UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELTRICA
DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU
ESTIMAO DE SINAIS CATICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI
So Paulo 2007
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DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU
ESTIMAO DE SINAIS CATICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI
ORIENTADOR: PROF. DR. MARCIO EISENCRAFT
So Paulo 2007
Trabalho de Graduao Interdisciplinar apresentado a Escola de Engenharia Eltrica da Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial obteno do grau de Bacharel em Engenharia.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, que me concedeu inteligncia e disposio para a realizao desse trabalho.
Ao orientador Dr. Marcio Eisencraft pelo incentivo e constante disposio em me ajudar e orientar ao longo desta pesquisa.
A meus pais, Maria Helena e Dionsio, e ao meu irmo, Thales, pelo apoio durante a realizao deste trabalho.
minha namorada Martha pelo incentivo e pacincia para que eu pudesse desenvolver uma boa pesquisa.
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RESUMO
Sinais caticos tm sido estudados visando-se possveis aplicaes em Telecomunicaes. Porm, os sistemas propostos na literatura apresentam baixo desempenho comparado aos sistemas convencionais quando o canal de comunicao ruidoso. Neste trabalho, analisada uma alternativa para melhorar esse desempenho. Ela se baseia na teoria da estimao, que por meio de mtodos estatsticos, busca recuperar o sinal transmitido. O trabalho se prope a discutir um dos mtodos de estimao de sinais caticos chamado algoritmo de Viterbi. Tentando tornar este trabalho mais acessvel, preocupa-se em fazer uma reviso bibliogrfica sobre a teoria dos sistemas dinmicos no-lineares e sobre o processamento estatstico de sinais. Utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto para facilitar a anlise das tcnicas propostas por meio de simulaes computacionais.
Palavras-chave: Sinais caticos. Estimao de sinais. Algoritmo de Viterbi.
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ABSTRACT
The possible applications of chaotic signals in Telecommunications have been largely investigated. However, the systems proposed until now present low performance when the communication channel is noisy. In this work, we study an alternative to improve their results. It is based on the estimation theory, which by statistical methods, seeking to recover the transmitted signal. The work intends to discuss one of the methods of estimation of chaotic signals called Viterbi algorithm. To make this work accessible to a larger public, we include a review on the theory of nonlinear dynamical systems and on the statistical processing of signals. The algorithms performance are accessed via computer simulations.
Key-words: Chaotic signals. Estimation of signals. Viterbi algorithm.
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LISTA DE ILUSTRAES
Grfico 1 - Exemplo de rbita do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,01y = ............. 10 Grfico 2 - Exemplo de rbita com um ponto fixo ................................................................ 18 Grfico 3 - Exemplo de rbita com dois pontos fixos ........................................................... 19 Grfico 4 - Diagrama de bifurcao ..................................................................................... 23 Grfico 5 - Diagrama de bifurcao ampliado entre os pontos 3,82 e 3,86 ............................ 24 Grfico 6 - (a) Iterao do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,2y = e (b) com condio inicial ( )0 0,201y = ............................................................................................... 25 Grfico 7 - Exemplo de rbita de perodo 2 .......................................................................... 26 Grfico 8 - (a) Mapa tenda inclinada com 0,4 = ; (b) exemplo de rbita deste mapa ......... 28 Grfico 9 - (a) Mapa tenda; (b) exemplo de rbita do mapa tenda ........................................ 29 Grfico 10 - (a) Mapa quadrtico; (b) exemplo de rbita do mapa quadrtico ....................... 30 Grfico 11 - Expoente de Lyapunov em funo do parmetro a para o mapa logstico ........ 32 Grfico 12 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa logstico ............................................................................................................................... 32 Grfico 13 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada .............................................................................................................................. 33 Grfico 14 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa quadrtico ............................................................................................................................ 34 Grfico 15 - (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por rudo; (c) sinal estimado ................ 46 Grfico 16 - (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro aps utilizar o algoritmo .. 46 Grfico 17 - inSNR x outSNR ................................................................................................. 47 Grfico 18 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do parmetro ......... 50 Grfico 19 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do nmero de intervalos ............................................................................................................................................ 51 Grfico 20 - inSNR x outSNR do mapa quadrtico com variaes do nmero de intervalos ..... 52
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LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SMBOLOS
jC Centro de cada subintervalo do domnio
( ).rp
Densidade de probabilidade de rudo
( )' .f
Derivada de f U Domnio
ija Elemento da matriz de transio de estados
( )nf x
Ensima iterao de um mapa genrico
( )q n j=
Estado
( ).h
Expoente de Lyapunov
( )1y n +
Mapa especfico
( )f x
Mapa genrico
A
Matriz de transio de estados
( ),n j
Matriz que indica o estado anterior mais provvel
N Nmero de pontos da rbita
IN Nmero de intervalos
( ).L
Nmero de Lyapunov
Parmetro do mapa tenda inclinada p
Ponto fixo
rP
Potncia do rudo
( ),n j
Probabilidade da amostra n estar no estado j inSNR
Relao sinal-rudo de entrada
outSNR
Relao sinal-rudo de sada
r Rudo
s Sinal distorcido
s Sinal estimado s Sinal original
jU Subintervalos do domnio n
Varivel discreta independente (tempo) q Vetor contendo a seqncia de estados estimada q Vetor genrico contendo uma seqncia de estados
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SUMRIO
1 INTRODUO......................................................................................... 8 1.1 SINAIS CATICOS E SISTEMAS DE COMUNICAO..................................... 9 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO............................................................................... 12 2 SINAIS CATICOS................................................................................................ 14 2.1 HISTRICO DE SINAIS CATICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAO..... 14 2.2 SISTEMAS DINMICOS NO LINEARES........................................................... 16 2.3 DEFINIES BSICAS........................................................................................... 17 2.4 EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM SINAIS CATICOS.............................. 21 2.4.1 Mapa Logstico.......................................................................................................... 21 2.4.2 Mapa Tenda Inclinada............................................................................................. 28 2.4.3 Mapa Tenda.............................................................................................................. 29 2.4.4 Mapa Quadrtico...................................................................................................... 30 2.5 CAOS E NMERO DE LYAPUNOV...................................................................... 31 2.6 DENSIDADE INVARIANTE.................................................................................... 33 3 ESTIMAO DE RBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI.. 36 3.1 REPARTIO DO DOMNIO ................................................................................ 37 3.2 ESTIMAO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUDO.............................. 39 3.2.1 Exemplo numrico do algoritmo de Viterbi........................................................... 44 3.2.2 Exemplo grfico do algoritmo de Viterbi............................................................... 46 4 SIMULAES......................................................................................................... 50 5 CONCLUSES......................................................................................................... 55 APNDICE A ROTINAS COMPUTACIONAIS NO MATLAB......................... 57 REFERNCIAS....................................................................................................... 64
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1 INTRODUO
A comunicao cada dia mais importante na vida humana. Telefonia celular,
televiso de alta definio, transmisso via satlite, comunicao ptica e comunicao sem
fio so alguns exemplos de como o mundo est envolvido com as tecnologias de sistemas de
comunicao.
Um sistema de comunicao genrico pode ser representado pelo Diagrama 1
(HAYKIN, 2001).
Diagrama 1- Sistema de comunicao Fonte: Haykin (2001)
Estimativa da
mensagem do sinal
Sinal de mensagem
Codificador da fonte
Demodulador
Modulador
Codificador de canal
Decodificador de canal
Decodificador da fonte
Receptor
Fonte de informao
Canal
Transmissor
Usurio da informao
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A fonte de informao o ente que envia um sinal de mensagem para o
transmissor. Muitas vezes, para facilitar a transmisso de dados, uma modulao feita no
transmissor. Modulao o processo de converter o sinal da mensagem para uma forma que
seja compatvel com as caractersticas de transmisso do sinal (HAYKIN, 2001, p.23).
O canal, que o meio de comunicao, pode ser um fio, cabo coaxial, fibra
ptica ou ar, dentre outras possibilidades. Ao longo do canal surgem interferncias e
distores que afetam o sinal transmitido.
Ao chegar ao receptor, o sinal novamente convertido para sua forma original.
Devido s caractersticas do canal, o sinal recuperado quase nunca exatamente igual ao
transmitido.
A comunicao pode ser feita atravs de sinais analgicos ou digitais
(HAYKIN, 2001). Sinais analgicos podem assumir uma quantidade no-enumervel de
valores diferentes. J os sinais digitais podem assumir apenas um nmero enumervel de
valores.
A seguir define-se de forma intuitiva o que um sinal catico e mostra-se um
exemplo. Alm disso, resumem-se as possveis aplicaes destes sinais em sistemas de
comunicao, inserindo este trabalho no contexto de pesquisa atual.
1.1 SINAIS CATICOS E SISTEMAS DE COMUNICAO
O termo sinal catico tem vrias definies na literatura. Nesta pesquisa
adotada a definio de Alligood, Sauer e Yorke (1996) segundo a qual um sinal catico
determinstico, aperidico e sensvel s condies iniciais, ou seja, condies iniciais muito
prximas geram seqncias com valores completamente diferentes depois de algumas
iteraes.
