Temos que dois tringulos so congruentes: Quando seus elementos
(lados e ngulos) determinam a congruncia entre os tringulos. Quando
dois tringulos determinam a congruncia entre seus elementos.
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Casos de congruncia:
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1 LAL (lado, ngulo, lado): dois lados congruentes e ngulos
formados tambm congruentes.
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2 LLL ( lado, lado, lado): trs lados congruentes.
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3 ALA (ngulo, lado, ngulo): dois ngulos congruentes e lado
entre os ngulos congruente.
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4 LAA (lado, ngulo, ngulo): congruncia do ngulo adjacente ao
lado, e congruncia do ngulo oposto ao lado.
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Atravs das definies de congruncia de tringulos podemos chegar s
propriedades geomtricas sem a necessidade de efetuar medidas. A
esse mtodo damos o nome de demonstrao. Dizemos que, em todo
tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes so
congruentes. Os ngulos da base de um tringulo issceles so
congruentes.
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Pontos Notveis de um Tringulo
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Cevianas Notveis As cevianas aqui estudadas sero: Mediana,
Bissetriz Interna e Altura. O nome ceviana foi dado a esses
seguimentos em homenagem ao matemtico italiano Giovanni Ceva (1648-
1734), que demonstrou teoremas importantes
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Definio de Ceviana: todo segmento que tem uma das extremidades
num vrtice qualquer de um tringulo e a outra num ponto qualquer da
reta suporte ao lado oposto a esse vrtice.
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Por conveno, os pontos mdios dos lados opostos aos vrtices A, B
e C so denotados por M a e M b, respectivamente e os comprimentos
das medianas relativas aos mesmos so denotados por m a e m b.
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Mediana e Baricentro Num tringulo ABC, marquemos, ponto mdio do
lado BC.
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Tracemos o segmento :
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O segmento uma mediana do tringulo ABC. Mediana de um tringulo
um segmento com extremidades num vrtice e no ponto mdio do lado
oposto.
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Um tringulo tem trs medianas. Na figura, as trs medianas so: ,
mediana relativa ao lado BC ou ao vrtice A; , mediana relativa ao
lado AC ou ao vrtice B; , mediana relativa ao lado AB ou vrtice
C.
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As trs medianas de um tringulo encontram-se num ponto chamado
baricentro do tringulo.
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Na figura, G o baricentro do tringulo ABC. Bissetrizes e
incentro. Num tringulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao
ngulo . Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado
BC.
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Destaquemos o segmento AS1. O segmento AS1 uma bissetriz do
tringulo ABC.
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Observe que: O segmento AS1 est contido na semirreta As
(bissetriz do ngulo ); S1 a interseo do lado BC com a bissetriz do
ngulo .
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Bissetriz de um tringulo um segmento com extremidades num
vrtice e no lado oposto e que divide o ngulo desse vrtice em dois
ngulos congruentes. Um tringulo em trs bissetrizes. Na figura, as
trs bissetrizes so: As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vrtice
A; BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vrtice B; CS3, bissetriz
relativa ao lado AB ou ao vrtice.
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As trs bissetrizes de um tringulo encontram-se num ponto
chamado incentro do tringulo. Na figura, S o incentro do tringulo
ABC.
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Alturas e ortocentro Num tringulo ABC, tracemos pelo ponto A
uma reta r perpendicular reta que contm o lado BC. Chamemos de H1 o
ponto de encontro da reta r com a reta BC:
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Destaquemos o segmento AH1: O segmento AH1 uma altura do
tringulo ABC. O ponto H1 a interseo da reta BC com a perpendicular
a ela conduzida pelo ponto A. H1 tambm chamado p da altura.
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Altura de um tringulo o segmento perpendicular reta suporte de
um lado, com extremidade nessa reta e no vrtice oposto a esse lado.
Um tringulo tem trs alturas. Observe:
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Nas figuras acima, as trs alturas so: AH1, altura relativa ao
lado BC ou ao vrtice A; BH2, altura relativa ao lado AC ou ao
vrtice B; CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vrtice C.
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As trs alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num
ponto chamado ortocentro do tringulo. Nas figuras, H o ortocentro
do tringulo ABC, o qual pode ser interno ao tringulo (quando o
tringulo ABC acutngulo) ou externo ao tringulo ABC
obtusngulo).
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Mediatrizes e circuncentro Num tringulo ABC, tracemos a reta
perpendicular ao lado BC e passando por, ponto mdio de BC. A Reta a
mediatriz do lado BC.
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Um tringulo em trs mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as
trs mediatrizes so:, mediatriz de BC;, mediatriz de AC;, mediatriz
de AB.
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As trs mediatrizes dos lados de um tringulo encontram-se num
ponto chamado circuncentro do tringulo. Na figura, O o circuncentro
do tringulo ABC.
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EXERCCIOS
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1- No tringulo, determine os valores de x e y:
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2. Um tringulo tem dois de seus ngulos medindo 46 e 112,
respectivamente. Qual a medida do terceiro ngulo desse
tringulo?
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4. Determine, na figura abaixo, as medidas x, y e z
indicadas:
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5- Um tringulo issceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm. Que
medidas pode ter o terceiro lado?
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6- Se AS bissetriz do tringulo ABC determine e B nos
casos:
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7- Calcule o valor de x nas figuras:
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8 -O segmento de reta s do tringulo abaixo : a) Mediana b)
Bissetriz c) Altura d) Incentroo de reta s do tringulo abaixo
:
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9 - O segmento de reta M do tringulo abaixo : a) Mediana b)
Bissetriz c) Altura d) Incentro
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10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H?
a) Mediana b) Bissetriz c) Altura d) ngulo
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11 - Marque V para verdadeiro e F para falso ( ) Existe a
possibilidade de desenhar um tringulo cuja medidas dos lados so
respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm. ( ) A soma dos ngulos internos de
um tringulo 180.
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( ) Altura segmento de reta com origem em um dos vrtices e
perpendicular (forma um ngulo de 90) ao lado oposto. ( )Mediana um
segmento que divide as bases do tringulo em duas partes
iguais.
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( )Bissetriz tambm um segmento de reta com origem em um dos
vrtices do tringulo com a outra extremidade no lado oposto a esse
vrtice. Sendo que ela divide ao meio o ngulo correspondente ao
vrtice.