10a Lista de Exerccios de SMA300 - Geometria Analalca (Revis~ao)

Fevereiro de 2014

1. Quais das seguintes matrizes A =

0@ 2 1 00 3 11 1 4

1A ; B =0@ 1 1 00 2 2

1 0 2

1A e C = 3 57 10

s~ao in-

versveis? Quando sua resposta for armativa, calcule a matriz inversa.

2. Mostre que:

a) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a matriz x = O (matrix coluna n 1, identicamente nula) ea unica soluc~ao da equac~ao matricial A x = O.b) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a equac~ao matricial A x = b tem uma unica soluc~ao.

3. Considere o seguinte sistema linear:

8

29. Um tratador de animais de um zoologico precisa dar 42 mg de vitamina A e 65 mg de vitamina D, pordia, a um determinado animal. Ele possui dois suplementos alimentares disponveis: o primeiro contem10% de vitamina A e 25% de vitamina D, enquanto que o outro contem 20% de vitamina A e 25% devitamina D. Quanto de cada suplemento deve ser dado ao animal diariamente.

10. As entradas para um parque de divers~oes custam R$ 7; 00 para adultos, R$ 2; 00 para jovens e R$ 0; 50 paracriancas. Se 150 pessoas entrarem no parque e a arrecadac~ao nal for R$ 100; 00, determinar o numero deadultos, de jovens e de criancas que entraram (Sugest~A$o: os numeros procurados dever~A$o ser inteirosn~ao negativos).

11. Considere a seguinte matriz-codigo:

M =

0@ 3 2 03 3 11 0 1

1AA partir da corresponde^ncia:

A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

uma palavra de tre^s letras e transformada em uma matriz coluna v. Em seguida o codigo da palavra e obtido pela operac~ao Mv.(a) Encontre a matriz coluna correpondente a palavra MAR.(b) Encontre a codicac~ao da palavra MAR.

(c) Decodique w =

0@ 648029

1A.12. A empresa K produz caminh~oes e avi~oes. Para produzir um caminh~ao, a empresa K necessita de uma

tonelada de aco, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avi~ao, necessita de 50 tone-

ladas de aco, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as matrizes A =

0@ 1 5040 10002 50

1Ae X =

x1x2

, onde x1 e o numero de caminh~oes produzidos e x2 e o numero de avi~oes produzidos.

Interprete o produto AX. Se y1 e o custo de cada tonelada de aco, y2 e o custo de cada quilo de borrachae y3 e o custo de cada me^s de trabalho, qual e o custo de um caminh~ao e de um avi~ao? Como representar

o custo matricialmente por meio de um produto da forma BY onde Y =

0@ y1y2y3

1A?13. Suponha que um estudo demograco mostre que a cada ano cerca de 5% da populac~ao do centro de uma

cidade muda-se para a periferia (e 95% permanece no centro), enquanto que 3% da populac~ao da perifeiramuda-se para o centro (e 97% permanece na periferia).

(a) Que fatos devemos ignorar para que a seguinte equac~ao matricial x1 =

0; 95 0; 030; 05 0; 97

xo: descreva

a mudanca na populac~ao de um ano para outro? Supondo esses fatos, interprete a equac~ao acima. A

matrix A =

0; 95 0; 030; 05 0; 97

e chamada matriz de migrac~ao.

(b) Se xo =

roso

, onde ro e o numero de pessoas que vivem no centro e so e o numero de pessoas que

vivem na periferia num determinado ano, o que representa a formula xk+1 = Akxo, onde k e um numero

natural?