8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 17 de Novembro
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
C u r s o d e l g e b r a L i n e a r
T e o r e m a d o N c l e o e d a I m a g e m e R e s u l t a d o s D e c o r r e n t e s
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
1 8 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
P a r t e I
T e o r e m a d o N c l e o e d a I m a g e m e
R e s u l t a d o s D e c o r r e n t e s
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T h i a g o V e d o V a t t o
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
O b j e t i v o s d a A u l a
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o
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T h i a g o V e d o V a t t o
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o :
P r o p o s i o ( T e o r e m a d o N c l e o e I m a g e m )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a s o b r e R
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T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o :
P r o p o s i o ( T e o r e m a d o N c l e o e I m a g e m )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a s o b r e R
. D a d a
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F
:U
V , e n t o
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C o r o l r i o
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o :
P r o p o s i o ( T e o r e m a d o N c l e o e I m a g e m )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a s o b r e R
. D a d a
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F
:U
V , e n t o :
d i m U=
d i mK e r (
F) +
d i mI m (
F)
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P r o p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R c o m a m e s m a d i m e n s o
n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s
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S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R c o m a m e s m a d i m e n s o
n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a
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n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a
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n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a
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n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a ;
A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V
( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (
B)
u m a
b a s e d e V ) .
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n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a ;
A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V
( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (
B)
u m a
b a s e d e V ) .
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C o r o l r i o
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
P o r h i p t e s e I m (
F) =
V
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
P o r h i p t e s e I m (
F) =
V . L e v a n d o e m c o n t a q u e d i m U=
d i m V
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I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
P o r h i p t e s e I m (
F) =
V . L e v a n d o e m c o n t a q u e d i m U=
d i m V ,
a f o r m u l a d i m U=
d i mK e r (
F) +
d i mI m (
F)
e q u i v a l e e n t o a
d i mK e r (F ) = 0
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C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
P o r h i p t e s e I m (
F) =
V . L e v a n d o e m c o n t a q u e d i m U=
d i m V ,
a f o r m u l a d i m U=
d i mK e r (
F) +
d i mI m (
F)
e q u i v a l e e n t o a
d i mK e r (F ) = 0 . L o g o K e r (F ) = {o } e F i n j e t o r a
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e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I .
P o r h i p t e s e I m (
F) =
V . L e v a n d o e m c o n t a q u e d i m U=
d i m V ,
a f o r m u l a d i m U=
d i mK e r (
F) +
d i mI m (
F)
e q u i v a l e e n t o a
d i mK e r (F ) = 0 . L o g o K e r (F ) = {o } e F i n j e t o r a . E n t o F
b i j e t o r a .
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C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
P r o p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R c o m a m e s m a d i m e n s o
n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a ;
A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V
( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (
B)
u m a
b a s e d e V ) .
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C o r o l r i o
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b v i o .
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n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a ;
A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V
( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (
B)
u m a
b a s e d e V ) .
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I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V
l g e b r a L i n e a r
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P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F
(B
)t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a
l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F
(B
)t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(
B)
L . I
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C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F(
B)
t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(
B)
L . I . S u p o n h a m o s
1
, . . . , n
R e 1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
) =o
l g e b r a L i n e a r
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T h i a g o V e d o V a t t o
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F(
B)
t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(
B)
L . I . S u p o n h a m o s
1
, . . . , n
R e 1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
) =o . D i s t o r e s u l t a p e l a
l i n e a r i d a d e d e F q u e :
F(
1
u
1
+ . . . + n
u
n
) =o
l g e b r a L i n e a r
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e I m a g e m
C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F(
B)
t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(
B)
L . I . S u p o n h a m o s
1
, . . . , n
R e 1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
) =o . D i s t o r e s u l t a p e l a
l i n e a r i d a d e d e F q u e :
F(
1
u
1
+ . . . + n
u
n
) =o
S e n d o F i n j e t o r a s e g u e q u e :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
=o
l g e b r a L i n e a r
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C o r o l r i o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I I I I V .
S e n d o B= {
u
1
, . . . ,u
n
}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e
F(
B) = {
F(
u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e
i n c i o q u e F(
B)
t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r
i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(
B)
L . I . S u p o n h a m o s
1
, . . . , n
R e 1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
) =o . D i s t o r e s u l t a p e l a
l i n e a r i d a d e d e F q u e :
F(
1
u
1
+ . . . + n
u
n
) =o
S e n d o F i n j e t o r a s e g u e q u e :
1
u
1
+ . . . + n
u
n
=o
C o m o B L . I . c o n c l u i - s e q u e :
1
= 2
= . . . = n
=o
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
P r o p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R c o m a m e s m a d i m e n s o
n i t a n e s u p o n h a m o s F
:U
V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .
E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :
A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;
A r m a o I I F b i j e t o r a ;
A r m a o I I I F i n j e t o r a ;
A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V
( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (
B)
u m a
b a s e d e V ) .
l g e b r a L i n e a r
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I
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I V I.
S e j a v V . T o m a n d o u m a b a s e B = {u1
, . . . , un
} d e U , e n t o n o s s a h i p t e s e g a r a n t e q u e F
(B
) = {F
(u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a
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l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
I V I.