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A seqncia formada pelos pontos obtidos aps sucessivas iteraes chamada
de rbita (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).
Como exemplo de sistema que gera rbitas caticas, considere a equao de
diferenas
( ) ( ) ( )( )1 4 1y n y n y n+ = (1) conhecida como mapa logstico.
Para exemplificar, no Grfico 1, so apresentadas as 101N = primeiras
iteraes deste mapa com condio inicial igual a ( )0 0,01y = utilizando a Equao (1).
Grfico 1 Exemplo de uma rbita do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,01y =
Os sinais caticos tm caractersticas que podem ser interessantes para sistemas
de comunicao. Algumas delas so: possuem banda larga, so aperidicos e tem
impossibilidade de predio aps pouco tempo de simulao (ABEL; SCHWARZ, 2002).
A idia da aplicao do caos em sistemas de comunicao surgiu no incio da
dcada de 1990 (PECORA; CARROLL, 1990). Nos ltimos anos, vrios artigos tm proposto
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sistemas de modulao que utilizam sinais caticos ao invs dos sinais senoidais (ABEL,
2002; CORRON, 1997; DRAKE, 1998; LAU; TSE, 2003).
Duas das reas de comunicao que podem vir a aplicar sinais e sistemas
caticos so a comunicao por espalhamento espectral (spread spectrum) e a criptografia
(ABEL; SCHWARZ, 2002; CORRON; HAHS, 1997).
A comunicao por espalhamento espectral pode aumentar a robustez contra
interferncias causadas por sinais de banda estreita (ABEL; SCHWARZ, 2002). Ela
utilizada na terceira gerao de comunicaes mveis, em alguns satlites para comunicaes
e no Sistema de Posicionamento Global (GPS - Global Positioning System) (LAU; TSE,
2003). No caso da criptografia, a mensagem codificada antes da transmisso dificultando a
captura da informao ao longo do canal.
A caracterstica aperidica dos sinais caticos pode ser usada para gerar vrios
cdigos em sistemas CDMA. Essa propriedade dificulta o entendimento de como esses sinais
se comportam ao longo do tempo para um receptor no-autorizado (ABEL; SCHWARZ,
2002).
O uso de sinais caticos nessas aplicaes se justifica por trs fatores: (i) baixo
custo, (ii) dificuldade de deteco da informao e (iii) facilidade para gerar diferentes formas
de onda devido sensibilidade s condies iniciais (ABEL; SCHWARZ, 2002).
Um problema de sistemas de comunicao baseados em sinais caticos que
seu desempenho em canais com rudo ruim (DRAKE, 1998; EISENCRAFT, 2001). O
objetivo deste trabalho estudar uma alternativa para tentar melhorar este desempenho. Esta
consiste em obter estimativas desses sinais usando o algoritmo de Viterbi (DEDIEU; KISEL,
1999; EISENCRAFT, 2006).
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Para tornar o trabalho acessvel a um pblico mais amplo, feita uma reviso
bibliogrfica sobre sinais caticos em sistemas unidimensionais e sobre o processamento
estatstico de sinais.
Para facilitar a anlise da tcnica proposta por meio de simulaes
computacionais, utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto. As simulaes so feitas com
o programa Matlab.
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este trabalho dividido em 5 captulos.
No Captulo 2 faz-se uma reviso bibliogrfica sobre caos em sistemas
dinmicos unidimensionais. Ele comea com um breve histrico a respeito de sinais caticos.
Logo a seguir feita uma abordagem rpida envolvendo algumas aplicaes de sinais caticos
na rea de comunicaes e apresenta-se o problema debatido nesta pesquisa. Alm disso,
conceitos a respeito de sistemas dinmicos unidimensionais so abordados. Esses conceitos
englobam: rbitas caticas, periodicidade, sensibilidade s condies iniciais, nmero de
Lyapunov e densidade invariante. Alguns mapas tambm so discutidos. Nesse captulo, as
principais referncias utilizadas so (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996; MONTEIRO,
2006; STROGATZ, 1993).
No Captulo 3, o algoritmo de Viterbi analisado tanto conceitualmente quanto
matematicamente. Ele contm um resumo histrico da teoria da estimao. Depois
explicado como feita a estimao e como implementado o algoritmo de Viterbi. As
principais fontes de pesquisa foram (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006).
O Captulo 4 contm simulaes e as respectivas anlises da estimao por
meio do algoritmo de Viterbi.
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Finalmente, no Captulo 5, so apresentadas as principais concluses desta
monografia e indicadas propostas de trabalhos futuros.
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2 SINAIS CATICOS
O incio desse captulo descreve um resumo histrico da evoluo do conceito
matemtico de caos e os fatores que desencadearam o interesse por ele em diversas reas, em
especial em Telecomunicaes. Logo a seguir, as definies bsicas a respeito do estudo de
sistemas dinmicos no-lineares so apresentadas. Alguns mapas que geram rbitas caticas
so analisados. Rapidamente mostrado o que o expoente de Lyapunov e sua relao com o
caos. Por fim, o conceito de densidade invariante ajuda a entender a estimao de sinais
conforme visto a partir do Captulo 3.
Existem muitos livros e artigos que retratam esses assuntos aos quais o leitor
interessado pode recorrer. Por exemplo, Alligood, Sauer e Yorke (1996), Monteiro (2006),
Strogatz (2000) e Devaney (1992). Sendo assim, limita-se aqui a discusso ao essencial
necessrio nos captulos subseqentes.
2.1 HISTRICO SOBRE SINAIS CATICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAO
O estudo de sistemas dinmicos e conseqentemente do caos comea no sculo
XVII. Na poca, Newton formulou os princpios da Fsica clssica (NEWTON, 1999). Estas
leis foram usadas para explicar a atrao gravitacional entre dois corpos. Depois de Newton,
outros cientistas e matemticos buscaram estender estes resultados ao Problema dos Trs
Corpos (STROGATZ, 2000). Porm, muitas dificuldades foram encontradas.
Poincar, no fim do sculo XIX, props uma nova forma de pensar a respeito
dessa questo (POINCAR, 1890). Poincar queria saber se um sistema convergiria para um
ponto fixo ou para uma rbita peridica ao invs de tentar descobrir como ele funcionava em
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cada momento. Portanto, ele estava preocupado com a soluo qualitativa das equaes
diferenciais que descreviam o problema (STROGATZ, 2000).
No incio do sculo passado, tcnicas no-lineares comearam a ser estudadas
por matemticos e fsicos que observavam, modelavam e analisavam os fenmenos naturais.
As novas descobertas que foram feitas encontraram aplicaes na rea de Engenharia
(SILVA; YOUNG, 2000). Por exemplo, os osciladores no-lineares foram importantes no
desenvolvimento de tecnologias, tais como: radar, rdio, laser e Phase-Locked-Loop (PLL)
(STROGATZ, 2000).
At a dcada de 1960, pensava-se que a soluo de uma equao de diferenas
poderia gerar dois tipos de resultados: a tendncia de chegar a um valor fixo ou a uma rbita
peridica (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).
Por meio das suas experincias, Lorenz estudou modelos para estimar previso
do tempo (LORENZ, 1963). A partir da resoluo das equaes obtidas por Lorenz,
obtiveram-se duas concluses: essas equaes nunca tendem a um equilbrio ou estado
peridico e que partindo de condies iniciais prximas, rapidamente os resultados ficam
completamente diferentes (STROGATZ, 2000). Essa dependncia sensvel das equaes da
circulao atmosfrica ficou conhecida como efeito borboleta (MONTEIRO, 2006).
O termo caos no sentido usado neste trabalho foi utilizado pela primeira vez
num artigo publicado por Li e Yorke (1975). Eles mostraram que para qualquer mapa que
originasse uma rbita de perodo 3, existiriam rbitas com qualquer perodo inteiro e todas
elas seriam instveis.
Para um sinal ser catico ele deve ser aperidico, ou seja, no tender a
nenhuma rbita peridica e ser sensvel s condies iniciais, isto , rbitas com condies
iniciais muito prximas logo sero totalmente diferentes ao longo das iteraes. (ALIGOOD;
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SAUER; YORKE, 1996). Um exemplo de sinal catico mostrado no Grfico 1 da pgina
10.
Com a evoluo da tecnologia, o desempenho dos computadores melhorou e
estes ficaram mais acessveis. A facilidade para verificar experimentalmente as teorias na rea
de sistemas dinmicos no-lineares permitiu que muitos pesquisadores viessem a se interessar
em utiliz-las em suas respectivas reas (EISENCRAFT, 2006).
O estudo dos sinais caticos surgiu da anlise de problemas em tempo
contnuo. Entretanto, durante a dcada de 1970, May achou exemplos de caos por meio da
iterao de equaes de diferenas no estudo de populao biolgica. (MAY, 1974;
STROGATZ, 2000).
