MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES
FERNANDO LUIZ DE SOUZA PRADO
ANÁLISE DA OTIMIZAÇÃO DOS CUSTOS DO PROJETO DE TERRAPLENAGEM
Rio de Janeiro
2015
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
FERNANDO LUIZ DE SOUZA PRADO
ANÁLISE DA OTIMIZAÇÃO DOS CUSTOS DO PROJETO DE
TERRAPLENAGEM
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia de Transportes do Instituto
Militar de Engenharia, como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em Ciências em
Engenharia de Transportes.
Orientador: Prof. Luiz Antônio Silveira Lopes - D.Sc.
Rio de Janeiro
2015
2
c2015
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha
Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-
lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer
forma de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre
bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que
esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações,
desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica
completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e
do(s) orientador(es).
624.152
Prado, Fernando Luiz de Souza
P896a Análise da otimização dos custos do projeto de terraplanagem / Fernando Luiz de Souza Prado; orientado por Luiz Antonio Silveira Lopes – Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2015. 247: il. Dissertação (Mestrado) – Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, 2015. 1. Curso de Engenharia de Transportes – teses e dissertações. 2. Terraplanagem 3. Estradas. I. Lopes, Luiz Antonio Silveira. II. Título. III. Instituto Militar de Engenharia.
3
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
FERNANDO LUIZ DE SOUZA PRADO
ANÁLISE DA OTIMIZAÇÃO DOS CUSTOS DO PROJETO DE
TERRAPLENAGEM
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia de
Transportes do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia de Transportes.
Orientador: Prof. Luiz Antônio Silveira Lopes - D.Sc.
Aprovada em 31 de julho de 2015 pela seguinte Banca Examinadora:
_______________________________________________________________
Prof. Luiz Antônio Silveira Lopes – D.Sc. do IME - Presidente
_______________________________________________________________
Prof. Adriano de Paula Fontainhas Bandeira – D.Sc. do IME
_______________________________________________________________
Prof. Lino Guimarães Marujo – D.Sc. da UFRJ
Rio de Janeiro
2015
4
A todos aqueles que me deram a oportunidade de
aprender ou ensinaram algo de bom.
5
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos aqueles que acreditaram em mim, me incentivaram e
contribuíram de alguma forma para que eu chegasse até aqui.
Minha família, não podendo deixar de citar minha mãe Denise que me pôs ao
mundo, meu pai Fernando Prado que me educou, formou meu caráter, me ensinou
uma profissão e meu avô Elson que desde quando era pequeno sempre me ensinou
como fazer e consertar coisas utilizando sempre a ferramenta adequada, as minhas
avós Cleonice e Marly, as minhas irmãs Adriana e Marly.
Ao meu tio Renê que me acolheu nesta cidade assim que cheguei, me mostrou
os caminhos e me alertou sobre tudo que eu poderia esperar nesta nova jornada.
A minha namorada Taís pela amizade, apoio, cumplicidade e incentivo no
desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus amigos que também participaram desta jornada, seja direta ou
indiretamente: Alessandro Reis, Leandro Novaes, Luiz Henrique, Rodolfo Dias,
Paulo Café, Diego Garcia, Bernardo Paiva, Camila, Denise, Ibrain, Kátia, Roberta,
José Nelson, Katy, Celso, Aline, Cassia, Gáudio, Cesinha (Goiano), João Paulo (JP),
Maria Gabriela, Estefânia, Lívia, André Freitas, Ovídio, José Marcos, dentre outros...
Meus instrutores: Professor Maurício Minchillo por me apresentar outra forma de
ver o mundo através das histórias de Malba Tahan; ao Professor M.Sc. Luiz Antônio
dos Reis pelos desafios e incentivo em sempre buscar algo além daquilo que foi
proposto; Ao Cel. Góes por ter me aberto uma porta para novos horizontes e
desafios até então vistos como inatingíveis; a Professora D.Sc. Esther por me dizer
que ainda era tempo e possível de se realizar um sonho de menino, ao M.Sc.
Wagner de Menezes pelos ensinamentos, pelo incentivo, pela cobrança constante
de resultados, por ser um amigo e mentor.
Em especial ao meu Professor Orientador D.Sc. Luiz Antônio Silveira Lopes por
acreditar e confiar em meu trabalho, por seu incentivo, suas disponibilidades e
atenções.
A Maximal Software por me disponibilizar uma licença da linguagem de
programação MPL, sem esta ferramenta não teria atingido meus objetivos.
Ao IME por me acolher e possibilitar esta oportunidade única.
6
“Se o simples fosse fácil, alguém já teria
reinventado a roda”.
(autor desconhecido)
7
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES ....................................................................................... 11
LISTA DE TABELAS ................................................................................................ 14
LISTA DE EQUAÇÕES ............................................................................................ 16
LISTA DE SIMBOLOS .............................................................................................. 17
LISTA DE SIGLAS .................................................................................................... 18
1 INTRODUÇÃO............................................................................................. 21
1.1 Considerações iniciais ................................................................................. 21
1.2 Objetivo ........................................................................................................ 25
1.2.1 Objetivo geral ............................................................................................... 26
1.2.2 Objetivos específicos ................................................................................... 26
1.3 Justificativa .................................................................................................. 26
1.4 Estrutura do trabalho ................................................................................... 27
2 O PROJETO DE TERRAPLENAGEM ........................................................ 29
2.1 Considerações iniciais sobre o projeto de terraplenagem ........................... 30
2.2 Seção transversal ........................................................................................ 36
2.3 Cálculo das áreas ........................................................................................ 39
2.4 Cálculo dos volumes .................................................................................... 39
2.5 Volume geotécnico ...................................................................................... 41
2.6 Diagrama de massas ................................................................................... 43
2.7 Serviços de terraplenagem .......................................................................... 47
3 OTIMIZAÇÃO APLICADA A DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS .................. 50
3.1 Uma abordagem sobre a pesquisa operacional .......................................... 50
8
3.2 A programação linear ................................................................................... 53
3.3 O método simplex ........................................................................................ 58
3.4 Análise de sensibilidade .............................................................................. 65
3.5 A linguagem de programação matemática “MPL” ........................................ 68
3.6 O solucionandor “CoinMP” ........................................................................... 71
3.7 O solucionador “CPLEX” .............................................................................. 71
4 METODOLOGIA .......................................................................................... 73
4.1 A concepção da idéia ................................................................................... 73
4.2 Discussão sobre o modelo ........................................................................... 79
4.3 Estruturas das tabelas do modelo................................................................ 81
4.4 Modelo de programação linear para a distribuição de materiais .................. 88
4.4.1 Simbologia do modelo ................................................................................. 89
4.4.2 Variáveis de decisão .................................................................................... 89
4.4.3 Função objetivo............................................................................................ 90
4.4.4 Restrições .................................................................................................... 90
4.4.5 Modelo de programação linear resumido ..................................................... 91
4.5 Código do modelo na linguagem MPL ......................................................... 92
5 APLICAÇÕES DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO ......................................... 97
5.1 Aplicação do modelo de otimização para o estudo reduzido ....................... 99
5.1.1 Identificação das variáveis ........................................................................... 99
5.1.2 Entrada dos dados ..................................................................................... 102
5.1.3 Quantidades de materiais distribuídas pelo modelo .................................. 103
5.1.4 Definições do modelo MPL ........................................................................ 105
5.1.5 Matriz de resultados e dados de pós-otimização ....................................... 108
5.2 Aplicação do modelo de otimização para o estudo expandido .................. 115
9
5.2.1 Resultados para o estudo expandido ......................................................... 119
6 ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................. 122
6.1 Comparação dos resultados ...................................................................... 122
6.2 Comparação da composição de custos de cada aplicação ....................... 124
6.3 Correlação dos dados de pós-otimização .................................................. 128
6.3.1 Correlação dos dados de pós-otimização: restrições ................................ 128
6.3.2 Correlação dos dados de pós-otimização: coeficientes das variáveis de
decisão ...................................................................................................... 130
6.3.3 Análise da solução do estudo reduzido ..................................................... 132
7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................................... 139
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 141
9 APÊNDICES .............................................................................................. 144
9.1 Apêndice 1 – Matrizes da aplicação inicial do modelo de otimização de
terraplenagem utilizando o MS Excel e o Solver ....................................... 145
9.2 Apêndice 2 – Desenvolvimento do problema do item 5.1: estudo reduzido 150
9.2.1 Matrizes de entrada de dados ................................................................... 150
9.2.2 Matrizes do relatório de sensibilidade dos coeficientes das variáveis de
decisão ...................................................................................................... 159
9.2.3 Arquivo de solução do MPL para o problema do item 5.1: estudo reduzido
................................................................................................................... 165
9.3 Apêndice 3 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
................................................................................................................... 179
9.3.1 Entrada de dados....................................................................................... 179
9.3.2 Solução do problema ................................................................................. 185
10
9.4 Apêndice 4 – código de programação em MPL ......................................... 221
9.4.1 Declaração do título do modelo ................................................................. 222
9.4.2 Declaração das opções do modelo ............................................................ 222
9.4.3 Declaração dos índices do modelo ............................................................ 223
9.4.4 Entrada de dados....................................................................................... 226
9.4.5 Declaração das variáveis ........................................................................... 228
9.4.6 Equações do modelo ................................................................................. 231
9.4.7 Declaração do modelo de solução do problema de PL .............................. 232
9.4.8 Declaração das restrições do problema de PL .......................................... 232
9.4.9 Limites ....................................................................................................... 235
9.4.10 Código contínuo do modelo MPL ............................................................... 236
10 ANEXOS .................................................................................................... 240
10.1 Anexo 1 – tabela de custos unitários: SICRO2 set/2014 ........................... 241
GLOSSÁRIO DE TERMOS TÉCNICOS E EXPRESSÕES USADAS .................... 245
11
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG. 1.1 Fluxograma: Etapas e disciplinas de projeto ........................................... 22
FIG. 2.1 Trecho de ferrovia construído em corte (9/1/2015). ................................. 34
FIG. 2.2 Modalidades das seções transversais ..................................................... 37
FIG. 2.3 Principais camadas da escavação ........................................................... 38
FIG. 2.4 Camadas de construção do aterro ........................................................... 39
FIG. 2.5 Volume entre seções ............................................................................... 40
FIG. 2.6 Perfil longitudinal (2008). ......................................................................... 44
FIG. 2.7 Diagrama de massas (2008) ................................................................... 44
FIG. 2.8 Segmento do diagrama de Brückner - compensação entre aterro e corte
................................................................................................................. 46
FIG. 3.1 Forma padrão da Programação Linear (HILLIER e LIEBERMAN, 2013) 55
FIG. 3.2 Matrizes da forma padrão da Programação Linear (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012) ............................................................................... 58
FIG. 3.3 Licença do software MPL for Windows 4.2 .............................................. 70
FIG. 3.4 Licença Acadêmica do software MPL for Windows 4.2 ........................... 71
FIG. 4.1 Fluxo de informações do modelo de PL para a distribuição de materiais de
terraplenagem.......................................................................................... 75
FIG. 5.1 Quadro das escavações: estudo reduzido ............................................. 100
FIG. 5.2 Quadro das construções de aterros: estudo reduzido ........................... 101
FIG. 5.3 Matriz de quantidades de materiais destinados a construção de corpo de
aterro ..................................................................................................... 104
FIG. 5.4 Matriz de quantidades de materiais destinados a construção de camada
final de terraplenagem ........................................................................... 104
FIG. 5.5 Matriz de quantidades de materiais destinados aos bota-foras ............. 105
FIG. 5.6 Definições do Modelo MPL: estudo reduzido carregado do MS Excel .. 106
FIG. 5.7 Solução ótima encontrada pelo CPLEX 300 no MPL ............................ 108
FIG. 5.8 Resultados da otimização do modelo reduzido ..................................... 109
FIG. 5.9 Definições do modelo MPL: estudo expandido carregado do MS Excel 119
FIG. 5.10 Solução ótima do estudo expandido encontrada pelo CoinMP ............. 120
FIG. 6.1 Disposição de empréstimos e bota-foras laterais .................................. 127
FIG. 6.2 Resultado da 2ª variação da solução do estudo reduzido. .................... 135
12
FIG. 6.3 Resultados da otimização da 2ª variação da solução do modelo reduzido
............................................................................................................... 135
FIG. 9.1 DMT: Distância média de transporte ..................................................... 145
FIG. 9.2 Custo unitário de serviços de escavação, carga e transporte ............... 145
FIG. 9.3 Custo unitário de serviços de construção de aterros ............................. 146
FIG. 9.4 Custo do momento extraordinário de transporte.................................... 146
FIG. 9.5 Custo de indenizações .......................................................................... 147
FIG. 9.6 Custo unitário total dos serviços de terraplenagem ............................... 147
FIG. 9.7 Solução da distribuição de materiais de terraplenagem ........................ 148
FIG. 9.8 Matriz de DMT entre escavações e aterros ........................................... 150
FIG. 9.9 Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de escavação, carga e
transporte .............................................................................................. 152
FIG. 9.10 Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de construção de corpo de
aterro, camada final de terraplenagem e bota-fora ................................ 153
FIG. 9.11 Matriz de custos unitários por m³ do Momento Extraordinário de
Transporte ............................................................................................. 155
FIG. 9.12 Matriz de custo unitário por m³ de indenização de empréstimos e bota-fora
............................................................................................................... 156
FIG. 9.13 Matriz dos custos totais por m³ de cada iteração................................... 158
FIG. 9.14 Matriz de custo reduzido para quantidades de corpo de aterro ............. 159
FIG. 9.15 Matriz de custo reduzido para quantidades de camada final de
terraplenagem........................................................................................ 160
FIG. 9.16 Matriz de coeficientes das variáveis de bota-fora .................................. 160
FIG. 9.17 Matriz de coeficientes das variáveis de corpo de aterro ........................ 161
FIG. 9.18 Matriz de coeficientes das variáveis de camada final de terraplenagem 161
FIG. 9.19 Matriz de coeficientes das variáveis de bota-fora .................................. 162
FIG. 9.20 Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de corpo de aterro 162
FIG. 9.21 Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de camada final de
terraplenagem........................................................................................ 163
FIG. 9.22 Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de bota-fora ......... 163
FIG. 9.23 Matriz de limite superior para variação do coeficiente de corpo de aterro
............................................................................................................... 164
13
FIG. 9.24 Matriz de limite superior para variação do coeficiente de camada final de
terraplenagem........................................................................................ 164
FIG. 9.25 Matriz de limite superior para variação do coeficiente de bota-fora ....... 165
FIG. 9.8 Quadro das escavações: estudo expandido .......................................... 179
FIG. 9.9 Quadro das construções de aterros: estudo expandido ........................ 181
FIG. 9.10 Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido ............. 185
14
LISTA DE TABELAS
TAB. 3.1 Dados necessários para um modelo de programação linear que envolve
a alocação de recursos para atividades (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
.............................................................................................................. 54
TAB. 3.2 Comparação da forma padrão com a forma tabular, adaptado de
(HILLIER e LIEBERMAN, 2013) ............................................................ 61
TAB. 4.1 Cálculo das DMTs entre as escavações e os aterros ............................ 84
TAB. 4.2 Custo unitário por m³ dos serviços de escavação, carga e transporte em
função da categoria do material e da DMT ............................................ 84
TAB. 4.3 Custo unitário por m³ dos serviços de compactação de camadas
aterradas ............................................................................................... 85
TAB. 4.4 Custo unitário por m³ do transporte extraordinário entre cortes e aterros
.............................................................................................................. 85
TAB. 4.5 Custo unitário por m³ de indenização por aquisição de material de
empréstimo ............................................................................................ 86
TAB. 4.6 Distribuição dos materiais entre cortes e aterros ................................... 86
TAB. 4.7 Distribuição dos materiais entre empréstimos e aterros ........................ 87
TAB. 4.8 Distribuição dos materiais entre cortes e bota-foras .............................. 88
TAB. 5.1 Parâmetros geotécnicos para seleção dos materiais. ......................... 101
TAB. 5.2 Nomes dos vetores das escavações ................................................... 102
TAB. 5.3 Nomes dos vetores dos aterros ........................................................... 102
TAB. 5.4 Valores encontrados para o estudo reduzido ...................................... 108
TAB. 5.5 Nomes dos dados de análise de pós-otimização das restrições: aterros
............................................................................................................ 112
TAB. 5.6 Nomes dos dados de análise de pós-otimização das restrições:
escavações .......................................................................................... 113
TAB. 5.7 Nomes para as matrizes de dados de análise de pós otimização
referentes as variáveis de decisão ...................................................... 114
TAB. 5.8 Nomes dos vetores das escavações: estudo expandido ..................... 116
TAB. 5.9 Nomes dos vetores dos aterros: estudo expandido ............................. 116
TAB. 5.10 Valores encontrados para o estudo expandido ................................... 120
TAB. 6.1 Comparação das soluções de distribuição de materiais ...................... 123
15
TAB. 6.2 Composição de custos por serviços .................................................... 125
TAB. 6.3 Composição de custos por etapa de construção ................................. 125
16
LISTA DE EQUAÇÕES
EQ. 2.1 Área do polígono (equação estendida)..................................................... 39
EQ. 2.2 Área do polígono (equação simplificada).................................................. 39
EQ. 2.3 Volume entre seções................................................................................. 40
EQ. 2.4 Fator de homogeneização......................................................................... 42
EQ. 2.5 Fator de homogeneização corrigido – multiplicador em aterro................. 42
EQ. 2.6 Fator de homogeneização corrigido – multiplicador em aterro................. 43
EQ. 2.7 Distância econômica de transporte........................................................... 45
EQ. 3.1 Problema Geral da Programação Matemática.......................................... 55
EQ. 3.2 Solução básica de um sistema linear........................................................ 67
EQ. 4.1 DMT da iteração entre uma escavação e um aterro................................. 83
EQ. 4.2 Função Objetivo do modelo de PL para a distribuição de materiais de
terraplenagem........................................................................................... 90
EQ. 4.3 Formato reduzido da Função Objetivo do modelo de PL para a
distribuição de materiais de terraplenagem.............................................. 90
EQ. 4.4 Restrição dos volumes de escavações obrigatórias................................. 91
EQ. 4.5 Restrição dos limites de volume dos empréstimos................................... 91
EQ. 4.6 Restrição dos volumes de construção de aterros e camadas finais......... 91
EQ. 4.7 Restrição dos limites de capacidade dos bota-foras................................. 94
EQ. 4.8 Restrição de não negatividade.................................................................. 95
EQ. 2.1................................................................................................................................................................................................................................................ 39
EQ. 2.2................................................................................................................................................................................................................................................ 39
EQ. 2.3................................................................................................................................................................................................................................................ 40
EQ. 2.4................................................................................................................................................................................................................................................ 42
EQ. 2.5................................................................................................................................................................................................................................................ 42
EQ. 2.6................................................................................................................................................................................................................................................ 43
EQ. 2.7................................................................................................................................................................................................................................................ 45
EQ. 3.1................................................................................................................................................................................................................................................ 55
EQ. 3.2................................................................................................................................................................................................................................................ 67
EQ. 4.1................................................................................................................................................................................................................................................ 83
EQ. 4.2................................................................................................................................................................................................................................................ 90
EQ. 4.3................................................................................................................................................................................................................................................ 90
EQ. 4.4................................................................................................................................................................................................................................................ 91
EQ. 4.5................................................................................................................................................................................................................................................ 91
EQ. 4.6................................................................................................................................................................................................................................................ 91
EQ. 4.7................................................................................................................................................................................................................................................ 91
EQ. 4.8................................................................................................................................................................................................................................................ 91
17
LISTA DE SIMBOLOS
SIMBOLOS
Ø – Diâmetro
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝 – Massa específica aparente seca após compactação no aterro
𝛾𝑆𝑐orte – Massa específica aparente seca do material no corte de origem
= – Igual ou igualdade
≤ – Menor ou igual
≥ – Maior ou igual
18
LISTA DE SIGLAS
CAD Computer Aided Design ou Desenho Assistido por Computador
CBR California Bearing Ratio (Índice de Suporte Califórnia)
CM Centro de massa ou centro de gravidade do maciço
DER-SP Departamento de Estradas de Rodagem do Estado de São Paulo
DMT Distância Média de Transporte
DNIT Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes
FO Função Objetivo
IP Índice de plasticidade
LD Linha de distribuição
LL Limite de liquidez
m Metro
m² Metro quadrado
m³ Metro cúbico
MPL Mathematical Programming Language (Linguagem de Programação
Matemática)
MS Excel Software Microsoft Excel (planilha eletrônica).
PAC 2 Programa de Aceleração do Crescimento
PEF Solução ponto extremo factível
PIL Programa de Investimento em Logística
PL Programação Linear
PO Pesquisa Operacional
PSQ Planilha de serviços e quantidades
SICRO2 Sistema de Custos Rodoviários
t.km Tonelada quilômetro
19
RESUMO Este trabalho apresenta um modelo de otimização para o problema da
distribuição de materiais de terraplenagem em função do custo unitário dos serviços envolvidos. A entrada de dados é feita pela planilha eletrônica do MS Excel, os dados são capturados e preparados pela linguagem de programação matemática MPL, resolvidos pelo solucionador CPLEX 300 no estudo de caso reduzido e pelo solucionador CoinMP no estudo de caso expandido. Como apresentação dos resultados, o MPL exporta a solução do problema para a planilha do MS Excel. Os custos unitários adotados para a aplicação do modelo foram extraídos da tabela de custos do “SICRO2 do DNIT”. Dois estudos de caso foram elaborados onde este modelo foi aplicado em um mesmo trecho de um projeto de rodovia. O primeiro estudo considerou os volumes de materiais acumulados a cada 120 metros, reduzindo o número de variáveis de decisão e restrições do modelo; e, o segundo estudo considerou os volumes de materiais acumulados a cada 20 metros, com todas as variáveis de decisão e restrições. Os resultados encontrados foram comparados com a distribuição de materiais elaborada pelo método de Brückner. Após a verificação dos resultados foi feita uma análise de sensibilidade contextualizando os dados da solução do problema com os dados do projeto de terraplenagem. Esta análise possibilitou verificar alternativas de cenários que indicaram uma melhoria no resultado da solução ótima para o problema da distribuição dos materiais entre escavações e aterros. O modelo de programação linear de minimização de custos atingiu o objetivo de automatizar a distribuição dos materiais em função do custo unitário dos serviços, utilizando a composição de custos do SICRO2 do DNIT e encontrou um valor para os serviços menor que o custo de projeto obtido pelo diagrama de Brückner.
20
ABSTRACT This work presents an optimization model to the problem of distribution of
earthmoving materials as a function of unit cost of the services involved. Data entry is done by spreadsheet MS Excel, the data is captured and prepared by the mathematical programming language MPL, solved by the solver CPLEX 300 in small case study and the CoinMP solver in the expanded case study. As presentation of the results, the MPL exports the problem solution for the MS Excel spreadsheet. Unit costs adopted for the implementation of the model were obtained from SICRO2 DNIT costs table. Two case studies were prepared where this model was applied on the same stretch of a highway project. The first study considered the volumes of materials accumulated every 120 meters, reducing the number of decision variables and model restrictions; and the second study considered the volumes of materials accumulated every 20 meters, with all the decision variables and constraints. The results were compared with the distribution of materials prepared by Brückner method. After verification of the results was made a sensitivity analysis contextualizing the data of the solution with the earthmoving project data. This analysis enabled us to verify alternative scenarios which indicated an improvement in the results of the optimal solution to the problem of distribution of material from excavations and landfills. The linear programming model to minimize costs hit the goal of automating the distribution of materials as a function of unit cost of the services using the composition SICRO2 DNIT costs and found a value for the smaller services that the project cost obtained by Brückner diagram.
21
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Atualmente o Brasil, motivado em parte pelos eventos da copa do mundo de
futebol em 2014 e pelas olimpíadas do Rio de Janeiro em 2016, passa por uma fase
de grandes investimentos na área de infraestrutura nacional. Grande parte destes
investimentos está destinada à infraestrutura de transportes. De acordo com o
Ministério de Transportes, o PIL – Programa de Investimento em Logística – prevê a
concessão de mais de 7,0 mil km de rodovias com investimento estimado de R$46
bilhões e a construção e/ou melhoramento de 11,0 mil km de linhas férreas com
investimento estimado em cerca de R$99,6 bilhões (MINISTÉRIO DOS
TRANSPORTES, 2015). Em 2013, o PAC – Programa de Aceleração do
Crescimento – tinha em andamento obras rodoviárias de duplicação ou adequação
em 2.293 km, intervenção em 6.860 km, construção e pavimentação em 4.567km e
construção de mais de 3.000 km de ferrovias (MINISTÉRIO DOS TRANSPORTES,
2013).
O custo médio para implantação de rodovia de pista simples é de
R$2.899.000,00 por quilômetro enquanto que para a duplicação é de
R$5.467.000,00 e para ferrovia é de R$7.607.000,00 por quilômetro. O custo médio
por quilômetro de projeto rodoviário varia de R$40.300,00 a R$ 121.000,00 e de
projeto ferroviário é de R$96.300,00 (DNIT, 2014).
A primeira fase para que todo este trabalho seja realizado, em andamento por
parte do Ministério dos Transportes (MINISTÉRIO DOS TRANSPORTES, 2013),
constitui na elaboração do projeto de engenharia. Este é elaborado em fases
distintas e é dividido em várias disciplinas que precisam ser integradas entre si,
porém isto nem sempre acontece da forma mais econômica. Dentre as disciplinas de
projeto, a terraplenagem torna-se uma consolidação das soluções dadas pela
concepção da geometria e validadas pelas análises da geologia, estudos
geotécnicos e dimensionamento da pavimentação. A FIG. 1.1, baseada nos manuais
22
de projeto do DNIT, ilustra as fases de um projeto de estradas e a interação entre as
disciplinas de projeto.
FIG. 1.1 – Fluxograma: Etapas e disciplinas de projeto
23
De uma forma sucinta, pode-se dizer que o maior volume de matéria prima a ser
utilizada para obras de implantação/melhoramento de rodovias e ferrovias é de solos
disponíveis na região da intervenção. A geometria é concebida com base nos
estudos de demanda, nas características locais de relevo e estudos de interferência;
a geologia informa os tipos de solo existentes na região; os estudos geotécnicos
caracterizam e classificam estes solos, realiza estudos de estabilidade de taludes e
informa as recomendações e restrições de uso, substituição ou descarte; a
pavimentação informa as solicitações de carregamento adicionais a serem
suportadas por esta obra de terra. Diante disto, cabe à terraplenagem consolidar
estas informações realizando a distribuição destes materiais da forma mais
econômica entre as escavações e a construção dos aterros.
Findada a elaboração do projeto técnico de cada disciplina, é gerada a planilha
de quantidades e serviços que será utilizada para a elaboração do orçamento da
obra. Observa-se que só neste momento os custos dos serviços passam a ser
compostos, pois até esta etapa, nenhuma solução proposta teve interação com os
custos dos serviços associados que darão condições desta obra ser executada em
campo.
A parcela dos custos com terraplenagem tem valor significativo na implantação
de novas vias ou na ampliação de vias existentes, podendo chegar ao montante de
65% dos custos em um projeto de implantação ferroviária, porcentagem esta
observada em um projeto ferroviário que o autor participou de uma revisão, mas não
foi autorizado a divulgar sua identificação.
Os maiores custos de terraplenagem são com os serviços de escavação, carga,
transporte e compactação. A escavação pode ser aumentada caso se verifique a
necessidade de empréstimos e a compactação também caso se verifique a
necessidade de descarte de material excedente (bota-fora). Em função da
distribuição dos materiais escavados, os serviços de carga e compactação não
sofrem variação de quantidade, porém, o transporte varia conforme a alocação de
materiais ao longo do trecho (ANTAS, VIEIRA, et al., 2010).
No projeto de terraplenagem a distribuição é feita através do diagrama de
massas, geralmente pelo método proposto por Brückner associado à distância
econômica de transporte (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
24
O diagrama de Brückner é um método gráfico que consiste em posicionar uma
linha horizontal, representando a LD – linha de distribuição de materiais, sobre o
diagrama de massas. Onde esta linha intercepta um trecho ascendente e outro
imediatamente descendente, ou vice-versa, existe a compensação de volumes
(PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
Segundo (MESQUITA, 2012), a primeira utilização desta técnica é de 1847,
conforme transcriçao a seguir:
“O autor desta metodologia é hoje injustamente desconhecido, sabe-se apenas que foi engenheiro dos Bavarian State Railways. O que de Brückner se conhece, deve-se a Culmann que o cita na sua tese de doutoramento e em posteriores publicações, entre as quais se destaca o American Railway Engeneering and Maintanance of Way Association. A sua tese intitulada de "Grafical Staties", publicada em 1868, cita o método da curva de Brückner referindo o ano de 1847 como o da sua primeira divulgação”.
O diagrama de Brücker é uma poderosa ferramenta na orientação da distribuição
de materiais escavados ao longo do trecho projetado. O posicionamento da linha de
distribuição e da determinação dos locais onde deve haver bota-fora ou empréstimo
é feito por tentativas até que o engenheiro encontre uma solução que satisfaça aos
objetivos. Este método ainda hoje na maioria dos casos é realizado manualmente.
Poucos softwares usam esta ferramenta e mesmo assim, ainda tem pouca
divulgação. Dependendo da extensão do trecho, o trabalho torna-se cansativo e
sujeito a uma má aplicação da linha de distribuição deixando o projeto com um
sobrepreço (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
Diante da urgência em elaboração de projetos, condicionada com a revolução da
tecnologia da informação que vem acontecendo desde a década de 1990 com uma
forte aceleração a partir do ano 2000, verifica-se a necessidade de automação em
procedimentos sequenciais, a fim de se evitar o erro humano, utilizando-se de
bancos de dados e reduzindo os custos com o ganho de produtividade (NASSAR,
ALY e OSMAN, 2011).
Atualmente diversos softwares auxiliam no desenvolvimento do projeto de
geometria, fornecendo a planilha de cubação de terraplenagem (planilha de áreas
das seções transversais e volumes entre seções) possibilitando a montagem do
diagrama de massas ainda de forma automática, limitando-se ao corte e aterro.
25
Porém, em trabalhos mais complexos, torna-se necessário classificar cada camada
a ser escavada conforme sua destinação, assim como, cada camada a ser
aterrada/reaterrada conforme sua finalidade de carregamento. Alguns softwares,
como o AutoCAD Civil 3D, possuem ferramentas para suprir esta necessidade de
distinção entre as camadas a serem escavadas e as camadas a serem aterradas
(CARDOSO e FRANZILLIO, 2014). Diante disto, a elaboração da distribuição de
materiais, passa a ser manual e distinta, podendo cada engenheiro chegar a um
resultado diferente para o mesmo problema (NASSAR, ALY e OSMAN, 2011).
Nesta hora, cabe ao coordenador técnico ou consultor do projeto em
desenvolvimento planejar qual a estratégia mais econômica para tal realização,
porém, este necessita de ferramentas que lhe deem condições de enxergar a melhor
alocação dos recursos disponíveis associando-os aos seus custos envolvidos. As
técnicas utilizadas ainda hoje nem sempre integram as diversas disciplinas do
projeto de engenharia, cabendo ao engenheiro concretizar estudos de alternativas
para ter certeza de qual será a mais econômica.
