Fisica exercicios resolvidos 011

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ESPCEX 2011|2012 Matemática 1º dia RESOLUÇÃO COMENTADA PARTICIPE DO AULÃO GRÁTIS ESPCEX TERÇA 20/09 E QUINTA 22/09 19 ÀS 22H AULÃO GRÁTIS ESPCEX TERÇA 20/09 E QUINTA 22/09 19 ÀS 22H EQUIPE DE RESOLUÇÃO EURICO DIAS GUILHERME CALDERANO JAIME BARIZON MAKERLEY ARIMATÉIA RÔMULO MACHADO EQUIPE DE DIAGRAMAÇÃO JACQUELINE ALEIXO LEONARDO PROTTA
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  • EsPCEx 2011|2012Matemtica 1 dia

    R E S O L U O C O M E N T A D A

    PARTICIPE DO AULO GRTIS EsPCExTERA 20/09 e QUINTA 22/09

    19 s 22h

    AULO GRTIS EsPCExTERA 20/09 e QUINTA 22/09

    19 s 22h

    Equipe de ResoluoeuRico diasGuilheRme caldeRanoJaime BaRizonmakeRley aRimatiaRmulo machado

    Equipe de diaGRamaoJacqueline aleixoleonaRdo pRotta

  • Resoluo Comentada | EsPCEx 2011|2012 Matemtica

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    QUESTO 01 As medidas em centmetros das arestas de um bloco retangular so as razes da equao polinomial x

    3 -14x

    2 + 64x -96 = 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, se

    for construdo um novo bloco retangular, com arestas medindo (r-1), (s-1) e (t-1), ou seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco ser: a) 36 cm

    3 b) 45 cm

    3

    c) 54 cm3

    d) 60 cm3

    e) 80 cm3

    Resoluo Vamos encontrar as razes da equao: x

    3 14x

    2 + 64x 96 = 0

    Os candidatos as razes racionais so os divisores de 96, ento:

    4 1

    1

    -14

    -10

    64

    24

    -96

    0

    Por Bhaskara, temos: x

    2 10x + 24 = 0

    = 100 96 = 4

    10 2x

    2

    x = 4 x = 6 As razes so: (4, 4, 6) Ento o volume : (4 - 1).(4 - 1).(6 - 1) = 3 . 3 . 5 = 45cm

    3

    QUESTO 02 Num estdio de futebol em forma de elipse, o gramado o retngulo MNPQ, inscrito na cnica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse descrita pela

    equao 2 2

    2 2

    x y1

    36 60

    . Sabe-se tambm que os focos da elipse esto situados em lados

    do retngulo MNPQ. Assim, a distncia entre as retas MN e PQ : a) 48m b) 68m c) 84m d) 92m e) 96m

    Q P

    N

    x

    y

    M

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    Resoluo A distncia entre as retas MN e PQ a distncia focal = 2C, pois os focos esto em PQ e MN. Com isso, segue:

    2 2

    2 2

    2 2

    x y1

    36 60

    b a

    a2

    = b2 + c

    2 60

    2 = 36

    2 + c

    2

    c2 = 2304 c = 48 2c + 96

    Logo, a distncia 96 cm. QUESTO 03 O ponto da cirdunferncia x

    2 + y

    2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada mxima :

    a) (0,-6) b) (-1, -3) c) (-1,0) d) (2, 3) e) (2,-3) Resoluo x

    2 + y

    2 + 2x + 6y + 1 = 0

    x2 + 2x + 1 + y

    2 + 6y + 9 = - 1 + 1 + 9

    (x + 1)2 + (y + 3)

    2 = 9

    centro: c (-1, -3) raio: R = 3

    ponto de ordenada mxima: c (-1, -3 + 3) c (-1, 0) QUESTO 04

    O conjunto soluo do sistema

    x y

    3 2

    3 .27 9

    2y xy 0

    3

    formado por dois pontos, cuja

    localizao no plano cartesiano : a) Ambos no primeiro quadrante. b) Um no quarto quadrante e o outro eixo X. c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y. e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.

