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CAPITULO I
LA INTEGRAL INDEFINIDA
1.
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓNUna función F(x) se llama Antiderivada de otra función f(x) continua sobre un
intervalo I si se verifica que: F’(x) = f(x), x ε I.
F(x) = x4 es una Antiderivada de f(x) = 4x3 x ε , pues:
F’(x) = f(x) => 4x3 = 4x3
Sin embargo la función G(x) = x4 + C es también una Antiderivada de
f(x) = 4x3 pues se verifica:
]Cx[dx
d[G(x)]
dx
d 4 4x3 = f(x) , x ε ,
OBSERVACIONES:
1. Si F(x) es una Antiderivada particular de f(x) en I entonces la
Antiderivada General de f(x) en I esta dada por la función G(x) = F(x)+C
f(x) = 4x3 tiene su Antiderivada general en G(x) = x4 + C pues:
G’(x) = 4x3 = f(x) x ε I.
2. De (1) se deduce que si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I cualquier
otra Antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x)
F(x) = x4 G(x) = x4 + 1 H(x) = x4 – 1
y
x
1xG(x)4
4
xF(x)
1xH(x)4
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2. DEFINICIÓN (INTEGRAL INDEFINIDA)
Si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I. La I ntegral I ndefi nida de f(x) es el
conjunto de las Antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y es denotado por:
CF(x)dxf(x)
Donde:
- C ε R y es llamado constante de integración
- f(x) es llamado integrando
- f(x) dx es llamado elemento de integración
- x es la variable de integración
- es el símbolo de la integral
OBSERVACIONES:
De la definición anterior se deduce:
1. f(x)(x)F'C}{F(x)dx
d}dxf(x){
dx
d
Por lo cual se dice que la integración es la operación inversa de ladiferenciación.
2. dxf(x)dx(x)F'dxC}'{F(x)dx}'dxf(x){}dxf(x)d{
3. Si f es derivable en I entonces una primitiva o antiderivada de f ’ es f
entonces:
Cf(x)dx(x)'f
4. dx(x)'f d{f(x)} de (3) se deduce:
Cf(x)d{f(x)}
Ejemplos:
- 1n , C
1n
xdxx
1nn
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Pues:n
n1n
x1n
x1)(nC)
1n
x(
dx
d
- Cx3
1C
12
xdxx
312
2
Pues:2
23
x3
x(3)C)
3
x(
dx
d
- Csen xdxxcos
Pues: xcosC)(sen xdx
d
- Cxcosdxsen x
- Cxctgdxxcsc2
NOTA: Todas estas integrales son llamadas integrales inmediatas pues se
verifica que Cf(x)dx(x)'f
PROBLEMAS
1. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones
a) f(x) = 3x + 2 => C2xx2
3F(x)
2
b) f(x) = 3 cos 4x => C4xsen
4
3F(x)
c) f(x) = – sec x tg x => CxsecF(x)
2. Encontrar las funciones F(x) tal que
a) F’(x) = 3x2 , F(1) = 2
dx3xdx(x)'F2
)d(xd{F(x)} 3
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F(x) = x3 + C Antiderivada general
F(1) = (1)3 + C = 2 => C = 1
1xF(x) 3
Antiderivada particular
b)
F’(x) = sen 2x , F(π/3) = 1
dx2xsendx(x)'F
)2
2xcosd(d{F(x)}
C2xcos
2
1F(x) Antiderivada general
1C)3
2π(cos
2
1)3/πF( =>
4
3C
4
32xcos
2
1F(x) Antiderivada particular
3. La pendiente de una curva en cualquier punto ( x , y ) de ella es igual a
4x + 6. Si la curva pasa por el punto ( 1 , 1 ) de una ecuación de ella.Sea: F’(x) = 4x + 6
dx)64x(dx(x)'F
C6x2xF(x)2
C6x2xF(x)y2
Ecuación general de la curva
Como F(x) pasa por ( 1 , 1 ) satisface su ecuación
C6(1)2(1)12
=> C = – 7
76x2xF(x) 2
Ecuación particular de la curva
4. En cada punto de una curva cuya ecuación es y = F(x); yD2x = 6x – 2 y en
el punto ( 1 , 2 ) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la
curva.
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Sea: F’’(x) = 6x – 2
dx)26x(dx(x)''F
C2x3x(x)'F2
Para x = 1 , y’ = F’(1) = 8
C2(1)3(1)82
=> C = 7
72x3x(x)'F 2
dx)72x3x(dx(x)'F2
C7xxxF(x)y 23 Ecuación general de la curva
Como pasa por ( 1 , 2 ) satisface su ecuación
C7(1)(1)(1)223
=> C = – 5
57xxxF(x) 23
Ecuación particular de la curva
5. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones
a) f(x) = x2 + 2x3 => Cx2
1x
3
1F(x)
43
b) f(x) = 3 sec4x => Cxtgxtg3F(x)3
c) bax
1f(x)
=> C bax
a
2F(x)
6.
Encontrar la función tal que:
a) x
2(x)'F , F(1) = 4
x
dx2dx(x)'F
)xd(4d{F(x)}
Cx4F(x) Antiderivada general
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4C14F(1) => C = 0
x4F(x) Antiderivada particular
b)
2
sen xx(x)'F , 2
1)2/πF(
dxsen xxdx(x)'F2
)xcos2
1d(d{F(x)}
2
Cxcos
2
1F(x)
2 Antiderivada general
2
1C)2/π(cos
2
1)2/πF(
2 =>
2
1C
2
1 xcos
2
1F(x)
2 Antiderivada particular
c) 2x9x(x)'F , 1)5F(
dxx9xdx(x)'F 2
})x9(3
1d{d{F(x)}
3/22
C)x9(3
1F(x)
3/22 Antiderivada general
1C])5(9[31)5F( 3/22 => 3
11C
3
11)x9(
3
1F(x)
3/22 Antiderivada particular
7. La pendiente de una curva en un punto cualquiera ( x , y ) de ella es igual
a cos x. Encontrar una ecuación si esta pasa por el punto ( π/2 , 2 )
Sea: F’(x) = cos x
dxxcosdx(x)'F
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Csen xF(x)y Ecuación general de la curva
Como pasa por ( π/2 , 2 ) satisface su ecuación
C
2
πsen2 => C = 1
1sen xF(x) Ecuación particular de la curva
2.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Proposición: Si f y g son funciones que admiten Antiderivadas en I
entonces lo mismo sucede con f g; Kf donde K es constante
a) dxg(x)dxf(x)dx]g(x)f(x)[
b) dxf(x)K dxf(x)K
2.2. FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
1. Cudu
2. CuLndu
u
3. 1n , C1n
uduu
1nn
4. Cedueuu
5. 0a , CaLn
adua
uu
6. Cucosduusen
7. Cusenduucos
8. CucosLnCusecLnduutg
9.
CusenLnduuctg
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10. CutgusecLnduusec
11. CuctgucscLnduucsc
12.
Cutgduusec2
13. Cuctgduucsc2
14. Cusecduuu tgsec
15. Cucscduuctgucsc
16. Cucoshduusenh
17. Cusenhduucosh
18. CucoshLnduutgh
19. CusenhLnduuctgh
20. Cutghduusech2
21. Cuctghduucsch2
22. Cusechduuu tghsech
23.
Cucschduuctghucsch
24. 0a , C)a
u(tgarc
a
1
ua
du22
25. 0a , Cau
au Ln
2a
1
au
du22
26.
0a , Cau
au
Ln2a
1
ua
du
22
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27. 0a , C)a
u(senarc
ua
du
22
28.
CauuLnau
du 22
22
29. 0a , Ca
usecarc
a
1
auu
du
22
30. 0a , C])a
u(senarcauau[
2
1duua
22222
31. C] auuLnaauu[2
1duau 2222222
PROBLEMAS
1. Evaluar:
dx
x6
4
2
C)6
x
(senarc4x)6(
dx
4I 22
2. Evaluar:
dxe52x
Ce2
1)dx2(e
2
1I
52x52x
3. Evaluar:
dx)73x(sen
C)73x(cos3
1)dx3()73x(sen
3
1I
4. Evaluar:
dx5
322x
1xx
C)
5
6(Ln
)
5
6(
25
3dx)5
6(25
3dx
5
6
25
3dx
5
32
25
3I
x
x
x
x
x
xx
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3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
3.1. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Si en la integral dxf(x) se sustituye:
(u)ψx
du(u)'ψdx
Entonces:
du(u)'ψ (u)]ψ[f dxf(x)
OBSERVACIONES:
1.
Después de la integración la variable u será reemplazada por su
expresión en función de x teniendo en cuenta que (u)ψx . La
elección de (u)ψx debe hacerse de modo que se pueda calcular la
integral du(u)'ψ (u)]ψ[f
2. En ciertos casos es preferible hallar la sustitución de la variable en la
forma:
(x)ψu
dx(x)'ψdu
PROBLEMAS
1. dx)34x(3
Hacemos: u = 4x + 3
du = 4 dx
Cu16
1duu
4
1)dx4()34x(
4
1I
433
C)34x(16
1I
4
2.
dxe 57x
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Hacemos: u = 7x + 5
du = 7 dx
Ce7
1due
7
1)dx7(e
7
1I
uu57x
Ce7
1I
57x
3.
dx
54xx
8x3x23
2
Hacemos: u = x3 + 4x2 + 5
du = ( 3x2 + 8x ) dx
CuLnu
dudx
54xx
8x3xI
23
2
C54xxLnI 23
4. dx2xcos212xsen
Hacemos: u = 1 + 2 cos 2xdu = – 4 sen 2x dx
Cu6
1duu
4
1dx2xcos212xsen4
4
1I
3/2
C)2xcos21(6
1I
3/2
5. 2x8
dxx
Hacemos: u = 8 + x2
du = 2x dx
Cuu
du
2
1
x8
dx2x
2
1I
2
Cx8I 2
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6. dx)4x(x33/2
Hacemos: 4xu3/2
dxx23du
Cu6
1duu
3
2dx)4x(x
2
3
3
2I
4333/2
C)4x(6
1I
43/2
7.
dxx
xtg2
Hacemos: xu
x2
dxdu
C2uutg2du)1usec(2duutg2dx
x2
xtg2I
222
Cx2xtg2I
8. dx
)cosh x1(
senh x3
Hacemos: u = 1 + cosh x
du = senh x dx
C2u
1
u
dudx
)cosh x1(
senh xI
233
C)cosh x1(2
1I
2
3.2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
Dadas las funciones u = u (x) y v = v (x) diferenciables en I entonces se
tiene que:
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d (uv) = u dv + v du
Aplicando integral a ambos miembros se tiene:
duvdvu(uv)d
duvdvuuv
duvuvdvu Fórmula de I ntegración por Partes
OBSERVACIÓN:
1. En la práctica se sigue los siguientes pasos:
Identificar:
dx(x)'g(x)f
Normalmente se hace:
(x)f u dx(x)'gdv
dx(x)'f du (x)gv
La fórmula de integración por partes indica que:
dx(x)'f (x)g(x)g(x)f dx(x)'g(x)f
NOTA:
Para descomponer el elemento de integración dados en dos factores u y dv
normalmente se elige como u aquellos que se simplifican con la
derivación xn (n ε N), arc tg x, arc sen x, arc sec x, etc.
Pri oridad para la variable u: Estableceremos un orden de prioridad parala variable u
1. Ln x
2. xn , n ε N
3. ekx
Es decir:
Si uno de los factores es una función logarítmica tal función tendráque tomarse como u.
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Si no existe función logarítmica pero si una potencia de x esta se
convierte entonces en la variable u.
Si no existe función logarítmica ni potencia de x se toma entonces
como u la función exponencial. Si se tiene en cuenta este orden de prioridad se evitaran muchos
intentos fallidos al elegir u y dv.
PROBLEMAS
1. dxxsecx2
Hacemos: xu dxxsecdv2
dxdu xtgv
CxsecLnxx tgdxxtgxx tgdxxsecxI2
CxcosLnxx tgI
2. dx
x
Ln x3
Hacemos: Ln xu 3x
dxdv
x
dxdu
22x
1v
32323
x
dx
2
1
2x
Ln x
2x
dx
2x
Ln xdx
x
Ln xI
C4x
)1Ln x2(C
4x
1
2x
Ln xI
222
3. dxx
xtgarc2
Hacemos: xtgarcu 2x
dxdv
2x1
dxdu
x
1v
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)x1(x
dx
x
xtgarcdx
x
xtgarcI
22
dx
)x1(x
x)x1(
x
xtgarc
)x1(x
dx
x
xtgarcI
2
22
2
dx
x1
x
x
dx
x
xtgarcI
2
dx
x1
2x
2
1
x
dx
x
xtgarcI
2
Cx1Ln2
1 xLn
x
xtgarcI 2
Cx1
xLn
x
xtgarcI
2
4. dx)Ln x(sen2
Hacemos: z = Ln x
x = ez
dx = ez
dz
dzzsenedx)Ln x(senI2z2
Hacemos: zeu dz
2
2zcos1dzzsendv
2
dzeduz
4
2zsen
2
zv
dz)4
2zsen
2
z (e)
4
2zsen
2
z (eI
zz
dz2zsene4
1dzez
2
1)
4
2zsen
2
z (eI
zzz …(1)
dzezIz
1
Hacemos: u = z dv = ez dz
du = dz v = ez
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1
zzzzz
1 CeezdzeezdzezI …(2)
dz2zseneIz
2
Hacemos: zeu dz2zsendv
dzeduz
2zcos2
1v
dz2zcose2
12zcose
2
1dz2zseneI
zzz
2
dz2zcose
2
12zcose
2
1I
zz
2
Hacemos: zeu dz2zcosdv
dzeduz
2zsen2
1v
]dz2zsene2
12zsene
2
1 [
2
12zcose
2
1I zzz
2
]dz2zsene2
12zsene
2
1 [
2
12zcose
2
1I zzz
2
dz2zsene4
12zsene
4
12zcose
2
1I
zzz
2
2
zz
2 I4
12zsene
4
12zcose
2
1I
2zsene412zcose
21I
41I zz
22
2zsene4
12zcose
2
1I
4
5 zz
2
2
zz
2 C2zsene5
12zcose
5
2I …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
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)C2zsene5
1
2zcose5
2 (
4
1)Ceez(
2
1)
4
2zsen
2
z (eI
2
z
z 1
zzz
2
z
z
1
zzzz
C4
12zsene
20
1
2zcose10
1C
2
1e
2
1ez
2
12zsene
4
1ez
2
1I
21
zzzC
4
1C
2
12zcose
10
12zsene
5
1e
2
1I
C2zcose10
12zsene5
1e2
1Izzz
C)Ln x2(cosx10
1)Ln x2(senx
5
1x
2
1I
3.3. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Si el integrando contiene una expresión de la forma 22 ua , 22 ua ,
22 au donde ( a > 0 ) a menudo es posible realizar la integración
haciendo una sustitución trigonométrica lo cual nos da una integral que
tiene funciones trigonométricas.
1º CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante
la sustitución:
θsenau
Se elimina el radical pues:
θcosaθcosaθsen1aθsenaaua 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el triángulo:
22 ua
ua
θ a
uθsen
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2º CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante
la sustitución:
θtgau
Se elimina el radical pues:
θsecaθsecaθtg1aθtgaaua 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el triángulo:
3º CASO: Si la integral contiene el radical 22au ( a > 0 ) mediante
la sustitución:
θsecau
Se elimina el radical pues:
θtgaθtga1θsecaaθsecaau 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el triángulo:
NOTA:
En ciertos casos en lugar de las sustituciones trigonométricas es preferible
emplear las sustituciones hiperbólicas
Para 22 ua la sustitución es: θtghau => θsechaua 22
Para 22 ua la sustitución es: θsenhau => θcoshaua 22
Para 22 au la sustitución es: θcoshau => θsenhaau 22
22 ua u
a
θ
22 au u
a
θ
a
uθtg
a
uθsec
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PROBLEMAS
1. dxx4x 22
Hacemos: θsen2x
dθθcos2dx
)dθθcos2()θsen2(4)θsen2(dxx4xI 2222
)dθθcos2()θsen1(4)θsen4(I 22
dθθcosθsen16dθθcosθsen1θsen16I2222
dθθsen16dθθsen16dθ)θsen1(θsen16I4222
dθ)2
2θcos1(16dθ
2
2θcos116I
2
dθ)2θcos1(4dθ)2θcos1(8I2
dθ)2θcos2θcos21(4dθ)2θcos1(8I
2
dθ2θcos4dθ2θcos8dθ4dθ2θcos8dθ8I2
dθ2θcos4dθ4dθ2θcos4dθ4I22
dθ)4θcos1(2dθ4dθ2
4θcos14dθ4I
dθ4θcos2dθ2dθ4θcos2dθ2dθ4I
C4θsen2
12θ)dθ4(4θcos
2
12θI
C4θsen2
12θ)dθ4(4θcos
2
12θI
C2θcosθcosθsen22θC2θcos2θsen2θI
C]θsenθcos[θcosθsen22θI 22 …(1)
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Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (1):
C])2
x()
2
x4([)
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
2222
C]
4
x
4
x4 [)
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
222
C)2
x2()
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
22
Cx4)x2(x4
1
2
xsenarc2I 2
2
2.
dx
1x4cosxcos
sen x
2
Hacemos: u = cos x
du = – sen x dx
14uu
dudx
1x4cosxcos
sen xI
22
3)2u(
duI
2
Hacemos: θsec32u
dθθtgθsec3du
dθ3)θsec3(
θtgθsec3
3)2u(
duI
22
dθθtg
θtgθsec dθ1θsec
θtgθsec dθ3θsec3
θtgθsec3I22
2x4
x2
θ 2
xθsen
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 21/360
1CθtgθsecLndθθsecI …(1)
Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (1):
1
2
C3
14uu
3
2u LnI
1
2
C3
14uu2u LnI
12 C3Ln14uu2uLnI
C14uu2uLnI 2
Como: u = cos x
C1xcos4xcos2xcosLnI 2
3. 3xx
dx
24
Hacemos. θsenh3x
dθθcosh3dx
dθ3)θsenh3()θsenh3(
θcosh3
3xx
dxI
2424
dθ1θsenh θsenh
θcosh
9
1dθ
3θsenh3 θsenh9
θcosh3I
2424
dθθcsch9
1
θsenh
dθ
9
1dθ
θcoshθsenh
θcosh
9
1I
4
44
3
14uu2
2u
θ 3
2uθsec
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 22/360
dθθcsch)1θctgh(9
1dθθcschθcsch
9
1I
2222
Hacemos: u = ctgh θ
du = – csch θ d θ
du)1u(9
1)dθθcsch()1θctgh(
9
1I
222
Cu9
1u
27
1C)uu
3
1 (
9
1I
33
Como: u = ctgh θ
Cθctgh9
1θctgh27
1I
3
Volviendo a la variable original
3
xθsenh
3
3xθcosh
2
x
3xθctgh
2
C)x
3x(
9
1)
x
3x(
27
1I
23
2
C]1)x
3x(
3
1 [)
x
3x(
9
1I
222
C]13x
3x [)
x
3x(
9
1I
2
22
C)3x
3x2()
x
3x(
9
1C)
3x
3x3x()
x
3x(
9
1I
2
22
2
222
C3x)27x
32x(I
2
3
2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 23/360
Identidad
θsenhθcosheθ
θsenhθcoshLneLnθ
θsenhθcoshLnθ
OBSERVACIONES:
1. Si una integral es de la forma
dx)xa,x(f 22n ó dx)ax,x(f 22n
Donde:
-
n es un número entero impar positivo
Es preferible usar la sustitución:
222xaz ó
222axz
2. Para calcular la integral
n22 )k u(
duI
Se puede usar la sustitución trigonométrica:
u = k tg θ ó
También la fórmula de reducción dada por:
1n2221n222
)k u(
du
1)(n2k
32n
)k u()1n(2k
uI , n ≥ 2
PROBLEMAS
1.
dxx4
x
2
3
Hacemos:22
x4z
dxx2dz2z => dxxdzz
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 24/360
)dzz(z
z4)dzz(
z
z4)dxx(
x4
xI
2
2
2
2
2
Cz
3
14zdz)z4(I
32 Cx4)8x(
3
1C)x4(
3
1x44I 223/222
2. dx
)1x(
2x42
3
Hacemos: 1xz2
dx2xdz
dz)z
1
z
1(dz
z
1z)dx2x(
)1x(
xI
43442
2
C)1x(3
1
)1x(2
1C
3z
1
2z
1I
322232
3.
32 )52xx(
dx
32 ]4)1x([
dxI
Donde: k = 2
n = 3
13221322 ]4)1x([
dx
1)(3(2)2
32(3)
]4)1x([1)(32(2)
1x
I
2222 ]4)1x([
dx
16
3
]4)1x([16
1xI …(1)
221]4)1x([
dxI
Donde: k = 2
n = 2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 25/360
122212221]4)1x([
dx
1)(2(2)2
32(2)
]4)1x([1)(22(2)
1xI
4)1x(
dx
8
1
]4)1x([8
1xI 221
121 C)2
1x(tgarc
16
1
]4)1x([8
1xI
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
}C)2
1x(tgarc
16
1
]4)1x([8
1x {
16
3
]4)1x([16
1xI 1222
C)2
1x(tgarc
256
3
)52xx(128
)1x(3
)52xx(16
1xI
222
3.4. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES QUE CONTIENEN
UN TRINOMIO CUADRADO
Se presentan 4 casos que son:
1º
CASO: r qx px
dx2
2º CASO: r qx px
dx
2
3º CASO:
dx
r qx px
bax2
4º CASO: dx
r qx px
bax2
En los casos 1 y 2 basta completar cuadrados en el trinomio y aplicar las
fórmulas elementales: 23, 24, 25 ó 26. En los casos 3 y 4 se usa el
siguiente artificio:
b2p
aq)q2px(
2p
a bax
La expresión ( 2px + q ) es la derivada del trinomio cuadrado entonces:
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 26/360
3º CASO:
dx
r qx px
] b2p
aq)q2px(
2p
a [
dxr qx px
baxI
22
r qx px
dx)
2p
aq b(dx
r qx px
q2px
2p
aI
22
r qx px
dx)
2p
aq b(rqx pxLn
2p
aI
2
2 …(1)
r qx px
dxM
2 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
M)2p
aq b(rqx pxLn
2p
aI 2
4º CASO:
dxr qx px
] b
2p
aq)q2px(
2p
a [
dxr qx px
baxI22
r qx px
dx)
2p
aq b(dx
r qx px
q2px
2p
aI
22
r qx px
dx)
2p
aq b(r qx px
p
aI
2
2 …(1)
r qx px
dx N
2 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
N)2p
aq b(r qx px
p
aI 2
NOTA:
Las integrales M y N son de los CASOS 1 y 2 respectivamente
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 27/360
PROBLEMAS
1.
dx
82xx
7x4
2
Donde: p = 1 q = 2
a = – 7 b = 4
4)1(2
)2()7(]2)x12([
)1(2
747x
11)22x(
2
747x
dx
82xx
]11)22x(2
7 [
dx82xx
7x4I
22
82xx
dx11dx
82xx
22x
2
7I
22
9)1x(dx1182xx7I
22
Hacemos: θsec31x
dθθtgθsec3dx
dθ9)θsec3(
θtgθsec31182xx7I
2
2
dθ1θsec
θtgθsec1182xx7I
2
2
dθθtg
θtgθsec1182xx7I
2
1
2CθtgθsecLn1182xx7I …(1)
Volviendo a la variable original
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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Sustituyendo en (1):
1
22
C3
82xx
3
1x Ln1182xx7I
122
C3Ln1182xx1xLn1182xx7I
C82xx1xLn1182xx7I 22
3.5. INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E
HIPERBÓLICAS
Daremos una tabla de identidades que son importantes para resolver
ciertos tipos de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.
NOTA:
1. 1ucosusen22
1’. 1usenhucosh22
2. 1utgusec22
2’. 1utghusech22
3. 1uctgucsc22
3’. 1ucschuctgh22
4. 2
2ucos1usen
2 4’.
2
12ucoshusenh
2
5. 2
2ucos1ucos
2 5’.
2
12ucoshucosh
2
6. ucosusen22usen 6’. ucoshusenh22usenh
7. usenucos2ucos22
7’. usenhucosh2ucosh22
I. INTEGRALES DE LA FORMA
dxxcosxsen
nm
y dxxcoshxsenh
nm
Se consideran dos casos:
3
82xx2
1x
θ 3
1xθsec
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1º CASO: Uno de los exponentes m ó n es un entero impar positivo
Si m es impar positivo se factoriza sen x dx ( senh x dx ) y se
expresa los senos (senos hiperbólicos) restantes en función de
cosenos (cosenos hiperbólicos) usando la identidad:xcos1xsen
22 ó 1xcoshxsenh
22
PROBLEMAS
1. dxxsenh3
)dxsenh x(xsenhdxxsenhI23
)dxsenh x()1xcosh(I 2
Hacemos: u = cosh x
du = senh x dx
Cuu3
1du)1u(I
32
Como: u = cosh x
Ccosh xxcosh3
1I
3
Si n es impar positivo se factoriza cos x dx ( cosh x dx ) y se
expresa los cosenos (cosenos hiperbólicos) restantes en función
de senos (senos hiperbólicos) usando la identidad:
xsen1xcos22
ó xsenh1xcosh22
PROBLEMAS
1. dxxcosh3
)dxcosh x(xcoshdxxcoshI23
)dxcosh x()xsenh1(I2
Hacemos: u = senh x
du = cosh x dx
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 30/360
Cu3
1udu)u1(I
32
Como: u = senh x
Cxsenh31senh xI 3
2º CASO: Ambos exponentes m y n son enteros pares y mayores o
iguales que cero. En este caso se usan las identidades:
2
2xcos1xsen
2 ó
2
12xcoshxsenh
2
2
2xcos1xcos
2 ó 2
12xcoshxcosh
2
NOTA:
Al efectuar las operaciones se obtienen términos que contienen
potencias pares e impares de cos 2x. Los términos que tienen las
potencias impares se integran teniendo en cuenta el 1º CASO. Los
términos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando
sucesivamente las fórmulas indicadas.
PROBLEMAS
1. dx3xcos3xsen42
dx)3xcos(3xsendx3xcos3xsenI22242
dx]2
6xcos1 [)2
6xcos1(I
2
dx)6xcos1()6xcos1(8
1I
2
dx)6xcos6xcos21()6xcos1(8
1I
2
dx)6xcos6xcos6xcos1(
8
1I
32
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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dx)6xcos2
12xcos16xcos1(
8
1I
3
dx)6xcos12xcos2
16xcos
2
1 (
8
1I
3
dx)6xcos6xcos12xcos2
16xcos
2
1 (
8
1I
2
dx]6xcos)6xsen1(12xcos2
16xcos
2
1 [
8
1I
2
dx)6xcos6xsen6xcos12xcos2
16xcos
2
1 (
8
1I
2
dx)6xcos6xsen12xcos2
1
2
1 (
8
1I
2
dx6xcos6xsen8
1dx12xcos
16
1dx
16
1I
2
dx6xcos6xsen8
112xsen
192
1x
16
1I
2
Hacemos: u = sen 6x
du = 6 cos 6x dx
)dx6xcos6(6xsen48
112xsen
192
1x
16
1I
2
duu48
112xsen
192
1x
16
1I
2
Cu144
112xsen
192
1x
16
1I
3
Como: u = sen 6x
C6xsen144
112xsen
192
1x
16
1I
3
II. INTEGRALES DE LA FORMA
dxxsecxtg nm ;
dxxcscxctg nm
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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dxxsechxtghnm ; dxxcschxctgh
nm
Se consideran dos casos:
1º
CASO: Si m es un entero impar positivo se factoriza tg x sec x
( ctg x csc x dx ) ó tgh x sech x dx ( ctgh x csch x dx ) y se expresa
las tangentes (cotangentes) ó tangentes hiperbólicas (cotangentes
hiperbólicas) restantes en términos de secantes (cosecantes) ó secante
hiperbólico (cosecante hiperbólico) mediante la identidad:
1xsecxtg22
ó xsech1xtgh22
1xcscxctg
22
ó xcsch1xctgh
22
PROBLEMAS
1. dxxsen
xcos4
3
dxxcscxctgdxsen x
1.
xsen
xcosdx
xsen
xcosI
3
3
3
4
3
)dxxctgxcsc()1xcsc()dxxcscxctg(xctgI 22
Hacemos: u = csc x
du = – csc x ctg x dx
)dxxctgxcsc()xcsc1(I2
Cu3
1
udu)u1(I
32
Como: u = csc x
Cxcsc3
1 xcscI
3
2º CASO: Si n es un entero par positivo se factoriza sec²x dx
( csc²x dx ) ó sech²x dx ( csch²x dx ) y el resto de los secantes
(cosecantes) ó secantes hiperbólicos (cosecantes hiperbólicos) se
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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transforman en términos de tangente (cotangente) ó tangente
hiperbólico (cotangente hiperbólico) usando la identidad:
xtg1xsec22
ó xtgh1xsech22
xctg1xcsc 22 ó 1xctghxcsch 22
PROBLEMAS
1. dxxtg
xsec4
4
)dxxsec(xtg
xtg1)dxxsec(
xtg
xsecdx
xtg
xsecI
2
4
22
4
2
4
4
)dxxsec()xtg
1
xtg
1 (I
2
24
Hacemos: u = tg x
du = sec²x dx
C
u
1
3u
1du)
u
1
u
1 (I
324
Como: u = tg x
Cxctgxctg3
1C
xtg
1
xtg3
1I
3
3
2. xcosxsen
dx
53
dxxsecxcscxcosxsen
dx
xcosxsen
dxI
5/23/2
5/23/253
)dxxsec(xsecxcscI21/23/2
)dxxsec(xsecxsecxcscI22/233/2
)dxxsec(xsecxtg)dxxsec(xsec
xsec
xcscI
223/222
3/2
3/2
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)dxxsec()xtg1(xtgI
223/2
)dxxsec()xtgxtg(I
21/23/2
Hacemos: u = tg x
du = sec²x dx
Cu3
2
u
2du)uu(I
3/2
1/2
1/23/2
Como: u = tg x
Cxtg3
2 xctg2Cxtg
3
2
xtg
2I 33/2
1/2
III. INTEGRALES DE LA FORMA
dxnxcosmxsen ; dxnxcoshmxsenh
dxnxsenmxsen ; dxnxsenhmxsenh
dxnxcosmxcos ; dxnxcoshmxcosh
Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:
]n)x(msenn)x(msen[2
1nx cosmxsen
]n)x(m cosn)x(m cos[2
1nxsenmxsen
]n)x(m cosn)x(m cos[2
1
nx cosmxcos
]n)x(msenhn)x(msenh[2
1nxcoshmxsenh
]n)x(mcoshn)x(mcosh[2
1nxsenhmxsenh
]n)x(mcoshn)x(mcosh[
2
1nxcoshmxcosh
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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PROBLEMAS
1. dx5xcoshxsenh2
dx5xcosh)2
12xcosh
(dx5xcoshxsenhI
2
dx5xcosh2
1dx2xcosh5xcosh
2
1I
dx5xcosh2
1dx]2)x(5cosh2)x(5cosh[
2
1
2
1I
dx5xcosh
2
1dx)3xcosh7xcosh(
4
1I
dx5xcosh2
1dx3xcosh
4
1dx7xcosh
4
1I
C5xsenh10
13xsenh
12
17xsenh
28
1I
3.6. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR
FRACCIONES PARCIALESSea la función racional
Q(x)
P(x)(x)f ; Df = { x ε R / Q(x) ≠ 0 }
P(x), Q(x) son polinomios de grados m y n (m, n ε N) respectivamente.
Función Racional Propia
Q(x)P(x)(x)f es propia si se verifica esta condición m < n
Función Racional I mpropia
Q(x)
P(x)(x)f es impropia si se verifica esta condición m ≥ n
PROBLEMAS
1. 3xx
12xxf(x)
3
24
=> f(x) es una función racional impropia
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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2. 2x
1xf(x)
3
3
=> f(x) es una función racional impropia
3.
2x
xf(x)
2
=> f(x) es una función racional propia
NOTA:
Toda fracción impropia puede ser expresada como la suma de un
polinomio y de una fracción propia es decir:
Q(x)
R(x)(x)C
Q(x)
P(x)(x)f , Donde: Gr [R(x)] < Gr [Q(x)]
Por lo tanto:
Q(x)
R(x)(x)C
Q(x)
P(x) => dx
Q(x)
R(x)dxC(x)dx
Q(x)
P(x)
Donde: dxC(x) es elemental
PROBLEMAS
1. 1x
23xxf(x)
3
6
44x
24x
xx
23xx
4xxxx
1 x23x x
2
2
223
3
1x
6)4xx(
1x
23xxf(x)
23
Donde:
4xxC(x)2
6R(x)
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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1xQ(x)
OBSERVACIÓN:
1. Veremos el método de integración para fracciones propias el cual se
basa en que “Toda fracción racional propia puede ser descompuestaen la suma de fracciones simples”.
TEOREMA
Cualquier polinomio Q(x) de grado n ≥ 1 con coeficientes reales puede ser
expresado como un producto de factores lineales y cuadráticos siendo
estos irreducibles en el sistema de los números reales.
CASOS1º CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite es
decir: Q(x) = ( x – a1 ) ( x – a2 ) ( x – a3 ) … ( x – an ), donde no hay
dos ai idénticas en este caso escribimos a la fracción propia:
n
n
3
3
2
2
1
1
ax
A .. .
ax
A
ax
A
ax
A
Q(x)
P(x)
Donde: A1, A2, A3, … , An son constantes que van a ser determinadosPROBLEMAS
1.
dx
82xx
14x4xx2
24
64x18
64x168x
x28x
16x4x2x
14x4x2x
8x2xx8x2x
8x2 xx14x4 x
2
2
23
23
2
234
224
dx)
82xx
6418x82xx(dx
82xx
14x4xxI
2
2
2
24
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 38/360
dx
82xx
6418xdx)82xx(I
2
2
dx
82xx
6418x8xxx
3
1I
2
23 …(1)
dx
)2x()4x(
6418xdx
82xx
6418xI
21
2x
B
4x
A
)2x()4x(
6418x
)4xB()2xA(6418x
4BBx2AAx6418x 4B)2A(B)xA(6418x
3
14B ,
3
68A
644B2A
18BA
dx)
2x
14/3
4x
68/3 (dx
)2x()4x(
6418xI1
2x
dx
3
14
4x
dx
3
68I1
C2xLn3
14 4xLn
3
68I1 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
C2xLn3
14 4xLn3
688xxx3
1I
23
2º CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están
repetidos por lo que si ( x – ai ) es un factor que se repite p veces
entonces correspondientes a este factor habrá la suma de p fracciones
parciales es decir:
i
p
2 pi
3
1 pi
2 pi
1 pi ax
A
... )ax(
A
)ax(
A
)ax(
A
)ax(
P(x)
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 39/360
Donde: A1, A2, A3, … , A p son constantes que van a ser determinados
PROBLEMAS
1.
dx
1xxx
1xx23
2
dx
)1x(1)x(
1xxdx
1xxx
1xxI
2
2
23
2
1x
C
)1x(
B
1x
A
)1x(1)x(
1xx22
2
)1x()1xC()1xB()1xA(1xx22
)1xC()1xB()12xxA(1xx222
CCxBBxA2AxAx1xx222
)CBA()xB2A()xCA(1xx22
4
5C ,
2
1B ,
4
1A
1CBA
1B2A
1CA
dx]
1x
5/4
)1x(
1/2
1x
1/4 [dx
)1x(1)x(
1xxI
22
2
1x
dx
4
5
)1x(
dx
2
1
1x
dx
4
1I
2
C1xLn4
5
)1x(2
1 1xLn
4
1I
3º CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno de
los factores cuadráticos se repite correspondiente al factor cuadrático
x2 + px + q en el denominador. Esta fracción parcial es de la forma:
q pxx
BAx
2
Ejemplo:
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 40/360
22xx
CBx
3x
A
)22xx()3x(
1x22
2
ó más conveniente:
22xx
C2)B(2x
3x
A
)22xx()3x(
1x22
2
PROBLEMAS
1. dx
1x
x3
5
dx
1x
xdxxdx)
1x
x x(dx
1x
xI
3
22
3
22
3
5
dx
)1xx()1x(
xx
3
1dx
1x
xx
3
1I
2
23
3
23 …(1)
dx
)1xx()1x(
xI
2
2
1
1xx
C)12xB(
1x
A
)1xx()1x(
x22
2
)1xC()1x)(12xB()1xxA(x22
)1xC()1x2xB()1xxA(x222
CCxBBx2BxAAxAxx222
)CBA()xCBA()x2BA(x
22
0C , 3
1B ,
3
1A
0CBA
0CBA
1B2A
dx
1xx
12x
3
1
1x
dx
3
1dx]
1xx
1)(2x3
1
1x
3
1
[I221
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 41/360
C1xxLn3
1 1xLn
3
1I 21 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
C1xxLn31 1xLn
31x
31I 23
C1xLn3
1x
3
1I 33
4º CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de
los factores cuadráticos se repiten si x2 + px + q es un factor que se
repite n veces entonces correspondiente a este factor habrá la suma de
n fracciones parciales es decir:
q pxx
BxA..
q) px(x
BxA
q) px(x
BxA
q) px(x
BAx2
nn1n2
22n2
11n2
Ejemplo:
92xx
F2)E(2x
9)2x(x
D2)C(2x
9)2x(x
B2)A(2x
9)2x(x
1x2223232
2
PROBLEMAS
1.
dx
)2x(
1xx22
3
2x
DC(2x)
)2x(
BA(2x)
)2x(
1xx22222
3
)2xD()2x(C(2x)BA(2x)1xx223
2DDx4Cx2CxB2Ax1xx233
2D)(B4C)x2A(Dx2Cx1xx233
0D ,
2
1C , 1B ,
2
1A
12DB
1C42A
0D
1C2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 42/360
dx]
2x
(2x)2
1
)2x(
1(2x)2
1
[dx)2x(
1xxI
22222
3
dx2x
2x
2
1
)2x(
dxdx
)2x(
2x
2
1I 22222
22222 )2x(
dxdx
2x
2x
2
1dx
)2x(
2x
2
1I
22
2
2 )2x(
dx)2x(Ln
2
1
2)(x2
1I …(1)
221)2x(
dxI
Hacemos: θtg2x
dθθsec2dx2
dθ
)1θtg(
θsec
4
2dθ
]2θ)tg2([
θsec2I
22
2
22
2
1
dθθcos4
2
θsec
dθ
4
2dθ
θsec
θsec
4
2I
2
24
2
1
dθ2θcos8
2dθ
8
2dθ
2
2θcos1
4
2I1
Cθcosθsen8
2θ
8
2C2θsen
16
2θ
8
2I1
…(*)
Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (*):
2
x2x2
θ 2
xθtg
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 43/360
C)2x
2()
2x
x(
8
2)
2
x(tgarc
8
2I
221
C2)(x4
x)
2
x(tgarc
8
2I
21
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
C2)4(x
x)
2
x(tgarc
8
2)2x(Ln
2
1
2)(x2
1I
2
2
2
C)2
x(tgarc
8
2)2x(Ln
2
1
)2x(4
2xI
2
2
3.7.
INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOMÉTRICAS
En general las funciones que contienen combinaciones de funciones
trigonométricas no son integrables por medio de procedimientos
elementales. Veremos algunos casos en los que la expresión a integrarse
puede ser racionalizada.
INTEGRALES DE LA FORMA
dx)sen x,xcosR(
Un integrando que contiene una función racional de sen x y cos x se puede
reducir a una función racional en la variable z por medio de la sustitución
z = tg (x/2). Obteniéndose de esta una integral que va a quedar de la
siguiente forma:
222
2
z1
dz2 )
z1
2z ,
z1
z1 R(dx)sen x,xcosR(
Luego la integral del segundo miembro es la integral de una función
racional en la variable z.