No presente estudo, buscou-se avaliar, por meio da PL (programação linear) e
dos parâmetros da análise de sensibilidades dos resultados obtidos, a redução dos
custos do transporte de materiais de terraplenagem provenientes de um trecho de
uma obra de implantação de rodovia no estado do Rio de Janeiro. Para tal,
inicialmente, devido à facilidade de manuseio das informações, foi utilizado o
suplemento SOLVER, que localiza os valores ideais para o problema proposto em
uma planilha do MS Excel. Diante da quantidade de variáveis e restrições geradas
pelo problema proposto, foi necessário formular o problema de forma reduzida, com
blocos de valores acumulados. Após os testes e aferição dos tipos de variáveis e
restrições, em planilha eletrônica, foi possível esclarecer o fluxo de informações e
formular a solução deste mesmo problema em uma linguagem de programação
específica para solução de programação matemática. Esta linguagem, o MPL, tem
maior capacidade de trabalho quanto a número de variáveis e restrições. Junto
desta, foram utilizados os solucionadores CPLEX 300 e CoinMP para resolver o
problema de PL.
1.2 OBJETIVO
26
1.2.1 OBJETIVO GERAL
Apresentar um procedimento de otimização da distribuição de materiais de
terraplenagem, correlacionando os parâmetros de sensibilidade fornecidos pela
solução do modelo com os elementos de projeto, visando o auxílio na tomada de
decisão e interligando o diagrama de movimentação de massas com a planilha
orçamentária de serviços, baseado nos padrões de elaboração de projeto de
infraestrutura de transporte do DNIT.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Aplicar a técnica de otimização em programação linear pelo método simplex
(ferramenta de planejamento e pesquisa operacional) para solucionar um
problema técnico de infraestrutura de transporte: a distribuição de materiais
de terraplenagem.
- Propor um modelo de automação da distribuição de terraplenagem
simplificado, dispensando o uso de uma linguagem de programação auxiliar
para intermediar os fluxos de informação entre: a entrada de dados, feita em
planilha eletrônica do MS Excel, e o algoritmo de otimização em linguagem
MPL; e, o resultado obtido no algoritmo de otimização e a planilha formatada
de apresentação dos resultados.
- Apresentar uma proposta de procedimentos para a análise de cenários, a
partir dos parâmetros de sensibilidade obtidos dos resultados da otimização
e das técnicas de análise de sensibilidade, indicando as possíveis alterações
favoráveis à redução de custo do projeto de terraplenagem, quando
tecnicamente possíveis, auxiliando a concepção e o planejamento do
projeto.
1.3 JUSTIFICATIVA
27
Considerando que o custo de um projeto de terraplenagem está diretamente
ligado às quantidades de serviços a serem executados, tendo em praticamente
todos estes suas quantidades definidas pelo Projeto de Geometria, exceto a DMT
(Distância Média de Transporte), obtida através da distribuição de materiais entre os
locais de cortes obrigatórios, empréstimo de materiais, aterros e bota-foras.
Além disto, a distribuição de materiais, elaborada através do método de
Brückner (técnica de engenharia que considera apenas a quantidade de massa a ser
transportada com o menor momento de transporte) desconsidera os custos dos
serviços a serem realizados, indicando uma solução técnica com pouca quantidade
de trabalho. Esta técnica poderá onerar o custo final do projeto, através da variação
dos preços unitários de cada serviço a executar e a má distribuição destes últimos.
Este trabalho se justifica pela necessidade de um procedimento de análise dos
resultados obtidos de um modelo de automação, otimização e auxílio na tomada de
decisão, que tem a finalidade de substituir serviços mais caros em menor
quantidade, por serviços muito mais baratos em maior quantidade, atingindo o
objetivo final do projeto técnico com valor final de venda reduzido, podendo sofrer
iterações, conforme particularidades de cada trecho evitando assim o trabalho
manual, desgastante e sujeito ao erro humano.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
Neste trabalho será vista uma abordagem a respeito do contexto da elaboração
do projeto de terraplenagem com foco na distribuição de materiais e também será
feita uma abordagem sobre a programação linear, sobre o método Simplex, bem
como os resultados que ele fornece. Em seguida, munido do entendimento do
problema e conhecendo a ferramenta que poderá prover sua solução, será
apresentada a metodologia de aplicação da programação linear para distribuir os
materiais entre as escavações e os aterros.
Este cuidado com a divisão de capítulos se faz necessária, visto que, os
profissionais que trabalham com a materialização do projeto de terraplenagem têm
pouco, ou nenhum, contato com técnicas de otimização e programação linear, que
28
estão ligadas à pesquisa operacional; ao passo que, profissionais da pesquisa
operacional tem contato com problemas das mais diversas áreas, tornando-se
necessário uma perfeita caracterização do problema a ser analisado.
A estrutura da pesquisa está fundamentada em sete capítulos, sendo:
No primeiro capítulo, é apresentado o contexto econômico em que o Brasil se
encontra quanto aos investimentos em infraestrutura de transportes, assim como
uma interface com os custos gerados pela fração cabida aos custos de
terraplenagem.
No segundo capítulo, são citados alguns trabalhos relacionados à otimização da
movimentação de terra. Em seguida, são apresentados os conceitos e serviços
previstos em um projeto de terraplenagem, bem como os procedimentos para a
elaboração da cubação e distribuição dos materiais de terraplenagem e, por fim, a
quantificação e custos deste projeto;
No terceiro capítulo, é apresentada uma abordagem a respeito da pesquisa
operacional com foco na programação linear, aplicação do algoritmo SIMPLEX e
análise de sensibilidade.
No quarto capítulo, é apresentada a metodologia de aplicação da programação
linear para distribuir os materiais, onde a entrada de dados é pela planilha eletrônica
do MS Excel e o modelo de otimização na linguagem MPL combinado com os
solucionadores CPLEX 300 e CoinMP.
No capítulo cinco, o modelo de otimização da distribuição de materiais de
terraplenagem desenvolvido no capítulo 4 é aplicado a um estudo de caso, em duas
situações, a primeira com os volumes de materiais acumulados em trechos
uniformes e a segunda com os volumes de materiais avaliados estaca a estaca.
No capítulo seis, são apresentados os resultados da aplicação deste modelo de
otimização de forma mais detalhada e é feita uma análise dos dados de pós-
otimização fornecidos pelo solucionador CPLEX 300.
No capítulo sete, são apresentadas as conclusões obtidas na pesquisa e
recomendações para a continuação deste trabalho.
29
2 O PROJETO DE TERRAPLENAGEM
Este capítulo fará uma abordagem sobre como é elaborado um projeto de
terraplenagem do ponto de vista da distribuição de materiais. Nele, será apresentada
cada etapa para obter as informações necessárias à elaboração da distribuição de
materiais entre as escavações e as construções dos aterros. Isto dará entendimento
suficiente e caracterizará o problema da distribuição dos materiais, possibilitando
formular um modelo de otimização em função dos custos unitários dos serviços.
No contexto acadêmico nacional, LIMA (2003) propôs a distribuição de materiais
de pavimentação rodoviária utilizando uma modelagem de programação matemática
através da combinação dos softwares MS Excel e Lindo e, da linguagem de
programação Visual Basic. Ele mostra a viabilidade de aplicação do modelo em três
estudos de casos, optando por não trabalhar simultaneamente com a distribuição
dos materiais entre construção de aterro e camadas inferiores de pavimentação.
Apresenta a possibilidade de distribuir misturas de solo com a finalidade de melhora
das características geotécnicas. Em um dos estudos de caso identifica a
insuficiência dos materiais devido à interação com as características geotécnicas. Ao
final sugere que em uma abordagem futura seja estudada a possibilidade de haver
uma interação com o dimensionamento e determinação das espessuras das
camadas de pavimento. Esta ultima sugestão a princípio é interessante, porém, ao
analisar as premissas desta interação logo se verifica que isto impactará diretamente
nas dimensões das caixas de pavimentação e consequentemente, na geometria das
seções transversais. Considerando a imperfeição da superfície do terreno natural,
conclui-se que não há uma relação linear entre a variação da espessura da caixa de
pavimento com as áreas de corte e aterro das seções transversais, tornando-se um
problema complexo de programação a ser modelado.
No contexto internacional, NASSAR, ALY e OSMAN (2011) desenvolveram um
algoritmo em C++ baseado em programação linear inteira, utilizando o método
“Branch and Bound”, que realisa a distribuição de massas considerando a variação
da DMT. Estes ainda comparam o algoritmo desenvolvido com outro método
proposto em programação inteira e desenvolvido em Matlab, conseguindo resultados
30
melhores, porém com gasto de tempo elevado para chegar a uma solução. Ao final,
sugerem a melhoria e a implementação deste algoritmo desenvolvido como um plug-
in para softwares de elaboração de projetos comerciais.
HARE, KOCH e LUCET (2011) apresentam um modelo de programação linear
para uma projeto de terraplenagem onde inicialmente foram desconsideradas as
hipóteses de se existir interferências que subdividem o trecho em sub-trechos. Estas
variáveis foram implementadas e comentadas as diferenças de custos. Na
sequência sugere o desenvolvimento do algoritmo em programação linear interia
mista para possibilitar a implementação de restrições com um tempo de solução
menor.
HARE, KOCH e LUCET (2011) ainda sugerem que pesquisas futuras sejam
desenvolvidas com a finalidade de se criar um algoritmo capaz de elaborar o projeto
geométrico vertical combinado com a distribuição de terraplenagem, interagindo de
forma dinâmica na determinação de interferências, subdivisões do trecho e
aproveitamento de caminhos de serviço quando necessário.
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O PROJETO DE TERRAPLENAGEM
Para a materialização de um projeto de estradas, é necessário que a superfície
do terreno natural seja trabalhada e modificada para a superfície de projeto
estabelecida pela geometria idealizada (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
Entende-se como Projeto de Estradas o projeto de uma via rodoviária,
ferroviária ou uma pista de um aeródromo, cada uma com suas particularidades e
finalidades, mas todas desenvolvidas sob o mesmo conceito de engenharia. Não só
para o projeto de estradas, estes conceitos podem ser estendidos para projeto de
barragens de terra ou ouras obras de terra em que haja alguma similaridade de
forma e execução.
Terraplenagem pode ser definida como a sequência de atividades necessárias
para a escavação de solo, desmonte de rocha, transporte deste material escavado
ou desmontado e a deposição em outro local determinado com a construção de
31
aterros compactados, conformando o terreno de acordo com uma diretriz de projeto
(ANTAS, et al., 2010) e (RICARDO e CATALANI, 2007).
De acordo com o Manual de implantação básica de rodovia (DNIT, 2010), o
objetivo do projeto de terraplenagem consiste em determinar a quantidade de
serviços necessários, determinar os locais de empréstimo e de bota-fora,
caracterizar os materiais a serem utilizados e apresentar os quadros de distribuição
e orientação do movimento de terras.
Durante a execução de um projeto, as operações básicas de movimentação de
terra consistem em:
- Escavação;
- Carga do material escavado;
- Transporte;
- Descarga e espalhamento;
- Compactação.
Segundo PIMENTA & OLIVEIRA (2004), os serviços de terraplenagem são:
- Desmatamento e limpeza da faixa a ser usada pela estrada;
- Raspagem da vegetação superficial;
- Execução da estrada de serviço;
- Escavação do solo que está acima da cota de projeto;
- Carga e transporte do material escavado;
- Aterro nos locais onde o terreno está abaixo da cota de projeto;
- Compactação dos aterros;
- Conformação da plataforma dos taludes;
- Abertura de valas para serviços de drenagem;
- Abertura de cavas para fundações de obras civis.
Os itens que mais impactam no custo de execução de terraplenagem são
escavação, transporte e compactação (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
Segundo RICARDO & CATALANI (2007), os materiais existentes na crosta
terrestre sujeitos aos trabalhos de terraplenagem podem ser divididos em Rochas e
solos.
Na mecânica dos solos, existem alguns sistemas de classificação dos solos que
se baseiam em seus índices físicos (LL – limite de liquidez – e IP – índice de
plasticidade) e granulometria. A Classificação Unificada foi elaborada originalmente
32
pelo Prof. Casagrande para obras de aeroportos, depois estendida para outras áreas
e muito difundida pelos geotécnicos da área de barragens de terra. Ela classifica os
solos quanto ao tipo, quanto à graduação da granulometria e quanto à
compressibilidade. Este sistema identifica o solo pela combinação de duas letras,
sendo a primeira vinculada ao tipo e a segunda a graduação, para pedregulho e
areia, ou compressibilidade, para silte, argila ou solo orgânico; também há a
classificação para as turfas (PINTO, 2006).
Outra forma de classificação é o Sistema Rodoviário de Classificação,
semelhante a Classificação Unificada. De forma mais abrangente, a divisão dos
grupos fica em solos tipo A-1, A-2 e A-3 para solos de granulação grosseira que tem
menos de 35% passando na peneira nº 200; e, os solos com mais de 35% passando
na peneira nº 200 são os dos grupos A-4, A-5, A-6 e A-7. A partir dos índices físicos
e da composição granulométrica são definidos os subgrupos deste sistema de
classificação (PINTO, 2006).
Existem ainda outras classificações, menos difundidas, mas chamadas de
Classificações Regionais. Há muitas discrepâncias entre as classificações clássicas
e o comportamento observado para alguns solos nacionais, provavelmente, por na
maioria das vezes estes solos serem residuais ou lateríticos, onde os índices físicos
não devem ser interpretados da mesma maneira como são interpretados para os
solos transportados e de ocorrência nos países de clima temperado, origem dos
sistemas de classificação (PINTO, 2006).
A classificação dos solos pela sua origem é tão ou mais necessária do que a
classificação sob o ponto de vista da constituição física, podendo, neste critério ser
classificado em dois grandes grupos: solos residuais e solos transportados. Os solos
residuais são formados a partir da decomposição das rochas que se encontram no
próprio local em que se formaram. Os solos transportados são aqueles que foram
levados de seu local de origem para outro local, tendo suas características em
função do agente transportador (PINTO, 2006).
Os solos orgânicos apresentam grande quantidade de matéria decorrente da
decomposição vegetal ou animal, em vários estágios de decomposição. Geralmente
são problemáticos, apresentando alta compressibilidade, elevado índice de vazios e,
quando adensados, baixa capacidade de suporte (PINTO, 2006).
33
Os solos lateríticos são típicos da evolução dos solos de clima quente, com
regime de chuvas moderadas a intensas. Em seu estado natural geralmente se
apresentam não saturados, com índice de vazios elevado e com baixa capacidade
de suporte. Quando compactado apresenta contração se o teor de umidade diminuir,
mas não apresenta expansão na presença de água, resultando em uma capacidade
de suporte elevada (PINTO, 2006).
Segundo o DNIT (2009), os materiais escaváveis são classificados em 3
categorias, conforme descrito abaixo:
“Material de 1ª categoria: Compreende solos em geral, residuais ou sedimentares, seixos rolados ou não, com diâmetro máximo inferior a 0,15 m, qualquer que seja o teor de umidade apresentado. O processo de extração é compatível com a utilização de DOZER ou SCRAPER rebocado ou motorizado.” (DNIT, 2009)
“Material de 2ª categoria: Compreende os solos resistentes
ao desmonte mecânico inferior à da rocha não alterada, cuja extração se processe por combinação de métodos que obriguem a utilização do maior equipamento de escarificação exigido contratualmente; a extração eventualmente pode envolver o uso de explosivos ou processo manual adequado. Estão incluídos nesta categoria os blocos de rocha de volume inferior a 2 m³ e os matacões ou pedras de diâmetro médio compreendidos entre 0,15 m e 1,00 m.” (DNIT, 2009)
“Material de 3ª categoria: Compreende os materiais com
resistência ao desmonte mecânico equivalente à rocha não alterada e blocos de rocha com diâmetro médio superior a 1,00 m, ou de volume igual ou superior a 2 m³, cuja extração e redução, a fim de possibilitar o carregamento, se processem com o emprego contínuo de explosivos.” (DNIT, 2009)
A FIG. 2.1 mostra um trecho em corte de uma ferrovia em construção, no
município de Santa Helena de Goiás – GO. Esta imagem mostra em um nível mais
superior e à direita a vegetação do terreno natural. Ao lado esquerdo desta
vegetação, a limpeza/caminho de serviço até a crista do corte em material de 1ª
categoria. No pé do talude deste material de 1ª categoria ocorre a transição para
material de 3ª categoria. Podem ser observados degraus irregulares adiante da
superfície do material de 3ª categoria. Os materiais provenientes destes degraus
possivelmente se classificam em 2ª categoria.
34
FIG. 2.1 – Trecho de ferrovia construído em corte (9/1/2015).
Observa-se que a classificação em três categorias é feita em função da
dificuldade de escavação e está ligada diretamente a questões econômicas. Os
materiais de 1ª categoria apresentam um custo menor para os serviços de
terraplenagem que os de 2ª categoria, bem como os materiais de 2ª categoria
apresentam um custo menor que os de 3ª categoria. Os preços de remuneração dos
serviços para as três categorias variam aproximadamente na proporção de 1:2:6,
justificando importância econômica desta classificação (RICARDO e CATALANI,
2007).
Analisando a integração entre as disciplinas de projeto terraplenagem e
orçamento, verifica-se a possibilidade de se descartar material de 3ª categoria, com
custo mais elevado, próximo de sua extração obrigatória e, adquirir materiais de 1ª
categoria, e eventualmente 2ª categoria, com um custo muito menor, próximo do
local a ser aplicado reduzindo os custos com frete e com construção de corpo de
aterro.
35
Devem ser consideradas as restrições ambientais de descarte e empréstimo de
materiais e a disponibilidade dos materiais nas proximidades do aterro a ser
construído, atentando-se para os custos com indenização e royalties.
Ao atingir o nível da plataforma durante a escavação de um corte, caso seja
observado a ocorrência de rocha sã ou em decomposição, o greide deve ser
rebaixado em 0,40 m e este rebaixo deve ser preenchido com material inerte; caso
seja encontrado material com expansão maior que 2% e baixa capacidade de
suporte, este deve ser removido, devendo ser feito um rebaixo de 0,60 m, no
mínimo, e preenchido com material selecionado conforme especificação de projeto.
(DNIT, 2009)
Os materiais excedentes provenientes dos cortes, desde que tenham qualidade
compatível, que seriam destinados a bota-fora, podem ser incorporados aos aterros
na forma de alargamento de plataforma, suavização de taludes ou bermas de
equilíbrio. (DNIT, 2009)
Quando os materiais provenientes das escavações dos cortes forem
insuficientes ou estiverem a uma distância que onere muito o transporte para a
construção do aterro, torna-se necessário a importação de material para suprir esta
carência. Os empréstimos devem ser realizados preferencialmente através de
alargamento dos cortes ou em locais próximos a construção do aterro. Os materiais
importados devem ser de 1ª e/ou 2ª categoria e, materiais de 3ª categoria devem ser
evitados. (DNIT, 2009)
Quando houver ocorrência de materiais rochosos e na insuficiência de materiais
de 1ª e 2ª categoria, é admissível o uso de materiais de 3ª categoria, desde que
especificado em projeto (DNIT, 2009).
O aterro deve proporcionar boa capacidade de suporte e baixa deformação.
Para isto, deve ser construído com material de CBR mais elevado e com baixa
expansibilidade na presença de água. A recomendação é que o solo utilizado para a
construção do corpo do aterro apresente resultado do ensaio de CBR ≥ 2% e
expansão ≤ 4%, enquanto que para a camada final, definida como sendo os 60 cm
finais do corpo de aterro, deve ser construída com material que apresente resultado
de CBR ≥ 6% e expansão ≤ 2% (DNIT, 2009).
Quando o aterro for construído sobre solo mole, de baixa capacidade de suporte
ou quando indicado em projeto, este material deve ser removido e destinado a um
36
bota-fora e a cava deve ser reaterrada com material que atenda as necessidades de
projeto (DNIT, 2009).
Para a medição da escavação, devem ser considerados os volumes “in natura”
de cada categoria de dificuldade de escavação e a distância de transporte entre o
corte e o local de deposição. Esta distância deve ser do percurso entre o centro de
gravidade do corte e o centro de gravidade do aterro em construção. (DNIT, 2009)
A medição dos aterros deve contemplar o volume compactado para o corpo do
aterro separadamente do volume compactado da camada final do aterro (DNIT,
2009).
Em um projeto de estradas, o cálculo dos volumes de terraplenagem é feito na
planilha de cubação dos materiais. Esta planilha é dividida em colunas onde são
preenchidas as estacas das seções transversais e as áreas respectivas a cada
camada de solo a ser escavada e/ou aterrada. Os volumes geométricos e
geotécnicos são calculados para cada camada de solo entre cada par de seções
transversais. As espessuras de cada camada são obtidas no perfil
geológico/geotécnico proveniente do estudo geotécnico. Com os volumes
calculados, calcula-se o diagrama de massas acumulando os volumes de materiais
escavados e subtraindo os volumes de materiais aterrados.
2.2 SEÇÃO TRANSVERSAL
A seção transversal é a seção tipo aplicada ao eixo de referência do projeto que
dará a conformação geométrica da obra. Os principais elementos que compõem
uma seção tipo são a plataforma e os taludes, podendo ser compostos pelos
seguintes elementos:
- Plataforma:
- Faixas de tráfego e pista de rolamento;
- Acostamento;
- Espaços para a drenagem;
- Separador central, quando houver;
- Guias e/ou barreiras;
37
- Ombro de terraplenagem.
- Taludes laterais:
- Talude de corte;
- Talude de aterro;
- Banquetas ou bermas;
- Contenções.
A seção tipo poderá conter ou não a caixa de pavimento que poderá conter ou
não a representação das camadas do pavimento.
Uma seção que apresente apenas a camada de corte é chamada de seção em
corte. Uma seção que apresente apenas camada de aterro é chamada de seção em
aterro. Porém, uma seção que apresente as camadas de corte e de aterro é
chamada de seção mista. Observa-se que a camada de limpeza, embora seja uma
escavação por raspagem de material, não influencia na nomenclatura da seção
(DNIT, 2010). As três modalidades de seção transversal podem ser vistas na FIG.
2.2.
FIG. 2.2 – Modalidades das seções transversais
Com a aplicação da seção tipo no eixo do projeto geométrico são obtidas as
seções transversais gabaritadas que devem ser apresentadas em projeto,
geralmente a cada 20 metros, nos pontos notáveis e nas demais seções que se
fizerem necessárias para o perfeito entendimento da geometria proposta.
A partir da seção transversal gabaritada e da estratigrafia do subsolo obtida
pelas sondagens será possível identificar as espessuras das camadas de solo a
serem escavados e, a partir do projeto técnico, as camadas de aterros a serem
construídas.
As camadas identificadas na seção gabaritada podem ser classificadas em:
- Limpeza;
EIXOEIXO
EIXO
SEÇÃO EM ATERRO SEÇÃO EM CORTE SEÇÃO MISTA
MODALIDADES DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS
TERRENO NATURAL
38
- Corte:
- 1ª Categoria;
- 2ª Categoria;
- 3ª Categoria;
- Remoção de solo orgânico, turfa, entulho ou solo de baixa capacidade
de suporte;
- Corpo do aterro / reaterro;
- Camada final do aterro;
- Substituição de solo de baixa capacidade de suporte;
- Camadas drenantes;
- Camadas do pavimento.
As áreas necessárias para a cubação dos materiais, geralmente, são das
camadas de limpeza, cortes e aterros. A FIG. 2.3 mostra as principais camadas de
uma escavação e a FIG. 2.4 mostra as camadas da construção do aterro.
Sabendo que a camada de limpeza é a remoção da camada de solo vegetal ou
remoção de outro material indesejado ao reaproveitamento e quando a espessura
desta é definida, as áreas de corte diminuem e as áreas de aterro aumentam.
Os volumes de solo vegetal removido, livre de entulho, geralmente são
estocados e reaproveitados para o revestimento dos taludes e áreas com solo
exposto, propondo condições de revegetação da superfície.
FIG. 2.3 – Principais camadas da escavação
EIXO
SEÇÃO EM CORTE
CAMADAS DE ESCAVAÇÃO
LIMPEZA - MATERIAL ORGÂNICO
1ª CATEGORIA - SILTE ARGILO-ARENOSO
2ª CATEGORIA - MATACÃO
3ª CATEGORIA - ROCHA
39
FIG. 2.4 – Camadas de construção do aterro
2.3 CÁLCULO DAS ÁREAS
Com o advento dos softwares para projeto de geometria, baseados em CAD, a
forma de apresentação das seções gabaritadas tem acontecido, sob recomendação
do DNIT (2010), em arquivos digitais. Desta maneira, o cálculo das áreas é realizado
pelo método numérico de coordenadas, devido a sua simplicidade, eficiência e
eficácia de aplicação quando automatizado por uma planilha eletrônica ou algoritmo
programado em dispositivo eletrônico. Este método foi proposto por Gauss e pode
ser representado pela equação abaixo:
𝐴 = |1
2× [(𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + ⋯ 𝑥𝑛𝑦1) − (𝑦1𝑥2 + 𝑦2𝑥3 + ⋯ 𝑦𝑛𝑥1)]| EQ. 2.1
ou
𝐴 = |1
2∑ 𝑦𝑖(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1)| EQ. 2.2
sendo (xi, yi) as coordenadas dos pontos limites da área de interesse, tomados
sempre em um mesmo sentido ao longo do perímetro (ANTAS, VIEIRA, et al., 2010)
e (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
2.4 CÁLCULO DOS VOLUMES
CAMADAS DE ATERRO
LIMPEZA - MATERIAL ORGÂNICO
CORPO DO ATERRO
CAMADA FINAL
EIXO
SEÇÃO EM ATERRO
40
O cálculo dos volumes é feito entre seções transversais consecutivas. Caso as
duas seções forem de corte, terá um volume de corte. Caso as duas seções forem
de aterro, terá um volume de aterro. Ou, caso uma seção for de corte e outra de
aterro, ou ao menos uma das seções for mista, terá um volume de corte e um
volume de aterro no mesmo intervalo entre seções. Cada camada de material
identificada em uma das seções deverá ser calculada separadamente das outras
camadas (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
O método de cálculo de volumes recomendado pelo DNIT (2010) é o da seção
média ou semi-distância. Este consiste na soma das áreas multiplicada pela metade
da distância entre as seções transversais, separadas por tipo de camada, conforme
equação a seguir e ilustrado na FIG. 2.5:
𝑉𝑜𝑙. = (𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1) ×𝑙
2 EQ. 2.3
onde:
Vol. corresponde ao volume da camada de material entre duas seções
transversais consecutivas;
Ai corresponde à área da primeira seção;
Ai+1 corresponde à área da seção seguinte;
l corresponde à distância entre estas seções.
FIG. 2.5 – Volume entre seções
Em função dos fatores de empolamento e compactação e, das irregularidades
da superfície entre as seções consecutivas e do volume de cálculo demandado, os
cálculos realizados para a obtenção dos volumes são simplificados e repetidos a
l / 2
l / 2
l
Ai
Ai+1
41
cada par de seções transversais. Os volumes totais de um trecho de projeto são os
resultados dos acúmulos dos valores obtidos a cada par de seções consecutivas.
2.5 VOLUME GEOTÉCNICO
Quando o solo é escavado acontece a desagregação de seus grãos, assim
como quando uma rocha é desmontada esta é fragmentada em pedaços,
aumentando a quantidade de vazios, consequentemente, aumentando seu volume e
reduzindo sua massa específica (PINTO, 2006). Este fenômeno é denominado
empolamento. Os solos mais finos apresentam expansão volumétrica maior,
gerando fatores de empolamento diferentes para cada tipo de material (RICARDO e
CATALANI, 2007).
Ao contrário do empolamento, quando um solo é aplicado para a construção de
um aterro, ele precisa ser adensado, reduzindo sua quantidade de vazios com a
aproximação dos grãos e aumentando sua massa específica. Este fenômeno de
adensamento é chamado de compactação. A compactação consiste na aplicação de
forças para a redução do volume de vazios de um maciço em construção (PINTO,
2006) e (RICARDO e CATALANI, 2007).
Estes fenômenos, empolamento e compactação, são de fundamental
importância para o projeto de terraplenagem. A partir destes fenômenos é possível
saber quais serão os volumes correspondentes de solo em estado natural, solto e
compactado. Portanto, o volume do solo em estado natural corresponde ao volume
geométrico do corte escavado; o volume de solo solto corresponde ao volume de
solo transportado; e, o volume de solo compactado corresponde ao volume
geométrico de aterro construído.
Diante das considerações acima, verifica-se que apenas o volume geométrico de
um material contido entre duas seções transversais consecutivas não é suficiente
para realizar o equilíbrio entre escavações e aterros. Pode-se dizer que o volume
natural de um solo tende a aumentar quando é escavado; este volume aumentado é
transportado para o aterro em construção e descarregado; após a descarga e
espalhamento este solo é compactado e reduz de volume, tendendo a ter menor
42
volume em relação ao seu estado natural quando se tratar de solos finos e maior
volume em relação ao seu estado natural quando se tratar de derivados de rocha
desmontada (RICARDO e CATALANI, 2007).
Para realizar o cálculo do volume de solo necessário para a construção de um
aterro, as primeiras informações a serem obtidas são do material a ser escavado,
sendo elas o volume geométrico de solo a ser escavado, o peso específico natural e
a umidade natural. Em seguida, as especificações de projeto do aterro, sendo a
umidade de compactação e o peso específico seco, obtidos do ensaio de
compactação. Com estas informações calcula-se o peso das partículas sólidas do
material escavado; o volume que este material ocupará quando compactado; o peso
de água existente no material escavado; o peso de água que deverá ter neste
material para ser compactado e a quantidade de água necessária para realizar a
compactação do aterro (PINTO, 2006).
No projeto de terraplenagem, o DNIT (2010) trata a aplicação da correção
volumétrica referente aos fenômenos de empolamento e compactação como Fator
de Homogeneização (FH). O FH é a relação entre o volume de material no corte de
origem e o volume de aterro compactado resultante. Esta relação pode ser aferida
pela relação entre a massa especifica seca aparente após a compactação sobre a
massa específica seca do material no corte de origem, conforme descrito pela
equação EQ 2.4 (FILHO, 1998):
𝐹𝐻 =𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
EQ. 2.4
Onde:
FH Fator de homogeneização;
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝 Massa específica aparente seca após compactação no aterro;
𝛾𝑆𝑐orte Massa específica aparente seca do material no corte de origem.
O FH, geralmente, é aplicado como um multiplicador no volume de aterro.
Também é sugerida a aplicação de um fator de segurança de 5% para
compensação das perdas ocorridas durante o transporte e possíveis excessos de
compactação (FILHO, 1998), conforme descrito na equação EQ 2.5:
𝐹𝐻 = 1,05 × (𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
) EQ. 2.5
O DER-SP denomina o FH como sendo Fator de Contração dos Materiais. A
VALEC trata o FH como fator de redução corte x aterro, onde indica que a aplicação
43
da relação entre as densidades in situ e de laboratório devam ser aplicadas em
trechos homogêneos (VALEC, 2011).
Caso conste no contrato do projeto, o FH poderá ser aplicado aos volumes
escavados como na forma de um multiplicador do inverso do FH, conforme a
categoria do material, em alternativa a aplicação como multiplicador no volume de
aterro. A EQ. 2.6 ilustra o FH calculado para ser aplicado aos volumes de solos
escavados:
𝐹𝐻 =
1
1,05 × (𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
)
EQ. 2.6
Embora não seja o usual no meio rodoviário, por tender a reduzir o volume das
escavações dos solos finos e acrescer o volume dos desmontes de rocha, esta
aplicação do FH no volume escavado é similar à sequência de cálculo do volume
geotécnico apresentada por PINTO (2006), na mecânica dos solos. Esta forma de
aplicação do FH indica diretamente o volume geotécnico disponível na escavação,
ou seja, apresenta diretamente o volume compactado resultante da escavação
naquele maciço. Feito isto para cada categoria de material, os volumes finais da
distribuição serão diferentes dos volumes quando é aplicado um único FH ao volume
de aterro, independente do material que está sendo utilizado.
