Aula 2 MAT

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AULA 2

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ESTUDO DOS NÚMEROS

• NÚMEROS RACIONAIS• NÚMEROS IRRACIONAIS• NÚMEROS REAIS

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NÚMEROS RACIONAIS

NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUEPODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COM

O NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTESAOS NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO

DOS NÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTODOS NÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES

POSITIVAS E NEGATIVAS.

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NÚMEROS RACIONAIS

O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “Q”, QUE VEM DE

QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).

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NÚMEROS RACIONAIS

NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU,VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS

INTEIROS, GERALMENTE ESCRITO NA FORMA a / b,ONDE b É UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO.

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NÚMEROS RACIONAIS

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:

Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*}, AONDE LÊ-SE

Q IGUAL A “a” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “b”, TAL QUE, “a”PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “b”

PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE“Z” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “Z*” O

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.

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NÚMEROS RACIONAIS

FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTESIGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO.

ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA EA DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE

REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.

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NÚMEROS RACIONAIS

TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAISOS SEGUINTES NÚMEROS:

• 29/8• 3 QUE É IGUAL A 3/1

• -29/8• 3 5/8

• 0 QUE É IGUAL A 0/1• -3 QUE É IGULA A -3/1

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NÚMEROS RACIONAIS

PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS

RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS,

UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS,

UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO EOBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}

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NÚMEROS RACIONAIS

CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DEDIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO,

3/6 = 2/4 = 1/2

A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEMDIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA

FORMA COMO ESTA.

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NÚMEROS RACIONAIS

DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DEUM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO

a / b, DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTESIGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR,

ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR.

EXEMPLO

A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8.

ELA É IGUAL A 7, POIS 7 x 8 = 56.

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TIPOS DE FRAÇÕES

• PRÓPRIA• IMPRÓPRIA• MISTA• APARENTE• EQUIVALENTES• UNITÁRIA• DECIMAIS DE ESCRITA FINITA• DÍZIMAS

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FRAÇÕES PRÓPRIA

O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR.

EXEMPLO

1/2, 1/4, 2/4

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FRAÇÕES IMPRÓPRIA

O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR.

EXEMPLO

7/3, 5/2, 9/4

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FRAÇÕES MISTA

É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMAPARTE FRACIONÁRIA.

EXEMPLO

2 1/2, 4 1/4, 7 2/4

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FRAÇÕES APARENTE

É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR ÉMÚLTIPLO DO DENOMINADOR.

EXEMPLO

12/2, 20/4, 10/5

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FRAÇÕES EQUIVALENTES

SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃODE OUTRA FRAÇÃO.

EXEMPLO

4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3

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FRAÇÕES UNITÁRIA

O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADORÉ UM INTEIRO POSITIVO.

EXEMPLO

1/3, 1/5, 1/7

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FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA

SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADOSÃO FINITAS.

EXEMPLO

8,35 ou 4,59 ou 1,23

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FRAÇÕES DE DÍZIMAS

SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADONÃO SÃO FINITAS.

EXEMPLO

8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...

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TIPOS DE DECIMAIS

• DECIMAIS EXATOS

• DÍZIMA PERIÓDICA

• DÍZIMA SIMPLES• DÍZIMA COMPOSTA

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DECIMAIS EXATOS

EXEMPLOS

• 1/2 = 0,5

• 1/5 = 0,2

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DECIMAIS PERIÓDICOS

DÍZIMA SIMPLES

EXEMPLOS

• 2/3 = 0,666666...

• 5/3 = 1,6666...

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DECIMAIS PERIÓDICOS

DÍZIMA COMPOSTA

EXEMPLOS

• 7/6 = 1,166666...

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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

• MULTIPLICAÇÃO• DIVISÃO• ADIÇÃO• SUBTRAÇÃO• EXPONENCIAÇÃO• SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

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MULTIPLICAÇÃO

MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SIE OS DENOMINADORES ENTRE SI.

EXEMPLOS

3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35

1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20

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MULTIPLICAÇÃO

PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMEROINTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE NÚMERO É UMA

FRAÇÃO CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM).

EXEMPLOS

3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4

4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5

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MULTIPLICAÇÃO

É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, AMULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORESRESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE

SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

EXEMPLO

1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6

DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS:

3/2

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MULTIPLICAÇÃO

COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICARMOSANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO.

