Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Disciplina: Física 4 – EAD Professor Wandearley Dias
Pólo Olho d’Água das Flores 22/03/2010
Aluna Katylane Vieira Ferreira
2º Lista de Exercícios
Colegas, nesta lista avaliada pelo tutor Alex Costa 14/17 questões estão corretas!
Peso da avaliação: 3,0 pontos
Pontuação obtida:2,3 pontos
Instruções: leia atentamente todas as questões. Esta lista de exercícios deverá ser
entregue ao tutor presencial no dia da prova do módulo 2.
1. A linha vermelha de um laser-neônio tem comprimento de onda 632,8 nm no ar.
(a) Determine a velocidade;
Resposta:
No ar – a velocidade de uma onda se propagando em um meio está
relacionada a sua velocidade no vácuo que é aproximadamente a velocidade
no ar e ao índice de refração do meio:
smsm
n
vv
ar
vácuoar /10.998,2
00,1
/10.998,2 88
Na água - a velocidade de uma onda se propagando em um meio está
relacionada a sua velocidade no vácuo que é aproximadamente a velocidade
no ar e ao índice de refração do meio:
smsm
n
vv
água
vácuoágua /10.31,2
3,1
/10.998,2 88
No vidro - a velocidade de uma onda se propagando em um meio está
relacionada a sua velocidade no vácuo que é aproximadamente a velocidade
no ar e ao índice de refração do meio:
smsm
n
vv
vidro
vácuovidro /10.0,2
5,1
/10.998,2 88
(b) O comprimento de onda;
Resposta:
No ar – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao
índice de refração no meio e o comprimento da onda se propagando no
vácuo pela relação:
nmnm
nar
vácuoar 8,632
1
8,632
Na água – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao
índice de refração no meio e o comprimento da onda se propagando no
vácuo pela relação:
nmnm
nágua
vácuoágua 8,486
3,1
8,632
No vidro – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao
índice de refração no meio e o comprimento da onda se propagando no
vácuo pela relação:
nmnm
nvidro
vácuovidro 9,421
5,1
8,632
(c) A freqüência de luz do laser hélio-neônio no ar, na água e no vidro com
índice de refração igual a 1,50.
Resposta:
No ar – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento e
sua velocidade pela relação:
Hzff
nm
smvffvf
f
Tv
arar
ar
ararararararar
arar
arar
1417
8
10.8,410.0048,0
8,632
/10.998,2
1
Na água – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento
e sua velocidade pela relação:
Hzffnm
smvf
fvff
Tv
águaágua
água
água
água
águaáguaáguaáguaágua
água
água
água
água
água
14178
10.8,410.0048,08,486
/10.31,2
1
No vidro – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento
e sua velocidade pela relação:
Hzffnm
smvf
fvff
Tv
águaágua
vidro
vidroágua
vidrovidrovidrovidrovidrovidro
vidro
vidro
vidrovidro
14178
10.8,410.0048,09,421
/10.0,2
1
2. Uma fonte puntiforme de luz está localizada a 5,0m abaixo da superfície de uma
grande piscina de água. Determine a área do maior círculo da superfície da
piscina através da qual a luz vinda diretamente da fonte pode emergir.
Resposta: veja a situação descrita na figura abaixo em diagrama.
Perceba que quando o ângulo de refração da luz for de 900 a luz começa ser
totalmente refletida pela superfície, o ângulo de incidência para que isso aconteça
deve ser, pela lei da reflexão interna total:
1
21
1
221212211
sin
sinsin90sinsinsinsin
n
n
n
nnnnnnn
C
CCC
Achado o ângulo crítico, podemos encontrar o raio entre e normal a partir da
fonte e o ponto onde a luz deixa de ser refratada pela relação:
mr C 5.
De posse do raio, calculamos, finalmente, a área do círculo de luz que sai da piscina,
por:
22 5. mrA Cf
3. Considerando uma lâmina de material transparente, no qual uma luz é incidida a
um ângulo 1 . A lâmina tem espessura t e índice de refração n. Mostre que
]sin[tan
sin
1
1
r
dn
, onde d é a distância entre a normal traçada no ponto de
incidência da interface ar/lâmina e a normal traçada no ponto e incidência da
interface lâmina-ar.
Resposta. Veja a situação descrita no diagrama
5m
C
Reflexão interna total
FIGURA 2.1: uma fonte puntiforme emitindo luz no fundo de uma
piscina
Pela Lei da Refração
t
dn
t
dComo
nn
nnn
1
12
1
2
2
12
2
1122211
tansin
sin
tan
sin
sin
sin
sinsinsin
(a) quanto tempo leva para a luz atravessar esta lâmina?
