da chapa.
Exemplo 1)
F
HH
A
= =
00
F
V V
V kN
V
A B
A
=
+ =
=
060
16
M horario
V
V
V kN
A
B
B
B
= + + =
=
=
020 1 20 3 5 20 7 0
220
544
( )
Trecho I (0 x 1)
Condies de Equilbrio:
F
NH =
= 0
0
F
V
V kN
V =
=
=
016 0
16
M horario
x M
M x kN m
S =
=
=
016 0
16
(
)
.
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Trecho II (1 x 3)
Condies de Equilbrio:
F
NH =
= 0
0
F
V
V kN
V =
=
=
016 20 0
4
M horario
x x M
M x x
M x kN m
S=
=
= +
=
016 20 1 0
16 20 20
20 4
(
)
( )
.
Trecho III (3 x 5)
Chapa esquerda da Seo S
Condies de Equilbrio:
F
NH =
= 0
0
F
V
V kN
V =
=
=
016 40 0
24
M horario
x x x M
M x x x
M x kN m
S =
=
= + +
=
016 20 1 20 3 0
16 20 20 20 60
80 24
(
)
( ) ( )
.
Chapa direita da Seo S (2 x 4)
Condies de Equilbrio:
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F
NH =
= 0
0
F
V
V kN
V=
+ =
=
044 20 0
24
M horario
x x M
x x M
M x kN m
S =
+ =
+ + =
= +
020 44 2 0
20 44 88 0
88 24
(
)
' ( ' )
' '
' .
Trecho IV (0 x 2)
Condies de Equilbrio:
F
NH =
= 0
0
F
V
V kN
V =
=
=
020 0
20
M horario
x M
M x kN m
S =
+ =
=
020 0
20
(
)
'
' .
Representao grfica dos Esforos
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Exemplo 2)
F
H
H
A
=
=
0
0
F
V VV kN
V
A B
A
=
+ = =
0
12060
M horario
VV kN
A
B
B
=
==
0
120 3 6 060
( )
.
Trecho I (0 x 6)
Condies de Equilbrio:F
NH =
= 0
0
F
V x
V x
V =
=
=
060 20 0
60 20
M horario
x xx
M
M x x kN m
S =
=
=
0
60 202
0
60 10 2
(
)
.
Representao grfica dos Esforos
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Problema Proposto 1)
2.6 Relaes Diferenciais entre os Esforos
viga sob carga distribuda qualquer p=p(x)
Analisando o trecho entre duas sees distantes de um infinitsimo dx:
Fy = 0 V - p.dx - (V + dV) = 0
dVdx
p (I)
M M - (M + dM) + p.dx.dx
2(V + dV).dx = 0
despresando diferenciais de 2 ordem:
V =dM
dx(II)
Substituindo (II) em (I):
d
dx
dM
dxp
d M
dxp (III)
esq
2
2
=
= +
= =
0
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Concluses:
1
2
- Onde p 0V = tem variaao linear
M = tem variaao parabolica 2 grau
- Onde p = 0 V constanteM linear
3- A funcao V e um grau acima da funao p(carga)
4 - A funao M e um grau acima da funao V
5- A funao M e dois graus acima da funcao p(carga)
CORRESPONDNCIA ENTRE AES E ESFOROSP V M
p=0 x0
x1
x0 x1 x2
x1 x2 x3xn xn+1 xn+2
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2.7 Chapa Bi-apoiada Submetida a um Carregamento UniformementeDistribudo
O momento mximo quando sua derivada for zero,
0V0dx
dM==
ou seja, no ponto onde a cortante for zero.
p
A B
RA = pl/2 RB= pl/2
pl
pl/2 pl/2
pl
8
2
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2.8 Construo Grfica da Parbola
2.9 Superposio de Efeitos
.
p
pl8
2
0
1
2
3
4 0
1
2
3
4
.
A
p
B
pl8
2
MA MB
MA MB
MA MB
=
+
=
+
MA MB
pl8
2
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3 - FORA NORMAL
3.1 IntroduoO principal objetivo do estudo da mecnica dos materiais proporcionar ao
engenheiro os meios que o habilitem para a anlise e projeto de vrias estruturas demquinas sujeitas a diferentes carregamentos. Isto implica na determinao dastenses e deformaes.
3.2 - Ensaio de Trao Simples
Corpos de prova de mesmo material P aplicada no CG da seo transversal P varia lentamente desde zero at a carga de ruptura PR
Sendo: S1S2S3 PR2PR2PR3
Mas : R===3
R3
2
R2
1
R1
S
P
S
P
S
P
PR no depende de e nem da geometria da seo transversal.
Hipteses:
material homogneo e istropo uniformemente distribuda na seo transversal
tenses de rupturado material
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SN
=
(aplicado noCG)
Exemplo 1:Considerando a estrutura abaixo que consiste em barras AB eBC, verificar se a mesma suporta com segurana a carga de 30 kN aplicada noponto B, sendo a tenso admissvel do material (adm ) igual a 165 Mpa. A rea dabarra AB de 2 x 10-4 m2e da barra BC de 3,14 x 10-4 m2.
2
1,5tg= = 36,86
sen= 0,6
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cos= 0,8
2,5m=BC
Fazendo-se a somatria das foras atuantes no n B, temos:
= 0Fy NBC.sen= 30 NBC= 50kN
= 0Fx NBC.cos= NAB NAB= 40kN
Unidades: 1kPa = 103Pa = 103N/m2
1MPa = 106
Pa = 106
N/m2
1GPa = 109Pa = 109N/m2
MPa15910x159m10x3,14
N10x50
S
N
624
3
====
Concluso: A estrutura suporta o carregamento pois a tenso no ultrapassou aadmissvel.
