Aula 22 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 7

Simon Haykin

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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade

Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.

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Exemplo 1: Um sistema tem a função de transferência

11414 21

3

9,01

2

9,01

2

zzeze

zHjj

1.Encontre a resposta ao impulso supondo que o sistema seja

a) Estávelb) Causal

2.Este sistema pode ser tanto estável quanto causal?

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Solução: Este sistema tem pólos em , 49,0 jez 49,0 jez 2ze

a) Se o sistema for estável, a região de convergência incluirá o círculo unitário. Assim, os pólos dentro do círculo contribuem com termos laterais direito, enquanto que o pólo fora, contribui com um termo lateral esquerdo.

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Solução: Logo,

1234

cos9,04

1239,029,02 44

nunun

nunuenuenh

nn

nnjnj

b) Se o sistema for causal, então todos os pólos contribuirão com termos laterais direito, de modo que

nununnh nn 234

cos9,04

Portanto, este sistema não pode ser nem estável e nem causal, pois possui um pólo fora do círculo unitário.

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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade

Seja h-1[n] a resposta ao impulso de um sistema inverso, de forma que

nnhnh *1

Tomando a transforma Z da identidade acima, temos 11 zHzH

Se

zHzH 11

N

kk

M

kk

zd

zcbzH

1

1

1

10

1

1 então

M

kk

N

kk

zcb

zdzH

1

10

1

1

1

1

1

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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade

Exemplo 2:Um sistema é descrito pela equação de diferenças

28

11

4

12

4

11 nxnxnxnynyny

a) Encontre a função de transferência do sistema inverso.b) Um sistema inverso estável e causal existe?

Solução:

21

21

2121

41

1

81

41

1

8

1

4

1

4

1

zz

zzzHzXzzXzzXzYzzYzzY

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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discretos

Obtendo as raízes dos polinômios do numerador e denominador de H(z), podemos expressar a função de transferência como

2

1

11

21

1

21

141

1

z

zzzH de modo que

11

21

1

21

141

1

21

1

zz

zzH

Observe que os pólos do sistema inverso, ¼ e -1/2, estão dentro do círculo unitário, de modo que o sistema inverso pode ser tanto causal quanto estável.

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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto

Exemplo 3: Considere o sistema representado pela função de transferência

18181414

111

43

143

121

121

1

111

zezezeze

zjzjzzH

jjjj

Descreva a forma em cascata deste sistema usando seções de segunda ordem com valor real.

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Solução:

2121

12

2181821414

12

18181414

111

169

8cos23

141

4cos1

11

169

23

23

141

21

21

1

11

43

143

121

121

1

111

zzzz

zz

zzezezzeze

zz

zezezeze

zjzjzzH

jjjj

jjjj

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Solução: seja

21

2

1

41

4cos1

1

zz

zzH

21

1

2

169

8cos23

1

1

zz

zzH

De modo que zHzHzH 21

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Solução: seja

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A Transformada Z UnilateralAplica-se a sinais de sistemas causais

É definida como

0n

nznxzX

As transformadas Z Unilateral e Bilateral são equivalentes para sistemas causais.

A transformadas Z Unilateral satisfaz as mesmas propriedades da Transformada Z Bilateral, com exceção da propriedade de deslocamento no tempo.

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A Transformada Z UnilateralDeslocamento no Tempo

Admitamos que , onde

0n

nznxzX

é a transformada Z unilateral de x[n].

A transformadas Z Unilateral de w[n] é definida de maneira semelhante, isto é

1 nxnw

0n

nznwzW

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Expressamos W(z) como uma função de X(z) com segue:

zXzx

zmxzx

zmxx

znxx

znxzW

m

m

m

m

n

n

n

n

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

11

1

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Para um retardo k, isto é , temos que knx

0,11 11 kzXzzxzkxkxzX kk

Para um adiamento k, isto é , temos que knx

0,110 1 kzXzzkxzxxzX kk

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A Transformada Z Unilateral

Exemplo 4: Considere o sistema descrito pela equação de diferenças nxnyny 19,0

Encontre a saída se a entrada for e se a condição inicial for

nunx 21 y

Solução: Tomando a transformada Z unilateral de ambos os lados, e usando a propriedade de deslocamento no tempo, temos que

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Solução:

11

1

1

9,01

19,0

9,01

19,09,01

19,0

z

y

z

zXzY

yzXzYz

zXzYzyzY

Resposta NaturalResposta Forçada

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Solução: desde que e y[-1]=2

111 9,01

8,1

19,01

1

zzz

zY

111 zzXnunxZ

então

Usando o método das frações parciais, temos

111 9,01

8,1

1

10

9,01

9

zzz

zY

Daí, nunununy nn 9,08,1109,09

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Considere agora tomar a transformada Z de ambos os lados da equação de diferenças a seguir:

N

k

M

kkk knxbknya

0 0

Podemos escrever a transformada Z como a seguir.

zXzBzCzYzA em que

,0

N

k

kk zazA

M

k

kk zbzB

0

1

0 1

N

m

N

mk

mk zmkyazCe

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• Supomos que x[n] é causal, de forma que• O termo C(z) depende das N condições iniciais, y[-1], y[-2],...,y[-N], e de ak.• C(z) será nulo se todas as condições iniciais forem nulas

N

k

M

kkk knxbknya

0 0

,0

N

k

kk zazA

M

k

kk zbzB

0

1

0 1

N

m

N

mk

mk zmkyazCe

zXzknx kZu

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Finalmente, resolvendo Y(z) para

zXzBzCzYzA

obtemos

zAzC

zA

zXzBzY

Resposta NaturalResposta Forçada

• Note que a forma da resposta natural depende apenas dos pólos do sistema;• Note também que se o sistema for estável, os pólos deverão estar situados dentro do círculo unitário.

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