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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ESTUDO DOS NÚMEROS
• NÚMEROS RACIONAIS• NÚMEROS IRRACIONAIS• NÚMEROS REAIS
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NÚMEROS RACIONAIS
NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUEPODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COM
O NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTESAOS NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO
DOS NÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTODOS NÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES
POSITIVAS E NEGATIVAS.
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NÚMEROS RACIONAIS
O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “Q”, QUE VEM DE
QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).
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NÚMEROS RACIONAIS
NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU,VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS
INTEIROS, GERALMENTE ESCRITO NA FORMA a / b,ONDE b É UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO.
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NÚMEROS RACIONAIS
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:
Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*}, AONDE LÊ-SE
Q IGUAL A “a” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “b”, TAL QUE, “a”PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “b”
PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE“Z” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “Z*” O
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.
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NÚMEROS RACIONAIS
FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTESIGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO.
ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA EA DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE
REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.
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NÚMEROS RACIONAIS
TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAISOS SEGUINTES NÚMEROS:
• 29/8• 3 QUE É IGUAL A 3/1
• -29/8• 3 5/8
• 0 QUE É IGUAL A 0/1• -3 QUE É IGULA A -3/1
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NÚMEROS RACIONAIS
PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO EOBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}
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NÚMEROS RACIONAIS
CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DEDIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO,
3/6 = 2/4 = 1/2
A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEMDIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA
FORMA COMO ESTA.
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NÚMEROS RACIONAIS
DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DEUM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO
a / b, DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTESIGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR,
ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR.
EXEMPLO
A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8.
ELA É IGUAL A 7, POIS 7 x 8 = 56.
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TIPOS DE FRAÇÕES
• PRÓPRIA• IMPRÓPRIA• MISTA• APARENTE• EQUIVALENTES• UNITÁRIA• DECIMAIS DE ESCRITA FINITA• DÍZIMAS
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FRAÇÕES PRÓPRIA
O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR.
EXEMPLO
1/2, 1/4, 2/4
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FRAÇÕES IMPRÓPRIA
O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR.
EXEMPLO
7/3, 5/2, 9/4
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FRAÇÕES MISTA
É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMAPARTE FRACIONÁRIA.
EXEMPLO
2 1/2, 4 1/4, 7 2/4
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FRAÇÕES APARENTE
É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR ÉMÚLTIPLO DO DENOMINADOR.
EXEMPLO
12/2, 20/4, 10/5
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FRAÇÕES EQUIVALENTES
SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃODE OUTRA FRAÇÃO.
EXEMPLO
4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3
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FRAÇÕES UNITÁRIA
O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADORÉ UM INTEIRO POSITIVO.
EXEMPLO
1/3, 1/5, 1/7
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FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA
SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADOSÃO FINITAS.
EXEMPLO
8,35 ou 4,59 ou 1,23
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FRAÇÕES DE DÍZIMAS
SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADONÃO SÃO FINITAS.
EXEMPLO
8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...
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TIPOS DE DECIMAIS
• DECIMAIS EXATOS
• DÍZIMA PERIÓDICA
• DÍZIMA SIMPLES• DÍZIMA COMPOSTA
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DECIMAIS EXATOS
EXEMPLOS
• 1/2 = 0,5
• 1/5 = 0,2
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DECIMAIS PERIÓDICOS
DÍZIMA SIMPLES
EXEMPLOS
• 2/3 = 0,666666...
• 5/3 = 1,6666...
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DECIMAIS PERIÓDICOS
DÍZIMA COMPOSTA
EXEMPLOS
• 7/6 = 1,166666...
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
• MULTIPLICAÇÃO• DIVISÃO• ADIÇÃO• SUBTRAÇÃO• EXPONENCIAÇÃO• SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
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MULTIPLICAÇÃO
MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SIE OS DENOMINADORES ENTRE SI.
EXEMPLOS
3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20
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MULTIPLICAÇÃO
PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMEROINTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE NÚMERO É UMA
FRAÇÃO CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM).
EXEMPLOS
3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4
4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5
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MULTIPLICAÇÃO
É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, AMULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORESRESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE
SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.
