Coordenadas PolaresCoordenadas Polares
Calculo III
Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas
cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano
escrevendo P=(x,y) onde x é a projeção de P no eixo Ox e y, a
projeção no eixo Oy. Podemos também descrever a localização de
P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo
formado pelo eixo x e o segmento OP. Denotamos P=(r,θ) onde r
é a distância de P a O e o ângulo tomado no sentido anti–horário,
da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP. Esta maneira
representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas
Polares.
222
cos.cos
.
yxr
rxr
x
senryr
ysen
Coordenadas retangulares ( cartesianas): ( x , y )
Coordenadas polares: ( r , θ )
P
rθ
Eixo Polar
O
P
x
y
θ
r
Exercícios:
1) Encontre as coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas
polares são ( 6, 2π/3).
333
2sen.6r.sen
33
2cos.6r.cos x
: temos3
2, 6r, scoordenada as doSubstituin
y
Portanto, as coordenadas retangulares de P são 33,3
Exercícios:
2) Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas
retangulares são :32,2
3
2120 60 - 180
6032
32
Assim
x
ytg
2
y
32
θ
x
As coordenadas polares do ponto P são :3
2,4
432222222 rryxr
3) Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas
retangulares são :3,3
4
7,6 são polares scoordenada As
633
4
7315 45 - 360
4513
3
22
yxr
Assim
x
ytg
polares scoordenada em
211-x nciacircunferê da equação a Escreva 22 y
(x – 1)² + (y – 1)² = 2 → x² - 2x + y² - 2y = 0
Subst:
(r cos θ)² - 2 (r cos θ) + (r sen θ)² – 2(r sen θ)
r² cos θ² - 2 r cos θ + r² sen θ² - 2 r senθ = 0
r² (cosθ² + senθ² ) – 2 r cosθ - 2 r senθ = 0
r² - 2 r cosθ - 2 r senθ = 0 div. r
r – 2 cosθ - 2 senθ = 0
:esretangular scoordenada para dadas polares equações as Escreva
xyxr
yxse
r
ra
2 como escritoser pode cos.2r
temoscosr x e r
cos.2r r temospor ndomultiplica
cos2)
222
222
2
yyxx
yxyxrsenr
yxse
rsenr
senrb
33
33 como escritoser pode 3cos3r
temossenr y e cosr x e r
3cos3r r temospor ndomultiplica
3cos3)
22
222
222
2