Resposta: como a luz tem uma velocidade constante, o tempo será de:
t
d
v
dt
v
stempo
vácuoalâ
1
1
22
min
tansin
sin
4. A figura a seguir mostra um raio luminoso perpendicular à face AB de um
prisma de vidro (n=1,52).
(a) Determine o maior valor do ângulo F para o qual um raio é totalmente
refletido na face AC do prisma se este está imerso no ar;
1
2
n ar = 1
n Lâmina
d
t
ar
Propagação da luz em dois meios distintos
FIGURA 2.2: propagação retilínea da luz
Resposta: veja o diagrama da situação:
A luz começará ser refletida totalmente na face AC quando o ângulo de refração
da luz estiver perpendicular a normal traçada na superfície AC. Pela Lei da Reflexão
Interna Total, o ângulo de incidência deve ser:
0
1
1
1
2
66,052,1
1sin
sin90sinsinsinsin
vidro
vidro
arvidrovidrovidroararvidrovidro
n
nnnnn
(b) Na água – o mesmo procedimento aqui
0
1
1
1
2
88,052,1
33,1sin
sin90sinsinsinsin
vidro
vidro
água
vidroáguavidrovidroáguavidrovidron
nnnnn
5. Você tem 1,62m de altura, e deseja ver sua imagem completa num espelho plano
vertical.
(a) Qual a altura mínima do espelho que atende à sua necessidade?
Resposta: veja pela figura que o espelho deve ter no mínimo a altura que está
marcado entre os dois pontos de reflexão da luz que parte das extremidades
da pessoa que está na frente dele para que os raios refletidos possam chegar
ao olho da pessoa.
FIGURA 2.3: propagação retilínea da luz
Reflexão interna total
A altura mínima deve ser: cmcmh 81)774(
(b) A que distância acima do solo deve estar a base do espelho considerando que
o topo da sua cabeça esteja a 14 cm acima do nível dos seus olhos? Use um
diagrama de raios para explicar sua resposta.
Resposta: deve estar a 74 cm acima do solo.
6. Mostre que a equação do espelho fornece a distância correta e a ampliação da
imagem para um espelho plano.
Resposta: num espelho plano o centro de curvatura C do espelho tende ao
infinito, implicando que seu foco também, assim, quando mais distante do
espelho o foco está mais o objeto se aproxima em tamanho e direção da imagem
virtual produzida, pela equação geral do espelho:
ipipipipfip
11
011111111
, como queríamos
demonstrar.
7. Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm.
Obs.: antes de analisarmos as questões que se sucedem, vejamos as principais
características das imagens formadas pelos espelho plano, côncavo e convexo na
tabela abaixo.
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS
TIPO DE ESPELHO
POSIÇÃO DO OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
FIGURA 2.4: reflexão da luz no espelho plano
Espelho plano
PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +
CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +
M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -
CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +
(a) Use diagramas de raio para localizar a imagem, se ela existe, para objetos
próximo ao eixo a distâncias de 55cm;
Resposta: analisando a tabela para espelhos côncavos vemos que nosso raio
de curvatura é 24 cm, logo o ponto focal está a ½* 24cm distante do espelho.
Nosso objeto está na posição 55 cm distante do espelho, logo, este objeto
está Mais Longe que o Ponto Focal do Espelho (M.L.Q.F.), assim, a imagem
produzida estará no mesmo lado que o objeto, será real e invertida, pelo
diagrama,
(b) 24;
Resposta: analisando a tabela para espelhos côncavos vemos que nosso raio
de curvatura é 24 cm, logo o ponto focal está a ½* 24cm distante do espelho.
Nosso objeto está na posição 24 cm distante do espelho, logo, este objeto
está Mais Longe que o Ponto Focal do Espelho (M.L.Q.F.), assim, a imagem
produzida estará no mesmo lado que o objeto, será real e invertida, pelo
diagrama,
FIGURA 2.5: objeto mais longe do espelho côncavo que o foco,
imagem invertida e reduzida
Espelho Côncavo
(c) 12 cm;
Resposta: analisando a tabela para espelhos côncavos vemos que nosso raio
de curvatura é 24 cm, logo o ponto focal está a ½* 24cm distante do espelho.
Nosso objeto está na posição 24 cm distante do espelho, logo, este objeto
está a mesma distância do espelho que o Ponto Focal do Espelho, assim, não
há produção de imagem porque os raios não se cruzam.