A anlise de sistemas no-lineares em tempo discreto tem algumas vantagens:
as equaes de diferenas so fceis de serem simuladas em computador, as equaes de
tempo contnuo podem ser analisadas por meio de equaes de diferenas e os
comportamentos caticos podem ocorrer em casos mais simples em tempo discreto
(MONTEIRO, 2006).
Em tempo contnuo, um sinal catico s pode ser gerado para sistemas de
ordem maior ou igual a trs, ou seja, com trs equaes diferenciais, enquanto em tempo
discreto possvel que ele ocorra em sistemas de primeira ordem (MONTEIRO, 2006).
2.2 SISTEMAS DINMICOS NO-LINEARES
Todo o estudo feito usando anlise de modelos. Modelos sugerem como os
processos do mundo real se comportam (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996, p.3).
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A maioria dos fenmenos fsicos no-linear. Os sistemas que geram sinais
caticos tambm so no-lineares e, logo, so muito importantes para a compreenso de
grande parte dos fenmenos.
Sistemas dinmicos podem ser estudados de duas formas: em tempo contnuo e
em tempo discreto. Em tempo contnuo a abordagem feita atravs de equaes diferenciais.
No caso da anlise no tempo discreto, equaes de diferenas so utilizadas para representar o
sistema. Nessa pesquisa todas as consideraes so feitas em tempo discreto.
Sistema dinmico uma variedade de estados possveis que segue uma regra
que determina o estado presente em termos de estados passados (ALIGOOD; SAUER;
YORKE, 1996, p.1).
Inicialmente trata-se apenas de sistemas unidimensionais definidos no intervalo
[ ]0,1 . Alm disso, os sistemas no devem mudar com o tempo e devem ser no-lineares. Conseqentemente, apenas com a condio inicial possvel obter todos os demais pontos da
rbita.
2.3 DEFINIES BSICAS
Para o estudo de recuperao de sinais caticos imersos em rudo, so
necessrios conceitos sobre dois tpicos: sinais caticos e mtodos de estimao. A seguir so
apresentadas definies fundamentais de sinais caticos.
Mapa uma equao de diferenas usada para representar um modelo.
Uma rbita ou sinal com condio inicial x de um mapa ( )f x o conjunto de
pontos ( ) ( ) ( ){ }2 3, , , ,...x f x f x f x . Entende-se que ( )2f x a segunda iterao da funo ( )f x . Outra maneira de simbolizar seria ( ) ( )( )2f x f f x= .
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O domnio U contm todos os pontos possveis de uma rbita.
Algumas consideraes podem ser feitas a partir do grfico chamado teia de
aranha (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).
Considerando o eixo de coordenadas cartesianas, a representao de um grfico
teia de aranha segue os seguintes passos: esboar os grficos do mapa e de ( )f x x= , adotar uma condio inicial, calcular a sada, fazer um tracejado vertical ligando a condio inicial
at o ponto obtido atingir o grfico ( )f x x= , fazer o tracejado horizontal at a interseco com o mapa. Depois, deve-se manter o procedimento e verificar o que ocorre ao longo das
iteraes.
Os pontos de interseco dos grficos so chamados de pontos fixos.
Observe os Grficos 2 e 3 dos mapas ( ) 3f x x= e ( ) ( )1 2 1f x x x+ = .
Grfico 2 Exemplo de mapa com um ponto fixo
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Grfico 3 Exemplo de mapa com dois pontos fixos
No Grfico 2, o ponto fixo 0p = . Observe que para condies iniciais longe
de zero os valores afastados de zero tendero a ir para . No Grfico 3, temos os pontos fixos
0p = e 12
p = . Note que para a condio inicial de 0,1 a rbita tende a 0,5 que um dos
pontos fixos dessa rbita.
A anlise da estabilidade de pontos fixos importante porque os sistemas do
mundo real so constantemente sujeitos a pequenas perturbaes (ALIGOOD; SAUER;
YORKE, 1996, p.9).
Suponha que numa rbita exista um ponto fixo p e uma vizinhana ( )V p em torno desse ponto. Considere tambm que a distncia entre p e ( )V p seja . Supondo
um
nmero pequeno e, que todos os pontos prximos do ponto fixo p , tendam a se afastar dele
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(ao longo das iteraes), ento p um ponto fixo instvel. Ele tambm chamado de fonte
ou ponto fixo repulsivo. O ponto fixo 0p = do Grfico 2 um exemplo de fonte .
Por outro lado, se os pontos prximos ao ponto fixo p tenderem ao prprio p ,
ele ser um ponto fixo estvel. Ele tambm chamado de sorvedouro ou ponto fixo atrativo.
O ponto fixo 0,5p = do Grfico 3 um exemplo de ponto fixo atrativo.
Matematicamente a definio de ponto fixo atrativo essa:
( )lim kk
f x p
= (2)
Na Equao 2, k
o nmero de iteraes e ( )f x representa o mapa analisado. O conjunto das condies iniciais que tm rbitas que convirjam para um
atrator chamado de bacia do ponto fixo atrator.
Para classificar analiticamente a estabilidade dos pontos fixos deve-se calcular
o mdulo da derivada no ponto fixo. Caso o mdulo seja menor que 1, o ponto fixo estvel.
Matematicamente define-se que se ( )' 1f p < o ponto fixo p estvel. Porm, se ( )' 1f p >
o ponto fixo p instvel. Quando ( )' 1f p = no possvel determinar analiticamente a estabilidade do ponto fixo. Esses resultados podem ser demonstrados conforme (ALIGOOD;
SAUER; YORKE, 1996), pgina 10.
Assim, a estabilidade est ligada derivada no ponto estudado. Logo, a anlise
grfica est ligada reta tangente ao ponto. Se a reta tangente ao ponto fixo apresentar uma
inclinao que esteja no intervalo 4 4pi pi < < ou 3 5
4 4pi pi< < , o ponto fixo ser estvel
(MONTEIRO, 2006).
Existem casos em que aps certo nmero de iteraes a rbita varia sempre
entre os mesmos pontos. Por exemplo, uma rbita que aps muitas iteraes oscile entre 0,5 e
0,8 apresenta uma rbita de perodo 2.
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Portanto, se p um ponto peridico de perodo 2 para um mapa ( )f x , ento
p um ponto fixo do mapa ( ) ( )2g x f x= . Um exemplo de rbita peridica mostrado no Grfico 7 na pgina 26.
Pode-se estender o conceito de estabilidade para rbitas peridicas. Considere
que os pontos dessas rbitas sejam 1 2, ,p p ... , kp sendo k o perodo da rbita. Para determinar
sua estabilidade calcula-se o mdulo do produto das derivadas nos pontos fixos da rbita.
Caso esse valor seja menor que 1, a rbita peridica estvel. Ento, se
( ) ( ) ( )2 1' ... ' ' 1kf p f p f p < , a rbita estvel e caso ( ) ( ) ( )2 1' ... ' ' 1kf p f p f p > , a rbita instvel.
2.4 EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM RBITAS CATICAS
Nessa seo, analisam-se as caractersticas de alguns mapas. O mapa logstico
analisado com mais detalhes. Os outros mapas so abordados de maneira sucinta.
2.4.1 ESTUDO DO MAPA LOGSTICO
O mapa logstico surgiu da pesquisa sobre o nmero de habitantes numa
regio. Primeiramente foi elaborado um modelo em que ( ) ( )1 2y n y n+ = . Mas esse modelo no satisfatrio porque existem fatores limitantes, tais como: falta de alimento, guerras e
falta de espao fsico. Sem essas consideraes, a populao tenderia ao infinito. Depois disso
foi proposto o seguinte modelo ( ) ( ) ( )( )1 2 1y n y n y n+ = . Esse j um modelo bem melhor porque leva em conta as limitaes referidas acima. Genericamente, a equao
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( ) ( ) ( )( )1 1y n ay n y n+ = (3) (MONTEIRO, 2006).
Esta a famlia de mapas logsticos. Um dos mapas mais estudados dessa
famlia aquele em que 4a = .
Considere as condies iniciais no intervalo [ ]0,1 . A anlise do valor de a pode ser resumida assim: para 0 1a< < , o mapa tem um ponto fixo atrativo em 0x = ;
para 1 3a< < , temos um ponto fixo atrativo em 1axa
= ; para 3 3,45a< < , o mapa tem
uma rbita peridica de perodo 2; para 3,45 4a< < , ocorre um comportamento que ser
analisado pouco adiante e para 4a > , a anlise deixa de ser interessante porque no h
atrao de rbitas. No ltimo caso, a tendncia que aps vrias iteraes as rbitas tendam
a .
A compreenso do estudo do comportamento do mapa logstico pode ser
facilitada pelo diagrama de bifurcao. Por meio dele possvel analisar mudanas
significativas num conjunto de pontos fixos ou rbitas peridicas (ALIGOOD; SAUER;
YORKE, 1996).