OBSERVACIÓN:
Para obtener:
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 44/360
2
2
z1
z1 xcos
2z1
z2sen x
2z1
dz2dx
Nos valemos de la sustitución:
)2x( tgz
1
z)
2
x( tg
)z1
1()
z1
z(2)
2
x(cos)
2
x(sen2)
2
x(2sensen x
22
2z1z2sen x
2
2
2
2
22)
z1
z()
z1
1()
2
x(sen)
2
x(cos)
2
x(2cosxcos
2
2
z1
z1 xcos
)2x( tgz =>
2xztgarc => ztgarc2x
2z1
dz2dx
PROBLEMAS
1. xcos3sen x2
dx
Hacemos: )2
x( tgz
2z1
z2sen x
2
2
z1
z1 xcos
2z1
dz2dx
)z1
z13(
z1
2z2
z1
dz2
xcos3sen x2
dx
I
2
2
2
2
1
z2z1
x/2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 45/360
2222 z332zz22
dz 2
)z3(12z)z2(1
dz 2I
6)1z(
dz 2
52zz
dz 2
52zz
dz 2I
222
)61z()61z(
dz 2I
61z
B
61z
A
)61z()61z(
1
)61B(z)61A(z1
)61B(z)61A(z1
])B16()A16([)zBA(1
62
1B ,
62
1A
11)B6(1)A6(
0BA
dz]61z
62
1
61z
62
1
[2I
61z
dz
6
1
61z
dz
6
1I
C61zLn
6
1 61zLn
6
1I
C61z
61z Ln
6
1I
Como: )2
x( tgz
C61)
2
x(tg
61)2
x(tg
Ln6
1
I
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 46/360
OBSERVACIÓN:
1. La sustitución z = tg (x/2) ofrece la posibilidad de integrar cualquier
función racional de sen x y cos x sin embargo en la práctica conduce
a menudo a funciones racionales demasiado complicadas por estarazón en algunos casos es preferible usar la sustitución:
xtgt
1
t xtg
2
t1
tsen x
2t1
1 xcos
ttgarcx =>2
t1
dtdx
Esta sustitución debe ser usada cuando la función racional
trigonométrica tiene la forma:
dx)xsen,xcosR(
k n ; k, n son números enteros pares
dx)xtgR(
PROBLEMAS
1.
dx
xcos3
xcos2xsen
2
22
Hacemos: xtgt
2t1
tsen x
2t1
1 xcos
2t1
dtdx
22
2
2
2
2
2
2
22
t1
dt
.)
t1
1(3
)t1
1(2)
t1
t(
dxxcos3
xcos2xsen
I
1
t2t1
x
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 47/360
22
2
2
2
22
2
t1
dt.
1)t3(1
2t
t1
dt.
t1
13
t1
2
t1
t
I
dt
)t1()3t2(
2t
t1
dt.
1t33
2tI
22
2
22
2
2222
2
t1
DC(2t)
3t2
BA(6t)
)t1()3t2(
2t
)3tD(2)3tC(2t)(2)tB(1)tA(6t)(12t22222
23232 3Dt2D6Ct4CtBtB6At6At2t
2D)(B4C)t(6A3D)t(B6C)t(6A2t232
3D , 0C , 8B , 0A
22DB
0C46A
13DB
06C6A
2222 t1
dt3
3t2
dt8dt]
t1
3
3t2
8 [I
C])
3
2
t(tgarc
3
2
1 [
3
8 ttgarc3
t3
2
dt
3
8
t1
dt3I
22
C)2
t3(tgarc
23
38 ttgarc3I
Como: t = tg x
C)2
xtg3(tgarc
23
38)xtg(tgarc3I
C)2
xtg3
(tgarc3
64
3xI
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 48/360
3.8. INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES
En la sección anterior hemos visto que las funciones racionales poseen
integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de
funciones elementales esto no sucede con las funciones irracionales salvoen casos particulares.
Ahora vamos a estudiar ciertas funciones irracionales cuya integral puede
ser expresada como una suma finita de funciones elementales para esto es
necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de
la nueva integral sea una función racional.
I. INTEGRALES DE LA FORMA
dx])
dxc
bxa(,...,)
dxc
bxa(,xR[ k
n
k m
in
im
Donde:
- R es una función irracional en la variable x
-
k
n
k m
i
n
im
)dxc
bxa(,...,)dxc
bxa(
mi, … , mk ; ni, … , nk ε Z
i
i
n
m ; i = 1, 2, … , k es número racional
Para que:
])dxc
bxa(,...,)
dxc
bxa(,xR[ k
n
k m
in
im
Se transforme en una función racional en la variable t se hace el
cambio de variable:
dxc
bxat
n
Donde:- n es el M.C.M. [ n1, n2, … , nk ]
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 49/360
n
n
td b
atcx
dt
)td b(
n t)dac b(dx
2n
1n
PROBLEMAS
1. 3xx
dx
1/31/23 xx
dx
xx
dxI
n = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6Hacemos: x = t6
dx = 6t5 dt
dt
tt
t6dt
)(t)(t
6t
xx
dxI
23
5
1/361/26
5
1/31/2
dt1t
t
6dt)1t(t
t
6I
3
2
5
1
1t
t
tt
t
1tt tt
1 t t
2
2
223
3
1t
dt6dt)1tt(6dt)
1t
11tt(6I
22
C1tLn6t3t2tI23
Como: t = x1/6
C1)(xLn6x)3(x)2(xI 1/61/621/631/6
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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C1xLn6x3x2xI 1/61/61/31/2
C1xLn6xx 3x2I663
2. 128x32x)52x(
dx
)32x(432x)832x(
dxI
n = M.C.M. [ 1 , 2 ] = 2
Hacemos: 2x – 3 = t²
dx = t dt
4t8t
dt
4tt)8t(
dtt
4tt)8t(
dttI
222222
4)2t(
dt
84tt
dtI
22
Por Fórmula Elemental: ( ó por sustitución t + 2 = 2 tg θ )
C)2
2t(tgarc
2
1I
Como: 32xt
C)2
232x(tgarc
2
1I
II. INTEGRALES DE LA FORMA
r qx px)ax(
dx
2n , n ε N
Para evaluar este tipo de integrales se emplea la sustitución:
t
1ax
2tdtdx
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PROBLEMAS
1. 2x3x)1x(
dx
2
Hacemos:t11x
2t
dtdx
2)t
1t(3)t
1t(t
1
t
dt
2x3x)1x(
dxI
2
2
2
22
2
2
2t1)(t3t1)(tt
1
t
dt
I
22
2t1)(t3t1)(t
dtI
t1
dt
t1
dt
2t3t3t12tt
dtI
222
Ct12I
Como:1x
1t
C1x
2x2C1x
112I
2. 4x2xx
dx
22
Hacemos:t
1x
2t
dtdx
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 52/360
4)t
1(2)
t
1()
t
1(
t
dt
4x2xx
dxI
22
2
22
12t4t
dtt
4t2t1
dtt
4t
2
t
1
t
1
t
dt
I22
22
2
Hacemos:4
1)28t(
8
1t
dt
12t4t
4
1)28t(
8
1
I2
12t4t
dt
4
1dt
12t4t
28t
8
1I
22
12t4t
dt
4
112t4t
4
1I
2
2
4
1t
2
1t
dt
8
112t4t
4
1I
2
2
16
3)
4
1 t(
dt
8
112t4t
4
1I
2
2
Por Fórmula Elemental: ( ó por sustitución θtg4
3
4
1t )
C4
1t
2
1t
4
1 tLn
8
112t4t
4
1I 22
C4
12t4t14t
Ln8
1
12t4t4
1
I
22
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 53/360
C12t4t14tLn8
112t4t
4
1I 22
Como:x
1t
C1x
2
x
41
x
4 Ln
8
11
x
2
x
4
4
1I
22
Cx
42xx1
x
4 Ln
8
1
4x
42xxI
22
Cx
42xxx4 Ln81
4x42xxI
22
III. INTEGRALES DE LA FORMA
dx)c bxax,xR(2
Donde:
-
)c bxax,xR(
2
es una función racional de las
variables x , c bxax2
Esta integral puede ser reducida mediante las sustituciones de Euler,
las que permiten el integrando en una función racional en una sola
variable t se presentan tres casos:
1º CASO: ( c ≥ 0 ) Se hace el cambio de variable:
ctxc bxax2
Donde los signos se eligen de forma tal que los cálculos se
simplifiquen. Sin embargo de cualquiera de las elecciones siempre se
obtiene una función racional en la variable t.
PROBLEMAS
1.
dxxx1xxx112
2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 54/360
dx
1xxx
1xx1dx
xx1x
xx11I
2
2
2
2
Hacemos: 1tx1xx2
222)1tx()1xx(
12t xxt1xx222
2t xxtxx222
)2txt(x)1x(x2
2txt1x2
2t1xxt2
2t1)1t(x2
1t
2t1x
2
dt)1t(
2t)(2t)(11)2(tdx 22
2
dt)1t(
1)t(t2dx
22
2
dt)1t(
)1tt(2.
]1)1t
2t1
(t[)1t
2t1
(
]1)1t
2t1(t[1
I22
2
22
2
dt)1t(
)1tt(.
]1)1t
2t1(t[)
1t
2t1(
)1t
2t1(t
2I22
2
22
2
dt
)1t(
)1tt(.
]1)1t
2t1(t[
t2I
22
2
2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 55/360
dt
)1t(
)1tt(.
]1t
1t)2t1(t[
t2I
22
2
2
2
dt
)1t()1tt(.
)1t
1t2tt (
t2I22
2
2
22
dt
)1t(
)1tt(.
)1t
1tt (
t2I
22
2
2
2
dt1t
2tdt
1t
t2dt
)1t(
)1tt(.
)1t
1tt (
t2I 2222
2
2
2
C1tLnI 2
Como:x
11xxt
2
2
222
x
11xx21xxt
C1x
11xx21xx LnI
2
22
Cx
1xx22x LnI
2
2
2º CASO: ( a ≥ 0 ) Se hace el cambio de variable:
txac bxax2
Donde la selección de los signos es arbitraria y se eligen
fundamentalmente de manera que se simplifique los cálculos.
PROBLEMAS
1. dx2x2xx2
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http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 56/360
Hacemos: tx12x2x2
222)xt()22xx(
222
x2t xt22xx 2t xt22x
2
2t2x2t x2
2t)22t(x2
)1t(2
2tx
2
dt)1t(2
22ttdx
2
2
dt
)1t(2
22tt .]t
)1t(2
2t []
)1t(2
2t [I
2
222
dt
)1t(
22tt .])1t(2t)2t([]
)1t(
2t [
8
1I
2
22
2
2
dt
)1t(
22tt .)2t2t2t(]
)1t(
2t [
8
1I
2
222
2
2
dt
)1t(
22tt .)22tt(]
)1t(
2t [
8
1I
2
22
2
2
dt
)1t(
)22tt()2t(
8
1I 4
222
dt
14t6t4tt
816t12t6t4tt
8
1I
234
2456
816t13t4t
t tt46t4tt
14t6t4t t 816t12t6t4t t
23
223456
2342456
________ __________
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 57/360
dt)
14t6t4tt
816t13t4t t(
8
1I
234
232
dt
14t6t4tt
44tt)412t12t4t(
8
1dtt
8
1I
234
2232
dt
)1t(
44tt
8
1dt
14t6t4tt
412t12t4t
8
1t
24
1I
4
2
234
233
dt
)1t(
44tt
8
1 14t6t4ttLn
8
1t
24
1I
4
22343
dt)1t(
44tt
8
1
)1t(Ln8
1
t24
1
I 4
243
dt
)1t(
44tt
8
1 1tLn
2
1t
24
1I
4
23 …(1)
dt
)1t(
44ttI
4
2
1
1tD
)1t(C
)1t(B
)1t(A
)1t(44tt
2344
2
3221)D(t1)C(t1)B(tA44tt
1)3t3tD(t1)2tC(t1)B(tA44tt2322
D3Dt3DtDtC2CtCtBBtA44tt2322
D)CB(At3D)2CB(t3D)C(Dt44tt232
0D , 1C , 2B , 1A
4DCBA
43DC2B
13DC
0D
dt]
)1t(1
)1t(2
)1t(1 [dt
)1t(44ttI 2344
2
1
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 58/360
2341)1t(
dt
)1t(
dt2
)1t(
dtI
1231 C
1t
1
)1t(
1
)1t3(
1I
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
C)1t(8
1
)1t(8
1
)1t(24
1 1tLn
2
1t
24
1I
23
3
C)1t(24
)1t(3)1t(31 1tLn
2
1t
24
1I
3
23
C)1t(24
36t3t33t1 1tLn
2
1t
24
1I
3
23
C)1t(24
79t3t 1tLn
2
1t
24
1I
3
23
Como: 22xxxt2
C)22xx1x(24
22xx)96x()1315x6x(
22xx1xLn2
1
24
)22xxx(I
32
22
232
3º CASO: Cuando las raices del trinomio ax² + bx + c son reales es
decir: )xx()xx(ac bxax 21
2 ; se hace el cambio de
variable:
)xx(t)xx()xx(ac bxax 121
2 , x1 < x2
PROBLEMAS
1.
dx
6x5xx
6x5xx
2
2
Hacemos: )2x(t)3x()2x(6x5x2
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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222)2x(t])3x()2x([
22)2x(t)3x()2x(
)2x(t3x2
22t2x t3x
22t23x tx
22t23)t1(x
2
2
t1
t23x
dt)t1(
2tdx
22
dt)t1(
2t.
t)2t1
2t3 (
t1
2t3
t)2t1
2t3 (
t1
2t3
I22
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
)t1(
2t.
)t1(2t)2t3(t2t3
)t1(2t)2t3(t2t3I
22222
222
dt
)t1(
2t.
t22t2t3t2t3
t22t2t3t2t3I
22332
332
dt
)t1(
t.
3t2t
3t2t2dt
)t1(
2t.
3t2t
3t2tI
222
2
222
2
dt
)1t(
t.
)1t()32t(
)1t()32t(2dt
)1t(
t.
3t2t
3t2t2I
22222
2
dt
)1t()1t(
t.
)1t()32t(
)1t()32t(2I
22
dt)1t()1t()32t(
6t4t
I 3
2
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1t
E
)1t(
D
)1t(
C
1t
B
32t
A
)1t()1t()32t(
6t4t233
2
1)(t1)3)(tE(2t1)1)(t3)(tD(2t
1)3)(tC(2t1)3)(tB(2t1)(t1)A(t6t4t
2
332
3E)3D3C3BA(
tE)2D5C7B2A(t5E)3D2C3B(
tE)2D3B(2At2E)2B(A6t4t
2
342
500
49E ,
50
19D
5
1C , 4
5B , 125
288A
0E3D3C3B3A
6ED2C5B7A2
45E3D2CB3
0E2D3B2A
02E2BA
1t
dt
500
49
)1(t
dt
50
19
)1(t
dt
5
1
1t
dt
4
5
32t
dt
125
288I
23
C1tLn500
49
1)(t50
19
1)(t10
1 1tLn
4
5 32tLn
125
144I
2
Como:2x
65xxt
2
C12x
65xx Ln500
49
1)2x
65xx(50
19
1)2x
65xx(10
1
12x
65xx Ln
4
5 3
2x
65xx2 Ln
125
144I
2
22
2
22
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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3.9. INTEGRALES DE LA FORMA
dx) bxa(x pnm
Donde: m, n y p son números racionales (se entiende que a y b son
constantes reales no nulos). A una expresión de la forma
dx) bxa(x pnm
se le llama Binomio Diferencial . El destacado
matemático ruso más eminente del siglo XIX: Pafnuty Lvovich
Chevyshev, demostró que la integral de los binomios diferenciales, con
exponentes racionales puede expresarse mediante funciones elementales
solamente en los casos siguientes, (siempre que a ≠ 0 y b ≠ 0):
CASO I: p es un número entero
CASO II:n
1m es un número entero
CASO III: pn
1m
es un número entero
Si ninguno de los números p, n
1m , pn
1m
es entero, la integral no
puede ser expresada por funciones elementales.
En los 3 casos, mediante sustituciones adecuadas, la integral del binomio
diferencial puede reducirse a la integral de una función racional.
CASO III: Si p es un número entero, la sustitución será:
r zx
Donde:
- r es el M.C.M. de los denominadores de las
fracciones m y n.
CASO III: Sin
1m es un número entero, la sustitución será:
snz bxa
Donde:
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- s es el denominador de la fracción p (por ser p un
número racionals
r p , r y s son números enteros
coprimos).
CASO III: Si pn
1m
es un número entero, la sustitución será:
nsnxz bxa ó sn
z bax
Donde:
- s es el denominador de la fracción p.
PROBLEMAS1.
dx)x1(x
21/31/2
En la integral2
1m ,
3
1n y 2 p (p es un número entero)
r = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6
Hacemos: 6zx
dzz6dx5
)dz6z(])(z1[)(zdx)x1(xI521/361/2621/31/2
dz
)z1(
z6)dz6z()z1(zI
22
85223
dz]
)z1(
34z32zz[6dz
1z2z
z6I 22
2
2424
8
dz
)z1(
34z6dz)32zz(6I
22
224
dz
)z1(
34z618z4zz
5
6I
22
235 …(1)
dz
)z1(
34zI
22
2
1
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Hacemos: z = tg θ
dz = sec2θ dθ
)dθθsec(
θsec
3θtg4)dθθsec(
])θtg(1[
3)θtg(4I
2
4
22
22
2
1
dθ)θcos3θsen4(dθθsec
3θtg4I
22
2
2
1
dθ]2
2θcos33)2θcos1(2[I1
dθ)2θcos
2
1
2
7 (dθ)2θcos
2
3
2
32θcos22(I1
111 Cθcosθsen2
1θ
2
7C2θsen
4
1θ
2
7I …(*)
Volviendo a la variable z
Sustituyendo en (*):
1221 C)1z
1 ()
1z
z (
2
1ztgarc
2
7I
121 C)1z(2
zztgarc
2
7I
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
]C)1z(2
zztgarc
2
7 [618z4zz
5
6I 12
35
C1z
3zztgarc2118z4zz
5
6I
2
35
Como:1/6
xz
1
z1z2
θ
zθtg
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C1x
x 3xtgarc21x 18x4x
5
6I
3
6665/6
2. dx)x2(x1/42/31/3
En la integral3
1m ,
3
2n y
4
1 p => 2
n
1m
Hacemos: 42/3zx2 => 2zx
42/3
dzz4dxx3
2 31/3
=> dzzx6dx31/3
)dzz6x()z(xdx)x2(xI
31/31/441/31/42/31/3
dz)2zz(6dzz)2z(6dzzx6I484442/3
Cz5
12z
3
2I
59
Como: 1/42/3)x2(z
C)x2(5
12)x2(
3
2I
5/42/39/42/3
3. 1/666)x65(x
dx
dx)x65(xI1/666
En la integral 6m , 6n y 61 p => 1 p
n1m
Hacemos: 666 xzx65 => 66
z165x
dzz6dx)6x(6557
=> dzzx65
1dx
57
dzzxzx
65
1)dzzx
65
1 ()xz(xI
5717571/6666
Cz325
1dzz
65
1I
54
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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Como:x
)x65(z
1/66
C
x325
)x65(I
5
5/66
4.
INTEGRALES DE LAS FORMAS
1. C(x)Qdxe(x)Pax
n
ax
n e
01
2n
2n
1n
1n
n
nn bx b...x bx bx b(x)Q
2. C]...
a
(x)'''P
a
(x)''P
a
(x)'PP(x)[
a
edxeP(x)
32
axax
3. ].. .a
(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axcosdxaxsenP(x)
4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P [
a
axsen5
(5)
3
4.
].. .
a
(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axsendxaxcosP(x)
4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P [
a
axcos
5
(5)
3
5.
c bxax
dx λ c bxax.(x)Qdx
c bxax
(x)P
2
2
1n2
n
Qn – 1(x) se escribe con coeficientes indeterminados. Se deriva ambos miembros
y encontramos los valores de estos coeficientes indeterminados de Qn – 1(x) y elvalor de λ
6. Ccosh x bsenh xaLnBAxdxcosh x bsenh xa
cosh xdsenh xc
Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B
7. Cxcos bsen xaLnBAxdx
xcos bsen xa
xcosdsen xc
Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B
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PROBLEMAS
1. dxe)52x6x8x(4x23
Ce) bx bx bx b(dxe)52x6x8x(4x
01
2
2
3
3
4x23
Derivando ambos miembros
]e) bx bx bx b([dx
de)52x6x8x(
4x
01
2
2
3
3
4x23
4x
10
21
2
32
3
3
4x23
e]) b b4(
x) b2 b4(x)3b b4(x4b[e)52x6x8x(
8
9 b ,
2
1 b , 0 b , 2 b
5 b4b
22b4b
63b4b
84b
0123
10
21
32
3
Ce)
8
9x
2
12x(dxe)52x6x8x(I
4x34x23
2. dxe)3xx(6x3
C]...a
(x)'''P
a
(x)''P
a
(x)'PP(x)[
a
edxeP(x)
32
axax
x3xP(x)3
3x3(x)'P2
x6(x)''P
6(x)'''P
C])6(
6
)6(
6x
6
33x3xx[
6
eI
32
23
6x
C]361
6x
21x3xx[
6eI
23
6x
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C]16x1818x108x36x[216
eI
236x
C]17102x18x36x[216eI 23
6x
C)17102x18x36x(216
1I
6x23 e
3. dx2xsen)12x2x(4
].. .a
(x)P
a
(x)''P
P(x)[a
axcos
dxaxsenP(x) 4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P [
a
axsen5
(5)
3
1x2x2P(x)4
2x8(x)'P3
2x24(x)''P
x48(x)'''P
48(x)P(4)
])2(
48
)2(
24x12x2x[
2
2xcosdx2xsen)12x2x(I
42
244
C])2(
48x
2
28x [
2
2xsen3
3
C]6x14x[2
2xsen]36x12x2x[
2
2xcosI
324
C2xcos)1x3xx(2xsen)2
13x2x(I
243
4. dxxcosx4
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].. .a
(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axsendxaxcosP(x)
4
(4)
2
C]...
a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P [
a
axcos
5
(5)
3
4
xP(x)
3x4(x)'P
2x12(x)''P
x24(x)'''P
24(x)P (4)
C])1(
24x
1
4x [
1
xcos]
)1(
24
)1(
12x x[
1
sen xdxxcosxI
3
3
42
244
Csen x)2412xx(xcos)24x4x(I243
5.
dx
54xx
3x
2
3
c bxax
dx λ c bxax.(x)Qdx
c bxax
(x)P
2
2
1n2
n
54xx
dx λ 54xx.)CBxAx(dx
54xx
3x
2
22
2
3
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
λ )2x()CBxAx()54xx()B2Ax(3x223
)λ 2C5B(x)C6B10A(x)2B10A(3A x3x233
15λ , 20C , 5B , 1A
0λ 2C5B
0C6B10A
02B10A
33A
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54xx
dx 1554xx.)20x5x(dx
54xx
3xI
2
22
2
3
1)2x(
dx 1554xx)20x5x(I
2
22 …(1)
1)2x(
dxI
21
Hacemos: x + 2 = tg θ
dx = sec2θ dθ
dθθsecdθθsec
θsec
dθ1θtg
θsec
1)2x(
dx
I
2
2
2
21
11 CθtgθsecLnI …(*)
Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (*):
12
12
1 C54xx2xLnC2x54xxLnI …(2)
Reemplazando (2) en (1):
]C54xx2xLn[1554xx)20x5x(I1
222
C54xx2xLn1554xx)20x5x(I 222
6. dx
cosh x2senh x
cosh x
Ccosh x2senh xLnBAxdxcosh x2senh x
cosh x
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
1
2x 54xx2
θ
2xθtg
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)senh x2cosh x(B)cosh x2senh x(Acosh x
cosh x)B2A(senh x)2BA(cosh x
3
1
B , 3
2
A 1B2A
02BA
Ccosh x2senh xLn3
1x
3
2dx
cosh x2senh x
cosh x
7.
dx
xcos3sen x2
xcossen x5
Cxcos3sen x2LnBAxdx xcos3sen x2
xcossen x5
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
)sen x3xcos2(B)xcos3sen x2(Axcossen x5
xcos)2B3A(sen x)3B2A(xcossen x5
1B , 1A
1B23A
53B2A
Cxcos3sen x2Lnxdx xcos3sen x2
xcossen x5
5. FÓRMULAS RECURSIVAS
Cuando una integral In depende de un parámetro real n, generalmente un valor
entero, se trata de hallar una fórmula que relacione In con In – 1 y ciertas
funciones conocidas, o sino una fórmula que relacione In con In – 1 , In – 2 yciertas funciones conocidas.
PROBLEMAS
1. Probar que dxexI xβn
n satisface la fórmula de recurrencia
(reducción): 1n
xβn
n Iβ
nex
β
1I
Hacemos: nxu dxedv
xβ
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dxnxdu1n
xβe
β
1v
dxex
β
nex
β
1I
xβ1nxβn
n
1n
xβn
n Iβ
nex
β
1I
2. Evaluar dxexI5x2
2
Esta integral corresponde a nI para n = 2 y β = 5; entonces
1n xβn
n Iβnex
β1I
) Iβ
1nex
β
1 (
β
nex
β
1I 2n
xβ1nxβn
n
2n2
xβ1n
2
xβn
n Iβ
)1n(nex
β
nex
β
1I
Donde:
Ceβ
1dxedxexII
xβxβxβ0
02n ( n = 2 )
Ceβ
1.
β
)1n(nex
β
nex
β
1I
xβ
2
xβ1n
2
xβn
n
Ceβ
)1n(nex
β
nex
β
1I
xβ
3
xβ1n
2
xβn
n
Ce]β
)1n(nx
β
nx
β
1 [I
xβ
3
1n
2
n
n
Para n = 2 y β = 5
Ce])5(
)12(2x
)5(
2x
5
1 [I
5x
3
12
2
2
2
Ce)125
2x
25
2x
5
1 (I
5x2
2
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CAPITULO II
LA INTEGRAL DEFINIDA
1.
SUMATORIASDados m y n ε Z tales que m ≤ n y f una función definida para cada i ε Z con i
variando entre m y n; m ≤ i ≤ n el símbolo
n
mi
)i(f => Representa la suma de los términos f (m), f (m+1), … , f (n)
Es decir:
(n)f .. .2)(mf 1)(mf (m)f )i(f
n
mi
Donde:
(sigma) = Símbolo de la sumatoria
i = Índice o variable ya que se puede usar otra letra
m = Limite inferior
n = Limite superior
Ejemplos:
1. 54325
2i
i5
2i
eeeee)i(f
2. xtg.. .xtgxtgxtgxtgxtg(k)f 3n12963
n
1k
3k n
1k
OBSERVACIÓN:
1.
En la sumatoria
n
mi
)i(f existen ( n – m + 1 ) sumandos y son f (m),
f (m+1), … , f (n)
Particularmente si m = 1 , n ≥ 1
n
1i
)i(f existen n sumandos
1.1. PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
1. C)1mn(Cn
mi
, C es constante
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2.
n
mi
n
mi
n
mi
)i(g)i(f ])i(g)i(f [
Propiedades Telescópicas
3.
1)(mf (n)f ])1i(f )i(f [
n
mi
4. 1)(mf (m)f (n)f 1)(nf ])1i(f )1i(f [n
mi
Si m = 1 y n ≥ 1 => Las propiedades anteriores tienen la forma
1’. CnCn
1i
, C es constante
2’.
n
1i
n
1i
n
1i
)i(g)i(f ])i(g)i(f [
3’. (0)f (n)f ])1i(f )i(f [n
1i
4’. (0)f (1)f (n)f 1)(nf ])1i(f )1i(f [n
1i
1.2. FÓRMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA
1. 2
)1n(ni
n
1i
2. 6
)12n()1n(ni
n
1i
2
3. 4
)1n(ni
22n
1i
3
4. 30
)1n9n6n()1n(ni
23n
1i
4
PROBLEMAS
1. Determinar una fórmula para
n
2k 2 1k
1
n
2k
n
2k
n
2k 2 ]1k
B
1k
A
[ )1k ()1k (
1
1k
1
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1k
B
1k
A
)1k ()1k (
1
)1k (B)1k (A1
)BA(k )BA(1
2
1B ,
2
1A
1BA
0BA
n
2k
n
2k
n
2k 2
]1k
1
1k
1 [
2
1]
1k
1/2
1k
1/2 [
1k
1
Sabemos:
1)(mf (m)f (n)f 1)(nf ])1k (f )1k (f [n
mk
Además:
1k
11)(k f
;
k
1(k)f ;
1k
11)(k f
](1)f (2)f (n)f 1)(nf [2
1
1k
1
n
2k 2
] 2
3
n
1
1n
1 [
2
1] 1
2
1
n
1
1n
1 [
2
1
1k
1
n
2k 2
] )1n(2n
)1n(3n)1n(22n [
2
1
1k
1
n
2k 2
])1n(2n
2n3n [
2
1]
)1n(2n
3n3n22n2n [
2
1
1k
1
22n
2k 2
)1n(4n
2n3n
1k
1
2n
2k 2
)1n(4n
)23n()1n(
1k
1
n
2k 2
2.
100
1k
2k
2xsen
Sabemos:
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(0)f (n)f ])1k (f )k(f [n
1k
Además:
2xsen(k)f
2k
; 2xsen1)(k f
)1k (2
2xsen2xsen]2xsen2xsen[02n
n
1k
22k 2k
12xsen]2xsen
2xsen2xsen[
2nn
1k 2
2k 2k
12xsen]
2xsen
11[2xsen
2nn
1k
2
2k
12xsen2xsen )2xsen
12xsen (
2nn
1k
2k
2
2
)12xsen
2xsen ()12xsen(2xsen
2
22n
n
1k
2k
Si n = 100
)12xsen
2xsen ()12xsen(2xsen2
2200100
1k
2k
)2xsen1
2xsen ()12xsen(2xsen
2
2200
100
1k
2k
)2xcos
2xsen ()2xsen1(2xsen
2
2200
100
1k
2k
)2xsen1(2xtg2xsen 2002100
1k
2k
3. Determinar la fórmula de
n
1k k
k k
6
32
n
1k k k
n
1k k k
k
k k
k n
1k k k
k k n
1k k
k k
]2
1
3
1 [ ]
32
3
32
2 [
32
32
6
32
n
1k k
n
1k k
n
1k k
k k
21
31
632 …(1)
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Sabemos:
(0)f (n)f ])1k (f )k(f [n
1k
Además:
k 3
1(k)f ;
1k 3
11)(k f
0n
n
1k 1k k
3
1
3
1]
3
1
3
1 [
13
1]
3
3
3
1 [
n
n
1k k k
13
1]31[
3
1
n
n
1k k
13
1
3
1 )2(
n
n
1k k
)3(2
1
2
1
3
1
n
n
1k
k
…(2)
Además:
k 2
1(k)f ;
1k 2
11)(k f
0n
n
1k 1k k
2
1
2
1]
2
1
2
1 [
12
1]
2
2
2
1 [
n
n
1k k k
12
1]21[
2
1
n
n
1k k
12
1
2
1 )1(
n
n
1k k
n
n
1k k
2
11
2
1
…(3)
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Reemplazando (2) y (3) en (1):
nn
n
1k k
k k
2
11
)3(2
1
2
1
6
32
nn
n
1k k
k k
2
1
)3(2
1
2
3
6
32
nn
n1n1n1nn
1k k
k k
32
3232
6
32
n
n1n1n1nn
1k k
k k
6
3232
6
32
2. CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR
SUMATORIAS
2.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO
DEFINICIÓN: Sea [ a , b ] un intervalo cerrado una partición de [ a , b ]
es toda colección P de puntos x0, x1, … , xn tales que:
a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b
NOTACIÓN
P = { x0, x1, … , xn }
OBSERVACIONES:
1.
Toda partición P del intervalo [ a , b ] divide en n subintervalos alintervalo cerrado [ a , b ].
2. La longitud de cada subintervalo [ xi – 1 , xi ] para i = { 1, 2 , … , n } se
denota con ix = xi – xi – 1 se verifica que:
a bxΔ n
1k i
3.
Se llama norma de la partición P al número:}n,...2,1,i;xΔ{MaxP i
0x1x 2x nx
1ix ixa b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dado por el máximo del incremento de todos los subintervalos.
4. Cuando el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos que tiene la
misma longitud. La longitud de cada subintervalo es:
na bΔx
En este caso los extremos de cada subintervalo son:
x0 = a , x1 = a + x , x2 = a + 2 x , … , xi = a + i x , … , xn = b
2.2. APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN POR ÁREAS DE
RECTÁNGULOS INSCRITOS
Sea f: [ a , b ] → R una función continua y no negativa ( f (x) ≥ 0 ) en el
intervalo cerrado [ a , b ]. Sea la región plana Ω limitada por las graficas
y = f (x), x = a , x = b; dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos
de igual longitud.
Como f es continua en el intervalo [ a , b ] => es continua en cada
subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo existe un número
en cada subintervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea ci
este número en el i-esimo intervalo [ xi – 1 , xi ]
ax0 bxn
1x2x
x x
Ω
x
y
(x)f y
. . . . .
Δx Δx Δx Δxa b
0x 1x 2x nx
Δx2
Δx
. . . . . . . . . .
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Entonces f (ci ) es el valor mínimo absoluto de f en el i-esimo intervalo.
Construimos n rectángulos cada uno con base x y altura f (ci )
Las sumas de las áreas de estos n rectángulos es:
Δx)(cf .. .Δx)(cf Δx)(cf Δx)(cf Sn n321
n
1ii Δx)(cf Sn
Sn es una aproximación al área de la región Ω. Si el área de la región Ω es
A ≥ Sn.
Si n crece el número de rectángulos crece y la región sombreada tiende a
aproximarse a la región Ω. Por lo tanto si n crece sin límite entonces Sn
se aproxima a un límite el cual es “A” (medida del área de la región Ω).
1ix ixic
)(cf i
a b
(x)f y
y
x
x
ic
)(cf i
a b
(x)f y
y
x
x1c ..
)(cf 1
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DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] con f (x) ≥ 0 ,
x ε [ a , b ] y Ω es la región acotada por la curva y = f (x) , Eje x ,
x = a , x = b. Dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos cada uno
de longitud: na bΔx
y denotamos el i-esimo subintervalo por
[ xi – 1 , xi ] entonces si f (ci ) es valor mínimo absoluto de f en este
intervalo. La medida del Á rea de la región Ω esta dada por:
b
a
n
1i
i n
dx(x)f Δx)(cf LimA
2.3. APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN POR ÁREAS DE
RECTÁNGULOS CIRCUNSCRITOS
El procedimiento es similar al anterior solo que en este caso tomamos
como altura de los rectángulos el valor máximo de f en cada subintervalo
por lo tanto:
_ b
a
n
1i
i n
dx(x)f Δx)(df LimA
A = Área de la región Ω
f (di ) = valor máximo absoluto de f
NOTA: En conclusión la medida del área de la región Ω es la misma si se
calcula tomando los rectángulos inscritos o circunscritos es decir:
_
b
a
b
a dx(x)f dx(x)f A
y
x
)(df i
)(df 1
a b1d idx
....
(x)f y ASn:Donde
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PROBLEMAS
1. Encontrar el área de la región acotada por la curva y = x² , el eje x
y la recta x = 2, tomando rectángulos inscritos y circunscritos.
Por rectángulos inscritos
Partición de [ 0 , 2 ]
x0 = 0 , x1 = 0 + x , x2 = 0 + 2x , … , xi – 1 = 0 + (i – 1)x ,
xi = 0 + i x , … , xn = 2
n
1i
1i n
Δx)(xf LimA …(1)
f representa el mínimo absoluto en xi – 1 y seria f (xi – 1 )
xi – 1 = (i – 1)x
f (x) = x²
f (xi – 1 ) = [ (i – 1)x ] ²
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i Δx)1i(Δx]Δx)1i([Δx)(xf
n
1i
2
3
n
1i
32n
1i
1i )1i(n
8)
n
2()1i(Δx)(xf
n
1i3
n
1i3
n
1i
2
3
n
1i
2
3
n
1i
1i 1n
8i
n
16i
n
8)1i2i(
n
8Δx)(xf
(n)n
8]
2
1)(nn[
n
16]
6
1)(2n1)(nn[
n
8Δx)(xf
333
n
1i
1i
1ix ix 20x
y
2xy
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222
n
1i
1in
8]
n
1)(n [8]
n
1)(2n1)(n [
3
4Δx)(xf
22
n
1i
1in
8)
n
1
n
1 (8)
n
12()
n
11(
3
4Δx)(xf
)n
1 (8)
n
12()
n
11(
3
4Δx)(xf
n
1i
1i
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
])0(8)2()1(3
4 [])
n
1 (8)
n
12()
n
11(
3
4 [ LimA
n
3
8
A u²
Por rectángulos circunscr itos
n
1i
i n
Δx)(xf LimA …(1*)
f representa un valor máximo absoluto en xi y es f (xi )
xi = i x
f (x) = x²
f (xi ) = [ i x ] ²
n
1i
2
3
n
1i
32n
1i
32n
1i
2n
1i
i in
8)
n
2(iΔxiΔx]Δxi[Δx)(xf
)n
12()
n
11(
3
4]
6
1)(2n1)(nn[
n
8Δx)(xf
3
n
1i
i
…(2*)
Reemplazando (2*) en (1*):
1ix ix 20x
y
2xy
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)2()1(3
4])
n
12()
n
11(
3
4 [ LimA
n
3
8A u²
2. Encontrar el área de la región sobre el eje x y a la izquierda de x = 1,
acotada por la curva y = 4 – x² , el eje x y x = 1
Partición de [ – 2 , 1 ] => [ – 2 , 0 ] , [ 0 , 1 ]
Por rectángulos inscritos
En [ – 2 , 0 ] la partición es: x0 = – 2 , x1 = – 2 + x , x2 = – 2 + 2x ,… , xi – 1 = – 2 + (i – 1) x , xi = – 2 + i x , … , xn = 0
n
1i
1i n
1 Δx)(xf LimA …(1)
En [ 0 , 1 ] la partición es: x0 = 0 , x1 = 0 + x , x2 = 0 + 2x ,
… , xi – 1 = 0 + (i – 1) x , xi = 0 + i x , … , xn = 1
n
1i
i n
2 Δx)(xf LimA …(2)
A = A1 + A2 …(3)
En [ – 2 , 0 ] :
xi – 1 = – 2 + (i – 1)x
f (x) = 4 – x²
f (xi – 1 ) = 4 – [ – 2 + (i – 1)x ] ²f (xi – 1 ) = 4 – [ 4 – 4 (i – 1)x + (i – 1)² x² ]
y
x22 10
2x4y
4
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f (xi – 1 ) = [ 4 (i – 1)x – (i – 1)² x² ]
n
1i
22n
1i
1i Δx]x)1i(x)1i(4[Δx)(xf
n
1i
322n
1i
1i ]x)1i(x)1i(4[Δx)(xf
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i x)1i(x)1i(4Δx)(xf
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i )n
2()1i()
n
2()1i(4Δx)(xf
n
1i
23
n
1i2
n
1i
1i )1i( n
8)1i(
n
16Δx)(xf
n
1i
2
3
n
1i2
n
1i
1i )1i2i( n
8)1i(
n
16Δx)(xf
n
1i3
n
1i3
n
1i
2
3
n
1i2
n
1i2
n
1i
1i 1 n
8i
n
16i
n
81
n
16i
n
16Δx)(xf
(n)n
8]
2
1)(nn[
n
16
]6
1)(2n1)(nn
[n
8
(n)n
16
]2
1)(nn
[n
16
Δx)(xf
33
322
n
1i 1i
)
n
1(8
)n
1
n
1(8)
n
1(2)
n
1(1
3
4)
n
1(16)
n
1(18Δx)(xf
2
2
n
1i
1i
)n
1 (8)
n
12()
n
11(
3
4)
n
1(18Δx)(xf
n
1i
1i
…(4)
Reemplazando (4) en (1):
])n
1 (8)
n
12()
n
11(
3
4)
n
1(18[ LimA
n1
388)0(8)2()1(
34)1(8A1
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3
16A1 u² …(1*)
En [ 0 , 1 ] :
xi = i x
f (x) = 4 – x²
f (xi ) = 4 – [ i x ] ²
f (xi ) = [ 4 – i² x² ]
n
1i
32n
1i
22n
1i
i ]xiΔx4[Δx]xi4[Δx)(xf
n
1i
32n
1i
n
1i
32n
1i
n
1i
i )n1(i)
n1(4xiΔx4Δx)(xf
]6
1)(2n1)(nn[
n
1)n(
n
4i
n
11
n
4Δx)(xf
3
n
1i
2
3
n
1i
n
1i
i
)n
12()
n
11(
6
14Δx)(xf
n
1i
i
…(5)
Reemplazando (5) en (2):
3
14)2()1(
6
14])
n
12()
n
11(
6
14[ LimA
n2
3
11A2 u² …(2*)
Reemplazando (1*) y (2*) en (3):
3
27
3
11
3
16
A
9A u²
3. LA INTEGRAL DEFINIDA (INTEGRAL DE RIEMANN)
DEFINICIÓN: Si f es continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ] y si P dada
por P = { x0, x1, x2, … , xn } es una partición del intervalo [ a , b ] entonces:
n
1iii
0 p
xΔ) _ x(f Limdx(x)f
b
a
Si el límite existe y es finito donde:
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n
1iii xΔ)
_ x(f es llamada Suma de Riemann
}n,.. .2,1,i /xxxΔ{MaxP 1iii
i
_
x = Es un número arbitrario en el i-esimo intervalo [ xi – 1 , xi ]
NOTA:
La ventaja de la aproximación dad por la Suma de Riemann cuando f es
continua, esta en la libertad de elegir los i
_ x que pertenecen al i-esimo
intervalo [ xi – 1 , xi ] tal es así que puede elegirse a i
_ x como el promedio del
subintervalo [ xi – 1 , xi ] es decir:
2
xxx 1ii
i
_
OBSERVACIONES:
1. Si la P → 0 entonces el número de rectángulos tiende al infinito
n → + ∞, de esto se deduce:
n
1iii
nxΔ)
_ x(f Limdx(x)f
b
a
Donde:
a = Límite inferior
b = Límite superior
2.