EXEMPLO

1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2

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DIVISÃO

COMO JÁ VISTO ANTERIORMENTE, A DIVISÃO É AOPERAÇÃO INVERSA DA MULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE

TER ISSO EM MENTE PARA RESOLVER UMA DIVISÃOENTRE FRAÇÕES.

EXEMPLO

3/5 / 7/2

PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDAFRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO,

ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO:

3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35

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MÁXIMO DIVISOR COMUM

O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIORDIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGARMENTEABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON-TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.

EXEMPLO

mdc(24,40)

24 | 2 40 | 212 | 2 20 | 26 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 83 | 3 5 | 5 ___ ___

1 | 2³ x 3 1 | 2³ x 5

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MÁXIMO DIVISOR COMUM

EXEMPLO

mdc(16,8)

16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___1 | 24 1 | 2³

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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENORMÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGAR-MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIROENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.

EXEMPLOmmc(24,40)

24, 40 | 212, 20 | 26, 10 | 2 x3, 5 | 31, 5 | 5 ____1, 1 | 120

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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

EXEMPLO

mmc(6,8)

6, 8 | 23, 4 | 23, 2 | 2 x3, 1 | 3 __1, 1 | 24

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ADIÇÃO

CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO,ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENORMÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES:

2/3 + 3/5

ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O

MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:

15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9

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ADIÇÃO

SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:

10+9 / 15 = 19/15

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SUBTRAÇÃO

A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOSPASSOS DA ADIÇÃO:

2/3 - 3/5

ENCONTRADO O MMC. ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O

MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:

15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9

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SUBTRAÇÃO

SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:

10-9 / 15 = 1/15

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EXPONENCIAÇÃO

É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRAA EXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO:

(1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25

EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃOOBTÉM-SE O MESMO RESULTADO:

(1/2)² = (0,5)² = 0,25

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SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES

UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDONUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS

ENTRE SI:

8/4

PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISORCOMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃOQUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É

DO TIPO IRREDUTÍVEL:

8 : 4 / 4 : 4 = 2/1

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NÚMEROS IRRACIONAIS

NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROSREAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.

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O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “I”.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS É DEFINIDO POR:

I = R - Q

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COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRENOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO:

√2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828...

(Pi) = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...

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NÚMEROS REAIS

É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAISE PELOS NÚMEROS RACIONAIS.

OS MATEMÁTICOS USAM O “R” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.

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NÚMEROS REAIS

AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAISCOM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, FORMANDOO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS

REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETAPREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS

OS SEUS PONTOS.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.

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NOTAÇÃO

COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO

CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS,


R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS,


R+ = {0, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS,


R- = {....., -3, -2, -1, 0}

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NÚMEROS REAIS

PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS,RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.

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NÚMEROS REAIS

ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

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MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x,É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE

x E –x, ISTO É:

|x| = MÁXIMO{x,y}

OU AINDA POR:

x SE x > 00 SE x = 0-x SE x < 0

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EXEMPLOS

|+5| = 5

|0| = 0

|-6| = 6

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ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS

A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITEDEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS

NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZEROE OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO.

EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DASEGUINTE MANEIRA:

a ≤ b se b – a ≥ 0

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EXEMPLO

-15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0

-15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0

-15 ≤ 5 se 20 ≥ 0

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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS

REFLEXIVA: PARA TODO x EM R:

x ≤ x

ANTI-SIMÉTRICA: SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO:

x = x

TRANSITIVA: SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO:

x < z

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EXERCÍCIOS

QUAL É O NÚMERO CONSECUTIVO E O ANTECEDENTEDE UM NÚMERO NATURAL n RESPECTIVAMENTE:

RESPOSTA: n + 1 e n - 1

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EXERCÍCIOS

O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PARSERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO?

RESPOSTA: ÍMPAR.

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EXERCÍCIOS

SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROSPARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO:

2n + 1 = IMPAR

8n – 6 = PAR

6n -1 = IMPAR

5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n

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EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS?

RESPOSTA: 99 E 10.

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EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS DIFERENTES?

RESPOSTA: 98 E 10.

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EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPARDE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES?

RESPOSTA: 9.875 E 1.235.

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EXERCÍCIOS

NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58.SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À

SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA,QUAL SERÁ O NOVO TOTAL?