3.3 Lei de Hooke
alongamento total
d variao de dimenso transversal
= deformao longitudinal
especfica
d
d=
t deformao transversal
especfica
t = , onde coeficiente de Poisson
como exemplo: 0,33 ao comum0,20 concreto
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NS
N=
=
DCTIL FRGIL
Mat. Frgil ruptura aps pequena deformaoMat. Dctil ruptura aps grande deformao
OA Fase elstica ao retirar a carga o material recupera a deformao
AC Fase plstica ao retirar a carga o material apresenta deformaoresidual R
etenso de escoamento (material deforma sem aumentar a tenso)ptenso limite de proporcionalidade (pe)Rmxima tenso normal ou tenso de ruptura
= E. Lei de Hooke (vale p/ p)
E mdulo de Young ou de deformao longitudinal
Curva no carac-terstica, pois
depende de S e
Curva caractersticade cada material
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Enquanto < R, o material no rompe. Por segurana faz-se:
=(DCTIL)
s
(FRGIL)s
e
R
tenso admissvel
s 1 coeficiente de segurana
s fixado por Normas Tcnicas (ABNT)e, R, E,so propriedades mecnicas caractersticas de cada material.
3.4 - Alongamento Elstico
== ix
0
PdPN
Analisando um elemento de comprimento dx:
dxE
dx
E.dx
dx
=
=
=
como:S
N= dx
ES
Ndx=
Considerando =
0
dx e ES = cte, temos:
=
0 NdxES
1 ES
N
= Lei de Hooke na forma generalizada
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3.5 Energia de Deformao
Ao aplicar a carga lentamente desde zero at o valor final, o alongamentovaria linearmente com a carga at atingir o valor final .
No instante intermedirio i, o trabalho realizado pela carga Niao aumentarpara Ni+ dN :
).d(NdU i =
O trabalho total realizado entre o incio e o fim da aplicao da carga :
=== )(.U dNdU i rea sob o grfico
ES
NNU
2
2
1.
2
1== (p/ ES = cte)
3.6 Deformaes
a) Deformao causada pela fora axial
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ES
N=
b) Deformao causada pela ao do peso prprio
E2
. 2
=
c) Deformao causada pela variao de temperatura
t= ..
.t=
Obs: geralmente a parcela da deformao causada pela variao de temp. somada deformao axial
4 - TORO DE BARRAS DE SEO CIRCULAR
4.1 - Introduo
barra de seo transversalcircular engastada
T= momento torsor ou torque efeito de T no plano yz da seo carregamento est fora do plano
xy da pea
Conveno de sinalT > 0 quando o vetor momento entrana seo
Hipteses:1.- Seo plana permanece plana
na deformao elstica, o dimetro permanece como linha reta( s vale para seo circular)
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2.- T o momento resultante de tenses de cisalhamento perpendiculares
ao dimetro.
(Toro de Saint-Venaut)
)
AA'=
D
2 = tg ld , onde
rotao da seo transversalddistoro longitudinal do eixo de dimetro D.
Mas, para pequenas distores (pequenas deformaes):
d tg d = D
2 dl (1)
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BB'= l (2)
Dividindo (2) por (1):
D / 2 D / 2D= =
D
(3)
As distores so proporcionais ao raio e o valor mximo ocorre nasuperfcie da pea (mx= D).
4.2- Tenses no Regime ElsticoAnalisando um trecho entre 2 sees distantes de dx:
Da lei de Hooke: = G., onde :
( )
G =E
2 1+
mdulo de deformao transversal
Para o ao comum: G 80 GPa
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Aplicando a Lei de Hooke Equao (3):
= D / 2
max
varia linearmente com o raio e mxima na periferia da seo transversal
dS = .d.dNa posio atua a tenso na rea dS.
( ) {T = dT d d D / 2d
T =D T
D
S
max
3
3
= =
=
Fora
D
brao
maxD
max
1 24 4 34 40
2
0
2 3
0
2
2
16
16
/ /
4.3- Rotao Elstica
max
max
max
l
dx d D2
d =dx
D / 2
Mas: =G
e, como:
= d
max
0
=
32
0
T dx
G D4
l
( para seo circular cheia)
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para barras prismticas de mesmo material (GxD = cte)
=
32
0G DT dx
4
l
caso T=cte e G x D= cte =
32 T
G D4
l
4.4 - Tubo de Parede Grossa
( )
( )
max
l
=
=
16
32
T D
D d
T
G D d
4 4
4 4
4.5 - Tubo de Parede Fina
p / tD
10
T
D t
TG D t
m
m
2
m
3
=
=
2
4 l
4.6- Eixos de TransmissoP = x T = 2f.TP Potncia (W=N.m/s)Velocidade angular
f freqncia (Hz= s-1)
11
60
1
60rpm
rotHz
1 HP 746W
= =
s
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Bibliografia
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SCHIEL, F. (1978). Introduo Resistncia dos Materiais LTC, SoPaulo.
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FONSECA, A. (1976). Curso de Mecnica, vol I e II, LTC, So Paulo.
ROCHA, A.M. (1969). Resistncia dos Materiais, vol I, Editora Cientfica,So Paulo.
SUSSEKIND, J.C. Curso de Anlise Estrutural, vol I, Rio de Janeiro.
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E.R. (1995). Resistncia dos Materiais.Makron Books, 3 edio, So Paulo.
APOSTILAS DE RESISTNCIA DOS MATERIAIS USP.
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