Al valor común de las integrales superior e inferior se da el nombre de
Integral Definida (Riemann) y se denota por:
_ b
a
b
a
b
a dx(x)f dx(x)f dx(x)f
3. . . . du(u)f dt(t)f dx(x)f b
a
b
a
b
a
4.
Sea f (x) continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ]
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Si f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] => b
a dx(x)f )ΩA(
Si f (x) ≤ 0 , x ε [ a , b ] =>
b
a dx(x)f )ΩA(
DEFINICIÓN: Si f es una función definida en el punto a se define la
integral: 0dx(x)f a
a
PROPOSICIÓN: Si f es una función continua en el intervalo I = [ a , b ]
entonces f es integrable en I.
3.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f es integrable en [ a , b ] y k es constante entonces
b
a
b
a dx(x)f kdx(x)f k
b
a dx(x)f )ΩA(
x
y
(x)f y
a b
Ω
b
a dx(x)f )ΩA(
x
y
(x)f y
a b
Ω
(x)f y
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2. Si k es constante; f (x) = k , x ε [ a , b ]
)a b(kdxkdx(x)f b
a
b
a
3. Si c ε [ a , b ] , f es integrable sobre [ a , c ] y [ c , b ] <=> f es
integrable sobre [ a , b ] y se tiene
b
c
c
a
b
a dx(x)f dx(x)f dx(x)f
4. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] entonces
b
a
b
a
b
a dx(x)gdx(x)f dx](x)g(x)f [
5.
Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ]
entonces:
0dx(x)f b
a
6. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≤ g (x) ó
g (x) ≤ f (x) , x ε [ a , b ] entonces:
b
a
b
a dx(x)gdx(x)f ó b
a
b
a dx(x)f dx(x)g
respectivamente
7. Si f es integrable sobre el intervalo [ A , B ] y si a, b ε [ A , B ] tal que
b < a
a
b
b
a dx(x)f dx(x)f
8. Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] => f es integrable sobre
[ a , b ] y se tiene:
b
a
b
a dx(x)f dx(x)f
9. Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , m y M son respectivamente
los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de f en el
intervalo [ a , b ] tal que m ≤ f (x) ≤ M , x ε [ a , b ]
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)a b(Mdx(x)f )a b(m b
a
10.
TEOREMA: Si f esta definida sobre [ a , b ] , si g es integrable sobre[ a , b ] y f (x) = g (x) para todo excepto un número finito de puntos
en x ε [ a , b ] => f (x) es integrable sobre el intervalo [ a , b ]
b
a
b
a dx(x)gdx(x)f
11. INVARIANCIA FRENTE A UNA TRASLACIÓN: Si f es
integrable sobre [ a , b ] => cualquier c ε R, se tiene:
c b
ca
b
a dxc)(xf dx(x)f
c b
ca
b
a dxc)(xf dx(x)f
12. DILATACIÓN O CONTRACCIÓN DEL INTERVALO DE
INTEGRACIÓN: Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces para
cualquier número real c ≠ 0, se tiene que:
cb
ca
b
a dx)
c
x(f
c
1dx(x)f
b/c
a/c
b
a dx(cx)f cdx(x)f
13. Si f es seccionalmente continua sobre [ a , b ] entonces f es integrable
sobre [ a , b ]
m
M
(x)f y
y
xa b
)a b(m )a b(M
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b
x
x
x
x
a
b
a 2 3
2
1 2
1
1
dx(x)f dx(x)f dx(x)f dx(x)f
4. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
Los teoremas fundamentales del cálculo relacionan los conceptos de derivada
e integral y prueban hasta cierto punto que la integración es la inversa de la
diferenciación.
4.1. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
(TEOREMA DE BARROW)Si f es una función continúa en el intervalo I y F es la función definida
por:
x
a dt(t)f F(x) , x ε I
Entonces se tiene que la derivada de esta función
(x)f ]dt(t)f [dxd(x)'F x
a , x ε I
OBSERVACIÓN:
1. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral
definida e indefinida. Ello prueba que una función continua en el
intervalo I admite una antiderivada dada por:
x
a dt(t)f F(x) pues se verifica F’(x) = f (x) , x ε I
y
xa b1x 2x
(x)f y
1f
2f 3
f
3
2
1
f
f
f
(x)f y
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Por tal razón se considera a la integración como la inversa de la
diferenciación.
4.2. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f es una función continua en el intervalo I y F es una antiderivada de fen I. F’(x) = f (x) , x ε I entonces se tiene:
F(a)F(b)F(x)dx(x)f b
a
b
a
NOTA:
1. En la evaluación de integrales definidas se utiliza la notación
F(a)F(b)F(x)dx(x)'Fdx(x)f ba
b
a
b
a
2. En el segundo teorema fundamental del cálculo no interesa si a < b ó
a > b siempre se cumple que:
F(a)F(b)dx(x)'Fdx(x)f b
a
b
a
PROBLEMAS
1. Hallar la derivada de
x
a dt
1t
t F(x)
1x
x)dt
1t
t (
dx
d(x)'F
x
a
2. Hallar la derivada de x
a sen tarc
dt F(x)
sen xarc
1)
sen tarc
dt (
dx
d(x)'F
x
a
3. Hallar la derivada de z
0
0
z dtsen tdtsen tF(z)
zsen)dtsen t(dz
d(z)'F
z
0
4.
Hallar la integral π
0 dxsen x
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)1()1()0cos(πcosxcosdxsen xπ
0
π
0
211dxsen xπ
0
4.3. CONSECUENCIAS DEL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
Si f y g ε R y son continuas, g y h diferenciables en R entonces:
1. (x)'g ](x)g[f ]dt(t)f [dx
d g(x)
a , x ε R
2.
(x)'h](x)h[f (x)'g ](x)g[f ]dt(t)f [dx
d
g(x)
h(x)
3. g(x)
g(a)
x
a du(u)f dt(t)'g](t)g[f , x ε R
PROBLEMAS
1. Hallar la derivada de:
2
3 4
6 x
xdt
t1
t F(x)
)3x(.)(x1
)(x)2x(.
)(x1
)(x]dt
t1
t [
dx
d(x)'F
2
43
63
42
622
3 4
6
x
x
12
20
8
13
x1
3x
x1
2x(x)'F
2. Hallar la derivada de : x
2
y
3 2dy)
tcos
dt (F(x)
x
3
x
3
x
2
y
3
2
2 2dttsec
tcos
dt ]dy)
tcos
dt ([
dx
d(x)'F
3tgxtgttg(x)'Fx
3
3. Hallar la derivada de:
xcos
x1 3 2
2
dtt3
tcos F(x)
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]dt3t
tcos [
dx
d(x)'F
xcos
x1 3 2
2
)3x(.
)x1(3
)x1(cos)sen x(.
xcos3
)xcos(cos(x)'F
2
23
32
2
2
23
322
2
2
)x1(
)x1(cosx
xcos3
)xcos(cossen x(x)'F
4. Hallar: ]dt)du u3([dx
d 2
32
2 x
2x
t3
t
}]dt)du u3([dx
d
{dx
d
G(x)
2
3
x
2x
t3
t
} du u3 2du u32x{dx
dG(x)
x23
8x
x3
x 3
2
6
]du u3[dx
d )2x(du u32G(x)
2
6
2
6
x3
x
x3
x
]du u3 [dx
d 2
x23
8x3
…(1)
2
6
3/22
6
x3
x
x3
x
)u3(
3
2du u3
3/263/222
6 )x(3
3
2)x3(3
3
2du u3
x3
x
3/263/222
6
)x(33
2)x(6
3
2du u3
x3
x
…(2)
6522
6 x36xx332x]du u3[
dx
d x3
x
6522
6 x36xx62x]du u3[
dx
d x3
x
…(3)
32
3
8x324x2x332]du u3 [
dx
d x23
8x
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32
3
8x324x2x62]du u3 [dx
d x23
8x
…(4)
Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):
32
6523/263/22
8x348x2x64
)x36xx6(2x2x)x(334)x(6
34G(x)
32
66223/263/22
8x348x2x64
x312xx64x)x(33
4)x(6
3
4G(x)
5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
DEFINICIÓN: Sea f integrable sobre el intervalo [ a , b ] se define la media o
valor promedio de f sobre [ a , b ] al número:
a b
dx(x)f _
f
b
a
NOTA: Geométricamente _
f es la altura promedio de la función f sobre al
intervalo [ a , b ] . El área del rectángulo de altura _ f y base ( b – a ) es:
)a b( _ f dx(x)f
b
a
OBSERVACIÓN:
1. Esta definición esta sugerida por el promedio aritmético de n números
a1, a2, a3, … , an
n
1ii
n321 a n
1
n
a...aaa
_ a
_
f
(x)f y
a b
y
x
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si f es una función continua sobre el intervalo [ a , b ] ; a < b entonces existe
un número c ε b,a tal que f (c) = _
f es decir:
)a b( (c)f dx(x)f b
a
INTERPRETACIÓN: El teorema afirma que una función continua sobre el
intervalo [ a , b ] alcanza su valor promedio dentro del intervalo b,a .
Además b
a dx(x)f es la medida del área de la región acotada por y = f (x) ,
x = a , x = b y el eje x. El teorema del valor medio establece que existe un
número c en el intervalo b,a tal que el área del rectángulo AEFB de
altura f(c) y ancho ( b – a ) es igual al área de la región ADCB (Delimita por
la función y = f (x) , x = a , x = b ).
PROBLEMAS1. Encontrar el valor de c que satisfaga el T.V.M. para integrales de
f (x) = x³ en [ 1 , 2 ]
)12( cdxx32
1
3
32
1
4cx
4
1
443)1(
4
1)2(
4
1c
(c)f
(x)f y y
xa b
A B
C
D
FE
c
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4
15
4
14c
3 => 55.1
4
15c 3 ε 2,1
75.3
4
15(c)f
2. Hallar: 2
0
dx)13x(1)x(
2
0
2
0
dx13x1xdx)13x(1)x(I
1 x,x1
1 x, 1x 1x
1/3 x,x31
1/3 x, 13x 13x
1/3 x, 14x3x)3x1()x1(
1x1/3 , 14x3x)13x()x1(
1 x, 14x3x)13x()1x(
13x1x
2
2
2
2
1
21
1/3
21/3
0
2 dx)14x3x(dx)14x3x(dx)14x3x(I
2
1
231
1/3
231/3
0
23)x2xx()x2xx()x2xx(I
12(1)(1)22(2)(2)
3
1)
3
12()
3
1(12(1)(1)02(0)(0)
3
1)
3
12()
3
1(I
2323
23232323
27
62121288
3
1
9
2
27
1121
3
1
9
2
27
1I
27
62dx)13x(1)x(
2
0
3. Hallar:
3
1
dx) 1/2xx(
0 2 31
3
1
R
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3
1
3
1
3
1
dx1/2xdxxdx) 1/2xx(I
7/2
1/2
3
1
1/23
1/21
3
1
dxxdxxdx1/21/2xdxxI
nx => 1nxn
1n => 0x1
0n => 1x0
1n => 2x1
2n => 3x2
3n => 4x3
7/2
3
3
2
2
1
1
0
0
1/2
3
3
3
2
2
1
1
0
0
1
dx(3)dx(2)dx(1)dx(0)dx1)(
dx(3)dx(2)dx(1)dx(0)dx1)(I
7/2
3
3
2
2
1
0
1/2
3
2
2
1
0
1
dx3dx2dxdxdx2dxdxI
7/2
3
0
1/2
3
2
2
1
0
1
dx3dxdx4dx2dxI
7/2
3
0
1/2
3
2
2
1
0
1x3xx42xxI
692
21
2
108122410I
6dx) 1/2xx(3
1
6. CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA: Si f es una función continua en el intervalo [ a , b ] y si se
reemplaza la variable de la integral x por g (t) es decir:
x = g (t)
β
α
b
a dt(t)'g](t)g[f dx(x)f …(*)
Donde:
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g: [ , ] → I tiene derivada continua en el intervalo [ , ]
a = g ()
b = g ()
OBSERVACIONES:1. Si la función g: [ , ] → I es tal que g () = a , g () = b entonces en (*)
es sustituida por:
α
β
b
a dt(t)'g](t)g[f dx(x)f
2. Si se efectúa un cambio de variable en una integral definida aplicando (*)
no regresamos a la variable original.NOTA:
Para cambiar los límites en una integral definida basta reemplazar la variable
original x por los límites de integración en la correspondiente sustitución y
obtener los nuevos límites de integración.
PROBLEMAS
1.
3/π
4/πdx)sen x(Lnxctg
Hacemos: u = Ln ( sen x )
du = ctg x dx
x = /4 → u = Ln ( sen /4 ) = Ln (2
2)
x = /3 → u = Ln ( sen /3 ) = Ln ( 23 )
)2
3( Ln
)2
2(Ln
2)
2
3(Ln
)2
2(Ln
3/π
4/πu
2
1duudx)sen x(Lnxctg
)2
2(Ln
2
1)
2
3(Ln
2
1dx)sen x(Lnxctg
223/π
4/π
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OBSERVACIONES:
1. Si f es continua en el intervalo [ 0 , a ] entonces
a
a
00dxx)(af dx(x)f
2. Si f es función par y continua en el intervalo [ – a , a ]
a
a
a 0dx(x)f 2dx(x)f
3. Si f es función impar y continua en el intervalo [ – a , a ]
0dx(x)f a
a
4.
Si f es función par y continua entonces
2/π
0
π
0
dx)xcos(f πdx)xcos(f x
5. Si f es continua entonces
π
0
π
0
dx)sen x(f
2
πdx)sen x(f x
PROBLEMAS
1. Demostrar que:
Si f es continua en el intervalo [ 0 , a ] entonces
a
a
00dxx)(af dx(x)f
a
0dxx)(af
Hacemos: z = a – xdz = – dx
x = 0 → z = a – 0 = a
x = a → z = a – a = 0
0
00
a
a
a
dz(z)f )dx(x)(af dxx)(af
a
a
00dz(z)f dxx)(af Como la variable z no tiene significado
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a
a
00dx(x)f dxx)(af
2. Demostrar que:
Si f es función par y continua en el intervalo [ – a , a ]
a
a
a 0dx(x)f 2dx(x)f
a
a
a
a 0
0
dx(x)f dx(x)f dx(x)f …(1)
0
adx(x)f
Hacemos: x = – ydx = – dy
x = – a → y = – ( – a ) = a
x = 0 → y = – ( 0 ) = 0
a
a a a 0
000
dyy)(f dyy)(f )dy(y)(f dx(x)f
Por ser f función par f ( – y) = f (y)
a
a 0
0
dy(y)f dx(x)f Como la variable y no tiene significado
a
a 0
0
dx(x)f dx(x)f …(2)
Reemplazando (2) en (1):
a a a
a 00dx(x)f dx(x)f dx(x)f
a a
a 0dx(x)f 2dx(x)f
3. Demostrar que:
Si f es función impar y continua en el intervalo [ – a , a ]
0dx(x)f a
a
a
a
a
a 0
0dx(x)f dx(x)f dx(x)f …(1)
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0
adx(x)f
Hacemos: x = – y
dx = – dy
x = – a → y = – ( – a ) = a
x = 0 → y = – ( 0 ) = 0
a
a a a 0
000
dyy)(f dyy)(f )dy(y)(f dx(x)f
Por ser f función impar f ( – y) = – f (y)
a
a 0
0
dy(y)f dx(x)f Como la variable y no tiene significado
a
a 0
0
dx(x)f dx(x)f …(2)
Reemplazando (2) en (1):
a a a
a 00dx(x)f dx(x)f dx(x)f
0dx(x)f
a
a
4. Demostrar que:
Si f es función par y continua entonces
2/π
0
π
0
dx)xcos(f πdx)xcos(f x
π
2/π
2/π
0
π
0
dx)xcos(f xdx)xcos(f xdx)xcos(f x …(1)
π
2/π
dx)xcos(f x
Hacemos: x = – y
dx = – dy
x = → y = – =
x = → y = – = 0
0
2/π
π
2/π
)dy(])yπ(cos[f )yπ(dx)xcos(f x
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cos ( – y ) = – cos y
0
2/π
π
2/π
dy)ycos(f )yπ(dx)xcos(f x
2/π
0
π
2/π
dy)ycos(f )yπ(dx)xcos(f x
Como f es función par f ( – cos y) = f (cos y)
2/π
0
π
2/π
dy)ycos(f )yπ(dx)xcos(f x
Como la variable y no tiene significado entonces
2/π
0
π
2/π
dx)xcos(f )xπ(dx)xcos(f x …(2)
Reemplazando (2) en (1):
2/π
0
2/π
0
π
0
dx)xcos(f )xπ(dx)xcos(f xdx)xcos(f x
2/π
0
π
0
dx)xcos(f )xxπ(dx)xcos(f x
2/π
0
π
0
dx)xcos(f πdx)xcos(f x
5. Demostrar que:
Si f es continua entonces
π
0
π
0
dx)sen x(f
2
πdx)sen x(f x
π
0
dx)sen x(f x
Hacemos: x = – y
dx = – dy
x = 0 → y = – 0 =
x = → y = – = 0
0
π
π
0
)dy(])yπ(sen[f )yπ(dx)sen x(f x
sen ( – y ) = sen y
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0
π
π
0
dy)ysen(f )yπ(dx)sen x(f x
π
0
π
0
dy)ysen(f )yπ(dx)sen x(f x
π
0
π
0
π
0
dy)ysen(f ydy)ysen(f πdx)sen x(f x
Como la variable y no tiene significado entonces
π
0
π
0
π
0
dx)sen x(f xdx)sen x(f πdx)sen x(f x
π
0
π
0
dx)sen x(f πdx)sen x(f x2
π
0
π
0
dx)sen x(f
2
πdx)sen x(f x
7. INTEGRACIÓN POR PARTES EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA: Si u = u (x) , v = v (x) son funciones con derivadas continuas en
el intervalo I = [ a , b ] entonces:
b
a
b
a
b
a duvuvdvu
PROBLEMAS
1. 1
0
dxxcosarc
Hacemos: u = arc cos x dv = dx
2
x1
dxdu
v = x
1
0 2
1
0
1
0 dx
x1
x xcosarcxdxxcosarc
1
0 2
1
0
1
0 dx
x1
x2
2
1 xcosarcxdxxcosarc
1
0 2
1
0 dx
x1
2x
2
1)0(cosarc)0()1(cosarc)1(dxxcosarc
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1
0 2
1
0 2
1
0 dx
x1
2x
2
1dx
x1
2x
2
100dxxcosarc
Hacemos: y = 1 – x²
dy = – 2x dxx = 0 → y = 1 – ( 0 )² = 1
x = 1 → y = 1 – ( 1 )² = 0
0101uu
du
2
1
u
du
2
1dxxcosarc
1
0
1
0
0
1
1
0
1dxxcosarc1
0
8. INTEGRALES IMPROPIAS
DEFINICIÓN: Decimos que la integral b
a dx(x)f es Impropia si:
1. La función integrando tiene puntos de discontinuidad en el intervalo
[ a , b ]
2. Por lo menos uno de los límites de integración a ó b es infinito es decir:
a dx(x)f ,
b dx(x)f ,
dx(x)f
OBSERVACIÓN:
1. Si la integral b
a dx(x)f resulta ser un número real es decir un valor
finito determinado entonces decimos que la integral es Convergente en
caso contrario se dice que es Divergente .
8.1. INTEGRAL IMPROPIA CUANDO LA FUNCIÓN ES
DISCONTINUA
DEFINICIÓN 1: Sea f continua en el intervalo < a , b ] entonces
considerando valores de ε > 0 se define:
b
εa
b
a
dx(x)f Limdx(x)f 0ε
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OBSERVACIÓN:
1. Si f (x) ≥ 0 en < a , b ] y b
a dx(x)f es convergente y representa al
área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje x y
las rectas x = a , x = b
DEFINICIÓN 2: Sea f continua en el intervalo [ a , b > entonces
considerando valores de ε > 0 se define:
ε b
a
b
a dx(x)f Limdx(x)f
0ε
OBSERVACIÓN:
1. Si f (x) ≥ 0 en [ a , b > y b
a dx(x)f es convergente y representa al
área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje x y
las rectas x = a , x = b
DEFINICIÓN 3: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] excepto x = c,
donde c ε [ a , b ] entonces considerando valores de ε , ε’ > 0 definimos:
b
ε'c
εc
a
b
a dx(x)f Limdx(x)f Limdx(x)f 0ε'0ε
(x)f y
y
xa εa b
(x)f y
y
xa εa b
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OBSERVACIÓN:
1. Si la función f definida en el intervalo < a , b > donde a = – ∞ ,
b = +∞ tiene un número finito de puntos de discontinuidad
c1, c2, c3, …, cn entonces se define:
b
c
c
c
c
c
c
a
b
a n
n
1n
2
1
1dx(x)f dx(x)f .. .dx(x)f dx(x)f dx(x)f
y se dice que b
a dx(x)f es Convergente si todas las integrales del
segundo miembro son Convergentes . Si por lo menos uno de ellos
Diverge => la integral de f (x): [ a , b ] también Diverge .
PROBLEMAS
1.
1
0 2x1
dx
εε
1
00ε
1
0 20ε
1
0 2sen xarc Lim
x1
dx Lim
x1
dx
])0(senarc)ε1(senarc[ Limx1
dx 0ε
1
0 2
2
π)1(senarc)ε1(senarc Lim
x1
dx
0ε
1
0 2
La integral de f es convergente
2. 1
1 2/3
x
dx
1
0 2/30ε'
0
1 2/30ε
1
0 2/3
0
1 2/3
1
1 2/3 ε'
ε
x
dx Lim
x
dx Lim
x
dx
x
dx
x
dx
1 1/3
0ε'
1
1/3
0ε
1
1 2/3 ε'
ε
3x Lim3x Limx
dx
])'3(ε)13([ Lim])13(3ε[ Lim
x
dx
1/31/3
0ε'
1/31/3
0ε
1
1 2/3
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33)13()13(x
dx
1
1 2/3
6
x
dx
1
1 2/3
La integral de f es convergente
3.
2
1 )x2()1x(
dx I
< 1 , 2 > = < 1 , 1.5 ] U [ 1.5 , 2 >
2
1.5
1.5
1 )x2()1x(
dx
)x2()1x(
dx I
ε'
ε
2
1.5 0ε'
1.5
1 0ε )x2()1x(
dx Lim
)x2()1x(
dx LimI
ε'
ε
2
1.50ε'
1.5
10ε)32x(senarc Lim)32x(senarc LimI
])12ε(senarc)0(senarc[ LimI
0ε
])0(senarc)'2ε1(senarc[ Lim 0ε'
)'2ε1(senarc Lim)12ε(senarc LimI0ε'0ε
2
π
2
π)1(senarc)1(senarcI
π)x2()1x(
dx I2
1
La integral de f es convergente
8.2. INTEGRAL IMPROPIA CUANDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN SON INFINITOS
DEFINICIÓN 1: Si f es continua en el intervalo [ a , + ∞ > definimos:
b
a a dx(x)f Limdx(x)f
b
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OBSERVACIÓN:
1. Cuando la integral impropia es convergente significa que ese número
a la cual converge la integral es el área de la región plana infinita
comprendida entre el gráfico de f , el eje x y la recta x = a.
DEFINICIÓN 2: Si f es continua en el intervalo < – ∞ , b ] definimos:
b
a
b dx(x)f Limdx(x)f
a
OBSERVACIÓN:
1. Cuando la integral impropia es convergente significa que ese número
a la cual converge la integral es el área de la región plana infinita
comprendida entre el gráfico de f , el eje x y la recta x = b.
DEFINICIÓN 3: Si f es continua para valores de x entonces:
b
a
b dx(x)f Limdx(x)f
a
b
a 0 b
0
a
dx(x)f Limdx(x)f Limdx(x)f
(x)f y
y
xa
(x)f y
y
x b
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PROBLEMAS
1.
b
b
0 x b0 x b
0 x e2
dx Lim2
e
dx Lim
e
dx
)e
1
e
1 ( Lim2e
1 Lim2e
dx 0 b b0x b
0 x
b
)1e
1 (2)1
e
1 (2)1
e
1 ( Lim2
e
dx
b b
0 x
2)10(2e
dx
0 x
2.
2 x
dxex
0 x,x
0 x, xx
0
2 x0
2 x
2 x dxexdxexdxex
b
a 0
2 x
b
0 2 x
a
2 xdxexLimdxexLimdxex
b
a 0
2 x
b
0 2 x
a
2 xdxe2xLim
2
1dxe2xLim
2
1dxex
b
a
0
2 x
b
0
2 x
a
2 x
e Lim2
1e Lim
2
1dxex
)e1
e1 ( Lim
21)
e1
e1 ( Lim
21dxex 02
b20
a
2
xaa
)1e
1 ( Lim
2
1)
e
11( Lim
2
1dxex
2 b
2 a
2 x
aa
)1e
1 (
2
1)
e
11(
2
1dxex
2 x
121
21)10(
21)01(
21dxex 2 x
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8.3. ALGUNOS CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE
INTEGRALES IMPROPIAS
1. CRITERIO DE COMPARACIÓN: Sean f y g funciones tales
que 0 ≤ f (x) ≤ g (x) ,
x ε [ a , b > se tiene:
b
a dx(x)f Converge =>
b
a dx(x)g también Converge
b
a dx(x)f Diverge =>
b
a dx(x)g también Diverge
2. CRITERIO DE CONVERGENCIA PARA FUNCIONES
DISCONTINUAS
TEOREMA 1: Sea f (x) una función continua en el intervalo [ a , b ]
excepto en el punto c si:
1. f (x) ≥ 0
2. Acx(x)f Limm
x c
Donde: A ≠ 0 , + ∞ en cuyo caso escribimos
m cx
A(x)f
cuando x → c
Entonces la integral impropia b
a dx(x)f
Es Convergente cuando 0 < m < 1
Es Divergente cuando m ≥ 1
3.
CRITERIO DE CONVERGENCIA CUANDO UN LÍMITE DE
INTEGRACIÓN ES INFINITO
TEOREMA 2: Sea f (x) una función continua en el intervalo
[ a , + ∞ > si:
1. f (x) ≥ 0
2. Ax(x)f Limm
x c
Donde: A ≠ 0 , + ∞ en cuyo caso escribimos
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mx
A(x)f cuando x → + ∞
Entonces la integral impropia
a dx(x)f
Es Convergente cuando m > 1
Es Divergente cuando 0 < m ≤ 1
4. CRITERIO DEL LÍMITE
Sean f y g funciones positivas integrables en el intervalo [ a , b – ε ] ,
( b – ε ) Є [ a , b > y supongamos que:
A(x)g
(x)f Lim
bx
se tiene:
1. Si 0 < A < + ∞ entonces las integrales impropias
b
a dx(x)f F y
b
a dx(x)gG
Son ambas convergentes o ambas divergentes
2. Si A = 0 y G converge entonces F converge
3.
Si A = ∞ y G diverge entonces F diverge
PROBLEMAS
1. Analice la convergencia o divergencia de:
1 23 xx
dx
0xx
1
23 , x ε [ 1 , + ∞ >
323 x
1
xx
10
, x ε [ 1 , + ∞ >
0 < f (x) ≤ g (x)
b b
12 b1 3
b1 31 2x
1 Lim
x
dx Lim
x
dx dx(x)g
)1 b
1 ( Lim
2
1)
1
1
b
1 ( Lim
2
1dx(x)g
2 b
22 b1
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2
1)10(
2
1dx(x)g
1
Como
1dx(x)g converge =>
1 23 xx
dx también converge
2. Determinar la convergencia de:
5
4 2 x25x
dx
x5x5x
1
)x5()x5(x
1
x25x
1(x)f
2
Es continua en [ 4 , 5 > f (x) ≥ 0 , x ε [ 4 , 5 >
1/21/2 )x5()x5(x
1(x)f
m cx
A(x)f
cuando x → 5 => 5 + x → 10
1/21/21/2)x5(105
1
)10()x5(5
1(x)f
2
1m ,
105
1A ≠ 0 , 0 < m < 1
Se concluye por el Teorema 1 que:
5
4 2 x25xdx es convergente
3. Verificar si
2 44 x1x
dx es convergente o divergente
644 x
1
x1x
10
, x ε [ 2 , + ∞ >
b b
25 b2 6
b2 62 5x
1 Lim
x
dx Lim
x
dx dx(x)g
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160
1)
32
1
b
1 ( Lim
5
1)
2
1
b
1 ( Lim
5
1dx(x)g
5 b
55 b2
2dx(x)g converge =>
2 44
x1x
dx también converge
9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
9.1. ÁREA DE REGIONES PLANAS
CASO I : Sea f : [ a , b ] → R una función continua y f (x) ≥ 0 ,
x ε [ a , b ]. El área de la región Ω limitada por la gráfica de f , el ejes y
las rectas x = a , x = b se define:
2u]dx(x)f [)ΩA( ba
CASO II: Si f y g son funciones continuas en [ a , b ] y g (x) ≤ f (x) ,
x ε [ a , b ]. El área de la región Ω limitada por las rectas x = a , x = b y
las gráficas de f y g esta dada por:
2u]dx}(x)g(x)f {[)ΩA(
b
a
Ω
(x)f y
y
xa b
Ω
(x)f y
(x)gy
a bx
y
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OBSERVACIÓN:
1. Si la región Ω esta limitada por las gráficas de x = f (y) y x = g (y) ,
las rectas y = a , y =b. Donde f y g son continuas en [ a , b ] y
g (y) ≤ f (y) ,
y ε [ a , b ] , el área de la región Ω esta dada por: 2
u]dy}(y)g(y)f {[)ΩA( b
a
NOTA: Si f es integrable y no positivo f (x) ≤ 0 en [ a , b ] para calcular el área de
la región Ω acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x = a , x = b.
Se calcula la integral de f desde a hasta b y se le cambia de signo a f es
decir:
b
a dx(x)f )ΩA(
Ω
(y)f x
(y)gx
a
b
x
y
Ω
(x)f y
y
xa b
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PROBLEMAS
1. Hallar el área de la región Ω limitada por:
xcosy ,
6
πx ,
2
πx , 0y
2/π
6/πsen xdxxcos dx(x)f )ΩA(
2/π
6/π
b
a
2
3
2
11
6
πsen
2
πsen)
6
π(sen
2
πsen)ΩA( u²
2. Hallar el área de la región Ω limitada por:
yex , 0x , 0y , 4Lny
1º Método:
04Ln4Ln
0
y4Ln
0
y4Ln
0eeedye dy(y)f )ΩA(
314)ΩA( u²
2º Método:
4
1
1
0 dx](x)g(x)f [dx(x)f )ΩA(
xcosy
6π
2π
1
2π
y
x
yex
4Ln
0 1 4x
y
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4
1
1
0 dx]Ln x4Ln[dx4Ln)ΩA(
4
1
4
1
1
0 dxLn xdx4Lndx4Ln)ΩA(
4
1 dxLn x4Ln)14(4Ln)01()ΩA(
4
1
4
1 dxLn x4Ln4dxLn x4Ln34Ln)ΩA( …(1)
4
1 dxLn x
Hacemos: u = Ln x dv = dx
x
dxdu v = x
4
1
4
1
4
1
4
1 x1Ln4Ln4dxLn xxdxLn x
34Ln4144Ln4dxLn x4
1 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
334Ln44Ln4)34Ln4(4Ln4)ΩA( u²
3. Hallar el área de la región Ω limitada por:
2y4yx , 52yx
Ec. de la parábola
]4)2y([x2
4)2y(x2
)4x()2y(2
Vértice
V = ( h , k ) = ( 4 , 2 )
14p
=> 4
1
p
La parábola se abre hacia la izquierda
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Interceptos con los ejes
Para x = 0
0y4y2
0)4y(y => 0y v 4y
Ec. de la recta
52yx =>2
5x
2
1y
Interceptos con los ejes
Para x = 0
2
5)0(
2
1y => 5.2
2
5y
Para y = 0
2
5x
2
10 => 5y
Intersección entre gráficos
2y4yx …(1)
2y5x …(2)
(1) = (2):
2y4y2y5
056yy2
0)5y()1y( => 1y v 5y
En (2):
Si y = 1 => 3)12(5x
Si y = 5 => 5)52(5x
Entonces los puntos de intersección son:
A ( – 5 , 5 )
B ( 3 , 1 )
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1º Método:
5
1
25
1 dy])2y5()y4y([dy](y)g(y)f [)ΩA(
5
1
25
1
2
dy)5y6y(dy)2y5y4y()ΩA(
5(1)(1)3
13(1)5(5)(5)
3
13(5)5yy
3
13y)ΩA(
32325
1
32
3325
31325
312575)ΩA( u²
2º Método:
4
3 21
3
5 1 dx](x)y(x)y[dx](x)y(x)y[)ΩA(
4
3
3
5
dy])x42()x42([
dy])2
5x
2
1 ()x42([)ΩA(
4
3
3
5 dxx42dx)x4
2
1x
2
1 ()ΩA(
4
3
3
5
3
5
2
dxx42dxx4x
2
1x
4
1)ΩA(
3
5
22
dxx45)(2
15)(4
1(3)2
1(3)4
1)ΩA(
y
x
2y4yx
y25x
0 3 4 55
4
1
2
5
x42y1
x42y2 2
5x
2
1y
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4
3dxx42
4
3
3
5 dxx42dxx4
2
5
4
25
2
3
4
9)ΩA(
4
3
3
5 dxx42dxx48)ΩA( …(1)
3
5dxx4
Hacemos: u = 4 – x
du = – dx
x = – 5 => u = 4 – ( – 5 ) = 9x = 3 => u = 4 – 3 = 1
9
1
1
9
3
5
3
5 duuduu)dx(x4dxx4
3
52
3
218(1)
3
2(9)
3
2x
3
2dxx4
3/23/29
1
3/23
5 …(2)
4
3 dxx4
Hacemos: u = 4 – x
du = – dx
x = 3 => u = 4 – 3 = 1
x = 4 => u = 4 – 4 = 0
1
0
0
1
4
3
4
3
duuduu)dx(x4dxx4
3
20
3
2(0)
3
2(1)
3
2x
3
2dxx4
3/23/21
0
3/24
3 …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
3
32
3
4
3
528)
3
2(2
3
528)ΩA( u²
4.
Ω esta limitada por un lazo de la curva:)xa(xya
22442
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)xa(a
xy
22
2
44
)xa(
a
x y 22
2
42
)xa(a
x y 22
2
42
)xa(a
xy 22
2
42
=> 222
2xa
a
xy , a > 0
22
2
xaa
x y
222
1 xaa
x y => 1/422
1 )xa(a
xy
222
2 xaa
xy => 1/422
2 )xa(a
xy
0xa 22 => 22 ax => axa
Df : [ – a , a ]
a
0 12 dx](x)y(x)y[)ΩA(
a
0
1/4221/422dx])xa(
a
x)xa(
a
x [)ΩA(
a
0
1/422dx)xa(
a
x 2)ΩA(
1/422
2 )xa(a
xy
1/422
1 )xa(a
xy
aa
x
y
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Hacemos: u4 = a2 – x2
4u3 du = – 2x dx => 2u3 du = – x dx
x = 0 => u = a
x = a => u = 0
0 31/44
0
1/422
a
a
)du2u()u(
a
2dx)xa(
a
x 2)ΩA(
55
0
5
0
4)0(
a5
4)a(
a5
4u
a5
4duu
a
4)ΩA(
aa
25a
5
4)a(
a5
4)ΩA( u²
5. Graficar la región ilimitada Ω y hallar su área (si existe) Ω esta
comprendido entre las gráficas de:
4x1
x2y
,
4x1
x4y
0 x, x1
2x
0 x, x1
2x
y
4
4
1
0 x, x1
4x
0 x, x1
4x
y
4
4
2
44
21 dx] x1
x4
x1
x2 [dx](x)y(x)y[)ΩA(
4
21 dxx1
x6 dx](x)y(x)y[)ΩA(
1y
2y
y
x
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0 x,x
0 x, xx
0
0
4
4dx
x1
6x dx
x1
6x )ΩA(
b
a
0 4 b
0
4 a
dxx1
2x Lim3dx
x1
2x Lim3)ΩA(
b
a
0 22 b
0
22 a
dx)x(1
2x Lim3dx
)x(1
2x Lim3)ΩA(
b
0
2
b
02
a a
xtgarc Lim3xtgarc Lim3)ΩA(
) b tgarc( Lim3)a tgarc( Lim3)ΩA(2
b
2
a
3π)2
π(3)
2
π(3)ΩA( u²
9.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
DEFINICIÓN: Es un sólido obtenido al girar una región de un plano
alrededor de una recta del plano llamado Eje de Revolución , el cual toca
la frontera de la región ó no intersecta la región en algún punto tal es el
caso.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sea f continua en el intervalo [ a , b ] , f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] ; sea A la
región acotada por y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = b.
y
x
esfera una Genera
y
x
un toroGenera
conounGenera
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Dada una partición P en el intervalo [ a , b ] es decir P = { x0, x1, .. , xn }
como consecuencia se obtiene n subintervalos [ xi – 1 , xi ] ,
i = {1, 2, ... , n} , ix = xi – xi – 1 escogiendo cualquier i
_ x ε [ xi – 1 , xi ] se
obtiene rectángulos de altura f ( i
_
x ) y base ix
Cuando el i-esimo rectángulo se gira alrededor del eje x se obtiene un
disco circular en la forma de un cilindro recto circular cuyo radio de la
base es f ( i
_
x ) y altura ix
La medida del volumen de este disco circular es:
xΔ]) _ x(f [πhr πVΔ i
2i
2
i
Como hay n rectángulos se obtiene n discos circulares entonces:
n
1ii
2i
n
1ii xΔ])
_ x(f [πVΔ
Esta sumatoria es una aproximación al volumen del sólido, si la norma de
la partición tiende a cero se obtiene el valor exacto del volumen del sólido
es decir:
1ix ixi
_ x
) _ x(f i
a b
(x)f y
y
x
xΔi
xi)x(f i
_
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b
a dx(x)]f [πxΔ])
_ x(f [π LimVΔ LimV
2n
1ii
2i
0 P
n
1ii
0 P
9.2.1. MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR
DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y f (x) ≥ 0 ,
x ε [ a , b ] entonces el volumen del sólido de revolución S
engendrado al hacer girar sobre el eje x la región limitada por la
curva y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = b esta dado por:
}dx(x)]f [π{xΔ]) _ x(f [π LimV(S)
b
a
2n
1ii
2i
0 P
u³
OBSERVACIÓN:
1. Si S es el sólido de revolución obtenido por la rotación entorno
al eje y de la región plana Ω limitada por la curva x = f (y)
(Donde f es continua en el intervalo [ c , d ] ) , el eje y , las
rectas y = c , y = d entonces el volumen del sólido S es:
}dy(y)]f [π{V(S) d
c
2
u³
PROBLEMAS
1. Hallar el volumen del sólido generado al girar el área limitada
por 2y = 6 – x , y = 0 , x = 4 alrededor del eje x
Ec, de la recta
3x2
1y
) _ y(f i
c
d
(y)f x
y
x
dy
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Interceptos con los ejes
Para x = 0
3)0(2
1y => 3y
Para y = 0
3x2
10 => 6x
4
0
24
0
2
dx)93xx4
1 (πdx)3x
2
1 (πV
40
23 )9xx23x
121 (πV
]9(0)(0)2
3(0)
12
19(4)(4)
2
3(4)
12
1 [πV
2323
π3
52)3624
3
16 (πV u³
2. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la
región Ω . 1 b
y
a
x2
2
2
2
alrededor del eje y
Ec. de la Elipse
1 b
y
a
x2
2
2
2
Centro de la elipse
C = ( h , k ) = ( 0 , 0 )
Eje mayor = 2a Eje menor = 2b
3x2
1y
y
x640
3
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b
b
22
2
2 b
b
222
dy)y b(π b
ady)y b
b
a (πV
b
b
32
2
2)y
3
1y b(π
b
aV
]) b(3
1) b( b) b(
3
1) b( b[π
b
aV
3232
2
2
π ba3
4) b
3
4 (π
b
a) b
3
1 b b
3
1 b(π
b
aV
23
2
23333
2
2
u³
Otra forma:Por ser función par
b
0
222 b
b
222
dy)y b b
a (π2dy)y b
b
a (πV
b
0
32
2
2 b
b
22
2
2
)y3
1y b(π
b
2ady)y b(π
b
2aV
])0(31)0( b) b(
31) b( b[π
b2aV 3232
2
2
π ba3
4) b
3
2 (π
b
2a) b
3
1 b(π
b
2aV
23
2
233
2
2
u³
9.2.2.