RESPOSTA:

x + y + z = 58

X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82

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EXERCÍCIOS

RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:

- [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)]

RESPOSTA:

PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELETINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM

COM OS SINAIS TROCADOS:

- [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6]

LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES:

3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6

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EXERCÍCIOS

RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:

{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] }

RESPOSTA:

PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES:

{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] }

DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3:

{ - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }

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EXERCÍCIOS

LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTESDESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS

SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL:

{ - 5 - 8 + 15 – 3 }

LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉMNÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR:

- 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1

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TEORIA DOS CONJUNTOS

NO ESTUDO DE CONJUNTOS, TRABALHAMOS COM ALGUNSCONCEITOS PRIMITIVOS, QUE DEVEM SER ENTENDIDOS

E ACEITOS SEM DEFINIÇÃO.

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CONJUNTO

CONJUNTO REPRESENTA UMA COLEÇÃO DE OBJETOS.

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EXEMPLO

• O CONJUNTO DE TODOS OS BRASILEIROS.

• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS.

• O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAISTAL QUE x² - 4 = 0

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OBSERVAÇÃO

EM GERAL, UM CONJUNTO É DENOTADO POR UMALETRA MAIÚSCULA DO ALFABETO: A, B, C, ......, Z.

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ELEMENTO

É UM DOS COMPONENTES DE UM CONJUNTO.

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EXEMPLO

• JOSÉ DA SILVA É UM ELEMENTO DO CONJUNTODOS BRASILEIROS.

• 1 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROSNATURAIS.

• -2 É UM ELEMENTO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0

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OBSERVAÇÃO

EM GERAL, UM ELEMENTO DE UM CONJUNTO, ÉDENOTADO POR UMA LETRA MINÚSCULA DO

ALFABETO: a, b, c, ......, z.

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PERTINÊNCIA

É A CARACTERÍSTICA ASSOCIADA A UM ELEMENTOQUE FAZ PARTE DE UM CONJUNTO.

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EXEMPLO

• JOSÉ DA SILVA PERTENCE AO CONJUNTO DOSBRASILEIROS.

• 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.

• -2 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISQUE SATISFAZ À EQUAÇÃO x² - 4 = 0

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OBSERVAÇÃO

SE UM ELEMENTO PERTENCE A UM CONJUNTO, UTILIZAMOS O SÍMBOLO “Є” QUE SE LÊ:

“PERTENCE”.

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OBSERVAÇÃO

PARA AFIRMAR QUE 1 É UM NÚMERO NATURALOU QUE 1 PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS

NATURAIS, ESCREVEMOS:

1 Є N

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OBSERVAÇÃO

PARA AFIRMAR QUE 0 NÃO É UM NÚMERO NATURALOU QUE 0 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS

NATURAIS, ESCREVEMOS:

0 N∉

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OBSERVAÇÃO

UM SÍMBOLO MATEMÁTICO MUITO USADO PARA ANEGAÇÃO É A BARRA “/” TRAÇADA SOBRE O SÍMBOLO

NORMAL.

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NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS

MUITAS VEZES, UM CONJUNTO É REPRESENTADO COMOS SEUS ELEMENTOS DENTRO DE DUAS CHAVES “{ }”

E ATRAVÉS DE DUAS FORMAS BÁSICAS E DE UMATERCEIRA FORMA GEOMÉTRICA.

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TIPOS DE NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS

• APRESENTAÇÃO

• DESCRIÇÃO

• DIAGRAMA

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APRESENTAÇÃO

OS ELEMENTOS DO CONJUNTO ESTÃO DENTRO DE DUASCHAVES { }.

A = {a, e, i, o, u}

N = {1, 2, 3, 4, ...}

M = {João, Maria, José}

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DESCRIÇÃO

O CONJUNTO E DESCRITO POR UMA OU MAISPROPRIEDADES.

A = {x: x é uma vogal}

N = {x: x é um número natural}

M = {x: x é uma pessoa da família de Maria}

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DIAGRAMA

OS CONJUNTOS SÃO MOSTRADOS GRAFICAMENTE.

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SUBCONJUNTOS

DADOS OS CONJUNTOS A e B, DIZ-SE QUE A ESTÁ CONTIDOEM B, DENOTADO POR A B (A ESTÁ CONTIDO EM B), SE

TODOS OS ELEMENTOS DE A TAMBÉM ESTÃO EM B.ALGUMAS VEZES DIREMOS QUE UM CONJUNTO A ESTÁPROPRIAMENTE CONTIDO EM B, QUANDO CONJUNTO B,

ALÉM DE CONTER AO ELEMENTOS DE A, CONTÉM TAMBÉMOUTROS ELEMENTOS.

