Aula 12
Sinais e Sistemas – Capítulo 3
Simon Haykin
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Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então,
tjk
k
ekAtx 0ˆ
é uma aproximação por FS, onde T 20
Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que , então txtx ˆ
T
tjm
T
tjm dtetxdtetx 00 ˆ
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Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Logo,
k T
tjmtjk
T
tjm
k
tjk
T
tjm
dteekA
dteekAdtetx
00
000
Observe que a integral do lado direito é igual a zero, exceto quando k = m, de modo que
T
tjm dtetxT
mA 01
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Representação por Série de Fourier
Podemos escrever a FS como
T
tjk
k
tjk
dtetxT
kX
ekXtx
0
0
1
Dizemos que x(t) e X[k] são um par de FS
kXtxFS 0,
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Representação por Série de Fourier
Exemplo: Determine a representação por FS para o sinal
k
tjkekXtx 0
Solução: O período fundamental de x(t) é T=4. Consequentemente
42cos3
ttx
2420 Procuramos expressar x(t) como
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Representação por Série de Fourier
tjjtjj
tjtj
eeee
ee
ttx
2424
4242
2
3
2
32
3
42cos3
A última expressão está na forma de FS. Logo, comparando com , temos que
k
tjkekXtx 0
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Representação por Série de Fourier
contráriocaso,02
32
3
1,4
1,4
kj
kj
e
e
kX
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Representação por Série de Fourier
Exemplo: Determine a representação por FS da onda quadrada mostrada na figura
Solução: O período é T, de forma que ω0=2π/T. Neste caso, é conveniente usar a forma de integral de FS, isto é
2420
s
s
T
T
tjkT
T
tjk dteT
dtetxT
kX 0011
2
2
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Representação por Série de Fourier
0,
sen2
2
2
|11
0
0
0
0
00
00
kTk
Tk
j
ee
Tk
eTjk
dteT
kX
sTjkTjk
TT
tjT
T
tjk
ss
s
s
s
s
Substituindo ω0=2π/T
0,2
2sen2
kk
TT
kkX
s
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Representação por Série de Fourier
Para k=0, temos
T
Tdt
TX s
T
T
s
s
210
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Representação por Série de Fourier
Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/4, temos
Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/16, temos
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Representação por Série de Fourier
A forma funcional ocorre com tanta frequência na análise de Fourier, que damos a ela um nome especial
uu sen
u
uu
sen
sinc
Dessa forma, os coeficientes da FS obtidos no último exemplo podem ser expresso usando a função sinc
T
Tk
T
T
TTkTT
kTT
kTT
kkX ss
s
sss
2sinc
2
/2
2sen
2
2
2sen2
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Representação por Série de Fourier O máximo da função sinc é a unidade em u=0. Os cruzamentos por zero ocorre nos valores inteiros de u. O módulo decresce com 1/u A parte da função sinc entre os cruzamentos por zero para u=±1 é
conhecida como lóbulo principal As ondas menores são conhecidas como lóbulos laterais
u
uu
sen
sinc
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Representação por Série de Fourier
Cada termo da FS , para X[k] não nulo, contribui para a representação do sinal.
Para ilustrar isso, consideraremos a onda quadrada o exemplo anterior.
Vamos explorar a simetria par de X[k] para escrever a FS como uma soma de cossenos harmonicamente relacionados. Logo, como X[k]=X[-k], então
k
tjkekXtx 0
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Representação por Série de Fourier
10
1
1
cos2]0[
22]0[
]0[
00
00
0
m
m
tjmtjm
m
tjmtjm
k
tjk
tmmXX
eemXX
emXemXX
ekXtx
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Representação por Série de Fourier
Se definirmos B[0]=X[0] e B[k]=2X[k], k≠0, então
0
0cosk
tKkBtx
Exemplo: Definimos a aproximação por soma parcial para a representação da FS da onda quadrada, isto é
J
kj tKkBtx
00cosˆ
Suponha que T=1 e Ts/T=1/4. Neste caso,
par,0
ímpar,12
0,2121
k
kk
k
kBk
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Representação por Série de Fourier
Descreva um período do J-ésimo termo nesta soma e para J=1,3,7, 29 e 99.
Solução:
txJˆ
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Representação por Série de Fourier
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