MÉTODO DEL ANILLO CIRCULAR
DEFINICIÓN: Sean f y g : [ a , b ] → R funciones continuas
cuyas gráficas se encuentran a un mismo lado del eje x y además(x)f (x)g , x ε [ a , b ] , entonces el volumen del sólido de
22 y b b
ax
x
y
aa
b
b
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revolución que se obtiene por la rotación entorno al eje x de la
región Ω acotada por las curvas y = f (x) , y = g (x) y las rectas
x = a , x = b esta dado por:
}dx)(x)]g[(x)]f [(π{V(S) b
a 22
u³
NOTA: Una regla práctica para recordar está fórmula es:
b
a dx)r R (πV
22
Donde:
R = es el radio mayor del anillo circularr = es el radio menor del anillo circular
Si r = 0 => b
a
b
a dx(x)]f [πdxR πV
22 Método del di sco
OBSERVACIONES:
1. Si f y g : [ a , b ] → R son continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado de la recta y = c yc(x)f c(x)g , x ε [ a , b ] , entonces el volumen
del sólido de revolución que se obtiene por la rotación entorno
de la recta y = c de la región Ω acotada por las curvas
y = f (x) , y = g (x) y las rectas x =a , x = b esta dado por:
}dx)]c(x)g[]c(x)f [(π{V(S) b
a
22
u³
(x)f y
(x)gy
y
xa b
R
r
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2. Si la región limitada por las gráficas de x = f (y) , x = g (y) y
por las rectas y = c , y = d gira alrededor de la recta x = k
donde las gráficas de f y g esta a un mismo lado del eje derotación y se tiene que las distancias k(y)f k(y)g ,
y ε [ c , d ] , entonces el volumen del sólido es:
}dy)]k(y)g[]k(y)f [(π{V(S) d
c
22
PROBLEMAS
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la
región Ω alrededor de la recta L donde:
L: x = 0 , Ω:2x
ey , y = 0 , x = 0 , x =1
c
(y)gx
k x
x
y
d
k
(y)f x
R
r
(x)f y
(x)gy
y
xa b
cy c
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e
1
221
0
2dy)](y)g[](y)f [(πdy](y)f [πV
e
1
221
0
2dy)]yLn[]1[(πdy]1[πV
e
1
1
0 dy)yLn1(πdyπV
e
e
11
1
0 dyyLnπdyπdyπV
e
1dyyLnπ)1e(π)01(πV
e
e
11dyyLnπeπdyyLnππeππV …(1)
e
1dyyLn
Hacemos: u = Ln y dv = dy
y
dydu v = y
e
e e
111dyyLnydyyLn
11ee1)(e1LneLnedyyLne
1 …(2)
Reemplazando (2) en (1):
π)1e(πeπV u³
2.
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de laregión Ω alrededor de la recta L donde:
e
0x
y
yLn(y)gx
1
1 1(y)f x
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L: Eje x , Ω: 0c b2byyx2222
( b > c > 0 )
Ec. de la circunferencia
0c b2byyx2222
222c) by(x
Centro
C = ( h , k ) = ( 0 , b )
Radio
r = c
Luego:222
c) by(x
222xc) by(
22xc by
22 xc by
=> 221 xc by v 22
2 xc by
c
c
22dx)(x)]g[(x)]f [ (πV
c
c
222222 dx)]xc b[]xc b[ (πV
cc
cc
22 22 dxxcπ4bdxxc4bπV
22 xc b(x)f y
y
x
b
cc
22 xc b(x)gy
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Por ser función par el integrando
c
0
22 dxxcπ8bV
Hacemos: x = c sen θ
dx = c cos θ dθ
x = 0 => θ = 0
x = c => θ = π/2
2/π
0
222
)dθθcosc( θsenccπ8bV
2/π
0
222/π
0
22
dθθcosπ8bcdθθcos θsen1π8bcV
2/π
0
2
dθ
2
2θcos1 π8bcV
2/π
0
2)2θsen
4
1θ
2
1 ( π8bcV
]2(0)sen
4
1(0)
2
1)
2
π2(sen
4
1)
2
π(
2
1 [ π8bcV
2
222 π2bc)
4
π ( π8bcV u³
3. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la
región Ω alrededor de la recta L donde:
L: y = – 2 , Ω:x
1xy , x = 1 , x = 4 , y = 0
x
1xy
y
x
2y
41
3/2
2
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4
1
22dx)])2(0[])2((x)f [ (πV
4
1
22dx)]2[]2
x
1x [ (πV
4
1
2 dx]
x
)1x(4
x
)1x( [πV
4
1
4
1
2 dx
x
1x π4dx
x
)1x( πV
4
1
4
1
2 dx
x
1x π4dx
x
1x2x πV
4
1
4
1 dx
x
1x π4dx)
x
12x(πV
4
1
4
1
4
1 dx
x
1x π4
x
dx πdx)2x(πV
4
1
4
1
4
1
2 dx
x
1x 4πLn xπ)2xx
2
1 (πV
4
1
22
dx
x
1x 4π
)1Ln4Ln(π]2(1)(1)2
12(4)(4)
2
1 [πV
4
1 dx
x
1x 4π4Lnπ]2
2
188[πV
4
1 dx
x
1x 4π4Lnππ
2
3V …(1)
4
1 dx
x
1x
Hacemos: t2 = x
2t dt = dxx = 1 => t = 1
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x = 4 => t = 2
2
1
22
1 2
24
1 )dtt(
t
1t 2)dt2t(
t
1t dx
x
1x
2
1
32
1
24
1 )tt
31 (2dt)1t( 2dx
x
1x
]1(1)3
12(2)
3
1 [2dx
x
1x
334
1
3
8)
3
4 (2)1
3
12
3
8 (2dx
x
1x
4
1
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
π3
324Lnππ
2
3)
3
8(4π4Lnππ
2
3V
π)4Ln6
73 (V u³
4. Ω es la región infinita comprendida entre los gráficos de
x1y ,
1xxy
2 y que se encuentra a la derecha de
x = 1 y el eje de rotación es el Eje x. Calcular el volumen del
sólido generado.
x
1y
y
x1
1x
xy
2
1
1
1
1/2
1/2
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1
2
2
2
1
22dx)]
1x
x []
x
1 [ (πdx)r R (πV
1 22
2
2dx]
)1x(
x
x
1 [πV
b
1 22
2
2 b
dx])1x(
x
x
1 [ Lim πV
b b
1 22
2
b1 2 b
dx)1x(
x Lim π
x
dx Lim πV
b
1 22
2
b
b
1 b dx)1x(
x
Lim πx
1
Lim πV
b
1 22
2
b bdx
)1x(
x Lim π)1
b
1 ( Lim πV
b
1 22
2
bdx
)1x(
x Lim π)10(πV
b
1 22
2
bdx
)1x(x Lim ππV
b
1 22
2
bdx
)1x(
1)1x( Lim ππV
b b
1 22 b1 2
b )1x(
dx Lim π
1x
dx Lim ππV
b
1 22 b
b
1 b )1x(
dx Lim πxtgarc Lim ππV
b
1 22 b b )1x(
dx Lim π)1tgarc btgarc( Lim ππV
b
1 22 b b )1x(
dx Lim π)
4
π btgarc( Lim ππV
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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b
1 22 b )1x(
dx Lim π)
4
π
2
π (ππV
b
1 22
b )1x(
dx Lim π)
4
π (ππV
b
1 22 b
2
)1x(
dx Lim π
4
ππV …(1)
b
1 22)1x(
dx
Hacemos: x = tg θ
dx = sec2θ dθ
x = 1 => θ = π/4
x = b => θ = arc tg b
b tgarc b tgarc b
4/π 4
2
4/π 22
2
1 22dθ
θsec
θsec dθ
)1θtg(
θsec
)1x(
dx
b tgarc b tgarc b
4/π
2
4/π 21 22 dθ θcosθsec
dθ
)1x(
dx
b tgarc b
4/π1 22dθ
2
2θcos1
)1x(
dx
b tgarc
4/π1 222θsen
4
1θ
2
1
)1x(
dx
b
2
πsen
4
1
8
π) btgarc2(sen
4
1 btgarc
2
1
)1x(
dx
b
1 22
4
1
8
π) btgarc2(sen
4
1 btgarc
2
1
)1x(
dx
b
1 22
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
]
4
1
8
π) btgarc2(sen
4
1 btgarc
2
1 [ Lim π
4
ππV
b
2
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]4
1
8
π)
2
π 2(sen
4
1)
2
π(
2
1 [π
4
ππV
2
)
4
1
8
π (π
4
ππ)
4
1
8
π
4
π (π
4
ππV
22
)8
π
4
3π (V
2
u³
9.2.3.
MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA
Hasta ahora hemos hallado el volumen de un sólido de revolución
tomando los elementos rectangulares de área perpendicular al eje
de revolución (Método del Disco y Anillo Circular) si un elemento
rectangular de área es paralelo al eje de revolución entonces
cuando este elemento de área se gira alrededor del eje de
revolución se obtiene una Corteza Cilíndr ica que es un sólido
contenido entre dos cilindros que tiene el mismo centro y eje.
r 1 = Radio exterior de la corteza cilíndrica
r 2 = Radio interior de la corteza cilíndrica
h = Altura de la corteza cilíndrica
El volumen será:V = π r 1 2 h – π r 2 2 h
h
2r
1r
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DEFINICIÓN: Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , a ≥ 0
y f (x) ≥ 0 , x ε [ a , b ] entonces el volumen del sólido de
revolución engendrado al hacer girar alrededor del eje y , la región
acotada por la curva y = f (x) , el eje x y las rectas x = a , x = besta dado por:
}dx(x)f x2π{V b
a u³
OBSERVACIÓN:
1.
Representaremos algunas extensiones de las fórmulas para
casos más especiales:
TEOREMA I: El volumen del sólido generado al girar el área
encerrada por las gráficas de las funciones continuas y = f (x)
, y = g (x) donde f (x) ≥ g (x) desde x = a hasta x = b con
0 ≤ a < b alrededor del eje y es:
(x)f y
y
xa b
x
u³}dx](x)g(x)f [x2π{V b
a
(x)f y
y
x
a bx
(x)gy
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TEOREMA II: El volumen del sólido de revolución obtenido
al girar la región limitada por las gráficas de las
funciones y = f(x) , y = g (x) desde x = a hasta x = b
alrededor de la recta x = c , f (x) ≥ g (x) ,
x ε [ a , b ] esigual a:
}dx](x)g(x)f [ cx2π{V b
a u³
OBSERVACIÓN:
1. Se presentan dos posibilidades
a ≤ x ≤ b ≤ c => xccx
c ≤ a ≤ x ≤ b => cxcx
TEOREMA III: El volumen del sólido de revolución
obtenido al girar la región limitada por las gráficas de las
funciones x = f(y) , x = g (y) desde y = a hasta y = b
alrededor de la recta y = c , f (y) ≥ g (y) , y ε [ a , b ] es
igual a:
}dy](y)g(y)f [ cy2π{V b
a u³
OBSERVACIÓN:
1. Se presentan dos posibilidades
a ≤ y ≤ b ≤ c => yccy
c ≤ a ≤ y ≤ b => cycy
PROBLEMAS
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la
región Ω alrededor de la recta L donde:
L: Eje y , Ω: Es la región que se encuentra al lado derecho del
eje y y limitada por x = 0 ,222
x4y)x4(
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Ec. de la curva
222x4y)x4(
2
22
x4
x4y
2
2
x4
x4 y
=>
2
2
1x4
x4y
v
2
2
2x4
x4 y
0x4
x42
2
=> 0x4
2 => 04x
2
0)2x()2x( => x ε [ – 2 , 2 ]
2
0 dx](x)g(x)f [x2πV
2
0 2
22
0 2
2
2
2
dx
x4
x4 x4πdx]
x4
x4
x4
x4 [x2πV
2
0 4
32
0 4
2
dx
x16
x4x 4πdx
x16
)x4(x4πV
2
0 4
32
0 4 dx
x16
x4 πdx
x16
2x 8πV …(1)
2
0 22
2
0 4 dx)x(16
2x dx
x16
2x
x
y
22
1
1
2
2
x4
x4(x)f
2
2
x4
x4 (x)g
0
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Hacemos: u = x2
du = 2x dx
x = 0 => u = 0
x = 2 => u = 4
4
0 2
2
0 4 u16
du dx
x16
2x
Hacemos: u = 4 sen θ
du = 4 cos θ dθ
u = 0 => θ = 0
u = 4 => θ = π/2
2/π
0 2
2
0 4 dθ
θsen1616
θcos4 dx
x16
2x
2/π
0
2/π
0 2
2
0 4 dθdθ
θsen1
θcos dx
x16
2x
2
π02
πdx
x16
2x
2
0 4 …(2)
2
0 4
3
dx
x16
x4
Hacemos: u = 16 – x4
du = – 4x3 dx
x = 0 => u = 16x = 2 => u = 0
16
0
0
16
2
0 4
3
u
du
u
du dx
x16
4x
802162u2dx
x16
4x
16
0
2
0 4
3
…(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
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)8π4π(8)(π)2
π(8πV
2 u³
2. La curva 32x)x2a(y gira alrededor de su asintota
vertical. Hallar el volumen del sólido generado.Ec. de la curva
32x)x2a(y , a > 0
x2a
xy
32
x2a
x y
3
=> x2a
xy
3
1 v x2a
x y
3
2
0x2a
x3
=> 02ax
x3
Puntos críticos:
x = 0 y x = 2a
Df : x ε [ 0 , 2a >
x
y 2ax
x2a
x(x)f
3
0
x2a
x (x)g
3
0 2a
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2/π
0
33
dθ)2θcos
2
4θcos12θ cos1(π8aV
2/π
0
23
dθ)2θcos2θsen4θcos
2
1
2
1 (π8aV
2/π
0
33)2θsen
6
14θsen
8
1θ
2
1 ( π8aV
]0sen6
1
0sen8
1(0)
2
1πsen
6
12πsen
8
1)
2
π(
2
1 [ π8aV
3
33
233 π2a)
4
π ( π8aV u³
9.3. VOLUMEN DE UN SÓLIDO QUE TIENE SECCIONES PLANAS
PARALELAS CONOCIDAS
INTRODUCCIÓN: Anteriormente hemos estudiado como encontrar un
volumen de un sólido de revolución para el cual todas las secciones planas
perpendiculares al eje de revolución son circulares (Disco y Anillo).Ahora generalizamos este método para hallar el volumen de un sólido para
el cual es posible expresar el área de cualquier sección plana no circular
perpendicular a una recta fija en términos de la distancia perpendicular de
la sección plana desde un punto fijo.
DEFINICIÓN: Sea Ω una región del plano x , y , z que se encuentra
entre dos planos perpendiculares al Eje x , x = a , x = b entonces elvolumen del sólido S se define como:
b
a dx(x)AV(S)
Donde:
A (x) = Área de la sección plana de S trazada perpendicularmente
al Eje x en el punto x. A (x) es continua en el intervalo[ a , b ]
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INTERPRETACIÓN GEOMETRICA: Si el área de la base de un
cilindro recto es “A” y su altura es “h” entonces el volumen va a estar
dado por:
V = A h
El i-esimo cilindro recto tiene área A ( i
_ x ) y altura ix entonces:
iV = A ( i
_ x ) ix
Una aproximación al volumen de S será:
n
1iii
n
1ii xΔ)
_
x(AVΔ
Si la norma de la partición tiende a cero entonces:
b
a dx(x)AxΔ)
_ x(ALimVΔ LimV
n
1iii
0 P
n
1ii
0 P
NOTA: Las definiciones del anillo y disco son casos especiales de esta
definición.
OBSERVACIÓN:1. El volumen de un sólido S del espacio comprendido entre dos planos
perpendiculares al Eje y , y = c , y = d se define como:
d
c dy(y)AV
Donde:
A (y) = Área de la sección plana de S trazada Perpendicularmente alEje y en el punto y.
a b
A(x)
i
_ x
x
y
dx
z
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PROBLEMAS
1. La base de un sólido S es la región limitada por:
ξ: 1
b
y
a
x2
2
2
2
Halle el volumen de S si todas las secciones transversales
perpendiculares al Eje x son triángulos equilateros.
Del triángulo equilatero:222
)2y(yh
2224yyh
223yh => y3h
Área del triángulo equilatero:
2y3
2
)y3()2y(
2
h bA(x) …(1)
1 b
y
a
x2
2
2
2
=> )xa(a
by
22
2
22
…(2)
Reemplazando (2) en (1):
])xa(
a
b [3A(x)
22
2
2
x
ya
a
b
b
z
y
y
h 2y
h 2y2y
yy
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a
a
a
adx)xa(
a
b3dx(x)AV
22
2
2
a a
0
32
2
2
0
22
2
2
)x3
1 xa(
a
b32dx)xa(
a
b32V
])0(3
1)0(a)a(
3
1)a(a[
a
b32V
3232
2
2
3
ba34)a
3
2 (
a
b32)a
3
1a(
a
b32V
23
2
233
2
2
u³
2. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y2 y
x = 3 – 2y
2
. Hallar el volumen del sólido si las secciones planas perpendiculares al Eje x son cuadrados
Ec. de la parábola 1:
x = y2
Vértice
V = ( h , k ) = ( 0 , 0 )
4p = 1 => p = 1/4 ( La parabola se abre hacia la derecha )
Ec. de la parábola 2:
x = 3 – 2y2
2y)3x(
2
1
Vértice
V = ( h , k ) = ( 3 , 0 )
4p = – 1/2 => p = – 1/8 ( La parabola se abre hacia la izquierda )
Interceptos con los ejes
Para x = 0
2y)30(
2
1
2
y2
3
=> 2
6y v 2
6y
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Intersección entre las parábolas
2yx …(1)
2y)3x(
2
1 …(2)
(1) = (2):
)3x(2
1x
3x2x
33x => x = 1
En (1):2
y1 => y = – 1 v y = 1
Entonces los puntos de intersección serán:
A ( 1 , – 1 )
B ( 1 , 1 )
x
y
z
3
)1,1(B
)1,1(A
(x)A2
(x)A1
xy1
2
x3y3
xy2
2
x3
y4
0
1y2y
y y
zz
3y4y
(x)A1 (x)A21L 2L
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Área del cuadrado A1 (x):
211 yyL
x2)x(xL1
4x)x2(L(x)A22
11
Área del cuadrado A2 (x):
432 yyL
2
x3 2)
2
x3 (
2
x3L2
x26)x3(2)2
x32(L(x)A
22
22
Luego:
3
1
1
0
3
1 2
1
0 1 dx)2x6(dx4xdx(x)Adx(x)AV
3
1
21
0
2)x6x(2xV
])1()1(6)3()3(6[)0(2)1(2V2222
6169182V u³
CAPITULO III
COORDENADAS POLARES
1. INTRODUCCIÓN
En el sistema de coordenadas cartesianas; las coordenadas ( x , y ) son
números llamados la abscisa y la ordenada los cuales son las distancias
dirigidas desde dos rectas fijas. En el Sistema de Coordenadas Polar es las
coordenadas ( r , θ ) son respectivamente la distancia y la medida de un
ángulo respecto a un punto fijo y aun rayo fijo.
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2. POSICIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POLARES
Un punto P ε R² se representa en un sistema de coordenadas polares como:
P ( r , θ )
Donde:r = Es la longitud del segmento OP
θ = Es la medida en radianes del ángulo cuyo inicial es el
segmento OA y el lado terminal contiene al segmento OP
O = Es llamado Polo u origen
OA = Eje polar
OA’ = Eje θ
OBSERVACIÓN:
1. Para asociar las coordenadas polares a un punto es necesario tener en
cuenta lo siguiente:
Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido
Antihorario θ es positivo y negativo en caso contrario.
Si r > 0 entonces el punto P esta situado en el Eje θ.Ejemplo: P ( 3 , π/4 )
y
x
A'
AO
r
θ
)θ,r(P
4/πθ
)4/π,3(P
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Si r < 0 entonces P esta situado en la prolongación del Eje θ.
Ejemplo: P ( – 3 , π/4 )
Si r = 0 entonces P es el Origen o Polo es decir: O = ( 0 , θ ) ,
θ ε R
PROBLEMAS
1. Localizar los puntos A ( 4 , π/6 ) , B ( – 3 , – 3π /4 ) , C ( 1 , π ) ,
D ( – 1.5 , π/3 ) , E ( 3 , 13π/4 ).
Para ubicar estos puntos con mayor facilidad haremos una Roseta
Polar donde cada circunferencia tiene valor constante de r unidades
y cada semirrecta un valor constante de θ
)θ,0(P
4/πθ
)4/π,3(P
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NOTA:
Las coordenadas polares de un punto dado no son únicas de modo
que infinitos pares ( r , θ ) pueden representar el mismo punto en el
plano esto nos indica que no existe una correspondencia uno a uno
entre las coordenadas polares y la posición de los puntos en el plano
si las coordenadas polares de P son ( r , θ ) también son coordenadas
polares de P los pares: ( ( – 1 )n r , θ + nπ ) , n e Z. Ejemplos:
P ( 3 , π/4 ) , r = 3 , θ = π/4
n = 1 => P ( – 3 , 5π/4 )
n = 2 => P ( 3 , 9π/4 )
n = – 1 => P ( – 3 , – 3π/4 )
n = – 2 => P ( 3 , – 7π/4 )
Esto no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas debido a que
existe una correspondencia biunivoca entre las coordenadas
cartesianas y las posiciones de los puntos en el plano para establecer
la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las
coordenadas polares se debe considerar los valores principales r ≥ 0
y 0 ≤ θ ≤ 2π
0
6/π
4/π
3/π
2/π3/2π
4/3π
6/5π
π
2/3π
6/7π 6/11π
4/5π 4/7π
3/4π 3/5π
A
B
C
DE
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3. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN
Es importante saber como transformar coordenadas y ecuaciones dadas en
forma cartesiana a la forma polar y viceversa para ello consideremos el
sistema de coordenadas rectangulares x o y. Si P es un punto del planocuyas coordenadas rectangulares y polares son ( x , y ) y ( r , θ )
respectivamente.
El cambio de Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Polares se
efectua considerando las relaciones:
x = r cos θ
y = r sen θ
El cambio de Coordenadas Polares a Coordenadas Rectangulares se
efectúa a través de las relaciones:
222yxr => r = 22
yx
Tg θ = y / x => θ = arc tg ( y / x )
OBSERVACIÓN:
1.
Estas fórmulas son validas aún si r es negativoPROBLEMAS
1. Graficar cada punto dado en coordenadas polares y hallar sus
coordenadas rectangulares
a) P ( 4 , π/3 )
b) Q ( – 3 , – π/6 )
Hallamos las coordenadas rectangularesa) P ( 4 , π/3 ) = ( r , θ )
x = r cos θ => x = 4 cos π/3 = 4 ( 1/2 ) = 2
y = r sen θ => y = 4 sen π/3 = 4 32)/23(
b) Q ( – 3 , – π/6 ) = ( r , θ )
x = r cos θ => x = – 3 cos ( – π/6 ) = – 32
33)/23(
y = r sen θ => y = – 3 sen ( – π/6 ) = – 3 ( – 1/2 ) = 3/2
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Gráfica de los puntos
2. Hallar todas las coordenadas polares posibles ( r , θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π de
cada uno de los puntos cuyas coordenadas cartesianas se dan
)1,3( ; ( 0 , – 3 ) ; ( – 6 , 0 ) ; ( – 3 , – 3 ) ; )32,2(
Hallamos las coordenadas polares
)1,3( = ( x , y )
r = 22yx => r = 2)1()3(
22
θ = arc tg ( y / x ) => θ =6
5π)
3
1 (tgarc
θ = 6
11π
, 6
5π
, 0 ≤ θ ≤ 2π
( r , θ ) = )6
11π ,2()
6
5π ,2(
( 0 , – 3 ) = ( x , y )
r = 22yx => r = 3)3()0(
22
3/π
6/π
)32,2()/3 π,4(P
)2
3 ,
2
33 ()/6π,3(Q
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θ = arc tg ( y / x ) => θ =2
3π)
0
3 (tgarc
θ =
2
3π ,
2
π , 0 ≤ θ ≤ 2π
( r , θ ) = )2
3π ,3()
2
π ,3(
( – 6 , 0 ) = ( x , y )
r = 22yx => r = 6)0()6(
22
θ = arc tg ( y / x ) => θ = 0)6
0 (tgarc
θ = π, 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π
( r , θ ) = )π,6()0,6(
( – 3 , – 3 ) = ( x , y )
r = 22yx => r = 23)3()3(
22
θ = arc tg ( y / x ) => θ =4
π)
3
3 (tgarc
θ =4
5π ,
4
π , 0 ≤ θ ≤ 2π
( r , θ ) = )4
5π ,23()4π ,23(
)32,2( = ( x , y )
r = 22yx => r = 4)32()2(
22
θ = arc tg ( y / x ) => θ =3π)
232 (tgarc
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θ =3
4π ,
3
π , 0 ≤ θ ≤ 2π
( r , θ ) = )
3
4π ,4()
3
π ,4(
4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORD. POLARES
DEFINICIÓN: La distancia entre los puntos A ( r 1 , θ1 ) ; B ( r 2 , θ2 )
esta dado por: )θθ( cosr r 2r r d 1221
2
2
2
1
5. ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA
DEFINICIÓN 1: La ecuación polar de una recta que pasa por el origen
es: θ = C , R r , C es una constante.
d
)θ,r (A 11
)θ,r (B22
1r
1θ
2r
2θ
Cθ
)θ,4()θ,3(
)θ,3(
)θ,4(
)θ,2(
)θ,2(
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DEFINICIÓN 2: La ecuación polar de una recta L que no pasa por elorigen es: r cos ( θ – β ) = p , p > 0
OBSERVACIONES:
1.
Si la recta es perpendicular al eje polar y esta a p unidades del polo, laecuación r cos ( θ – β ) = p , p > 0 se transforma en:
r cos θ = p , p > 0 , β = 0
El signo de p es positivo si la recta esta a la derecha del polo.
El signo de p es negativo si la recta esta a la izquierda del polo.
Ejemplo: Graficar r cos θ = 4 ; r cos θ = – 2
/4πθ
/4π
L
)θ,r(P
θ p
β
r
)β, p(Q
genérico Punto
paso de Punto
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6. ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA
La ecuación polar de una circunferencia con centro en C ( p , α ) y radio
a > 0 es: 222a)αθ(cos pr2 pr …(*)
OBSERVACIONES:
1. Si la circuenferencia pasa por el polo y su centro esta en el eje polar
(o en su prolongación) la ecuación (*) se reduce a
θcos p2r , α = 0
El centro de esta circunferencia es C ( p , O ) y el radio es | p |
2. Si la circunferencia pasa por el polo y su centro esta en el eje π/2
(o en su prolongación) la ecuación (*) se reduce a
θsen p2r , α = π/2
El centro de esta cir cunferencia es C ( p , π/2 ) y el radio es | p |
)α, p(C
)θ,r(P
r p
α
θ
a
)0, p(C
| p|
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3. Si el centro es el polo es decir p = 0 la ecuación (*) se transforma o
se reduce a
ar
Ejemplo: Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro en
C ( 1 , π/2 ) y radio 1
θsen p2r => θsen)1(2r => θsen2r
Ejemplo: Graficar 2r
)/2π, p(C
| p|
)/2π,1(C
1
a
ar
a
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7. DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR
E ( r , θ ) = 0
Para trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares
E ( r , θ ) = 0 es conveniente realizar los siguientes pasos:
7.1. INTERSECCIÓN
a) Con el Eje Polar (o su prolongación), θ = n π , n Z
b) Con el Eje π/2 (o su prolongación), θ = π/2 + n π , n Z
c)
Con el Polo r = 0
OBSERVACIÓN:
i. Al resolver la ecuación r = 0 se hallan las rectas tangentes en el
polo que son rectas que pasan por el origen cuya forma general es
θ = θk constantes.
7.2. SIMETRIAS
a) Con respecto al Eje Polar se reemplaza
( r , θ ) = ( ( – 1 )n r , – θ + n π ) , n Z
Si la ecuación no varia para algun valor de n la curva
presenta simetria.
Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica. b) Con respecto al Eje π/2 se reemplaza
2
2r
2r
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( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , – θ + n π ) , n Z
Si la ecuación no varia para algun valor de n la curva
presenta simetria.
Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica.c) Con respecto al Polo se reemplaza
( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , θ + n π ) , n Z
Si la ecuación no varia para algun valor de n la curva
presenta simetria.
Si la ecuación varía n Z la curva no es simetrica.
7.3. EXTENSIÓN
La extensión esta determinada por una constante M > 0 tal que
| r | ≤ M r , θ lo que representa el hecho que la gráfica esta
encerrada dentro de una circunferencia de radio M y centrada en el
origen.
7.4. TABULACIÓN
Se determinan los valores de la variable r correspondiente a los
valores asignados a θ.
7.5. TRAZADO DE LA GRÁFICA
En un sistema de coordenadas polares (es preferible usar la roseta
polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva.
Ejemplo: Gráficar r = 1 + sen 2θ
Interceptos
a) Con el Eje Polar, θ = n π , n Z
r = 1 + sen 2 ( nπ )
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- n es par
n = 0 => r = 1 + sen 0 = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , 0 )
- n es impar
n = 1 => r = 1 + sen π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , π ) b) Con el Eje π/2, θ = π/2 + n π , n Z
r = 1 + sen 2 ( π/2 + n π )
- n es par
n = 0 => r = 1 + sen π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , π/2 )
- n es impar
n = 1 => r = 1 + sen 3π = 1 => ( r , θ ) = ( 1 , 3π/2 )
c) Con el Polo, r = 0
r = 1 + sen 2θ
0 = 1 + sen 2θ
sen 2θ = – 1 => 2θ = 3π/2 v 2θ = 7π/2
Rectas tangentes al Polo
θ = 3π/4 v θ = 7π/4
Simetrias
a) Con el Eje Polar ( r , θ ) = ( ( – 1 )n r , – θ + n π )
( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( – θ + n π )
- n es par
n = 0 => r = 1 + sen 2 ( – θ ) = 1 – sen 2θ Varia
- n es impar
n = 1 => – r = 1 + sen 2 ( – θ + π ) => r = – 1 + sen 2θ
Varia
/ Simetria con el Eje Polar
b) Con el Eje π/2 ( r , θ ) = ( – ( – 1 )n r , – θ + n π )
– ( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( – θ + n π )
- n es par
n = 0 => – r = 1 + sen 2 ( – θ ) => r = – 1 + sen 2θ Varia
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- n es impar
n = 1 => r = 1 + sen 2 ( – θ + π ) = 1 – sen 2θ Varia
/ Simetria con el Eje π/2
c)
Con el Polo ( r , θ ) = ( – ( – 1 )n
r , θ + n π ) – ( – 1 )n r = 1 + sen 2 ( θ + n π )
- n es par
n = 0 => – r = 1 + sen 2θ => r = – 1 – sen 2θ Varia
- n es impar
n = 1 => r = 1 + sen 2 ( θ + π ) = 1 + sen 2θ No varia
Simetria con el Polo Extensión
r = 1 + sen 2θ
– 1 ≤ sen 2θ ≤ 1
1 – 1 ≤ sen 2θ ≤ 1 + 1
– 2 ≤ 0 ≤ 1 + sen 2θ ≤ 2 => | 1 + sen 2θ | ≤ 2
| r | ≤ 2 Circunferencia de radio 2 y centrada en el origen Tabulación
r = 1 + sen 2θ , 0 ≤ θ ≤ 2π
θ r
0 1
π/6 1.866
π/4 2
π/3 1.866π/2 1
2π/3 0.134
3π/4 0
7π/4 0
11π/6 0.1342π 1
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Trazo de la gráfica
8. ALGUNAS ECUACIONES POLARES DE INTERES
r cos θ = a => x = a Recta vertical
r sen θ = a => y = a Recta horizontal
Circunferencias
-
r = 2a cos θ
1 2
/6π
/4π
/3π/32π
/43π
/65π
/2π
π 0
/67π
/45π
/34π
/23π
/35π
/47π
/611π
/2π
π 0
/23π
aa
0a 0a
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- r = 2a sen θ
Cardioides ( a > 0 )
- r = a ( 1 ± sen θ )
- r = a ( 1 ± cos θ )
/2π
π 0
/23π
a
a
0a
0a
/2π
π 0
/23π
a
)θsen1(ar
2a
)θsen1(ar
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OBSERVACIONES:
1. Si el foco de una conica (parábola, elipse o hipérbola) esta en el polo
y la directriz de la conica es una recta perpendicular al eje polar que
esta a una distancia de 2p, p > 0 la ecuación de la conica esta dada
por:
θcose1
pe2r
e: Excentricidad de la conica
La conica es una elipse si la excentricidad se encuentra 0 < e < 1, es
una parábola si e = 1 y es una hipérbola si e > 1.
Si la directriz esta a la izquierda del polo entonces la ecuación de
la conica es:
θcose1
pe2r
/2π
π 0
/23π
a
)θcos1(ar
2a
)θcos1(ar
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Si la directriz esta a la derecha del polo la ecuación de la conica
es:
θcose1
pe2
r
2. Si el foco de una conica se mantiene en el polo y la directriz es
paralela al eje polar la ecuación de la conica esta dada por:
θsene1
pe2r
e: Excentricidad de la conica
Si la directriz esta debajo del eje polar entonces la ecuación de la
conica es:
θsene1
pe2r
Si la directriz esta sobre el eje polar entonces la ecuación de la
conica es:
θsene1
pe2r
e),P(d
)F,P(d
L θ
r
2p
)θ,r(P
FOx
yL
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Ejemplo:
1. Hallar la ecuación de la conica con foco en el polo excentricidad
e = 1/2 y directriz L al eje polar por el punto ( – 4 , 0 ).
θcose1 pe2r
e = 1/2
0 < 1/2 < 1 La conica es una elipse
2p = 4 => p = 2
θcos)1/2(1
)2()1/2(2r
2
θcos2
2r
=>
θcos2
4r
9. INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
PROPOSICIÓN: r = f ( θ ) es la ecuación de una curva en coordenadas
polares entonces )nπθ(f r )1(n
, n ϵ Z . . . (*) es tambien la
ecuación de dicha curva considerando esta proposición para hallar la
intersección de dos curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares
son: r = f ( θ ) y r = g ( θ ) se siguen los siguientes pasos:
Fx
yL
4
2p
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1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando
(*) a cada una de ellas.
)θ(f r , )θ(f r 1 , )θ(f r 2 , . . .
)θ(gr , )θ(gr 1 , )θ(gr 2 , . . .2. Se resuelven para las variables r y θ las ecuaciones simultáneas.
)θ(gr
)θ(f r ,
)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2 , . . .
3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en
cada ecuación para determinar si Ǝ solución para “θ” (no
necesariamente la misma)
OBSERVACIÓN
i) Para tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de
dos curvas es recomendable trazar sus graficos para simplificar el
trabajo.
Ejemplo:
1. Hallar los puntos de intersección de las siguientes gráficas
)θsen1(4r yθsen1
3r
)nπθ(f r )1(n
)θsen1(4r => ))nπθ(sen1(4r )1(n
n es par
n = 0 => )θsen1(4r )θ(f 1
n es impar
n = 1 => ))πθ(sen1(4r
=> )θsen1(4r )θ(f 2
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θsen1
3r
=>
)nπθ(sen1
3r )1(
n
n es par
n = 0 =>θsen1
3r
)θ(g1
n es impar
n = 1 =>)πθ(sen1
3r
=>θsen1
3r
)θ(g2
)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
θsen1
3r
)θsen1(4r
,
θsen1
3r
)θsen1(4r
θsen1
3)θsen1(4
4
3)θsen1()θsen1(
4
3θsen1
2
4
31θsen
2
4
1θsen
2 =>
2
1θsen
6
11π ,
6
7π ,
6
5π ,
6
πθ
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Si θ = π/6 => r = 4 ( 1 – sen π/6 ) = 2 => A( 2 , π/6 )
Si θ = 5π/6 => r = 4 ( 1 – sen 5π/6 ) = 2 => B( 2 , 5π/6 )
Si θ = 7π/6 => r = 4 ( 1 – sen 7π/6 ) = 6 => C( 6 , 7π/6 )
Si θ = 11π/6 => r = 4 ( 1 – sen 11π/6 ) = 6 => D( 6 , 11π/6 )
Verificar si el polo es un punto de intersección
El polo no es punto de intersección de las curvas ya que el foco de
la parábola esta en el polo.
2.
Hallar los puntos de intersección de las siguientes curvasi. r = a , r = 2a cos 2θ
)/6π,2(A)/6π5,2(B
)/6π7,6(C )/6π11,6(D
3
/2π
π 0
/23π
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Si θ = π/3 => r = 2a cos 2π/3 = – a => F( – a , π/3 )
Si θ = 2π/3 => r = 2a cos 4π/3 = – a => G( – a , 2π/3 )
Si θ = 5π/6 => r = 2a cos 5π/3 = a => D( a , 5π/6 )
Si θ = 7π/6 => r = 2a cos 7π/3 = a => E( a , 7π/6 ) Si θ = 4π/3 => r = 2a cos 8π/3 = – a => B( – a , 4π/3 )
Si θ = 5π/3 => r = 2a cos 10π/3 = – a => C( – a , 5π/3 )
Si θ = 11π/6 => r = 2a cos 11π/3 = a => H( a , 11π/6 )
Verificar si el polo es un punto de intersección
El polo no es punto de intersección de las dos curvas ya que el
centro de la circunferencia esta en el polo.