2.6 DIAGRAMA DE MASSAS
Após o cálculo dos volumes, a etapa seguinte consiste na subtração dos
volumes acumulados de aterro dos volumes acumulados de corte, a cada intervalo
entre seções transversais, resultando nas ordenadas de Brückner. Estas ordenadas
possibilitam a elaboração do diagrama de massas.
A recomendação é que o diagrama de massas seja apresentado na mesma
folha que o perfil longitudinal e que suas escalas horizontais sejam coincidentes.
Comparando a FIG. 2.6 com a FIG. 2.7, pode ser observado que os trechos
ascendentes do diagrama de massas representam os cortes, ou seja, o acúmulo de
material disponível para execução de aterros compactados e descarte de material
excedente (bota-fora). Já os trechos descendentes deste diagrama representam os
44
aterros, onde será necessária a deposição de material proveniente das escavações
ou dos empréstimos.
A finalidade do método de Brückner é realizar a distribuição dos materiais
escavados para os aterros de forma econômica e medir o momento de transporte,
que é o produto do volume escavado pela distância de transporte (PIMENTA e
OLIVEIRA, 2004).
FIG. 2.6 – Perfil longitudinal (2008).
FIG. 2.7 – Diagrama de massas (2008)
A deposição do volume escavado, entre duas seções consecutivas de corte, em
um trecho compreendido entre duas seções consecutivas de aterro, é chamada de
compensação longitudinal. Quando uma ou as duas seções consecutivas são mistas
ocorre à compensação lateral. Se o volume de aterro for menor que o volume de
corte, a sobra de material vai para a compensação longitudinal. A compensação
lateral é sempre o menor volume entre o volume de corte e o volume de aterro entre
duas seções consecutivas (FILHO, 1998).
Conforme já foi dito anteriormente, cabe relembrar:
O diagrama de Brückner é um método gráfico que consiste em posicionar uma linha horizontal, representando a LD – linha de distribuição de materiais, sobre o diagrama de massas. Onde
1.260
1.265
1.270
1.275
1.280
1.285
1.290
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
CO
TA
S
ESTACAS
PERFIL LONGITUDINAL
Terreno Natural Projeto Vertical Greide
-40.000 m³
-30.000 m³
-20.000 m³
-10.000 m³
0 m³
10.000 m³
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
VO
LU
ME
ESTACA
DIAGRAMA DE BRÜCKNER
Bruckner Linha de Distribuição
45
esta linha intercepta um trecho ascendente e outro imediatamente descendente, ou vice-versa, existe a compensação de volumes (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
Na FIG. 2.7 as linhas de distribuição estão desencontradas, sendo que a
segunda está abaixo da primeira, caracterizando um local onde será necessário um
empréstimo de material com volume igual ao módulo da diferença de altura entre as
duas linhas de distribuição.
A escolha dos locais de empréstimo e de bota-fora preferencialmente deve ser
dentro dos limites da faixa de domínio. Por questões econômicas, os materiais de 3ª
categoria geralmente são descartados próximos do local de corte. Em contrapartida
a realização de empréstimos é feita preferencialmente nas proximidades dos locais
de aterro (DNIT, 2010).
Quando o custo da compensação longitudinal é igual ao custo do empréstimo
mais o custo do bota-fora, se tem a distância crítica para o transporte de materiais.
Diante disto, a distância econômica de transporte passa a ser uma função dos
custos de escavação e transporte e das distâncias médias de empréstimo e bota-
fora (PIMENTA e OLIVEIRA, 2004).
𝑑𝑒𝑡 = 𝑑𝑒𝑚𝑝 + 𝑑𝑏𝑓 +𝐶𝑒
𝐶𝑡 EQ. 2.7
Onde:
det Distância econômica de transporte;
demp Distância do empréstimo;
dbf Distância do botafora;
Ce Custo do empréstimo;
Ct Custo do transporte.
A DMT (distância média de transporte) pode ser medida traçando uma linha
horizontal na metade da altura entre o pico superior e o pico inferior do trecho
compensado do diagrama de massa. Quando esta linha horizontal intercepta a
metade desta altura em um trecho compensado, ascendente e outro descendente,
ou vice-versa, os pontos representam os centros de massa do corte e do aterro, ou
seja, estes pontos estão exatamente na metade do volume do maciço. A distância
horizontal entre estes pontos é a DMT (DNIT, 2010).
46
Quando a det passa a ser menor que a DMT, torna-se vantajosa a opção de
utilização de empréstimos ou de bota-fora neste trecho (PIMENTA e OLIVEIRA,
2004).
O exemplo da FIG. 2.8 mostra o aterro A3.4 (segmento 4 do aterro 3) sendo
compensado pelo corte C3. O aterro A3.4 inicia no km 454.925,663 e termina no km
455.040,0, onde inicia o corte C3 que vai até o km 455.180,0. O centro de massa
(CM) do aterro A3.4 está no km 454.963,661 e o CM do corte C3 está no km
455.109,197. Sabendo que a DMT é a distância entre o CM do aterro ao CM do
corte, para obtê-la, basta subtrair o maior CM do menor CM obtendo a distância de
145,536 que é a DMT desta compensação. O volume é medido entre o pico da
compensação e a linha de distribuição. A linha de distribuição, neste caso inicia no
começo do aterro A3.4 e termina no final do corte C3. O pico desta compensação é
a mudança de sentido da curva do diagrama de massas, onde termina o aterro e
inicia o corte. Obtendo esta distância entre o pico e a linha de distribuição, chaga-se
ao volume de material movimentado nesta compensação de 5.472,278 m³.
FIG. 2.8 – Segmento do diagrama de Brückner - compensação entre aterro e corte
Precursor e semelhante ao Método de Brückner, também existe o Método de
Lalane com mesma finalidade, muito utilizado na Europa, principalmente na França.
A diferença entre estes consiste na substituição da curva de volumes por um
polígono com patamares sucessivos representativos dos cortes e aterros (SENÇO,
2008) e (ANTAS, et al., 2010).
Conforme a extensão do trecho de projeto aumenta, tende a apresentar uma
grande quantidade de cortes e aterros. O trabalho de distribuição dos materiais é
54
72
,27
8 m
³
DMT: 145,536 m
A3.4 C3
km
45
49
25
,66
3
km
45
49
63
,66
1
km
45
50
40
,00
0
km
45
51
09
,19
7
km
45
51
80
,00
0
47
multiplicado gerando infinitas soluções possíveis e a definição da solução ótima nem
sempre é atingida através do trabalho de reiterações manuais, seja pelo cansaço,
pelo tempo que se gasta ou mesmo pela dimensão do trabalho a ser realizado por si
só (NASSAR, ALY e OSMAN, 2011). Diante disto, nota-se que a distribuição dos
materiais de terraplenagem é um problema de múltiplas variáveis e com infinitas
soluções.
Pode-se deduzir que quando os materiais a serem distribuídos pertencerem a
uma única categoria, a aplicação direta do Método de Brückner conduzirá a solução
ótima, pois, os serviços serão apenas em função da DMT podendo ser
desconsiderado o valor unitário dos serviços. Pensando em uma aplicação
numérica, no intuito da automação deste problema, o método de Voguel poderia ser
indicado.
Já quando deve ser considerada a variação do valor da DMT e a variação de
valor da categoria do material escavado, a simples aplicação do Método de Brückner
fica comprometida, pois a combinação de variáveis não fica explícita e exige um
grande número de cálculos e reiterações. Embora estes cálculos não tenham muita
complexidade, fica difícil também o trabalho de reiterações através de planilha
eletrônica. Diante disto, uma possível aplicação de algoritmo de programação linear
através em uma planilha eletrônica ou linguagem de programação matemática é o
método de otimização SIMPLEX.
A aplicação do SIMPLEX possibilita através da combinação de restrições
considerar as variações de quantidades de serviços, os tipos de serviços e custos
em função de categoria de material e DMT, bem como outras variáveis que se façam
necessárias dada a particularidade de cada trecho.
Dentre as técnicas de otimização, o método SIMPLEX é muito utilizado na
engenharia e é capaz de otimizar sistemas com grande número de variáveis, não
exigindo testes de significância (NETO, SCARMINIO e BRUNS, 2001).
2.7 SERVIÇOS DE TERRAPLENAGEM
48
Até o momento foram apresentados os serviços e as técnicas utilizadas para a
elaboração da distribuição de materiais de terraplenagem. Para que seja possível a
contratação da execução da obra de terraplenagem projetada é necessário que os
serviços sejam quantificados e valorados. A quantificação dos serviços é
determinada pelo projeto de geometria e pela distribuição dos materiais. Os custos
dos serviços, para obras públicas, são estimados conforme tabela de preços
cadastrados no SICRO2 – Sistema de Custos Rodoviários. Estas tabelas são
atualizadas e publicadas periodicamente para cada região do Brasil de acordo com a
variação do BDI local.
De acordo com o Manual de Custos Rodoviários (DNIT, 2003), os serviços
orçados para terraplenagem, a unidade de medição e a forma de quantificação são:
- Desmatamento destinado à limpeza de áreas com árvores de diâmetro até
0,15m, medido em m². Esta área é obtida do projeto de geometria,
delimitada pelos offstes;
- Destocamento de árvores com diâmetro igual ou maior que 0,15 m, medido
em unidade, obtido de levantamento planialtimétrico e cadastral e,
quantificado dentro da área delimitada pelos offsets, subdividido em árvores
com diâmetro até 0,30m e acima de 0,30 m;
- Escavação, carga e transporte, medido em m³, obtido da distribuição dos
materiais de terraplenagem e subdividido por categoria de material, faixas de
DMT e tipo de equipamento utilizado para escavação. Os equipamentos de
escavação podem ser trator de esteiras com lâmina, moto scraper,
carregadeira de pneus e escavadeira hidráulica com esteiras;
- Compactação de aterro, medido em m³ de aterro compactado, obtido do
volume entre seções transversais e subdividido por grau de compactação,
para solos de 1ª e 2ª categoria, e em corpo de aterro ou camada final se o
material for rocha;
- Compactação de material de bota-fora, medido em m³, obtido da distribuição
de materiais de terraplenagem.
Ainda no Manual de Custos Rodoviários (DNIT, 2003), é observado que as
faixas de DMT são divididas inicialmente de 0 a 50m, 50m a 100m, 100m a 200m,
depois em faixas a cada 200m até 3000m e em seguida faixas de 1000m até 5000m.
As DMTs que excedem a 5000m são pagas por momento de transporte e a unidade
49
é t.km (tonelada quilômetro). Este critério pode ser chamado também de momento
extraordinário de transporte.
As tabelas com as composições dos serviços estão disponíveis para serem
baixas do sítio eletrônico do DNIT, separadas por região, cada região separada por
estado e, cada estado separado por atualização da publicação. A tabela é
apresentada com o valor de LDI (lucro sobre despesas indiretas) e sem o valor de
LDI.
Os insumos da composição dos equipamentos não aparecem de forma clara nas
composições dos serviços, dificultando avaliações de reajustes como, por exemplo,
reajuste de combustível ou reajuste do salário do operador. Desta forma, a variação
dos custos dos insumos dos equipamentos, só pode ser notada indiretamente a
cada nova versão publicada das tabelas.
50
3 OTIMIZAÇÃO APLICADA A DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS
Neste capítulo é feita uma abordagem sobre a pesquisa operacional e sobre a
programação linear. Em seguida é apresentado o método simplex que é uma
ferramenta da programação linear utilizada para solucionar problemas com grande
número de variáveis e restrições, descritos por equações lineares.
Isto dará subsídio à formulação do modelo de aplicação desta técnica de
otimização para solucionar o problema da distribuição de terraplenagem, objeto
deste trabalho. Antes disso, no capítulo anterior foi apresentado o que deve ser
considerado e como deve ser o resultado da distribuição dos materiais entre as
escavações e os aterros, ou seja, foi feita a identificação da essência do problema e
a identificação dos dados para compreender as causas e efeitos. Agora será
apresentada a ferramenta que poderá automatizar este trabalho.
Como vimos no capítulo anterior, os cálculos para a obtenção dos volumes
geotécnicos são realizados na planilha de cubação dos materiais. A partir daí, resta
alocar de forma mais econômica os materiais escavados em seu destino final, porém
esta alocação ainda é planejada de forma gráfica e manual através de sucessivas
iterações, necessitando de um procedimento de automação que aumente a
produtividade, minimize a chance de personalismo da solução por parte de quem
realiza este trabalho ou até mesmo minimize a chance do erro humano.
3.1 UMA ABORDAGEM SOBRE A PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa Operacional (PO) proporciona acesso a um procedimento
organizado e consistente capaz de auxiliar na gestão de recursos humanos,
materiais e financeiros de uma organização. A PO também pode ser entendida como
a aplicação de técnicas científicas para resolver problemas e auxiliar na tomada de
decisões (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
51
Durante a segunda guerra mundial, grupos de especialistas com notório saber
em diversas áreas de conhecimento e experiências distantes do dia-a-dia militar,
foram formados para pesquisar as operações militares e propor alternativas mais
eficientes para alocação dos poucos recursos disponíveis. A partir de problemas
bélicos propostos, realizaram experiências para aumentar a eficiência das
operações (HILLIER e LIEBERMAN, 2013). Dos resultados obtidos, surgiram
sugestões práticas e eficazes, onde grande parte dos êxitos se deu em técnicas de
gerenciamento. Os dois principais fatores observados que foram determinantes para
a geração de soluções inteligentes e que ainda não tinha sido visto pelos militares
combatentes foram à identificação da essência do problema e a pesquisa de dados
para compreender as causas e efeitos. A partir daí surgia a PO, cujo fundamento
consiste em modelar matematicamente um problema do mundo real com a
finalidade de organizar sistemas complexos (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Após o final da 2ª Guerra, o sucesso da PO era notório e despertou um grande
interesse das organizações fora do ambiente militar. Até o final dos anos 50, houve
um progresso substancial das técnicas de PO e a revolução computacional teve uma
forte contribuição para o seu crescimento diante do aumento de capacidade para
processar volumes de dados cada vez maiores (HILLIER e LIEBERMAN, 2013) e
(HOEL, GARBER e SADEK, 2011).
Em 1947 George Dantzig publicou o método SIMPLEX, um poderoso algoritmo
de otimização para solucionar problemas de Programação Linear (PL) (HILLIER e
LIEBERMAN, 2013). O termo linear é utilizado quando todas as equações e
restrições do modelo para a função objetivo são lineares nas variáveis de decisão.
Pequenos problemas, de até três variáveis de decisão podem ser resolvidos
graficamente; problemas reais, geralmente são maiores, com mais de três variáveis,
tornado-se a aplicação do método gráfico impraticável (HOEL, GARBER e SADEK,
2011).
A Pesquisa Operacional busca, frequentemente, encontrar uma melhor solução
ou curso de ação para um problema (HILLIER e LIEBERMAN, 2013). Os problemas
de otimização, frequentemente, são encontrados na engenharia de transportes, seja
no planejamento, no projeto, na construção, nas operações, na gestão e na
manutenção da infraestrutura de transportes. O planejador de transportes,
geralmente, busca a alocação ou a utilização ótima dos recursos disponíveis,
52
alcançando o maior lucro, dentro da capacidade dos recursos, e/ou tendo o menor
custo (HOEL, GARBER e SADEK, 2011).
No intuito de propor soluções, o método científico torna-se o mais adequado,
porém, a tomada de decisão é mais indicada que se aconteça na esfera política de
poder. As decisões exclusivamente políticas decorrem de pressões, personalismos,
interesses e oportunismos, enquanto que decisões exclusivamente técnicas podem
tender ao tecnicismo, onde podem ocorrer graves erros decorrentes de simplificação
do modelo do problema real. Deste modo, quando duas decisões técnicas se
equivalem, a escolha se dará pela decisão política de uma das duas, ficando esta
última tecnicamente amparada (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Na otimização, os problemas complexos do mundo real são resolvidos por
processos e modelos descritos matematicamente. O tipo de otimização dependerá
da forma do modelo, ou seja, se ele contém funções lineares ou se contém funções
não lineares. Programação linear, dinâmica, inteira e não linear são as principais
técnicas de otimização (HOEL, GARBER e SADEK, 2011).
O uso de modelos faz parte da essência da PO que preferencialmente trabalha
com modelos simbólicos, por serem mais gerais e abstratos. Para representar
variáveis e suas relações funcionais, estes modelos usam letras, números e
símbolos. Outros tipos de modelos, menos usados na PO, são os Icônicos e os
Analógicos. A atratividade de um modelo está na possibilidade de seu uso futuro, ou
seja, para ser viável seu desenvolvimento ele precisará ter uma vasta expectativa de
uso justificando a contratação de uma equipe de desenvolvimento (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
De acordo com PIZZOLATO e GANDOLPHO (2012), para uma equipe de PO
construir um modelo, passar do mundo real para o virtual, ela deve:
- Identificar o problema, etapa considerada a mais difícil, pois os problemas
reais não são bem definidos, por isso é necessário:
- Avaliar a natureza do problema;
- Interrogar pessoas envolvidas;
- Levantar dados;
- Identificar os contornos do problema e o que constitui sua essência;
- Entender as relações de causa e efeito.
53
- Construir o modelo: determinar qual o propósito que deverá ser atingido com
a solução do problema proposto e identificar quais as restrições que poderão
limitar as soluções propostas;
- Determinar a solução do modelo:
- Selecionar a técnica apropriada;
- Avaliar recursos necessários, etc.
- Testar e validar a solução proposta: após o levantamento de todas as
alternativas, o decisor deverá escolher a solução ótima a ser aplicada; e,
- Implementar a solução.
HILLIER e LIEBERMAN (2013) recomendam mais uma etapa após a formulação
matemática do modelo que consiste em desenvolver um procedimento
computacional a fim de derivar soluções para o problema com base no modelo. Uma
abordagem mais detalhada sobre cada uma destas etapas para modelagem de um
problema de PO pode ser vista nesta mesma referência.
Segundo HOEL, GARBER e SADEK (2011), para formular um modelo
matemático é preciso seguir três etapas básicas:
- Identificação das variáveis de decisão;
- Formulação da Função Objetivo (FO);
- Formulação das restrições do modelo.
As variáveis de decisão são os valores que precisam ser encontrados ou
determinados pelo modelo; a função objetivo é a equação que descreve a medida de
desempenho, seja ela lucro ou custo, em função das variáveis de decisão, que será
maximizada ou minimizada; as restrições limitam o intervalo de variação das
variáveis de decisão (HOEL, GARBER e SADEK, 2011).
3.2 A PROGRAMAÇÃO LINEAR
Considerado como um dos avanços científicos mais importantes de meados do
Séc. XX, a Programação Linear (PL) é um dos modelos matemáticos utilizados para
solucionar problemas envolvendo decisões de otimização (HILLIER e LIEBERMAN,
2013). A PL busca encontrar a solução ótima de problemas que tenham modelos
54
expressos linearmente, consistindo na maximização ou minimização de uma função
linear, denominada de Função Objetivo (FO) e respeitando um sistema de igualdade
(=) ou desigualdade (≤ ou ≥), chamado de Restrições (PIZZOLATO e GANDOLPHO,
2012).
De acordo com HILLIER e LIEBERMAN (2013) os principais elementos que
compõem um modelo simbólico, do problema de insumo-produto, de PL são:
Z valor da medida de desempenho global;
xj nível de atividade j (para j = 1, 2, ..., n);
cj incremento em Z que resultaria de cada incremento unitário no nível de
atividade j;
bi quantidade do recurso i que se encontra disponível para alocação em
atividades (para i = 1, 2, ..., m);
aij quantidade de recurso i consumido por unidade de atividade j.
As variáveis de decisão são representadas por xj, as constantes do modelo,
também chamadas de parâmetros do modelo são representadas por cj, bi e aij (para i
= 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n). A TAB 3.1 apresenta os dados necessários para a
formulação de um modelo de PL que envolve a alocação de recursos para
atividades (HILLIER e LIEBERMAN, 2013):
TAB. 3.1 – Dados necessários para um modelo de programação linear que envolve a alocação de recursos para atividades (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Recurso
Uso de recursos por unidade de atividade
Quantidade de recursos disponíveis
Atividade
1 2 ... n
1 a11 a12 ... a1n b1 2 a21 a22 ... a2n b2 . ... ... ... ... . . ... ... ... ... . . ... ... ... ... . m am1 am2 ... amn bm
Contribuição para Z por unidade de atividade
c1 c2 ... cn
A forma padrão da PL consiste em escolher as variáveis de decisão x1, x2, ..., xn,
não negativos, em um grupo de equações que visa otimizar a função objetivo Z,
sujeito a várias restrições lineares, conforme mostrado a seguir na FIG. 3.1:
55
Max (ou Min) sujeito a
𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + . . . + 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)
FIG. 3.1 – Forma padrão da Programação Linear (HILLIER e LIEBERMAN, 2013)
O modelo de insumo-produto, apresentado na FIG. 3.1, é o modelo típico da PL,
onde, por exemplo, pode-se dizer que m representa os insumos produtivos, nas
quantidades correspondentes b1, b2, ..., bm, com os quais é possível produzir n
produtos distintos x1, x2, ..., xn, com respectivos lucros c1, c2, ..., cn. Os elementos
tecnológicos que relacionam os insumos com os produtos podem ser organizados
em uma matriz chamada de matriz tecnológica, sendo eles representados por aij.
Desta forma, a produção de uma unidade do produto xj, consome aij unidades do
insumo bi. As restrições funcionais do modelo podem ser apresentadas na forma de
equações, identificada pelo sinal de igualdade “=”, ou na forma de desigualdades,
identificadas pelos sinais “≤” ou “≥”. Apesar de ser um modelo que se encaixa na
maioria dos tipos de problemas de PL, nem todos os problemas se enquadram neste
tipo de modelo (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012) e (HILLIER e LIEBERMAN,
2013).
O Problema Geral da Programação Matemática tem por objetivo a busca por um
ponto ótimo, podendo ser um máximo ou um mínimo de uma equação (EQ. 3.1)
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
𝑍 = 𝑓(𝑋𝑖, 𝑌𝑗) EQ. 3.1
Onde:
Z medida do desempenho do sistema;
Xi variáveis de decisão;
Yj variáveis independentes;
f relação funcional entre Z, Xi e Yj.
De acordo com HILLIER e LIEBERMAN (2013) qualquer valor encontrado para
as variáveis de decisão em um problema de PL é tido como uma solução, porém
esta solução sempre deve ser acompanhada de um adjetivo. Estes adjetivos podem
qualificar as soluções em: solução viável que é quando todas as restrições são
56
satisfeitas; uma solução inviável que é quando ao menos uma das restrições foi
violada. Pode haver o caso de também não haver nenhuma solução viável que é
quando nenhuma restrição é satisfeita. Diante disto, a PL tem por objetivo encontrar
a solução ótima, que é a melhor solução viável, ou seja, é a solução viável que tem
o valor mais favorável da função objetivo. O valor mais favorável da função objetivo
é o maior valor para a FO que o problema é de maximização e o menor valor para a
FO quando o problema é de minimização.
Conforme exposto por PIZZOLATO e GANDOLPHO (2012) os tipos de solução
da PL podem ser:
- Solução única: um único ponto ótimo, onde na solução gráfica é
representado por um vértice formado entre as restrições do espaço de
soluções possíveis. HILLIER e LIEBERMAN (2013) apresentam este tipo de
solução viável como sendo uma solução ponto extremo factível (PEF) que
assume uma função de fundamental importância na procura de uma solução
ótima pelo método simplex;
- Solução múltipla: na solução gráfica é representado por um segmento de
reta sobre uma restrição, limitado por dois vértices encontrados como
ótimos, ou seja, existem ao menos duas soluções PEF;
- Solução ilimitada: quando o espaço das soluções está aberto ao infinito, não
tendo nenhuma restrição que o feche;
- Solução infactível: quando a combinação das restrições resulta em um
espaço de soluções viáveis nulo.
De acordo com PIZZOLATO e GANDOLPHO (2012) as principais características
da PL, tratadas como hipóteses por HILLIER e LIEBERMAN (2013) são:
- Certeza, onde os coeficientes numéricos são constantes e conhecidos;
- Divisibilidade, onde as variáveis podem assumir valores reais;
- Proporcionalidade, onde nenhuma variável possui expoente diferente de 1;
- Atividade, onde os coeficientes de cada variável são fixos e independem dos
demais.
Satisfazer a hipótese da certeza em problemas reais é raro, visto que a
modelagem trabalha com previsões dos valores reais. Isto se deve ao fato que numa
aplicação futura, a situação da coleta de dados para abastecer o modelo poderá não
ser mais a mesma da época da modelagem do problema. Diante disto, torna-se
57
necessário realizar uma análise de sensibilidade após a obtenção de uma solução
ótima (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Conforme descrito por PIZZOLATO e GANDOLPHO (2012) as variantes da PL
são:
- Programação Linear Inteira: quando as variáveis xi são obrigatoriamente
números inteiros;
- Programação Linear Mista: quando algumas variáveis são contínuas e
outras inteiras;
- Programação Não Linear: quando as relações entre as variáveis não são
lineares.
Existem vários métodos manuais e softwares ou rotinas de computador para
solucionar os problemas de programação linear, sendo eles (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012):
- Métodos manuais:
- Solução gráfica – para problemas com até três variáveis;
- Simplex – método algébrico;
- Softwares ou rotinas:
- SOLVER – um dos mais populares, oferecido como suplemento do MS
Excel e também pode ser adquirido separadamente;
- LINDO – um dos aplicativos genéricos mais utilizados, oferecidos em
versões para estudantes e para uso profissional, muito utilizado no meio
acadêmico para aprendizagem;
- PROLIN – aplicativo na internet, desenvolvido na UFV – Universidade
Federal de Viçosa, de uso online;
- Aplicativos de ultima geração: LINGO, AIMMS, GAMS, AMPL, CPLEX –
utilizados para resolver problemas de grandes dimensões, podendo ter
milhões de variáveis e restrições. Para utilização destes programas é
necessário o uso de uma linguagem de modelagem que transforma a
simbologia matemática em matrizes que compõem as restrições do
problema;
- Aplicativos específicos para atender a demandas particulares.
58
3.3 O MÉTODO SIMPLEX
Desenvolvido em 1947 por George Dantzig, o método simplex é um
procedimento algébrico baseado em conceitos geométricos. É usado com frequência
para solucionar problemas de grande porte, demonstrando ser um método de
extrema eficiência. Sua aplicação é feita através de pacotes de softwares
sofisticados, exceto para pequenos problemas e aplicações acadêmicas. Suas
extensões e variações também possibilitam realizar análise de sensibilidade
(HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Para o entendimento do método Simplex é importante fixar que a PL busca
encontrar valores para n variáveis de decisão (x1, x2, ..., xn), não negativos, para
maximizar ou minimizar uma expressão linear (Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn),
atendendo a um conjunto de restrições lineares, na forma de igualdades ou
desigualdades, com a representação na forma matricial expressa por Ax {≤, =, ≥} b,
onde (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012):
- A é a matriz dos coeficientes tecnológicos;
- x é um vetor coluna com dimensão n reunindo as variáveis de decisão;
- b ≥ 0 é o vetor dos recursos ou insumos disponíveis para a produção.
Assim sendo, a forma padrão da PL representada por matrizes fica (PIZZOLATO
e GANDOLPHO, 2012):
Max (ou Min) sujeito a
𝑍 = 𝑐𝑥 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑥 ≥ 0
FIG. 3.2 – Matrizes da forma padrão da Programação Linear (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012)
Onde:
- A matriz m x n dos coeficientes tecnológicos;
- b vetor coluna m x 1 das constantes do lado direito;
- x vetor coluna n x 1 das variáveis de decisão;
- c vetor linha 1 x n dos coeficientes da função objetivo.
Enquanto o vetor b ≥ 0, quando Ax ≤ b, todas as restrições se transformam em
equações com a inclusão de variáveis de folga; respectivamente, quando Ax ≥ b,
59
todas as restrições se transformam em equações com a inclusão de variáveis de
excesso. Esta variável, de folga ou de excesso, adicionada a desigualdade tem valor
igual ao inverso da desigualdade, desta forma o sinal de desigualdade desaparece e
dá lugar ao sinal de igualdade, conforme cada caso inicialmente considerado
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
A solução gráfica da PL que introduz o conceito e ampara o procedimento
algébrico de solução do simplex e pode ser demonstrada com facilidade em
problemas de duas variáveis de decisão (x1 e x2), onde cada uma delas é
posicionada sobre cada um os eixos de um plano cartesiano, respectivamente.
Considerando a premissa de não negatividade, toda a análise deverá acontecer no
primeiro quadrante. As restrições aparecem sobre este plano cartesiano na forma de
retas onde as inclinações são determinadas por seus parâmetros. O polígono
delimitado a partir dos eixos do primeiro quadrante e pelo cruzamento das restrições
é denominado como espaço das soluções viáveis. Os vértices desta figura são
determinados como pontos extremos factíveis (PEF) da solução e a melhor solução
ponto extremo factível será a solução ótima para o problema. Neste momento, traça-
se o vetor gradiente com os coeficientes da função objetivo (FO), que é exatamente
normal a FO e que indica à direção de crescimento da FO. A solução ótima é
encontrada deslocando a FO até atingir o ponto que resultará no maior valor de Z
quando o problema for de maximização e, no menor valor de Z quando o problema
for de minimização (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
A solução ótima poderá resultar em uma solução única, quando existir apenas
um PEF ótimo; em soluções múltiplas quando existir dois PEFs ótimos; em uma
solução ilimitada quando o espaço de soluções viáveis for aberto na direção de
crescimento da FO; e, em uma solução infactível quando não existir um espaço de
soluções viáveis delimitado pelas restrições do problema (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
Imaginando um polígono formado inicialmente pelas restrições de não
negatividade, deduz-se que o espaço das soluções factíveis estará no primeiro
quadrante de um plano cartesiano. As restrições, na forma de retas delimitarão um
polígono. Sobre esta figura, o procedimento algébrico resolve o problema de PL
através de iterações onde parte da origem como valores para a FO (x1 = 0, x2 = 0);
em seguida testa a taxa de crescimento de cada parâmetro da FO e direciona o
60
teste para um dos dois PEFs mais próximos da origem com melhor resultado de Z. A
partir da escolha do primeiro PEF com melhor resultado de Z, da segunda iteração
em diante, o próximo PEF é testado e verificado se melhora ou piora o resultado da
FO. Se o resultado do teste piorar a FO, a solução ótima foi encontrada, pois a partir
dali não haverá mais nenhum PEF que possa melhorar a FO (HILLIER e
LIEBERMAN, 2013).
Ainda existem outras formas para a resolução do simplex, a forma algébrica, a
tabular e a matricial. A forma algébrica é a mais recomendada para o entendimento
da lógica do algoritmo, entretanto a forma tabular é a mais conveniente para resolver
o problema manualmente, enquanto que a forma matricial é a mais conveniente para
ser executada automaticamente em computador (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
As formas de resolução do simplex citadas acima visam realizar o pivotamento.