O procedimento para obt-lo atravs de simulao computacional : escolher
um valor inicial do parmetro a , escolher um valor aleatrio y no intervalo [ ]0,1 , calcular a rbita de y segundo a Equao 3, ignorar as 100 primeiras iteraes e plotar o grfico a partir
da iterao de nmero 101 (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). As primeiras iteraes
devem ser rejeitadas porque deve se esperar que a rbita convirja para um ponto fixo ou rbita
peridica ou no convirja. O nmero de iteraes que deve ser descartado no fixo. Por
exemplo, no Grfico 7 da pgina 26, somente 7 iteraes no devem ser consideradas.
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Usando o computador, pode-se gerar um diagrama de bifurcao, conforme
mostra o Grfico 4.
Grfico 4 Diagrama de bifurcao
O diagrama mostra o incio, a evoluo e o fim dos atratores. Por exemplo,
para 3,3a = , se for passada uma reta vertical, verifica-se que dois pontos so cortados. Eles
representam uma rbita de perodo 2.
Por esse diagrama fica fcil observar que para a em torno de 3,5 comeam a
ocorrer rbitas de perodo 4. Depois passamos a ter rbitas de perodo 8, depois 16 e assim
sucessivamente.
Aproximadamente a partir de 3,57a , observe que existem rbitas de todos
os perodos.
24
Por meio do Grfico 5, percebe-se tambm que existe um trecho interessante
de 3,82 a 3,86.
Grfico 5 Diagrama de bifurcao ampliado entre os pontos 3,82 e 3,86
Analisando esse grfico, pode-se dizer que para 3,84a = existe uma rbita de
perodo 3.
Uma caracterstica marcante que ocorre em sinais caticos a sensibilidade s
condies iniciais. Isso significa que quando condies iniciais muito prximas so iteradas
vrias vezes, no comeo elas estaro bem prximas, porm os valores das rbitas logo
comearo a ficar totalmente diferentes uns dos outros. Essa caracterstica tambm chamada
de dependncia sensvel com relao s condies iniciais.
Como exemplo observe o Grfico 6 no qual foram utilizados 4a = e 41n = .
25
Grfico 6 (a) Iterao do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,2y = e (b) com condio inicial de ( )0 0,201y =
A Tabela 1 mostra alguns pontos das rbitas acima.
Tabela 1 - Valores das rbitas obtidas de um mapa logstico com pequena variao da condio inicial
Nmero de iteraes Condio inicial igual a 0,2 Condio inicial igual a 0,201 0 0,2 0,201 1 0,64 0,6424 2 0,9216 0,9189 3 0,289 0,2981 5 0,5854 0,5458 6 0,9708 0,9916 15 0,0039 0,0205 20 0,82 0,9877 25 0,9864 0,1627 30 0,3203 0,4324 Perceba que, bem no incio, os pontos das rbitas so quase iguais e que logo
eles ficam totalmente diferentes. A anlise numrica tambm ajuda a verificar essa
caracterstica dos sinais caticos.
26
Considerando N com um inteiro positivo, define-se que um ponto x
eventualmente peridico quando ( ) ( )n p nf x f x+ = , para qualquer n N e p o menor inteiro possvel. Isso significa que aps certo nmero de iteraes a rbita passa a ser peridica.
Observe a rbita obtida para a famlia do mapa logstico feito com 50 iteraes,
com 3,3a = e ( )0 0,35y = no Grfico 7.
Grfico 7 Exemplo de rbita de perodo 2.
Nota-se que a partir da stima iterao, inicia-se uma rbita peridica de
perodo 2 que oscila entre os valores 0,4794 e 0,8236.
O nmero de rbitas do mapa para cada perodo pode ser feita por meio de uma
tabela peridica de mapas.
A tabela 2 mostra o incio da tabela peridica do mapa logstico:
Tabela 2 - Pontos fixos e periodicidade no mapa logstico
27
Perodo k
Nmero de pontos
fixos de ky
Nmero de pontos
fixos de ky de
rbitas peridicas
menores
rbitas de perodo
k
1 2 0 2 2 4 2 1 3 8 2 2 4 16 4 3 5 32 2 6 6 64 14 8 7 128 2 18 8 256 16 30 9 512 8 56 10 1024 34 99 11 2048 2 186 12 4096 64 336 13 8192 2 630
Sendo y
o mapa logstico e k o perodo da rbita, o nmero de pontos fixos
de ky 2k .
Para o preenchimento da terceira coluna basta observar que os pontos fixos de
rbitas de perodo 2 tambm so pontos fixos de rbitas de perodo 4. Da mesma forma, os
pontos fixos de rbitas de perodo 3 tambm so pontos fixos de rbitas de perodo 6.
Para a obteno da ltima coluna faz-se a segunda coluna menos a terceira e
divide-se pela primeira. Assim na terceira linha temos 8 2 23
= .
Quando o sistema possui rbitas de todos os perodos ele gera sinais caticos.
2.4.2 MAPA TENDA INCLINADA
28
O mapa tenda inclinada definido pelas seguintes expresses:
( )( ) ( )( ) ( )
2 1, 1
1 11
2 1, 1
1 1
y ny n
y ny n
y n
+ + + + =
+ +
(4)
O Programa 2 do Apndice faz o Grfico 8 (b) correspondente a uma rbita
gerada pelo mapa tenda inclinada.
Observe abaixo o mapa tenda inclinada e uma rbita gerada por ele para 81n =
iteraes, condio inicial ( )0 0,2y = e o parmetro 0,4 = .
Grfico 8 (a) Mapa tenda inclinada com 0,4 = ; (b) exemplo de rbita deste mapa
2.4.3 MAPA TENDA
29
O mapa tenda definido pela seguinte equao de diferenas:
( ) ( )1 1 2*y n y n+ = (5) Quando o parmetro do mapa tenda inclinada zero, obtido o mapa tenda.
Logo, o mapa tenda um caso particular do mapa tenda inclinada.
No Grfico 9, mostrado o mapa tenda e a rbita gerada por ele para
( )0 0,026y = com 71n = iteraes. Para condies iniciais com nmeros racionais, a rbita tende ao ponto fixo
1 , ou seja, no catica (EISENCRAFT, 2006). Para gerar o Grfico 9, foi necessrio fazer
a conjugao do mapa quadrtico (EISENCRAFT, 2006). Essa adaptao est explicada nas
pginas 30 e 31.
Grfico 9 (a) Mapa tenda; (b) Exemplo de rbita do mapa tenda
2.4.4 MAPA QUADRTICO
30
O mapa quadrtico definido pela seguinte equao de diferenas:
( ) ( )21 2 1y n y n+ = + (6) A seguir o mapa quadrtico e uma rbita gerada por esse mapa com 61n =
iteraes e condio inicial ( )0 0,845y = .
Grfico 10 (a) Mapa quadrtico; (b) Exemplo de rbita do mapa quadrtico
O problema de gerar rbitas para o mapa tenda pode ser resolvido por meio da
relao entre os mapas quadrtico e tenda. Pode se mostrar que se pode obter uma rbita do
mapa tenda a partir do quadrtico pela seguinte relao (ALLIGOD; SAUER; YORKE,
1996):
( )1cos
2TQx
Cpi +
= (7)
31
Na Equao 7, x o vetor contendo os valores dos pontos da rbita em cada
iterao do mapa quadrtico e TQC corresponde ao vetor contendo os valores dos pontos da
rbita do mapa tenda.
2.5 CAOS E NMERO DE LYAPUNOV
O nmero de Lyapunov serve para quantificar a taxa mdia de separao dos
pontos que esto perto de um ponto fixo. O expoente de Lyapunov o logaritmo natural do
nmero de Lyapunov.
Considere um mapa genrico ( )f x
que possui uma rbita constituda pelos
pontos{ }1, 2, 3,...x x x . Ento, o nmero de Lyapunov, matematicamente, dado por:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 2lim ' ' ... ' nnn
L x f x f x f x
= (8)
O expoente de Lyapunov, matematicamente, dado por:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 21lim ln ' ln ' ... ln ' nn
h x f x f x f xn
= + + + (9)
Note que ln L h= .
Deve-se ressaltar que existem algumas rbitas com nmero de Lyapunov
indefinido. Um desses casos ocorre quando ( ) 0 =ixf . Toda rbita que atrada para um ponto fixo atrativo assintoticamente
peridica.
Se a rbita no for assintoticamente peridica e o expoente de Lyapunov ( )1h x for maior que zero, a rbita catica.
32
No Grfico 11, mostrado como varia o expoente de Lyapunov em funo do
parmetro a do mapa logstico.
Grfico 11 Expoente de Lyapunov em funo do parmetro a para o mapa logstico
A partir do Grfico 11, algumas observaes interessantes podem ser feitas.
Note que at 3,57a , no existe caos porque o expoente de Lyapunov negativo. Aps esse
valor existem finos traos negativos que so aquelas rbitas peridicas analisadas no
diagrama de bifurcao.