)/6π,a(A
a
/2π
π 0
/23π
2a
2a
2a
2a
a
a
a
)/3π4,a(B )/3π5,a(C
)/6π5,a(D
)/6π7,a(E
)/3π,a(F )/3π2,a(G
)/6π11,a(H
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ii. 3r = 4 cos θ ,θ cos1
1r
θ cos)3
2 (2r ,
θ cos1
)1/2()1(2r
)nπθ(f r )1(n
θ cos3
4r => )nπθ( cos
3
4r )1(
n
n es par
n = 0 => θ cos34r )θ(f 1
n es impar
n = 1 => )πθ( cos3
4r
=> θ cos3
4r )θ(f 2
θ cos1
1r
=>
)nπθ( cos1
1r )1(
n
n es par
n = 0 =>θ cos1
1r
)θ(g1
n es impar
n = 1 =>)πθ( cos1
1r
=>θ cos1
1r
)θ(g2
)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
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θ cos1
1r
θ cos3
4r
,
θ cos1
1r
θ cos3
4r
θ cos1
1θ cos
3
4
θ cos1
1θ cos
3
4
4
3)θ cos1(θ cos
4
3)θ cos1(θ cos
04
3θ cosθcos
2 04
3θ cosθcos
2
2
1θ cos
2
1θ cos
3
2π ,
3
πθ
Si θ = π/3 => r = 4/3 cos π/3 = 2/3 => A( 2/3 , π/3 )
Si θ = 2π/3 => r = 4/3 cos 2π/3 = – 2/3 => B( – 2/3 , 2π/3 )
Verificar si el polo es un punto de intersección
El polo no es punto de intersección de las dos curvas ya que el
foco de la parábola esta en el polo.
)/3π,2/3(A1
/2π
π 0
/23π
1
4/3
)/32π,2/3(B
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iii. 82θsenr 2
, 2θ cosr
8θ cos θsenr 22
4θ cos θsenr 2
4)θ cosr()θsenr(
θsen
2r ,
θ cos
2r
)nπθ(f r )1(n
θsen2r =>
)nπθ(sen2r )1( n
n es par
n = 0 =>θsen
2r )θ(f 1
n es impar
n = 1 => )πθ(sen2r
=>θsen
2r )θ(f 2
θ cos
2r =>
)nπθ( cos
2r )1(
n
n es par
n = 0 =>θ cos
2r )θ(g1
n es impar
n = 1 =>)πθ( cos
2r
=> θ cos
2
r )θ(g2
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)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
θ cos
2r
θsen2r
,
θ cos
2r
θsen2r
θ cos
2
θsen
2
1θ cos
θsen
1θtan
4
πθ
Si θ = π/4 => 22 /4sen π
2r => A( 22 , π/4 )
Verificar si el polo es un punto de intersección
El polo no es punto de intersección ya que la recta no pasa por
polo ( r cos θ = 2 ).
)/4π,22(A
/2π
π 0
/23π
22
2
22
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iv. r = a ( 1 + sen θ ) , r = a ( 1 – sen θ )
)nπθ(f r )1(
n
)θsen1(ar => ))nπθ(sen1(ar )1( n
n es par
n = 0 => )θsen1(ar )θ(f 1
n es impar
n = 1 => ))πθ(sen1(ar
=> )θsen1(ar )θ(f 2
)θsen1(ar => ))nπθ(sen1(ar )1(n
n es par
n = 0 => )θsen1(ar )θ(g1
n es impar
n = 1 => ))πθ(sen1(ar
=> )θsen1(ar )θ(g2
)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
)θsen1(ar
)θsen1(ar
,
)θsen1(ar
)θsen1(ar
)θsen1(a)θsen1(a
θsen1θsen1
0θsen1θsen1
0θsen
π, 0θ
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Si θ = 0 => r = a ( 1 + sen 0 ) = a => A( a , 0 )
Si θ = π => r = a ( 1 + sen π ) = a => B( a , π )
Verificar si el polo es un punto de intersección
Si r = 0 => 0 = a ( 1 – sen θ ) => sen θ = 1 => θ = π/2
C ( 0 , π/2 ) punto de intersección de las curvas en el polo.
v. r = 2 + cos 2θ , r = 2 + sen θ
)nπθ(f r )1(n
2θ cos2r => )nπθ2( cos2r )1(n
n es par
n = 0 => 2θ cos2r )θ(f 1
n es imparn = 1 => )πθ2( cos2r
/2π
π 0
/23π
2a
)0,a(A)π,a(B
)/2π,0(C
a
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=> 2θ cos2r )θ(f 2
θsen2r => )nπθ(sen2r )1(n
n es par
n = 0 => θsen2r )θ(g1
n es impar
n = 1 => )πθ(sen2r
=> θsen2r )θ(g2
)θ(gr
)θ(f r
1
1
,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
θsen2r
2θ cos2r ,
θsen2r
2θ cos2r
θsen22θ cos2
02θ cosθsen
0θsenθcosθsen22
01θsenθsenθcos122
01θsenθsen22
02
1θsen2
1θsen2
0169)
41θsen(
2
16
9)
4
1θsen(2
4
3
4
1θsen
4
1
4
3
θsen
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2
1θsen 1θsen
2
3π ,
6
5π ,
6
πθ
Si θ = π/6 => r = 2 + cos π/3 = 5/2 => A( 5/2 , π/6 )
Si θ = 5π/6 => r = 2 + cos 5π/3 = 5/2 => B( 5/2 , 5π/6 )
Si θ = 3π/2 => r = 2 + cos 3π = 1 => C( 1 , 3π/2 )
Verificar si el polo es un punto de intersección
El polo no es punto de intersección de las dos curvas.
)/6π,5/2(A
3
/2π
π 0
/23π
1
3
)/6π5,5/2(B
)/2π3,1(C
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 182/360
vi. r = 3 + cos 4θ , r = 2 – cos 4θ
vii. r = 2 ( 1 – cos θ ) ,θ cos1
1r
viii.
1θcos3
θsen2r 2 , θsen7
8r
10. AREAS DE REGIONES PLANAS EN COORDENADAS POLARES
DEFINICION: Si r = f ( θ ) es una función continua y no negativa
sobre α ≤ θ ≤ β el área A de la región limitada por la grafica de la
ecuación polar r = f ( θ ) y los rayos θ = α , θ = β viene a ser:
β
α
2βθ
αθ
2 dθr 2
1dθ])θ(f [
2
1 A
Donde:
α y β varian en el intervalo [ 0 , 2π > ó [ – π , π > según sea más
conveniente.
/2π
π 0
/23π
βθ
αθ A
)θ(f r
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http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 183/360
Ejemplo:
1. Encontrar el área de la región limitada por la curva r = 1 + sen 2θ
θ ϵ [ α , β ] => θ ϵ [ – π/4 , 3π/4 ]
β
α
21 dθr
2
1A
1A2A
/43π
/4π
2 dθ)2θsen1(
2
1 . 2A
/43π
/4π
2 dθ)2θsen2θsen21( A
/43π
/4π
/43π
/4π
/43π
/4π dθ)
2
4θ cos1 ( dθ 2θsen2dθ A
/43π
/4π
/43π
/4π
/43π
/4π
/43π
/4π4θsen
8
1
2
θ2θ cosθA
)π(sen8
1)3π(sen
8
1
8
π
8
3π)
2
π ( cos)
2
3π ( cos
4
π
4
3πA
2
/2π
π 0
/23π
1
/4π
/43π
1A
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 184/360
8
1
8
1
8
π
8
3π
4
π
4
3πA
2u
2
3πA
2. Encontrar el área de la región limitada por r 2 = 2a2 cos 2 (θ/2) (Doble
cardiode).
θ ϵ [ α , β ] => θ ϵ [ 0 , π/2 ]
β
α
21 dθr
2
1A
1A4A
/2π
0 22 dθ ])θ/2(cos2a[
2
1 . 4A
/2π
π 0
/23π
2a
a
1A
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http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 185/360
/2π
0
2/2π
0
2dθ )θ cos1( 2adθ
2
θ cos1 4aA
/2π
0
2/2π
0
2θsen2aθ2aA
)0sen2
πsen(2a)0
2
π (2aA
22
2222u a)2π(2aaπA
OBSERVACION:
Para calcular el área A de la región encerrada por las graficas de dos
ecuaciones polares r = f ( θ ) y r = g ( θ ) y por los rayos θ = α , θ = β.
Donde α < β en el dominio [ 0 , 2π > ó en el dominio [ – π , π > y donde
0 ≤ g ( θ ) ≤ f ( θ )
Primero se calcula el área correspondiente a r = f ( θ ) y luego se le
resta el área correspondiente a la ecuación r = g ( θ ) es decir:
βθ
αθ22 dθ }])θ(g[])θ(f [{
21 A
/2π
π 0
/23π
βθ
αθ A
)θ(f r
)θ(gr
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 186/360
Ejemplo:
1. Dadas las curvas r = 2 cos 2θ , r = 1
a) Hallar el área de la región dentro de y fuera de
b)
Hallar el área de la región fuera de
y dentro de
c) Hallar el área de la región interior a ambas y
)nπθ(f r )1(
n
2θ cos2r => )nπθ2( cos2r )1(n
n es parn = 0 => 2θ cos2r )θ(f 1
n es impar
n = 1 => )πθ2( cos2r
=> 2θ cos2r )θ(f 2
/2sen πr => )nπ/2π(senr )1(
n
2
/2π
π 01A
)/6π,1(A
/23π
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 187/360
n es par
n = 0 => 1r )θ(g1
n es impar
n = 1 => )π/2π(senr
=> 1r )θ(g2
)θ(gr
)θ(f r
1
1 ,
)θ(gr
)θ(f r
2
2
1r
2θ
cos2r ,
1r
2θ
cos2r
12θ cos2 12θ cos2
2
12θ cos
2
12θ cos
6
11π ,
3
5π ,
3
4π ,
6
7π ,
6
5π ,
3
2π ,
3
π ,
6
πθ
Si θ = π/6 => r = 2 cos π/3 = 1 => A( 1 , π/6 )
a) Hallamos el área de la región dentro de y fuera de
1A8A
/6π
0
22 dθ ])1()2θ cos2([ 2
1 . 8A
/6π
0
2 dθ )12θcos4( 4A
/6π
0
/6π
0 dθ 4 dθ
2
4θ cos1 16A
6/π
0
6/π
0
6/π
0θ44θsen2θ8A
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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)06
π (4)0sen
3
2πsen(2)0
6
π (8A
3
2π
2
32
3
4πA
2u )3
3
2π (A
b) Hallamos el área de la región fuera de y dentro de
/4π
/6 π22 dθ ])2θ cos2()1([
2
1 . 8A
/4π
/6 π
2 dθ )2θcos41( 4A
/4π
/6 π
/4π
/6 πdθ
2
4θ cos1 16 dθ 4A
/4π
6/π
/4π
6/π
/4π
6/π 4θ
sen2θ
8θ
4A
)3
2πsensen π(2)
6
π
4
π (8)
6
π
4
π (4A
2
32
3
2π
3
πA
2u )
3
π3(A
c) Hallamos el área de la región interior a ambas y
/4π
/6 π
2/6π
0
2 dθ)2θ cos2( 2
1 . 8 dθ)1(
2
1 . 8A
/4π
/6 π
2/6π
0 dθ 2θcos4 4 dθ 4A
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/4π
/6 π
/6π
0 dθ
2
4θ cos1 16 dθ 4A
/4π
6/π
/4π
6/π
/6π
0 4θsen2θ8θ4A
)3
2πsensen π(2)
6
π
4
π (8)0
6
π (4A
2
32
3
2π
3
2πA
2u )3
3
4π (A
Ejercicios:
1. Hallar el área de la región limitada por las curvas
a) r = sen θ
1A2A
/2π
0
2 dθ θsen2
1 . 2A
/2π
0 dθ
2
2θ cos1 A
/2π
π 0
/23π
1/2
)/2π,1(
1A
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2/π
0
2/π
0 2θsen
4
1
2
θA
)0sensen π(4
1)0
2
π (
2
1A
2u
4
πA
b) θaer , θ = 0 , θ = π/2
a = 1
/2π
0
θa2/2π
0
θa2 dθ 2a e 4a
1dθ e
2
1A
| ee |4a
1| e |
4a
1A
0πa2/π
0
θa2
2 πa
u 4a
| 1e |A
/2π
π 0
/23π
A
)0,1(
πe
/2πe
πe
/23πe
2πe
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c) Dentro de r = sen θ y fuera de r = 1 – cos θ
/2π
0
22dθ ])θ cos1()θsen([
2
1A
/2π
0
22 dθ )θcosθ cos21θsen( 2
1A
/2π
0 2 dθ )θcos2θ cos2(
2
1
A
/2π
0
2/2π
0 dθ θcos dθ θ cos A
/2π
0
/2π
0 dθ
2
θ cos1 dθ θ cos A
22/π
0
2/π
0
2/π
0
u )4
π1(2θsen
4
1
2
θθsenA
A
/2π
π 0
/23π
2
1
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d) Dentro de r = a ( 1 + sen θ ) y fuera de r = a sen θ
21 A2A2A
/2π
0
221 dθ })θsena(])θsen1(a[{
2
1A
/2π
0
2222221 dθ )θsenaθsenaθsen2aa(
2
1A
/2π
0
221 dθ )θsen2aa(
2
1A
2/π
0
22/π
0
2
1 θ cosa2
θaA
22222
1 u )aa
4
π ()0 cos
2
π cos(a)0
2
π (
2
aA
/2π
π 0
/23π
2a
1Aa
2A
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http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 193/360
2π
/23π
22 dθ ])θsen1(a[
2
1A
2π
/23π
22222 dθ )θsenaθsen2aa(
2
1A
2π
/23π
2222 dθ ])
2
2θ cos1 (aθsen2aa[
2
1A
2π
2/3π
22π
2/3π
22π
2/3π
2
2 2θsen8
aθ cosa
4
θa3A
222
2 u )aa
8
π3 (A
Luego:
)aa8
π3 (2)aa
4
π (2A
2222
222222u a
4
π5a2a
4
π3a2a
2
πA
e) | θsen|r
/2π
π 0
/23π
1
1A
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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1A4A
/2π
0
2 dθ )| θsen|( 2
1 . 4A
/2π
0
/2π
0 dθ θsen2dθ | θsen| 2A
2/π
0 θ cos2A
)0 cos2
π cos(2A
2
u 2A
f) xyxyx 2222
Sabemos que:
θ cosrx
θsenry
θ cosr)θsenr()θ cosr()θsenr()θ cosr( 2222
θ cosrθsenr θcosr θsenr θcosr 22222222
θ cosr)θsenθcos(r )θsenθcos(r 222222
θ cosrr r 22
θ cosrr r 2
)θ cos1(rr 2
θ cos1r
r 2
θ cos1r (Cardioide)
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http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 195/360
1A2A
π
0
2 dθ )θ cos1( 2
1 . 2A
π
0
2 dθ )θcosθ cos21( A
π
0 dθ )
2
2θ cos1θ cos21( A
π
0 dθ )2θ cos
2
1θ cos2
2
3 ( A
π
0
π
0
π
02θsen
4
1θsen2θ
2
3A
)0sen2πsen(4
1)0sensen π(2)0π(
2
3A
2u
2
3πA
/2π
π 0
/23π
2
1
1A
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 196/360
g) )yx(xy4a)yx(222322
, a > 0
h) 2244yxyx
i) θer , 0 ≤ θ ≤ π , θ
er , 2π ≤ θ ≤ 3π y los rayos θ = 0 y
θ = π
j) Dentro r = 2 + cos 2θ y fuera de r = 2 + sen θ
11. VOLUMEN DE REVOLUCION EN COORDENADAS POLARES
DEFINICION 1: El volumen del solido generado al rotar la región plana
limitada por la grafica polar de r = f ( θ ) , entre los rayos θ = α y θ = βalrededor del eje x, donde 0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π , es igual a:
β
α
3βθ
αθ
3 dθ θsenr 3
2πdθ θsen])θ(f [
3
2πV
DEFINICION 2: El volumen del solido generado al rotar la región plana
limitada por la grafica polar de r = f ( θ ) , entre los rayos θ = α y θ = β
alrededor del eje y, donde – π/2 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π/2 , es igual a:
β
α
3βθ
αθ
3 dθ θ cos r 3
2πdθ θ cos ])θ(f [
3
2πV
NOTA: En cualquiera de las dos formulas previas se debe tener cuidado
de que no haya superposición de volúmenes.
Ejemplo:
1. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la cardioide
r = a ( 1 + cos θ ) , θ ϵ [ 0 , 2π ] , a > 0 alrededor del eje x
π
0
3 dθ θsen])θ cos1(a[ 3
2πV
π
0
33dθ θsen)θ cos1( a
3
2πV
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3π
0
43a
3
8π)θ cos1(a
6
πV
2. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la lemniscata
( x² + y² )² = a² ( x² – y² ) , a > 0 , alrededor de:
i. El eje x
ii. El eje y
Pasando a coordenadas polaresx = r cos θ
y = r sen θ
( r² cos ² θ + r² sen ² θ )² = a² ( r² cos ² θ – r² sen ² θ )
r 4 = r² a² cos 2θ
r² = a² cos 2θ
2θ cosar
/2π
π 0
/23π
2a
a
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i. El eje x
] dθ θsen)2θ cosa( 3
2π [ 2V
/4π
0
3
/4π
0
3/23dθ θsen)2θ cos( a
3
4πV
/4π
0
3/223dθ θsen)1θcos2( a
3
4πV
Hacemos:
u sec 2
1θ cos
duuu tansec 2
1dθ θsen
0θ =>4
πu
4
πθ => 0u
a
/2π
π 0
/23π
/4π
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0
/4π
3/223duuu tansec )1usec( a
23
4πV
/4π
0
3/223duuu tansec )utan( a
23
4πV
/4π
0
43duusecutana
23
4πV
/4π
0
223duusec )utan( a
23
4πV
/4π
0
223duusec )1usec( a
23
4πV
/4π
0
243duusec )1usec 2usec( a
23
4πV
/4π
0
353du )usecusec 2usec( a
23
4πV
/4π
0
33
)uu tg sec8
5
u u tgsec4
1
|utgu sec |Ln8
3
( a23
4π
V
]3
2)12(Ln2[ a
4
πV
3
ii. El eje y
] dθ θ cos )2θ cosa( 3
2π
[ 2V
/4π
0
3
/4π
0
3/23dθ θ cos )2θ cos( a
3
4πV
/4π
0
3/223dθ θ cos )θsen21( a
3
4πV
Hacemos:
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 200/360
usen2
1θsen
duucos
2
1dθ θ cos
0θ => 0u
4
πθ =>
2
πu
/2π
0
3/223duucos )usen1( a
23
4πV
/2π
0
3/223duucos )ucos( a
23
4πV
/2π
0
43duucos a
23
4πV
/2π
0
23du )
2
2u cos1 ( a
23
4πV
32/2π
0
3a
24
π)4usen
4
12usen23u ( a
26
πV
CAPITULO IV
CURVAS PARAMETRICAS
DEFINICION 1: Una Curva Parametrica
] t, t[ t, )t(yy
)t(xx
10
C
Es una curva cerrada si la particula regresa al mismo punto de donde partio es decir
si las coordenadas del punto final y el punto inicial coinciden:
))t(y, )t(x())t(y, )t(x(1100
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Ejemplo:
1. ] π, 0[ t, 2t cosy
2tsenx
C
Para t = 0 => ( x , y ) = ( 0 , 1 )
Para t = π/4 => ( x , y ) = ( 1 , 0 )
Para t = π/2 => ( x , y ) = ( 0 , – 1 )
Para t = 3π/4 => ( x , y ) = ( – 1 , 0 )
Para t = π => ( x , y ) = ( 0 , 1 )
2tsenx22
2tcosy22
2tsen2tcosyx2222
1yx22
Es una curva cerrada pues ))π(y, )π(x())0(y, )0(x( => ( 0 , 1 ) = ( 0, 1 )
/4πt
0t
/2πt
y
1
x /4π3t
11
1
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DEFINICION 2: Un punto multiple de una curva paramétrica es un punto que
es alcanzado en dos instantes diferentes t1 y t2 sobre la curva es decir si es que
sus coordenadas coinciden para estos dos valores del parámetro t.
))t(y, )t(x())t(y, )t(x( 2211
AREAS LIMITADAS POR CURVAS PARAMETRICAS CERRADAS
Presentaremos tres formulas para hallar el área “A” limitada por una curva
paramétrica cerrada C seccionalmente diferenciable.
Si la orientación de la curva cerrada C
)t(yy
)t(xxC
que encierra al área “A” esta orientada en sentido antihorario entonces
βt
αtdt )t(' x)t(yA . . . ( 1 )
βt
αt
dt )t('y)t( xA . . . ( 2 )
βt
αtdt ])t(' x)t(y)t('y)t(x[
2
1A . . . ( 3 )
Donde el punto ( x ( α ) , y ( α ) ) = ( x ( β ) , y ( β ) ) coinciden con el punto
inicial y el punto final de la trayectoria de una particula sobre tal cura cerrada.
OBSERVACIONES:
i. La formula ( 3 ) se puede expresar como
β
α dt
)t('y)t('x
)t(y)t(x
2
1A
ii. Si una curva C estuviese orientada en sentido horario entonces a cualquiera
de las tres formulas se les debe cambiar de signo para que sean validas.
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Ejemplos:
1. Hallar el área “A” de la región encerrada por el lazo de la curva
2
3
tt)t(y
tt)t(xC
para que la curva sea cerrada debemos hallar un punto multiple
))t(y, )t(x())t(y, )t(x( 2211
=> )t(x)t(x 21 , )t(y)t(y 21
222
211
2
3
21
3
1
tttt
tttt
21
2
221
2
12121
3
2
3
1 tt)tttt()tt( tttt
)tt()tt()tt( tttt 21212112
2
2
2
1
1tttt2
221
2
1 . . . ( * )
1t t 1tt 2121 . . . ( ** )
Sustituyendo ( ** ) en ( * ) tenemos:
1tt)1t()1t(2
222
2
2
1ttt1t2t2
22
2
22
2
2
0tt 2
2
2
0t)1t( 22
1t2 => 0t1
0t2 => 1t1
, t,
tt)t(y
tt)t(x
2
3
C
))0(y, )0(x())1(y, )1(x( => )0 , 0()0 , 0(
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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En t ϵ [ – 2 , 2 ]
Para t = – 2 => ( – 6 , 2 )
Para t = – 1 => ( 0 , 0 )
Para t = – 1/2 => ( 0.375 , – 0.25 )
Para t = 0 => ( 0 , 0 )
Para t = 1 => ( 0 , 2 )
Para t = 2 => ( 6 , 6 )
Aplicando la formula ( 1 )
horarioSentido dt )t(' x)t(yAβt
αt
0
1
22 dt ])13t()tt([ A
0
1
234 dt )tt3t3t( A
0
1
2345)t
2
1t
3
1t
4
3t
5
3 (A
2u
60
1
2
1
3
1
4
3
5
3A
2t
y
x1t
0t
2/1t
1t
2t
horarioSentido
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Aplicando la formula ( 2 )
horarioSentido dt )t('y)t( xAβt
αt
0
1
3
dt ])t21()tt([ A
0
1
234 dt )tt2t2t( A
0
1
2345)t
2
1t
3
2t
4
1t
5
2 (A
2u
60
1
2
1
3
2
4
1
5
2A
Aplicando la formula ( 3 )
horarioSentido dt ])t(' x)t(y)t('y)t(x[ 2
1A
βt
αt
0
1
223 dt ])13t()tt()t21()tt([
2
1A
0
1
234 dt )tt2t( 2
1A
0
1
345)t
6
1t
3
1t
10
1 (A
6
1
4
1
10
1A
2u
60
1A
2. Hallar el área de la región encerrada por la cardioide
)Cardioide(
2tsenasen t2a)t(y
2tcosatcos2a)t(xC
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Para t = 0 => ( a , 0 )
Para t = π/2 => ( a , 2a )
Para t = 3π/4 => ( 2a , a2a )
Para t = π => ( – 3a , 0 )
Para t = 5π/4 => ( 2a , a2a )
Para t = 3π/2 => ( a , – 2a )
Para t = 2π => ( a , 0 )
1A2A
Aplicando la formula ( 1 )
oantihorariSentido dt )t(' x)t(y2Aβt
αt
π
0 dt ])2tsena2sen t2a()2tsenasen t2a([ 2A
a
y
xπt
3a
1A
0t
/2πt
/2π3t
/4π3t
/4π5t
π2t
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2. Hallar el área de la región limitada por la curva
a) 2t1
2at)t(x
,
t1
tπ)t(y
, t ϵ [ 0 , + ∞ > y el eje y.
b) 2t1
2at)t(r
,t1
tπ)t(θ
VOLUMENES DE REVOLUCION GENERADOS POR CURVAS
PARAMETRICAS CERRADAS
Cuando una región plana esta encerrada por una curva definida por las
ecuaciones paramétricas
)t(yy
)t(xxC
Donde: dt )t('xdx
Entonces para calcular el volumen del solido de revolución generado al rotar la
región plana, alrededor de alguna recta L, utilizaremos alguna de las formulas
hasta aquí estudiadas, adaptándolas al problema en cuestión mediante secciones
transversales circulares, en general.
Ejemplos:
1. Calcular el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región
encerrada por la curva
]2π , 0[ t, ) tcos1(a)t(y
)sen tt(a)t(x
C , a > 0 y el eje x, alrededor
a) Del eje x
b) Del eje y
c) De la recta x = πa
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a)
Alrededor del eje x
a2πx
0x
2 dx y πV
2πt
0t
2 dt )t(' x])t(y[ πV
) tcos1(a)t('x
2π
0 2 dt ) tcos1(a ]) tcos1(a[ πV
2π
0
33dt ) tcos1( aπV
2π
0
323dt )tcostcos3 tcos31( aπV
2π
0
23dt ] tcos )tsen1()2tcos1(
2
3 tcos31[ aπV
2π
0
23dt ] tcostsen2t cos
2
3 tcos4
2
5 [ aπV
π2
0
33)tsen
3
12tsen
4
3sen t4t
2
5 ( aπV
)2πsen
3
14πsen
4
32πsen45π( aπV
33
32aπ5V
y
xa2πaπ0
0t
πt
π2t
aπx
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b) Alrededor del eje y
a2πx
0xdxyxπ2V
2πt
0t dt )t(' x)t(y)t( xπ2V
) tcos1(a)t('x
2π
0 dt ) tcos1(a ) tcos1(a )sen tt(a π2V
2π
0
23
dt ) tcos1( )sen tt( aπ2V
2π
0
23dt )tcos tcos21( )sen tt( aπ2V
33aπ6V
c) Alrededor de la recta x = πa
aπx
0xdxy| aπ x| π2V
πt
0tdt )t(' x)t(y])t(xaπ[ π2V
) tcos1(a)t('x
πt
0tdt ) tcos1(a ) tcos1(a ])sen tt(aaπ[ π2V
πt
0t
23dt ) tcos1( )sen ttπ( aπ2V
πt
0t
23dt )tcos tcos21( )sen ttπ( aπ2V
32
aπ6
)16π9(
V
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CAPITULO V
OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
10.
LONGITUD DE ARCOTEOREMA: Si f y f ’ son continuas en el intervalo [ a , b ] entonces la
longitud de arco de la curva y = f ( x ) del punto ( a , f ( a ) ) al punto
( b , f ( b ) ) esta dada por:
b
a
2 b
a
2 dx ]dx
dy [1 dx ])x('f [1 L
La porción de la curva desde el punto A hasta el punto B se llama un arco.
OBSERVACIONES:
i. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c ,
y = d donde g es una función con derivada continua en el intervalo [ c , d ]
esta dada por:
d
c
2d
c
2
dy ]dy
dx
[1 dy ])y('g[1 L
ba
y
x
)) b(f , b(B)x(f y
))a(f ,a(A
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ii. Si la ecuación de la curva viene dada paramétricamente mediante un par de
funciones con derivadas continuas esto es:
]β , α[ t,
)t(yy
)t(xx
C
Entonces la longitud de la curva C es:
22 dt ])t('y[])t('x[ L
iii. Si una curva C esta definida por la ecuación polar r = f ( θ ) donde f es
continua y tiene derivada continua sobre α ≤ θ ≤ β entonces la curva puede
ser representada por dos ecuaciones paramétricas con parámetro t = θ esdecir:
]β , α[θ , θsenr)θ(y
θ cosr)θ(x
C
Aplicando la formula de longitud de arco de una curva dada la ecuación
paramétrica se obtiene que la longitud de arco de esta ecuación polar
r = f ( θ ) desde θ = α hasta θ = β esta dada:
β
α
22 dθ ])θ('r[])θ(r[ L
Ejemplo:
1. Determinar la longitud del arco de curva descrito por:
]e , 1[ y,yLn21
4yx
2
e
1
2 dy ]dy
dx [1 L
2y
1
2
y
dy
dx
e
1 2
2e
1
2 dy 4y
1
2
1
4
y1 dy ]
2y
1
2
y [1 L
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e
1
2e
1 2
2
dy ]2y
1
2
y [ dy
4y
1
2
1
4
y L
e
1
dy )
2y
1
2
y ( L
4
1e)yLn
2
1
4
y (
2e
1
2
L
2. Hallar la longitud total de la circunferencia
222ayx
Parametrizando
]2π , 0[ t, sen t a)t(y
tcos a)t(x
C
/2πt
0 t
22 dt ])t('y[])t('x[ 4 L
/2π
0
22 dt ) tcosa()sen ta( 4 L
/2π
0
2222 dt tcosatsena 4 L
0t
/2πt
/2π3t
y
a
xπt
aa
a
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/2π
0
222 dt )tcostsen(a 4 L
Sabemos que: 1tcostsen22
/2π
0
/2π
0
2 dt 4adt a 4 L
2aπt4a /2π
0 L
3. Calcular la longitud del arco de la curva )θ cos1(ar , a > 0
π
0
22 dθ ])θ('r[])θ(r[ 2 L
π
0
22 dθ ]θsena[])θ cos1(a[ 2 L
π
0
222222 dθ θsenaθcosaθ cosa2a 2 L
/2π
π 0
/23π
2a
a
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π
0
22222 dθ )θsenθcos(aθ cosa2a 2 L
Sabemos que: 1θsenθcos22
π
0
22π
0
222 dθ θ cosa22a 2dθ aθ cosa2a 2 L
π
0
π
0
2π
0 dθ
2
θ cos 4adθ
2
θ cos 4adθ
2
θ cos1 4a L
8a2
θsen8a
π
0 L
Ejercicios:
1. Determine la longitud del arco de la curva descrito por:
]1 , 0[ x, x3
1x)x(f
3/21/2
2. ]5 , 2[ x, 2x
1x
6
1)x(f
3
3. ]5 , 3[ x, )1xx(Ln2
11xx
2
1)x(f 22
4. ]1 , 0[ y, y4
3y
5
3x
1/35/3
5. La longitud del astroide
]2π , 0[ t, tsena)t(y
tcos a)t(x
3
3
C
6. ]3 , 1[ t,
4t
1
8
t)t(y
t)t(x
2
C
7. Calcular la distancia recorrida por una particula que viaja a lo largo de la
trayectoria dada durante el tiempo indicado:
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a) ]2 , 0[ t,3t)t(y, 3t)t(x2
b) ]2 , 1[ t,Ln t)t(y, t
1)t(x
8.
Hallar cada una de las longitudes de las siguientes curvas
a) ar 0 , 0m , ear θm
b) ]2π , 0[ θ , θsenr
c) θsen42r
d) 2θsen4r
11. ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
i. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION GENERADA POR
UNA FUNCION y = f ( x )
DEFINICION 1: Sea f: [ a , b ] → R , f ( x ) ≥ 0 y con derivada continua en
el intervalo [ a , b ] si hacemos girar la grafica de f desde x = a hasta x = b
alrededor del eje x seobtiene una superficie de revolución. El área de estasuperficie S es:
b
a
2 dx ])x('f [1 )x(f 2πA(S)
y
x ba
)x(f y
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OBSERVACION:
i. El área S de la superficie de revolución generada por la rotación de la
grafica de x = g ( y ) con y ϵ [ c , d ] donde g ( y ) ≥ 0 al girar
alrededor del eje y es igual a:
d
c
2 dy ])y('g[1 )y(g 2πA(S)
DEFINICION 2: Sea f: [ a , b ] → R una función con derivada continua en
el intervalo [ a , b ] tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta y = c
al girar la grafica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y = c
se obtiene una superficie de revolución cuya área esta dada por:
b
a
2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)
OBSERVACION:
i. Si la ecuación del arco de una curva C esta dada por x = g ( y )
y ϵ [ c , d ] donde g es una función con derivada continua en el
intervalo [ c , d ] y si S es la superficie de revolución que se obtiene al
hacer girar la curva C alrededor de la recta x = k el área de la superficie
S esta dada por:
y
x
cy
)x(f y
| c)x(f |
a
b
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d
c
2 dy ])y('g[1 |k)y(g | 2πA(S)
ii. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION GENERADA POR
UNA CURVA PARAMETRICA
DEFINICION 1: Sea
] b , a[ t, )t(yy
)t(xx
C
Una curva paramétrica suave (diferenciable) donde y ( t ) ≥ 0 el área S de
la superficie de revolución generada al girar esta curva C alrededor del eje x
es igual a:
bt
a t22 dt ])t('y[])t('x[ )t(y2πA(S)
DEFINICION 2: Sea
] b , a[ t, )t(yy
)t(xx
C
Una curva paramétrica liza donde x ( t ) ≥ 0 el área S de la superficie de
revolución generada al girar esta curva C alrededor del eje y es igual a:
y
x
k x
| k )y(g |
c
d
)y(gx
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bt
a t
22 dt ])t('y[])t('x[ )t( x2πA(S)
Ejemplos:
1. Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar
alrededor del eje x la curva
3
x)x(f
3
, x ϵ [ 0 , 2 ]
2
0
2 dx ])x('f [1 )x(f 2πA(S)
2x)x('f
2
0
223
dx )x(1 3
x 2πA(S)
2
0
43 dx x1 4x 6
πA(S)
]1)17([9
π
)x1(3
2
.6
π
A(S)
3/22
0
34
2. Hallar el área de la superficie generada por la rotación del arco
2x1y , x ϵ [ – 1 , 1 ]
y
x20
3
xy
3
8/3
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i. Alrededor de la recta y = – 1
2x1y => 1yx22
1
1
2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)
2x1x)x('f
1
1
2
2
2 dx ]x1
x [1 | )1(x1 | 2πA(S)
1
1 2
22 dx
x1
x1 | 1x1 | 2πA(S)
1
1 2
2 dx x1
1 ) 1x1 ( 2πA(S)
1
0 2
2 dx x1
1 ) 1x1 ( 4πA(S)
21
0
1
0
2π4πarcsen x 4π x4πA(S)
)2π(2πA(S)
1y
y
x
11
1y
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ii. Alrededor de la recta y = 1
1
1
2 dx ])x('f [1 | c)x(f | 2πA(S)
2x1
x)x('f
1
1
2
2
2 dx ]x1
x [1 | 1x1 | 2πA(S)
1
1 2
22 dx
x1
x1 ) x11 ( 2πA(S)
1
1 2
2 dx x1
1 ) x11 ( 2πA(S)
1
0 2
2 dx x1
1 ) x11 ( 4πA(S)
1
0
1
0
x4πarcsen x 4πA(S)
4π2πA(S)2
)2π(2πA(S)
3. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la cicloide
]2π , 0[ t, ) tcos1(a)t(y
)sen tt(a)t(x
C
a) Alrededor del eje y
b) Alrededor de la recta y = 2a
Para t = 0 => ( 0 , 0 )
Para t = π => ( πa , 2a )
Para t = 2π => ( 2πa , 0 )
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a)
Alrededor del eje y
2πt
0 t
22 dt ])t('y[])t('x[ )t( x2πA(S)
) tcos1(a)t('x
sen ta)t('y
2π
0
22 dt ]sen ta[]) tcos1(a[ )sen tt(a 2πA(S)
2π
0
222dt tsentcos tcos21 )sen tt( a2πA(S)
2π
0
2dt 1 tcos21 )sen tt( a2πA(S)
2π
0
2
dt tcos22 )sen tt( a2πA(S)
2π
0
2dt
2
tcos1 )sen tt( a4πA(S)
2π
0
22dt )t /2(sen)sen tt( a4πA(S)
2π
0
2dt )t /2(sen)sen tt( a4πA(S)
22aπ16A(S)
y
xa2πaπ0
0t
πt
π2t
2ay
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b) Alrededor de la recta y = 2a
2πt
0 t
22 dt ])t('y[])t('x[ | 2a)t(y| 2πA(S)
) tcos1(a)t('x
sen ta)t('y
2π
0
22 dt]sen ta[]) tcos1(a[]) tcos1(a2a[2πA(S)
2π
0
222dt tsentcos tcos21 ) tcos1( a2πA(S)
2π
0
2dt 1 tcos21 ) tcos1( a2πA(S)
2π
0
2dt tcos22 ) tcos1( a2πA(S)
2π
0
2dt
2
tcos1 ) tcos1( a4πA(S)
2π
0
22dt )t /2(sen) tcos1( a4πA(S)
2π
0
2dt )t /2(sen) tcos1( a4πA(S)
2aπ
3
32A(S)
Ejercicios:
1. Hallar el área de la superficie generada por cada una de las curvas al
girar alrededor del eje x
a) f ( x ) = cos x , x ϵ [ - π/2 , 0 ]
b) 2
4
8y
1
4
yx , y ϵ [ 1 , 2 ]
2.
Se hace girar alrededor del eje x la región limitada por y = 1/x el eje x
y la recta x = 1 que esta situada a la derecha de esta recta. Demuestre
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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que el volumen del solido generado es finito pero que el área de su
superficie es infinita.
3. Hallar el área de superficie de revolución que se obtiene al girar
alrededor del eje x las curvas
a)
tsena)t(y
tcos a)t(x
3
3
C
b)
sen t a)t(y
]))t /2(tan(Lntcos[ a)t(xC
12. CENTRO DE MASA
INTRODUCCION: Una aplicación importante del valor promedio de una
función sucede en física en relación con el concepto de centro de masa.
MOMENTO DE MASA: El momento de masa de una particula respecto a una
recta L se define como el producto de su masa y su distancia a la recta L.
M1 = m . d
Donde:
m = Masa de la particula
d = Distancia de la particula a la recta L
OBSERVACIONES:
i. Es conveniente considerar la particula localizada en un plano de
coordenadas y determinar el momento de la particula respecto a un eje de
coordenadas (o a una recta paralela a un eje de coordenadas) en este caso se
L
m
d
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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usan las distancias dirigidas asi el momento será positivo, negativo o cero
según la ubicación de la particula.
ii. Si la particula de masa “m” esta en el punto ( x , y ) entonces sus momentos
respecto a los ejes ( Mx , My ) son:
Mx = m . d1 = m . y
My = m . d2 = m . x
MOMENTO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Si un sistema de “n” partículas de masas m1, m2, … , mn están situados en los
puntos ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , … , ( xn , yn ) respectivamente los momentos Mx
y My del sistema de n partículas se definen:
n
iii
1
ymMx ,
n
iii
1
xmMy . . . ( I )
nn2211 ym . . . ymymMx
nn2211 xm . . . xmxmMy
y
x1x
2x 3x nx. . .