(d) 8cm do espelho. Para cada caso diga se a imagem é real ou virtual; direita ou
invertida; e ampliada, reduzida ou tem o mesmo tamanho do objeto.
FIGURA 2.6: objeto no ponto focal do espelho côncavo, os
raios não se cruzam, não há produção de imagem.
Espelho Côncavo
FIGURA 2.6: objeto no centro de curvatura do espelho
côncavo e Mais Longe que o Foco, imagem invertida, reduzida
e real reduzida
Espelho Côncavo
Resposta: analisando a tabela para espelhos côncavos vemos que nosso raio
de curvatura é 24 cm, logo o ponto focal está a ½* 24cm distante do espelho.
Nosso objeto está na posição 8 cm distante do espelho, logo, este objeto está
Mais Perto que o Ponto Focal do Espelho (M.P.Q.F.), assim, a imagem
produzida estará do lado oposto ao espelho, será virtual e terá mesma
orientação do objeto, pelo diagrama,
8. Um espelho côncavo forma uma imagem invertida quatro vezes maior que o
objeto.
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS
TIPO DE ESPELHO
POSIÇÃO DO OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +
CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +
M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -
CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +
(a) Encontre a distância focal do espelho se a distância entre o objeto e a
imagem é de 0,600m.
FIGURA 2.7: objeto Mais Perto do Espelho que Ponto Focal do
espelho côncavo, os raios não se cruzam, mas convergem para
o mesmo ponto quando prolongado para trás do espelho,
imagem ampliada, de mesma orientação e virtual
Espelho Côncavo
Resposta: pelo enunciado e pela tabela a imagem deve estar do mesmo lado
do objeto em relação ao espelho, é real e invertida. Pela equação do espelho,
o sinal de F, R e M são positivos e pela combinação da equação para a
ampliação e a altura da imagem e do objeto:
p
im
x
x
h
hm 4
4'
, como pi 6,0
mmetrosimetrosii
iiiiii
im
48,0100
4848,0
5
4,2
4,2414,2444,26,0
De posse do valor da posição da imagem -48/100m e da ampliação 4,
calculamos o valor da posição do objeto
mmetrosm
ip
p
im 12,0
400
48
4
1.
100
48
4
100
48
Como temos agora os valores da posição da imagem -24/50m e do objeto
24/200m podemos utilizar a equação do espelho para determinar a
localização do foco.
mfff
fffipf
16,0300
4848300
48
3001
48
1004001
48
100
12
1001
100
48
1
100
12
11111
Como era de se esperar, temos uma imagem virtual localizada no lado
oposto porque o objeto está M.P.Q.F com mesma orientação do objeto e
ampliada. Veja a figura abaixo igual a situação da questão 7.d).
(b) Um espelho convexo forma uma imagem virtual com metade do tamanho do
objeto. Se a distância entre a imagem e o objeto é de 20,0 cm, determine o
raio de curvatura do espelho.
Resposta: vamos analisar a tabela para formação de imagens por espelhos
convexos agora.
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS
TIPO DE ESPELHO
POSIÇÃO DO OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +
CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +
M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -
CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +
Resposta: pelo enunciado e pela tabela a imagem deve estar do lado oposto
do objeto em relação ao espelho, é virtual e tem mesma orientação. Pela
equação do espelho, o sinal de F, R são negativos e de M é positivo e pela
combinação da equação para a ampliação e a altura da imagem e do objeto:
FIGURA 2.7: objeto Mais Perto do Espelho que Ponto Focal do
espelho côncavo, os raios não se cruzam, mas convergem para
o mesmo ponto quando prolongado para trás do espelho,
imagem ampliada, de mesma orientação e virtual
Espelho Côncavo
p
im
x
x
h
hm 5,0
2
12', como pi 2,0
metrosii
iiiiii
im
083,02,1
1,0
1,02,011,02,02,01,02,0
De posse do valor da posição da imagem -0,083m e da ampliação 0,5,
calculamos o valor da posição do objeto
metros
m
ip
p
im 166,0
5,0
083,0
Como temos agora os valores da posição da imagem -0,083 m e do objeto
0,166 m podemos utilizar a equação do espelho para determinar a
localização do foco.
mfff
fffipf
166,01000
1661661000
166
10001
166
200010001
83
1000
166
10001
1000
83
1
1000
166
11111
9. Um espelho esférico deve ser usado para formar, em uma tela localizada a 5,00
m do objeto, uma imagem com cinco vezes o tamanho do objeto.
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS
TIPO DE ESPELHO
POSIÇÃO DO OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +
CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +
M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -
CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +
(a) Descreva qual o tipo de espelho necessário.