O CONJUNTO A É DENOMINADO SUBCONJUNTO DE B E OCONJUNTO B É O SUPERCONJUNTO QUE CONTÉM A.

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CONJUNTO VAZIO

É UM CONJUNTO QUE NÃO POSSUI ELEMENTOS.É REPRESENTADO POR { } OU POR Ø. O CONJUNTOVAZIO ESTÁ CONTIDO EM TODOS OS CONJUNTOS.

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CONJUNTO UNIVERSO

É UM CONJUNTO QUE CONTÉM TODOS OS ELEMENTOSDO CONTEXTO NO QUAL ESTAMOS TRABALHANDO E

TAMBÉM CONTÉM TODOS OS CONJUNTOS DESSECONTEXTO. O CONJUNTO UNIVERSO É REPRESENTADO

POR UMA LETRA “U”.

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

EXISTEM TAMBÉM OS CONJUNTOS NUMÉRICOS, QUE EMCONSIDERAÇÃO ESPECIAL EM MATEMÁTICA. OS

PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS SÃO:

• CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

• CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS

• CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS

• CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

• CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

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UNIÃO DE CONJUNTOS

A UNIÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO

CONJUNTO A OU AO CONJUNTO B.

A U B = { x: x Є A ou x Є B }

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o} E B = {3, 4} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, 3, 4}

SE A = {2, 3, 4, 5} E B = {1, 3, 5} ENTÃO A U B = {1, 2, 3, 4, 5}

SE A = {a, e, i} E B = {o, u} ENTÃO A U B = {a, e, i, o, u}

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INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTO DETODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO

CONJUNTO A E AO CONJUNTO B.

A ∩ B = { x: x Є A e x Є B }

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o, u} E B = {1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = Ø

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OBSERVAÇÃO

QUANDO A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS A e BÉ O CONJUNTO VAZIO, DIZEMOS QUE ESTES CONJUNTOS

SÃO DISJUNTOS.

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o, u} E B = {a, e, 1, 2, 3, 4} ENTÃO A ∩ B = {a, e}

SE A = {1, 2, 3} E B = {3, 4, 5} ENTÃO A ∩ B = {3}

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DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A DIFERENÇA ENTRE OS CONJUNTOS A e B É O CONJUNTODE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEM AO

CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B.

A - B = { x: x Є A e x B }∉

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A - B = {a, e, o}

SE Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} E N = {1, 2, 3, 4, 5}ENTÃO Z - N = {..., -2,-1, 0}

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DIFERENÇA DE CONJUNTOS

DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA PODE SERVISTA COMO:

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COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

O COMPLEMENTO DO CONJUNTO B CONTIDO NOCONJUNTO A, DENOTADO POR CAB, É A DIFERENÇA

ENTRE OS CONJUNTOS A e B, OU SEJA, É OCONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE PERTENCEMAO CONJUNTO A E NÃO PERTENCEM AO CONJUNTO B.

CAB = A – B = { x: x Є A e x B }∉

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u} ENTÃO A - B = {a, e, o}

SE A = {3, 4, 9, 10, 12, 25, 27} E B = {10, 12}ENTÃO A - B = {3, 4, 9, 25, 27}

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COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, O COMPLEMENTO DOCONJUNTO B NO CONJUNTO A, É DADO POR:

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DIFERENÇA SIMÉTRICA

A DIFERENÇA SIMÉTRICA ENTRE OS CONJUNTOS A e BÉ O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS QUE

PERTENCEM À REUNIÃO DOS CONJUNTOS A e B E NÃOPERTENCEM À INTERSEÇÃO DOS CONJUNTOS A e B.

A B = { x: x Є AUB e x A∩B }∉

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EXEMPLO

SE A = {a, e, i, o, u} E B = {i, u, b, c} ENTÃO A B = {a, e, o, b, c}

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DIFERENÇA SIMÉTRICA

DO PONTO DE VISTA GRÁFICO, A DIFERENÇA SIMÉTRICAENTRE OS CONJUNTOS A e B, É DADO POR:

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CARDINALIDADE

A CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO, REPRESENTAA QUANTIDADE DE ELEMENTOS DO CONJUNTO.

SE A = {7, 8, 9}, ENTÃO A = 3

SE B = {}, ENTÃO B = 0

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