1y
2y
3y
ny
1m
2m
3m
nm
y
x
x
y
)y,x(Pm
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CENTRO DE MASA (CENTRO DE GRAVEDAD) DE UN SISTEMA DE
PARTICULAS
El centro de masa de un sistema de partículas en un punto ) _ y ,
_ x (P tal que
si la masa total “m” del sistema fuese concentrada en el punto “P” e ntonces losmomentos del punto “P” y del sistema coinciden. Consideremos nuevamente el
sistema de n partículas de masas m1, m2, … , mn ubicados en los puntos
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , … , ( xn , yn ) respectivamente si el punto “P” es el centro
de gravedad del sistema y i
mm es la masa total del sistema entonces
los momentos Mx, My de P están dados por: _ y.mMx
_ x.mMy
De ( I ) se tiene:
_ y.mym
n
iii
1
_ x.mxm
n
iii
1
Entonces despejando _ x e
_ y
m
xm
m
xm _ x
n
i ii
n
ii
n
i ii 1
1
1
m
ym
m
ym _ y
n
iii
n
ii
n
iii
1
1
1
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En resumen si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas
respecto a los ejes x e y respectivamente y ) _ y ,
_ x (P es el centro de masa o
centro de gravedad del sistema entonces:
m
My _ x
m
Mx _ y
Ejemplo
1.
Tres partículas están en los puntos P1 ( – 1 , 3 ) , P2 ( 5 , 3 ) , P3 ( 3 , – 1 )y sus masas son m1 = 1 , m2 = 2 , m3 = 3 respectivamente determinar el
centro de gravedad del sistema formado por estas tres partículas
321 mmmm
321m
6m
332211 xmxmxmMy
)3()3()5()2()1()1(My 18My
y
x
1m1 2m2
3m3
6m
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
http://slidepdf.com/reader/full/calculo-diferencial-matematicas-ii 228/360
332211 ymymymMx
)1()3()3()2()3()1(Mx
6Mx
6
18
m
My _ x => 3
_ x
6
6
m
Mx _ y => 1
_ y
) 1 , 3 () _ y ,
_ x (
CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGION PLANA O LÁMINA
Es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:
a) Una lámina es llamado homogénea si dos posiciones iguales de área tienen
el mismo peso.
b) La densidad ρ de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina
si una lámina es homogénea entonces su densidad (de área ρ) es constante
y si A es el área de dicha lámina entonces su masa es m = ρ A.
c) El centro de masa de una lámina homogénea es el punto de equilibrio de la
lámina si esta lámina tiene un centro geométrico este será tambien el centro
de masa. Ejemplo: El centro de masa de una lámina rectangular
homogénea es el centro del rectángulo (intersección de las diagonales).
d) El momento de una lámina de masa “m” respecto a una recta es el
momento de una particula de masa “m” situado en el centro de masa de la
lámina.
e) Si una lámina se corta en trozos el momento de la lámina es la suma de los
momentos de las partes.
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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GENERALIZACION DEL CENTRO DE MASA DE UNA REGION
PLANA
Sea F una lámina homogénea cuya densidad de área constante es ρ si F es la
región limitada por las graficas de y = f ( x ) , y = g ( x ) las rectas x = a, x = b donde f y g son continuas en el intervalo [ a , b ] y f ( x ) ≥ g ( x )
] b,a[x .
Sea P = { x0 , x1 , . . . , xn } una partición del intervalo [ a , b ] , C i punto medio
del i – esimo intervalo Ci ϵ [ xi – 1 , xi ] por m = ρ A entonces se tiene:
x ])C(g)C(f [ρmiiii
i = 1, 2, . . . , n
im = es la masa del i – esimo rectángulo donde:
x ])C(g)C(f [Aiiii
El centro de masa o centro de gravedad del i – esimo rectángulo se encuentra
localizado en el punto ) 2
)C(g)C(f , C ( ii
i
sustituyendo cada rectángulo
por un punto material y localizando la masa de cada rectángulo en su centro de
)x(f y
ax bx 1ix
y
)x(gy
ixiC
x
) )C(f , C ( ii
) 2
)C(g)C(f , C ( ii
i
) )C(g , C ( ii
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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gravedad se obtiene que los momentos de cada masa de los “n” rectángulos
determinados por la partición respecto a los ejes x e y son:
n
i
iiiii
n
i ii 11
}
2
)C(g)C(f { }x])C(g)C(f [ρ {ymMx
n
iiiii
n
iii
11
C }x])C(g)C(f [ρ {xmMy
Luego el centro de gravedad ) _ y ,
_ x ( estará aproximadamente en el centro de
gravedad de los rectángulos determinados por la partición es decir:
n
iiii
n
iiiii
1
1
x ])C(g)C(f [ ρ
x C ])C(g)C(f [ ρ
m
My
_ x
n
iiii
n
iiii
1
1
22
x ])C(g)C(f [ ρ
x } ])C(g[])C(f [ { ρ 2
1
m
Mx
_ y
Si || P || → 0 se obtiene que las coordenadas ) _ y ,
_ x ( del centro de gravedad
de la lámina F están dadas por:
b
a
b
a
dx ] )x(g)x(f [
dx ] )x(g)x(f [ x
)F(A
My
_ x
b
a
b
a
22
dx ] )x(g)x(f [
dx } ])x(g[])x(f [ { 2
1
)F(A
Mx
_ y
DEFINICION 1: Si la región plana F esta limitada por las graficas y = f ( x ) ,y = g ( x ) las rectas x = a , x = b donde f y g son funciones continuas en el
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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intervalo [ a , b ] y f ( x ) ≥ g ( x ) ] b,a[x el centro de gravedad
) _ y ,
_ x ( de la región F esta dado por:
b
a
b
a
dx ] )x(g)x(f [
dx ] )x(g)x(f [ x _ x
b
a
b
a
22
dx ] )x(g)x(f [
dx } ])x(g[])x(f [ { 2
1
_ y
DEFINICION 2: Si la región plana F esta limitada por las graficas x = f ( y ) ,x = g ( y ) y las rectas y = c , y = d donde f y g son funciones continuas en el
intervalo [ c , d ] y f ( y ) ≥ g ( y ) ]d,c[y el centro de gravedad
) _ y ,
_ x ( de la región F esta dado por:
d
c
d
c
22
dy ] )y(g)y(f [
dy } ])y(g[])y(f [ {
2
1
_
x
)y(f x
cy
dy
1iy
y
)y(gx
iy
iC
x
) C , )C(f ( ii
) C , 2
)C(g)C(f (
i
ii
) C , )C(g ( ii
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d
c
d
c
dy ] )y(g)y(f [
dy ] )y(g)y(f [y _ y
NOTA:
1. Las coordenadas del centro de masa de una lamina homogénea no
dependen de su densidad propia solo dependen de su forma.
2. Usualmente al centro de masa de una lamina se le denomina centro de
gravedad o centroide reservando el termino centro de masa para un solido.
OBSERVACION:
i. Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta 0xx entonces la
abscisa del centro de gravedad es 0x _ x . Si la región plana F es simétrica
con respecto a la recta 0yy entonces la ordenada del centro de gravedad
es 0y _ y .
Ejemplo:
1. Hallar el centro de gravedad de la región limitada por x = 4y – y² , y = x
Ecuacion de la parábola
x = – ( y² – 4y + 4 – 4 )
x = – ( y – 2 )² + 4
( y – 2 )² = – ( x – 4 )
Vertice de la parábola
V = ( 4 , 2 )
Intercepto con el eje y
Hacemos: x = 0
( y – 2 )² = – ( 0 – 4 )
=> y = 0=> y = 4
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Intersecciones de la recta con la parábola
y = 4y – y²
y² – 3y = 0
y ( y – 3 ) = 0=> y = 0
=> y = 3
3
0 dy ] )y(g)y(f [ )F(A
3
0
2dy )yy4y( )F(A
3
0
2dy )y3y( )F(A
2
9)y
3
1y
2
3 ()F(A
3
0
32
3
0
22dy } ])y(g[])y(f [ {
2
1My
3
0
222dy ] )y()y4y( [
2
1My
3
0
2432dy ) yy8y16y (
21My
x
F
y
xy
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3
0
432dy ) y8y15y (
2
1My
5
54)y
5
12y5y(
2
1My
3
0
543
3
0 dy ])y(g)y(f [yMx
3
0
2dy )yy4y(yMx
3
0
32dy )y3y( Mx
427)y
41y(Mx 3
0
43
5
12
2/9
5/54
)F(A
My
_ x
2
3
2/9
4/27
)F(A
Mx
_ y
) 23 ,
512 () _ y , _ x (
2. Encontrar el centro de gravedad de la región limitada por el lazo de
y² = x4 ( 3 – x )
)x3(xy 4
0)x3(x4
0)3x(x4
03x
3x
] 3 , x
Bosquejo:
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F es simétrica con respecto a la recta y = 0 entonces 0 _ y solo queda
encontrar _ x .
3
0 dx ] )x(g)x(f [ )F(A
3
0
44 dx } ] )x3(x [)x3(x { )F(A
)8(35
336dx )x3(x 2)F(A
3
0
4
3
0 dx ])x(g)x(f [ xMy
3
0 44 dx } ] )x3(x [)x3(x { xMy
)16(105
3108dx )x3(x x2My
3
0
4
2
)8(35
336
)16(105
3108
)F(A
My
_ x
) 0 , 2 () _ y ,
_ x (
y
x
)x3(xy 4
)x3(xy 4
F
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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CENTRO DE MASA DE UN SOLIDO DE REVOLUCION
Sea f una función continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos f ( x ) ≥ 0,
] b,a[x . Ω es la región acotada por y = f ( x ) , el eje x y las rectas x = a,
x = b. S es el solido de revolución homogéneo cuya densidad de volumenconstante es ρ y que es generado al girar la región Ω alrededor del eje x,
entonces bajo la hipótesis de que el centro de masa esta sobre el eje de
revolución se tiene que 0 _ z
_ y
Por lo tanto solamente necesitamos encontrar _ x para lo cual haremos uso del
momento del solido de revolución con respecto al plano yz. Sea P una partición
del intervalo [ a , b ] , P = { x0 , x1 , x2 , . . . , xn } , [ xi – 1 , xi ] es el i – esimo
subintervalo i = 1 , 2 , . . . , n , Ci punto medio del i – esimo subintervalo
formando n rectángulos con altura f ( Ci ) y base Δix. Si cada uno de los n
rectángulos es rotado alrededor del eje x se generan n discos circulares,
el i – esimo rectángulo genera un disco circular de radio f ( Ci ) y altura Δix.
x])C(f [ πhR πV i
2
i
2
CCR
z
y
x
b
a
1ix
ix iC
))C(f ,C( ii
) 0 , 0 , _ x ()
_ z ,
_ y ,
_ x (
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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xΔ])C(f [ πρVρm i
2
i
El centro de masa del disco circular esta sobre el eje de revolución en el centro
del disco y es el punto ( Ci , 0 , 0 ). El momento de masa del disco con respecto
al plano yz es:
}xΔ])C(f [ πρ { CMyzΔ i
2
iii
La suma de las medidas de los momentos de masa de los n discos circulares con
respecto al plano yz esta dada por la suma de Riemann
n
iiii
n
i i
1
2
1
}xΔ])C(f [ πρ { C MyzΔ
n
iiii
1
2 }xΔ])C(f [ πρ { C Myz0 || p ||
Lim
b
a
2 dx ])x(f [ xπρMyz
La masa del solido S se define por:
n
iii
1
2
xΔ])C(f [ πρ m 0 || p || Lim
b
a
2 dx ])x(f [ πρm
Por lo tanto se define el centro de masa de S como el punto )0,0, _ x( tal que:
b
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
2
dx ])x(f [
dx ])x(f [ x
dx ])x(f [ πρ
dx ])x(f [ xπρ
m
Myz
_ x
)C(f i
xi
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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METODO DEL ANILLO
Momento de masa con respecto al plano yz esta dada por:
n
iiiii
1
22 }xΔ ) ])C(g [])C(f [ ( πρ { C Myz0 || p ||
Lim
b
a
22 dx } ])x(g [])x(f [ { xπρMyz
La masa del solido S se define por:
n
i
iii
1
22 xΔ } ])C(g [])C(f [ { πρ m0 || p ||
Lim
b
a
22 dx } ])x(g [])x(f [ { πρm
Por lo tanto se define el centro de masa de S como el punto )0,0, _ x( tal que:
b
a
22
b
a
22
dx } ])x(g [])x(f [ { πρ
dx } ])x(g [])x(f [ { xπρ
m
Myz
_ x
b
a
22
b
a
22
dx } ])x(g [])x(f [ {
dx } ])x(g [])x(f [ { x _ x
NOTA:
m
Myz
_ x
m
Mxz
_ y
m
Mxy
_ z
Ejemplo:
1. Encontrar el centroide del solido de revolución generado al rotar la región
acotada por x + 2y = 2 , el eje x y el eje y alrededor del eje x tomándose
los elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolución.
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2
0
2 dx ])x(f [ xπρMyz
πρ 3
1dx ]
2
x2 [ xπρMyz
2
0
2
2
0
2 dx ])x(f [ πρm
πρ 3
2dx ]2
x2 [ πρm
2
0
2
2
1
πρ 3
2
πρ 3
1
m
Myz
_ x
) 0 , 0 , 2
1 ()
_ z ,
_ y ,
_ x (
OBSERVACION
i. El centroide de un solido de revolución tambien puede encontrarse por
el método de la corteza cilíndrica sea Ω la región acotada y = f ( x ) ,
el eje x y las rectas x = a , x = b donde f es continua y f ( x ) ≥ 0 en el
intervalo [ a , b ]. Sea S el solido de revolución generado al rotar Ω
alrededor del eje y el centroide de S esta entonces en el punto )0, _ y,0(
x
y
2
x2y
0 2
1
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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si los elementos rectangulares son tomados paralelos al eje y entonces el
elemento de volumen es una corteza cilíndrica. Si el i – esimo
rectángulo de ancho Δix. Ci punto medio del i – esimo subintervalo el
centroide de la corteza cilíndrica obtenida al rotar este rectánguloalrededor del eje y esta en el centro de la corteza cilíndrica el cual es el
punto ) 0 , )C(f 2
1 , 0 ( i
.
El momento con respecto al plano xz del solido (Mxz) esta dado por:
n
iiiii
1
}xΔ )C(f C π2 { )C(f 2
1 Mxz
0 || p ||Lim
b
a
2 dx ])x(f [ xπMxz
n
iiii
1
xΔ )C(f C π2 Vm0 || p ||
Lim
b
a dx )x(f xπ2V
b
a
b
a
2
b
a
b
a
2
dx )x(f x2
dx ])x(f [ x
dx )x(f xπ2
dx ])x(f [ xπ
V
Mxz
_ y
x
y
1ix
)x(f y
ax bx iC ix
) )C(f 2
1 , C ( ii
) )C(f , C ( ii
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Ejemplo:
1. Encontrar el centroide de revolución generado al rotar la región
dada alrededor de la recta indicada
a)
La región acotada por las rectas y = x , y = 2x , x + y = 6alrededor del eje y
Metodo de la corteza
21 mm
xz''Mxz'M
m
Mxz
_ y
xz''Mxz'MMxz Partición en [ 0 , 2 ] U [ 2 , 3 ]
}dx])x(g)x(f [ xπ2 { ρ ]2
)x(g)x(f [m.dxz'M 1
}dx])x(g)x(h[ xπ2 { ρ ]2
)x(g)x(h[m.dxz''M 2
21 mmm Partición en [ 0 , 2 ] U [ 2 , 3 ]
}dx])x(g)x(f [ xπ2 { ρm1
}dx])x(g)x(h[ xπ2 { ρm2
)x(f )x(g
)x(h
0x
y
xy
2 3
3
x2y
x6y
6
4
6
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2
0
22 dx } ])x(g [])x(f [ { xπρxz'M
2
0
22 dx ] )x()2x( [ xπρxz'M
πρ12dx 3x πρxz'M2
0
3
3
2
22 dx } ])x(g [])x(h[ { xπρxz''M
3
2
22 dx ] )x()x6( [ xπρxz''M
πρ14dx ) 12x36x ( πρxz''M
3
2
2
2
0 1 dx ] )x(g)x(f [ xπρ 2m
2
0 1 dx )x2x( xπρ 2m
πρ 3
16dx x πρ 2m
2
0
21
3
2 2 dx ] )x(g)x(h[ xπρ 2m
3
2 2 dx )xx6( xπρ 2m
πρ 3
14dx )x26x( πρ 2m
3
2 22
πρ14πρ12Mxz
πρ26Mxz
πρ 3
14 πρ
3
16m
πρ 10m
5
13
πρ10
πρ26
m
Mxz
_ y
) 0 , 13/5 , 0 () _ z ,
_ y ,
_ x (
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Metodo del anillo
21 mm
xz''Mxz'M
m
Mxz
_ y
xz''Mxz'MMxz Partición en [ 0 , 3 ] U [ 3 , 4 ]
}dy) ])y(g [])y(f [ ( π{ ρym.dxz'M22
1
}dy) ])y(g [])y(h[ ( π{ ρym.dxz''M22
2
21 mmm Partición en [ 0 , 3 ] U [ 3 , 4 ]
}dy) ])y(g [])y(f [ ( π{ ρm22
1
}dy) ])y(g [])y(h[ ( π{ ρm22
2
3
0
22 dy } ])y(g [])y(f [ {yπρxz'M
3
0
22 dy ] )y2
1 ()y( [yπρxz'M
πρ 16243dx y
43 πρxz'M 3
0
3
)y(g )y(f
)y(h
0x
y
yx
2 3
3
y2
1x
y6x
6
4
6
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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4
3
22 dy } ])y(g [])y(h[ {yπρxz''M
4
3
22 dy ] )y2
1 ()y6( [yπρxz''M
πρ 16
173dy ) y
4
312y36y ( πρxz''M
4
3
32
3
0
221 dy } ])y(g [])y(f [ { πρm
3
0
221 dy ] )y
2
1 ()y( [ πρm
πρ 4
27dy y4
3 πρm3
0
21
4
3
222 dy } ])y(g [])y(h[ { πρm
4
3
222 dy ] )y
2
1 ()y6( [ πρm
πρ 4
13dy ) y4
312y36 ( πρm
4
3
22
πρ 16
173 πρ
16
243Mxz
πρ26Mxz
πρ 4
13 πρ
4
27m
πρ 10m
5
13
πρ10
πρ26
m
Mxz
_ y
) 0 , 13/5 , 0 () _ z ,
_ y ,
_ x (
2. Encontrar el centroide del solido de revolución generado al rotar la
región acotada por y = x³ , x = 2 y el eje x alrededor de la recta
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x = 2 tomese los elementos rectangulares perpendiculares al eje de
revolución.
) 0 , _ y , 2 ()
_ z ,
_ y ,
_ x (
8
0
23 dy ) y2 (yπρMxz
πρ 7
32dy ) y y 44y ( πρMxz
8
0
3 53 4
8
0 23 dy ) y2 ( πρm
πρ 5
16dy ) y y 44 ( πρm
8
0
3 23
7
10
πρ 5
16
πρ 7
32
m
Mxz
_ y
) 0 , 10/7 , 2 () _ z ,
_ y ,
_ x (
2x
0x
y
2
8
3 yx
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Ejercicios:
1. Encontrar el centroide de revolución generado al rotar la región
dada alrededor de la recta indicada
a)
La región acotada por x4
y = 1 , y = 1 y y = 4 alrededor deleje y.
b) La región acotada por y = x² y y = x + 2 alrededor de la recta
y = 4.
c) La región acotada por 4pxx , el eje x y la recta x = p
alrededor de la recta x = p.
TEOREMA DE PAPPUS (PARA VOLUMENES)
Si un solido S es obtenido al hacer girar una región plana F entorno de una
recta del mismo plano que no sea secante a la región F entonces el volumen de
S esta dado por:
V = 2 π r A
Donde:
A = Es el área de la región F.r = Radio de la circunferencia descrita por el centro de gravedad de la región F.
) _ y ,
_ x (
F
x
y
L
r
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10
1dx )xx3x2 ( Mx
1
0
42
1
0
2 dx ] )1x()1x( [ A
6
1dx )xx( A
1
0
2
2
1
6/1
12/1
A
My
_ x
5
3
6/1
10/1
A
Mx
_ y
) 3/5 , 1/2 () _ y , _ x (
En ( * ):
20
2
2
| 1 5
3
2
1 |
r
V = 2 π r A
π60
2)
6
1 ( )
20
2 ( π2V
Ejercicios:
1. Aplicando el teorema de pappus hallar el volumen de un cono recto
circular de altura a y radio de la base b.
2.
El volumen del solido obtenido al girar 4 ( x – 6 )² + 9 ( y – 5 )² = 36alrededor del eje x.
3. A ( 0 , 0 ) , B ( a , 0 ) , C ( 0 , a/2 ) a > 0 son los vértices de un triangulo
calcular el volumen del solido obtenido por la rotación entorno de la recta
y = x – a de la región limitada por el triangulo ABC.
4. La región limitada por las graficas de y² = 20x , x² = 20y gira alrededor
de la recta 3x + 4y + 12 = 0 calcular el volumen del solido generado.
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13. MOMENTO DE INERCIA (SEGUNDO MOMENTO DE MASA)
DEFINICION 1: El momento de inercia de una particula cuya masa es m
respecto al eje L se define como:
2
d.mI L Donde:
d = Distancia perpendicular de la particula al eje L
DEFINICION 2: El momento de inercia de un sistema de n partículas es la
suma de los momentos de inercia de todas las partículas es decir:
n
iii
1
2
d.m I
Ejemplo:
1. Para el sistema de partículas indicado hallar el momento de inercia
respecto al eje xx
L
m
d
x
kg1m2
x
m2
m1
kg3
kg2
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3
iiixx
1
2d.m I
2
33
2
22
2
11 d.md.md.mIxx
222)m1()kg2()m2()kg3()m2()kg1(Ixx
2m.kg18Ixx
NOTA: 2d.m esta sumatoria es una propiedad del objeto en rotación
depende de la masa total pero tambien depende de la forma de esta masa se
encuentra distribuida respecto al eje xx constituye una propiedad física delobjeto y se dice que es el segundo momento de masa o el momento de inercia
del objeto por lo tanto el momento de inercia esta relacionado con el
movimiento de rotación mientras que el momento de masa (primer momento de
masa) esta relacionado con el movimiento de traslación.
RADIO DE GIRO
Si imaginamos la masa total M del sistema colocada a una distancia k del eje xx
de tal como que la energía cinetica de M sea la misma que la energía cinetica
total de las partículas dispersas (la energía poseída por el objeto como
consecuencia de su movimiento se llama energian cinetica).
2 vm
2
1E.C
M
Ik xx2
k recibe el nombre de radio de giro del objeto respecto al eje particular de
rotación k ≥ 0.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA PLANA
Consideremos la región contenida en un plano esta región es una lamina fina
cuya masa es homogénea.
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Consideremos a y como el eje de rotación entonces
i. Tomamos una banda elemental paralelo al eje de rotación y a una distancia
Ci de el.
ii. Construimos la expresión de su momento de inercia respecto al eje y es
decir:
dIy = m . d² = ρ A C i2
dIy = ρ [ f ( Ci ) Δix ] Ci2
iii. Haciendo la suma para todos estos rectángulos se va obtener
n
iiii
n
i 1
2
1
]xΔ )C(f [ C ρ dIy
|| p || → 0 entonces
b
a
2 dx )x(f x ρIy
NOTA:
Todos los resultados que se obtengan para placas delgadas resultan aplicables a
figuras planas siempre que la masa sea sustituida por el área asi se tiene que:
2d.mI L
=> 2d.AI L
ba
y
x
iC
)x(f y
))C(f ,C( ii
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M
I k L =>
A
I k L
El momento de inercia de un área plana será:
b
a
2 b
a
2 dx )x(f xdA d Iy
EN GENERAL
Si F es la región del plano acotada por las rectas x = a , x = b y las
curvas 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) , x variando entre a ≤ x ≤ b entonces se cumple
b
a
2 dx ] )x(g)x(f [ xIy
b
a
33 dx } ] )x(g [])x(f [ { 3
1Ix
dA ) y x(IyIxIo 22
Io = Momento de inercia respecto al origen o Momento Polar
Ejemplo:
1. Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a
y b con respecto a un lado.
b
a
y
x
iC
) b/2,C( i
) b,a(
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dIy = A d2 = ( b Δix ) Ci2
ba3
1dx b xIy
3a
0
2
22 aA31a) ba(
31Iy
OBSERVACION:
i. El momento de inercia de un area rectangular con respecto a uno de sus
lados es igual a un tercio del producto del area por el cuadrado de la
longitud del otro lado.
Ejemplo:
1. Hallar el momento de inercia del área plana dada con respecto a la recta
indicada
a) y = 8x3 , y = 0 , x = 1 , respecto al eje x y respecto al eje y
Eje x: dIx = dA . d2 = [ Δiy ( 1 – f ( Ci ) ] Ci2
8
1
y
x0
)8,1(
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15
256dy ) y
2
11 ( y Ix
8
0
32
Eje y: dIy = dA . d2 = [ f ( Ci ) Δix ] Ci2
34dx ) 8x ( xIx
1
0 32
2. Hallar el momento de inercia del área plana dada con respecto a la recta
indicada
a) y = 4 – x² , x = 0 , y = 0 , respecto al eje x y respecto al eje y
Eje x: dIx = dA . d2 = [ Δiy f ( Ci ) ] Ci2
1052048dy y4 y Ix
4
0
2
Otro Metodo
dIx =3
1 dA . a2 =
3
1 [ Δix f ( Ci ) ] [ f ( Ci ) ] 2
105
2048dx )x4(
3
1Ix
2
0
32
Eje y: dIy = dA . d2 = [ Δix f ( Ci ) ] Ci2
4
2
y
x2
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15
64dx )x4( xIy
2
0
22
Otro Metodo
1564dy )y4(
31Iy
4
0 3
Ejercicios:
1. Hallar el momento de inercia del área plana dada con respecto a la recta
indicada
a) x² + y² = a² , un diámetro
b) y² = 4x , x = 1 , con respecto al eje x y con respecto al eje y
c) 4x² + 9y² = 36 , con respecto al eje x y con respecto al eje y
TEOREMA DE STEINER (TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS)
El momento de inercia de un área, arco o volumen con respecto a un eje
cualquiera AB es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo a
el que pase por el centro geométrico más el producto del área, longitud de arco
o volumen por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes.
2
GAB LAII
L
G
y
x
A
B
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Ejemplo:
1. Hallar el momento de inercia del área dada con respecto a la recta que se
indica x² + y² = a² una tangente.
Teorema de Steiner
2G LAII L
22
x )a()aπ(II L
dIx = dA . d2 = [ Δiy f ( Ci ) ] Ci2
4a
0
222 aπ4
1dy ya y 4Ix
224
a)aπ(aπ4
1I L
2222a)aπ(a)aπ(
4
1I L
22a)aπ(
4
5I L
2aA
4
5I L
a
a
y
x
L
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TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES (PARA PLACAS
DELGADAS)
Si se conoce el momento de inercia respecto a dos ejes perpendiculares en el
plano de la placa el momento de inercia respecto a un tercer eje perpendicular alos dos (pasando por el punto de intersección) viene dado por:
Iz = Ix + Iy
MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO
Para hallar el momento de inercia I L de un solido de volumen V generado en la
rotación de un área plana alrededor de una recta L de su plano con respecto a
esta recta (eje del solido) se sigue los siguientes pasos. Se dibuja el área
trazando una franja representativa paralela al eje es decir se hace una partición
hallando el rectángulo genérico correspondiente, se calcula el producto del
volumen generado con la rotación del rectángulo alrededor del eje por el
cuadrado de la distancia del centro geométrico del rectángulo a dicho eje y se
escribe la suma correspondiente a todos los rectángulos.
Si el número de rectángulos crece indefinidamente entonces estaremos hallando
el momento de inercia del solido con respecto a la recta L.
Ejemplo:
1. Hallar el momento de inercia con respecto a su eje del solido generado en
la rotación del área plana alrededor de la recta que se indica
a) y = 4x – x2 , y = 0 , con respecto al eje x y con respecto al eje y
P = [ 0 , 4 ]
Con respecto al eje y
dIy = m . d2 = V . d2
dIy = [ 2π x f ( x ) dx ] . x2
V5
32dx )x4x( x π2Iy
4
0
23
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Con respecto al eje x
dIx = V . d2
dIx = [ 2π y { f ( y ) – g ( y ) } dy ] . y2
V21
128dy y4 y π4Ix
4
0
3
Ejercicios:
1. Hallar el momento de inercia del área dada por y = 4 – x2 , y = 0 con
respecto a la recta x = 4. ( Rpta. 84A/5 )
2. Hallar el momento de inercia del área dada por y2 = 4x , x = 1 respecto a
x = 1. ( Rpta. 10A/7 )
3.
Hallar el momento de inercia de un cilindro circular recto de altura h yradio de la base r. ( Iy = 1/2 . V . r 2 )
4. Hallar el momento de inercia con respecto a su eje del solido generado en
la rotación del área plana dada alrededor de la recta indicada
a) y2 = 8x , x = 2 , con respecto al eje x y con respecto al eje y.
( Rpta. 16V/3 , 20V/9 )
b)
x2
+ y2
= a2
, y = b , b > a. ( Rpta. ( b2
+ 3a2
/4 ) V )
4
4
y
x0
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14. TRABAJO MECÁNICO
INTRODUCCION: El trabajo realizado por una fuerza que actua sobre un
objeto esta definido en física como fuerza por desplazamiento.
W = F ( b – a )Donde:
W = Es el numero de N – m de trabajo hecho por la fuerza.
F = Fuerza constante medida en N (Newtons) que esta actuando sobre el
objeto en la dirección del movimiento de a → b.
( b – a ) : Desplazamiento del objeto medida en metros.
NOTA:
En esta sección consideraremos el trabajo hecho por una fuerza variable la cual
es una función de la posición del objeto sobre el cual actua la fuerza.
Definiremos el termino trabajo en tal caso supongamos que f ( x ) donde f es
continua en el intervalo [ a , b ] el numero de unidades de la fuerza que actua
en la dirección del movimiento sobre un objeto cuando se mueve a la derecha
del eje x de a hasta b sea P = { a = x0 , x1 , . . . , xn = b } una partición de
[ a , b ] , [ xi – 1 , xi ] i – esimo subintervalo. Si xi – 1 esta cercano al punto xi
la fuerza es casi constante en este subintervalo suponiendo que la fuerza es
constante [ xi – 1 , xi ] y Ci pertenece al i – esimo subintervalo entonces:
ΔiW = f ( Ci ) ( xi – xi – 1 )
ΔiW = f ( Ci ) Δix que es el trabajo hecho sobre el objeto cuando se mueve de
xi – 1 hasta xi
ΔiW = ∑ f ( Ci ) Δix es una aproximación al trabajo total.
DEFINICION: Sea f continua en el intervalo [ a , b ] y sea f ( x ) la fuerza
que actua sobre un objeto en el punto x sobre el eje x entonces el trabajo
hecho por la fuerza cuando el objeto se mueve de a → b esta dado por:
n
iii
1
xΔ )C(f W0 || p ||
Lim
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b
a dx )x(f W
LEY DE HOOKE
Si un resorte es estirado x metros mas alla de su longitud natural se contrae
con una fuerza igual a kx newtons donde k = constante que depende del
alambre usado. La Ley de Hooke se cumple para compresión como para
extensión.
Ejemplo:
1. Un resorte tiene una longitud natural de 8 m si una fuerza de 20 N estira el
resorte 1/2 m encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 m a
12 m.
f ( x ) = kx
f ( 1/2 ) = 20 N
k ( 1/2 ) = 20k = 40 N/m
b
a
b
a dxkxdx )x(f W
4
0 dx40xW
m N 32020xW4
0
2
m8 m4
INICIO
0 4
x
FINAL
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El peso del i – esimo cilindro es ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix
Donde:
ω = Es el peso de una unidad cubica del liquido.
El trabajo que se realiza al subir un peso es igual al producto del peso por la
altura vertical por lo tanto el trabajo de subir el i – esimo cilindro de liquido a laaltura Ci será:
ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } Ci
Peso Altura
n
iiii
1
2
} CxΔ ])C(f [ πω { W 0 || p || Lim
b
a
2 dx ])x(f [ xπω W
Ejemplo:
1. Un tanque hemisférico de 3 m de diámetro esta lleno de petróleo que pesa
800 kg/m3. Calcular el trabajo de subir el petróleo al borde del tanque.
x
y
a
b
)C(f i
iC
a
b
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ΔiW = P . d [ 0 , 3/2 ]
ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } Ci
Peso Altura
3/2
0
2 dx ])x(f [ xπωW
3/2
0
22 dx ]x4
9 [ xπ800W
3/2
0
2 dx )x4
9 ( xπ800W
3/2
0
3 dx )xx4
9 ( π800W
mkg π2
2025)x4
1x8
9 ( π800W3/2
0
42
2. Una cisterna conica que tiene 6 m de diámetro superior y 6 m de
profundidad esta llena de agua. Calcular el trabajo de subir el agua 5 m
más alto que el borde.
ΔiW = P . d [ 0 , 6 ]
x
y
3kg/m 800ω
3/2
2x
4
9 )x(f
iC 222)
2
3 (yx
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ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δix } ( Ci + 5 )
6
0
2 dx ])x(f [ )5x( πωW
6
0
2 dx )2
x6 ( )5x( πωW
6
0
2 dx )x12x63( )5x( 4
πωW
6
0
232 dx )x560x180x12x6x3( 4
πωW
6
0
23 dx )18024xx7x( 4
πωW
6
0
234)180x12xx
3
7x
4
1 (
4
πωW
])6(180)6(12)6(3
7)6(
4
1 [
4
πωW
234
πω 117W
x
y3
6 2
x6)x(f
iC
5
5
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ΔiW = P . d [ 0 , 6 ]
ΔiW = { ω π [ f ( Ci ) ]2 Δiy } ( 11 – Ci )
6
0
2 dy ])y(f [ )y11( πωW
6
0
2 dy )2
y ( )y11( πωW
6
0
2 dy )y( )y11( 4
πωW
6
0
32 dy )y11y( 4 πωW
6
0
43)y
4
1y
3
11 (
4
πωW
])6(4
1)6(
3
11 [
4
πωW
43
πω 117W
y
x
6
0
2
y)y(f iC
11
iC11
3
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3. Un tanque en forma de paralelepípedo rectangular de 6 m de profundidad
4 m de ancho y 12 m de largo. Esta lleno de aceite que pesa 50 kg/m3
cuando ha sido realizado 1/3 del trabajo para bombear el aceite hasta la
parte superior del tanque. Encontrar cuanto ha bajado la superficie delaceite.
ΔiW = P . d P [ 0 , 6 ]
ΔiW = [ ω ( 12 ) ( 4 ) Δix ] Ci
6
0 dx48x50W
6
0
2)24x( 50W
])6(24[ 50W2
mkg 20043W . . . ( 1 )
Luego:
a
0 dx48x50
3
W
a
0
2)24x( 50
3
W
x
y
3kg/m 50ω
6
4iC
12
a
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21200a
3
W
6003
W a . . . ( 2 )
Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) tenemos:
6003
20043 a
32a
m 32 bajadoaaceitedelsuperficieLa
Ejercicios:
1. Una cisterna cilíndrica vertical de 5 m de diámetro y 8 m de profundidad
esta llena de agua. Calcular el trabajo al bombear el agua hasta el borde de
la cisterna.
2. Un tanque cilíndrico recto circular con una profundidad de 12 m y un
radio de 4 m es llenado a la mitad de aceite que pesa 60 kg/m3. Encontrar
el trabajo realizado al bombear el aceite a una altura de 6 m sobre el
tanque.
3. Un tanque cilíndrico de 20 m de altura y 5 m de radio descansa sobre
una plataforma de 60 m de altura. Encontrar la profundidad cuando se ha
realizado el 1/2 trabajo requerido para llenar el tanque desde el nivel del
suelo a través de una pipa en el fondo.
4. Un resorte tiene una longitud natural de 10 m y una fuerza de 30 N lo
estira a 11 ½ m. Encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 m
a 11 m. Luego encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12 m
a 14 m.
5. Un resorte tiene una longitud natural de 6 m una fuerza de 1 200 N lo
comprime a 5 ½ m. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 m
a 4 ½ m.
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15. PRESIÓN DE LÍQUIDOS
INTRODUCCION. Otra aplicación de la integral definida en física es
encontrar la fuerza originada por la presión de liquidos sobre una placa
sumergida en el líquido o sobre un lado del recipiente que contiene el líquido.Si una placa plana es insertada verticalmente en un líquido dentro de un
recipiente. El peso del líquido ejerce una fuerza sobre la placa la fuerza por
unidad cuadrada de área ejercida por el líquido sobre la placa se llama la
presión del líquido y lo denotamos asi:
F = ω h A
Donde:
F = Es # de newtons de la fuerza originada por la presión del líquido que actua
sobre la cara superior de la placa.
ω = Es # de newons del peso de 1 m3 del líquido.
h = Es # de metros a la profundidad de un punto bajo la superficie del líquido.
A = Es # de metros cuadrados de área de una placa plana que esta sumergida
horizontamente en el líquido.
Supongamos que la placa es sumergida verticalmente en el líquido entonces el
punto que estén a diferentes profundidades la presión sera distinta y será mayor
en la parte inferior de la placa que en la parte superior.
Procedemos a definir la fuerza originada por la presión del líquido cuando la placa es sumergida verticalmente en el líquido.
Usamos el principio de pascal “En cualquier punto en un liquido la presión es
la misma en todas direcciones”.
Sea ABCD la región acotada por el eje las rectas x = a , x = b y y = f ( x )donde f es continua en el intervalo [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0.
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Sea P partición del intervalo [ a , b ] y Ci cualquier punto del i – esimo
subintervalo [ xi – 1 , xi ] tal que xi – 1 ≤ Ci ≤ xi trazamos n rectángulos
horizontales el i – esimo rectángulo tiene longitud f ( Ci ) metros y ancho
Δix metros si rotamos cada elemento rectangular a través de un ángulo de 90º
cada elemento se convierte en un plano sumergido en el liquido a una
profundidad Ci metros bajo la superficie del liquido y perpendicular a la
región ABCD entonces la fuerza sobre el i – esimo elemento rectangular esta
dada por:
ΔiF = ω h A
ΔiF = ω Ci [ f ( Ci ) Δix ]
∑ ΔiF es una aproximacion a la medida de la fuerza total originada por la
presion del liquid que actua sobre la cara superior de la region ABCD.
DEFINICION: Si una placa plana es sumergida verticalmente en un liquido de
peso ω newtons por unidad cubica, la longitud de la placa a una profundidad
de x unidades debajo de la superficie del liquido es f ( x ) unidades donde f
es continua en el intervalo [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0 entonces F es el numero de
newtons originada por la presión del liquido sobre la placa y esta dada por:
x
y
a
b
)C(f i
A B
CD
ix1ix
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n
iiii
1
} ]xΔ )C(f [ C ω { F0 || p ||
Lim
b
a
dx )x(f xωF
Ejemplo:
1. Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergida verticalmente
en un tanque con agua con el borde superior en la superficie del liquido, si
el ancho de la lamina es de 10 m y el largo es de 8 m. Encontrar la fuerza
debida a la presión del liquido sobre un lado de la lamina.
ΔiF = ω h A P [ 0 , 8 ]
ΔiF = ω Ci [ ( 10 ) Δix ]
8
0 dx10xωF
8
0
2)5x( ωF
])8(5[ ωF2
ω320F
iC
x
y0
8
10
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2. La cara de una presa adyacente al agua es vertical y su forma es la de un
triangulo isósceles de 250 m de ancho en la parte superior y 100 m de
altura en el centro, si el agua esta a 10 m de profundidad en el centro.
Encontrar la fuerza total sobre la presa debida a la presión del líquido.
