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Sinais e Sistemas – Capítulo 7

Simon Haykin

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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo

Discreto: A Transformada Z

Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z.

Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z.

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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo

Discreto: A Transformada Z

A DTFT é aplicável somente a sistemas estáveis, enquanto que a transformada Z se aplica a sistemas em geral, seja ele estável ou não.

Várias propriedades da DTFT se aplicam também à transformada Z, uma vez que esta é a generalização da DTFT.

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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo

Discreto: A Transformada Z

Os papéis principais da transformada Z na prática da engenharia são:

- O estudo das características de sistemas;- Derivação de estruturas computacionais para

implementar sistemas de tempo discreto em computadores;

- Resolver equações de diferenças sujeitas a condições iniciais.

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A Transformada Z Admitamos que seja um número complexo com módulo r e fase Ω. Logo, o sinal x[n]=zn é um sinal complexo, de modo que

jrez

njnernx ou

njrncoxrnx nn sen

Observe que x[n] é uma senóide complexa no caso particular em que r=1.

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A Transformada Z Aplicando x[n] a um sistema LTI cuja resposta ao impulso é h[n], resulta que

k

knxkh

nxnhny *

Como x[n]=zn, então

k

kn

k

kn

zkhz

zkhny

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A Transformada Z Definindo a função de transferência

de forma que

k

kzkhzH

nn zzHzH

Expressando H(z) na forma polar, isto é

zjezHzH

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A Transformada Z

então

Substituindo z=rejΩ, obtemos

nzj zezHny

jnjjnj renrreHjrenrreHny sencos

njrnrnx nn sencos

Comparando y[n] com

Vemos que o sistema multiplica a amplitude da entrada por e desloca a fase dos componentes senoidais de

jreH jre

A Transformada Z

Substituindo agora z=rejΩ em

Obtém-se

k

kzkhzH

n

njn

n

njj

ernh

renhreH

Observe que corresponde à DTFT de um sinal , de modo que a DTFT inversa resulta em

jreH nrnh

dereHrnh njjn

2

1

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A Transformada Z

Multiplicando a última expressão por rn, obtém-se

zre j

drereHnhnjj

2

1

Fazendo , então ,dzdjre j

de modo que dzzj

d 11

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A Transformada Z

dzzzHj

nh n 1

2

1

Analisando agora os limites de integração, percebe-se que quando Ω vai de –π a π, z percorre um círculo de raio r no sentido anti-horário. Dessa forma, escrevemos

onde rz

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A Transformada Z

dzzzHj

nh n 1

2

1

Logo, obtemos H(z) a partir de h[n] usando

e obtemos h[n] a partir de H(z) usando

n

nznhzH

Dizemos que a função de transferência H(z) é a transformada Z da resposta ao impulso h[n].

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A Transformada Z

dzzzXj

nx n 1

2

1

De maneira geral, a transformada z de um sinal arbitrário x[n] é

e a transformada z inversa é

n

nznxzX

Expressamos a relação como

zXnxz

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A Transformada Z A transformada z existe quando

n

n

n

n rnxznx

A faixa r para a qual esta condição é satisfeita é chamada de região de convergência

Lembre-se que a existência da DTFT exige a somabilidade absoluta de x[n].

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A Transformada Z Para valores restritos de r, asseguramos que é absolutamente somável, ainda que x[n] não seja. nrnx

Considere, por exemplo x[n]=αnu[n]. A DTFT de x[n] não existirá para |α|>1. Entretanto, a transformada z de x[n] existirá desde que r>α, pois r-n decrescerá mais rapidamente do que αn.

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A Transformada Z

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A Transformada Z

O Plano Z jrez 1r

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A Transformada Z

Exemplo 1: Determine a transformada Z do sinal

contráriocaso,0

2,1

1,1

0,2

1,1

n

n

n

n

nx

Use a transformada Z para determinar a DTFT de x[n].

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A Transformada Z

Solução: Substitua x[n] em para obter

Obtemos a DTFT a partir de X[z] substituindo z=ejΩ.

212 zzzzX

22 jjjj eeeeX

n

nznxzX

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A Transformada Z

Forma usual da transformada Z

ou N

N

MM

zaza

zbzbbzX

11

110

1

N

kk

M

kk

zd

zcbzX

1

1

1

10

1

1

Os coeficientes cks são raízes do numerador, sendo denominados zeros de X(z).

Os coeficiente dks são raízes do denominador, sendo denominados de pólos de X(z).

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A Transformada Z

Exemplo 2: Determine a transformada Z do sinal

nunx n

Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.

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A Transformada Z

Solução: Substitua x[n] em para obter

Esta é uma série geométrica de tamanho infinito na razão α/z. A soma converge desde que |α/z|<1 ou |z|>|α|. Consequentemente,

0n

n

n

nn

zznuzX

n

nznxzX

zz

z

zzX ,

1

11

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A Transformada Z

Portanto, há um pólo em z=α e um zero em z=0.

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A Transformada Z

Exemplo 3: Determine a transformada Z do sinal

1 nuny n

Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de Y(z) no plano Z.

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A Transformada Z

Solução: Substitua y[n] em para obter

A soma converge desde que |z/α|<1 ou |z|<|α|. Consequentemente,

01

1

1

1

k

k

k

k

n

n

n

nn

zz

zznuzY

n

nznyzY

zz

z

zzY ,

1

11

1

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A Transformada Z

zz

zzY ,

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A Transformada Z

Exemplo 4: Determine a transformada Z do sinal

nununxn

2

11

Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.

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A Transformada Z

Solução: Substitua x[n] em para obter

A soma converge desde que |z|>1/2 e |z|<1.

k

k

n

n

n

n

n

n

n

nnn

zzzz

znuznuzX

00

1

0

11

2

11

2

1

12

1

n

nznxzX

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A Transformada ZConsequentemente,

12

1,

121

23

2

1

11

21

1

1

1

zzz

zz

zzzX