Resposta: como a posição da imagem está do mesmo lado da imagem, é
ampliada, real; então deve ser um espelho côncavo. pela combinação da
equação para a ampliação e a altura da imagem e do objeto:
p
im
x
xm
h
h 5
5'm , como
(b) Onde o espelho deveria ser posicionado em relação ao objeto.
Resposta: pela combinação da equação para a ampliação e a altura da
imagem e do objeto:
p
im
x
xm
h
h 5
5'm , como 55 ipip
miiiii
i
p
im 16,4
6
252551525
55
Assim, a posição do objeto será mmip 84,0516,45 distante do
espelho, como este está posicionado em relação ao objeto.
10. Suponha que dois espelhos são organizados de tal maneira que formem uma
“cantoneira”, com os lados espelhados fazendo um ângulo entre si. Ao
colocar um objeto O entre eles, você observa múltiplas imagens do objeto.
Determine o número de imagens formadas para:
(a) 090
Resposta: pela equação, o número de imagens segue a relação
imagensN 314190
3601
3600
00
(b) 045
Resposta: pela equação, o número de imagens segue a relação
imagensN 718145
3601
3600
00
(c) 060
Resposta: pela equação, o número de imagens segue a relação
imagensN 516160
3601
3600
00
11. Um dentista deseja usar um pequeno espelho que irá produzir uma imagem
direita com ampliação de 5,5, quando o espelho é posicionado a 2,1 cm de um
dente.
(a) O espelho deveria ser côncavo ou convexo?
Resposta: vejamos a tabela para os espelhos côncavos e convexos.
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS
TIPO DE ESPELHO
POSIÇÃO DO OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +
CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +
M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -
CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +
O único espelho capaz de produzir a imagens nas condições descritas é o
côncavo.
(b) Qual deveria ser o raio de curvatura do espelho?
Resposta: como temos o valor da ampliação e da posição do objeto p,
podemos encontrar a imagem pela relação
cmoumimimpip
im 55,111155,0021,0.5,5
E depois usar a equação do espelho para determinar o foco.
cmoumfff
fffipf
6,2026,045000
1155115545000
1155
450001
1155
10000550001
1155
10000
21
10001
10000
1155
1
1000
21
11111
Assim, o raio de curvatura do aparelho do dentista deve ter uma raio de
curvatura cmoumfr 1,5051,0026,0.22
12. Uma lente convergente tem uma distância focal de 20,0 cm. Localize a imagem
para distâncias do objeto de:
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR LENTES
TIPO DE LENTE POSIÇÃO DO
OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
CONVERGENTE M.P.Q.F. Mesmo lado Virtual Mesma + + + M.L.Q.F. Lado oposto Real Invertida + + -
DIVERGENTE QUALQUER Mesmo lado Virtual Mesma - - +
(a) 40,0 cm.
Resposta: a lente convergente com distância focal da lente de 20 cm, está
com o objeto a 40 cm dela, como o objeto está mais distante do ponto focal,
a posição da imagem será do lado oposto da lente, real e invertida, o valor de
sua posição para p = 40 cm utilizando a equação do espelho:
mii
ifpifpiipf
5,24
10
4
20101
2
10
4
101
2,0
1
4,0
11111111111
A ampliação: 25,64,0
5,2
p
im
(b) 20,0 cm.
Resposta: a lente convergente com distância focal da lente de 20 cm, está
com o objeto a 20 cm dela, como o objeto está sobre o ponto focal, não
existe produção de imagem.
02,0
1
2,0
11111111111
ifpifpiipf
(c) 10,0 cm. Para cada caso determine se a imagem é real/virtual,
direita/invertida e a ampliação em cada caso.
Resposta: a lente convergente com distância focal da lente de 20 cm, está
com o objeto a 10 cm dela, como o objeto está mais perto do que ponto
focal, a posição da imagem será do mesmo lado do objeto da lente, virtual e
direita, o valor de sua posição para p = 10 cm utilizando a equação do
espelho:
miiii
ifpifpiipf
2,010
2210
2
101
2
10
1
101
2,0
1
1,0
11111111111
A ampliação: 21,0
2,0
p
im
13. Uma lente de aumento é uma lente convergente de distância focal de 15,0 cm. A
qual distância de um selo você deve segurar a lente para obter uma ampliação de
+2,00?