ΔiF = ω h A P [ 0 , 10 ]
ΔiF = ω ( 10 – Ci ) [ 2 f ( Ci ) Δiy ]
10
0 dy )y
4
5 (.2.)y10( ωF
10
0
2dy )y10y( ω
2
5F
10
0
32)y
3
15y( ω
2
5F
])10(3
1)10(5[ ω
2
5F
32
)3
1000500( ω
2
5F
ω
3
1250F
y
x
100
0
y4
5)y(f
iC
10
iC10
125
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Ejercicios:
1. La cara de una compuerta de una presa es vertical y tiene la forma de un
trapezoide isósceles de 3 m de ancho en la parte superior 4 m de ancho
en la parte inferior y 3 m de altura, si la base superior esta 20 m bajo lasuperficie del agua. Encontrar la fuerza total debida a la presión del líquido
sobre la compuerta.
2. Una lámina cuadrada de 4 m de lado es sumergida verticalmente en un
tanque con agua y su centro esta 2 m bajo la superficie. Encontrar la
fuerza debida a la presión del líquido sobre un lado de la lámina.
3. Una lamina que tiene la forma de un triangulo rectángulo isósceles es
sumergida verticalmente en un tanque de agua con un cateto en la
superficie cada uno de los catetos mide 6 m. Encontrar la fuerza debida a
la presión del liquido sobre un lado de la lamina.
4. Los extremos de una pila son triángulos equiláteros que tiene lado de 2 m
de longitud, si el agua en la pila tiene 1 m de profundidad. Encontrar la
fuerza debido a la presión del líquido sobre un extremo.
5. Un tanque con aceite tiene la forma de un cilindro recto circular de 4 m
de diámetro y su eje es horizontal, si el tanque contiene la mitad de su
capacidad de aceite que pesa 50 kg/m3. Encontrar la fuerza total sobre un
extremo debido a la presión del líquido.
6. La cara de una presa adyacente al agua esta inclinada formando un angulo
de 30º con la vertical la forma de la cara es un rectángulo de 50 m de
ancho y 30 m de altura inclinada, si la presa esta llena de agua. Encontrar
la fuerza total debida a la presión del agua sobre la cara.
7. El fondo de una alberca es un plano inclinado, la alberca tiene 2 m de
profundidad en un extremo y 8 m en el otro, si el ancho de la alberca es
25 m y la longitud es 80 m. Encontrar la fuerza total debida a la presión
del líquido sobre el fondo.
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16. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA ADMINISTRACION Y LA
ECONOMIA
16.1. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
Consideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo,donde p = precio y q = cantidad. La grafica de esta función es la Curva
de Demanda. Por la Ley de la Demanda, “a mayor precio menor demanda
y a menor precio mayor demanda”, la función de demanda es decreciente.
Si el precio en el mercado del artículo en mención es p 0 y la
correspondiente demanda q0, entonces los consumidores que estuviesen en
condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 y ganan, por
el simple hecho de que el precio es menor. Bajo ciertas hipótesis
económicas la ganancia total del consumidor se representa por el área de
la región comprendida entre los ejes de coordenadas, la curva de demanda
y la recta p = p0. A esta área se le denomina excedente del consumidor
(E.C.) Luego:
00
0q
0
0q
0 0 q p dq )q(f dq ] p )q(f [ E.C. ó
1
p
0 p dp ) p(g E.C. , donde g = f – 1 y p1 = f ( 0 )
P
Q
1 p
0
) p(gq )q(f p
0 pE.C.
0q
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16.2. EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
Consideremos la función de oferta p = f ( q ) de un determinado artículo,
donde p = precio y q = cantidad. La gráfica de esta función es la Curva
de Oferta. Por la Ley de la Oferta, “a mayor precio mayor demanda y amenor precio menor demanda”, la función de oferta es creciente. Si el
precio en el mercado del articulo en mención es p0 y la correspondiente
demanda es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones
de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que
el precio es mayor. Bajo ciertas hipótesis económicas la ganancia total
del productor se representa por el área de la región comprendida entre los
ejes de coordenadas, la curva de oferta y la recta p = p0. A esta área se le
denomina excedente del productor (E.P.) Luego:
0q
0 00
0q
0 0 dq )q(f q pdq ] )q(f p [ E.P. ó
0 p
1 p
dp ) p(g E.P.
Ejemplo:
1.
Si la función de demanda es p = 9 – q2 y p0 = 5. Hallar el excedente
del consumidor.
P
Q1 p
0
) p(gq )q(f p
0 p
E.P.
0q
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2
0
2 dq ] 5)q9( [ E.C.
2
0
2 dq )q4( E.C.
2
0
3)q
3
14q(E.C.
3
16])2(
3
1)2(4[E.C.
3
2. Si la función de oferta es p = 4 + 3q2 y q0 = 2. Calcular el excedente
del productor.
2
0
2 dq ] )q34(16 [ E.P.
2
0
2 dq )q312( E.P.
2
0
3)q12q(E.P.
5
P
Q
9
0
2q9 p
E.C.
2 3
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16])2()2(12[E.P.3
3. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia
pura son, 2q
4
1227 p y 2
2q2 p , respectivamente.
Determinar el correspondiente excedente del consumidor y el
excedente del productor.
El precio en el mercado y la correspondiente cantidad está
determinado por el punto de equilibrio E (Ver figura). El punto de
equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda.
222q2q
4
1227
2227q4
12q
22
225q4
9 2
100q2
=> 10q0 Donde 202 p0
P
Q
4
0
23q4 p
16
E.P.
2
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10
0
2 dq ] 202)q4
1227( [ E.C.
10
0
2
dq )q4
1
25( E.C. 10
0
3)q
12
125q(E.C.
3
500])10(
12
1)10(25[E.C.
3
10
0
2 dq ] )q22(202 [ E.P.
10
0
2 dq )q2200( E.P.
10
0
3)q
3
2200q(E.P.
3
4000
])10(3
2
)10(200[E.P.3
202
P
Q
227
0
2q
4
1227 p
E.C.
10
22q2 p
E.P.
)202,10(E
2
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4. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de
monopolio, se determinan por la función de demanda
2)q10(
4
1 p y el costo total es 5qq
4
1C
3 de tal manera que
se maximice la utilidad. Determinar el correspondiente excedente del
consumidor.
La utilidad es U = I – C , I = ingreso y C = costo total
0'U => 0'C 'I => CMgIMg
“La utilidad de maximiza si el ingreso marginal ( IMg'I ) es igual al
costo marginal ( CMg'C )”
Como I = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida
q)q10(4
1I
2
2q
4
3q1025IMg'I
5q4
3CMg'C
2
Luego CMgIMg => 5q4
3q
4
3q1025
22 => q0 = 2
En q = 2 la utilidad es máxima porque 10)2(''U por tanto:
2
0
2 dq ] 16)q10(4
1 [ E.C.
2
0
2 dq )q4
1q59( E.C.
2
0
32)q
12
1q
2
59q(E.C.
326])2(
121)2(
25)2(9[E.C. 32
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6. Hallar la cantidad producida que maximiza la utilidad y la
correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta). Si
IMg = 24 – 6q – q2 y CMg = 4 – 2q – q2.
La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el
ingreso marginal (IMg) es igual al costo marginal (CMg), luego:
22q2q4q6q24 => q = 5
Como 4q20CMgIMgUMg'U y 0)5(''U
La utilidad se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es:
5
0 dq )4q20( U
5
0
2)2q20q(U
50])5(2)5(20[U2
7. Unaempresa textil ha comprado una maquina cuya producción
representa ganancias en un tiempo t dadas por G = 27 – 2t2 , donde G
está en unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y
mantenimiento en el tiempo está dado por 2tt3
1)tR(
2 , donde R
está en unidades de S/. 3000 y t está en años. Suponiendo que
lamaquina puede retirarse sin costo alguno en cualquier tiempo,
¿Cuántos años debe mantener la maquina para maximizar la utilidad
neta?
Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento
cuando
2tt3
12t27
22 => t = 3
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Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años, la utilidad neta
después de 3 años son:
3
0 dt ])t(R )t(G[ U.N.
3
0
2 dt )t3
72t27( U.N.
3
0
32)t
9
7t27t(U.N.
51])3(9
7)3()3(27[U.N.
32
Luego la utilidad neta, después de 3 años es de 153 000 soles.
8. El valor de reventa de cierta maquina industrial disminuye durante un
periodo de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo. Cuando la
maquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de
220 ( x – 10 ) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la maquina
al cumplir dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su
costo fue de S/. 12 000?
Si V es el valor de la maquina )10x(220dx
dV luego
dx )10x(220)x(V
C200x2x110)x(V2
Como V ( 0 ) = 12 000
00012C)0(2002)0(110)0(V2
=> C = 12 000
00012200x2x110)x(V2
Para x = 2 años
040800012)2(2002)2(110)2(V2
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El precio de reventa es de S/. 8 040 y la maquina ha sufrido una
depreciación de S/. 3 960.
Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es:
9603dx )10x(220 2
0
Esto significa que la maquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960,
en ese tiempo el valor de reventa es 12 000 – 3 960 = 8 040 soles.
Ejercicios:
1. Si la función de demanda es p = 25 – q2 , hallar el excedente del
consumidor si la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3.
2. Si la función de oferta es p = 3 Ln ( q + 2 ) , hallar el excedente del
productor si el precio de venta en el mercado es p0 = 3.
3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia
son 2)q9(
4
1 p y )q31(
4
1 p , respectivamente. Calcular el
excedente del consumidor y el excedente del productor.
4. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de
monopolio, se determinan por la función de demanda 2q45 p y
el costo total es 76qq12
1C
3 de tal manera que se maximice
la utilidad. Calcular el correspondiente excedente del consumidor.5. El valor de venta de cierta maquina industrial disminuye a una tasa
que cambia con el tiempo. Cuando la maquina tiene t años, la tasa a la
cual está cambiando su valor es 5
t
e960
soles por año. Si el costo
de la maquina fué de S/. 5 000, ¿Cuál seria su valor 10 años más
tarde?
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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CAPITULO VI
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONALEl objetivo de esta sección es recordar las operaciones con vectores y sus
propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón por
la cual no se demostrara las propiedades.
EL ESPACIO R 3
El espacio R 3, es el conjunto:
R 3 = { ( x , y , z ) / x, y, z R }
Cada elemento de R 3 es llamado vector (del espacio R 3) y se representa por:a ,
b , etc.
i) IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores )a,a,a(a 321 y ) b, b, b( b 321 son iguales si y solo si:
11 ba , 22 ba y 33 ba
ii) SUMA DE VECTORES
Sean )a,a,a(a 321
y ) b, b, b( b 321
dos vectores, la suma de estos
vectores se define como:
) ba , ba , ba( ba 332211
iii) MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL
Si r R y )a,a,a(a 321
R 3, se define:
)ar, ar, ar(ar 321
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PROPIEDADES
Sia ,
b y
c son vectores en R 3 y r, s R, se verifican las siguientes
propiedades:
1. ba R 3
2.
a b ba (Prop. Conmutativa)
3.
c) ba()c b(a (Prop. Asociativa)
4. Existe un único vector cero )0,0,0(0
tal que
a0a , para todo
a R 3.
5. Para cada vector )a,a,a(a 321
, existe un único vector (opuesto dea ),
)a,a,a(a 321
tal que
0)a(a
6. ar R 3
7. brar) ba(r
8.
asara)sr (
9.
a)sr()as(r
10.
a)a.1 , para todoa R 3.
Cualquier sistema matemático en el que estas propiedades son validades recibe el
nombre de Espacio Vectorial real . De este modo R 3 es un espacio vectorial real.
iv) DIFERENCIA DE VECTORES
Sean )a,a,a(a 321
y ) b, b, b( b 321
dos vectores, la diferencia de
estos vectores se define como:
) ba , ba , ba() b(a ba 332211
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REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN R 3
Un vector )z,y,x(a
se representa por un segmento dirigido (flecha). Si el
origen del vector es el origen de coordenadas y su extremo es el punto del espacio
P ( x , y , z ) como se puede ver en la figura, a estos vectores se les llama Vector
Posición. Si su origen es cualquier punto P0 del espacio y su extremo es el punto P1
del espacio (ver figura), a estos vectores se les llama Vectores Libres.
1P
y
z
x
O
a
0P
)z,y,x(P
y
z
x
O
a
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Existe una correspondencia biunívoca entre el vector posición de )z,y,x(a
y
el punto del espacio P ( x , y , z ).
En la figura siguiente se representa geométricamente las operaciones entre los
vectoresa y
b .
VECTORES PARALELOS EN R 3
Se dice que dos vectoresa y
b en el espacio R 3 son paralelos, si uno de ellos es
múltiplo escalar del otro, es decir:a //
b <=>
br a v
as b , r, s R
Dos vectores paralelosa y
b tienen el mismo sentido si
br a , r > 0
Dos vectores paralelos
a y
b tienen sentidos opuestos si
br a , r < 0
a
b
ba
a
b
ba
1r 0 Si , ar
a
1r Si , ar
0r Si , ar
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Ejemplo:
1. Si )4,3,1(a
y )2,1,2( b
, encuentre los vectores
ba ,
ba y
b2a3 .)2,2,3()2,1,2()4,3,1( ba
)6,4,1()2,1,2()4,3,1( ba
)16,11,1()2,1,2(2)4,3,1(3 b2a3
MODULO O LONGITUD DE UN VECTOR EN R 3
La longitud o norma o modulo de un vector )a,a,a(a 321
en el espacio R 3 se
denota y se define como:
23
22
21 aaa | |a| |
Ejemplo:
1. Hallar el modulo del vector )2,2,1(a
222 )2()2()1( | |a| |
39 | |a| |
OBSERVACION
i. La norma de un vector es la longitud del segmento que la representa.
ii. Todo vector de longitud igual a 1, se llama Vector Unitario.
iii. El vector
| |a| |
aua
Es unitario y es llamado vector unitario dea .
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PROPIEDADES
1. 0 | |a| |
, 3R a
, 0 | |a| |
<=>
0a
2. | |a| | |r| | |ar | |
, R r , 3R a
3. | | b| || |a| | | | ba| |
, 3R b , a
(Desigualdad triangular)
4. | |a| | | |a| |
PRODUCTO INTERNO O ESCALAR DE VECTORES EN R 3
Dados dos vectores )a,a,a(a 321
y ) b, b, b( b 321
R 3 se define el
producto escalar dea y
b como:
332211 ba ba ba b.a
( Se leea punto
b )
Ejemplo:
1.
Hallar el producto escalar de los vectores )1,4,5(a y )3,1,2( b
)3()1()1()4()2()5( b.a
33401 b.a
PROPIEDADES
1.
a. b b.a , 3R b , a
(Prop. Conmutativa)
2. ) b.a(r b.)ar (
, 3R b , a
, R r
3.
c.a b.a)c b(.a , 3R c , b , a
(Prop. Distributiva)
4. 2| |a| | a.a
, 0a.a
<=>
0a
5. b.a2 | | b| || |a| | | | ba| |222 , 3
R b , a
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6.
b.a2 | | b| || |a| | | | ba| |222 , 3
R b , a
7. 2222| | b| |2| |a| |2 | | ba| | | | ba| |
(Ley del paralelogramo)
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD DE VECTORES EN R 3
Dos vectoresa y
b R 3 son perpendiculares ( se escribe
ba ), si y solo si
| | ba| | | | ba| |
.
PROPIEDADES
1.
ba <=> 0 b.a
2.
ba <=> 222| | b| || |a| | | | ba| |
(Teorema de pitagoras)
3.
ba <=> 222| | b| || |a| | | | ba| |
Ejemplo:
1. Encuentre los vectores ortogonales a: )1,1,1(a
y )2,0,0( b
Sea )z,y,x(c
ortogonal a los vectoresa y
b , entonces:
0c.a
0)z,y,x( . )1,1,1( => 0zyx . . . ( 1 )
0c. b
0)z,y,x( . )2,0,0( => 0z2 => 0z . . . ( 2 )
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) tenemos:
00yx => yx
Luego:
)0,1,1(y)0,y,y(c => Por lo tanto, )0,1,1(rc , R r
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RELACIONES ENTRE EL PRODUCTO ESCALAR Y EL ANGULO
ENTRE DOS VECTORES
Seana y
b dos vectores de R 3 con
0a y
0 b y θ el angulo formado
por ellos, 0º ≤ θ ≤ 180º.
Aplicando la Ley de los Cosenos al triangulo determinado por los vectoresa ,
b
y
a b se obtiene:
θ cos | | b| | | |a| | b.a
Luego la formula para calcular el ángulo entre dos vectoresa y
b diferentes del
vector cero, es:
| | b| | | |a| |
b.aθ cos
Ejemplo:
1. Seana y
b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45º, 3 | |a| |
.
Hallar | | b| |
de modo que
a) ba( .
a) ba(
0a.) ba(
0 b.aa.a
a b
b
a
θ
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b.aa.a
45º cos | | b| | | |a| | | |a| |2
)22 ( | | b| | )3()3( 2
=> 23 | | b| |
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores )a,a,a(a 321
y ) b, b, b( b 321
R 3
se define como:
) ba ba , ba ba , ba ba ( ba 122131132332 R 3 . . . ( * )
OBSERVACION
i. Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo de los ejes coordenados
)0,0,1(i
, )0,1,0( j
y )1,0,0(k
forman la Base Fundamental de
R 3 y tienen la siguiente propiedad: “Todo )z,y,x(a R 3 acepta una
combinación lineal, única, de la forma
k z jyixa ”
ii. La definición dada en ( * ) se puede expresar como:
b b b
aaa
k ji
ba
321
321
k ) ba ba( j) ba ba(i) ba ba( ba 122113312332
Ejemplo:
1. Sean los vectores )1,2,1(a
y )3,1,2( b
, hallar
ba
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k 3 ji5
312
121
k ji
ba
PROPIEDADES
Seana ,
b ,
c R 3 y r R entonces:
1. )a b( ba
(Prop. Anticonmutativa)
2.
ca ba)c b(a
3. 0 b.) ba(a.) ba(
( El vector
ba es perpendicular a los
vectoresa y
b )
4.
0aa
5. Sia //
b =>
0 ba
6.
2222 ) b.a( | | b| | | |a| | | | ba| |
7. θsen| | b| | | |a| | | | ba| |
, θ es el ángulo entrea y
b
8. Si
ba y
ca =>a //
c b
9.
0k k j jii
k ji ,
ik j ,
jik
a
a b
ba
b
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APLICACIONES DE LOS VECTORES
1. AREA DE UN PARALELOGRAMO
Sean
a y
b dos vectores de R 3 diferentes del vector cero. El área del
paralelogramo determinado por los vectoresa y
b esta dado por:
| | ba| | A
h b A
θsen| | b| | | |a| | A
| | ba| | A
2. AREA DE UN TRIANGULO
Seana y
b dos vectores de R 3, no paralelos y diferentes del vector cero. El
área del triángulo determinado por los vectoresa y
b esta dado por:
| | ba| |2
1 A
a
b θsen| | b| | h
θ
a
b
h
θ
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h b2
1 A
θsen| | b| | | |a| | 2
1 A
| | ba| |2
1 A
3. VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO
Seana ,
b y
c tres vectores de R 3, no coplanares y diferentes del vector
cero. El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
a ,
b yc esta dado por:
|c b . a| V
4. VOLUMEN DE UN TETRAEDRO
Seana ,
b y
c tres vectores de R 3, no coplanares y diferentes del vector
cero. El volumen del tetraedro determinado por los vectoresa ,
b y
c esta
dado por:
|c b . a| 61 V
a
b
c
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5. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre los puntos )z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 esta dada
por:
212
212
21221 )zz()yy()xx( | | PP | | d
6. DIVISION DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZON DADA
Si P ( x , y , z ) es un punto que divide al segmento
21 PP donde
)z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 , según la razón dada:
a
b
c
2P
y
z
x
O
d
1P
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2
1
PP
PPr , r ≠ – 1
Entonces:
r 1
r xxx 21
,
r 1
yryy 21
,
r 1
zrzz 21
OBSERVACION
Si )z ,y,x( M es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos
)z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 entonces:
1
PM
MPr
2
1
2
xxx 21 ,
2
yyy 21 ,
2
zzz 21
Ejemplo:
1. Dados los puntos )9,7,5( P1 y )7,5,3( P2 hallar los puntos de
trisección de
21 PP .
2
1
PA
APr
2
1
1P
2P
A
B
1
1
1
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3
13
2
11
)3(2
15
x
, 3
2
11
)5(2
17
y
,
3
11
2
11
)7(2
19
z
) 3
11 , 3 ,
3
13 (A
2
PB
BPr
2
1
3
11
21
)3(25x
, 1
21
)5(27y
,
3
5
21
)7(29z
) 3
5 , 1 ,
3
11 ( B
Ejercicios:
1. Expresar el vectora como la suma de un vector paralelo al vector
b y un
vector ortogonal a b , si )1,1,2(a
y )2,4,1( b
.
2. Hallar el angulo entre los vectores )2,1,3(a
y )2,1,1( b
.
3. Si el ángulo que forman los vectoresa y
b es de 45º y 3 | |a| |
, hallar el
módulo de b para que
ba forme con
a un ángulo de 30º.
4.
Sean
a y
b dos vectores unitarios de R 3
. Demostrar que
ba es unvector unitario si y solo si el ángulo formado por ellos es de 120º.
5. Seana ,
b y
c tres vectores de módulos r, s y t respectivamente. Sea α el
ángulo entre b y
c , β el ángulo entre
a y
c y γ el ángulo entre
a y
b . Probar que el módulo S de la suma de los tres vectores está dado por la
fórmula.γcos sr2β cosr t2α costs2tsr S
2222
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RECTAS EN EL ESPACIO
ÁNGULOS, COSENOS Y NÚMEROS DIRECTORES DE UNA RECTA
Definición 1: Sea L una recta en el espacio R 3
. Se llama conjunto de Ángulos Directores de la recta L al conjunto ordenado { α , β , γ }, donde α , β , γ son los
ángulos formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas x , y , z
respectivamente, con la recta L. Los ángulos directores toman valores entre 0º y
180º, es decir:
0º ≤ α , β , γ ≤ 180º
OBSERVACIÓN
El ángulo entre dos rectas que no se intersectan, se define como el ángulo formado por rectas que se intersectan y que, al mismo tiempo son paralelas a las rectas
dadas.
Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos
conjuntos de ángulos directores que son:
{ α , β , γ } y { 180º – α , 180º – β , 180º – γ }
En lo que sigue las rectas serán consideradas sin orientación.
x
y
z
L
α
β
γ
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Definicion 2: Los cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman
Cosenos Directores de la recta. Una recta tiene dos conjuntos de cosenos
directores.
{ cos α , cos β , cos γ } y { – cos α , – cos β , – cos γ }
Definicion 3: Un conjunto [ a , b , c ] es llamado Números Directores si existe una
constante k ≠ 0 tal que:
a = k cos α , b = k cos β , c = k cos γ
EXPRESION DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE
PASA POR DOS PUNTOS
Sea L una recta que pasa por los puntos )z , y , x( P 1111 y )z , y , x( P 2222 .
Sea | | PP | | d 21
y α , β , γ los ángulos directores se tiene:
d
xxα cos 12
,d
yyβ cos 12
,d
zz γcos 12
. . . ( 1 )
Tambien el conjunto {d
xx 12 ,d
yy 12 ,d
zz 12 } es un conjunto de
cosenos directores de L.
L
α
β
γ
2P
y
z
x
d
1P
O
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RELACION ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA
En virtud de ( 1 ) se tiene:
1γcosβcosαcos222
. . . ( 2 )
Ejemplo:
1. Hallar los cosenos directores de una recta determinada por los puntos
)2,0,1( P1 y )3,2,3( P2 y dirigido de1P a
2P .
22221 )23()02()13( | | PP | | d
22221 )1()2()2( | | PP | | d
3144 | | PP | | d 21
3
2
3
13α cos
3
2
3
02
β cos
3
1
3
23 γcos
2. { 45º , 60º , γ } es un conjunto de ángulos direct ores de una recta. Calcular los
posibles valores del otro ángulo.
1γcos60ºcos45ºcos 222
1γcos4
1
2
1 2
4
1 γcos
2
=> 2
1
γcos , por tanto γ = 60º ó γ = 120º
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ECUACIONES DE UNA RECTA
Sea )a,a,a(a 321
un vector diferente del vector cero. L una recta que pasa por
el punto )z , y , x( P 0000 y es paralelo al vectora . El vector
a se llama
Vector Dirección de la recta L.
Sea )z ,y,x( P un punto cualquiera de la recta L; Luego
PP0 es paralelo al
vectora , entonces existe t R tal que:
atPP0 , de donde
atPP
0
ó
a tPP 0 , t R
Es decir:
} R t, a tPP /)z,y,x(P {L 0
. . . ( * )
En lugar de ( * ) escribiremos:
L: a tPP 0 , t R . . . ( 3 )
x
y
z
LP
0P
a
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A la expresión ( 3 ) se le llama Ecuación Vectorial de la recta L. Esta ecuación
tambien puede ser escrito como:
)a , a , a(t)z , y , x()z ,y,x( 321000 , t R ó
)atz , aty , atx()z ,y,x( 302010 , t R
Por la igualdad de vectores, se tiene:
30
20
10
atzz
atyy
atx x
, t R . . . ( 4 )
Esta expresión es conocida como Ecuación Parametrica de la recta L y t es
llamado Parametro. Si los tres números 1a , 2a y3a son diferentes de cero,
eliminando el parámetro t se obtiene.
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
. . . ( 5 )
Esta expresión es llamada Forma Simetrica de la ecuación de la recta L.
OBSERVACION
i. Si uno de los números 1a , 2a ó 3a es igual a cero, por ejemplo 3a = 0, la
ecuación de la recta en su forma simétrica se escribirá como:
02
0
1
0 zz a
yy
a
xx
ii. Si dos de los números 1a , 2a ó 3a son nulos, por ejemplo 1a = 3a = 0, la
ecuación de la recta en su forma simétrica se escribirá como:
00 zz xx
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OBSERVACION
Si )a,a,a(a 321
es el vector dirección de la recta L, las componentes del
vector unitario dea :
| |a| |
aua
Forman un conjunto de cosenos directores de la recta L y las componentes del
vectora forman un conjunto de números directores de la recta L, osea:
}
| |a| |
a ,
| |a| |
a ,
| |a| |
a {
321
Es un conjunto de cosenos directores y [ 1a , 2a ,3a ] es un conjunto de números
directores.
Ejemplo:
1.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( – 1 , 2 , 3 ) yB ( 2 , 1 , 4 ).
)3,2,1( )4,1,2(ABa
)1,1,3(a
La ecuación vectorial de la recta L es:
)1 , 1 , 3( t)3 , 2 , 1(P
, t RLa ecuación paramétrica de la recta L es:
t3z
t2y
t31 x
, t R
La ecuación de la recta L en su forma simétrica es:
3z1
2y
3
1x
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2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 3 , 1 , 2 ) y cuyos
números directores son [ 2 , 0 , 1 ].
Ecuacion vectorial de la recta)1 , 0 , 2( t)2 , 1 , 3(P , t R
Ecuacion paramétrica de la recta
3t2z
1y
2t3 x
, t R
Forma simétrica de la recta
1y 3
2z
2
3x
RECTAS PARALELAS
Sean dos rectas:
L1:
a tPP 0 , t R y
L2:
b s QQ 0 , s R
Son paralelas, si sus vectoresa y
b son paralelos.
OBSERVACIÓN
i. Para todo punto P1 de R 3 y toda recta L:
a tPP 0 , t R, existe una
única recta L1 que pasa por el punto P1 y es paralela a la recta L.
ii. Si L1 y L2 son dos rectas paralelas, entonces L1 = L2 ó L1 ∩ L2 = ϕ.
iii.
Si las rectas L1 y L2 no son paralelas, entonces: L1 ∩ L2 = ϕ (las rectas no secruzan) ó L1 ∩ L2 consiste de un solo punto.
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ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS – RECTAS PERPENDICULARES
En virtud de la definición de ángulo entre dos rectas, dos rectas determinan dos
ángulos: θ y π – θ. Luego es suficiente determinar uno de los ángulos, en este
caso el ángulo que forman sus vectores dirección. Luego, si
L1:
a tPP 0 , t R y
L2:
b s QQ 0 , s R
Son las ecuaciones vectoriales de dos rectas, la expresión para calcular el ángulo
entre las rectas L1 y L2 será:
| | b| | | |a| |
b.aθ cos
Por tanto, se deduce que la recta L1 es perpendicular a la recta L2 si
ba ó 0 b.a
.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTASea )z , y , x(A 111 un punto del espacio y L la recta cuya ecuación vectorial es:
L:
a tPP 0 , t R
Si d es la distancia del punto A a la recta L, entonces:
θsen| | v | | d
a
v d
L
0P
θ
A
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Donde θ es el ángulo que forman los vectoresa y
APv 0 . Una de las
propiedades del producto vectorial establece que
θsen| | v | | | | a | | | | va | |
De donde se deduce:
| | vu | |
| | a | |
| | va | | θsen| | v | | d a
Ejemplo:
1.
Calcular la distancia del punto A ( 3 , 2 , – 1 ) a la recta
L: )3, 2 , 1( t)2 , 3 , 1(P , t R
)3 , 2 , 1(a
)3 , 1 , 2()2 , 3 , 1()1 , 2 , 3(APv 0
)3 , 3 , 3(
312
321
k ji
va
222
222
)3()2()1(
)3()3()3(
| | a | |
| | va | |d
14
27
941
999d
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 3 , 1 , 5 ) y es paralelo
a la recta L1: 2x – 2 = 1 – y 4z
Reescribiendo la ecuación de recta L1
2
1y1x
4z
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La ecuación vectorial de la recta L1 será:
)0, 2 , 1( s )4 , 1 , 1(Q , s R
Como L // L1 => L //a , donde )0 , 2 , 1(a
es el vector dirección
de L1. Por tanto, la ecuación de la recta buscada es:
L:
a tPP 0 , t R
L: )0, 2 , 1( t)5 , 1 , 3(P , t R
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 ( 3 , 1 , – 2 ) e intersecta y es
perpendicular a la recta L1: x + 1 = y + 2 = z + 1
Ecuacion vectorial de la recta L1
)1, 1 , 1( s )1 , 2 , 1(Q , s R
)1 , 2 , 1(Q0
)1 , 1 , 1( b
Sea A el punto de intersección de las rectas L1 y L. Como A L1, entonces
R k tal que A ( k – 1 , k – 2 , k – 1 ). Luego:
)1k , 3k , 4k ()2 , 1 , 3( )k1 ,k2 ,k1(AP0
)1 , 1 , 1( b
)1,2,1(Q0
1LL
)2,1,3(P0
)1k , 2k , 1k (A
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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Por la condición de perpendicularidad
)1 , 1 , 1( b )1k , 3k , 4k (AP0
Entonces:
0)1 , 1 , 1( . )1k , 3k , 4k ( b . AP0
01k 3k 4k
63k => k = 2 => A ( 1 , 0 , 1 )
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 ( 3 , 1 , – 2 ) y A ( 1 , 0 , 1 )
es:
)3 , 1 , 2()1 , 0 , 1( )2 , 1 , 3(PAa 0
L:
a tPP 0 , t R
L: )3 , 1 , 2( t)2 , 1 , 3(P , t R
4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por P0 ( 1 , 4 , 0 ) y es
perpendicular a las rectas
L1:
s1z
s4y
s3 x
, s R
L2:3
12y
6
4x
2
1z
Seaa el vector dirección de la recta buscada L. Un vector dirección de L 1 es
)1 , 1 , 1( b
y el vector dirección de L2 es )0 , 3/2 , 6(c
.
Como L L1 y L L2 =>
ba y
ca
=>a //
c b
Podemos tomar:a =
c b
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)9/2 , 6 , 3/2(
03/26
111
k ji
c ba
Luego, la ecuación de la recta buscada es:
L:
a tPP 0 , t R
L: )9/2 , 6 , 3/2( t)0 , 4 , 1(P , t R
5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio deAB y corta
bajo un ángulo de 60º a la recta que pasa por los puntos R y S, donde
A ( 2 , 4 , 0 ) ; B ( 0 , 0 , – 2 ) ; R ( – 1 , 3 , 3 ) ; S ( 3 , 3 , 3 ).
Este problema tiene dos soluciones como se puede observar en la siguiente
figura.
El punto medio M del segmentoAB es:
)
2
20 ,
2
04 ,
2
02 ( M
M ( 1 , 2 , – 1 )
a
I
)0 , 0 , 1( b
1L
LL'
A
M B
60º60º
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El vector dirección de la recta L1 es:
)0 , 0 , 4()3 , 3 , 1( )3 , 3 , 3(RS
)0 , 0 , 1()0 , 0 , 4( 4
1
| | RS | |
RS b
La ecuación de la recta L1 que pasa por R y S es:
b s R Q , s R
)0, 0 , 1( s )3 , 3 , 1(Q , s R
Sea I el punto de intersección de L con L1 => I L1 => s R /
I ( s – 1 , 3 , 3 ).
El vector dirección de la recta L es:
)4 , 1 , 2s()1 , 2 , 1( )3 , 3 , 1s(MIa
De la condición
| | b| | | |a| |
b.a
60º cos
222222 )0()0()1( )4()1()2s(
)0 , 0 , 1( . )4 , 1 , 2s(
2
1
001 611)2s(
)0()4()0()1()1()2s(
2
1
2
17)2s(
2s
2
1
2
)2s(217)2s(2
222 ])2s(2[] 17)2s( [
22)2s(417)2s(
17)2s(32
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3
17)2s(
2
3
17 2s =>
3
17 2s => ) 3 , 3 ,
3
17 1 ( I
El vector dirección de la recta L es:
) 4 , 1 , 3
17 (a
Luego las soluciones al problema son:
L:
a tMP , t R
L: ) 4 , 1 , 3
17 ( t)1 , 2 , 1(P , t R
L' :
a λ MP , R
L' : ) 4 , 1 , 3
17 ( λ )1 , 2 , 1(P , R
6. Hallar un punto en la L: P = ( 2 , 11 , 14 ) + t ( 2 , 4 , 5 ) , t R que equidista
de las rectas
L1: Eje x
L2: Q = ( 1 , 7 , 0 ) + s ( 0 , 0 , 1 ) , s R
Ecuacion vectorial de la recta L1
R = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 1 , 0 , 0 ) , R (Eje x)
Sea A L, el punto que equidista de las rectas L1 y L2. Entonces:
A ( 2t + 2 , 4t + 11 , 5t + 14 )
| | )0 , 0 , 1( | |
| | )0 , 0 , 1( )145t , 114t , 22t( | | )L,A(d 1
221 )114t()145t()L,A(d . . . ( 1 )
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| | )1 , 0 , 0( | |
| | )1 , 0 , 0( )145t , 44t , 12t( | | )L,A(d 2
222 )12t()44t()L,A(d . . . ( 2 )
De ( 1 ) y ( 2 ):
2222)12t()44t()114t()145t(
Resolviendo, se obtiene t = – 2 t = – 50/7
Luego las soluciones son: )4 , 3 , 2( A1 y )7
152 ,
7
123 ,
7
66 ( A2
Ejemplos:
1. Encontrar la distancia del punto A ( 3 , 2 , 1 ), a la recta que pasa por los
puntos P0 ( 1 , 2 , 9 ) y P1 ( – 3 , – 6 , – 3 ).
2. Sean:
L1: P = ( 1 , 0 , – 1 ) + t ( 1 , 1 , 0 ) , t R
L2: Q = ( 0 , 0 , 1 ) + s ( 1 , 0 , 0 ) , s R
Hallar la ecuación de la recta L que es perpendicular a L1 y L2 y las intersecta.
3. Determinar la ecuación de la recta que intersecta a las rectas:
L1: P = ( 1 , – 1 , 1 ) + t ( 1 , 0 , – 1 ) , t R
L2: Q = ( 1 , 0 , 0 ) + s ( – 1 , 1 , 1 ) , s R
En los puntos A y B, respectivamente, de tal manera que la longitud del
segmentoAB sea mínima.
4. Una recta pasa por el punto A ( 1 , 1 , 1 ) y forma ángulos de 60º y 30º con los
ejes x e y respectivamente. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.
Rpta. L: P = ( 1 , 1 , 1 ) + t ( 1 , 3 , 0 ) , t R
5. Una recta pasa por el punto A ( – 2 , 1 , 3 ), es perpendicular e intersecta a la
recta L1: P = ( 2 , 2 , 1 ) + t ( 1 , 0 , – 1 ) , t R. Hallar la ecuación vectorialde dicha recta. Rpta. Q = ( – 2 , 1 , 3 ) + s ( 1 , 1 , 1 ) , s R
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PLANOS
ECUACIONES DE UN PLANO: VECTORIAL Y PARAMETRICA
Sea un plano que pasa por el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y es paralelo a los vectores
)a,a,a(a 321
y ) b, b, b( b 321
cona no paralelo a
b . Sea P ( x , y , z )
un punto del plano , entonces existen r, s R tal que:
bsarPP0
Luego
bsarP P 0 , de donde
bs arPP 0
Es decir:
} R s,r, bs arPP /)z,y,x(P { 0
En lugar de esta expresión escribiremos
: R s,r, bs arPP 0
. . . ( 1 )
Esta expresión es llamada Ecuación Vectorial del plano . La ecuación ( 1 ) se
puede escribir como:
x
y
z
)z,y,x(P
0P
N
b
a
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) b , b , b( s)a , a , a(r)z , y , x()z ,y,x( 321321000 , r , s R
Por la igualdad de vectores se obtiene:
330
220
110
b sarzz
b saryy
b sarx x
, r , s R . . . ( 2 )
Esta expresión es llamada Ecuación Parametrica del plano , r , s se denominan
Parametros.
Ejemplo:
1. Hallar las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por los puntos
P0 ( 3 , 1 , 2 ) , P1 ( 1 , – 1 , 2 ) y P2 ( 2 , 0 , 3 ).
)0 , 2 , 2()2 , 1 , 3( )2 , 1 , 1(PPa 10
)1 , 1 , 1()2 , 1 , 3( )3 , 0 , 2(PP b 20
Luego, una ecuación vectorial es:
: R s,r, bs arPP 0
: R s,r, )1 , 1 , 1( s )0 , 2 , 2(r)2 , 1 , 3(P
Ecuacion paramétrica del plano es:
:
s2z
sr 21y
sr 23 x
, r , s R
OBSERVACION
i. De la ecuación vectorial se obtiene que
ba N es un vector
perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al plano
es llamado normal del plano.
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ii. Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0
y P1 y P2
son dos puntos del plano entonces
21 PP a .
iii.
Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0
y
N PP 10 => P1 .
iv. Si N es una normal del plano : R s,r, bs arPP 0
entonces
} 0 PP . N /)z,y,x(P { 0
y es el único plano que pasa por P0 con
normal N .
ECUACION GENERAL DE UN PLANO
Sea un plano que pasa por el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y cuyo vector normal es
)C , B ,A( N
. Sea P ( x , y , z ) un punto cualquiera del plano , entonces
N PP0 , luego:
0 PP . N 0
ó
0)PP( . N 0
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
Por lo tanto, la ecuación general del plano es de la forma:
0DCzByAx . . . ( 3 )
La ecuación ( 3 ) tambien es llamada Ecuación Cartesiana del plano.
Ejemplo:
1. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto P0 ( 2 , 3 , – 5 ) y
es ortogonal al segmentoPQ , donde P (1 , 3 , 0 ) y Q ( 3 , – 2 , 1 ).
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Sea:
)1 , 5 , 2()0 , 3 , 1( )1 , 2 , 3(PQ N
)1 , 5 , 2()C , B ,A( N
P0 ( 2 , 3 , – 5 )
Entonces la ecuación del plano es:
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)5z(1)3y(5)2x(2
05z15y542x
016zy52x :
2. Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos P ( 2 , 3 , – 5 )
Q ( 1 , 3 , 0 ) y R ( 3 , – 2 , 1 ).