Essa anlise do expoente de Lyapunov outra maneira de visualizar que o caos
para a famlia de mapas logsticos ( ) ( ) ( )( )1 1y n ay n y n+ = comea a partir de 3,57a .
33
2.6 DENSIDADE INVARIANTE
Um histograma geralmente pode indicar a quantidade de pontos de uma rbita
que esto em cada regio dentro de cada subintervalo num domnio. (DEVANEY, 1992).
A estatstica de sinais digitais pode comear a ser analisada a partir de um
histograma, em que mostrada a freqncia com que cada valor iterado aparece. Para a
gerao de um histograma prtico, primeiro divide-se o intervalo do domnio em intervalos
uniformes. Depois, itera-se o mapa em questo.
Suponha que [ ]0,1U = e que i seja o nmero de intervalos. Considerando que
in o nmero de pontos num determinado intervalo e que N o nmero total de pontos
analisados, calcula-se a freqncia com a equao:
ii
nfN
= (10)
Para o mapa logstico com 4a = , 100000n = iteraes e condio inicial
( )010
y pi= , obteve-se o histograma do Grfico 12.
Grfico 12 (a) Densidade invariante x pontos da rbita ; (b) Histograma de um mapa logstico
34
Observe agora um histograma do mapa quadrtico com 100000n = iteraes e
condio inicial ( )0 0,845y = .
Grfico 13 (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa quadrtico
As funes densidade evoluem de acordo com o operador de Perron
Frobenius. Pode ser demonstrado que para o mapa quadrtico, o grfico terico da densidade
invariante dada pela frmula (LASOTA, A; MACKEY, M, 1985).
( ) ( )11
f xx xpi
=
(11)
Note que no Grfico 13, referente ao mapa quadrtico, h um nmero maior de
pontos nos extremos do intervalo [ ]1,1 e que h poucos pontos perto de zero. Em outras palavras, o mapa quadrtico possui uma densidade invariante no-uniforme. Existe uma maior
probabilidade de um ponto da rbita desse mapa estar nos extremos do domnio do que nas
demais partes.
35
A seguir um histograma do mapa tenda inclinada com 100000n = iteraes e
condio inicial ( )0 0,2y = .
Grfico 14 (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada
No grfico acima, nota-se uma distribuio quase constante ao longo de todos
os intervalos, dificultando a previso das prximas iteraes de uma rbita do mapa tenda
inclinada. Nesse caso, a densidade invariante uniforme com qualquer ponto da rbita tendo
igual chance de estar em cada lugar do domnio.
O intuito deste captulo explicar os assuntos e conceitos mais relevantes sobre
sinais caticos e estimao de sinais de tal forma que o entendimento do algoritmo de Viterbi
fique mais claro no Captulo 3.
36
3 ESTIMAO DE RBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI
Neste captulo, trata-se da aplicao do algoritmo de Viterbi estimao de
rbitas, tema central deste trabalho. Antes disso, comenta-se de forma resumida a respeito da
teoria da estimao.
A teoria da estimao tem importncia em diversas reas de processamento de
sinais, tais como: radar, voz, anlise de imagens, biomedicina, comunicaes, controle e
sismologia (KAY, 1993). Esse trabalho visa aplic-la em sistemas de Telecomunicaes.
O comportamento intrincado de sinais caticos pode ser tratado quando
observado de uma perspectiva estatstica (SETTI et al., 2002). A anlise individual de sinais
caticos difcil. Por esta razo, eles so estudados conjuntamente, por meio de um estudo
estatstico.
Qualitativamente, os mtodos desenvolvidos para recuperar sinais caticos em
meio ruidoso, em geral, tm desempenho igual: todos funcionam quando h pouco rudo junto
com o sinal e dificilmente apresentam bons resultados para rudo elevado. A dificuldade
fundamental de desenvolver um bom modelo de estimador para sinal catico a prpria
natureza do sinal (DRAKE, 1998, p.2). O problema que esses sinais so analisados apenas
com funes no-lineares, tornando difcil encontrar um modelo adequado de estimador.
A principal razo pela qual as aplicaes da modulao catica ainda esto em
seus estgios iniciais a grande sensibilidade do processo de demodulao, ou seja, o rudo
dificulta o estabelecimento da comunicao (DEDIEU; KISEL, 1999).
As maneiras de reduzir os efeitos do rudo podem ser divididas em 4
abordagens: (i) auto-sincronismo, (ii) teoria de controle, (iii) reduo de rudo e (iv) teoria da
estimao (DRAKE, 1998).
37
O auto-sincronismo a capacidade de sistemas caticos se sincronizarem sem
a necessidade de interveno externa. Esses sistemas podem ser separados em estveis e
instveis. O subsistema instvel usado para copiar o sistema. Quando h rudo, o subsistema
estvel permite uma menor distoro do sinal devido ao rudo (DRAKE, 1998).
A teoria de controle pode ser feita de duas formas: utilizar tcnicas que
estimam valores de estados imediatamente anteriores e tcnicas de identificao de sistemas
que mudam os parmetros do modelo conforme o comportamento do sistema. Esse mtodo se
utiliza de sistemas dinmicos lineares (DRAKE, 1998).
A reduo de rudo busca separar o comportamento catico de flutuaes
aleatrias. Ao contrrio da teoria de controle, a reduo de rudo utiliza propriedades
especficas de sistemas dinmicos caticos (DRAKE, 1998).
A primeira conexo entre caos e a teoria da estimao foi elaborada por
(MYERS ; TAPLEY, 1976). A teoria da estimao pode ser dividida basicamente em dois
grupos: clssico e bayesiano. Os estimadores clssicos modelam o valor a ser pesquisado
como desconhecido, mas considerando o sinal sendo determinstico. J os bayesianos o
caracterizam como uma quantidade aleatria caracterizada pela funo densidade de
probabilidade. (DRAKE, 1998). O algoritmo de Viterbi se enquadra no grupo bayesiano.
3.1 REPARTIO DO DOMNIO
O algoritmo de Viterbi funciona bem para mapas com densidade invariante
uniforme. A seguir analisado como feita a repartio do domnio para os casos com
densidade uniforme e no-uniforme.
38
Uma das decises importantes para que o algoritmo de Viterbi funcione bem
a partio do domnio. Conforme visto no Captulo 2, o domnio diz respeito a todos os
valores possveis de uma rbita. Nos casos que so estudados neste captulo, o domnio
[ ]1,1U = . A diviso do domnio simbolizada por subintervalos ,1j IU j N sendo IN o nmero total de subintervalos do domnio.
Cada subintervalo define um estado. Define-se que o sistema est no estado
( )q n j= se o ponto da rbita ( )s n estiver no subintervalo jU no instante n . O centro de cada subintervalo jU representado por ( )C j .
At hoje foram propostos dois modos de diviso do domnio em intervalos.
A primeira maneira foi proposta por Dedieu e Kisel (1999). A partio feita
com intervalos uniformes. Nos casos analisados, o domnio [ ]1,1U = tem comprimento 2.
Logo, cada intervalo tem comprimento 2IN
= .
Por exemplo, para 5IN = , tm-se os seguintes subintervalos:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
1 2 3
4 5
1; 0,6 , 0,6; 0,2 , 0,2;0,2 ,0,2;0,6 , 0,6;1 .
U U U
U U
= = =
= =
(12)
A Equao 13 expressa o subintervalo jU em funo do .
( )[ ]
1 1; 1 , 1,2,..., 1
1 ;1 ,I
I
j j j Nj N
=
=
(13)
Estudos e simulaes mostraram que, utilizando esta escolha de partio, o
algoritmo de Viterbi produz bons resultados somente em rbitas geradas por mapas que tm
densidade invariante uniforme (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006).
Para os casos de mapas com densidade invariante no-uniforme, surgiu a idia
de dividir o domnio em subintervalos de tal forma que a probabilidade de cada ponto da
39
rbita estar em um subintervalo seja igual em cada um deles. O estudo dessa implementao
est em (EISENCRAFT, 2006). Para o mapa quadrtico, da Equao 6, por exemplo, com
5IN = , os subintervalos so
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
1 2 3
4 5
1; 0,8081 , 0,8081; 0,3111 , 0,3111;0,2992 ,0,2992;0,8115 , 0,8115;1 .
U U U
U U
= = =
= =
(14)
Utilizando o Programa 3 do Apndice podem-se obter esses valores.
Para o desenvolvimento da idia proposta, calcula-se a rea total TA
compreendida entre o mapa e o eixo horizontal. Depois divide-se a rea total em IN
intervalos de tal forma que cada rea seja igual. A Equao (15) fornece o clculo de cada
rea IA .
TI
I
AAN
= (15)
Conhecendo-se IA , obtm-se os pontos nos quais divide-se o domnio.
A seguir, apresentado como se chega equao do problema de estimao e a
sua soluo pelo algoritmo de Viterbi.
