e0_300_2014
2
1 0 a Lista de Exerc´ ıcios de SMA300 - Geometria Analal´ ıca (Revis˜ ao) Fevereiro de 2014 1. Quais das seguintes matrizes A = 2 1 0 0 3 -1 1 1 4 , B = 1 1 0 0 2 2 1 0 2 e C = ( 3 5 7 10 ) s˜aoin- vers´ ıveis? Quando sua resposta for afirmativa, calcule a matriz inversa. 2. Mostre que: a) Se A ´ e uma matriz n × n invers´ ıvel, ent˜ ao a matriz x = O (matrix coluna n × 1, identicamente nula) ´ e a´ unicasolu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao matricial A · x = O. b) Se A ´ e uma matriz n × n invers´ ıvel, ent˜ ao a equa¸c˜ ao matricial A · x = b tem uma ´ unicasolu¸c˜ ao. 3. Considere o seguinte sistema linear: ax + by = k cx + dy = l ex + fy = m . Discuta a posi¸c˜ ao relativa das retas ax + by = k, cx + dy = l, ex + fy = m, quando: a) O sistema acima n˜ao admite solu¸c˜ ao. b) O sistema admite uma ´ unicasolu¸c˜ ao. c) O sistema admite inifinitas solu¸c˜ oes. 4. Determine o conjunto solu¸c˜ ao dos seguintes sistemas de equa¸c˜ oes lineares: (a) x 1 + x 2 - x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 x 2 - 5x 3 = 1 (b) { 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 0 (c) { x 1 + x 2 - x 3 = 1 -2x 1 - 2x 2 + 2x 3 = 2 (d) 2x 1 - x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 - 3x 3 = 0 x 1 - x 2 - 2x 3 = -3. (e) 2x 1 + 8x 2 + 12x 3 = 12 x 1 + x 2 + 4x 3 = -3 3x 2 + 2x 3 = 9. 5. Em cada um dos sistemas abaixo encontre condi¸c˜ oes sobre os n ˜ A o meros reais a, b e c, de modo que o mesmo correspondente tenha respectivamente uma ´ unicasolu¸c˜ ao, infinitas solu¸c˜ oes, e nenhuma solu¸c˜ ao: a) { x - by = -1 x + ay =3 b) { x + by = -1 ax +2 y =5 c) 2 x + y - z = a 2 y +3 z = b x - z = c d) x + ay =0 y + bz =0 cx + z =0 e) x +2 y - 4 z =4 3 x - y + 13 z =2 4 x + y + a 2 z = a +3 f ) x + ay - z =1 -x +(a - 2) y + z = -1 2 x +2 y +(a - 2) z =1 6. Considere A = 3 -1 1 2 2 1 1 -3 0 . (a) Para que matrizes Y = y 1 y 2 y 3 o sistema AX = Y admitesolu¸c˜ ao? Justifique sua resposta. (b) Para as matrizes Y encontradas no item (a), determine o conjunto solu¸c˜ ao do sistema AX = Y . 7. A diferen¸ca entre dois n´ umeros reais ´ e 14 e o triplo do menor deles ´ e o qu´adruplo do maior. Determine os dois n´ umeros reais. 8. H´a um ano atr´as, um homem era 5 vezes mais velho do que seu filho ´ e hoje. Daqui a 7 anos, ele ser´a 6 vezes mais velho do que seu filho ´ e hoje. Determine as idades do homem e do seu filho.
-
Upload
samuel-santos -
Category
Documents
-
view
7 -
download
0
description
Lista G.A. - USP
Transcript of e0_300_2014
-
10a Lista de Exerccios de SMA300 - Geometria Analalca (Revis~ao)
Fevereiro de 2014
1. Quais das seguintes matrizes A =
0@ 2 1 00 3 11 1 4
1A ; B =0@ 1 1 00 2 2
1 0 2
1A e C = 3 57 10
s~ao in-
versveis? Quando sua resposta for armativa, calcule a matriz inversa.
2. Mostre que:
a) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a matriz x = O (matrix coluna n 1, identicamente nula) ea unica soluc~ao da equac~ao matricial A x = O.b) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a equac~ao matricial A x = b tem uma unica soluc~ao.
3. Considere o seguinte sistema linear:
8
-
29. Um tratador de animais de um zoologico precisa dar 42 mg de vitamina A e 65 mg de vitamina D, pordia, a um determinado animal. Ele possui dois suplementos alimentares disponveis: o primeiro contem10% de vitamina A e 25% de vitamina D, enquanto que o outro contem 20% de vitamina A e 25% devitamina D. Quanto de cada suplemento deve ser dado ao animal diariamente.
10. As entradas para um parque de divers~oes custam R$ 7; 00 para adultos, R$ 2; 00 para jovens e R$ 0; 50 paracriancas. Se 150 pessoas entrarem no parque e a arrecadac~ao nal for R$ 100; 00, determinar o numero deadultos, de jovens e de criancas que entraram (Sugest~A$o: os numeros procurados dever~A$o ser inteirosn~ao negativos).
11. Considere a seguinte matriz-codigo:
M =
0@ 3 2 03 3 11 0 1
1AA partir da corresponde^ncia:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
uma palavra de tre^s letras e transformada em uma matriz coluna v. Em seguida o codigo da palavra e obtido pela operac~ao Mv.(a) Encontre a matriz coluna correpondente a palavra MAR.(b) Encontre a codicac~ao da palavra MAR.
(c) Decodique w =
0@ 648029
1A.12. A empresa K produz caminh~oes e avi~oes. Para produzir um caminh~ao, a empresa K necessita de uma
tonelada de aco, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avi~ao, necessita de 50 tone-
ladas de aco, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as matrizes A =
0@ 1 5040 10002 50
1Ae X =
x1x2
, onde x1 e o numero de caminh~oes produzidos e x2 e o numero de avi~oes produzidos.
Interprete o produto AX. Se y1 e o custo de cada tonelada de aco, y2 e o custo de cada quilo de borrachae y3 e o custo de cada me^s de trabalho, qual e o custo de um caminh~ao e de um avi~ao? Como representar
o custo matricialmente por meio de um produto da forma BY onde Y =
0@ y1y2y3
1A?13. Suponha que um estudo demograco mostre que a cada ano cerca de 5% da populac~ao do centro de uma
cidade muda-se para a periferia (e 95% permanece no centro), enquanto que 3% da populac~ao da perifeiramuda-se para o centro (e 97% permanece na periferia).
(a) Que fatos devemos ignorar para que a seguinte equac~ao matricial x1 =
0; 95 0; 030; 05 0; 97
xo: descreva
a mudanca na populac~ao de um ano para outro? Supondo esses fatos, interprete a equac~ao acima. A
matrix A =
0; 95 0; 030; 05 0; 97
e chamada matriz de migrac~ao.
(b) Se xo =
roso
, onde ro e o numero de pessoas que vivem no centro e so e o numero de pessoas que
vivem na periferia num determinado ano, o que representa a formula xk+1 = Akxo, onde k e um numero
natural?