Resposta: vejamos a tabela
TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR LENTES
TIPO DE LENTE POSIÇÃO DO
OBJETO
IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL
POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M
CONVERGENTE M.P.Q.F. Mesmo lado Virtual Mesma + + + M.L.Q.F. Lado oposto Real Invertida + + -
DIVERGENTE QUALQUER Mesmo lado Virtual Mesma - - +
A tabela nos diz que uma lente convergente consegue uma ampliação positiva da
imagem do objeto, com mesma orientação que este, virtual, localizada do
mesmo lado que o objeto se este estiver posicionado Mais Perto da Lente que o
Ponto Focal. Como o problema nos pede para localizarmos a posição do objeto,
primeiro utilizamos a equação para ampliação da imagem relacionada por
pmpip
im 2 , depois utilizamos a equação do espelho para
localizar a posição p do objeto:
cmoump
ppppppipf
5,7075,0
200
1515200
2
1
15
100
2
12
15
100
2
11
15,0
1111
14. Um objeto é colocado a 12,0 cm a frente de uma lente com distância focal igual
a 10,0 cm. Uma segunda lente com distância focal de 12,5 cm é colocada a 20,0
cm atrás da primeira lente.
(a) Determine a posição da imagem final.
Resposta: analisamos a primeira lente como se não houvesse a segunda.
Desta forma, a posição da imagem é de, pela equação do espelho:
miii
iiiipf
6,020
121220
12
201
12
1201001
1
10
12
1001
1,0
1
12,0
11111
Esta imagem que encontramos vai servir de objeto para a segunda lente; ela
é uma imagem real e invertida porque o objeto está localizado mais longe do
que o ponto focal; como a segunda lente está afastada a 20 cm da primeira
lente, a diferença da distância entre a posição da imagem da lente 1 e a
posição da lente 2 nos dá o valor do objeto 2 em relação a lente 2:
mmmp 4,02,06,0 .
Com este dado e os do enunciado podemos encontrar a posição da imagem
final i através da equação do espelho:
mi
iiii
ifpifpiipf
33,0750
250
250750250
7501
250
200012501
125
1000
2
101
125,0
1
2,0
11111111111
Pelo fato do objeto está mais longe da lente que o ponto focal uma imagem
real, invertida do outro lado da lente.
(b) Qual é a ampliação da imagem.
Resposta: ampliação da lente 1 512,0
6,01 lentem e ampliação da lente 2
825,04,0
33,02 lentem
Ampliação total 125,4825,0.5. 21 mmM
(c) Faça um esboço do diagrama de raios mostrando a imagem final.
Resposta:
15. Determine a variação da distância focal do olho quando originalmente a 3,0 m é
trazido para 30,0 cm do olho.
Resposta: é a diferença entre o foco 2 e o foco 1
cmcmfff 2703030012
16. Um objeto curto e retilíneo, de comprimento L, está sobre o eixo central de um
espelho esférico, a uma distância p do espelho . Mostre que a imagem do
espelho tem um comprimento L’ dado por:
2
'
fp
fL . (Sugestão: determine
a posição da imagem nas duas extremidades do objeto)
Resposta: usando a equação dos espelhos:
pf
f
ppf
pf
p
pf
pf
m
Ampliação
pf
pfi
pf
pf
ifpi
1
:
1111
Usando a equação da ampliação em função da altura:
pf
fLLLmL
L
Lm
''
'
Como o módulo da ampliação deve ser a mesma dividindo tanto a altura da
imagem pelo objeto como pela posição da imagem pela do objeto:
Formação de imagens por lentes
FIGURA 2.7: formação de imagem por duas lentes
convergentes.
1sup,'
''2
Londopf
fL
pf
f
L
pf
f
L
Lm
17. Prove que se um espelho plano for girado de um ângulo alfa, o raio refletido
girará de um ângulo 2alfa. Mostre que esse resultado é razoável para alfa = 450.
Resposta:
18. Uma lente biconvexa é feita de vidro com índice de refração 1,5. Uma das
superfícies tem um raio de curvatura duas vezes maior que a outra e, a distância
focal da lente é 60 mm. Determine:
(a) O menor raio de curvatura.
(b) O maior raio de curvatura.
Resposta: para uma lente delgada com índice de refração n imersa no ar, a
distância focal é dada por
SOMA VETORIAL DOS RAIOS REFLETIDOS
ESPELHO A 00 ESPELHO GIRADO A 900
FIGURA 2.8: se um espelho plano for girado de um ângulo alfa, o raio
refletido girará de um ângulo 2alfa
cmoumx
nfxnfx
xn
fxxn
f
5,4045,02
15,106,0.3
2
13132
2
31
11
2
11
1
Sendo este o menor raio de curvatura.
O maior é cmoummxx 909,0045,0.222 .