3.2 ESTIMAO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUDO
O objetivo do algoritmo de Viterbi obter um sinal ( )s n contendo os valores mais prximos de um sinal original ( )s n que foi corrompido por rudo ( )nr a partir de
( ) ( ) ( )s n s n r n= + . Neste trabalho, o rudo que modifica o sinal o rudo branco gaussiano aditivo.
40
Define-se q como sendo o vetor que contm a seqncia de estados estimada.
A partir de q , o vetor contendo os pontos da rbita estimado s obtido pelo centro ( )C j dos intervalos definidos por estes estados.
Para 1n + amostras de s , o vetor corrompido pelo rudo
( ) ( ) ( )0 , 1 ,...,s s s n= s , a seqncia estimada ( ) ( ) ( ) 0 , 1 ,...,q q q n= q e o vetor estimado :
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 , 1 ,..., .C q C q C q n = s (16) Antes do estudo do algoritmo faz-se necessrio a obteno das funes
densidade de probabilidade envolvidas.
Considere q como sendo um vetor genrico contendo uma seqncia de 1n +
estados, ( ) ( ) ( )0 , 1 ,...,q q q n= q . O problema da estimao pode ser resumido em encontrar q tal que
( ) ( ) max .P P| = |q
q s q s (17)
A seqncia estimada q
dado o sinal distorcido s
a que possui maior
probabilidade entre as seqncias de estado q possveis dado o sinal distorcido. Em outras
palavras, a seqncia estimada q ser a de maior probabilidade dada as amostras corrompidas
por rudo s .
O teorema de Bayes afirma que
( ) ( ) ( )( )p s P q
P sp s|| = qq
(18)
41
sendo ( )p s a funo densidade de probabilidade dos possveis vetores s e ( )p |s q a funo densidade de probabilidade levando em conta que o vetor de estados original q . A
probabilidade ( )P q
diz respeito chance de obter o vetor q quando o mapa for iterado.
Como ( )p s no depende de q , o vetor estimado q : ( ) ( ) ( ) arg max arg max
q qP q s p s q P q= | = |q (19)
O vetor estimado q o vetor q que tem a maior probabilidade de ocorrer.
Enquanto na Equao 17, faz-se referncia probabilidade, a Equao 19 mostra quem o
vetor contendo a seqncia mais provvel de estados.
Considere somente os primeiros 1p + estados de um vetor genrico pq e de
um vetor observado ps . Pela notao que est sendo utilizada, tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( )0 , 1 ,..., 1 ,p q q q p q p= q (20)
e
( ) ( ) ( ) ( )0 , 1 ,..., 1 , .p s s s p s p= s (21)
A probabilidade de obter a seqncia de estados pq quando o mapa iterado :
( ) ( ) ( )( ) ( )11p pP P q p q p P = | q q (22) A probabilidade de obter a seqncia pq a probabilidade de que a seqncia
1pq tenha ocorrido vezes a chance de estando no estado ( )1q p ele mude para o estado
( )q p .
42
As amostras de rudo so independentes. Por esta razo, pode-se equacionar a
probabilidade do vetor de amostras do sinal distorcido sabendo que a seqncia estimada
pq como:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
0 0
0
p p
p p rn n
p
r
n
p p s n q n p s n s n
p s n C q n
= =
=
| = | =
s q
(23)
sendo ( ).rp a funo densidade probabilidade do rudo ( )r n . A aproximao na Equao 23 devido repartio do domnio. Para um IN pequeno, ( )s n e ( )( )C q n estaro possivelmente afastados. Porm, se for utilizado um elevado IN , a aproximao torna-se
prxima de uma igualdade.
Supondo que o mapa em questo possui densidade invariante uniforme, pode-
se dizer que a probabilidade de estar em qualquer dos subintervalos no instante 0n = igual.
A partir dessa considerao e combinando as Equaes 19, 22 e 23 chega-se a
( ) ( )( ) ( ) ( )( )11
arg max 1N
qn
P q n q n p s n q n
=
= | |q (24)
Uma forma de implementar a Equao 24 dada pelo algoritmo de Viterbi,
que descrito a seguir.
Considere ( ),n j simbolizando a probabilidade da seqncia de estados mais provvel que no instante n esteja no estado j dado o vetor s . Matematicamente,
( ) ( )( )1, max ,n
nn j P q n j s = = |q q (25)
Assim, a Equao 24 pode ser reescrita dessa maneira:
( ) ( ) ( ), max 1, ij jin j n i a b = s (26)
em que
43
( ) ( )( )1ija P q n j q n i= = | = (27) e
( )( ) ( ) ( )( )jb n P n q n j= | =s s (28) Os valores de ija correspondem s probabilidades de uma amostra ( )ns estar
no subintervalo jU quando em ( )1n s ela estiver em iU . Os valores de jb so as probabilidades que dependem da funo densidade de probabilidade de rudo rP .
O Diagrama 2 ajuda a esclarecer o algoritmo de Viterbi.
Diagrama 2 Exemplo do funcionamento do algoritmo de Viterbi. Esto representadas possveis seqncias at 5n = de um sinal.
O smbolo ( )5,4 a probabilidade da seqncia de estados mais provvel que no instante 5n = est no estado ( )5 4q = .
1 2 3 4 5 0
1
2
3
4
5
n
j
( )5,2 3 =
( )3,5 3 =
( )5,4
44
Primeiramente, numa fase chamada de avano, a Equao 25 utilizada para
obter ( ),n j no instante n para os IN intervalos. Sempre escolhido o caminho mais provvel na continuidade de cada seqncia.
Ao final dessa fase, seleciona-se a opo que fornece a mais alta probabilidade.
Depois, inicia-se a fase de retrocesso, que permite obter a seqncia de estados
mais provvel ( )q n . Atravs da matriz ( ),n j guardado o estado anterior 1n que contm a maior probabilidade de ter ocorrido.
Sendo ipi a probabilidade a priori de ( )0s estar no estado i , pode-se resumir o algoritmo de Viterbi atravs das equaes a seguir:
Incio do algoritmo
( ) ( )( )( )0, 0 ,1
0, 0i i Ii b i N
i
=
=
s (29)
Fase de avano
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
1
1
, max 1, ,1 1,1
, max 1, ,1 1,1I
I
j Ii N
ij j Ii N
n j n i b n i N j N
n j n j a b n i N j N
=
=
s
s
(30)
Trmino do avano
( ) ( )1
1 arg max 1,Ii N
q N N i
= (31)
Fase de retrocesso
( ) ( )( ) 1, 1 , 2,...,1,0q n n q n n N= + + = (32) 3.2.1 EXEMPLO NUMRICO DO ALGORITMO DE VITERBI
O intuito desse tpico facilitar o entendimento do algoritmo atravs de um
exemplo.
45
Considere um sinal [ ]0,75; 0,25;0,25; 0,75;0,3= s . Existem 5 amostras indo de 0n = at 4n = . Suponha que aps o sinal ter sido corrompido, tem-se
[ ]0,82; 0,6;0,1; 0,4; 0,1= s . O caso de anlise ser do mapa tenda que possui densidade invariante
uniforme. Logo, cada intervalo tem 2 2 0,54IN
= = = . O domnio U dividido nos seguintes
subintervalos: [ ]1 1; 0,5U = , [ ]2 0,5;0U = , [ ]3 0;0,5U = e [ ]4 0,5;1U = .
Com os dados fornecidos a seqncia original [ ]4;2;3;1;3=q . Na amostra
0n = , o valor de 0,75 se enquadra em 4U . Sendo assim, ( )0 4q j= = .
Neste exemplo utiliza-se uma matriz de transio ( ) ,1 , 4ija i j= A que pode ser obtida de maneira similar do Programa 3 do Apndice e :
0,5 0,5 0 00 0 0,5 0,50 0 0,5 0,5
0,5 0,5 0 0
=
A (33)
O elemento 34a indica que a probabilidade de que se o ponto da rbita estiver
em 3U no instante n e ele estar em 4U no instante 1n + 0,5 .
Suponha que a seqncia mais provvel at o instante 4n = terminando no
estado 3j = seja [ ]4,1,3,5,3=q . Supondo que dentre todas as outras seqncias que terminam em 4n = , o vetor q do estado 3j = seja o mais provvel, pode-se dizer que =q q .
A probabilidade de q ocorrer ( )4,3 . Ao final da fase de avano, alm das probabilidades, tm-se as os estados anteriores mais provveis. Assim, ( )4,3 5 = , ( )3,5 3 = , ( )2,3 1 = ,
( )1,1 4 = e ( )0,4 0 = .
46
Para obter a seqncia, parte-se da Equao 31. Depois, necessrio somente
substituir na Equao 32. Assim:
( ) 4 3q = (34) ( ) ( )( ) ( ) 3 4, 4 4,3 5q q = = = (35) ( ) ( )( ) ( ) 2 3, 3 3,5 3q q = = = (36) ( ) ( )( ) ( ) 1 2, 2 2,3 1q q = = = (37) ( ) ( )( ) ( ) 0 1, 1 1,1 4q q = = = (38)
3.2.2 EXEMPLO GRFICO DO ALGORITMO DE VITERBI
Os grficos desse tpico foram gerados a partir do mapa tenda inclinada com
0,2 = , 21n = iteraes e 10IN = subintervalos.
