Física
Aula 04 - Mecânica
Prof.: Célio Normando
Relações entre as grandezas II
- Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
- Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
- Grandezas Independentes
Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
X
Y
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
X2 1 4 9 16 25
Y é diretamente proporcional ao quadrado de X, visto que a razão entre Y e X2 é constante.
Analise a maneira como Y está variando com X .
Qual a relação entre as grandezas X e Y?
Y / XY / X22 = K (constante) => Y=K = K (constante) => Y=K .. X X22
Função do 2º grau incompleta.
Verifique a razão entre Y e X2 .
0
Y
X11
2
9
3
16
4
25
5
4
X
Y
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
Se a grandeza Y é diretamente proporcional ao quadrado da grandeza X, observe a construção do gráfico.
O gráfico obtido é uma parábola com o vértice na origem.
Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
A energia cinética (Ec) de um corpo de massa m é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade (v)
Ec = m . v2
2
Observe que a razão entre a energia cinética (Ec) e a velocidade ao quadrado (v2) é constante.
Ec
v2=
m2
(constante)
Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
Suponha a massa(m) do corpo igual a 4kg (m = 4kg)
Se a velocidade (v) for igual a 6m/s (v = 6m/s) então:
A energia cinética seria
Ec = 72J
Ec = mv2
2 Ec =4 x 36
2
Na tabela seguinte, você ao pressionar a tecla “ENTER”, terá um novo valor de v e consequentemente um novo valor para a energia cinética.
Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
m = 4 kg
v (m/s) Ec (J) v2 (m2/s2)
6 72 36
8 128 64
9 162 81
10 200 100
12 288 144
20 800 400
Verifique que Ec
v2= 2 (constante)
Assim, a energia cinética (Ec) é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade (v).
Y
X
36
2
9
4
4
6
2,25
8
1,44
10
X2 4 16 36 64 100
Y é inversamente proporcional ao quadrado de X, visto que o produto entre Y e X2 é constante.
Y Y .. X X22 = K (constante) => Y=K / X = K (constante) => Y=K / X22
Observe como Y está variando com o X neste novo quadro.
Como a grandeza Y se relaciona com a grandeza X?
Compare o Y com o X2.
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
0
Y
X2
36
4
9
6
4
8
2,25
10
1,44
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
Y
X
36
2
9
4
4
6
2,25
8
1,44
10
Construindo o gráfico desta tabela obtém-se:
A curva obtida denomina-se hipérbole cúbica e representa o comportamento de Y quando é inversamente proporcional ao quadrado de X.
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
0
Y
X
Que curva é esta?
É uma hipérbole cúbica ou eqüilátera?
Sem valores não há elementos para julgar.
0
Y
XX1
Y1
X2
Y2
Colocando valores, examine dois pontos desta curva.
Se Y1 . X1 = Y2 . X2 , então a curva é uma hipérbole equilátera.
Se Y1 . X12= Y2 . X2
2 , então
a curva é uma hipérbole cúbica.
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
0
Y
X2
6
4
3
E agora temos uma hipérbole cúbica ou equilátera?
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
Verifique que o produto Y1 . X1 é igual ao produto Y2 . X2, logo a hipérbole é equilátera.
0
Y
X0,5
100
1
25
E esta nova curva o que será?
Y1 . X12 = Y2 . X2
2
100 x (0,5) 2 = 25 x (1) 2
Conclusão:A curva é uma hipérbole cúbica.
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
A força elétrica (F) é inversamente proporcional ao quadrado da distância (d) entre as cargas.
Deste modo o gráfico da força elétrica x distância é uma hipérbole cúbica.
0
F
d (m)2
40
4
10
2,5
(N)
8
Observe que o produto F. d2 = constante
Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado
A lei Física que relaciona a força elétrica (F) e a distância (d) é a lei de Coulomb.
F = K q1 . q2
d2 F . d2 = Kq1 . q2 (constante)
Y
X
10
0
12
1
16
2
22
3
30
4
Y é função do 2o Grau de X cuja expressão matemática é:
Y=aX2+bX+c
(Função do 2o Grau Completa)
Função do 2º Grau
Analise a tabela abaixo e responda a pergunta.
Como a grandeza Y varia com a grandeza X.
Para esta tabela a expressão será: Y = X2+ X + 10 .Confira
0
Y
X 0
Y
X
a > 0a < 0
Função do 2º Grau
O gráfico de uma função do 2º grau (função quadrática) é uma parábola.
A concavidade da parábola é para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
Função do 2º Grau
No movimento uniformemente variado (M.U.V) a posição (S) é uma função do 2º grau do tempo (t).
2
S = So + Vot + at212
Uma função do 2º grau completa.
Y
X
5
0
5
3
5
6
5
9
5
12
Y Independe de X quando, ao se variar X, o Y permanecer constante.
Y = K (Constante)
Função Constante
Grandezas Independentes
Verifique o tipo de relação entre Y e X nesta tabela.
Como se relacionam Y e X?
0
Y
XReta paralela ao eixo dasabscissas
Grandezas Independentes
Quando as grandezas são independentes tem-se uma função constante.
O gráfico será:
3 6 9 12
5
Grandezas Independentes
No movimento uniformemente variado a aceleração (a) independe do tempo (t).
Isto é, neste movimento a aceleração é constante.
a (m/s2)
t (s)
10 10 10 10 10
2 4 6 80
Um corpo em queda livre (M.U.V) tem aceleração constante.
Agora procure resolver as questões, na página Aprimorando os
Conhecimentos, no Blog.
Na semana seguinte as soluções estarão aqui no
Click Professor.
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