)5 , 0 , 1()5 , 3 , 2( )0 , 3 , 1(PQa
)6 , 5 , 1()5 , 3 , 2( )1 , 2 , 3(PR b
Luego: N //
ba
)5 , 11 , 25(
651
501
k ji
ba N
)5 , 11 , 25()C , B ,A( N
P ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 3 , – 5 )
La ecuación del plano es:
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)5z(5)3y(11)2x(25
0585z11y25x :Π
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OBSERVACIÓN:
i. Si L // <=>
a N <=> 0a . N
ii. Si L <=> N //
a
iii. Si L // => L ∩ = ϕ ó L
iv. Si L =>
a N y P0 L => P0
v. Si L no es paralelo a => L ∩ es un punto
Ejemplo:
1.
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta
L: P = ( 1 , 2 , 2 ) + t ( 0 , 3 , 1 ) , t R y al punto Q0 ( 2 , – 3 , 8 )
)1 , 3 , 0(a
)6 , 5 , 1()2 , 2 , 1( )8 , 3 , 2(QP b 00
Sea
N la normal del plano, entonces:
a N y
b N => N //
ba
)3 , 1 , 23(
651
130
k ji
ba N
)3 , 1 , 23()C , B ,A( N
P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 1 , 2 , 2 )
La ecuación del plano es:
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)2z(3)2y(1)1x(23
0193zy23x :Π
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PLANOS PARALELOS E INTERSECCIÓN DE PLANOS
Se dice que dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
OBSERVACIÓN:i. Si 1 y 2 son dos planos paralelos, entonces 1 = 2 ó 1 ∩ 2 = ϕ.
ii. Si 1 y 2 son dos planos no paralelos, entonces 1 ∩ 2 es una recta. Si
las ecuaciones de los planos no paralelos son:
0DzCyBxA 1111 y
0DzCyBxA 2222
A la recta de intersección los denotaremos con:
L:
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111 ó
L: 0DzCyBxA 1111 ; 0DzCyBxA 2222
iii. Dados dos planos no paralelos cuyas ecuaciones son:
0DzCyBxA 1111 y
0DzCyBxA 2222
La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de estos
planos está dada por:
0)DzCyBxA(kDzCyBxA 22221111
Donde k es el parámetro de la familia
OBSERVACIÓN:
Es necesario conocer las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos
paralelos a estos.
i. z = 0, es la ecuación del plano coordenado xy
ii.
x = 0, es la ecuación del plano coordenado yziii. y = 0, es la ecuación del plano coordenado xz
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iv. z = k, es la ecuación del plano paralelo al plano xy, que pasa por el
punto ( 0 , 0 , k ).
v. x = k, es la ecuación del plano paralelo al plano yz, que pasa por el
punto ( k , 0 , 0 ).vi. y = k, es la ecuación del plano paralelo al plano xz, que pasa por el
punto ( 0 , k , 0 ).
Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P0 ( 2 , 6 , – 1 ) y es
paralelo al plano 4x – 2y + z – 1 = 0
Sea N la normal plano buscado, entonces
N // ( 4 , – 2 , 1 ) tomando:
)1 , 2 , 4()C , B ,A( N
P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 6 , – 1 )
La ecuación del plano es:
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)1z(1)6y(2)2x(4
05zy24x :Π
2. Hallar la distancia del punto Q0 ( 2 , – 1 , 3 ) a la recta
L: 2x – y + z – 3 = 0 ; x + 2y – z + 1 = 0
La recta L es la intersección de los planos 2x – y + z – 3 = 0 y
x + 2y – z + 1 = 0. Para hallar la distancia, es necesario tener la ecuación
vectorial de la recta, para esto se resuelve simultáneamente las ecuaciones de
los dos planos.
03zy2x . . . ( 1 )
01zy2x . . . ( 2 )
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( 1 ) + ( 2 ) entonces tenemos:
02y3x
3x2y . . . ( 3 )
Reemplazando ( 3 ) en ( 1 ) tenemos:03z)3x2(2x
03z3x22x
5x5z . . . ( 4 )
Para x = t , t R se obtiene:
tx
3t2y
5t5z
Luego:
L: ) 5 , 3 , 1 ( t)5 , 2 , 0(P , t R
)5 , 3 , 1(a
)2 , 3 , 2()5 , 2 , 0()3 , 1 , 2(QPv 00
)3 , 8 , 9(
232
531
k ji
va
222
222
)5()3()1(
)3()8()9(
| | a | |
| | va | |
d
5
22
2591
96481d
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos x – y + 2z + 4 = 0 , 2x + y + 3z – 9 = 0 y es paralelo a la recta cuyosnúmeros directores son [ 1 , 3 , – 1 ]
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La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los
planos dados es:
0)9z3y2x(k4z2yx
0)9k4(z)23k (y)1k (x)12k ( 0DCzByAx
Luego:
)23k , 1k , 12k ()C , B ,A( N
Como el plano es paralelo al vector )1 , 3 , 1(a
, entonces:
0a . N
0) 1 , 3 , 1 ( . )23k , 1k , 12k (
023k 33k 12k
2k
Por lo tanto el plano buscado es:
0148zy5x
4. Dadas las rectas
L1: P = ( 1 , 2 , – 1 ) + t ( 1 , 3 , 1 ) , t R
L2: Q = ( 5 , – 1 , – 2 ) + s ( 2 , – 1 , 2 ) , s R
Hallar las ecuaciones de dos planos 1 y 2 de modo que L1 1 y
L2 2
)1 , 3 , 1(a
)2 , 1 , 2( b
Sea N la normal común de los planos 1 y 2 entonces:
a N y b N => N // ba
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)7 , 0 , 7(
212
131
k ji
ba
)1 , 0 , 1(
| | ba| |
ba N
)1 , 0 , 1()C , B ,A( N
Las ecuaciones de los planos son:
P0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 1 , 2 , – 1 )
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)1z(1)2y(0)1x(1
02z x:Π 1
Q0 ( x0 , y0 , z0 ) = ( 5 , – 1 , – 2 )
0)zz(C)yy(B)xx(A 000
0)2z(1)1y(0)5x(1
07z x:Π 2
5. Por el punto A ( 1 , 0 , 1 ) se traza una perpendicular al plano
07zy2x :Π . Si B es el pie de dicha perpendicular, determinar un
punto C en la recta L: P = ( – 1 , 1 , 0 ) + t ( 0 , 1 , 5 ) , t R de modo que el
volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D es igual a 4 u³. D es el
punto de intersección de la recta L con el plano .
En primer lugar, determinaremos el punto B.
Sea: L N: Q = A + s N , s R
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A ( 1 , 0 , 1 )
07zy2x :Π => )1 , 1 , 2( N
L N: ) 1 , 1 , 2 ( s )1 , 0 , 1(Q , s R
L N es la recta que pasa por A y es perpendicular al plano , entonces B L N
y B => B ( 2s + 1 , s , 1 – s )
Reemplazando en la ecuación del plano
07)s1(s)12s(2
07s1s24s
1s
=> B ( 3 , 1 , 0 )
En seguida determinaremos el punto D.
D = L ∩ => D L D => D ( – 1 , t0 + 1 , 5t0 )
Reemplazando en la ecuación del plano
07)5t()1t()1(2 00
075t1t2 00
2t0
=> D ( – 1 , – 1 , – 10 )
A
B
C
D
L
N
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Por otro lado, si C L => C ( – 1 , t + 1 , 5t )
Sea:
)5t, t, 4()0 , 1 , 3()5t, 1 t, 1(BCa
)10 , 2 , 4()0 , 1 , 3()10 , 1 , 1(BD b
)1 , 1 , 2()0 , 1 , 3()1 , 0 , 1(BAc
Volumen del tetraedro
|c b . a| 6
1 V
4 |c b . a| 61
24 |c b . a|
24t48
112
1024
5tt4
c b . a
Luego:
24 |24t84| => t = – 1 t = – 3
Finalmente, el problema tiene dos soluciones:
C1 ( – 1 , 0 , – 5 )
C2 ( – 1 , – 2 , – 15 )
6. A ( 3 , 2 , 1 ) y B ( – 5 , 1 , 2 ) son dos puntos del espacio, hallar un punto C
en el plano x – y + 2z – 4 = 0 de modo que
CB AC sea mínimo.
Para que
CB AC sea mínimo, necesariamente A, B y C deben estar en un
plano perpendicular al plano . En la figura se muestra al plano de canto.Si 'B es el punto simétrico de B respecto al plano . Entonces
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2d'CBCB
. Luego 21 dd es mínimo si C es la intersección de
'AB con
el plano .
Nota: Dos puntos B y 'B son Simétricos respecto al Plano , si es
perpendicular al segmento
'BB en el punto medio M (de
'BB )
En primer lugar determinaremos M. Sea L N: P = B + t N , t R, la recta
que pasa por B y es perpendicular al plano .
L N: P = ( – 5 , 1 , 2 ) + t ( 1 , – 1 , 2 ) , t R
Entonces M L N y M => M ( t – 5 , 1 – t , 2t + 2 ), reemplazando
en la ecuación del plano
04)22t(2)t1()5t(
0444tt15t
1t
=> M ( – 4 , 0 , 4 )
Como M es punto medio entre B y 'B , por la fórmula de punto mediodeterminamos el punto 'B .
N
'B
BA
C M
1d 2d
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=> 'B ( – 3 , – 1 , 6 )
La ecuación de la recta que pasa por A y 'B es:
L: Q = ( 3 , 2 , 1 ) + r ( – 6 , – 3 , 5 ) , r R
C = L ∩ => C L y C C ( 3 – 6r , 2 – 3r , 1 + 5r )
Reemplazando en la ecuación del plano
04)5r1(2)3r2()6r3(
04r 1023r 26r 3
7
1r
=> C ( 15/7 , 11/7 , 12/7 )
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sea un plano cuya ecuación es Ax + By + Cz + D = 0 y Q ( x1 , y1 , z1 ) un
punto del espacio. Si d es la distancia del punto Q al plano ( la longitud del
segmento perpendicular trazado de Q a ), entonces:
θ cos | | QP | | d 0
. . . ( 1 )
Donde θ es el ángulo entre
QP0 y la normal
N , y P0 ( x0 , y0 , z0 ) es un punto del
plano . Como P0 entonces:
θ
0P
d
Q
N
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Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
D = – Ax0 – By0 – Cz0 . . . ( 2 )
Por otro lado:
| | N| | | |QP| |
| N . QP |θ cos
0
0
. . . ( 3 )
Reemplazando ( 3 ) en ( 1 ) tenemos:
| | N| |
| N . QP |d 0
)zz , yy , xx()z , y , x()z , y , x(QP 0101010001110
)C , B ,A( N
Luego:
222
010101
CBA
| )C , B ,A( . )zz , yy , xx( |d
222
010101
CBA
| )zz(C)yy(B)xx(A|d
222
000111
CBA
| CzByAxCzByAx |d
. . . ( 4 )
Reemplazando ( 2 ) en ( 4 ) tenemos:
222
111
CBA
| DCzByAx |d
. . . ( 5 )
OBSERVACIÓN:
Si el punto Q ( x1 , y1 , z1 ) 1 donde 1 es un plano cuya ecuación es
Ax + By + Cz + D1 = 0 ( 1 // ), entonces la formula ( 5 ) se transforma en:
222
1
CBA
| DD |d
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Esto significa que: si las ecuaciones de dos planos paralelos son:
Ax + By + Cz + D = 0 y
Ax + By + Cz + D1 = 0
La distancia entre dichos planos está dada por la fórmula
222
1
CBA
| DD |d
. . . ( 6 )
Ejemplo:
1. Calcular la distancia del punto Q ( 1 , 2 , 3 ) al plano
: P = ( 2 , 1 , – 1 ) + r ( 1 , 1 , 1 ) + s ( – 1 , 1 , 0 ) , r, s R
Sea el vector normal al plano
)2 , 1 , 1(
011
111
k ji
ba N
La ecuación del plano es:
0)1z( 2)1y( 1)2x( 1
052zyx
Distancia del punto Q al plano
222
)2()1()1(
| 5)3(221 |d
3
64
411
| 5621 |d
2. Encuentre la distancia entre los planos paralelos
1: x – 2y + 2z – 5 = 0
2: 3x – 6y + 6z – 7 = 0
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Para aplicar la formula ( 6 ) es necesario que los dos planos paralelos tengan la
misma normal; para esto dividimos la ecuación del plano 2 entre 3
obtenemos las ecuaciones:
1: x – 2y + 2z – 5 = 02: x – 2y + 2z – 7/3 = 0
Finalmente:
222 )2()2()1(
| 7/35 |d
9
8
441
| 7/35 |d
3. La distancia del punto P ( 1 , 0 , 2 ) a un plano es 1. Si el plano pasa por la
intersección de los planos 4x – 2y – z + 3 = 0 , 2x – y + z – 2 = 0, hallar la
ecuación del plano.
La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los planosdado es:
4x – 2y – z + 3 + k ( 2x – y + z – 2 ) = 0
( 2k + 4 )x – ( k + 2 )y + ( k – 1 )z + 3 – 2k = 0
Por la condición del problema
1
)1k ()2k ()42k (
|2k3)1k (2)42k ( |d
222
12118k 6k
| 52k |
2
| 52k | 2118k 6k 2
Elevando al cuadrado ambos miembros
2520k 4k 2118k 6k 22
04k 22k 2
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02k k 2
0)2k ()1k ( => k = – 1 ó k = 2
Luego, el problema tiene dos soluciones:
1: 2x – y – 2z + 5 = 0
2: 8x – 4y + z – 1 = 0
ANGULO ENTRE DOS PLANOS
Dos planos no paralelos 1 y 2 forman dos ángulos (diedros) θ y 180º – θ ,
luego es suficiente conocer uno de los ángulos. Uno de estos angulos es igual al
ángulo que forman sus normales. Si θ es este ángulo, entonces:
| | N| | | | N| |
N . Nθ cos
21
21
Donde
1 N y
2 N son respectivamente, las normales de 1 y 2.
Ejemplo:
1. Hallar el ángulo obtuso que forman los planos
1: 2x – y + z – 4 = 0 y
2: x + y + 2z – 5 = 0
1 N
2 N
1Π
2Π
θ
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)1 , 1 , 2( N1
)2 , 1 , 1( N2
222222 )2()1()1( )1()1()2()2 , 1 , 1( . )1 , 1 , 2(θ cos
6 6
3
411 114
212θ cos
2
1θ cos => º60θ
Luego, el ángulo obtuso entre los planos es = 180º – 60º = 120º
ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO
Sea L una recta cuyo vector dirección esa y un plano cuyo vector normal es
N . El ángulo entre la recta L y el plano se define como el angulo que forma
L con L, donde L es la proyección de L sobre . Si es uno de losangulos que forman L con (el otro angulo es 180º – ), entonces θ + = 90º,
θ es el angulo que forman el vector
N y el vectora => sen = cos θ pero:
| |a| | | | N| |
a . Nθ cos
Por lo tanto:
| |a| | | | N| |
|a . N|αsen
Ejemplo:
1.
Hallar el ángulo agudo que forman el plano : 2x + y + z – 5 = 0 con la rectaL: P = ( 2 , 3 , 5 ) + t ( 1 , – 1 , 2 ) , t R
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En este caso, )2 , 1 , 1(a
y )1 , 1 , 2( N
, si es el ángulo que forma
la recta L con el plano , entonces:
| |a| | | | N| |
|a . N|αsen
222222 )2()1()1( )1()1()2(
| )2 , 1 , 1( . )1 , 1 , 2( |αsen
411 114
212αsen
2
1
6 6
3αsen
Luego, el ángulo agudo que forman L y es de 30º.
DISTANCIA MINIMA ENTRE RECTAS
Sean las rectas:
L1: P = P0 + ta , t R y
L2: Q = Q0 + s b , s R
Solamente existen dos posibilidades:
i. L1 // L2 =>a //
b
)L , P(d)L , Q(dd 2010
ii. L1 no // L2 =>a no //
b
ba N
00 QPC
| u . C |
| | N| |
| N . C|d N
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Ejemplo:
1. Hallar la distancia minima entre las rectas
L1: P = ( 1 , 1 , 4 ) + t ( 0 , 1 , – 3 ) , t R y
L2: x = 4 + s , y = 5 , z = – 3 + 2s , s R
Se tiene:
P0 ( 1 , 1 , 4 ) L1
Q0 ( 4 , 5 , – 3 ) L2
)3 , 1 , 0(a
)2 , 0 , 1( b
)1 , 3 , 2(
201
310
k ji
ba N
)7 , 4 , 3()4 , 1 , 1()3 , 5 , 4(QPC 00
Luego:
| | N| |
| N . C|d
222 )1()3()2(
| )1 , 3 , 2( . )7 , 4 , 3( |d
194
| 7126 |d
14
1d
14
14d
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CAPITULO VII
SUPERFICIES
DEFINICION: Sea E ( x , y , z ) = 0 una ecuación en las variables x , y , z. Lagráfica de esta ecuación (llamada superficie en el espacio tridimensional R 3), es el
conjunto de todos los puntos P ( x , y , z ) cuyas coordenadas satisfacen la
ecuación dada.
ESFERA
DEFINICION: Una esfera es un conjunto de todos los puntos del espacio que
equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto al
centro se llama radio.
Sea P ( x , y , z ) cualquier punto de la esfera de centro C ( x0 , y0 , z0 ) y
radio r > 0, entonces la distancia al cuadrado del centro al punto P.
22
r )P,C(d 2
02
02
0 )zz()yy()xx( | |CP| | )P,C(d
2
0
2
0
2
0
2)zz()yy()xx()P,C(d
22
0
2
0
2
0 r )zz()yy()xx( . . . ( * )
Es llamada forma ordinaria de la ecuación de la esfera.
OBSERVACIONES:
i. Si el centro es el origen de coordenadas entonces ( * ) tiene la forma
2222r zyx forma canonica de la ecuación de la esfera.
ii. En ( * ) se tiene 22
0
2
0
2
0 r )zz()yy()xx( que al resolver nos da
0r zyxz)z2(y)y2(x)x2(zyx 220
20
20000
222
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0GFzEyDxzyx222
. . . ( ** ) llamada forma general de la
ecuación de la esfera. Cualquier ecuación de la forma ( ** ) se puede expresar
en la forma
ε: t)lz()ky()hx( 222 . . . ( 1 )
Si t > 0 ( 1 ) representa a una esfera de centro C ( h , k , l ) y radio t .
Si t = 0 ( 1 ) representa al punto C ( h , k , l ).
Si t < 0 ( 1 ) representa al conjunto vacio.
Estas dos últimas son llamadas formas degeneradas de la esfera.
DEFINICIÓN (DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO) Sea π un plano
cuya ecuación es π: Ax + By + Cz + D = 0 y Q ( x0 , y0 , z0 ) un punto del
espacio si d es la distancia del punto Q al plano π la longitud del segmento
perpendicular trazado de Q al plano π entonces la distancia va a estar dada por:
222
000
CBA
| DCzByAx |
d
Ejemplo:
1. Encontrar la ecuación de la esfera que es tangente al plano
074z8y x:π y es concéntrica a la esfera
033z6y4x12zyx222
09436339z6z4y4y36x12x222
016)3z()2y()6x(222
16)3z()2y()6x(222
Centro de la circunferencia C ( 6 , 2 , 3 )
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Como la esfera es concéntrica la ecuación será:
2222r )3z()2y()6x(
La distancia del centro de la esfera al plano π será el radio de la esfera
222 )4()8()1(
| 7)3(4)2(8)6(1 |)π,)3,2,6(C(dr
=> 1r
Entonces la ecuación de la esfera será:
ε: 1)3z()2y()6x(222
DISCUSION Y GRAFICA DE LA ECUACION DE UNA SUPERFICIE
Para discutir la ecuación E ( x , y , z ) = 0 de una superficie se siguen los
siguientes pasos:
I. INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS
i. Con el Eje x: Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y se
analiza la ecuación resultante.
ii. Con el Eje y: Se reemplaza x = z = 0 en la ecuación de la superficie y se
analiza la ecuación resultante.
iii.
Con el Eje z: Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y seanaliza la ecuación resultante.
r
π
)3,2,6(C
16)3z()2y()6x(222
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II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS
La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la intersección de la
superficie y el plano coordenado.
i.
Con el Plano xy: Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie.ii. Con el Plano yz: Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie.
iii. Con el Plano xz: Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie.
III. SECCIONES TRANSVERSALES O PARALELAS A LOS PLANOS
COORDENADOS
Son las intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos
coordenados.
i. Sección Paralela al Plano xy: Se reemplaza z = k en la ecuación de la
superficie.
ii. Sección Paralela al Plano yz: Se reemplaza x = k en la ecuación de la
superficie.
iii. Sección Paralela al Plano xz: Se reemplaza y = k en la ecuación de la
superficie.
IV. EXTENSION DE LA SUPERFICIE
Son los valores reales que toman las variables x , y , z en la ecuación. El paso
III facilita la determinación de la extensión.
V. SIMETRIAS
P y Q son simétricos con respecto a un plano si el plano es perpendicular
al segmento que los une en su punto medio.
Una superficie es simétrica con respecto al plano π si el simétrico de
cada punto de la superficie respecto al plano π es tambien un punto de la
superficie.
Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de
cada punto respecto a la recta L es tambien un punto de la superficie.
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Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de
cada punto respecto al punto C es tambien un punto de la superficie.
a) Simetrias con respecto a los Planos Coordenados
Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de Pi. Con respecto al Plano xy: Es Q ( x , y , – z )
ii. Con respecto al Plano yz: Es Q ( – x , y , z )
iii. Con respecto al Plano xz: Es Q ( x , – y , z )
b) Simetrias con respecto a los Ejes Coordenados
Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de P
i.
Con respecto al Eje x: Es Q ( x , – y , – z )ii. Con respecto al Eje y: Es Q ( – x , y , – z )
iii. Con respecto al Eje z: Es Q ( – x , – y , z )
c) Simetrias con respecto al Origen
Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio entonces el simétrico de P
respecto al origen es Q ( – x , – y , – z )
TABLA DE RESUMEN
Si la ecuación de la superficie no se altera al reemplazar
1. x = – x La superficie es simétrica con respecto al Plano yz.
2. y = – y La superficie es simétrica con respecto al Plano xz.
3. z = – z La superficie es simétrica con respecto al Plano xy.
4. y = – y z = – z La superficie es simétrica con respecto al Eje x.
5.
x = – x z = – z La superficie es simétrica con respecto al Eje y.
6. x = – x y = – y La superficie es simétrica con respecto al Eje z.
7. x = – x y = – y z = – z La superficie es simétrica con respecto al
origen.
VI. CONSTRUCCION DE LA SUPERFICIE
Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la grafica de una superficie.
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Ejemplo:
1. Discutir y graficar la ecuación x² + z² – 4y = 0
I.
Intersecciones con los Ejes Coordenadosi. Con el Eje x y = z = 0
x² + ( 0 )² – 4 ( 0 ) = 0
=> x = 0 ( 0 , 0 , 0 )
ii.
Con el Eje y x = z = 0
( 0 )² + ( 0 )² – 4y = 0
=> y = 0 ( 0 , 0 , 0 )iii. Con el Eje z x = y = 0
( 0 )² + z² – 4 ( 0 ) = 0
=> z = 0 ( 0 , 0 , 0 )
II. Trazas sobre los Planos Coordenados
i.
Con el Plano xy z = 0x² + ( 0 )² – 4y = 0
=> x² = 4y Ecuacion de una parabola
ii. Con el Plano yz x = 0
( 0 )² + z² – 4y = 0
=> z² = 4y Ecuacion de una parabola
iii.
Con el Plano xz y = 0x² + z² – 4 ( 0 ) = 0
=> x² + z² = 0 ( 0 , 0 , 0 ) El origen de coordenadas
III. Secciones Transversales
i.
Con el Plano xy z = k
x² + k² – 4y = 0=> x² – 4y = – k² k R familia de parabolas
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ii. Con el Plano yz x = k
k² + z² – 4y = 0
=> z² – 4y = – k² k R familia de parabolas
iii.
Con el Plano xz y = kx² + z² – 4k = 0
=> x² + z² = 4k k ≥ 0
Si k = 0 se tiene el origen de coordenadas ( 0 , 0 , 0 )
Si k > 0 la sección transversal será una circunferencia
IV.
Extensiónz = k como k R => z R
x = k como k R => x R
y = k como k [ 0 , + ∞ > => y [ 0 , + ∞ >
V. Simetrias
i.
Con respecto al Plano xy z = – zx² + ( – z )² – 4y = 0
x² + z² – 4y = 0 No varia
Existe simetría con respecto al plano xy
ii. Con respecto al Plano xz y = – y
x² + z² – 4 ( – y ) = 0
x² + z² + 4y = 0 Varia No existe simetría con respecto al plano xz
iii. Con respecto al Plano yz x = – x
( – x )² + z² – 4y = 0
x² + z² – 4y = 0 No varia
Existe simetría con respecto al plano yz
iv.
Con el Eje x y = – y z = – zx² + ( – z )² – 4 ( – y ) = 0
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x² + z² + 4y = 0 Varia
No existe simetría con el eje x
v. Con el Eje y x = – x z = – z
( – x )² + ( – z )² – 4y = 0x² + z² – 4y = 0 No varia
Existe simetría con el eje y
vi. Con el Eje z x = – x y = – y
( – x )² + z² – 4 ( – y ) = 0
x² + z² + 4y = 0 Varia
No existe simetría con el eje zvii. Con el Origen x = – x y = – y z = – z
( – x )² + ( – z )² – 4 ( – y ) = 0
x² + z² + 4y = 0 Varia
No existe simetría con el origen
VI.
Construccion de la Superficie
4yx2
4yz2
x
y
z
CIRCULAR EPARABOLOID
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2. Discutir y graficar la ecuación 9x² – 4y² + 4z² = 36
I. Intersecciones con los Ejes Coordenados
i.
Con el Eje x y = z = 09x² – 4 ( 0 )² + 4 ( 0 )² = 36
9x² = 36
x² = 4
=> x = ± 2 ( ± 2 , 0 , 0 )
ii. Con el Eje y x = z = 0
9 ( 0 )² – 4y² + 4 ( 0 )² = 36 – 4y² = 36
y² = – 9
=> y ϕ No existe intersección con el eje y
iii. Con el Eje z x = y = 0
9 ( 0 )² – 4 ( 0 )² + 4z² = 36
4z² = 36z² = 9
=> z = ± 3 ( 0 , 0 , ± 3 )
II. Trazas sobre los Planos Coordenados
i. Con el Plano xy z = 0
9x² – 4y² + 4 ( 0 )² = 36=> 9x² – 4y² = 36 Ecuacion de una hiperbola
ii. Con el Plano yz x = 0
9 ( 0 )² – 4y² + 4z² = 36
=> 4z² – 4y² = 36 Ecuacion de una hiperbola
iii. Con el Plano xz y = 0
9x² – 4 ( 0 )² + 4z² = 36
=> 9x² + 4z² = 36 Ecuacion de una elipse
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III. Secciones Transversales
i. Con el Plano xy z = k
9x² – 4y² + 4k² = 36
=> 9x² – 4y² = 36 – 4k² k RSi k R – { – 3 , 3 } familia de hipérbolas
Si k = ± 3 Rectas cruzadas
ii. Con el Plano yz x = k
9k² – 4y² + 4z² = 36
=> 4z² – 4y² = 36 – 9k² k R
Si k R – { – 2 , 2 } familia de hipérbolasSi k = ± 2 Rectas cruzadas
iii. Con el Plano xz y = k
9x² – 4k² + 4z² = 36
=> 9x² + 4z² = 36 + 4k² k R familia de elipses
IV.
Extensiónz = k como k R => z R
x = k como k R => x R
y = k como k R => y R
V. Simetrias
i.
Con respecto al Plano xy z = – z9x² – 4y² + 4 ( – z )² = 36
9x² – 4y² + 4z² = 36 No varia
Existe simetría con respecto al plano xy
ii. Con respecto al Plano xz y = – y
9x² – 4 ( – y )² + 4z² = 36
9x² – 4y² + 4z² = 36 No varia Existe simetría con respecto al plano xz
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VI. Construccion de la Superficie
Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la superficie
Ejercicios:
Discutir y trazar la grafica de las siguientes superficies
1. x² + y² – z² = 0 Cono circular
2. 9x² – 4y² – 4z² = 36 Hiperboloide circular de dos hojas
3. y² – x² = 2z Paraboloide hiperbólico
4. 4x² + y² + z² = 4 Elipsoide
5. x² + y² + z² = 4 Esfera
6. y² – x³ = 0 Cilindro
7. y² – x² y = 0
8. z = | y |
364y9x22
364y4z22
x
y
z
HOJA UNADE
ELIPTICO DEHIPERBOLOI
223
3
364z9x22
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CILINDROS
DEFINICION: Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve
a lo largo de una curva plana dada permaneciendo siempre paralela a una recta fijaque no esta en el plano de dicha curva. La recta que se mueve es llamada generatriz
del cilindro, la curva plana es llamada directriz del cilindro.
OBSERVACIONES
1. Un cilindro es llamado cilindro recto si su generatriz es perpendicular al plano
de la directriz.
2.
Un cilindro es llamado cilindro oblicuo si su generatriz no es perpendicular al
plano de la generatriz.
3. Si la directriz es una recta entonces el cilindro es un plano.
NOTA:
Considerando que la directriz es una curva contenido en uno de los planos
coordenados en el espacio R³, la grafica de una ecuación en dos de las tres
variables x , y , z es un cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el
P
Generatriz
y
z
x Directriz
O
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plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuya generatriz
son paralelas al eje coordenado asociado con la variable faltante es decir:
1. E ( x , y ) = 0 Representa a un cilindro
E ( x , y ) = 0 z = 0 Directriz del cilindroEje z generatriz del cilindro
2. E ( x , z ) = 0 Representa a un cilindro
E ( x , z ) = 0 y = 0 Directriz del cilindro
Eje y generatriz del cilindro
3. E ( y , z ) = 0 Representa a un cilindro
E ( y , z ) = 0 x = 0 Directriz del cilindro
Eje x generatriz del cilindro
Ejemplo:
1. Trazar la grafica de la superficie y² – 2y + 4 = z
y² – 2y + 1 – 1 + 4 = z
y² – 2y + 1 = z – 3
( y – 1 ) ² = z – 3 V ( y , z ) = ( 1 , 3 )
)3,1(
z
x
y
O
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Ejercicios:
1. Trazar la grafica de la superficie
a) z = x ex
b)
y = cos x x [ 0 , 4π ] c) y = Ln x
d) y² = 4z
e) x² – y² = 1
f) 1x
2xy
2
SUPERFICIES CUADRICAS
Una Superficie Cuadrica o simplemente Cuadrica es la grafica de una ecuación de
segundo grado en las variables x , y , z.
Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de
cuadricas. En esta sección se dara algunas formas estándar de las superficies
cuadricas cuyas ecuaciones están en su forma más simple.
Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una
superficie, nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.
a) ELIPSOIDE
Su ecuación es de la forma:
1c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
Donde a , b , c son números positivos.
x [ – a , a ]
y [ – b , b ]
z [ – c , c ]
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Si a² = b² = c² => Es una esfera.
Si a² = b² (ó b² = c² , ó a² = c²) => Es un elipsoide de revolución o
esferoide.
Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números iguales, sellama esferoide alargado (La elipse que la genera gira alrededor de su eje
mayor).
Si el tercer número es menor que los números iguales, se llama esferoide
achatado (La elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).
Las secciones transversales a los planos coordenados son elipses ocircunferencias. En los planos x = ± a , y = ± b , z = ± c se reducen a un
punto.
Esta superficie es simétrica con respecto a uno de los planos coordenados,
simétrica con respecto a cada uno de los ejes coordenados y simétrica con
respecto al origen.
y
z
x
C
1 b
y
a
x
2
2
2
2
1c
z
a
x
2
2
2
2
1c
z
b
y
2
2
2
2
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A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie.
x < – ∞ , + ∞ >
y < – ∞ , + ∞ >
z < – ∞ , + ∞ >
Si a² = b² es una superficie de revolución (hiperboloide circular de una hoja).
Si a² ≠ b² es la hiperboloide elíptico de una hoja.
Las secciones transversales al plano xy son elipses o circunferencias según si
a² ≠ b² ó a² = b². Las secciones transversales al plano xz ó al plano yz son
hipérbolas.
En los planos y = ± b , x = ± a son dos rectas que se cortan. Esta superficie es
simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al
origen.
El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es
C ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma.
1c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
20
2
20
2
20
c) HIPERBOLOIDE ELIPTICO (O CIRCULAR) DE DOS HOJAS
Su ecuación es de la forma:
1c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
( ó 1c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
, 1c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
)
Donde a , b , c son números positivos.
En la siguiente figura se muestra la grafica de:
1c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
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En lo que sigue, se describe algunas propiedades de esta superficie.
x < – ∞ , + ∞ >
y < – ∞ , – b ] U [ b , + ∞ >
z < – ∞ , + ∞ >
Si a² = c² es una superficie de revolución (hiperboloide circular de dos hojas).
Si a² ≠ b² es un hiperboloide elíptico de dos hojas.
Las secciones transversales al plano xz son circunferencias o elipses según si
a² ≠ c² ó a² = c².
En los planos y = ± b son puntos. Esta superficie es simétrica con respecto a
los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen.
El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es
C ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma.
1
c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
20
2
20
2
20
1a
x
b
y
2
2
2
2
1c
z
b
y
2
2
2
2
y
z
x
C
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OBSERVACION:
Las tres superficies cuadricas (Elipsoide, Hiperboloide de una hoja y
Hiperboloide de dos hojas) tambien se denominan Cuadricas Centrales. En
general cualquier ecuación de la forma:
1c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
20
2
20
2
20
Donde a , b , c son positivos representa a una Cuadrica Central con centro en
C ( x0 , y0 , z0 ).
Si los tres signos son psositivos: Elipsoide.
Si dos signos son positivos y uno negativo: Hiperboloide de una hoja.
Si dos signos son negativos y uno positivo: Hiperboloide de dos hojas.
Si los tres signos son negativos: El conjunto es vacio.
d) PARABOLOIDE ELIPTICO (O CIRCULAR)
Su ecuación es de la forma:
cz b
y
a
x
2
2
2
2
( ó byc
z
a
x
2
2
2
2
, axc
z
b
y
2
2
2
2
)
Donde a , b , c son números positivos y c ≠ 0.
En la siguiente figura se muestra la grafica de:
cz b
y
a
x
2
2
2
2
, con c > 0, (Si c < 0 el paraboloide se extiende hacia la parte
negativa del eje z).
Las propiedades de esta superficie son:
x < – ∞ , + ∞ >
y < – ∞ , + ∞ >
z [ 0 , + ∞ > ( Si c < 0 , z < – ∞ , 0 ] )
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Si a² = b² , es una superficie de revolución (paraboloide circular).
Si a² ≠ b² , es un paraboloide elíptico.
Las secciones transversales al plano xy son circunferencias o elipses según si
a² = b² ó a² ≠ b².
En el plano z = 0 es un punto. Esta superficie es simétrica con respecto al eje
z, al plano xz y al plano yz.
El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice esV ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
)zz(c b
)yy(
a
)xx(02
20
2
20
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
)yy( bc
)zz(
a
)xx(02
20
2
20
ó )xx(ac
)zz(
b
)yy(02
20
2
20
cz
b
y2
2
cza
x2
2
y
z
x
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e) PARABOLOIDE HIPERBOLICO
Su ecuación es de la forma:
cz
a
x
b
y
2
2
2
2
( ó by
a
x
c
z
2
2
2
2
, ax
b
y
c
z
2
2
2
2
)
Donde a , b , c son números positivos y c ≠ 0.
En la siguiente figura se muestra la grafica de:
cza
x
b
y
2
2
2
2
, con c > 0
Las propiedades de esta superficie son:
x < – ∞ , + ∞ >
y < – ∞ , + ∞ >
z < – ∞ , + ∞ >
Las secciones transversales al plano xy son hipérbolas (En el plano z = 0 son
dos rectas que se cortan). Las secciones tranversales al plano xz y al plano yz
son parábolas.
y
z
x
S
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Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano xz y al plano yz. El
origen de coordenadas es el Punto Silla (de montar) de esta superficie. Si el
Punto Silla es S ( x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
)zz(ca
)xx( b
)yy(02
20
2
20
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
)yy( ba
)xx(
c
)zz(02
20
2
20
ó )xx(a
b
)yy(
c
)zz(02
20
2
20
f) CONO ELIPTICO (O CIRCULAR)
Su ecuación es de la forma:
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ( ó
2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ,
2
2
2
2
2
2
a
x
b
y
c
z )
Donde a , b , c son números positivos.
En la siguiente figura se muestra la grafica de:
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x , con c > 0
Esta superficie tiene las siguientes propiedades
x < – ∞ , + ∞ >
y < – ∞ , + ∞ > z < – ∞ , + ∞ >
Si a² = b² es una superficie de revolución (cono circular).
Si a² ≠ b² es el cono elíptico.
Las secciones transversales al plano xy son circunferencias o elipses según si
a² = b² ó a² ≠ b². (En el plano z = 0 la traza es el origen de coordenadas). Las
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secciones transversales al plano xz y al plano yz son hipérbolas (En los
planos y = 0 y x = 0 son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, alos planoscoordenados y al origen.
El origen de coordenadas es el vértice de esta superficie. Si el vértice es
V ( x0 , y0 , z0 ), la ecuación es de la forma:
2
20
2
20
2
20
c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
2
20
2
20
2
20
b
)yy(
c
)zz(
a
)xx(
ó
2
20
2
20
2
20
a
)xx(
c
)zz(
b
)yy(
y
z
x
7/26/2019 Calculo diferencial - Matemáticas II
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COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS
Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional a parte de las
rectangulares son las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas.
COORDENADAS CILINDRICAS
Si el punto P R 3 y ( x , y , z ) son sus coordenadas rectangulares se define las
coordenadas cilíndricas de P como la terna ( r , θ , z ) donde ( r , θ ) son las
coordenadas polares de la proyección ortogonal del punto P sobre el plano xy.
RELACION ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y
CILINDRICAS
Si ( x , y , z ) y ( r , θ , z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y
cilíndricas de un punto P R 3 entonces el cambio de coordenadas cilíndricas a
rectangulares esta dado por:
θcosrx
θsenry
zz
y
z
x
r
O
)θ,r(
z
)z,θ,r()z,y,x(P
θ
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El cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas esta dado por:
222yxr
x
yθtan
zz
OBSERVACIONES
1.
Las coordenadas cilíndricas principales son r > 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π. 2. Las coordenadas cilíndricas del origen son ( 0 , θ , 0 ) para cualquier angulo θ.
3. La ecuación de un cilindro circular recto de radio “a” en coordenadas
cartesianas esta dado por x² + y² = a² transformado a coordenadas cilíndricas
se obtiene la ecuación r² = a² => r = a.
Ejercicios:1. Hallar las coordenadas cilíndricas para los puntos
( 4 , 2 , – 4 ) ; ( 1 , – 3 , 4 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 2 , 0 , 2 )
2. Hallar las coordenadas rectangulares para el punto cuyas coordenadas
cilíndricas son ( 2 , arccos (3/5) , 0 ) R. ( 6/5 , 8/5 , 0 )
COORDENADAS ESFERICAS
Las coordenadas esféricas de un punto P R 3 se define como la terna ( ρ , θ , ϕ )
donde:
ρ: Representa la distancia del punto P al origen.
ϕ: Es la medida del ángulo que forma el segmentoOP con el rayo positivo del eje
z ( ϕ es llamado colatitud del punto P, π/2 – ϕ es llamado latitud del punto P ).
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θ: Es la medida del ángulo que forma el rayo positivo del eje x y el segmentoOQ
donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano xy.
RELACIONES ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y
ESFERICAS
Si ( x , y , z ) y ( ρ , θ , ϕ ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y
esfericas de un punto P R 3 entonces el cambio de coordenadas esféricas a
rectangulares esta dado por:
θcos senρx
θsensenρy
cos ρz
El cambio de coordenadas rectangulares a esféricas esta dado por:
y
z
x
ρO
Q
),θ,ρ()z,y,x(P
θ
π/2
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