O Grfico 15 mostra um exemplo de como o algoritmo de Viterbi melhora um
sinal original distorcido pelo rudo. No item (a), temos sinal original s . No item (b),
mostrado o sinal corrompido por um rudo branco s e no item (c) , o sinal estimado s obtido.
47
Grfico 15 (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por rudo; (c) sinal estimado
O Grfico 16 mostra o erro dos sinais distorcido e estimado, respectivamente.
Grfico 16 (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro aps utilizar o algoritmo
48
Na simulao tambm foi calculada a mdia dos erros sem utilizar e utilizando
o algoritmo. A mdia de erro com rudo foi de 0,3538 enquanto que a mdia de erro com a
estimao foi de 0,1091. Com esses valores, percebe-se que o algoritmo de Viterbi foi muito
eficiente neste caso.
O Grfico 17 mostra a relao sinal rudo da entrada inSNR
pela relao sinal
rudo na sada outSNR .
Grfico 17 - inSNR x outSNR
Esse grfico foi obtido a partir do Programa 5 do Apndice. Aps a escolha do
vetor de inSNR , calculou-se o sinal estimado e a varincia entre este sinal e o sinal original
para cada amostra do sinal original. Cada amostra do sinal original foi elevada ao quadrado e
dividida pela varincia. Depois foi feita a converso desse vetor para decibis. Por fim, foi
feita uma mdia do desvio quadrtico, obtendo outSNR .
49
O desempenho bom enquanto out inSNR SNR> . Percebe-se que at cerca de
20 dB o algoritmo consegue uma boa estimao do sinal. Caso venha um sinal com uma
inSNR maior que esse valor, o algoritmo estima um sinal pior do que o corrompido.
Para que esse mtodo seja utilizado, deve-se ter um nmero elevado de
subintervalos do domnio e , alm disso, o mtodo no pode estimar um sinal com pouco
rudo.
50
4 SIMULAES E RESULTADOS
Utilizando toda a teoria vista nos Captulos 2 e 3, foram desenvolvidos
programas para simular o comportamento do algoritmo de Viterbi ao variar-se alguns
parmetros (EISENCRAFT, 2006).
A partir da diviso do domnio em subintervalos, o mapa iterado diversas
vezes e depois calculada a chance do prximo ponto estar em cada um dos intervalos.
Obtm-se dessa forma a matriz de transio A que quadrada e do tipo I IN N em que IN
o nmero de subintervalos. O sinal de entrada uma rbita gerada pelo mapa em questo.
As informaes necessrias para a simulao da estimao so: o sinal original
( )s n , o sinal corrompido ( )s n , a potncia do rudo no canal rP , o nmero de intervalos IN , o mapa, e a matriz de transio A .
Os mapas utilizados para as simulaes so: mapa tenda (Eq. 5), mapa tenda
inclinada (Eq. 4) e mapa quadrtico (Eq. 6).
A fim de minimizar o erro do algoritmo, antes de simular o algoritmo de
Viterbi, fora-se a condio do intervalo definido no domnio. Assim, se um ponto do sinal
ruidoso for maior que 1, aproximado para 1 e se for menor que 1 , aproximado para 1 .
No Grfico 18, foi feita a variao do parmetro do mapa tenda inclinada.
Utilizaram-se 10IN = intervalos, com 1000 repeties para cada valor de inSNR e 21N =
pontos iterados do mapa.
O inSNR e o outSNR foram obtidos da mesma forma que foi explicado no
Grfico 17. O programa 7 do Apndice foi utilizado para gerar o Grfico 18.
51
Grfico 18 - inSNR x outSNR para o mapa tenda inclinada com variaes do parmetro . Foram
usados 10IN = subintervalos e 21N = pontos da rbita.
Observe que para o mapa tenda inclinada com 0 = , o resultado obtido foi
melhor. Os piores resultados foram obtidos para valores de prximos dos extremos (-1 e
1). Perto de 20 dB, o algoritmo deixa de ser interessante para o mapa tenda inclinada com
0,8 = . Note que a partir desse valor, a outSNR passa a ser menor que a inSNR . Este
resultado significa que o sinal estimado estar mais longe do sinal original comparado com o
sinal corrompido. Nesse caso, para melhorar o desempenho deve-se aumentar o nmero de
intervalos uniformes.
52
No Grfico 19, a simulao foi feita tambm com o mapa tenda inclinada s
que a variao foi com o nmero de subintervalos utilizados. Foi utilizado 0,2 = .
Mantiveram-se as 1000 repeties por valor de inSNR
e rbitas com 21N = iteraes.
Grfico 19 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do nmero de intervalos
Note que quanto maior o nmero de intervalos, melhor o resultado da
estimao. Por volta de 32,5inSNR = dB, para 10 intervalos, o algoritmo de Viterbi acaba no
sendo interessante para a estimao.
No Grfico 20, a variao do tamanho da matriz de transio foi feita com o
mapa quadrtico, caso em que necessria uma partio no-uniforme. Novamente foram
feitas 1000 repeties por valor de inSNR
e as rbitas foram obtidas com 21N = iteraes.
53
Grfico 20 - inSNR x outSNR do mapa quadrtico com variaes do nmero de intervalos
As mesmas observaes feitas anteriormente podem ser vista no mapa
quadrtico. O nmero de intervalos tem uma influncia muito grande no desempenho do
algoritmo de Viterbi.
Comparando o desempenho do algoritmo de Viterbi nos mapas quadrtico e
tenda inclinada com variao do nmero de intervalos, pode-se observar que para o mapa
tenda inclinada com 0,2 = , ele apresenta resultados ligeiramente melhores. Por exemplo,
para 10 intervalos, no quadrtico, o algoritmo satisfatrio at quase 35 dB enquanto que no
tenda inclinada, com 0,2 = , de 32,5 dB.
Os resultados obtidos no so parecidos com os obtidos na tese de Eisencraft
(2006). Os valores de inSNR e outSNR no so os mesmos. necessrio um estudo mais
aprofundado para verificar os possveis motivos das diferenas de resultados.
54
Para as simulaes feitas neste captulo, foram utilizados intervalos no-
uniformes no mapa quadrtico e uniformes no mapa tenda inclinada.
Apesar de terem sido mostradas poucas simulaes, deve-se ressaltar que para
cada uma delas o tempo gasto foi de aproximadamente 7 horas. Esse tempo foi obtido a partir
de um computador com processador Pentium D de 2,8 GHz.
55
5 CONCLUSES
Este trabalho teve como propsito analisar uma forma de estimar um sinal
catico transmitido em meio ruidoso de forma a obter um sinal mais prximo do transmitido
originalmente. O mtodo estudado foi o algoritmo de Viterbi.
Para que o trabalho atingisse um pblico mais amplo, fez-se primeiramente
uma introduo aos sinais caticos e sistemas de comunicaes nos Captulos 1 e 2. Alm
disso, tambm foi revisada a teoria da estimao de sinais na primeira parte do Captulo 3.
A partir desses conceitos fundamentais, iniciou-se o estudo do algoritmo de
Viterbi aplicado estimao de sinais caticos. Nas simulaes realizadas no Captulo 3,
mostrou-se o caso de apenas um sinal sendo transmitido, um rudo aleatrio que foi
adicionado a ele, e o sinal estimado pelo mtodo. Os resultados foram satisfatrios. Para as
condies propostas naquele exemplo, se 20inSNR > dB, o algoritmo deixa de ser
interessante.
Nas simulaes do Captulo 4, dois parmetros foram variados a fim de se
analisar qual era a influncia deles no resultado da estimao. No Grfico 18, na anlise do
mapa tenda inclinada com variao de , verificou-se que para 0 = , tm-se um maior
conjunto de valores de inSNR para os quais a outSNR maior. Portanto, nesse caso obtm-se
o melhor resultado, com esse parmetro.
O parmetro que mais altera os resultados do algoritmo o nmero de divises
do intervalo IN . Quanto maior for o nmero de intervalos, ocorre um nmero maior de casos
em que outSNR maior que inSNR , como mostrado nos Grficos 19 e 20.
Por meio dos resultados obtidos, pode-se concluir que o algoritmo de Viterbi
tem um bom desempenho para mapas com densidade invariante uniforme, como o mapa tenda
56
inclinada. Para os casos com outros tipos de mapa se faz necessria uma modificao nas
divises que deve ser feita no domnio estudado. A diviso feita de tal forma que as reas
obtidas entre o mapa e o eixo horizontal devem possuir o mesmo valor, ou seja, a
probabilidade de que um ponto esteja num subintervalo a mesma de que ele esteja em
qualquer outro subintervalo.