S e j a v V . T o m a n d o u m a b a s e B = {u1
, . . . , un
} d e U , e n t o n o s s a h i p t e s e g a r a n t e q u e F
(B
) = {F
(u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a
b a s e d e V . L o g o v c o m b i n a o l i n e a r d e F(
B)
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
I V I.
S e j a v V . T o m a n d o u m a b a s e B = {u1
, . . . , un
} d e U , e n t o n o s s a h i p t e s e g a r a n t e q u e F
(B
) = {F
(u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a
b a s e d e V . L o g o v c o m b i n a o l i n e a r d e F(
B)
:
v=
1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
), c o m
1
, . . . , n
R
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
I V I.
S e j a v V . T o m a n d o u m a b a s e B = {u1
, . . . , un
} d e U , e n t o n o s s a h i p t e s e g a r a n t e q u e F
(B
) = {F
(u
1
), . . . ,F
(u
n
)} u m a
b a s e d e V . L o g o v c o m b i n a o l i n e a r d e F(
B)
:
v=
1
F(
u
1
) + . . . + n
F(
u
n
), c o m
1
, . . . , n
R
C o m o F l i n e a r p o d e m o s a r m a r q u e :
v=
F(
1
u
1
+ . . . + n
u
n
)
l g e b r a L i n e a r
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D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a
l g e b r a L i n e a r
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D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F
:U
U u m a u t o m o r s m o d e U .
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U
l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P 1 (R) d e n i d a p o r F (x , y ) = x + ( x + y )t t a m b m u m i s o m o r s m o
l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P 1 (R) d e n i d a p o r F (x , y ) = x + ( x + y )t t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
E x a m p l e s
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a
l g e b r a L i n e a r
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A u t o m o r s m o s
E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
)
l g e b r a L i n e a r
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E x a m p l e s
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
) x1
+ ( x1
+ y1
)t = x2
+ ( x2
+ y2
)t
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
E x a m p l e s
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F : R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
) x1
+ ( x1
+ y1
)t = x2
+ ( x2
+ y2
)t
x1
= x2
e x
1
+ y1
= x2
+ y2
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
E x a m p l e s
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E x e m p l o s
P r o p o s i o
O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F
: R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
) x1
+ ( x1
+ y1
)t = x2
+ ( x2
+ y2
)t
x1
= x2
e x
1
+ y1
= x2
+ y2
x
1
= x2
e y
1
= y2
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
E x a m p l e s
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O o p e r a d o r i d n t i c o I
:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F
: R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
) x1
+ ( x1
+ y1
)t = x2
+ ( x2
+ y2
)t
x1
= x2
e x
1
+ y1
= x2
+ y2
x
1
= x2
e y
1
= y2
D a d o f (t ) = a + b t P
1
(R) b a s t a t o m a r u = ( a , b a ) p a r a q u e s e t e n h a F (u ) = f ( t )
l g e b r a L i n e a r
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:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o
v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;
F
: R2
P
1 (R)d e n i d a p o r F
(x , y ) =
x
+ (x
+y
)t
t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .
M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o
b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :
F(
u+
v) =
F(
u) +
F(
v)
V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :
F ( x1
,y
1
) = F (x2
,y
2
) x1
+ ( x1
+ y1
)t = x2
+ ( x2
+ y2
)t
x1
= x2
e x
1
+ y1
= x2
+ y2
x
1
= x2
e y
1
= y2
D a d o f (t ) = a + b t P
1
(R) b a s t a t o m a r u = ( a , b a ) p a r a q u e s e t e n h a F (u ) = f ( t ) . E n t o F s o b r e j e t o r a .
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
) =u
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
) =u . E n t o
F(
u) =
v
1
e F(
u) =
v
2
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
) =u . E n t o
F(
u) =
v
1
e F(
u) =
v
2
. D a v
1
=v
2
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
) =u . E n t o
F(
u) =
v
1
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u) =
v
2
. D a v
1
=v
2
. L o g o F
1
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
) =u . E n t o
F(
u) =
v
1
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u) =
v
2
. D a v
1
=v
2
. L o g o F
1
i n j e t o r a
P a r a v e r i c a r q u e F
1
s o b r e j e t o r a b a s t a o b s e r v a r q u e d a d o
u
U , t o m a n d o v=
F(
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
,v
2
V e F
1 (
v
1
) =F
1 (
v
2
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F(
u) =
v
1
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v
2
. D a v
1
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2
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1
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1
s o b r e j e t o r a b a s t a o b s e r v a r q u e d a d o
u
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F(
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t e r e m o s :
F
1 (
v) =
F
1 (
F(
u)) =
u
F i c a c o m o e x e r c c i o m o s t r a r q u e F
1
u m a t r a n s f o r m a o
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1 :V
U t a m b m
u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )
D e m o n s t r a o .
S u p o n h a m o s v
1
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2
V e F
1 (
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1
) =F
1 (
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2
) =u . E n t o
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v
1
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1
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P a r a v e r i c a r q u e F
1
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u
U , t o m a n d o v=
F(
u)
t e r e m o s :
F
1 (
v) =
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1 (
F(
u)) =
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F i c a c o m o e x e r c c i o m o s t r a r q u e F
1
u m a t r a n s f o r m a o
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F
1 (u
+v
) = F
1 (u
) +F
1 (v
)
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