EXEMPLO
1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6
DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS:
3/2
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MULTIPLICAÇÃO
COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICARMOSANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO.
EXEMPLO
1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2
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DIVISÃO
COMO JÁ VISTO ANTERIORMENTE, A DIVISÃO É AOPERAÇÃO INVERSA DA MULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE
TER ISSO EM MENTE PARA RESOLVER UMA DIVISÃOENTRE FRAÇÕES.
EXEMPLO
3/5 / 7/2
PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDAFRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO,
ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO:
3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
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MÁXIMO DIVISOR COMUM
O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIORDIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGARMENTEABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON-TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.
EXEMPLO
mdc(24,40)
24 | 2 40 | 212 | 2 20 | 26 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 83 | 3 5 | 5 ___ ___
1 | 2³ x 3 1 | 2³ x 5
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MÁXIMO DIVISOR COMUM
EXEMPLO
mdc(16,8)
16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___1 | 24 1 | 2³
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENORMÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGAR-MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIROENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.
EXEMPLOmmc(24,40)
24, 40 | 212, 20 | 26, 10 | 2 x3, 5 | 31, 5 | 5 ____1, 1 | 120
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
EXEMPLO
mmc(6,8)
6, 8 | 23, 4 | 23, 2 | 2 x3, 1 | 3 __1, 1 | 24
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ADIÇÃO
CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO,ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENORMÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES:
2/3 + 3/5
ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O
MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:
15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9
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ADIÇÃO
SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:
10+9 / 15 = 19/15
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SUBTRAÇÃO
A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOSPASSOS DA ADIÇÃO:
2/3 - 3/5
ENCONTRADO O MMC. ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O
MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:
15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9
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SUBTRAÇÃO
SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:
10-9 / 15 = 1/15
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EXPONENCIAÇÃO
É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRAA EXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO:
(1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25
EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃOOBTÉM-SE O MESMO RESULTADO:
(1/2)² = (0,5)² = 0,25
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SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES
UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDONUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS
ENTRE SI:
8/4
PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISORCOMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃOQUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É
DO TIPO IRREDUTÍVEL:
8 : 4 / 4 : 4 = 2/1
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NÚMEROS IRRACIONAIS
NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROSREAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.
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NÚMEROS IRRACIONAIS
O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “I”.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS É DEFINIDO POR:
I = R - Q
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NÚMEROS IRRACIONAIS
COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRENOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO:
√2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828...
(Pi) = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
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NÚMEROS REAIS
É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAISE PELOS NÚMEROS RACIONAIS.
OS MATEMÁTICOS USAM O “R” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.
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NÚMEROS REAIS
AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAISCOM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, FORMANDOO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS
REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETAPREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS
OS SEUS PONTOS.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.
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NOTAÇÃO
COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO
CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R+ = {0, 1, 2, 3, .....}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R- = {....., -3, -2, -1, 0}
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NÚMEROS REAIS
PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS,RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÚMEROS REAIS
ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x,É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE
x E –x, ISTO É:
|x| = MÁXIMO{x,y}
OU AINDA POR:
x SE x > 00 SE x = 0-x SE x < 0
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EXEMPLOS
|+5| = 5
|0| = 0
|-6| = 6
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITEDEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS
NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZEROE OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO.
EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DASEGUINTE MANEIRA:
a ≤ b se b – a ≥ 0
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
-15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0
-15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0
-15 ≤ 5 se 20 ≥ 0
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS
REFLEXIVA: PARA TODO x EM R:
x ≤ x
ANTI-SIMÉTRICA: SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO:
x = x
TRANSITIVA: SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO:
x < z
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
QUAL É O NÚMERO CONSECUTIVO E O ANTECEDENTEDE UM NÚMERO NATURAL n RESPECTIVAMENTE:
RESPOSTA: n + 1 e n - 1
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PARSERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO?
RESPOSTA: ÍMPAR.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROSPARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO:
2n + 1 = IMPAR
8n – 6 = PAR
6n -1 = IMPAR
5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS?