    Resoluo x 3yx y

    23 2

    2

    3 .3 323 .27 9

    ~ ~2x2y y 0y xy 0

    33

    x 3y 2 x 2 3y (I)

    2y y x 0 (II)

    3

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    Substituindo (I) em (II):

    2

    2

    2

    2y y 2 3y 0

    3

    4y y 2y 0

    3

    y 0

    4 4y 0 y

    3 3

    Sendo y = 0, temos:

    x = 2 A(2,0)

    Sendo y = 4

    3, temos:

    4B 2,3

    Ento:

    A x

    -2

    B

    y

    4

    3

    2

    QUESTO 05 Os polinmios A(x) e B(x) so tais que A(x) = B(x) + 3x

    3 + 2x

    2 + x + 1 . Sabendo-se

    que -1 raiz de A(x) e 3 raiz de B(x), ento A(3) - B(-1) igual a: a) 98 b) 100 c) 102 d) 103 e)105 Resoluo A(x) = B(x) + 3x

    3 + 2x

    2 + x + 1

    -1 raiz de A(x) A (-1) = 0

    3 raiz de B(x) B (3) = 0

    Para x = -1, segue: A(-1) = B(-1) + 3.(-1)

    3 + 2.(-1)

    2 + (-1) + 1

    A(-1) = B(-1) 3 + 2 1 + 1 Como A(-1) = 0, vem:

    0 = B(-1) 1 B(-1) = 1

    Para x = 3, segue: A(3) = B(3) + 3.(3)

    3 + 2.(3)

    2 + (3) + 1

    A(3) = B(3) + 81 + 18 + 3 + 1 Como B(3) = 0, vem:

    A(3) = 0 + 103 A(3) = 103 Assim, vem: A(3) B(-1) = 103 - 1 = 102

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    QUESTO 06 Considere a funo real f(x), cujo grfico est representado na figura, e a funo real g(x), definida por g(x) = f(x-1) + 1.

    O valor de 1g -2

    :

    a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3

    Resoluo

    Queremos 1g2

    e como g(x) = g(x-1)+1, vem que 1 3g f 12 2

    .

    De acordo com o grfico, a lei de formao de f(x) dada por: x y 2x

    1 2x 3y 6 y 23 2 3

    Com isso, segue que 3 2 3f . 2 12 3 2

    .

    Logo, 1g 22

    .

    QUESTO 07 A inequao 10

    x + 10

    x+1 + 10

    x+2 + 10

    x+3 + 10

    x+4 < 11111, em que x um nmero real:

    a) no tem soluo. b) tem apenas uma soluo. c) tem apenas solues positivas. d) tem apenas solues negativas. e) tem solues positivas e negativas. Resoluo 10

    x + 10

    x+1 + 10

    x+2 + 10

    x+3 + 10

    x+4 < 11111

    10x + 10

    x. 10

    1 + 10

    x.10

    2 + 10

    x.10

    3 + 10

    x.10

    4 < 11111

    10x (1+10+100+1000+10000) < 11111

    10x.11111 < 11111

    10x < 1

    10x < 10

    0

    x < 0

    S x IR/ x 0

    QUESTO 08 Pesquisas revelaram que, numa certa regio, 4% dos homens e 10% das mulheres so diabticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa regio. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabtica : a) 4% b) 5% c) 5,4% d) 7,2% e) 8,2%

    -3 0

    2

    y

    x

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    Resoluo

    HOMENS MULHERES

    DIABTICOS 12 70

    NO DIABTICOS 288 630

    300 700

    82P(D) 8,2%

    1000

    QUESTO 09 Considere as funes Reais f(x) = 3x, de domnio [4, 8] e g(y) = 4y, de domnio [6, 9].

    Os valores mximo e mnimo que o quociente f(x)

    g(y)pode assumir so, respectivamente:

    a) 2 1e3 2

    b) 1 e 13

    c) 4 1e3 3

    d) 3 1e4 3

    e) 11e3

    Resoluo

    Como f(x) g(y) so funes contnuas e crescentes em seus domnios, ento:

    f(x) max(f(x)) 3.8i) max 1

    g(y) min(g(y)) 4.6

    f(x) min(f(x)) 3.4 1ii) min

    g(y) max(g(y)) 4.9 3

    QUESTO 10

    Seja o nmero complexo x yi

    z3 4i

    , com x e y reais e i

    2= -1.Se x

    2 + y

    2 = 20 , ento o

    mdulo de z igual a:

    a) 0 b) 5

    c) 2 5

    5 d) 4

    e) 10

    Resoluo Dado: x

    2+y

    2=20

    x yiz

    3 4i

    , efetuando a diviso do complexo temos:

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    2 2

    x yi 3 4i 3x 4ix 3yi 4yz

    3 4 25

    3x 4y i 3y 4xz

    25

    ento:

    2 2

    2

    2 2 2 2

    2

    2 2

    2

    2 2

    3x 4y 3y 4xz

    25

    9x 24xy 16y 9y 24xy 16xz

    25

    25x 25yz

    25

    x y 20z

    25 25

    2 5z

    5

    QUESTO 11

    O domnio da funo real 2

    2 xf(x)

    x 8x 12

    :

    a) ]2 , [ b) ]2, 6[ c) ] , 6] d) ]-2, 2] e) ] , 2] Resoluo Seja:

    2

    2 xf(x)

    x 8x 12

    O domnio dessa funo dado por 2 x > 0 e x2 - 8x + 12, ou seja, devemos ter

    x < 2, x 2 e x 4. Logo, D(f) = ]-,2[

    QUESTO 12 Na Fsica, as leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Define-se como perodo de um planeta o intervalo de tempo necessrio para que este realize uma volta completa ao redor do Sol. Segundo a terceira lei de Kepler, "Os quadrados dos perodos de revoluo (T) so proporcionais aos cubos das distncias mdias (R) do Sol aos planetas", ou seja, T

    2 = kR

    3 , em que k a constante de

    proporcionalidade. Sabe-se que a distncia do Sol a Jpiter 5 vezes a distncia Terra-Sol; assim, se denominarmos T ao tempo necessrio para que a Terra realize uma volta em torno do Sol, ou seja, ao ano terrestre, a durao do "ano" de Jpiter ser:

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    a) 3 5 b) 5 3

    c) 3 15.T d) 5 5.T

    e) 3 3.T

    Resoluo Sabendo que na 3 Lei de Kepler a constante de proporcionalidade k no se altera, temos:

    2 2Terra Jupiter

    3 3Terra Jupiter

    T T

    R R

    Como RJpiter = 5.RTerra, ento: 2 2

    Jupiter Terra

    3 3 3Terra Terra

    T T

    5 . R R

    T2

    Jpiter = 5.52. T

    2Terra

    JupiterT 5 5.T

    QUESTO 13 Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o nmero real x, soluo da equao 5

    x-1 = 150, pertence ao intervalo:

    a) ] , 0] b) [4,5[ c) ]1,3] d) [0,2[ e) [5, [ Resoluo

    5x-1

    = 150 x5

    1505

    5x = 750

    Utilizando o operador logaritmo nessa identidade, temos: log 5

    x = log 750

    x.log 5 = log (2 . 3. 53)

    x.log 5 = log 2 + log 3 + 3.log 5 0,3 0,48 3.0,7

    x0,7

    2,88x 4,11

    0,7

    QUESTO 14 Considere o tringulo ABC abaixo, retngulo em C, em que BC = 30. Nesse tringulo est representada uma sequncia de segmentos cujas medidas esto indicadas por Lt, L2, L3,...... Ln, em que cada segmento perpendicular a um

    dos lados do ngulo de vrtice A. O valor 9

    1

    L

    L

    :

    30A

    B

    C

    L1 L2L3 L4

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    a) 27 3

    128 b) 1

    128

    c) 81

    256 d) 27

    64

    e) 1

    256

    Resoluo Por semelhana, temos:

    2 3 4 5

    1 2 3 4

    L L L L...

    L L L L

    Com isso, podemos observar que (L1, L2, L3, L4, ...) forma uma P.G. de razo 2

    1

    L

    L.

    Queremos 91

    L

    L e como L9

    = L1 . q

    8, vem:

    889 1

    1 1

    L L .qq

    L L

    Como 2

    1

    L 3q cos30

    L 2 , segue que

    8

    8 3 81q2 256

    .

    QUESTO 15 A figura abaixo formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vrtices e nos pontos mdios dos lados, esto representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do tringulo sempre 24. Assim, o valor numrico da expresso x-y-z : a) -2 b) -1 c) 2 d) 5 e) 10 Resoluo Soma dos valores do lado = 24

    x 5 y 24 x y 19 (I)y z 5 (I) (II)

    x 10 z 24 x z 14 (II)y z 9 (III)

    y 15 z 24 y z 9 (III)