Este consiste na aplicação do método de eliminação de Gauss-Jordan, para que o
sistema de equações se converta para a forma canônica, em que a matriz dos
coeficientes seja uma matriz identidade (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Na forma algébrica, inicialmente as variáveis de decisão tem seu valor atribuído
à zero, são definidas nulas e chamadas de variáveis não básicas. As demais
variáveis, de folga ou de excesso, tem seu valor atribuído pela equação da restrição,
são chamadas de variáveis básicas e formam a base do sistema linear. A partir daí,
com a realização de cada iteração do pivotamento, uma variável não básica deverá
entrar na base, onde seu valor deixará de ser nulo e crescerá até o maior valor
possível dentro das restrições, podendo ser positiva ou eventualmente nula;
enquanto que deverá ser visto qual variável básica deverá sair da base e se tornar
nula (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Quando o problema é de maximização, a escolha da variável que entra é feita
pelo maior coeficiente positivo da função objetivo, pois, ele proporcionará o maior
crescimento da FO. Para escolher a variável que sai, deverá ter o cuidado de manter
as variáveis básicas não negativas, escolhendo a que tenha a maior taxa de
decrescimento e igualando-a a zero (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
A forma tabular torna-se simples para organizar os cálculos analíticos descritos
sucintamente acima utilizando de quadros onde os números envolvidos em cálculos
matemáticos ficam destacados e registrados de forma compacta. A TAB. 3.2,
adaptada de HILLIER e LIEBERMAN (2013), compara a forma padrão de equações
61
da PL (forma algébrica) com a forma tabular. No formato tabular a direita, na
primeira linha do quadro, a FO toma a forma de uma restrição igualada a 0 (b0 = 0),
tem o sinal de seus coeficientes invertidos ao passarem do lado direito para o lado
esquerdo da equação, e Z passa a compor a base do sistema como uma variável de
valor 1. Nas linhas seguintes, são apresentadas as equações das restrições
acrescidas das variáveis de folga (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Esta tabela mostra um exemplo tabular de estrutura inicial de um problema de
maximização com duas variáveis de decisão ou duas variáveis não básicas (x1 e x2)
e três restrições que resultaram, neste caso, em três variáveis de folga (x3, x4 e x5).
O cabeçalho destaca quais elementos serão apresentados nas colunas; na linha da
equação 0, Z recebe o valor de 1, as variáveis não básicas recebem os respectivos
coeficientes da FO com sinal invertido, os coeficientes das variáveis básicas
recebem o valor zero e, b também é zero. Da linha da equação 1 a da equação 3
são apresentadas os coeficientes originais das restrições (aij) seguidos do valor 1
para a respectiva variável de folga e valor 0 para as demais. Os coeficientes são os
dados originais do problema quando se trata da primeira iteração, onde os valores
das variáveis não básicas são estabelecidos em zero resultando nos valores das
variáveis básicas iguais aos valores de contidos no vetor b, conforme demonstrado
na igualdade de vetores (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, b1, b2, b3) que é a primeira solução
básica viável. Da segunda iteração em diante, com a aplicação dos pivotamentos, os
coeficientes vão se modificando (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
TAB. 3.2 – Comparação da forma padrão com a forma tabular, adaptado de (HILLIER e LIEBERMAN, 2013)
Forma algébrica Forma tabular
Variável básica
Eq. Coeficientes de: Lado
direito Z 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5
(0) Z −c1x1 −c2x2 = b0 Z (0) 1 −c1 −c2 0 0 0 0
(1) a11x1 +a12x2 +x3 = b1 x1 (1) 0 a11 a12 1 0 0 b1
(2) a21x1 +a22x2 +x4 = b2 x2 (2) 0 a21 a22 0 1 0 b2
(3) a31x1 +a32x2 +x5 = b3 x3 (3) 0 a31 a32 0 0 1 b3
A partir do preenchimento do quadro com os valores da FO e das restrições
iniciam-se as sucessivas iterações até atingir a solução do problema. O primeiro
passo da iteração é identificar qual variável não básica deve entrar na base. Para
isto, na linha da equação 0, deve ser identificado qual o valor mais negativo para
62
problemas de maximização, sendo este a maior taxa de crescimento da FO
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012). Na primeira linha, a coluna deste valor
indicará qual é a variável que entra na base (x1 ou x2).
O próximo passo é identificar qual a variável que sai da base (x3, x4 ou x5 – na
primeira coluna da forma tabular). A identificação é feita testando os quocientes dos
elementos da coluna b (equações 1 a 3) e os elementos positivos da coluna da
variável que entra. A escolha será pela variável em que o resultado da divisão de b
pelo elemento positivo da coluna da variável que entra der o menor resultado
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012). Este teste também é conhecido como teste da
razão mínima (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Depois de identificar a variável que entra e a variável que sai, atribui como
elemento pivô o valor da célula na interseção da coluna da variável que entra com a
linha da variável que sai. Em seguida deve-se criar um vetor unitário, onde o
elemento pivô resultará no valor e dos demais valores da coluna da variável que
entra resultarão em zero, aplicando o método de eliminação de Gauss-Jordan
através de operações elementares. Os resultados irão compor um próximo quadro
com os valores do pivotamento para uma próxima iteração. Neste novo quadro, a
variável que entrou na base (x1 ou x2) tomará o lugar da variável que saiu da base
(x3, x4 ou x5) na primeira coluna da forma tabular, identificada como coluna das
variáveis básicas (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
As operações elementares que podem ser realizadas são a multiplicação ou
divisão de uma equação por uma constante diferente de zero ou, a soma ou
subtração de um múltiplo de uma equação a outra equação (HILLIER e
LIEBERMAN, 2013).
As iterações seguintes devem acontecer enquanto houver coeficientes negativos
na equação 0. Para o problema de maximização, a partir do momento em que no
exame da equação 0 for constatado que todos os elementos são não negativos, terá
chegado a solução ótima. Os resultados da otimização são apresentados na coluna
b, onde na equação 0 está a solução ótima da FO e nas demais linhas o valor das
variáveis básicas (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Alguns casos devem ser observados na resolução do Simplex pelos quadros
(forma tabular), como por exemplo:
63
- Soluções múltiplas são observadas quando a análise da Linha 0 indica que a
solução ótima foi encontrada e uma das variáveis não básicas apresenta
valor igual a 0 na Linha 0. O pivotamento para esta variável entrar na base
resultará em um mesmo valor ótimo para a FO (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012);
- Solução ilimitada acontece quando a variável básica que entra puder ser
aumentada indefinidamente sem chegar a nenhuma valor negativo para a
qualquer uma das atuais variáveis básicas. Isto acontece quando alguma
variável da Linha 0 possuir um coeficiente que indique melhoria da função
objetivo e todos os elementos da sua respectiva coluna são ≤ 0,
impossibilitando a realização do teste da razão mínima. Na maximização de
um problema, é impossível que o lucro gerado seja ilimitado, portanto, deve
haver algum erro de formulação ou, alguma restrição relevante foi omitida ou
mal declarada ou, pode ser algum erro computacional (HILLIER e
LIEBERMAN, 2013);
- Solução infactível acontece quando não for possível identificar nenhuma
solução viável na aplicação do método, pois o conjunto de restrições não é
compatível com a FO (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012);
- O empate na entrada acontece quando mais de uma variável é candidata
entrar na base apresentando mesmo coeficiente, sejam eles ≤ 0 para
problemas de maximização ou ≥ 0 para problemas de minimização. Neste
caso, adota-se arbitrariamente qualquer uma as variáveis (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012);
- O empate na saída acontece quando o teste da razão mínima apresenta
mais de uma variável candidata a sair da base, com mesmo resultado. Neste
caso, adota-se arbitrariamente qualquer uma as variáveis, onde a variável
que ficar após o pivotamento será igual 0 e a solução básica é tida como
degenerada. Este caso conduz a um loop de iterações e já foi alvo de
estudos, havendo raros registros de casos reais em que isto tenha
acontecido. Os softwares atuais são capazes de se proteger deste fenômeno
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012) e (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
A forma de solucionar o simplex apresentada até o momento considerou as
restrições funcionais ≤ bi, para todo i = 1, 2, ..., m. Quando alguma das restrições
64
funcionais é uma igualdade (bi = 0), ≥ bi ou o lado direito é negativo, a identificação
da solução básica viável inicial fica comprometida, complicando a aplicação do
método (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Diante do exposto, para quando alguma restrição funcional for uma igualdade,
será necessário criar uma base artificial de partida, através da introdução de m
variáveis artificiais, uma para cada restrição de igualdade, que serão substituídas
após algumas iterações por uma base real criada a partir das variáveis reais do
modelo. Este tipo de modelo pode ser solucionado pelo Método do M Grande ou
pelo Método das Duas Fases (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Para quando o lado direito de alguma restrição funcional for negativo, basta
multiplicar ambos os lados por -1 satisfazendo as restrições de não negatividade
(HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
E, para quando alguma das restrições funcionais ≥ bi, cria-se a variável de
excesso e uma variável artificial de folga, onde a variável de excesso subtrai o
excedente do lado esquerdo no lado direito, realizando a conversão da restrição de
desigualdade em uma restrição de igualdade equivalente (HILLIER e LIEBERMAN,
2013).
O Método do M Grande consiste em introduzir variáveis artificiais na FO com
coeficientes muito grandes, negativos no caso de maximização e positivos no caso
de minimização, onde estas variáveis artificiais devem ter seus valores reduzidos a
zero e sair da base com a otimização do problema. Caso alguma variável artificial
possua um valor diferente de 0 o problema será infactível. Como não é fácil definir
um valor relativamente muito grande, este método não é utilizado, porém, não deixa
de ser uma importante contribuição acadêmica (PIZZOLATO e GANDOLPHO,
2012).
O Método das Duas Fases consiste inicialmente, na primeira fase, em eliminar
as variáveis artificiais, onde todas estas devem ser eliminadas ou ter seu valor
reduzido à zero, identificando a solução básica somente com variáveis reais do
modelo. Após a conclusão da primeira fase, a segunda fase se inicia substituindo a
Linha 0 da 1ª Fase pela FO do problema original (PIZZOLATO e GANDOLPHO,
2012).
65
3.4 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Diferentemente dos problemas matemáticos, os problemas do mundo real são
dinâmicos e tendem a ter seus parâmetros reajustados com o tempo ou com uma
nova condição que possa vir a ser imposta pela situação. Daí sua complexidade de
representação por meio de uma modelagem matemática que deve estar preparada
para esta possível mudança de cenário. Nos problemas de PL não acontece nada
diferente, pois eles buscam encontrar uma solução ótima de um modelo com limites
definidos por suas restrições que está sujeito a ter seus coeficientes e variáveis
alterados. Neste momento, entra em ação a análise de sensibilidade também
conhecida como análise de pós-otimização, que dentre suas atribuições, busca:
identificar os limites em que os coeficientes do modelo podem variar sem que a
solução ótima seja alterada, antever o que acontecerá com o modelo caso estes
limites sejam ultrapassados ou, quanto à solução ótima será afeada com a mudança
de algum parâmetro ou variável, ampliando assim a compreensão dos modelos
lineares (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012). Em suma, a análise de sensibilidade
busca estabelecer quais são os parâmetros mais críticos na determinação do
modelo do problema, onde os parâmetros sensíveis do modelo são aqueles que se
alterados, modificarão a solução ótima (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Segundo PIZZOLATO e GANDOLPHO (2012), os seguintes tipos de análise
podem ser feitos:
- Alterações simples:
- Nos coeficientes de custos (cj)
- Nas constantes (bi)
- Nas restrições
- Adicionar variáveis;
- Eliminar variáveis;
- Adicionar restrições;
- Eliminar restrições.
- Alterações sistemáticas nos (cj) e (bi) – Programação paramétrica
- Alterações dos coeficientes tecnológicos (aij) resultam em um novo
problema.
66
A análise de sensibilidade é aplicada a modificações pontuais, uma de cada vez.
Modificações simultâneas de vários parâmetros resultam em um novo problema que
deverá ser resolvido desde seu início. Cabe então, identificar os limites possíveis de
variação nos coeficientes de custo (cj) e as constantes (bi) da função objetivo para
que a solução ótima permaneça ótima. A alteração dos coeficientes tecnológicos aij,
salvo em casos particulares, transforma o modelo em um novo problema que
também dever ser solucionado desde o início (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
O Custo Reduzido, também chamado de Custo Relativo ou Reduce Cost, é o
valor de quanto à solução ótima será reduzida caso seja adicionada uma unidade de
uma variável de decisão que não está presente na base da solução ótima
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
O Preço Sombra, também chamado de Preço Dual ou Shadow Price, presente
no vetor b de insumos disponíveis, é o valor correspondente de quanto custará uma
unidade adicional de cada insumo ou, o valor limite para adquirir mais uma unidade
de um recurso presente na solução ótima. Isto quer dizer que se houvesse uma
unidade a mais disponível deste insumo bi, a solução ótima seria acrescida deste
valor por unidade a mais disponível (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Uma restrição ativa é quando a totalidade do insumo disponível é utilizada e a
variável de folga é nula, tendendo a ser não básica e seu preço sombra é
apresentado na Linha 0 do quadro ótimo do Simplex. Quando a restrição é não ativa,
a variável de folga tem um valor positivo, pois o insumo disponível não foi totalmente
utilizado, sendo uma variável básica e seu preço sombra é zero. No quadro ótimo do
Simplex, o preço sombra aparece na Linha 0, com o sinal invertido nas colunas
correspondentes as variáveis de folga e, a folga de uma restrição não ativa aparece
no vetor b, na linha correspondente a variável básica em que a coluna desta mesma
variável seja um vetor unitário, ou seja, contenha o valor 1 na respectiva interseção
de linha e coluna com os demais valores da coluna igual a zero (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
Junto ao relatório emitido ao final da otimização do software LINDO também é
apresentado o intervalo em que coeficientes cj da função objetivo podem variar sem
alterar a base da solução ótima, tanto para coeficientes de variável básica quanto
para não básica. A identificação é feita na seção “obj coefficient ranges” (variação
dos coeficientes da função objetivo) pelos itens “allowable increase” (aumento
67
permitido) e “allowable decrease” (diminuição permitida), onde os respectivos
valores a serem somados e subtraídos, respectivamente, ao coeficiente cj
representam este intervalo de variação (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
O intervalo de variação nas constantes bi se comporta de forma distinta para o
caso em que a restrição é não ativa e para o caso em que a restrição é ativa. No
caso de restrição não ativa o valor de folga correspondente ao valor de bi é positivo,
pois a quantidade de insumo disponibilizada supera a quantidade utilizada.
Enquanto este valor permanecer não negativo, não haverá nenhum efeito na
solução ótima, podendo haver redução deste até que atinja o valor zero ou aumentar
indefinidamente, o que seria uma atitude antieconômica. Caso haja uma redução de
bi maior que a folga, a sugestão é que se resolva o problema novamente
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
Quando a restrição é ativa o valor da folga correspondente ao valor de bi é igual
a zero, o que quer dizer que todo o insumo disponibilizado foi utilizado. Qualquer
acréscimo ou redução do valor de bi causará efeito sobre a solução ótima nos
valores de Z e das variáveis, podendo ser preservada ou não a base. Os valores
permissíveis de acréscimo ou redução de bi sem que as variáveis básicas sejam
alteradas também são apresentados no relatório do software LINDO identificados na
seção “righthand side ranges” (intervalos do lado direito), pelos itens “allowable
increase” e “allowable decrease”. Qualquer alteração de bi além dos limites para o
lado direito causará mudança da base da soluça ótima (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
A verificação de possibilidade de alteração de todo o vetor b é feita conforme
EQ.3.2. Realizando a alteração do vetor b, a solução deixa de ser viável quando
alguma componente de xB se torna negativa, sendo necessário reotimizar o
problema novamente. (PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
𝑥𝐵 = 𝐵−1𝑏 EQ. 3.2 Onde:
xB vetor contendo os valores ótimos das variáveis básicas
B-1 matriz inversa da base;
Após a otimização do problema, caso surja uma nova variável que antes podia
estar omissa, será necessário levantar seu respectivo vetor de informações,
contendo nele o coeficiente de custo ck e os coeficientes tecnológicos aik para todas
68
as restrições, onde será possível indicar, por unidade do produto Xk, o consumo de
cada recurso produtivo. Para verificar se esta nova variável proposta é candidata a
entrar na base, calcula-se seu custo reduzido. Se o custo reduzido for superior à
receita, esta nova variável não é candidata a entrar na base, porém, se esta se
qualificar a entrar na base, sugere-se reotimizar o problema (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
Ao contrário da situação acima, a eliminação de uma variável poderá conduzir a
duas situações. A primeira, caso seja uma variável básica e positiva, sua eliminação
implica em reotimizar o problema. A segunda situação é, caso a variável seja nula,
ela pode ser simplesmente ignorada, sendo esta não básica ou básica e nula
(PIZZOLATO e GANDOLPHO, 2012).
A adição de uma nova restrição tende a piorar a solução ótima reduzindo o
espaço das soluções viáveis. Caso a solução ótima satisfaça esta nova restrição,
não haverá alteração nos resultados, caso contrário, o problema deverá ser
reotimizado (RICARDO e CATALANI, 2007).
Para avaliar o efeito da eliminação de uma restrição deve-se identificar se ela é
uma equação, uma restrição ativa ou uma restrição não ativa. Caso seja uma
restrição não ativa, sua eliminação não afetará a solução ótima. Para uma equação
ou uma restrição ativa, sugere-se reotimizar o problema (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
A Programação Paramétrica estuda os efeitos de se alterar os coeficientes da
função objetivo para além das faixas identificadas pela Análise de Sensibilidade. As
mudanças estruturais da solução ótima são analisadas por iterações onde se
introduz uma violação a faixa de variação de um coeficiente. Isto resulta em novas
iterações sistemáticas que buscam identificar faixas de valores diferentes em que o
coeficiente em análise pode ser alterado sem mudar a base (PIZZOLATO e
GANDOLPHO, 2012).
3.5 A LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA “MPL”
69
O MPL é um sistema de modelagem avançada que permite formular modelos de
otimização complexos de forma simples e objetiva, além da possibilidade de serem
resolvidos por praticamente todos otimizadores disponíveis no mercado. Ele
possibilita a modelagem algébrica por equações que geram e transferem as matrizes
aos solucionadores de otimização de forma automática. Esta linguagem tem se
provado, ao longo dos anos, ser bastante simples, rápida e fácil de usar, exigindo
pouca programação do usuário (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
O MPL é integrado ao ambiente do Windows e pode importar dados diretamente
de arquivos de texto, bancos de dados ou planilhas eletrônicas e, após a solução,
exporta os resultados para arquivos de texto, banco de dados ou planilha. Esta
capacidade de integração o torna ideal para o desenvolvimento de aplicações para o
usuário final (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
Por se comunicar diretamente com o solucionador, com matrizes de dados,
através da memória e sem intermédio de arquivos, o MPL se torna bastante rápido e
robusto. De acordo com seu desenvolvedor (MAXIMAL SOFTWARE, 2014), as
principais características da linguagem MPL são:
- Separação dos dados a partir da formulação do modelo;
- Importar dados de diferentes fontes de dados;
- Independência de solucionadores específicos;
- O uso de macros para rotinas repetitivas do modelo;
- Exclusão de partes do modelo usando diretivas condicionais;
- Conjuntos ordenados especiais e variáveis semi-contínuas;
- Condições WHERE/IF para lidar com casos especiais;
- Mensagens de erro simples e úteis.
A capacidade de gerir de forma eficaz grandes conjuntos de índices e dados
dispersos, torna o MPL uma poderosa ferramenta de otimização. Ele tem
flexibilidade em trabalhar com conjuntos e subconjuntos de índices, funções de
índices compostos ou conjuntos de índices multidimensionais. Esta característica lhe
permite trabalhar com milhões de variáveis e restrições. O MPL possui seu próprio
gerenciador de memória que é limitado pela capacidade da máquina que o usuário
estiver trabalhando (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
A licença do MPL utilizada para o desenvolvimento deste trabalho foi
disponibilizada junto ao livro constante da bibliografia HILLIER e LIEBERMAN
70
(2013), sendo uma licença para estudantes limitada a 300 restrições (MAXIMAL
SOFTWARE, 2014), conforme FIG. 3.3:
FIG. 3.3 – Licença do software MPL for Windows 4.2
Durante a elaboração deste trabalho o autor se cadastrou no programa do
desenvolvimento acadêmico da Maximal Software e solicitou uma licença de
desenvolvimento de pesquisa acadêmica do software “MPL for Windows”. O pedido
foi aceito e o link para baixar o programa só foi enviado em 19/5/2015. Após a
instalação do software, foi necessário solicitar o código de ativação da licença
acadêmica que só foi enviado em 1/6/2015. Esta licença acadêmica não possui
limitação quanto ao número de variáveis ou restrições. Junto dela foram
disponibilizados vários solucionadores completos, dentre eles o CoinMP que é um
solucionador de código livre. A FIG. 3.4 ilustra a licença acadêmica ativada por 3
meses. Após a expiração desta, caso haja interesse, deverá ser solicitado nova
ativação por mais um período determinado entre 3 e 9 meses, que poderá ser aceito
ou não.
Apesar de o MPL trabalhar com praticamente todos os solucionadores
disponíveis, os mais indicados por seu desenvolvedor são o CPLEX e o GUROBI.
Dentre os solucionadores disponibilizados nas versões acadêmicas, o CPLEX 300
apresentou maior precisão nos parâmetros de pós-otimização informados.
71
FIG. 3.4 – Licença Acadêmica do software MPL for Windows 4.2
3.6 O SOLUCIONANDOR “CoinMP”
O otimizador CoinMP é um solucionador de código aberto. Faz parte da COIN-
OR, um projeto que é uma iniciativa para estimular o desenvolvimento de software
de código aberto para a comunidade de pesquisa operacional. O CoinMP está
integrado a outras 3 bibliotecas associadas da COIN-OR, sendo elas CLP, CBC e
CGL. Para resolver modelos de programação linear o CoinMP acessa
funcionalidades da biblioteca CLP, já para modelos de programação inteira ou inteira
mista utiliza recursos das bibliotecas CBC e CGL (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
O CoinMP tem um conjunto completo de algoritmos para resolver problemas de
PL, incluindo os métodos simplex, primal, dual e de barreira (MAXIMAL
SOFTWARE, 2014).
3.7 O SOLUCIONADOR “CPLEX”
72
Atualmente o CPLEX tem sido utilizado para solucionar grandes problemas com
milhões de variáveis e restrições. Poucos solucionadores conseguem atingir sua
velocidade, robustez e confiabilidade. Ele é capaz de solucionar problemas de
programação linear, inteira, mista e quadrática. Dentre suas características,
apresenta uma base para a análise de sensibilidade (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
73
4 METODOLOGIA
4.1 A CONCEPÇÃO DA IDÉIA
O problema de distribuição de terraplenagem motiva inúmeras tentativas de
automação, por parte dos engenheiros que trabalham na área, onde nem todas
obtém o sucesso. Encontrar uma alternativa de automação para a poderosa e
consagrada metodologia de Brückner não é tarefa fácil. A primeira tentativa de
automação, realizada pelo autor, foi através de planilha eletrônica, onde, foram
gerados a partir da planilha de cubação índices e resumos que deram uma visão
mais ampla do trecho a ser distribuído. Esta planilha conduzia a iterações manuais e
trabalhosas, ao ponto que pelo método de Brückner, elaborado em um software de
CAD, tornou-se a alternativa mais atrativa e mais organizada, com tanta precisão
quanto ao modelo numérico da planilha.
A segunda tentativa de automação baseou-se em um problema de otimização
apresentado por HOEL, GARBER e SADEK (2011), onde foi proposto um modelo de
otimização resolvido através do suplemento SOLVER no software de planilha
eletrônica MS Excel.
O SOLVER é uma ferramenta que pode ser usada para a programação
matemática, inclusive a solução de problemas de PL – Programação Linear; o MS
Excel é um software comercial que trabalha com planilha eletrônica capaz de
interpretar fórmulas matemáticas e realizar cálculos diversos, num ambiente
amigável de fácil utilização. Segundo HILLIER e LIEBERMAN (2013) a possibilidade
de exibir imediatamente os resultados de alterações feitas nas soluções é, com
certeza, o grande poder e atratividade do uso de planilhas eletrônicas para
formulação de modelos de PL.
O problema de otimização apresentado por HOEL, GARBER e SADEK (2011)
consiste em encontrar as quantidades de determinado suprimento a serem
transportados de fornecedores para clientes com o menor custo de aquisição e
transporte. Cada fornecedor possui uma capacidade de fornecimento de quantidade
74
de suprimento e um preço por seu produto e, cada cliente possui uma demanda a
ser suprida. Este problema foi modelado na forma de duas tabelas que cruzam as
informações dos fornecedores, que são listados na primeira coluna, e dos clientes,
que são listados na primeira linha. A primeira tabela apresentou o custo unitário do
transporte de suprimento entre cada fornecedor e cada cliente, à capacidade de
cada fornecedor na última coluna e a demanda de cada cliente na ultima linha. A
segunda tabela foi preparada para receber as quantidades de suprimentos
transportados de cada fornecedor para cada cliente. A última coluna de cada linha
da segunda tabela contém a soma das quantidades de suprimento que cada
fornecedor enviou para cada cliente, porém, o resultado desta soma não pode ser
maior que a capacidade do fornecedor. A última linha de cada coluna da segunda
tabela contém a soma das quantidades de suprimento que cada cliente recebeu dos
fornecedores, onde o resultado desta soma deve ser igual à quantidade demandada
pelo cliente. A função objetivo deste problema consiste em minimizar os custos com
a aquisição e o transporte destes suprimentos entre os fornecedores e os clientes.
A partir deste modelo, foi elaborada a segunda tentativa de automação da
distribuição de materiais de terraplenagem, que considerou como critério de
distribuição dos materiais a composição dos custos unitários de serviços por metro
cúbico de material. Esta modelagem foi elaborada utilizando o MS Excel e o
SOLVER, a partir do cruzamento informações relativas às escavações e os aterros
(fornecedor e cliente). Os dados de partida para elaboração das tabelas deste
modelo surgiram de um exemplo reduzido, onde os volumes de cada maciço foram
acumulados para reduzir o número de variáveis e restrições do problema, devido à
limitação de capacidade de variáveis de decisão e restrições do SOLVER.
O modelo deste trabalho foi desenvolvido a partir de tabelas de entrada de
dados e apresentação dos resultados modeladas no MS Excel, combinadas com um
algoritmo em linguagem de programação matemática MPL que utiliza o solucionador
o CoinMP em alternativa ao SOLVER.
O fluxograma apresentado na FIG. 4.1 ilustra o fluxo de informações que são
tratadas pelo modelo. A princípio, mostra o fluxo das informações ainda na planilha
de cubação dos materiais de terraplenagem, tratando das informações necessárias
para a entrada de dados do problema. Em seguida, mostra o fluxo que as
informações devem seguir no modelo deste trabalho.
75
FIG. 4.1 – Fluxo de informações do modelo de PL para a distribuição de materiais de terraplenagem
PLANILHA DE CUBAÇÃO
PLANILHAS DO MODELO NO MS EXCEL
PLANILHA DE CUBAÇÃO
CARREGAR INFORMAÇÕES DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS:
KM OU ESTACA;
ÁREAS DAS CAMADAS DE ESCAVAÇÃO;
ÁREAS DAS CAMADAS DE ATERRO. CARREGAR INFORMAÇÕES GEOTÉCNICAS:
CBR E EXPANSÃO DAS CAMADAS DE ESCAVAÇÃO.
CÁLCULOS:
SEMI-DISTÂNCIA ENTRE SEÇÕES TRANSVERSAIS;
VOLUME GEOMÉTRICO DE CADA CAMADA;
FH – FATOR DE HOMOGENEIZAÇÃO;
VOLUME GEOTÉCNICO DE CADA CAMADA.
EXIBIÇÃO:
QUADRO RESUMO DAS ESCAVAÇÕES;
QUADRO RESUMO DOS ATERROS.
FIM DA PLANILHA DE CUBAÇÃO
MODELO DE OTIMIZAÇÃO: PLANILHAS DE ENTRADA DE DADOS NO MS EXCEL
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
ESTRUTURAÇÃO E FORMATAÇÃO DAS MATRIZES DO MODELO: 1. DMT ENTRE ESCAVAÇÕES E ATERROS; 2. CUSTO UNITÁRIO POR M³ DOS SERVIÇOS DE ESCAVAÇÃO, CARGA E TRASNPORTE; 3. CUSTO UNITÁRIO POR M³ DE COMPACTAÇÃO DE CAMADAS DE ATERRO E BOTA-FORA; 4. CUSTO UNITÁRIO POR M³ DE MOMENTO EXTRAORDINÁRIO DE TRASNPORTE; 5. CUSTO UNITÁRIO POR M³ POR INDENIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS OU OUTROS CUSTOS
ADICIONAIS; 6. DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS ENTRE AS ESCAVAÇÕES E ATERROS, RESTRIÇÕES E
PARÂMETROS DE SENSIBILIDADE.
1
76
FIG. 4.1 – Fluxo de informações do modelo de PL para a distribuição de materiais de terraplenagem (continuação)
PLANILHAS DO MODELO NO MS EXCEL
CÁLCULOS:
CONVERSÃO EM CUSTO UNITÁRIO POR M³ DO MOMENTO EXTRAORDINÁRIO DE TRANSPORTE
CARREGAR CUSTOS UNITÁRIOS DO SICRO2 - DNIT:
CUSTO UNITÁRIO POR M³ DOS SERVIÇOS DE ESCAVAÇÃO, CARGA E TRASNPORTE;
CUSTO UNITÁRIO POR M³ DE COMPACTAÇÃO DE CAMADAS DE ATERRO E BOTA-FORA;
CUSTO UNITÁRIO POR t.km DE MOMENTO EXTRAORDINÁRIO DE TRASNPORTE.
1
ENTRADA MANUAL:
CUSTO UNITÁRIO POR M³ POR INDENIZAÇÃO PARA AQUISIÇÃO DE MATERIAL DE EMPRÉSTIMO OU BOTAFORA / DEMAIS CUSTOS INDIRETOS
CÁLCULOS:
DMT ENTRE O CENTRO DE MASSA DE CADA ESCAVAÇÃO E O CENTRO DE MASSA DE CADA ATERRO.
FINALIZAÇÃO DA ENTRADA DE DADOS PLANILHAS DO MS EXCEL
PROCESSAMENTO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO NO MPL
OTIMIZAÇÃO NO MPL
2
CARREGAR DADOS DO MS EXCEL:
VETORES DE DADOS DAS ESCAVAÇÕES;
VETORES DE DADOS DOS ATERROS;
MATRIZ DE DMT;
MATRIZES DE CUSTOS UNITÁRIOS POR M³ DE MATERIAL TRANSPORTADO ENTRE UMA ESCAVAÇÃO E UM ATERRO.
77
FIG. 4.1 – Fluxo de informações do modelo de PL para a distribuição de materiais de
terraplenagem (continuação)
A concepção deste fluxograma procurou seguir o fluxo dos dados entre a
distribuição dos materiais e a composição da planilha de serviços e quantidades –
PSQ, que para a forma de elaboração sugerida pelo DNIT, baseia-se nas
composições de custos apresentadas nas tabelas do SICRO2.
Em um projeto elaborado de forma convencional, primeiro a distribuição é feita
pelo método de Brückner, em seguida elabora-se a planilha de distribuição e a partir
PROCESSAMENTO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO NO MPL
PLANILHAS DO MODELO NO MS EXCEL
APLICAÇÃO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO:
MINIMIZAÇÃO DOS CUSTOS SOB AS RESTRIÇÕES
CORTE OBRIGATÓRIO DEVE SER TOTALMENTE ESCAVADO;
ATERRO OBRIGATÓRIO DEVE SER TOTALMETE CONSTRUÍDO;
A ESCAVAÇÃO DE UM EMPRÉSTIMO NÃO DEVE EXCEDER SUA CAPACIDADE;
O DESCARTE DE MATERIAL EXCEDENTE OU DE BAIXA QUALIDADE NÃO DEVE SER SUPERIOR A CAPACIDADE DO BOTA-FORA.