RESPOSTA: 99 E 10.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS DIFERENTES?
RESPOSTA: 98 E 10.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPARDE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES?
RESPOSTA: 9.875 E 1.235.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58.SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À
SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA,QUAL SERÁ O NOVO TOTAL?
RESPOSTA:
x + y + z = 58
X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:
- [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)]
RESPOSTA:
PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELETINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM
COM OS SINAIS TROCADOS:
- [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6]
LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES:
3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:
{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] }
RESPOSTA:
PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES:
{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] }
DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3:
{ - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIOS
LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTESDESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS
SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL:
{ - 5 - 8 + 15 – 3 }
LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉMNÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR:
- 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
TEORIA DOS CONJUNTOS
NO ESTUDO DE CONJUNTOS, TRABALHAMOS COM ALGUNSCONCEITOS PRIMITIVOS, QUE DEVEM SER ENTENDIDOS
E ACEITOS SEM DEFINIÇÃO.
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO
CONJUNTO REPRESENTA UMA COLEÇÃO DE OBJETOS.
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• O CONJUNTO DE TODOS OS BRASILEIROS.
• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS.
• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAISTAL QUE x² - 4 = 0
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
EM GERAL, UM CONJUNTO É DENOTADO POR UMALETRA MAIÚSCULA DO ALFABETO: A, B, C, ......, Z.
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ELEMENTO
É UM DOS COMPONENTES DE UM CONJUNTO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• JOSÉ DA SILVA É UM ELEMENTO DO CONJUNTODOS BRASILEIROS.
• 1 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROSNATURAIS.
• -2 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
EM GERAL, UM ELEMENTO DE UM CONJUNTO, ÉDENOTADO POR UMA LETRA MINÚSCULA DO
ALFABETO: a, b, c, ......, z.
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERTINÊNCIA
É A CARACTERÍSTICA ASSOCIADA A UM ELEMENTOQUE FAZ PARTE DE UM CONJUNTO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
• JOSÉ DA SILVA PERTENCE AO CONJUNTO DOSBRASILEIROS.
• 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
• -2 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
SE UM ELEMENTO PERTENCE A UM CONJUNTO, UTILIZAMOS O SÍMBOLO “Є” QUE SE LÊ:
“PERTENCE”.
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
PARA AFIRMAR QUE 1 É UM NÚMERO NATURALOU QUE 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS, ESCREVEMOS:
1 Є N
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OBSERVAÇÃO
PARA AFIRMAR QUE 0 NÃO É UM NÚMERO NATURALOU QUE 0 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS, ESCREVEMOS:
0 N∉
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OBSERVAÇÃO
UM SÍMBOLO MATEMÁTICO MUITO USADO PARA ANEGAÇÃO É A BARRA “/” TRAÇADA SOBRE O SÍMBOLO
NORMAL.
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NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
MUITAS VEZES, UM CONJUNTO É REPRESENTADO COMOS SEUS ELEMENTOS DENTRO DE DUAS CHAVES “{ }”
E ATRAVÉS DE DUAS FORMAS BÁSICAS E DE UMATERCEIRA FORMA GEOMÉTRICA.
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TIPOS DE NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
• APRESENTAÇÃO
• DESCRIÇÃO
• DIAGRAMA
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APRESENTAÇÃO
OS ELEMENTOS DO CONJUNTO ESTÃO DENTRO DE DUASCHAVES { }.
A = {a, e, i, o, u}
N = {1, 2, 3, 4, ...}
M = {João, Maria, José}
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DESCRIÇÃO
O CONJUNTO E DESCRITO POR UMA OU MAISPROPRIEDADES.
A = {x: x é uma vogal}
N = {x: x é um número natural}
M = {x: x é uma pessoa da família de Maria}
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DIAGRAMA
OS CONJUNTOS SÃO MOSTRADOS GRAFICAMENTE.