    Resolvendo o sistema: x = 12, y = 7, z = 2 Logo: x y . z = 12 7. 2 = -2

    5 10

    y z

    x

    15

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    Aprovaes 2010 | 2011

    37 EsPCEx

    28 EFOMM

    19 AFA

    12 COLGIO NAVAL 40 EPCAR

    2 ESCOLA NAVAL

    8 IME

    4 ITA

    PARTICIPE DO AULO GRTIS ESPCEX TERA 20/09 E QUINTA 22/09

    19 S 22H

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    QUESTO 16 Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabtica, a palavra ESPCEX ocupar, nessa ordenao, a posio: a) 144 b) 145 c) 206 d) 214 e)215 Resoluo E S P C E X

    2 4 3 1 2 5

    2 4 3 1 2 5 Podemos analisar esse problema como sendo a posio ocupada pelo nmero 2 4 3 1 2 5 aps permutar os algarismos do nmero 1 2 2 3 4 5 e coloc-los em

    ordem crescente.

    1 : P52=60

    2 2 3 4 5

    2 1 : P4=24

    2 3 4 5

    2 2 : P4=24

    1 3 4 5

    2 3 : P4=24

    1 2 4 5

    2 4 1 : P3=6

    2 3 5

    2 4 2 : P3=6

    1 3 5

    Total: 144

    2 4 3 1 2 5

    Total: 145

    QUESTO 17 Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrcolas, constatou-se que a ao do produto sobre a populao de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expresso N(t) = N0.2

    kt sendo N0 a populao no incio do

    tratamento, N(t), a populao aps t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficcia do produto. Dados de campo mostraram que, aps dez dias de aplicao, a populao havia sido reduzida quarta parte da populao inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficcia deste produto igual a:

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    a) 5-1

    b) -5-1

    c) 10 d) 10-1

    e) -10-1

    Resoluo Com base no enunciado temos:

    N(10) = 0N

    4 N0 . 2

    K.10 = 0

    N

    4

    210K

    = 2-2

    10K = -2 11

    K 55

    QUESTO 18

    O valor numrico da expresso 2sec1320 53

    2.cos tg 22202 3

    :

    a) -1 b) 0

    c) 1

    2

    d) 1

    e) 3

    2

    Resoluo

    2sec1320 53

    2.cos tg 22202 3

    Reduzindo para a primeira volta temos:

    2sec 240

    2cos300 tg 602

    Assim, temos

    2

    22

    1 1 1 1. 2cos300 tg 60 .

    2 cos240 2

    1 1 1 1 1. 2cos60 tg 60 . 2. 3

    12 cos60 2 2

    2

    -1 -1 + 2

    3 1

    QUESTO 19 A funo real f(x) est representada no grfico abaixo:

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    A expresso algbrica de f(x) :

    a) sen x , se x 0

    f(x)cos x , se x 0

    b) cos x , se x 0

    f(x)sen x , se x 0

    c) cos x , se x 0

    f(x)sen x , se x 0

    d) sen x , se x 0

    f(x)cos x , se x 0

    e) sen x, se x 0

    f(x)cos x, se x 0

    Resoluo Sabendo que o grfico de f(x) = cos x para x > 0 :

    E que o grfico de f(x) = sen x para x < 0 :

    Assim o grfico de f(x) |cos x| para x no-negativo e f(x) = |sen x| para x negativo idntico ao grfico da funo do problema.

    QUESTO 20 A figura espacial representada abaixo, construda com hastes de plstico, formada por dois cubos em que, cada vrtice do cubo maior unido a um vrtice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo tm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos

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    a) 6 2 cm

    b) 3 2 cm

    c) 2 3 cm

    d) 4 3 cm

    e) 6 3 cm

    Resoluo Seccionando o cubo maior, contendo a diagonal de uma face, obtm-se uma seco equivalente no cubo menor. Observe que em tal seco, as diagonais dos cubos esto presentes. Vista frontal da seco: AE = GC = x (aresta pedida)

    AE + EG + GC = AC

    x + 4 3 + x = 8 3

    2x = 4 3

    x = 2 3 cm

    QUESTO 21 Na figura abaixo, est representado um cubo em que os pontos T e R so pontos mdios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do slido geomtrico definido pelos pontos PQRST, em cm

    3, :

    a) 2

    3 b)

    4

    3

    c) 5

    3 d) 16

    3

    e) 32

    3

    Resoluo Vide a figura:

    S

    T

    R

    P Q

    22

    1

    1cm

    2cm

    S

    T

    R

    P Q

    A B

    CD

    HG

    FE

    4 48 8

    8 2

    4 2

    4 2

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    Considerar o polgono plano TSRQ como a base da pirmide de vrtice P. volume do slido = volume da pirmide