2
RESULTADO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO:
ARQUIVO DE SOLUÇÃO DO MPL;
EXPORTAR RESULTADOS PARA O MS EXCEL.
FIM DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO NO MPL
APRESENTAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS DE TERREPLENAGEM NO MS EXCEL
EXIBIR:
DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS ENTRE ESCAVAÇÕES E ATERROS;
DADOS DE PÓS OTIMIZAÇÃO.
REALIZAR ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
FIM DA DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS DE TERREPLENAGEM
78
desta, é elaborado um quadro resumo da distribuição dos materiais. No quadro
resumo são apresentadas as quantidades acumuladas de materiais para cada faixa
de DMT constante do SICRO2, por categoria de material. As quantidades de
serviços, relativas à distribuição dos materiais, são preenchidas na PSQ a partir das
quantidades informadas no quadro resumo. As outras quantidades de serviços de
terraplenagem que são inseridas na PSQ, que não estão relacionadas à distribuição
dos materiais, são extraídas em grande parte do projeto de geometria, do
levantamento planialtimétrico e cadastral e de outros documentos das demais
disciplinas do projeto, não sendo objeto de estudo deste trabalho estes outros
serviços.
Tendo em mente a forma convencional descrita acima, partiu-se do pressuposto
que a distribuição poderá ser elaborada em função do menor custo dos serviços.
Para isto, torna-se necessário compor o custo unitário por metro cúbico de material
transportado de um local a ser escavado para um local a se construir um aterro.
A segunda parte do fluxograma, à direita, primeiramente sugere que seja
avaliada a DMT entre cada iteração possível entre uma escavação e um aterro. A
partir do levantamento das DMTs de cada iteração, pode-se classificar em qual faixa
de DMT prevista na planilha de custos do SICRO2 cada iteração estará. Com a
categoria do material informada na planilha de cubação (primeira parte do
fluxograma) e a faixa de DMT que a iteração está, obtém o custo unitário por metro
cúbico do serviço de escavação, carga e transporte da planilha de custos do
SICRO2, que é o primeiro grupo de serviços relacionados à distribuição que deverá
ser levantado.
O segundo grupo de serviços está relacionado à construção dos aterros. Com a
informação do tipo de construção (corpo de aterro, camada final de terraplenagem
ou bota-fora) é levantado o custo unitário por metro cúbico de construção conforme
a categoria do material escavado para cada iteração.
O terceiro grupo de custos unitários por metro cúbico de material é o do
momento extraordinário de transporte, que será pago em t.km quando a DMT de
alguma das iterações extrapolar as faixas de DMT contempladas pelo SICRO2.
O quarto grupo de custos unitários por metro cúbico de material é o de
indenizações por aquisição de material de empréstimos ou jazidas. Este custo é
variável de acordo com a região e a economia local de onde este material será
79
escavado. Em algum caso específico ou em um projeto onde a disponibilidade de
materiais de boa qualidade não é satisfatória, esta aquisição representará uma
parcela significativa no custo final da obra. Nestes valores poderão ser incluídas
indenizações para gastos diversos, como por exemplo, ampliações de dispositivos
de drenagem.
Diante do levantamento dos custos unitários para cada grupo de serviços por
iteração, a etapa seguinte é aplicar um algoritmo de PO para distribuir os materiais
escavados para os aterros com o menor custo. Esta distribuição está sujeita às
restrições: a qualidade de material requerida pelos aterros deve ser atendida; os
cortes devem ser escavados na sua totalidade; os aterros devem ser construídos na
sua totalidade; os bota-foras não devem receber material além de sua capacidade;
e, os empréstimos não devem ser escavados além de sua capacidade.
Assim sendo, na forma convencional, os custos totais dos serviços são
apresentados na PSQ elaborada a partir do quadro resumo. Na forma proposta, o
quadro de distribuição preenchido de forma automática pelo algoritmo de PO
alimentará a planilha de distribuição e o quadro resumo de materiais, que subsidiará
o preenchimento da PSQ. A diferença é que a obtenção do custo total relativo à
distribuição dos materiais já foi apresentado como resultado da FO antes mesmo do
preenchimento da PSQ.
4.2 DISCUSSÃO SOBRE O MODELO
A primeira dificuldade encontrada foi a pequena capacidade quanto ao número
de variáveis de decisão que o SOLVER oferecido junto do MS Excel trabalha. De
acordo com o desenvolvedor da versão do SOLVER disponibilizada como
suplemento do MS Excel, a versão é restrita a 200 variáveis de decisão e restrições.
Versões com maior capacidade devem ser adquiridas separadamente do MS Excel
(FRONTLINE SOLVERS, 2015).
Esta primeira limitação foi observada devido à grande quantidade de variáveis
que o modelo gerou. Isto aconteceu porque cada maciço possui um volume diferente
dos volumes dos demais maciços. Diante disto, conclui-se que uma escavação
80
poderá compor vários aterros; e, de forma análoga, um aterro pode ser composto
por materiais de várias escavações. Nesta situação, cada segmento do maciço
deveria ter seu centro de massa recalculado e consequentemente sua DMT
também. Este tipo de iteração se tornaria complexa de ser programada e geraria
inúmeras outras variáveis, sendo esta hipótese descartada em um primeiro
momento. Esta hipótese descartada inicialmente não traz prejuízos ao modelo, pois
a origem do maciço é o acúmulo de volumes de materiais entre seções em um
trecho da planilha de cubação. Portanto, basta buscar os volumes e as DMTs entre
segmentos uniformes ou entre seções que já estão presentes na planilha de
cubação.
O preço a se pagar por esta decisão é que o problema passa a ter um número
de variáveis de decisão muito maior do que a modelagem inicial, considerando que a
quantidade de variáveis de decisão é o produto do número de escavações pelo
número de aterros. Considerando também, que o cruzamento destes dados será
feito de forma automática, inicialmente em uma planilha eletrônica, depois pelo
algoritmo e em seguida pelo solucionador, o volume de informações a serem
tratadas não chega a ser grande o suficiente para comprometer o desempenho dos
computadores pessoais que temos hoje em dia (MAXIMAL SOFTWARE, 2014).
À medida que a extensão do intervalo considerado para o cálculo de cada
volume de material diminui, por exemplo, a cada estaca de 20 m, os maciços ficam
menores e tendem a se subdividirem menos; consequentemente a precisão das
DMTs para as iterações entre escavações e aterros ficará cerca de mais ou menos o
comprimento de uma estaca; considerando que o custo dos serviços relacionados a
DMT são medidos em faixas que variam a cada 200 metros em média e, que o
volume de materiais que podem ficar em um trecho de transição entre faixas de
medição será pequeno devido a curta extensão de cada maciço, o impacto no custo
final não comprometerá os resultados da solução do problema.
Desta forma, o modelo passa a considerar como maciço o volume de cada
escavação ou aterro contido em um intervalo entre duas estacas consecutivas.
Fazendo a seleção das iterações com restrição, por exemplo, material de um
empréstimo não poderá ir para um bota-fora, e excluindo estas das iterações, haverá
uma redução da quantidade de variáveis de decisão e do número de restrições a
serem tratadas pelo solucionador.
81
Diante desta limitação, buscou-se uma linguagem de programação matemática,
capaz de solucionar problemas de programação linear de grandes dimensões. A
linguagem escolhida foi o MPL, por sua capacidade e simplicidade de tratar os
dados, e o solucionador escolhido foi o CoinMP, por trabalhar de forma semelhante
ao SOLVER e ser um solucionador de código livre (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
4.3 ESTRUTURAS DAS TABELAS DO MODELO
Visando utilizar dos benefícios da planilha eletrônica, o modelo de solução da
distribuição dos materiais de terraplenagem foi estruturado na forma de tabelas, que
mais tarde serão interpretadas como vetores e matrizes pela linguagem de
programação matemática e pelo solucionador de PL. O uso de planilha eletrônica
para a montagem das tabelas possibilita que todos os cálculos e iterações
necessárias à obtenção dos dados de entrada, a serem tratados pelo solucionador,
sejam realizados na própria planilha. A planilha busca os valores nas tabelas de
resumo de quantidades e custos através de comandos e, os trata através de
fórmulas matemáticas, dispensando programação auxiliar para o tratamento destes
dados. Desta forma, os dados são apresentados de forma clara para quem está
trabalhando com eles e, ao mesmo tempo, estão preparados para ser reconhecidos
pela linguagem de programação matemática.
Para que a iteração entre as tabelas de valores aconteça, é necessário que
estas tabelas apresentem mesmas dimensões, havendo uma correspondência de
posição dos dados entre elas. Desta forma, para cada tabela, na primeira coluna são
identificadas todas as escavações e na primeira linha são identificados todos os
aterros. Por se tratar de um modelo simbólico torna-se necessário distinguir as
escavações e os aterros. Assim sendo, foram atribuídos códigos para cada tipo de
elemento conforme sua origem ou seu destino, seguidos de um índice numérico
sequencial, de acordo com o esquema abaixo.
Escavações:
- P corte de 1ª Categoria;
- S corte de 2ª Categoria;
82
- T corte de 3ª Categoria;
- E empréstimo.
Aterros:
- A corpo de aterro;
- F camada final de terraplenagem;
- B bota-fora.
Esta codificação é importante para facilitar a comunicação dos dados entre a
planilha eletrônica, a linguagem de programação matemática e o solucionador de
PL. A identificação das variáveis deve ser objetiva e possuir nomes curtos, visto que
a linguagem de programação matemática ou o solucionador pode ter restrição
quanto à dimensão do nome do dado ou da variável (HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
No problema da distribuição de materiais de terraplenagem os dados de
interesse têm origem na planilha de cubação, que apresenta os volumes de cada
camada de material por segmento entre estacas. As listas de cada material são
elaboradas a partir da planilha de cubação conforme codificação de elementos
estabelecida acima. As tabelas para a solução do problema são alimentadas em
parte por estas listas, que também são utilizadas para a identificação dos dados na
linguagem de programação matemática.
A primeira tabela modelada apresenta as DMTs entre escavações e aterros,
conforme TAB. 4.1; a segunda e a terceira tabela buscam os custos unitários de
escavação, carga e transporte (TAB. 4.2) e, compactação de corpo de aterro (TAB.
4.3) da base de dados do SICRO2 para cada iteração entre escavação e aterro; a
quarta tabela calcula o custo unitário do momento extraordinário de transporte para
cada iteração entre corte e aterro, onde a DMT excede a faixa de medição
contemplada no SICRO2 para cada material (TAB. 4.4); a quinta tabela apresenta os
custos unitários de indenização por aquisição de material de empréstimo (TAB. 4.5);
a sexta, sétima e oitava tabela apresentam como as restrições devem ser tratadas
para as quantidades de materiais transportados das escavações para os aterros
(TAB. 4.6), as quantidades de materiais transportados dos empréstimos para os
aterros (TAB. 4.7) e as quantidades de materiais transportados das escavações para
os bota-foras (TAB. 4.8). As quantidades de materiais transportados são as variáveis
de decisão que o solucionador deverá encontrar sob as restrições descritas a seguir:
83
- As escavações podem compor um ou mais aterros e devem ser executadas
na sua totalidade;
- Os aterros podem receber materiais de qualquer escavação em que as
especificações sejam atendidas e devem ser preenchidos na sua totalidade;
- Os empréstimos, também tratados como valores de folga para escavação,
podem ser utilizado até o limite de sua capacidade, se necessário;
- Os bota-foras, também tratados como capacidade de folga para aterro,
podem receber material de qualquer escavação até o limite de sua
capacidade, se necessário, exceto receber materiais provenientes dos
empréstimos;
- Alguns materiais provenientes de escavações com qualidade inferior devem
ser descartados e/ou utilizados com restrição, desta forma, elimina-se a
iteração desta escavação com o aterro de maior grau de exigência.
A TAB. 4.1 apresenta a distância média de transporte (DMT) para cada uma das
iterações entre uma escavação e um aterro. Para um trecho de projeto linear, caso
de um projeto de estradas, o cálculo da DMT de uma iteração pode ser resumido
como sendo o módulo da subtração da estaca do centro de massa da escavação
pela estaca do centro de massa do aterro, conforme EQ. 4.1. Por exemplo, a DMT11
equivale ao módulo da subtração da estaca do CM do corte de primeira categoria P1
menos a estaca do CM do corpo de aterro A1. Quando se tratar de um empréstimo,
deve-se acrescer a distância do local de empréstimo até a estaca de chegada ao
eixo do projeto que será identificada como referência para o CM utilizado no cálculo
da EQ. 4.1. Para um trecho de projeto em malha, caso de intercessão com vários
ramos ou o sistema viário de um loteamento, cada DMT deverá ser avaliada
separadamente.
𝐷𝑀𝑇𝑖,𝑗 = |𝐶𝑀. 𝑃𝑖 − 𝐶𝑀. 𝐴𝑗| EQ. 4.1
Onde:
DMTij DMT entre o centro de massa do corte Pi até o centro de massa do
aterro Aj;
CM.Pi Estaca do centro de massa do corte Pi;
CM.Aj Estaca do centro de massa do aterro Aj;
84
TAB. 4.1 – Cálculo das DMTs entre as escavações e os aterros
Cálculo da DMT entre cortes e aterros
A1 A2 … An
P1 DMT11 DMT12 …
P2 DMT21 DMT22 …
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm DMTm1 DMTm2 … DMTmn
A TAB. 4.2 apresenta os custos unitários Cij por m³ para os serviços de
escavação, carga e transporte, para cada iteração entre escavação e aterro. Estes
valores são buscados da tabela de preços do SICRO2 onde o custo unitário é
função da categoria do material escavado e da DMT, calculada na TAB. 4.1,
resultante da iteração com o aterro.
TAB. 4.2 – Custo unitário por m³ dos serviços de escavação, carga e transporte em função da categoria do material e da DMT
Custo unitário por m³ do serviço de escavação, carga e transporte em função da DMT
A1 A2 … An
P1 C11 C12 … C1n
P2 C21 C22 … C2n
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Cm1 Cm2 … Cmn
A TAB. 4.3 apresenta os custos unitários Mij por m³ de compactação de corpo de
aterro, camada final ou bota-fora, para cada iteração entre escavação e aterro. Estes
valores são buscados da tabela de preços do SICRO2 e estão relacionados com o
material, a finalidade e a qualidade da compactação da camada a ser construída.
Estes valores estão distribuídos nos itens (DNIT, 2014):
- Compactação de aterros a 95% proctor normal;
- Compactação de aterros a 100% proctor normal;
- Construção de corpo de aterro em rocha;
- Compactação de camada final de aterro de rocha;
- Compactação de camada final de aterro de rocha BC;
- Compactação de material de “bota-fora”.
85
TAB. 4.3 – Custo unitário por m³ dos serviços de compactação de camadas aterradas
Custo unitário por m³ do serviço de compactação por finalidade da camada de aterro
A1 A2 … An
P1 M11 M12 … M1n
P2 M21 M22 … M2n
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Mm1 Mm2 … Mmn
A TAB. 4.4 apresenta o custo unitário Nij por m³ do momento extraordinário de
transporte. O momento extraordinário de transporte só é calculado quando a DMT
extrapola a faixa de valores contemplados para a categoria do material na tabela do
SICRO2. Quando isto ocorre, o excesso da DMT em relação ao valor limite para o
material na tabela do SICRO2 é pago por t.km (tonelada x quilômetro). Desta forma,
como o custo é unitário, não é necessário converter o volume em peso, bastando
multiplicar a densidade deste material pela distância excedente a faixa de DMT, ou
seja, este valor é o produto do peso em toneladas de 1 m³ do material escavado
pelo excedente em quilômetros, além da faixa da DMT, que serão percorridos,
multiplicando pelo custo unitário de transporte.
TAB. 4.4 – Custo unitário por m³ do transporte extraordinário entre cortes e aterros
Custo unitário por m³ do transporte extraordinário entre cortes e aterros
A1 A2 … An
P1 N11 N12 … N1n
P2 N21 N22 … N2n
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Nm1 Nm2 … Nmn
A TAB. 4.4 apresenta o custo unitário Oij por m³ de indenização por aquisição de
material de empréstimo. Este custo é variável de acordo com a região e a economia
local de onde este material será escavado. Em algum caso específico ou em um
projeto onde a disponibilidade de materiais de boa qualidade não é satisfatória, esta
aquisição representará uma parcela significativa no custo final da obra. Nesta tabela
também poderão ser incluídos os custos devidos à ampliação de dispositivos de
drenagem quando for necessário um empréstimo ou um bota-fora lateral.
86
TAB. 4.5 – Custo unitário por m³ de indenização por aquisição de material de empréstimo
Custo unitário por m³ de indenização por aquisição de material de empréstimo
A1 A2 … An
P1 O11 O12 … O1n
P2 O21 O22 … O2n
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Om1 Om2 … Omn
A TAB. 4.6 apresenta os valores encontrados pelo solucionador, representados
pelas variáveis de decisão Xij para as iterações entre cortes e aterros obrigatórios.
As variáveis de decisão Xij são as quantidades de material que serão transportados
da escavação Pi ao aterro Aj. Esta tabela também descreve as equações das
restrições para as escavações dos cortes obrigatórios ao final de cada linha e as
equações de restrição dos aterros obrigatórios ao final de cada coluna. A equação
de restrição do corte obrigatório Pi indica que a somatória das variáveis de decisão X
da linha i deve ser igual ao volume Q do corte Pi. A equação de restrição do aterro
obrigatório Aj indica que a somatória das variáveis de decisão X da coluna j deve ser
igual ao volume D do aterro Aj.
TAB. 4.6 – Distribuição dos materiais entre cortes e aterros
Distribuição dos materiais entre os cortes e aterros
A1 A2 … An
P1 X11 X12 … X1n ∑ X1j = Q(P)1
n
𝑗=1
P2 X21 X22 … X2n ∑ X2j = Q(P)2
n
𝑗=1
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Xm1 Xm2 … Xmn ∑ Xmj = Q(P)m
n
𝑗=1
∑ Xi1 = D(A)1
m
𝑖=1
∑ Xi2 = D(A)2
m
𝑖=1
… ∑ Xin = D(A)n
m
𝑖=1
A TAB. 4.7 apresenta os valores encontrados pelo solucionador, representados
pelas variáveis de decisão Xij para as iterações entre os empréstimos e os aterros
obrigatórios. As variáveis de decisão Xij são as quantidades de material que serão
87
transportados do empréstimo Ei ao aterro Aj. Esta tabela também descreve as
equações das restrições para as escavações dos empréstimos ao final de cada linha
e as equações de restrição dos aterros obrigatórios ao final de cada coluna. A
equação de restrição do empréstimo Ei indica que a somatória das variáveis de
decisão X da linha i deve ser menor ou igual ao volume Q do empréstimo Ei. A
equação de restrição do aterro obrigatório Aj indica que a somatória das variáveis de
decisão X da coluna j deve ser igual ao volume D do aterro Aj.
A TAB. 4.8 apresenta os valores encontrados pelo solucionador, representados
pelas variáveis de decisão Xij para as iterações entre cortes obrigatórios os bota-
foras. As variáveis de decisão Xij são as quantidades de material que serão
transportados da escavação Pi ao bota-fora Bj. Esta tabela também descreve as
equações das restrições para as escavações dos cortes obrigatórios ao final de cada
linha e as equações de restrição dos bota-foras ao final de cada coluna. A equação
de restrição do corte obrigatório Pi indica que a somatória das variáveis de decisão X
da linha i deve ser igual ao volume Q do corte Pi. A equação de restrição do bota-
fora Bj indica que a somatória das variáveis de decisão X da coluna j deve ser menor
ou igual ao volume D do bota-fora Bj.
TAB. 4.7 – Distribuição dos materiais entre empréstimos e aterros
Distribuição dos materiais entre os empréstimos e aterros
A1 A2 … An
E1 X11 X12 … X1n ∑ X1j ≤ Q(E)1
n
𝑗=1
E2 X21 X22 … X2n ∑ X2j ≤ Q(E)2
n
𝑗=1
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Em Xm1 Xm2 … Xmn ∑ Xmj ≤ Q(E)m
n
𝑗=1
∑ Xi1 = D(A)1
m
𝑖=1
∑ Xi2 = D(A)2
m
𝑖=1
… ∑ Xin = D(A)n
m
𝑖=1
88
TAB. 4.8 – Distribuição dos materiais entre cortes e bota-foras
Distribuição dos materiais entre os cortes e botaforas
B1 B2 … Bn
P1 X11 X12 … X1n ∑ X1j = Q(P)1
n
𝑗=1
P2 X21 X22 … X2n ∑ X2j = Q(P)2
n
𝑗=1
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Pm Xm1 Xm2 … Xmn ∑ Xmj = Q(P)m
n
𝑗=1
∑ Xi1 ≤ D(B)1
m
𝑖=1
∑ Xi2 ≤ D(B)2
m
𝑖=1
… ∑ Xin ≤ D(B)n
m
𝑖=1
A FO calcula a soma dos produtos das quantidades pelos custos de escavação,
carga e transporte; quantidades pelos custos de construção e compactação de
aterro; quantidades pelos custos de momento extraordinário de transporte; e,
quantidades pelos custos de indenização por aquisição de empréstimos. O modelo
de otimização tem finalidade de minimizar a FO sob as restrições atribuídas.
Em síntese, a FO busca minimizar os custos do produto de quantidades por
preços unitários. Bases de dados diferentes do SICRO2 apresentarão composições
de serviços diferentes. Quando isto acontecer, o mais didático é que se elabore uma
tabela de custos unitários para cada serviço relacionado à quantidade de materiais
distribuídos. Cada tabela de custo unitário equivale a uma parcela da FO, como
poderá ser visto ao longo da próxima seção.
Esta segunda tentativa, inicialmente feita em um modelo reduzido utilizando o
complemento SOLVER do MS Excel, depois remodelada para problemas maiores,
utilizando o MS Excel, o MPL e o CoinMP, atingiu o objetivo de distribuir os materiais
com o menor custo e atendeu a expectativa de automação da distribuição dos
materiais, estando pronta para ser aplicada a um problema real com grandes
quantidades de variáveis de decisão e restrições.
4.4 MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA A DISTRIBUIÇÃO DE
MATERIAIS
89
Por se tratar de um modelo simbólico de PO, antes de apresentar a modelagem
matemática, é necessário criar uma convenção para os símbolos que representarão
os elementos e as variáveis do modelo. Parte desta convenção já foi apresentada no
item anterior e a seguir serão apresentados os demais elementos que comporão as
equações do modelo deste trabalho. Na sequência serão apresentadas as equações
da FO e das restrições do modelo. Ao final desta seção é apresentado o modelo
resumido de equações que compõe o problema de PL.
4.4.1 SIMBOLOGIA DO MODELO
i conjunto das escavações.
j conjunto dos aterros.
Ci,j custo unitário por m³ de escavação, carga e transporte por faixa de DMT
para cada categoria de material escavado.
Mi,j custo unitário por m³ de construção de aterro ou compactação de bota-
fora.
Ni,j custo unitário por m³ de transporte extraordinário por categoria de solo.
Oi,j custo unitário por m³ de indenização por aquisição de empréstimo.
Qi quantidade em m³ de material a ser escavado em um corte obrigatório
Pi, Si ou Ti, ou o volume disponível em um empréstimo Ei.
Dj volume em m³ de material necessário para construção de um aterro Aj,
camada final de terraplenagem Fj ou capacidade para receber material
em um bota-fora Bj.
4.4.2 VARIÁVEIS DE DECISÃO
Xij variáveis de decisão que representam as quantidades de material que
serão transportados das escavações (Pi, Si, Ti ou Ei) para as
construções dos aterros (Aj, Fj ou Bj).
90
4.4.3 FUNÇÃO OBJETIVO
A FO deste modelo de PL é de minimização, conforme equação descrita abaixo:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝐶𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑀𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑁𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑂𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
EQ. 4.2
Onde a primeira parcela representa o somatório do produto das quantidades de
materiais transportados pelo custo de escavação carga e transporte; a segunda
parcela representa o somatório do produto das quantidades de materiais
transportados pelo custo de construção e compactação dos aterros; a terceira
parcela representa o somatório do produto das quantidades de materiais
transportados pelo custo do momento extraordinário de transporte onde a iteração
tiver uma DMT acima da faixa contemplada pelo SICRO2; e, a quarta parcela
representa o somatório do produto das quantidades de materiais transportados pelo
custo de indenização por aquisição de empréstimo.
Uma forma resumida de se reescrever a equação da FO pode ser vista na EQ.
4.3 onde é realizado o somatório do produto da quantidade de materiais pela soma
dos custos unitários. Em termos didáticos para visualização e tratamento dos dados
individualmente, é conveniente que o desenvolvimento do trabalho considere a
forma da EQ. 4.2.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 ×
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
(𝐶𝑖,𝑗 + 𝑀𝑖,𝑗 + 𝑁𝑖,𝑗 + 𝑂𝑖,𝑗) EQ. 4.3
4.4.4 RESTRIÇÕES
A seguir são apresentadas e descritas as restrições da FO deste trabalho que
compõem o problema de PL.
91
A EQ.4.4 apresenta a restrição quanto ao volume de material a ser escavado
nos cortes obrigatórios, que descreve que o volume de cada corte obrigatório Pi , Si
ou Ti deve ser escavado na sua totalidade.
∑ 𝑋𝑖,𝑗 = 𝑄𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑃𝑖 , 𝑆𝑖 𝑜𝑢 𝑇𝑖 EQ. 4.4
A EQ.4.5 apresenta a restrição quanto à quantidade de material disponível nos
empréstimos, que descreve que o volume disponível em cada empréstimo Ei pode
ser utilizado, caso haja a necessidade e ofereça uma boa relação de custo/benefício,
até o limite total de volume cubado.
∑ 𝑋𝑖,𝑗 ≤ 𝑄𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐸𝑖 ,
𝑛
𝑗=1
EQ. 4.5
A EQ.4.6 apresenta a restrição quanto ao volume necessário para construção
dos aterros e das camadas finais, que descreve que o volume de cada aterro Aj e de
cada camada final Fj deve ser executado na sua totalidade.
∑ 𝑋𝑖,𝑗 = 𝐷𝑗
𝑚
𝑖=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐴𝑗 𝑜𝑢 𝐹𝑗 EQ. 4.6
A EQ.4.7 apresenta a restrição quanto à capacidade de depósito dos bota-foras,
que descreve que a soma dos volumes descartados em cada bota-fora Bj não deve
exceder ao volume limite de sua capacidade.
∑ 𝑋𝑖,𝑗 ≤ 𝐷𝑗
𝑚
𝑖=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐵𝑗 EQ. 4.7
A EQ.4.7 apresenta a restrição de não negatividade, que descreve que os
volumes de material encontrados pelo solucionador nunca devem ser negativos.
𝑋𝑖,𝑗 ≥ 0 EQ. 4.8
4.4.5 MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR RESUMIDO
Conforme equações apresentadas acima, o modelo de PL pode ser resumido da
seguinte maneira:
92
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝐶𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑀𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑁𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
+ ∑ ∑ 𝑋𝑖,𝑗 × 𝑂𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
EQ. 4.2
Sujeito a:
∑ 𝑋𝑖,𝑗 = 𝑄𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑃𝑖 , 𝑆𝑖 𝑜𝑢 𝑇𝑖 EQ. 4.4
∑ 𝑋𝑖,𝑗 ≤ 𝑄𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐸𝑖 EQ. 4.5
∑ 𝑋𝑖,𝑗 = 𝐷𝑗
𝑚
𝑖=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐴𝑗 𝑜𝑢 𝐹𝑗 EQ. 4.6
∑ 𝑋𝑖,𝑗 ≤ 𝐷𝑗
𝑚
𝑖=1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐵𝑗 EQ. 4.7
𝑋𝑖,𝑗 ≥ 0 EQ. 4.8
4.5 CÓDIGO DO MODELO NA LINGUAGEM MPL
No apêndice 4 é apresentado e descrito o código fonte do modelo elaborado na
linguagem de programação matemática MPL. Em seguida, o código fonte completo
é apresentado de forma contínua. O modelo de programação é apresentado por
partes onde os trechos do código fonte são mostrados com o estilo de fonte de texto
puro e sem formatação, para diferenciar do restante da redação deste trabalho e
caracterizar a indentação. As partes do código de programação MPL são:
TITLE espaço reservado a inserir o título do modelo;
OPTIONS espaço reservado para identificar bases de dados opcionais;
INDEX espaço reservado à definição das variáveis do modelo através
de índices;
DATA espaço reservado à entrada de dados do modelo;
VARIABLES espaço reservado à declaração de variáveis do modelo;
MACROS espaço reservado ao tratamento dos dados do modelo;
MODEL espaço reservado à declaração da função objetivo;
SUBJECT TO espaço reservado à declaração das restrições;
93
BOUNDS espaço reservado à definição de limites superior e inferior sobre
as variáveis do modelo;
END declaração de finalização do código do modelo.
A principal vantagem observada durante a modelagem em MPL foi a capacidade
de combinação de vetores que possibilitou reduzir o número de variáveis de decisão
do modelo.
Durante a modelagem, na seção INDEX, foram atribuídos dois vetores
principais, um destinado a identificar todas as escavações, denominado “corte”, e
outro destinado a todos os aterros, denominado “aterro”. O cruzamento destes dois
grandes vetores deu origem a matriz “QuantMat” que combina todas as escavações
com todos os aterros possíveis dentro do modelo, conforme declaração
“QuantMat[corte,aterro]”. Esta matriz define a posição (ou o endereço) das iterações
que deverão ocorrer, conforme planilhas elaboradas anteriormente no MS Excel
para a entrada de dados.
Mas isto ainda não é suficiente, pois é preciso que o MPL diferencie cada grupo
de escavação e cada grupo de aterro. Diante disto, foram definidos quatro vetores
derivados do vetor “corte” e quatro vetores derivados do vetor “aterro”.
Dentro do vetor “corte”, o vetor “matcaterro[corte]” lista todos os materiais que
podem compor a construção de um corpo de aterro; o vetor “matcfinal[corte]” lista
apenas os materiais que podem compor a construção de camada final; o vetor
“matbfora[corte]” lista todos os materiais que podem ser destinados aos bota-foras,
ou seja, lista todos os cortes obrigatórios; e, o vetor “emprestimo[corte]” lista a
relação de empréstimos.
Dentro do vetor “aterro”, o vetor “caterro[aterro]” lista a relação de corpos de
aterro a serem construídos; o vetor “cfinal[aterro]” lista a relação de camadas finais a
serem construídas; o vetor “botafora[aterro]” lista a relação de locais para bota-fora;
e, o vetor “vaterro[aterro]” lista a relação de corpos de aterros e camadas finais a
serem construídos.
A combinação destes sub-vetores possibilitará definir apenas as variáveis
referente a iterações válidas, deixando de criar, por exemplo, a iteração entre
materiais escavados de qualidade inferior com camadas de aterro que exigem uma
qualidade superior a do material disponibilizado. Também deixará de considerar
94
iterações entre empréstimos e bota-foras. Isto é uma grande contribuição para a
redução do número de variáveis de decisão do modelo.
A combinação do vetor “matcaterro[corte]” com o vetor “caterro[aterro]” definirá
na seção VARIABLES a matriz “QtdCAterro[corte,aterro]” que dará origem apenas
às variáveis de decisão referentes as quantidades de material que poderão ser
destinadas em cada iteração para a construção de cada corpo de aterro.
