Coordenadas PolaresCoordenadas Polares

Calculo III

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas

cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano

escrevendo P=(x,y) onde x é a projeção de P no eixo Ox e y, a

projeção no eixo Oy. Podemos também descrever a localização de

P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo

formado pelo eixo x e o segmento OP. Denotamos P=(r,θ) onde r

é a distância de P a O e o ângulo tomado no sentido anti–horário,

da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP. Esta maneira

representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas

Polares.

222

cos.cos

.

yxr

rxr

x

senryr

ysen

Coordenadas retangulares ( cartesianas): ( x , y )

Coordenadas polares: ( r , θ )

P

rθ

Eixo Polar

O

P

x

y

θ

r

Exercícios:

1) Encontre as coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas

polares são ( 6, 2π/3).

333

2sen.6r.sen

33

2cos.6r.cos x

: temos3

2, 6r, scoordenada as doSubstituin

y

Portanto, as coordenadas retangulares de P são 33,3

Exercícios:

2) Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas

retangulares são :32,2

3

2120 60 - 180

6032

32

Assim

x

ytg

2

y

32

θ

x

As coordenadas polares do ponto P são :3

2,4

432222222 rryxr

3) Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas

retangulares são :3,3

4

7,6 são polares scoordenada As

633

4

7315 45 - 360

4513

3

22

yxr

Assim

x

ytg

polares scoordenada em

211-x nciacircunferê da equação a Escreva 22 y

(x – 1)² + (y – 1)² = 2 → x² - 2x + y² - 2y = 0

Subst:

(r cos θ)² - 2 (r cos θ) + (r sen θ)² – 2(r sen θ)

r² cos θ² - 2 r cos θ + r² sen θ² - 2 r senθ = 0

r² (cosθ² + senθ² ) – 2 r cosθ - 2 r senθ = 0

r² - 2 r cosθ - 2 r senθ = 0 div. r

r – 2 cosθ - 2 senθ = 0

:esretangular scoordenada para dadas polares equações as Escreva

xyxr

yxse

r

ra

2 como escritoser pode cos.2r

temoscosr x e r

cos.2r r temospor ndomultiplica

cos2)

222

222

2

yyxx

yxyxrsenr

yxse

rsenr

senrb

33

33 como escritoser pode 3cos3r

temossenr y e cosr x e r

3cos3r r temospor ndomultiplica

3cos3)

22

222

222

2