Deve-se tambm considerar as limitaes do mtodo. Para casos nos quais h
pouco rudo, o algoritmo acaba diminuindo a outSNR em relao ao inSNR . Um fator
importante para explicar essa limitao so as aproximaes pelos pontos centrais dos
intervalos. Como os pontos do sinal ruidoso esto prximos do original, essa estimao acaba
por obter pontos mais distantes do mesmo.
Os assuntos abordados neste trabalho, em geral, no so vistos num curso de
graduao. Houve a necessidade de muito estudo para escrever os captulos iniciais e tambm
com a parte de simulao.
Algumas sugestes para trabalhos futuros resultantes desta pesquisa so: como
aplicar o algoritmo de Viterbi em sistemas de comunicao como ML-CSK (Maximum
Likelihood Chaos Shift Keying Chaveamento Catico com mxima verossimilhana) e ML-
DCSK (Maximum Likelihood Differential Chos Shift Keying Chaveamento catico
diferencial com mxima verossimilhana) (EISENCRAFT, 2006), comparao do algoritmo
de Viterbi com outros mtodos de estimao e anlise de resultados do algoritmo de Viterbi
considerando outros tipos de distoro alm do rudo branco gaussiano. Um dos professores
da banca, aps a apresentao desse trabalho, tambm sugeriu um estudo a respeito do ponto
timo dentro de um subintervalo no-uniforme.
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APNDICE
Rotinas computacionais em MATLAB
58
1 SKEW Obtm o mapa tenda inclinada %[s] = skew(alfa,s0) %Itera mapa skew uma vez % alfa = parametro do mapa % s0 = vetor de pontos a ser iterado function s = skew(alfa,s0) indicesmenores = (find(s0alfa)); c11 = 2/(alfa+1); c12 = (1-alfa)/(1+alfa); c21 = 2/(alfa-1); c22 = -(1+alfa)/(alfa-1); s(indicesmenores) = c11*s0(indicesmenores)+c12; s(indicesmaiores) = c21*s0(indicesmaiores)+c22;
2 ORBITATI Obtm rbitas do mapa tenda inclinada % nit = numero de iteracoes % x0 = condicao inicial % alfa = parametro do mapa tenda inclinada function y=orbitati(nit,x0,alfa) y(1)=x0; for i=2:nit if y(i-1)
59
end I=[-1 X(b) 1] %devolve intervalos para algoritmo
4 TENTIVA Obtm a matriz de transio para o mapa tenda inclinada function matrizdetransicao=tentativa(nintervalos) close all; alfa=0.2; I=quaseviterbi(nintervalos,50000,alfa); %obtem intervalos obtidos no programa 3 variavel=length(I); for i=1:variavel-1 x=linspace(I(i),I(i+1),1000); for j=1:length(x) if x(j)
60
%Nb = 10; %Limitacao hard de y y(find(abs(y)>1))=sign(y(find(abs(y)>1))); %limitacao hard
%Pontos centrais dos intervalos deltab = 2/Nb; k = 1:Nb; Bc = ((2*k-Nb-1)/Nb)'; if strcmp(mapa,'quadratico'), Bc = -cos(pi*(Bc+1)/2); end
% Inicializacao delta(:,1) = dist(y(1),Bc,varruido)/Nb; fi(:,1) = zeros(Nb,1);
% Forward Pass for t = 2:Npontos, for j = 1:Nb, for i = 1:Nb, calc(i) = delta(i,t-1)*a(i,j); end calcmax = max(calc); indmax = find(calc == calcmax); delta(j,t) = max(calc)*dist(y(t),Bc(j), varruido); fi(j,t) = indmax(1); end end
%Termino termino = find(delta(:,Npontos) == max(delta(:,Npontos))); s(Npontos) = termino(1);
%Backward Pass for t = Npontos-1:-1:1, s(t) = fi(s(t+1),t+1); end xchapeu = Bc(s)';
5 ALGORITMO DE VITERBI Obtm Grficos dos sinais originais, com rudo e estimado, erro e relao sinal rudo
%scriptfinal e=0:50; f=0:50; close all; tamanho=21; Nb=10; mapa='skew'
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a=tentativa(10); SNRindB=linspace(0,60,60);
for i=1:length(SNRindB)
for b=1:10 x0=2*rand(1,1)-1; sinaloriginal=orbitati(tamanho,x0,0.2); N=0:length(sinaloriginal)-1; l=length(N); r=0.4*randn(1,tamanho); sinalcorrompido=sinaloriginal+r; y=sinalcorrompido; varruido=0.4; xchapeu = viterbi(y,varruido,Nb,a,mapa); sinaloriginalaoquad=sum(sinaloriginal.^2); potenciasinal=sinaloriginalaoquad/tamanho; varianciaruido=var(sinalcorrompido-sinaloriginal); varianciaestimada=var(xchapeu-sinaloriginal); SNRin(i)=potenciasinal/varianciaruido; SNRinput(i)=10.^(SNRin(i)/10); sigma(i)=potenciasinal/SNRin(i); SNRout=sinaloriginalaoquad/varianciaestimada; SNRoutdB(i)=10*log10(SNRout); SNRoutput(i)=[SNRoutdB(i)]; erro=sinaloriginal-xchapeu; errocomruido=sinaloriginal-sinalcorrompido; mediaSNRinput(i)=[mean(SNRinput)];
end mediaSNRoutput(i)=[mean(SNRoutput)]; end mediaerro=mean(erro.^2) mediaerrocomruido=mean(errocomruido.^2) figure(1) subplot(3,1,1) plot(N,sinaloriginal) grid on ylabel('Sinal original') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(3,1,2) plot(N,sinalcorrompido) grid on ylabel('Sinal corrompido por ruido') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(3,1,3) plot(N,xchapeu) grid on xlabel('n') ylabel('Sinal estimado')
62
axis([0 20 -1.2 1.2]) figure(2) subplot(2,1,1) plot(N,errocomruido) grid on ylabel('Erro sem utilizar o algoritmo') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(2,1,2) plot(N,erro) grid on xlabel('n') ylabel('Erro utilizando o algoritmo') axis([0 20 -1.2 1.2]); figure(3) plot(SNRindB,mediaSNRoutput) grid on hold on plot(e,f,'c') grid on xlabel('SNRin') ylabel('SNRout') axis([0 30 0 30])
6 SCRIPTFINALGRAFICOVITERBI Obtm as relaes sinal rudo da entrada pela relao sinal rudo na sada ao variar o parmetro alfa do mapa tenda inclinada %scriptfinalgraficoviterbi %Nb=numero de intervalos %SNRindB=relacao sinal ruido de entrada %xchapeu=sinal estimado %alfa=0.2; %numrepete=numero de repeti function [SNRindB, mediaSNRoutput] = scriptfinalgraficoviterbitialfa(alfa,a); tamanho=21; Nb=10; mapa='skew' SNRindB=linspace(0,40,60); SNR=10.^(SNRindB/10); numrepete=10; n = 0:tamanho-1; for i=1:length(SNRindB) for b=1:numrepete [SNRindB(i) b alfa] x0=2*rand(1,1)-1; sinaloriginal=orbitati(tamanho,x0,alfa); sinaloriginalaoquad=sum(sinaloriginal.^2); potenciasinal=sinaloriginalaoquad/tamanho; potenciaruido=potenciasinal/SNR(i); r=sqrt(potenciaruido)*randn(1,tamanho); sinalcorrompido=sinaloriginal+r;
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xchapeu=viterbi(sinalcorrompido,potenciaruido,Nb,a,mapa); denSNRout=var(xchapeu-sinaloriginal) SNRout=sinaloriginalaoquad/denSNRout; SNRoutdB(b)=10*log10(SNRout); erro=sinaloriginal-xchapeu; errocomruido=sinaloriginal-sinalcorrompido; end mediaSNRoutput(i)=[mean(SNRoutdB)]; end end
7 GRAFICVITERBITIALFA Obtm o Grfico de relao sinal rudo da entrada pela relao sinal rudo na sada ao variar o parmetro alfa do mapa tenda inclinada %function [SNRin,mediaSNRoutput] = graficviterbi(alfa) close all; alfa = -0.8:.4:0.8; a=tentativa(10) e=0:50; f=0:50; for indalfa=1:length(alfa) [SNRindB(indalfa,:), mediaSNRoutput(indalfa,:)] =scriptfinalgraficoviterbitialfa(alfa(indalfa)); end figure(1) plot(SNRindB(1,:),mediaSNRoutput(1,:),'r') hold on plot(SNRindB(2,:),mediaSNRoutput(2,:),'b') hold on plot(SNRindB(3,:),mediaSNRoutput(3,:),'k') hold on plot(SNRindB(4,:),mediaSNRoutput(4,:),'g') hold on plot(SNRindB(5,:),mediaSNRoutput(5,:),'m') hold on plot(e,f,'c') hold on xlabel('SNRin') ylabel('SNRout')
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