A combinação dos vetores “matcfinal[corte]” e “cfinal[aterro]” definirá na seção
VARIABLES a matriz “QtdCFinal[corte,aterro]” que dará origem apenas às variáveis
de decisão referentes as quantidades de materiais que poderão ser destinadas em
cada iteração para a construção de cada camada final.
A combinação dos vetores “matbfora[corte]” e “botafora[aterro]” definirá na seção
VARIABLES a matriz “QtdBFora[corte,aterro]” que dará origem apenas às variáveis
de decisão referentes às quantidades de materiais que poderão ser destinadas em
cada iteração para a construção de cada bota-fora.
Outra participação fundamental da criação destes sub-vetores está na
declaração das restrições do modelo de otimização. Na seção DATA, o vetor
“matbfora[corte]” foi utilizado para criar o vetor “VolCorte[matbfora]” que carregou os
volumes de cada corte obrigatório. Na seção SUBJECT TO foi indicado que a
restrição “TotalCorte[matbfora]” (que é o somatório das quantidades de cada
elemento do vetor “matbfora[corte]” nas matrizes de variáveis de decisão
“QtdCAterro[aterro]”, “QtdCFinal[aterro]” e “QtdBFora[aterro]” dentro da matriz
“QuantMat”) devem ser iguais às quantidades do vetor “VolCorte[matbfora]”; ou seja,
foi indicado que os cortes obrigatórios devem ser executados na sua totalidade,
verificando apenas as iterações válidas para o problema. Visualizando em planilha,
pode-se dizer que esta restrição verifica se o somatório de cada linha de escavação
é igual ao volume a ser escavado.
Ainda na seção DATA, o vetor “vaterro[aterro]” foi utilizado para criar o vetor
“VolAterro[vaterro]” que carregou os volumes de cada de aterro ou camada final. Na
seção SUBJECT TO foi indicado que a restrição “TotalAterro[vaterro]” (que é o
somatório das quantidades de cada elemento do vetor “vaterro[aterro]” nas matrizes
de variáveis de decisão “QtdCAterro[corte]”, “QtdCFinal[corte]” e “QtdBFora[corte]”
dentro da matriz “QuantMat”) devem ser iguais as quantidades do vetor
“VolAterro[vaterro]”; ou seja, foi indicado que as construções de aterros e camadas
95
finais obrigatórias devem ser executados na sua totalidade, verificando apenas as
iterações válidas para o problema. Visualizando em planilha, pode-se dizer que esta
restrição verifica se o somatório de cada coluna de aterro é igual ao volume a ser
aterrado.
Continuando na seção DATA, o vetor “emprestimo[corte]” foi utilizado para criar
o vetor “VolEmprestimo[emprestimo]” que carregou a capacidade em volume de
cada empréstimo disponível. Na seção SUBJECT TO foi indicado que a restrição
“TotalEmprestimo[emprestimo]” (que é o somatório das quantidades de cada
elemento do vetor “emprestimo[corte]” nas matrizes de variáveis de decisão
“QtdCAterro[aterro]”, “QtdCFinal[aterro]” e “QtdBFora[aterro]” dentro da matriz
“QuantMat”) devem ser menores ou iguais as quantidades do vetor
“VolEmprestimo[emprestimo]”; ou seja, foi indicado que os empréstimos disponíveis
podem ser explorados até o limite de sua capacidade, verificando apenas as
iterações válidas para o problema. Visualizando em planilha, pode-se dizer que esta
restrição verifica se o somatório de cada linha de escavação de empréstimo é menor
ou igual ao volume disponível para ser escavado.
Finalizando a seção DATA, o vetor “botafora[aterro]” foi utilizado para criar o
vetor “VolBotafora[botafora]” que carregou a capacidade em volume de cada bota-
fora. Na seção SUBJECT TO foi indicado que a restrição “TotalBotafora[botafora]”
(que é o somatório das quantidades de cada elemento do vetor “botafora[aterro]” nas
matrizes de variáveis de decisão “QtdCAterro[corte]”, “QtdCFinal[corte]” e
“QtdBFora[corte]” dentro da matriz “QuantMat”) devem ser menores ou iguais as
quantidades do vetor “VolBotafora[botafora]”; ou seja, foi indicado que as
construções dos bota-foras devem ser executados até o limite de sua capacidade,
verificando apenas as iterações válidas para o problema. Visualizando em planilha,
pode-se dizer que esta restrição verifica se o somatório de cada coluna de aterro é
menor ou igual à capacidade do bota-fora.
A programação deste modelo em MPL é bastante simples do ponto de vista da
pesquisa operacional, porém, do ponto de vista da engenharia de estradas, este
modelo de otimização é bem prático e auxiliará na solução de um problema que
pode ser transformado, de forma simples, em um sistema linear com um grande
número de variáveis e equações, possível de ser resolvido matematicamente.
96
A precisão do resultado deste modelo está condicionada à precisão e
quantidade de dados utilizados para abastecê-lo. De nada adiantará sua aplicação
se as informações necessárias forem obtidas de forma precária, imprecisas ou
insuficientes. Quanto maior a riqueza de detalhes levantados do projeto de
geometria e da caracterização dos materiais, mais representativo da realidade o
resultado será.
No capítulo seguinte algumas aplicações deste modelo serão apresentadas. No
capítulo posterior os resultados obtidos serão analisados e comentados.
97
5 APLICAÇÕES DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO
Neste capítulo será apresentada a aplicação do modelo de programação linear
desenvolvido no capítulo anterior, baseado na revisão bibliográfica apresentada nos
capítulos 2 e 3. A aplicação será demonstrada em dois exemplos denominados em
estudo reduzido e estudo expandido, ambos referentes ao mesmo trecho de projeto.
O estudo reduzido consiste em aplicar o modelo de otimização com no máximo
300 variáveis de decisão e no máximo 300 restrições, limitações da versão para
estudantes do “MPL for Windows” e do solucionador CPLEX 300. Para isto, os
volumes dos segmentos de escavação e aterro foram acumulados em trechos com
até 6 estacas de extensão (120 metros).
O estudo expandido será aplicado sem a preocupação de quantas variáveis de
decisão ou restrições o modelo vai gerar. Os volumes dos segmentos de escavação
e aterro serão avaliados de estaca a estaca, reduzindo a extensão por segmento em
20 metros. Nesta aplicação do modelo será gerado um número muito maior de
variáveis de decisão e de restrições para o mesmo trecho do estudo reduzido.
Consequentemente, a precisão das DMTs será muito maior que na aplicação
anterior, tendendo a melhorar os resultados obtidos. Nesta aplicação a versão do
“MPL for Windows” e o solucionador “CoinMP” não apresentam limitações quanto ao
número de variáveis de decisão ou de restrições.
Em diversas simulações de comparação, tanto o CPLEX 300 quanto o CoinMP,
encontraram exatamente o mesmo valor para a função objetivo. O CPLEX 300 tem a
vantagem de apresentar os dados para análise de pós-otimização completos e
precisos. Como desvantagem, o CPLEX 300 é restrito a 300 variáveis de decisão e
300 restrições, impossibilitando seu uso para a demonstração do modelo expandido.
O CoinMP tem a vantagem de ser um software de código livre e não possuir
limitação de variáveis de decisão e restrições, porém, não apresenta todos os dados
para análise de pós otimização. Esta desvantagem impede a demonstração
completa de como interpretar os intervalos em que o modelo poderá sofrer
alterações sem que a estrutura da solução ótima mude, ou seja, sem que a posição
das quantidades encontradas seja alterada para outras iterações.
98
As matrizes da aplicação inicial do modelo de otimização de terraplenagem
utilizando o MS Excel e o SOLVER estão apresentadas no apêndice 1.
Com os resultados destas duas aplicações e da aplicação constante do
apêndice 1, no capítulo seguinte poderá ser feito um comparativo dos resultados
otimizados em função do custo unitário por serviço com o resultado do projeto
elaborado em função do momento de transporte.
Para estas aplicações do modelo de otimização de distribuição de materiais de
terraplenagem, foram utilizados dados de um trecho de uma rodovia que foi
construída no estado do Rio de Janeiro.
O trecho selecionado tem aproximadamente 1,68 km de extensão em pista
dupla. Para possibilitar a comparação do resultado do modelo otimizado em função
do menor custo com o que foi projetado pelo método convencional em função do
menor momento de transporte, o critério para a escolha deste trecho foi que os
volumes a serem analisados deveriam estar todos contidos em um segmento
contínuo da distribuição dos materiais, não havendo iteração com outros trechos.
É importante frisar que o lote do projeto de onde este trecho foi selecionado
possui aproximadamente 20 km de extensão, diversas interseções e vários trechos
possuem vias locais (ou vias marginais) adjacentes. Os dados da cubação não
correspondem à primeira versão deste projeto e podem ter sofrido alguma
adequação durante a execução da obra por interferências ou condicionantes que
não foram previstas em projeto. Durante a pesquisa e solicitação de dados para
estudo, o “as built” da obra não estava disponível. O responsável pela consultoria
pediu que, se possível, a obra não seja identificada.
Os dados utilizados para esta aplicação do modelo proposto foram os volumes
das escavações e dos aterros obtidos da planilha de cubação do projeto; os
resultados dos ensaios de CBR e expansão foram obtidos do relatório de estudos
geotécnicos; e, os dados dos empréstimos e bota-foras mais próximos ao trecho
selecionado. No relatório deste projeto consta que a distribuição de materiais de
terraplenagem foi elaborada pelo método de Brückner, sendo fornecida apenas a
planilha de distribuição. A planilha de custos unitários do SICRO 2 utilizada para a
aplicação do modelo e depois para a comparação com os dados obtidos do projeto
foi a de setembro de 2014 com desoneração, o que certamente apresentará um
valor diferente daquele considerado no período de projeto e do valor durante a
99
execução da obra. Os valores utilizados para o preenchimento dos custos foram
buscados da tabela de custos unitários do SICRO-2, com desoneração, de setembro
de 2014, seção 2 – construção rodoviária, páginas 7, 8, 9 e 41, conforme Anexo 1.
A aplicação deste modelo não tem a finalidade de elaborar o orçamento da obra,
pois este é composto por vários outros itens e não é o objeto deste trabalho. Diante
disto, a utilização do custo unitário dos serviços é apenas um critério para a decisão
da alternativa de projeto que se está avaliando.
Na primeira aplicação, as tabelas de entrada de dados e apresentação dos
parâmetros de sensibilidade através do MS Excel são apresentadas no apêndice 2,
demonstrando que preservando os nomes definidos para os vetores de dados, nome
da planilha e nome do arquivo, não há a necessidade de qualquer adequação no
código do modelo MPL.
Na segunda aplicação as tabelas modeladas no MS Excel são omitidas por se
tornarem muito extensas para serem apresentadas aqui. Todas as tabelas são
apresentadas no apêndice 3.
5.1 APLICAÇÃO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO PARA O ESTUDO REDUZIDO
Com o intuito de manter o número de variáveis de decisão dentro da capacidade
de trabalho da versão para estudantes do MPL de 300 variáveis, os volumes de
cada maciço foram acumulados com até 6 estacas, em média, o que resulta numa
extensão média de até 120 metros por maciço de material considerado.
5.1.1 IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
A matriz de escavações e aterros deste trecho resultou em um total de 441
iterações da combinação de 21 escavações com 21 aterros.
As 21 escavações são compostas por 17 escavações de material de 1ª
Categoria, 1 escavação de 2ª Categoria, 1 escavação de 3ª Categoria e 2
100
empréstimos de material de 1ª Categoria. Os 21 aterros são compostos por 9
maciços de corpos de aterro, 9 maciços de camada final de terraplenagem e 3 bota-
foras. A relação destes maciços, bem como os respectivos centros de massa,
volumes, extensão adicional de acesso a empréstimos ou bota-fora e custo unitário
de indenização são apresentadas nas matrizes constantes da FIG. 5.1 para as
escavações e da FIG. 5.2 para os aterros. No MS Excel, foram definidos os nomes
“Corte” e “Aterro”, respectivamente, para o intervalo de dados de cada uma destas
matrizes, o que possibilitará o MPL fazer sua leitura e interpretação.
FIG. 5.1 – Quadro das escavações: estudo reduzido
CM km Vol. Acesso CInde
PD P1 27.699,76 59,70 0,0 0,0
PD P2 27.731,67 3,50 0,0 0,0
PD P3 27.992,22 34.781,80 0,0 0,0
PD P4 28.118,29 143,40 0,0 0,0
PD P5 28.455,81 22.700,50 0,0 0,0
PD P6 28.511,96 36.853,20 0,0 0,0
PD P7 28.582,94 70.261,50 0,0 0,0
PD P8 28.650,45 41.540,74 0,0 0,0
PD P9 28.750,94 737,50 0,0 0,0
PE P10 27.586,33 6.202,50 0,0 0,0
PE P11 27.622,58 17.144,50 0,0 0,0
PE P12 27.686,22 54.441,60 0,0 0,0
PE P13 27.945,81 26.906,80 0,0 0,0
PE P14 28.417,83 42.214,40 0,0 0,0
PE P15 28.539,20 47.083,08 0,0 0,0
PE P16 28.630,89 97.750,30 0,0 0,0
PE P17 28.730,0 1.021,0 0,0 0,0
PD S1 27.450,0 286,70 0,0 0,0
PD T1 27.450,0 95,55 0,0 0,0
CC E9 26.400,0 144.025,0 150,0 0,05
CC E10 29.060,0 90.503,0 200,0 0,10
Corte
101
FIG. 5.2 – Quadro das construções de aterros: estudo reduzido
Por se tratar de um trecho em pista dupla e para facilitar a interpretação dos
dados pelo usuário, a primeira coluna de cada quadro apresenta a identificação “PD”
para elementos da pista direita e “PE” para elementos da pista esquerda. Ainda com
este mesmo objetivo de facilidade de leitura dos dados, foi atribuída a cor vermelha
para materiais que deverão ser encaminhados para bota-fora ou para os bota-foras,
cor preta para materiais que só servem para a construção de corpo de aterro ou
para os corpos de aterro e cor azul para materiais que servem para a construção de
camada final de terraplenagem ou para as camadas finais de terraplenagem.
Os critérios adotados para a seleção dos materiais destinados a construção das
camadas de aterro são apresentados na TAB. 5.1.
TAB. 5.1 – Parâmetros geotécnicos para seleção dos materiais.
PARÂMETROS GEOTÉCNICOS PARA SELEÇÃO DOS MATERIAIS CBR EXPANSÃO
MATERIAL PARA SUBLEITO E ACABAMENTO DE TERRAPLENAGEM DE CORTES E ATERROS
>8% <2%
MATERIAL UTILIZADO PARA CORPO DE ATERRO >4% <2%
MATERIAL UTILIZADO COMO MIOLO DE ATERRO (MATERIAL CONFINADO)
>4% <4%
MATERIAL DESTINADO A BOTA FORA ≤4% ≥4%
CM km Vol. Acesso CInde
PD A1 27.621,99 160.739,86 0,0 0,0
PD A2 28.184,18 28.696,76 0,0 0,0
PD A3 28.354,74 24.891,71 0,0 0,0
PD A4 28.881,57 32.501,70 0,0 0,0
PE A5 27.477,09 70.861,61 0,0 0,0
PE A6 27.824,74 28.037,66 0,0 0,0
PE A7 28.123,82 61.926,63 0,0 0,0
PE A8 28.313,09 21.852,01 0,0 0,0
PE A9 28.826,42 33.060,25 0,0 0,0
PD F1 27.690,0 4.719,12 0,0 0,0
PD F2 28.150,0 1.573,04 0,0 0,0
PD F3 28.366,70 851,51 0,0 0,0
PD F4 28.884,95 2.686,64 0,0 0,0
PE F5 27.500,20 2.067,65 0,0 0,0
PE F6 27.807,19 1.553,65 0,0 0,0
PE F7 28.102,91 1.968,70 0,0 0,0
PE F8 28.318,75 586,41 0,0 0,0
PE F9 28.844,08 2.140,41 0,0 0,0
PD B13 24.430,0 60.587,26 0,0 0,0
PE B14 29.430,0 59.418,0 0,0 0,0
PD B15 29.430,0 59.418,0 0,0 0,0
Aterro
102
Os vetores que o MPL utilizará para classificar as escavações e os aterros são
apresentados na TAB. 5.2 para as escavações e TAB. 5.3 para os aterros. É
interessante reservar uma sequência de células contínua e independente, em linha
ou em coluna, para cada um destes vetores na planilha de trabalho do MS Excel,
onde cada célula vai receber a identificação de apenas um único segmento de
escavação ou aterro.
TAB. 5.2 – Nomes dos vetores das escavações
ESCAVAÇÕES
MatCAterro P1, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P10, P11, P12, P13, P14, P15, P16, P17, S1, T1, E9, E10
MatCFinal P3, P5, P7, P10, P12, P17, E9, E10
MatBFora P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, P15, P16, P17, S1, T1
MatEmprestimo E9, E10
TAB. 5.3 – Nomes dos vetores dos aterros
ATERROS
CAterro A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9
CFinal F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9
CBotaFora B13, B14, B15
VAterro A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9
5.1.2 ENTRADA DOS DADOS
Por se tratar de um trecho em pista dupla, as referências de estaca ou
quilometragem para os estudos geotécnicos, empréstimos e bota-foras foram
adotadas em relação ao eixo central. Como existem curvas para ambos os lados, é
de se esperar que haja um desencontro de estaqueamento entre os eixos da pista
direita, central e da pista esquerda. No trecho selecionado, foi observado que este
desencontro estava com aproximadamente uma estaca de 20 metros da pista direita
para o eixo central e de aproximadamente uma estaca de 20 metros do eixo central
para a pista esquerda. Para que fosse possível montar a matriz de DMTs para cada
uma das 441 iterações, todo o estaqueamento das pistas direita e esquerda foi
103
aproximado do estaqueamento do eixo central. Para o centro de massa dos
elementos da pista direita foi adicionado mais 20 metros e para o centro de massa
dos elementos da pista esquerdas foi subtraído 20 metros. Após este ajuste, foi
aplicada a equação 4.1 para encontrar a DMT aproximada de cada iteração entre
escavação e aterro. A matriz de DMTs desta aplicação está apresentada no
apêndice 2, assim como as demais matrizes de entrada de dados desta aplicação,
descritas a seguir:
- Matriz de custos unitários por m³ de serviços de escavação carga e
transporte, conforme SICRO2. No MS Excel, foi definido o nome
“CustoEscava” para a região de dados desta matriz.
- Matriz dos custos unitários por m³ de construção de corpo de aterro, camada
final de terraplenagem e compactação de bota-fora, conforme SICRO2. No
MS Excel, foi definido o nome “CustoAterro” para a região de dados desta
tabela.
- Matriz dos custos unitários por m³ de momento extraordinário de transporte
são preenchidos. No MS Excel, foi definido o nome “CMExtra” para a região
de dados desta tabela.
- Matriz de entrada de dados é a de custos unitários por m³ de aquisição ou
indenização de jazidas e empréstimos. No MS Excel, foi definido o nome
“CInde” para a região de dados desta tabela. Estes custos também podem
representar valores devidos ao acréscimo de extensão de dispositivos de
drenagem durante a execução de um empréstimo por alargamento de corte
ou execução de um bota-fora lateral ao corpo de aterro. Foi atribuído um
pequeno valor de aquisição para os empréstimos deste modelo.
- Matriz dos custos totais por m³ de cada iteração que é a soma dos custos
unitários das informados nas matrizes listadas acima.
5.1.3 QUANTIDADES DE MATERIAIS DISTRIBUÍDAS PELO MODELO
A FIG. 5.3 apresenta as quantidades de material distribuídas pelo modelo de
otimização em MPL para cada iteração referente à construção de corpo de aterro.
104
As células deste intervalo de iterações receberam o nome de “CA_Qtd”, que foi o
local destinado a receber os dados encontrados pelo modelo MPL.
FIG. 5.3 – Matriz de quantidades de materiais destinados a construção de corpo de aterro
A FIG. 5.4 apresenta as quantidades de material distribuídas pelo modelo de
otimização em MPL para cada iteração referente à construção de camada final de
terraplenagem. As células deste intervalo de iterações receberam o nome de
“CF_Qtd”, que foi o local destinado a receber os dados encontrados pelo modelo
MPL.
FIG. 5.4 – Matriz de quantidades de materiais destinados a construção de camada final de terraplenagem
A FIG. 5.5 apresenta as quantidades de material distribuídas pelo modelo de
otimização em MPL para cada iteração referente à construção de bota-fora. As
células deste intervalo de iterações receberam o nome de “BF_Qtd”, que foi o local
destinado a receber os dados encontrados pelo modelo MPL
CA_Qtd Quantidades de Corpo de aterro
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 59,7 0 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 34781,8 0 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 143,4 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 19158,76 0 0
PD P6 0 0 0 0 10420,56 1130,86 25301,78 0 0
PD P7 7229,18 28696,76 0 966,81 0 0 0 21852,01 0
PD P8 0 0 0 31534,89 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 4134,85 0 0 0 0
PE P11 17144,5 0 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 54441,6 0 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 26906,8 0 0 0
PE P14 0 0 24891,71 0 0 0 17322,69 0 0
PE P15 47083,08 0 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 55923,95 0 0 0 33060,25
PE P17 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 286,7 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 95,55 0 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CF_Qtd Quantidades de Camada Final de Terraplenagem
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 1573,04 0 0 0 0 1968,7 0 0
PD P7 4719,12 0 851,51 2686,64 0 1553,65 0 586,41 1119,41
PE P10 0 0 0 0 2067,65 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0 0 1021
CC E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
105
FIG. 5.5 – Matriz de quantidades de materiais destinados aos bota-foras
5.1.4 DEFINIÇÕES DO MODELO MPL
A FIG. 5.6 apresenta as definições dos dados carregados e processados pelo
MPL, conforme sequência de itens da elaboração do código programado. Nestas
definições fica clara a redução de iterações processadas pelo modelo quando se
compara a quantidade de variáveis geradas pela matriz “QuantMat” na seção INDEX
com a quantidade de variáveis processadas na seção VARIABLE. Nesta última
seção foram processadas 171 variáveis de decisão relativas à construção de corpo
de aterro, definidas em “QtdCAterro” e constantes da FIG. 5.3; 72 variáveis de
decisão relativas a construção de camada final de terraplenagem, definidas em
“QtdCFinal” e constantes da FIG. 5.4; e, 57 variáveis de decisão relativas ao envio
de materiais para bota-fora, definidas em “QtdBFora” e constantes da FIG. 5.5. Este
modelo trabalhou com uma quantidade total de 300 variáveis de decisão.
BF_Qtd Quantidades de Botafora
Pista PD PE PD
Pista Cortes Aterros B13 B14 B15
PD P1 0 0 0
PD P2 0 0 3,5
PD P3 0 0 0
PD P4 0 0 0
PD P5 0 0 0
PD P6 0 0 0
PD P7 0 0 0
PD P8 0 10005,85 0
PD P9 0 737,5 0
PE P10 0 0 0
PE P11 0 0 0
PE P12 0 0 0
PE P13 0 0 0
PE P14 0 0 0
PE P15 0 0 0
PE P16 0 8766,1 0
PE P17 0 0 0
PD S1 0 0 0
PD T1 0 0 0
106
O número de restrições deste modelo resultou em 42 como pode ser visto na
seção CONSTRAINT, correspondendo à quantidade total da soma das escavações
e dos aterros.
FIG. 5.6 – Definições do Modelo MPL: estudo reduzido carregado do MS Excel
Como pode ser visto na FIG. 5.3, das 171 iterações possíveis, apenas 23
(13,45%) possuem valor positivo. Isto mostra que o aterro A1 foi composto por
materiais oriundos de 6 escavações; os aterros A2 e A3 de apenas 1 escavação
cada; o aterro A4 de 2 escavações; o aterro A5 de 5 escavações; o aterro A6 de 2
escavações; o aterro A7 de 4 escavações; e, os aterros A8 e A9 de 1 escavação
107
cada. Nesta tabela, também pode ser visto para quantos aterros cada escavação
forneceu material.
Na FIG.5.4, das 72 iterações possíveis, apenas 10 (13,89%) possuem valor
positivo, onde cada uma das camadas finais F1 até F8 receberam material de
apenas 1 escavação cada e a camada final F9 recebeu material das escavações P7
e P12. Pode ser visto também que a escavação P5 forneceu material para as
camadas finais F2 e F7; a escavação P7 forneceu material para 6 camadas finais; e,
as escavações P1 e P17 forneceram material para apenas 1 camada final cada.
Na FIG. 5.5, das 57 iterações possíveis, apenas 4 (7,02%) possuem valor
positivo, onde a escavação P2 descartou material de baixa qualidade no bota-fora
B15; P8 e P16 descartaram material excedente no bota-fora B14; e, P9 descartou
material de baixa qualidade no bota-fora B14.
Portanto, dentre as 441 iterações entre escavações e aterros e, das 300
variáveis de decisão, apenas 37 (12,33%) delas receberam valor positivo,
permanecendo as demais 263 nulas.
A FIG. 5.7 apresenta o resultado encontrado pelo solucionador CPLEX 300 para
a Função Objetivo do problema de minimização de custos da distribuição de
materiais de terraplenagem para o modelo reduzido onde o valor encontrado para os
serviços foi de R$4.047.744,28 (quatro milhões, quarenta e sete mil, setecentos e
quarenta e quatro reais e vinte e oito centavos).
Os solucionadores CoinMP, XA e Lindo (disponibilizados na versão acadêmica
do “MPL for Windows”) apresentaram o mesmo resultado para a função objetivo com
outra distribuição de materiais. Apenas o GUROBI apresentou exatamente a mesma
solução que o CPLEX 300. Destas respostas apresentadas pelos solucionadores,
pode-se tirar a primeira conclusão deste trabalho:
- Neste caso, o problema de otimização da distribuição de materiais de
terraplenagem resultou em um problema de programação linear com
múltiplas soluções ótimas.
Destes solucionadores apenas o CoinMP é um software de código livre, mas não
apresenta os limites inferior e superior para variação dos dados de análise de pós-
otimização. O XA foi disponibilizado na versão completa, apresentando os limites de
variação dos dados de análise de pós-otimização, porém, estes valores não
apresentaram coerência com as simulações de verificação realizadas. Diante disto,
108
optou-se por solucionar o problema com o CPLEX 300, que embora seja limitado a
300 variáveis de decisão, apresentou todas as informações necessárias e as
simulações realizadas para testar os limites de variação, indicados para as
restrições e coeficientes das variáveis de decisão, foram precisas.
FIG. 5.7 – Solução ótima encontrada pelo CPLEX 300 no MPL
A TAB. 5.4 apresenta os valores encontrados para o estudo reduzido de
otimização da distribuição de materiais de terraplenagem.
TAB. 5.4 – Valores encontrados para o estudo reduzido
RESULTADOS DO MODELO
Momento de Transporte: 222.609,35
CUSTO TOTAL DE DISTRIBUIÇÃO DE TERRAPLENAGEM: R$ 4.047.744,28
Custo da escavação, carga e transporte: R$ 2.739.340,37
Custo da Construção dos Aterros: R$ 1.308.403,92
Custo do Momento Extraordinário: R$ 0,00
Custo da Indenização do Empréstimo: R$ 0,00
5.1.5 MATRIZ DE RESULTADOS E DADOS DE PÓS-OTIMIZAÇÃO
A FIG. 5.8 apresenta as quantidades totais de material distribuídas pelo modelo
de otimização em MPL para cada iteração entre escavação e aterro (alimentada
109
pelos resultados das FIG. 5.3, FIG. 5.4 e FIG. 5.5). Nesta figura também pode ser
observada outra vantagem da integração do MPL com o MS Excel, onde os
resultados de análise de pós-otimização referentes às restrições (lado direito do
modelo de PL) foram importados e dispostos junto às restrições na planilha. Para as
restrições dos aterros, os dados de análise de pós-otimização foram dispostos
abaixo da linha de somatório de cada coluna; para as restrições das escavações,
foram dispostos nas colunas seguintes ao somatório de cada linha.
Esta disposição dos resultados possibilitará uma leitura mais rápida e direta de
como a solução do problema está se comportando, facilitando a análise dos
resultados e a proposta de novas alternativas ao projeto.
