ENSINO MÉDIOMATEMÁTICA 1º ANO PROF. EMERSON MARÃO
PROF. LEANDRO ANJOS
PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO
2
Unidade IVTrigonometria
CONTEÚDOS E HABILIDADES
3
Aula 20.2ConteúdoRelações métricas no Triângulo Retângulo
CONTEÚDOS E HABILIDADES
4
HabilidadeCalcular medidas de um triângulo usando as relações métricas.
REVISÃO
5
Triângulos SemelhantesNa Geometria Plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando guardam uma proporção entre eles, ou melhor quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.
REVISÃO
6
Triângulos SemelhantesMas, de fato não é necessário que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que nos dizem os critérios de semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL.
DESAFIO DO DIA
7
Qual a diferença entre congruente e semelhante?
AULA
8
Relações Métricas no Triângulo RetânguloAs relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
9
Elementos do triângulo retânguloA figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD: B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
10
Elementos do triângulo retânguloNesse triângulo, observe que:
• A letra a é a medida da hipotenusa;
• As letras b e c são as medidas dos catetos;
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
11
Elementos do triângulo retângulo
• A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;
• A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;
• A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
12
Teorema de Pitágoras: primeira relação métricaO teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira:
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
13
Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica
a2 = b2 + c2
*a é hipotenusa, b e c são catetos.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
14
Exemplo:Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20cm e o lado menor mede 10cm?
a 10cm
20cm
AULA
15
Segunda relação métricaA hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja:
a = m + nB
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
16
Terceira relação métricaO quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente:
h2 = m⋅n
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
17
Terceira relação métricah2 = m⋅n
Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
18
Exemplo:Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?
AULA
19
Quarta relação métricaÉ usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas:
c2 = a⋅me
b2 = a⋅n
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
20
Quarta relação métricaPerceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
21
Exemplo:Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção.
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
22
Quinta relação métricaO produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.
ah = bc
B
hb
nm
c
a
CD
A
AULA
23
Exemplo:Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros?
DINÂMICA LOCAL INTERATIVA
24
1. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos mede 8cm. Nessas condições, determine:
• a medida da altura relativa à hipotenusa
RESUMO DO DIA
25
Caso AA - Ângulo Ângulo“Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.”
B’ C’
A’
B C
A
RESUMO DO DIA
26
Caso LAL - Lado Ângulo Lado"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo, e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes."
C
A
a
cb
B C’
A’
a’
c’b’
B’
RESUMO DO DIA
27
Caso LLL - Lado Lado Lado“Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.”
C
A
a
cb
B C’
A’
a’
c’b’
B’
RESUMO DO DIA
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As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.
B
hb
nm
c
a
CD
A
DESAFIO DO DIA
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Com base nas informações da imagem, é possível determinar a altura da entrada do avião em relação ao solo? E que altura é essa?
DESAFIO DO DIA
30
Resolução1,60,8
x3,2=
x⋅0,8 = 3,2⋅1,6
x= 3,2⋅1,6
x= 5,12 = 6,40,8
0,8
DESAFIO DO DIA
31
Qual a diferença entre congruente e semelhante?
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