    Ento:

    1

    V AB .23

    com AB = rea do quadrado que contm T, R e Q subtrado de dois tringulos:

    2

    T1

    Q 2

    R

    1

    Q

    Assim:

    2

    V 4 23

    4V

    3

    QUESTO 22 Se x um nmero real positivo, ento a sequncia ( log 3 x, Iog3 3x, Iog3 9x) : a) Uma Progresso Aritmtica de razo 1. b) Uma Progresso Aritmtica de razo 3. c) Uma Progresso Geomtrica de razo 3. d) Uma Progresso Aritmtica de razo log3 x. e) Uma Progresso Geomtrica de razo Iog3 x.

    Resoluo (log3x, log33x, log39x) Como o , segue que

    essa sequncia uma P.A. de razo 1.

    QUESTO 23 Considere as seguintes afirmaes:

    I- Se dois planos e so paralelos distintos, ento as retas r1 e r2 so sempre paralelas.

    II- Se e so planos no paralelos distintos, existem as retas r1 e r2 tal que r1 e r2 so paralelas. III- Se uma reta r perpendicular a um plano no ponto P, ento qualquer reta de que passa por P perpendicular a r.

    3 3 3 3

    3 3 33

    3xlog 3x - log x = log log 3 1 e

    x

    9xlog 9x log 3x log log 3 1

    3x

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    Dentre as afirmaes acima, (so) verdadeira(s) a) Somente II. b) I e II. c) I e III. d) II e III. e) I, II e III.

    Resoluo I (F) Retas paralelas precisam estar num mesmo plano. II (V) Podem existir paralelas em planos no paralelos. III (V) Retas coplanares que se cruzam formando ngulo de 90 so perpendiculares. Verdadeiras II e III.

    QUESTO 24 Considere um plano e os pontos A, B, C e D tais que:

    O segmento AB tem 6 cm de comprimento e est contido em . O segmento BC tem 24 cm de comprimento, est contido em e perpendicular a AB. O segmento AD tem 8 cm de comprimento e perpendicular a .

    Nessas condies, a medida do segmento CD : a) 26 cm. b) 28 cm. c) 30 cm. d) 32 cm. e) 34 cm Resoluo

    6

    B

    C

    A

    D

    8

    24

    22 2

    2

    2

    C 6 24

    C 36 576

    C 612

    2 2 2

    22

    22

    2

    2

    2

    CD AC AD

    CD 612 8

    CD 612 8

    CD 612 64

    CD 676

    CD 26

    QUESTO 25 O cosseno do menor ngulo formado pelos ponteiros de um relgio s 14 horas e 30 minutos vale:

    a) 3 1

    2

    b)

    2 12

    c) 1 2

    4

    d) 6 2

    4

    e) 2 34

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    Resoluo 12

    6

    39

    10

    11 1

    2

    4

    57

    8

    15

    14:30h Nota-se que cada minuto equivale a 6.

    Enquanto o ponteiro dos minutos percorre 12

    volta, o ponteiro das horas percorrer a

    metade da distncia entre 2 e 3. Assim, o ngulo procurado dado por 90 + 15 = 105.

    cos 105 = cos (45 + 60) = 2 1 3 2

    2 2 2 2

    cos 105 = 6 22 6

    ou4 4

    QUESTO 26

    O ponto 1P a,3

    pertence parbola 2y 3

    x3

    . A equao da reta perpendicular

    bissetriz dos quadrantes mpares que passa por P : a) 27x + 27y 37 = 0 b) 37x + 27y 27 = 0 c) 27x + 37y 27 = 0 d) 27x + 27y 9 = 0 e) 27x + 37y 9 = 0

    Resoluo

    Como 1P a,3

    pertence parbola 2y 3

    x3

    segue

    21

    3283

    a3 27

    .

    Seja r a reta perpendicular bissetriz dos quadrantes mpares. Com isso, vem que

    mr = -1. Logo, a equao dada por 1 28y 1 x3 27

    , isto , 3y 1 27x 28

    3 27

    , ou

    seja, 27x + 27y 37 = 0.

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    QUESTO 27 A representao no sistema cartesiano ortogonal da equao 9x

    2 - y

    2 = 36x + 8y- 11

    dada por: a) duas retas concorrentes. b) uma circunferncia. c) uma elipse. d) uma parbola. e) uma hiprbole.