FIG. 5.8 – Resultados da otimização do modelo reduzido
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 59,7 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 34781,8 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 143,4
PD P5 0 0 0 0 0 0 19158,76
PD P6 0 0 0 0 10420,56 1130,86 25301,78
PD P7 7229,18 28696,76 0 966,81 0 0 0
PD P8 0 0 0 31534,89 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 4134,85 0 0
PE P11 17144,5 0 0 0 0 0 0
PE P12 54441,6 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 26906,8 0
PE P14 0 0 24891,71 0 0 0 17322,69
PE P15 47083,08 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 55923,95 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 286,7 0 0
PD T1 0 0 0 0 95,55 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 160.739,86 28.696,76 24.891,71 32.501,70 70.861,61 28.037,66 61.926,63
= = = = = = =
160.739,86 28.696,76 24.891,71 32.501,70 70.861,61 28.037,66 61.926,63
160739,86 28696,76 24891,71 32501,7 70861,61 28037,66 61926,63
0 0 0 0 0 0 0
0,94 -0,35 -3,98 -0,35 1,31 0,55 0,12
160739,86 28696,76 24891,71 32501,7 70861,61 28037,66 61926,63
153510,68 0 0 966,81 30953,06 26906,8 36624,85
161706,67 29663,57 33657,81 42507,55 79627,71 36803,76 70692,73
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
RHS Lower
RHS Upper
110
FIG. 5.8 – Resultados da otimização do modelo reduzido (continuação)
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros
A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 1573,04 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 21852,01 0 4719,12 0 851,51 2686,64 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 2067,65
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 33060,25 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 21.852,01 33.060,25 4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65
= = = = = = =
21.852,01 33.060,25 4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65
21852,01 33060,25 4719,12 1573,04 851,51 2686,64 2067,65
0 0 0 0 0 0 0
-0,35 -0,8 1,38 0,56 0,09 0,09 1,75
21852,01 33060,25 4719,12 1573,04 851,51 2686,64 2067,65
0 0 0 0 0 0 0
22818,82 41826,35 5685,93 10339,14 1818,32 3653,45 6202,5
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
RHS Lower
RHS Upper
111
FIG. 5.8 – Resultados da otimização do modelo reduzido (continuação)
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros
F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 3,5
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 1968,7 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 1553,65 0 586,41 1119,41 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 10005,85 0
PD P9 0 0 0 0 0 737,5 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 8766,1 0
PE P17 0 0 0 1021 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41 0,0 19.509,45 3,50
= = = = ≤ ≤ ≤
1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41 60.587,26 59.418,0 59.418,0
1553,65 1968,7 586,41 2140,41 0 19509,45 3,5
0 0 0 0 60587,26 39908,55 59414,5
1,38 0,56 0,09 0,09 0 0 0
1553,65 1968,7 586,41 2140,41 60587,26 59418 59418
0 0 0 1021 0 19509,45 3,5
2520,46 10734,8 1553,22 3107,22 1E+20 1E+20 1E+20
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
RHS Lower
RHS Upper
112
FIG. 5.8 – Resultados da otimização do modelo reduzido (continuação)
Na FIG. 5.8 a linha denominada “Atividade” corresponde ao somatório da coluna
referente a cada aterro que deve cumprir a restrição indicada pelo sinal e valor
indicado logo abaixo. As linhas denominadas “Activity”, “Slack”, “Shadow Price”,
“RHS Value”, “RHS Lower” e “RHS Upper” se referem aos dados de análise de pós-
otimização que o MPL exporta para o MS Excel. A TAB. 5.5 apresenta os nomes
definidos no MS Excel para cada um dos conjuntos de dados de cada uma destas
linhas:
TAB. 5.5 – Nomes dos dados de análise de pós-otimização das restrições: aterros
Linha de dados para análise de pós-otimização
Trecho das restrições dos corpos de aterro e camadas
finais de terraplenagem
Trecho das restrições dos bota-foras
“Activity”
(atividade da restrição) “R_A_Ac” “R_B_Ac”
“Slack”
(folga da restrição) “R_A_Sl” “R_B_Sl”
“Shadow Price”
(preço sombra da restrição) “R_A_SP” “R_B_SP”
“RHS Value”
(valor da restrição) “R_A_RhsV” “R_B_RhsV”
Pista
Pista Cortes Aterros
Atividade
PD P1 59,70 = 59,70 59,7 0 7,12 59,7 0 7288,88
PD P2 3,50 = 3,50 3,5 0 10,46 3,5 0 59418
PD P3 34.781,80 = 34.781,80 34781,8 0 7,57 34781,8 33814,99 42010,98
PD P4 143,40 = 143,40 143,4 0 4,29 143,4 0 25445,18
PD P5 22.700,50 = 22.700,50 22700,5 0 8,39 22700,5 13934,4 48002,28
PD P6 36.853,20 = 36.853,20 36853,2 0 8,86 36853,2 28087,1 76761,75
PD P7 70.261,50 = 70.261,50 70261,5 0 8,86 70261,5 69294,69 101796,4
PD P8 41.540,74 = 41.540,74 41540,74 0 8,86 41540,74 31534,89 81449,29
PD P9 737,50 = 737,50 737,5 0 8,86 737,5 0 40646,05
PE P10 6.202,50 = 6.202,50 6202,5 0 6,75 6202,5 2067,65 46111,05
PE P11 17.144,50 = 17.144,50 17144,5 0 3,47 17144,5 16177,69 24373,68
PE P12 54.441,60 = 54.441,60 54441,6 0 3,47 54441,6 53474,79 61670,78
PE P13 26.906,80 = 26.906,80 26906,8 0 7,51 26906,8 18140,7 28037,66
PE P14 42.214,40 = 42.214,40 42214,4 0 8,39 42214,4 33448,3 67516,18
PE P15 47.083,08 = 47.083,08 47083,08 0 8,86 47083,08 46116,27 54312,26
PE P16 97.750,30 = 97.750,30 97750,3 0 8,86 97750,3 88984,2 137658,9
PE P17 1.021,0 = 1.021,0 1021 0 8,41 1021 54,19 2140,41
PD S1 286,70 = 286,70 286,7 0 5,09 286,7 0 40195,25
PD T1 95,55 = 95,55 95,55 0 26,04 95,55 0 40004,1
CC E9 0,0 ≤ 144.025,0 0 144025 0 144025 0 1E+20
CC E10 0,0 ≤ 90.503,0 0 90503 0 90503 0 1E+20
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
Activity SlackRHS
LowerRHS Value
Shadow
Price
RHS
Upper
113
Linha de dados para análise de pós-otimização
Trecho das restrições dos corpos de aterro e camadas
finais de terraplenagem
Trecho das restrições dos bota-foras
“RHS Lower”
(limite inferior de variação da restrição sem que a estrutura da
solução ótima sofra variação)
“R_A_RhsL” “R_B_RhsL”
“RHS Upper”
(limite superior de variação da restrição sem que a estrutura da
solução ótima sofra variação)
“R_A_RHsU” “R_B_RHsU”
De forma análoga ao parágrafo anterior, a coluna denominada “Atividade”
corresponde ao somatório da linha referente a cada escavação que deve cumprir a
restrição indicada pelo sinal e valor indicado logo a seguir. As colunas denominadas
“Activity”, “Slack”, “Shadow Price”, “RHS Value”, “RHS Lower” e “RHS Upper” se
referem aos dados de análise de pós-otimização que o MPL exporta para o MS
Excel. A TAB. 5.6 apresenta os nomes definidos no MS Excel para cada um dos
conjuntos de dados de cada uma destas colunas:
TAB. 5.6 – Nomes dos dados de análise de pós-otimização das restrições: escavações
Coluna de dados para análise de pós-otimização
Trecho das restrições dos cortes obrigatórios de 1ª, 2ª
e 3ª Categorias
Trecho das restrições dos empréstimos
“Activity”
(atividade da restrição) “R_C_Ac” “R_E_Ac”
“Slack”
(folga da restrição) “R_C_Sl” “R_E_Sl”
“Shadow Price”
(preço sombra da restrição) “R_C_SP” “R_E_SP”
“RHS Value”
(valor da restrição) “R_C_RhsV” “R_E_RhsV”
“RHS Lower”
(limite inferior de variação da restrição sem que a estrutura da
solução ótima sofra variação)
“R_C_RhsL” “R_E_RhsL”
“RHS Upper”
(limite superior de variação da restrição sem que a estrutura da
solução ótima sofra variação)
“R_C_RHsU” “R_E_RHsU”
114
Outros dados que o MPL exportou para o MS Excel são os dados para análise
de pós-otimização relativos às variáveis de decisão e seus coeficientes. Estes dados
foram dispostos em matrizes com exatamente mesmas dimensões das matrizes
apresentadas nas FIG. 5.3, FIG. 5.4 e FIG. 5.5 que correspondem às quantidades
de materiais distribuídos para as construções de corpo de aterro, camada final de
terraplenagem e bota-fora, respectivamente. Estes dados são: “Activity”,
“ReduceCost”, “ObjectCoeff”, “ObjectLower” e “ObjectUpper”. A TAB. 5.7 apresenta
os nomes definidos no MS Excel para cada um dos conjuntos de dados de cada
uma das tabelas geradas, onde serão exibidos os resultados exportados pelo MPL
para o MS Excel.
TAB. 5.7 – Nomes para as matrizes de dados de análise de pós otimização referentes as variáveis de decisão
Dado para análise de pós-otimização Corpo de aterro Camada final de terraplenagem
Bota-fora
“Activity”
(atividade da variável de decisão) CA_Ac CF_Ac BF_Ac
“ReduceCost”
(Custo reduzido da variável de decisão) CA_RC CF_RC BF_RC
“ObjectCoeff”
(coeficiente da variável de decisão) CA_OC CF_OC BF_OC
“ObjectLower”
(limite inferior de variação do coeficiente da variável de decisão sem que a estrutura da solução ótima mude)
CA_OL CF_OL BF_OL
“ObjectUpper”
(limite superior de variação do coeficiente da variável de decisão sem que a estrutura da solução ótima mude)
CA_OU CF_OU BF_OU
Os dados para análise de pós-otimização “Activity” correspondem à atividade da
variável de decisão e os valores apresentados são exatamente iguais às
quantidades apresentadas para cada grupo de quantidades encontrado, já
apresentadas nas FIG. 5.3, FIG. 5.4 e FIG. 5.5.
As matrizes “CA_RC”, “CF_RC” e “BF_RC” correspondem aos dados para
análise de pós-otimização de custo reduzido para as variáveis de decisão, que
equivalem em quanto à função objetivo será reduzida caso seja adicionada uma
unidade desta variável.
115
As matrizes “CA_OC”, “CF_OC” e “BF_OC” correspondem aos dados para
análise de pós-otimização de coeficiente da variável de decisão, que são os custos
unitários totais para as quantidades de materiais encontradas.
As matrizes “CA_OL”, “CF_OL” e “BF_OL” correspondem aos dados para
análise de pós-otimização de limite inferior para a variação do coeficiente da variável
de decisão, que indicam em até qual valor o custo unitário total pode ser reduzido
sem que a estrutura da solução ótima sofra variação.
As matrizes “CA_OU”, “CF_OU” e “BF_OU” correspondem aos dados para
análise de pós-otimização de limite superior para a variação do coeficiente da
variável de decisão, que indicam em até qual valor o custo unitário total pode ser
acrescido sem que a estrutura da solução ótima sofra variação.
Nesta seção foi apresentada a aplicação do modelo de programação linear onde
o estudo de caso foi condensado para que o total de variáveis de decisão pudesse
ser solucionado no MPL pela versão para estudantes do solucionador CPLEX,
limitada a 300 variáveis de decisão e 300 restrições. Todas as tabelas de entrada de
dados foram modeladas no MS Excel com a finalidade de torná-la mais clara e
objetiva, e estão apresentadas no apêndice 2. Também foram apresentadas todas
as matrizes modeladas para receber os resultados da otimização, visando reduzir a
abstração que possa ter ao aplicar este modelo em outros problemas no futuro. No
apêndice 2, também são apresentadas as matrizes que receberam os valores dos
parâmetros de sensibilidade dos coeficientes das variáveis de decisão e é
apresentado o arquivo de solução do MPL para o problema do item 5.1.
Comparando as matrizes de resultados formatadas com o arquivo de solução, fica
claro a facilidade de interpretação dos dados que a planilha eletrônica proporciona.
Na próxima seção, este mesmo estudo de caso será tratado em dimensões
reais, não havendo nenhuma preocupação com o número de variáveis de decisão e
número de restrições que o problema vai gerar.
5.2 APLICAÇÃO DO MODELO DE OTIMIZAÇÃO PARA O ESTUDO EXPANDIDO
116
Nesta aplicação do modelo foram utilizados os dados do mesmo trecho
apresentado no item 5.1, porém, a otimização foi realizada com os volumes entre
estacas, assim como disponibilizados na planilha de cubação.
Neste modelo de otimização foram considerados 83 escavações, compostas por
78 escavações de material de 1ª categoria, 1 escavação de 2ª categoria, 1
escavação de 3ª categoria e 3 empréstimos. Também foi considerada a construção
de 102 corpos de aterros, 107 camadas finais e 3 bota-foras, totalizando 212 aterros.
A relação destes maciços, bem como os respectivos centros de massa, volumes,
extensão adicional de acesso a empréstimos ou bota-fora e custo unitário de
indenização são apresentados no apêndice 3, nas FIG. 9.8 e FIG. 9.9. No MS Excel
foram definidos os nomes “Corte” e “Aterro”, respectivamente, para o intervalo de
dados de cada uma destas matrizes, o que possibilitará o MPL fazer sua leitura e
interpretação.
Os vetores que o MPL utilizará para classificar as escavações e os aterros são
apresentados na TAB. 5.8 para as escavações e TAB. 5.9 para os aterros.
TAB. 5.8 – Nomes dos vetores das escavações: estudo expandido
ESCAVAÇÕES
MatCAterro
P1, P2, P3, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, P15, P16, P17, P18, P19, P20, P21, P22, P23, P24, P25, P26, P27, P28, P29, P30, P31, P32, P33, P34, P35, P36, P39, P40, P41, P42, P43, P44, P45, P46, P47, P48, P49, P50, P51, P52, P53, P54, P55, P56, P57, P58, P59, P60, P61, P62, P63, P64, P65, P66, P67, P68, P69, P70, P71, P72, P73, P74, P75, P76, P77, P78, S1, T1, E9, E10, E11
MatCFinal P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, P17, P18, P19, P20, P21, P26, P27, P28, P29, P39, P40, P43, P44, P45, P46, P47, P48, P49, P78, E9, E10, E11
MatBFora
P1, P2, P3, P4, P5 P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, P15, P16, P17, P18, P19, P20, P21, P22, P23, P24, P25, P26, P27, P28, P29, P30, P31, P32, P33, P34, P35, P36, P37, P38, P39, P40, P41, P42, P43, P44, P45, P46, P47, P48, P49, P50, P51, P52, P53, P54, P55, P56, P57, P58, P59, P60, P61, P62, P63, P64, P65, P66, P67, P68, P69, P70, P71, P72, P73, P74, P75, P76, P77, P78, S1, T1
MatEmprestimo E9, E10, E11
TAB. 5.9 – Nomes dos vetores dos aterros: estudo expandido
ATERROS
CAterro
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A28, A29, A30, A31, A32, A33, A34, A35, A36, A37, A38, A39, A40, A41, A42, A43, A44, A45, A46, A47, A48, A49, A50, A51, A52, A53, A54, A55, A56, A57, A58, A59, A60, A61, A62, A63, A64, A65, A66, A67, A68, A69, A70, A71, A72, A73, A74, A75, A76, A77, A78, A79, A80, A81, A82, A83, A84, A85, A86, A87, A88, A89, A90, A91, A92, A93, A94, A95, A96, A97, A98, A99, A100, A101, A102
117
ATERROS
CFinal
F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9, F10, F11, F12, F13, F14, F15, F16, F17, F18, F19, F20, F21, F22, F23, F24, F25, F26, F27, F28, F29, F30, F31, F32, F33, F34, F35, F36, F37, F38, F39, F40, F41, F42, F43, F44, F45, F46, F47, F48, F49, F50, F51, F52, F53, F54, F55, F56, F57, F58, F59, F60, F61, F62, F63, F64, F65, F66, F67, F68, F69, F70, F71, F72, F73, F74, F75, F76, F77, F78, F79, F80, F81, F82, F83, F84, F85, F86, F87, F88, F89, F90, F91, F92, F93, F94, F95, F96, F97, F98, F99, F100, F101, F102, F103, F104, F105, F106, F107
CBotaFora B13, B14, B15
VAterro
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A28, A29, A30, A31, A32, A33, A34, A35, A36, A37, A38, A39, A40, A41, A42, A43, A44, A45, A46, A47, A48, A49, A50, A51, A52, A53, A54, A55, A56, A57, A58, A59, A60, A61, A62, A63, A64, A65, A66, A67, A68, A69, A70, A71, A72, A73, A74, A75, A76, A77, A78, A79, A80, A81, A82, A83, A84, A85, A86, A87, A88, A89, A90, A91, A92, A93, A94, A95, A96, A97, A98, A99, A100, A101, A102, F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9, F10, F11, F12, F13, F14, F15, F16, F17, F18, F19, F20, F21, F22, F23, F24, F25, F26, F27, F28, F29, F30, F31, F32, F33, F34, F35, F36, F37, F38, F39, F40, F41, F42, F43, F44, F45, F46, F47, F48, F49, F50, F51, F52, F53, F54, F55, F56, F57, F58, F59, F60, F61, F62, F63, F64, F65, F66, F67, F68, F69, F70, F71, F72, F73, F74, F75, F76, F77, F78, F79, F80, F81, F82, F83, F84, F85, F86, F87, F88, F89, F90, F91, F92, F93, F94, F95, F96, F97, F98, F99, F100, F101, F102, F103, F104, F105, F106, F107
Os critérios de seleção dos materiais permanecem os mesmos do estudo
reduzido, conforme TAB. 5.1.
De posse dos dados do problema, foram criadas as matrizes para o estudo
expandido:
- DMT - Distância Média de transportes entre segmentos;
- Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte -
SICRO 2;
- Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo
de Aterro, Camada Final de Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2;
- Custo unitário por m³ do Momento Extraordinário de Transporte - SICRO 2;
- Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos;
- Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2;
- CA_Qtd – Quantidades de corpo de aterro;
- CF_Qtd – Quantidades de Camada Final de Terraplenagem;
- BF_Qtd – Quantidades de Bota-fora.
Devido à dimensão das matrizes de entrada de dados desta aplicação, elas não
serão apresentadas neste trabalho. No item 5.1 já foi apresentada a estrutura de
entrada de dados e definição de nomes no MS Excel para cada uma delas,
possibilitando sua reprodução.
118
A FIG. 5.9 apresenta as definições dos dados carregados e processados pelo
MPL do estudo de caso em tamanho real, conforme sequência de itens da
elaboração do código programado, totalizando em 83 escavações e 212 aterros. A
combinação destas escavações e aterros resultou em 17.596 combinações. Ao filtrar
apenas as combinações válidas restaram apenas 8.058 combinações possíveis para
compor os corpos de aterros, 3.317 combinações possíveis para compor as
camadas finais de terraplenagem e 240 combinações possíveis para compor os
bota-foras, resultando em 11.615 variáveis de decisão válidas. Também foram
identificadas 80 restrições quanto ao volume dos cortes obrigatórios, 209 restrições
quanto aos volumes dos aterros obrigatórios, 3 restrições quanto ao volume de
material disponível nos empréstimos e 3 restrições quanto a capacidade em volume
dos bota-foras, totalizando 295 restrições.
Após a solução do problema, das 8.058 variáveis de decisão referentes à
construção de corpo de aterro, apenas 167 (2,07%) possuem valor positivo; das
3.317 variáveis de decisão referentes à construção de camadas finais, apenas 113
(3,41%) possuem valor positivo; e, das 240 variáveis de decisão referentes à
construção de bota-fora, apenas 9 (3,75%) possuem valor positivo.
Portanto, dentre as 17.596 iterações entre escavações e aterros e, das 11.615
variáveis de decisão, apenas 289 (2,49%) delas receberam valor positivo,
permanecendo as demais 11.326 nulas.
119
FIG. 5.9 – Definições do modelo MPL: estudo expandido carregado do MS Excel
5.2.1 RESULTADOS PARA O ESTUDO EXPANDIDO
Após o processamento do MPL, o solucionador CoinMP encontrou o valor de
R$3.711.134,77 (três milhões, setecentos e onze mil, cento e trinta e quatro reais e
setenta e sete centavos), conforme FIG. 5.10.
120
FIG. 5.10 – Solução ótima do estudo expandido encontrada pelo CoinMP
A matriz com a solução desta aplicação do modelo de otimização da distribuição
de terraplenagem, bem como os dados para análise de pós-otimização relativos às
restrições, estão apresentadas no apêndice 3.
A TAB. 5.10 apresenta os valores encontrados para o estudo expandido de
otimização da distribuição de materiais de terraplenagem.
TAB. 5.10 – Valores encontrados para o estudo expandido
RESULTADOS DO MODELO
Momento de Transporte: 216.153,63
CUSTO TOTAL DE DISTRIBUIÇÃO DE TERRAPLENAGEM: R$ 3.711.134,77
Custo da escavação, carga e transp.: R$ 2.402.833,12
Custo da Construção dos Aterros: R$ 1.308.301,65
Custo do Momento Extraordinário: R$ 0,00
Custo da Indenização do Empréstimo: R$ 0,00
Quanto a análise de pós-otimização dos coeficientes das variáveis de decisão, o
único dado para análise de pós otimização que o solucionador CoinMP apresenta
diferente daqueles que já estão nas definições e solução do problema é o custo
reduzido. Como o problema é de minimização de custos, os valores positivos de
custo reduzido indicam em quanto o custo será acrescido em cada unidade adicional
de uma variável de decisão em que o problema venha a ser condicionado. Valores
121
iguais à zero para o custo reduzido indicam que o problema apresenta múltiplas
soluções. Diante disto, o problema poderá ser condicionado a incluir aquela variável
de decisão que não estava presente na solução ótima e permanecerá com o mesmo
valor para o resultado da função objetivo. Nesta situação, é interessante ter em
mãos os limites inferiores e superiores para indicar o quanto cada coeficiente poderá
variar sem que altere a estrutura da solução ótima. O solucionador CoinMP não
apresentou estes limites.
As matrizes de custo reduzido “CA_RC”, “CF_RC” e “BF_RC”, da solução do
estudo expandido, apresentaram diversos valores iguais à zero, indicando que o
problema apresenta múltiplas soluções ótimas.
Diante desta carência dos limites de variação para o preço sombra e para o
custo reduzido, devido o solucionador CoinMP não apresentar estas informações,
sobra como alternativa a análise de sensibilidade, a análise paramétrica.
Na matriz de solução deste problema, estudo expandido, presente no apêndice
3, estão apresentados os valores para os preços sombra das restrições. Com os
valores mais negativos, podem ser identificados locais de interesse para a
implantação de empréstimos laterais ou bota-foras adjacentes aos aterros com
maior viabilidade de redução de custo da função objetivo. Com estes locais
identificados, o passo seguinte será verificar as áreas possíveis de implantação nas
seções transversais e consequentemente o volume resultante.
Feito isto, existem duas possibilidades, a primeira é acrescer o volume de cada
maciço e substituir o sinal de igualdade (=) de sua restrição por um sinal de
desigualdade do tipo ≤ (menor que); e, a segunda, é criar um maciço de volume
opcional com mesma referência de local, mesmo critério de seleção de material para
sua construção e mesmo critério de compactação. A primeira alternativa é a mais
rápida para avaliar a viabilidade, porém, vai alterar toda a estrutura do problema
original. A segunda é mais trabalhosa e é a mais segura por preservar o problema
original, onde cada um destes novos maciços, sejam eles empréstimos ou bota-
foras, se comportarão como se fossem restrições ativas que já estavam presentes
no problema, mas com valor de liberdade igual a zero. Seria como se alterasse o
valor do lado direito de uma restrição de desigualdade (≤ bi) onde bi passaria de zero
para um valor positivo.
122
6 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Como foi visto no capítulo anterior, foram apresentadas duas aplicações do
modelo de oimização da distribuição de materiais de terraplenagem. A primeira
aplicação, denominada estudo reduzido, considerou os volumes de materiais
acumulados em até seis estacas. A segunda, denominada estudo expandido,
considerou os volumes de materiais a cada estaca.
No capítulo 4 foi dito que este modelo de otimização foi elaborado inicialmente
no software MS Excel e o solucionador foi o SOLVER. Nesta aplicação do modelo os
volumes foram considerados por maciço, sem limite de extensão. As matrizes desta
aplicação elaborada, inicialmente, apenas no MS Excel, bem como o resultado
encontrado para a função objetivo estão apresentadas no apêndice 1.
Neste capítulo serão apresentados e analisados os resultados da otimização da
distribuição de terraplenagem destas três aplicações do modelo formulado em
função do custo unitário que serão comparadas com os resultados da distribuição de
projeto em função do momento de transporte.
Novamente, cabe ressaltar que a versão do projeto em que os dados de
cubação para este trabalho foram coletadas não corresponde a primeira versão e
podem ter sofrido alterações durante a execução da obra; o “as built” não estava
disponível; e, a planilha de custos unitários utilizada foi a do SICRO2 de setembro
de 2014, descaracterizando os valores monetários apresentados neste trabalho dos
praticados no momento de elaboração do projeto de engenharia e da execução da
obra.
6.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
Para que seja possível analisar as vantagens e desvantagens de cada método
de solução de distribuição de materiais, torna-se necessário organizar suas
características e valores em forma tabular. A TAB. 6.1 apresenta as dimensões de
123
cada aplicação do modelo de otimização da distribuição dos materiais de
terraplenagem, os valores de momento de transporte e custo dos serviços de
terraplenagem calculados sobre o projeto do trecho selecionado para este trabalho e
os resultados encontrados para cada uma das aplicações do modelo de otimização
em função do custo unitário dos serviços.
TAB. 6.1 – Comparação das soluções de distribuição de materiais
SOLUÇÃO DE PROJETO DA
DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS
Nº de iterações
Nº de variáveis
de decisão
Nº de restrições
Momento de
transporte
Custo da distribuição de
materiais %
Diferença de custo
PROJETO: Método de Brückner
162.675,3 R$ 4.122.174,17 100,00% 0,00%
MS Excel e SOLVER 189 153 30 244.720,5 R$ 4.444.867,24 107,83% 7,83%
MS Excel, MPL e CPLEX 300: Modelo Reduzido
441 300 42 222.609,4 R$ 4.047.744,28 98,19% -1,81%
MS Excel, MPL e CoinMP: Modelo Expandido
17.596 11.615 295 216.513,6 R$ 3.711.134,77 90,03% -9,97%
A primeira análise a ser feita nos resultados de cada distribuição de materiais de
terraplenagem é a diferença de dimensão de cada aplicação do modelo de
otimização com o valor dos serviços encontrados. Quanto menor o número de
variáveis de decisão, maior será o valor dos serviços relacionados à distribuição dos
materiais.
O acréscimo de número de parâmetros ao problema está diretamente
relacionado com a extensão de cada volume de material carregado pelo modelo. A
extensão de cada maciço condiciona a precisão da DMT calculada, que será o
parâmetro para o levantamento dos custos relacionados ao transporte do material
escavado ate seu local de destino. Quanto mais preciso for o levantamento do
centro de massa de cada maciço de material, mais precisa será a DMT. Esta
precisão só é aumentada com a redução da extensão do maciço. Portanto, pode-se
dizer que quanto mais curto for a extensão considerada para cada segmento de
material, mais preciso será o centro de massa do volume considerado por maciço e
consequentemente mais precisa será a DMT resultante da iteração entre as
escavações e aterros.
Com o aumento do número de variáveis de decisão houve uma redução do
momento de transporte, porém os valores encontrados pelo modelo de otimização
124
foram maiores do que o valor apresentado pelo método de Brückner. Era de se
esperar que isto acontecesse, pois, o modelo de otimização encontra a solução
ótima em função do custo unitário enquanto que o diagrama de Brückner busca o
menor momento de transporte, desconsiderando os custos envolvidos com os
serviços de cada categoria de material.
A modelagem matemática tem com uma das finalidades representar a realidade
através de sistemas de equações. Quanto mais bem elaboradas e mais bem
alimentadas estas equações forem, mais próximas de demonstrar a realidade seu
resultado será. Pode ser notado que um número reduzido de variáveis de decisão
não traz nenhuma redução aos custos e nem ao momento de transporte, como foi o
caso da solução encontrada pelo MS Excel e o SOLVER que apresentou um
momento de transporte e um valor mais alto que os valores de projeto pelo método
de Brückner, onde o valor encontrado pela otimização ficou 7,83% maior.
A aplicação do estudo reduzido, com praticamente o dobro do número de
variáveis de decisão apresentou um resultado melhor para a função objetivo e
reduziu o valor do momento de transporte em relação a solução do SOLVER. O
custo da distribuição de materiais ficou 1,81% mais barato que o valor pelo Método
de Brückner, demonstrando a vantagem de se detalhar melhor cada parâmetro que
alimentará o problema.
Já a aplicação do estudo expandido apresentou uma redução de 9,97% nos
custos com a distribuição de materiais em relação à distribuição pelo método de
Brückner, demonstrando mais uma vez que é interessante tratar os dados com
maior rigor de detalhes.
6.2 COMPARAÇÃO DA COMPOSIÇÃO DE CUSTOS DE CADA APLICAÇÃO
Quando um projeto é elaborado e entregue ao executor, duas das primeiras
perguntas que são feitas são as seguintes: qual será o valor gasto com cada
serviço? Quanto custará cada etapa da obra? A resposta destas perguntas é de
fundamental importância para que seja feito o planejamento financeiro da execução
da obra. A partir das matrizes de quantidade de materiais encontradas pelo modelo
125
de otimização e das matrizes de custos unitários foi possível extrair estas respostas.
A TAB. 6.2 apresenta os custos dos serviços por solução de projeto e a TAB. 6.3
apresenta os custos das construções de aterros por etapa de construção.
TAB. 6.2 – Composição de custos por serviços
SERVIÇOS
SOLUCIONADOR Brückner SOLVER CPLEX 300 CoinMP
Custo da escavação, carga e transporte:
R$ 2.869.831,15 R$ 3.117.460,88 R$ 2.739.340,37 R$ 2.402.833,12
Custo da Construção dos Aterros:
R$ 1.252.343,02 R$ 1.327.406,36 R$ 1.308.403,92 R$ 1.308.301,65
Custo do Momento Extraordinário:
R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
Custo de indenização: R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
CUSTO TOTAL DE TERRAPLENAGEM:
R$ 4.122.174,17 R$ 4.444.867,24 R$ 4.047.744,28 R$ 3.711.134,77
TAB. 6.3 – Composição de custos por etapa de construção
ETAPA DE CONSTRUÇÃO
SOLUCIONADOR Brückner SOLVER CPLEX 300 CoinMP
Corpo de aterro R$ 3.969.824,97 R$ 4.102.913,00 R$ 3.705.735,15 R$ 3.385.772,70
Camada Final de terraplenagem
R$ 152.349,20 R$ 164.421,30 R$ 169.118,79 R$ 151.556,57
Bota-fora
R$ 177.532,94 R$ 172.890,34 R$ 173.805,50
CUSTO TOTAL DE TERRAPLENAGEM:
R$ 4.122.174,17 R$ 4.444.867,24 R$ 4.047.744,28 R$ 3.711.134,77
A composição dos custos por serviços é o resultado de cada parcela da equação
da função objetivo, EQ. 4.2. Já a composição dos custos por etapa de execução da
obra ou por tipo de construção de aterro é dada pelo somatório das quantidades de
materiais transportados para cada tipo de construção de aterro pelo respectivo custo
unitário total de serviços.
Na composição dos custos por serviços, os custos com os serviços de
escavação carga e transporte diminuem com o aumento do número de variáveis de
decisão consideradas pelo problema. O valor encontrado pelo SOLVER foi maior
que o valor de projeto e que o valor das demais aplicações do modelo de
otimização. Isto se deve pela falta de rigor e aproximação que foi necessária para
não extrapolar a capacidade de variáveis de decisão do SOLVER. Já as duas
aplicações do modelo de otimização em MPL solucionadas pelo CPLEX 300 e
CoinMP apresentaram valores menores, demonstrando mais uma vez a influência
126
da precisão da DMT na redução dos custos, visto que o custo unitário destes
serviços é levantado a partir das faixas de DMT na planilha do SICRO2.
Quanto aos custos com os serviços de construção de corpos de aterro,
novamente o SOLVER encontrou o maior valor, já os solucionadores CPLEX 300 e
CoinMP encontraram valores muito próximos, porém acima do valor de projeto. Esta
proximidade de valores demonstra que os custos relativos à construção de camadas
de aterro não sofrem tanta influência quanto ao número de iterações considerada
pelo problema, pois estes volumes são definidos pelo projeto de geometria e o custo
não depende da distância que o material foi transportado. A única influência no custo
deste serviço é da categoria de material que está sendo utilizado para construir as
camadas dos aterros.
Em nenhuma das soluções da distribuição de materiais de terraplenagem houve
custo com Momento Extraordinário de Transporte e indenizações, porém, estes
custos devem ser considerados na solução do problema. As iterações afetadas por
estes custos se ornaram inviáveis, onde acabaram ficando de fora das soluções
ótimas encontradas para as aplicações do modelo de otimização.
Na composição dos custos por etapa de execução de obra o SOLVER encontrou
o maior valor para a construção e compactação de corpo de aterro. A solução com
menor custo foi a encontrada pelo CoinMP.
Para a construção e compactação de camada final de terraplenagem, o CPLEX
300 encontrou o maior valor e o CoinMP o menor, porém isto não desabona a
utilização do modelo de otimização, visto que a diferença destes valores foi de
apenas R$17.562,22, correspondendo a 0,47% do menor valor encontrado entre as
soluções.
No projeto elaborado pelo método de Brückner não aparece à parcela referente
à construção de bota-fora. O volume de material encaminhado para bota-fora pelo
modelo de otimização corresponde a um volume de material que foi enviado a outro
trecho do projeto original. Este foi um pequeno ajuste feito para que este trecho
pudesse se enquadrar como compensado e ser utilizado neste trabalho.
Os valores encontrados para a construção de bota-fora foram muito próximos
para as três aplicações do modelo de otimização, com uma diferença de apenas
R$4.642,61 entre o valor encontrado pelo SOLVER e o valor encontrado pelo
CPLEX 300. Isto se deu por seu pequeno volume de material e as poucas opções de
127
local para descarte, correspondendo a 0,13% do menor valor encontrado entre as
soluções.