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SUBCONJUNTOS
DADOS OS CONJUNTOS A e B, DIZ-SE QUE A ESTÁ CONTIDOEM B, DENOTADO POR A B (A ESTÁ CONTIDO EM B), SE
TODOS OS ELEMENTOS DE A TAMBÉM ESTÃO EM B.ALGUMAS VEZES DIREMOS QUE UM CONJUNTO A ESTÁPROPRIAMENTE CONTIDO EM B, QUANDO CONJUNTO B,
ALÉM DE CONTER AO ELEMENTOS DE A, CONTÉM TAMBÉMOUTROS ELEMENTOS.
O CONJUNTO A É DENOMINADO SUBCONJUNTO DE B E OCONJUNTO B É O SUPERCONJUNTO QUE CONTÉM A.
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CONJUNTO VAZIO
É UM CONJUNTO QUE NÃO POSSUI ELEMENTOS.É REPRESENTADO POR { } OU POR Ø. O CONJUNTOVAZIO ESTÁ CONTIDO EM TODOS OS CONJUNTOS.
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CONJUNTO UNIVERSO
É UM CONJUNTO QUE CONTÉM TODOS OS ELEMENTOSDO CONTEXTO NO QUAL ESTAMOS TRABALHANDO E
TAMBÉM CONTÉM TODOS OS CONJUNTOS DESSECONTEXTO. O CONJUNTO UNIVERSO É REPRESENTADO
POR UMA LETRA “U”.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXISTEM TAMBÉM OS CONJUNTOS NUMÉRICOS, QUE EMCONSIDERAÇÃO ESPECIAL EM MATEMÁTICA. OS
PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS SÃO:
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS
• CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
• CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
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UNIÃO DE CONJUNTOS
A UNIÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO
CONJUNTO A OU AO CONJUNTO B.
A U B = { x: x Є A ou x Є B }
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o} E B = {3, 4} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, 3, 4}
SE A = {2, 3, 4, 5} E B = {1, 3, 5} ENTÃO A U B = {1, 2, 3, 4, 5}
SE A = {a, e, i} E B = {o, u} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, u}
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INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO
CONJUNTO A E AO CONJUNTO B.
A ∩ B = { x: x Є A e x Є B }
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = Ø
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OBSERVAÇÃO
QUANDO A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS A e BÉ O CONJUNTO VAZIO, DIZEMOS QUE ESTES CONJUNTOS
SÃO DISJUNTOS.
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {a, e, 1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = {a, e}
SE A = {1, 2, 3} E B = {3, 4, 5} ENTÃO A ∩ B = {3}
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DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A DIFERENÇA ENTRE OS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTODE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO
CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B.
A - B = { x: x Є A e x B }∉
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A - B = {a, e, o}
SE Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} E N = {1, 2, 3, 4, 5}ENTÃO Z - N = {..., -2,-1, 0}
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DIFERENÇA DE CONJUNTOS
DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA PODE SERVISTA COMO:
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COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
O COMPLEMENTO DO CONJUNTO B CONTIDO NOCONJUNTO A, DENOTADO POR CAB, É A DIFERENÇA
ENTRE OS CONJUNTOS A e B, OU SEJA, É OCONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEMAO CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B.
CAB = A – B = { x: x Є A e x B }∉
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u} ENTÃO A - B = {a, e, o}
SE A = {3, 4, 9, 10, 12, 25, 27} E B = {10, 12}ENTÃO A - B = {3, 4, 9, 25, 27}
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COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, O COMPLEMENTO DOCONJUNTO B NO CONJUNTO A, É DADO POR:
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DIFERENÇA SIMÉTRICA
A DIFERENÇA SIMÉTRICA ENTRE OS CONJUNTOS A e BÉ O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE
PERTENCEM À REUNIÃO DOS CONJUNTOS A e B E NÃOPERTENCEM À INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B.
A B = { x: x Є AUB e x A∩B }∉
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EXEMPLO
SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A B = {a, e, o, b, c}
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DIFERENÇA SIMÉTRICA
DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA SIMÉTRICAENTRE OS CONJUNTOS A e B, É DADO POR:
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CARDINALIDADE
A CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO, REPRESENTAA QUANTIDADE DE ELEMENTOS DO CONJUNTO.
SE A = {7, 8, 9}, ENTÃO A = 3
SE B = {}, ENTÃO B = 0