    Resoluo 9x

    2 y

    2 = 36x + 8y 11

    9x2 36x + 36 y

    2 8y 16 = - 11 + 36 16

    9(x2 4x + 4) (y

    2 + 8y + 16) = 9

    9(x - 2)2 (y + 4)

    2 = 9

    (x - 2)2 -

    2

    y 41

    9

    Hiprbole

    QUESTO 28 Seja a funo complexa P(x) = 2x

    3 - 9x

    2 + 14x - 5. Sabendo-se que 2 + i raiz de P, o

    intervalo de nmeros reais que faz P(x) < 0, para todo x I :

    a) 1,2

    b) 0,1

    c) 1,24

    d) 0,

    e) 1 3,4 4

    Resoluo Como x1 = 2 + i raiz, segue que x2 = 2 - i tambm. Com isso segue que p(x) divisvel por x

    2 - 4x + 5, pois 2+ i e 2 - i so razes de x

    2 4x + 5.

    3 2 2

    3 2

    2

    2

    2x 9x 14x 5 x 4x 5

    2x 8x 10x 2x 1

    x 4x 5

    x 4x 5

    0

    Com isso, temos que 2x -1 =0, ou seja, 1

    x2

    tambm raiz de P(x).

    2

    I II

    P(x) (x -4x+5) (2x-1) 0

    I + + + + + + + + + + +

    II - - - - - - + + + + + +

    S - + 1

    2

    1

    2

    1S x R | x

    2

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    QUESTO 29 A figura abaixo representa dois tanques cilndricos, T1 e T2, ambos com altura h, e cujos

    raios das bases medem R e R 2 respectivamente. Esses tanques so usados para

    armazenar combustvel e a quantidade de combustvel existente em cada um deles

    tal que seu nvel corresponde a 2

    3 da altura.

    O tanque T1 contm gasolina pura e o tanque T2 contm uma mistura etanol-gasolina, com 25% de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T2 at que o teor de etanol na mistura em T2 caia para 20%. Nessas condies, ao final da operao, a diferena entre a altura dos nveis de T1 e T2, ser:

    a) 1h

    2

    b) 1h3

    c) 1h

    4

    d) 1h

    5

    e) 1h

    6

    Resoluo

    No tanque (T2): G 3E

    (Antes de colocar mais gasolina)

    No tanque (T2): G V 4E

    (Depois de colocar mais gasolina)

    Sabe-se que V = gasolina que sai de T1:

    Ento, G V V4 3 4 V EE E E

    Assim:

    22

    2 2

    2hR . x R 2 . 25%

    3

    2h 1 hR . x R . 2 . . x

    3 4 3

    (T1) (T2)

    y

    x

    2h

    32h

    3

    (Volumes iguais)

    2

    2

    2 2

    R . x R 2 . y

    h hR . 2 R . y y

    3 6

    A diferena entre os nveis : 2h h h h

    3 6 3 2

    T1

    R

    T2

    h

    R 2

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    QUESTO 30 Na figura abaixo, dois vrtices do trapzio sombreado esto no eixo x e os outros dois vrtices esto sobre o grfico da funo real f(x) = logkx, com k>0 e k1. Sabe-se que o trapzio sombreado tem 30 unidades de rea; assim, o valor de k+p-q : a) -20 b) -15 c) 10 d) 15 e) 20

    Resoluo f(x) = logk x

    1 = logkp K = p

    2 = logkq K

    2 = q

    Ento, p2 = q

    2

    y

    x

    1

    p qh

    r

    rea = 30

    (2 1)(q p)30

    2

    q p = 20

    Assim, p2 = 20 + p p

    2 p 20 = 0

    = 81 p = 5 ou p = - 4

    De acordo com o grfico, p > 0, p > 5. Finalmente, p = 5, q = 25 e K = 5. k + p q = -15

    2

    y

    x

    1

    p q

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    ERRATA

    Gabarito EsPCEx Matemtica 1 dia Colgio Apogeu

    Nmero da questo

    Prova A Prova B Prova C

    01 E B D 02 C E A 03 E C E 04 D E C 05 B C D 06 E D D 07 B D B 08 D D B 09 D E E 10 D C C 11 D E A 12 A D B 13 C B E 14 A C E 15 B A C 16 A B E 17 E B D 18 D D B 19 A A A 20 C C D 21 B B C 22 A A A 23 B D C 24 C A B 25 C D A 26 A A B 27 E E D 28 E A A 29 B A E 30 A B A