Em um estudo de alternativas, pode ser pensada a hipótese de simular
empréstimos laterais a toda escavação em que o material apresente características
compatíveis com as solicitações de projeto e bota-foras laterais adjacentes a todos
os corpos de aterro do trecho, respeitando os limites de 10 metros do offset (crista
do corte ou pé do aterro) a faixa de domínio, conforme Art. 24 da Norma para o
Projeto das Estradas de Rodagem (DNER, 1973). Esta faixa de 10 metros é
necessária para a implantação de dispositivos de drenagem de proteção do corte ou
do pé do aterro e também para possibilitar a manutenção da faixa de domínio dentre
suas principais finalidades. A FIG. 6.1 ilustra sobre uma seção-tipo como é a
disposição de um empréstimo lateral ou um bota-fora lateral.
FIG. 6.1 – Disposição de empréstimos e bota-foras laterais
EIXO
EIXO
EIXO
SEÇÃO EM ATERRO
SEÇÃO EM CORTE
SEÇÃO MISTA
MODALIDADES DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS
LIMITE
FAIXA DE
DOMÍNIO
FAIXA DE
DOMÍNIO
FAIXA DE
DOMÍNIO
FAIXA DE
DOMÍNIO
FAIXA DE
DOMÍNIO
FAIXA DE
DOMÍNIOLIMITE
LIMITELIMITE
LIMITE
LIMITE
EMPRÉSTIMO LATERAL BOTA-FORA LATERALTERRENO NATURAL LIMPEZA - MATERIAL ORGÂNICO
128
6.3 CORRELAÇÃO DOS DADOS DE PÓS-OTIMIZAÇÃO
As quantidades de materiais de terraplenagem transportados de uma escavação
qualquer para uma camada de aterro qualquer, bem como os custos desta
movimentação de terra já foram tratados nos capítulos e seções anteriores. Agora
serão apresentados e comentados os dados para a análise de pós-otimização (ou
análise de sensibilidade) com mais detalhes. Devido à dimensão do estudo
expandido, serão comentados e analisados apenas os dados referentes ao estudo
reduzido que foram todos apresentados no item 5.1.
6.3.1 CORRELAÇÃO DOS DADOS DE PÓS-OTIMIZAÇÃO: RESTRIÇÕES
Os dados para análise de pós-otimização que são apresentados pelo modelo de
otimização, referentes às restrições são:
- Activity (atividade da restrição)
- Slack (folga da restrição)
- Shadow Price (preço sombra)
- RHS Value (valor da restrição)
- RHS Lower (limite inferior)
- RHS Upper (limite superior)
Os valores da atividade da restrição correspondem às quantidades encontradas
para a restrição analisada.
Quando a folga da restrição tem seu valor igual à zero, há a indicação que
aquela restrição é ativa para o problema. Quando o valor da folga é diferente de
zero, há a indicação que a restrição é não ativa. As restrições quanto ao volume dos
cortes e aterros obrigatórios, determinados pelo projeto de geometria, por ser
equação na forma de igualdade, serão restrições ativas, visto que sempre que
houver uma igualdade a folga será igual à zero. Já as restrições quanto às
capacidades dos empréstimos e bota-fora são restrições de desigualdade,
oferecendo um intervalo de liberdade para serem atendidas. Neste caso, estas
129
restrições só serão ativas se a folga correspondente for igual a zero, caso contrário,
será uma restrição não ativa.
O preço sombra indica o quanto o valor da função objetivo será aumentado por
cada unidade adicional de uma restrição ativa que for adicionada ao problema.
Neste caso, o problema é de minimização e os valores que interessam são os
valores negativos. Quanto mais negativo for o valor do preço sombra, maior será a
redução de custo que o problema terá caso seja adicionada uma unidade a mais a
esta restrição.
No estudo reduzido, objeto do item 5.1, foram encontrados valores negativos
para o preço sombra das restrições dos aterros A2, A3, A4, A8 e A9, conforme FIG.
5.8. Isto é uma indicação de que se houvessem bota-foras laterais nestes aterros o
preço da distribuição de materiais seria menor. É importante frisar que o preço
sombra indica a alteração do valor pontualmente. Incluir um bota-fora lateral em
cada um dos aterros citados simultaneamente transformaria o modelo em um novo
problema a ser resolvido. Sendo assim, o conveniente é simular o que acontece na
solução do problema apenas para a restrição de menor preço sombra. Nesta
simulação um novo cenário será apresentado e novos preços sombra serão
apresentados para as restrições ativas.
Outra opção seria avaliar a capacidade de cada um dos bota-foras laterais de
interesse da solução ótima. De posse destes volumes, o passo seguinte, seria
verificar se a capacidade de cada um destes volumes não extrapola os limites
superiores de variação de cada respectiva restrição. Em seguida, aplicar a regra dos
100% entre os volumes encontrados e os limites superiores de variação da restrição.
Se a soma das porcentagens de variação dos coeficientes em relação ao limite
de variação possível de cada uma das restrições der acima de 100%, a estrutura da
solução ótima certamente será alterada, ao passo que, se a soma der menor que
100%, há uma grande chance da base da solução ótima permanecer a mesma
(HILLIER e LIEBERMAN, 2013).
Esta opção é válida se cada um destes novos bota-foras forem tratados como
obrigatórios, aumentando a dimensão de cada aterro considerado. Porém, a forma
ideal para tratar um novo bota-fora seria como a inclusão de um volume de material
opcional ao modelo onde a restrição deixaria de ser uma igualdade e passaria a ser
uma desigualdade. Como a referência localização deste elemento é a mesma do
130
aterro em análise e a premissa neste caso é que sua qualidade de construção seja
equivalente a do aterro que está sendo alargado, os seus coeficientes de custo
serão exatamente os mesmos, sendo válidas as duas opções de tratamento.
Todas as restrições das escavações apresentaram preço sombra positivo,
indicando que se alguma delas tiver seu volume aumentado, o valor da função
objetivo também será acrescido. Isto se deve pelo fato de os volumes das
escavações obrigatórias serem maiores que os volumes dos aterros obrigatórios,
exigindo neste caso o descarte de materiais excedentes em algum bota-fora. Se a
situação fosse o inverso, o volume das escavações obrigatórias fosse menor do que
o volume dos aterros obrigatórios, certamente apareceriam valores negativos para o
preço sombra das restrições das escavações.
Em trechos mais longos ou com maior alternância de maciços de escavação e
aterro há uma grande chance de se encontrar valores negativos para os preços
sombra das escavações e dos aterros, de forma simultânea, indicando melhorias em
trechos distintos do projeto dentro da faixa licenciada, hora sendo vantajoso um
empréstimo lateral, hora sendo vantajoso um descarte lateral.
O valor da restrição indica o limite em que a equação da restrição deve ser
satisfeita. Os limites inferior e superior indicam o intervalo em que o valor da
restrição poderá ser alterado sem que a estrutura da solução ótima seja alterada.
Neste caso estes limites indicam o quanto o volume de cada escavação ou aterro
poderá ser alterado sem que os movimentos de origem e destino da distribuição
sejam alterados.
6.3.2 CORRELAÇÃO DOS DADOS DE PÓS-OTIMIZAÇÃO: COEFICIENTES DAS
VARIÁVEIS DE DECISÃO
Os dados para análise de pós-otimização que são apresentados pelo modelo de
otimização, referentes às variáveis de decisão são:
- Activity (atividade da restrição)
- Reduce Cost (custo reduzido)
- Object Coeff (coeficiente da variável)
131
- Object Lower (limite inferior)
- Object Upper (limite superior)
Assim como descrito no item 6.3.1, a atividade da variável de decisão
corresponde ao valor atribuído para a variável, respeitando as restrições que
definem seu intervalo de variação. No modelo do presente trabalho a atividade da
variável de decisão corresponde ao volume que deverá ser transportado de uma
escavação para um aterro.
O custo reduzido indica o quanto o valor da função objetivo será reduzido caso
seja imposto uma unidade adicional de uma variável que não está na base da
solução ótima. Como o problema deste trabalho é de minimização de custos, o custo
reduzido indica o quanto o valor da função objetivo será acrescido com a adição de
uma unidade de determinada variável não básica na base da solução ótima.
Nas matrizes de custo reduzido do item 5.1, presentes no apêndice 2, algumas
iterações com valor nulo apresentaram seu custo reduzido igual à zero, indicando,
neste caso, que existe ao menos mais uma solução ótima para este problema.
O coeficiente da variável corresponde ao custo unitário total dos serviços por m³
de material transportado de uma escavação para um aterro. Os limites inferior e
superior indicam o quanto o coeficiente poderá variar sem que haja mudança na
estrutura da solução ótima. Neste caso, estes limites, indicam o quanto o custo
unitário total por iteração entre uma escavação e um aterro poderá diminuir ou
aumentar sem que o fluxo de transporte de materiais de uma escavação para um
aterro seja alterado.
Para as variáveis positivas presentes na base da solução ótima o limite inferior
indica que o coeficiente (custo unitário) poderá reduzir indefinidamente que a base
da solução ótima permanecerá a mesma. Para as variáveis de decisão nulas,
básicas ou não básicas, este valor indica que qualquer redução além do valor limite
no custo unitário de alguma variável de decisão poderá torná-la viável, trazendo esta
variável para a base da solução e alterando a estrutura da solução ótima.
Os limites superiores correspondem em quanto o coeficiente da variável poderá
ser acrescido. Para uma variável positiva, presente na base da solução ótima, o
limite superior corresponde ao custo unitário total dos serviços. Se o custo unitário
de alguma destas variáveis for acrescido, o problema terá uma nova solução ótima,
alterando sua estrutura. Já para as variáveis nulas, é indicado que o valor unitário
132
dos serviços pode ser aumentado indefinidamente, pois não influenciará em nada no
valor da função objetivo e nem da estrutura da solução ótima.
Qualquer alteração de tabela de referência de preços atualizará diversos
valores, consequentemente, diversos coeficientes do problema de otimização serão
alterados de forma simultânea, resultando em um novo problema a ser resolvido.
Para alterações dos coeficientes das variáveis, a regra dos 100% também é
válida. Se esta alteração for sistêmica e todos os coeficientes tiverem um reajuste na
mesma direção, pode acontecer de o resultado da aplicação da regra dos 100% ser
maior que o limite de 100% e a base da solução ótima não ser alterada (HILLIER e
LIEBERMAN, 2013). Neste caso, como o número de variáveis de decisão é muito
grande, talvez não seja conveniente a aplicação da regra dos 100% devido ao
grande número de cálculo a ser realizado. Como os coeficientes deste modelo tem
origem em uma tabela de preços que é reajustada periodicamente, a tendência é
que estes reajustes sejam sistêmicos e variem em uma mesma direção conforme a
inflação. Isto sugere que o impacto na base da solução ótima seja muito pequeno a
cada reajuste, porém de grande importância no valor final da solução ótima do
problema.
6.3.3 ANÁLISE DA SOLUÇÃO DO ESTUDO REDUZIDO
Diante dos resultados obtidos com a otimização do estudo reduzido, observou-
se que os valores apresentados no relatório de sensibilidade indicam que a solução
do problema pode ser melhorada segundo o critério de minimização de custos.
Dentre os coeficientes que podem ser alterados durante a análise da distribuição
de materiais de terraplenagem, os volumes opcionais de empréstimos e descartes
de material excedente nas laterais ao projeto em elaboração são as primeiras
opções que devem ser avaliadas. Esta opção considera que a intervenção será
menos onerosa por já estar dentro da faixa licencia evitando custos com
desapropriações e, estudos e licenciamento de novas áreas.
A inserção destes elementos pode ser considerada no modelo como um
aumento do volume correspondente a escavação ou o aterro em avaliação que em
133
um modelo de PL corresponde a uma alteração dos coeficientes (bi) do lado direito
das restrições. Outra opção poderá ser a de inserir um novo maciço que terá os
mesmos coeficientes de custo e referência de localização do maciço adjacente que
já está no modelo.
Para esta segunda opção, se o volume indicado, no limite superior de variação
da restrição, for maior do que o volume que este novo maciço poderá assumir, a
restrição poderá ser de igualdade. Caso contrário, o limite superior de variação da
restrição seja menor do que o volume que poderá ser considerado pelo novo
maciço, é conveniente que a restrição seja de desigualdade do tipo ≤ (menor que).
No estudo reduzido, os aterros A2, A3, A4, A8 e A9 apresentaram preço sombra
de –R$0,35, –R$3,98, –R$0,35, –R$0,35, –R$0,80 respectivamente. O volume que
cada um destes aterros pode ser acrescido é de 966,81m³, 8.766,1m³, 10.005,85m³,
966,81m³ e 8.766,1m³, respectivamente. Os aterros A2, A3 e A4 estão na Pista
Direita e os aterros A8 e A9 estão na Pista Esquerda. Os aterros A2 e A3 estão
próximos do aterro A8 numa região intermediaria do trecho em análise e os aterros
A4 e A9 também estão próximos entre si, localizados mais ao final do trecho. Isto
indica que está sobrando material escavado nestas regiões.
Neste estudo, 19.512,95m³ de material escavado foram enviados para bota-fora.
Destes, 18.771,95m³ provenientes das escavações P8 e P16 podem ser
incorporados aos bota-foras laterais por apresentarem características que atendem
a este tipo de construção.
O preço sombra do aterro A3 indica que cada m³ de material descartado junto ao
aterro A3 reduzirá o custo da distribuição de materiais em R$3,98. Junto deste é
viável descartar 8.766,1m³, ocasionando em uma economia de R$34.889,08. Nesta
hipótese, a função objetivo assume o valor de R$4.012.855,21.
Caso este descarte de material seja feito nesta posição com este volume,
totalizará exatamente 100% do limite superior, o que poderá levar a uma mudança
da base da solução ótima, de acordo com a regra dos 100%, e ainda a sobra
10.005,85m³ de material no bota-fora B14.
Se for adotada a solução de 50% do limite viável de descarte lateral ao aterro A3
e 50% do limite viável do descarte lateral ao aterro A4, correspondendo aos volumes
de 4.383,05m³ e 5.002,93m³, com preço sombra de –R$3,98 e –R$0,35; a sobra de
134
material no B14 será de 9.385,98m³ e a economia será de R$19.195,56, menor que
a alternativa anterior.
Diante desta análise, da grande diferença entre o preço sombra do aterro A3 em
relação aos demais e da possível infração a regra dos 100%, é conveniente
aumentar o aterro A3 até o limite superior indicado para esta restrição e reotimizar o
problema para encontrar uma nova solução ótima. Em seguida, analisar a nova
solução encontrada.
A única diferença na base da solução encontrada com a reotimização indicada
no parágrafo anterior foi que o volume 8.766,1m³ de material proveniente da
escavação P16 foi incorporado ao aterro A3. A função objetivo assumiu o valor
calculado de R$4.012.855,21.
Nesta 1ª variação do estudo reduzido, os aterros A2, A4 e A8 permaneceram
com o preço sombra de –R$0,35 cada e os mesmos limites superiores de variação
do valor da restrição. No bota-fora B14 ainda sobrou 10.005,85m³ de material
proveniente da escavação P8.
Como o limite de variação da restrição do aterro A4 coincide com o volume de
material disposto no bota-fora B14, é de se esperar que a reotimização deste
problema aumentando o volume do aterro A4 incorpore este material, preservando a
distribuição das demais iterações e reduzindo o valor da função objetivo em mais
R$3.502,05, que resultará em um custo total de R$4.009.353,16.
A diferença encontrada após a 2ª variação foi de -0,95% em relação à solução
do problema antes da análise de sensibilidade. Em relação a solução pelo método
de Brückner, o resultado após a 2ª variação teve uma redução de 2,74%.
A FIG.6.2 apresenta o resultado da otimização da 2ª variação do estudo
reduzido e a FIG. 6.3 apresenta a matriz com os resultados desta 2ª variação, onde
as células grifadas em amarelo representam as variáveis que possuíam valor
positivo antes da análise dos resultados, comprovando a análise demonstrada nos
parágrafos anteriores e confirmando os resultados encontrados.
135
FIG. 6.2 – Resultado da 2ª variação da solução do estudo reduzido.
FIG. 6.3 – Resultados da otimização da 2ª variação da solução do modelo reduzido
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 59,7 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 34781,8 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 143,4
PD P5 0 0 0 0 0 0 19158,76
PD P6 0 0 0 0 1654,46 1130,86 34067,88
PD P7 7229,18 28696,76 0 966,81 0 0 0
PD P8 0 0 0 41540,74 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 4134,85 0 0
PE P11 17144,5 0 0 0 0 0 0
PE P12 54441,6 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 26906,8 0
PE P14 0 0 33657,81 0 0 0 8556,59
PE P15 47083,08 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 64690,05 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 286,7 0 0
PD T1 0 0 0 0 95,55 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 160.739,86 28.696,76 33.657,81 42.507,55 70.861,61 28.037,66 61.926,63
= = = = = = =
160.739,86 28.696,76 33.657,81 42.507,55 70.861,61 28.037,66 61.926,63
160739,86 28696,76 33657,81 42507,55 70861,61 28037,66 61926,63
0 0 0 0 0 0 0
0,94 -0,35 -3,98 -0,35 1,31 0,55 0,12
160739,86 28696,76 33657,81 42507,55 70861,61 28037,66 61926,63
153510,68 0 0 966,81 12181,11 26906,8 27858,75
160739,86 28696,76 33657,81 42507,55 70861,61 28037,66 61926,63
RHS Lower
RHS Upper
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
136
FIG. 6.3 – Resultados da otimização da 2ª variação da solução do modelo reduzido (continuação)
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros
A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 1573,04 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 21852,01 0 4719,12 0 851,51 2686,64 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 2067,65
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 33060,25 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 21.852,01 33.060,25 4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65
= = = = = = =
21.852,01 33.060,25 4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65
21852,01 33060,25 4719,12 1573,04 851,51 2686,64 2067,65
0 0 0 0 0 0 0
-0,35 -0,8 1,38 0,56 0,09 0,09 1,75
21852,01 33060,25 4719,12 1573,04 851,51 2686,64 2067,65
0 0 0 0 0 0 0
21852,01 33060,25 4719,12 1573,04 851,51 2686,64 2067,65
RHS Lower
RHS Upper
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
137
FIG. 6.3 – Resultados da otimização da 2ª variação da solução do modelo reduzido (continuação)
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros
F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 3,5
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 1968,7 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 1553,65 0 586,41 1119,41 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0,00 0
PD P9 0 0 0 0 0 737,5 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0,00 0
PE P17 0 0 0 1021 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Atividade 1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41 0,0 737,50 3,50
= = = = ≤ ≤ ≤
1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41 60.587,26 59.418,0 59.418,0
1553,65 1968,7 586,41 2140,41 0 737,5 3,5
0 0 0 0 60587,26 58680,5 59414,5
1,38 0,56 0,09 0,09 0 0 0
1553,65 1968,7 586,41 2140,41 60587,26 59418 59418
0 0 0 1021 0 737,5 3,5
1553,65 1968,7 586,41 2140,41 1E+20 1E+20 1E+20
RHS Lower
RHS Upper
Activity
Slack
Shadow Price
RHS Value
138
FIG. 6.3 – Resultados da otimização da 2ª variação da solução do modelo reduzido (continuação)
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM
Pista
Pista Cortes Aterros
Atividade
PD P1 59,70 = 59,70 59,7 0 7,12 59,7 59,7 7288,88
PD P2 3,50 = 3,50 3,5 0 10,46 3,5 0 59418
PD P3 34.781,80 = 34.781,80 34781,8 0 7,57 34781,8 34781,8 42010,98
PD P4 143,40 = 143,40 143,4 0 4,29 143,4 143,4 34211,28
PD P5 22.700,50 = 22.700,50 22700,5 0 8,39 22700,5 22700,5 56768,38
PD P6 36.853,20 = 36.853,20 36853,2 0 8,86 36853,2 36853,2 95533,7
PD P7 70.261,50 = 70.261,50 70261,5 0 8,86 70261,5 70261,5 111802,2
PD P8 41.540,74 = 41.540,74 41540,74 0 8,86 41540,74 41540,74 100221,2
PD P9 737,50 = 737,50 737,5 0 8,86 737,5 0 59418
PE P10 6.202,50 = 6.202,50 6202,5 0 6,75 6202,5 6202,5 64883
PE P11 17.144,50 = 17.144,50 17144,5 0 3,47 17144,5 17144,5 24373,68
PE P12 54.441,60 = 54.441,60 54441,6 0 3,47 54441,6 54441,6 61670,78
PE P13 26.906,80 = 26.906,80 26906,8 0 7,51 26906,8 26906,8 28037,66
PE P14 42.214,40 = 42.214,40 42214,4 0 8,39 42214,4 42214,4 76282,28
PE P15 47.083,08 = 47.083,08 47083,08 0 8,86 47083,08 47083,08 54312,26
PE P16 97.750,30 = 97.750,30 97750,3 0 8,86 97750,3 97750,3 156430,8
PE P17 1.021,0 = 1.021,0 1021 0 8,41 1021 1021 2140,41
PD S1 286,70 = 286,70 286,7 0 5,09 286,7 286,7 58967,2
PD T1 95,55 = 95,55 95,55 0 26,04 95,55 95,55 58776,05
CC E9 0,0 ≤ 144.025,0 0 144025 0 144025 0 1E+20
CC E10 0,0 ≤ 90.503,0 0 90503 0 90503 0 1E+20
RHS
LowerRHS Value
Shadow
Price
RHS
UpperActivity Slack
139
7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
O presente trabalho cumpriu os objetivos de aplicar uma técnica de pesquisa
operacional para solucionar um problema técnico de infraestrutura de transportes,
automatizando a distribuição dos materiais de terraplenagem, por meio da
programação linear. O modelo proposto teve a finalidade de distribuir os materiais
provenientes das escavações para os aterros com o menor custo unitário para os
serviços. A comparação foi feita entre o projeto elaborado pelo método de Brückner
e o modelo de otimização chegou a uma redução de 9,97% no custo da distribuição
dos materiais do trecho analisado.
De uma forma simples e amigável ao usuário, o modelo de otimização
apresentado neste trabalho permite que a entrada de dados seja feita em planilha
eletrônica do MS Excel, onde a linguagem de programação matemática MPL busca
estes dados e os prepara para que o solucionador encontre a solução ótima. Após o
solucionador encontrar esta solução ele a devolve na mesma planilha do MS Excel
preenchendo as matrizes dos resultados obtidos de forma rápida e automática,
cumprindo o objetivo de propor um procedimento para a solução automatizada do
problema de distribuição de materiais de terraplenagem sem a necessidade de
programação auxiliar.
Diante dos resultados apresentados pelo modelo de otimização foi possível
interpretar e analisar os dados de pós-otimização, relacionando-os com o contexto
do projeto de terraplenagem. As técnicas da análise de sensibilidade possibilitaram
identificar pontos favoráveis à implantação de bota-foras ao longo do trecho
analisado. De forma análoga, se o trecho analisado tivesse carência de empréstimos
de materiais, seriam indicados os locais propícios, economicamente, para que estes
empréstimo pudessem ser realizados dentro da faixa de domínio licenciada para a
execução da obra, desde que as características deste material atendam as
características solicitadas pelo projeto. Esta análise de sensibilidade sobre a solução
encontrada cumpre o objetivo de avaliação de cenários durante a elaboração e
avaliação do projeto de terraplenagem, permitindo simulações e adequações com
140
maior precisão e velocidade do que se estivesse sendo feito por diagramas de
movimentação de massa.
Em qualquer momento da elaboração do projeto técnico, o modelo permite que
novos dados e parâmetros sejam incluídos ou atualizados, refinando de forma
dinâmica a solução do problema.
É fato que a automação não substitui uma análise criteriosa do engenheiro
responsável sobre os resultados apresentados pelo modelo de otimização proposto.
Esta análise deverá avaliar a exequibilidade da distribuição de materiais e poderá
incluir novas restrições com a finalidade de melhor representar as características e
condições do projeto.
Como sugestão a aplicação deste trabalho, sugere-se inicialmente que na
elaboração do projeto de geometria sejam consideradas as possibilidades de
empréstimos laterais e bota-foras adjacentes aos aterros, com a finalidade de
alimentar o modelo de forma mais completa e realizar uma primeira análise da
viabilidade de uso destes materiais. Isto indicará os gargalos do traçado e poupará
de revisões e adequações futuras por déficit ou excesso de materiais.
Uma primeira sugestão para continuidade deste trabalho é verificar as
alternativas de rotas para a obtenção das distâncias de transporte entre as
escavações e os aterros em um trecho em malha por algum algoritmo de caminhos
mínimos.
Outra sugestão consiste em decompor as composições unitárias da tabela de
custos do SICRO2 além da composição que é fornecida, pois os valores de
hora/máquina englobam, por exemplo, os custos de depreciação do equipamento,
maquinista e combustível, dentre outros. Da forma como está, no planejamento de
cenários, não há como simular o que acontecerá caso haja uma alta do salário do
operador ou uma alta no valor do óleo diesel.
Também é válida a sugestão de melhoria deste modelo com a finalidade de
implantá-lo em um software comercial.
141
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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144
9 APÊNDICES
145
9.1 APÊNDICE 1 – MATRIZES DA APLICAÇÃO INICIAL DO MODELO DE
OTIMIZAÇÃO DE TERRAPLENAGEM UTILIZANDO O MS EXCEL E O
SOLVER
FIG. 9.1 – DMT: Distância média de transporte
FIG. 9.1 – DMT: Distância média de transporte (continuação)
FIG. 9.2 – Custo unitário de serviços de escavação, carga e transporte
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 79,0 483,2 653,8 1.180,6 273,9 173,8 472,9 662,1 1.175,5
PD P2 370,4 191,8 362,4 889,2 565,3 217,6 181,4 370,7 884,0
PD P3 951,3 389,1 218,5 308,3 1.146,2 798,5 499,4 310,2 303,2
PE P4 94,8 567,4 738,0 1.264,8 189,7 158,0 457,1 646,3 1.159,7
PE P5 373,8 288,4 458,9 985,8 468,7 121,1 178,0 367,3 880,6
PE P6 1.013,2 451,0 280,5 346,4 1.108,1 760,5 461,4 272,1 241,2
CC E9 1.372,0 1.934,2 2.104,7 2.631,6 1.227,1 1.574,7 1.873,8 2.063,1 2.576,4
CC E10 1.638,0 1.075,8 905,3 378,4 1.782,9 1.435,3 1.136,2 946,9 433,6
CC E11 3.958,0 3.395,8 3.225,3 2.698,4 4.102,9 3.755,3 3.456,2 3.266,9 2.753,6
Distância Média de Transporte - DMT (m)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 10,9 449,1 665,7 1.184,0 250,7 156,2 452,0 667,8 1.193,1 3.270,9 1.779,1 1.729,1
PD P2 302,4 157,6 374,3 892,6 542,2 235,2 160,5 376,4 901,7 3.562,4 1.487,6 1.437,6
PD P3 883,3 423,3 206,6 311,7 1.123,1 816,1 520,3 304,5 320,8 4.143,3 906,7 856,7
PE P4 73,3 533,3 750,0 1.268,2 166,5 140,4 436,2 652,0 1.177,3 3.286,7 1.763,3 1.813,3
PE P5 305,8 254,2 470,9 989,1 445,6 138,6 157,1 372,9 898,3 3.565,8 1.484,2 1.534,2
PE P6 945,2 485,2 268,5 349,7 1.085,0 778,0 482,3 266,5 258,9 4.205,2 844,8 894,8
CC E9 1.440,0 1.900,0 2.116,7 2.634,9 1.250,2 1.557,2 1.852,9 2.068,7 2.594,1 2.120,0 3.180,0 3.180,0
CC E10 1.570,0 1.110,0 893,3 375,1 1.759,8 1.452,8 1.157,1 941,3 415,9 4.830,0 570,0 570,0
CC E11 3.890,0 3.430,0 3.213,3 2.695,1 4.079,8 3.772,8 3.477,1 3.261,3 2.735,9 7.150,0 2.150,0 2.150,0
Distância Média de Transporte - DMT (m)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 5,44 6,36 6,79 7,55 5,89 5,44 6,36 6,79 7,55
PD P2 5,89 5,44 5,89 7,18 6,36 5,89 5,44 5,89 7,18
PD P3 7,18 5,89 5,89 5,89 7,55 6,79 6,36 5,89 5,89
PE P4 5,44 6,36 6,79 7,95 5,44 5,44 6,36 6,79 7,55
PE P5 5,89 5,89 6,36 7,18 6,36 5,44 5,44 5,89 7,18
PE P6 7,55 6,36 5,89 5,89 7,55 6,79 6,36 5,89 5,89
CC E9 7,95 9,0 10,09 10,09 7,95 8,25 9,0 10,09 10,09
CC E10 8,39 7,55 7,18 5,89 8,39 8,25 7,55 7,18 6,36
CC E11 13,36 13,36 13,36 10,09 13,36 13,36 13,36 13,36 10,09
Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte - SICRO 2 (R$)
146
FIG. 9.2 – Custo unitário de serviços de escavação, carga e transporte (continuação)
FIG. 9.3 – Custo unitário de serviços de construção de aterros
FIG. 9.3 – Custo unitário de serviços de construção de aterros (continuação)
FIG. 9.4 – Custo do momento extraordinário de transporte
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 1,79 6,36 6,79 7,55 5,89 5,44 6,36 6,79 7,55 13,36 8,39 8,39
PD P2 5,89 5,44 5,89 7,18 6,36 5,89 5,44 5,89 7,18 13,36 8,25 8,25
PD P3 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55 7,18 6,36 5,89 5,89 13,36 7,18 7,18
PE P4 5,44 6,36 6,79 7,95 5,44 5,44 6,36 6,79 7,55 13,36 8,39 9,0
PE P5 5,89 5,89 6,36 7,18 6,36 5,44 5,44 5,89 7,18 13,36 8,25 8,25
PE P6 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55 6,79 6,36 5,89 5,89 13,36 7,18 7,18
CC E9 8,25 9,0 10,09 10,09 7,95 8,25 9,0 10,09 10,09 10,09 13,36 13,36
CC E10 8,25 7,55 7,18 5,89 8,39 8,25 7,55 7,18 6,36 13,36 6,36 6,36
CC E11 13,36 13,36 13,36 10,09 13,36 13,36 13,36 13,36 10,09 13,36 10,09 10,09
Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte - SICRO 2 (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
PD P2 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
PD P3 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
PE P4 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
PE P5 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
PE P6 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
CC E9 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
CC E10 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
CC E11 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66 2,66
Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo de Aterro, Camada Final de Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2 (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
PD P2 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
PD P3 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
PE P4 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
PE P5 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
PE P6 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
CC E9 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
CC E10 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
CC E11 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 3,13 2,10 2,10 2,10
Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo de Aterro, Camada Final de Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2 (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E10 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Custo unitário por m³ do Momento Extraordinário de Transporte - SICRO 2 (R$)
147
FIG. 9.4 – Custo do momento extraordinário de transporte (contnuação)
FIG. 9.5 – Custo de indenizações
FIG. 9.5 – Custo de indenizações (continuação)
FIG. 9.6 – Custo unitário total dos serviços de terraplenagem
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E10 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3,10 0,0 0,0
Custo unitário por m³ do Momento Extraordinário de Transporte - SICRO 2 (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E9 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
CC E10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E9 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
CC E10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 8,10 9,02 9,45 10,21 8,55 8,10 9,02 9,45 10,21
PD P2 8,55 8,10 8,55 9,84 9,02 8,55 8,10 8,55 9,84
PD P3 9,84 8,55 8,55 8,55 10,21 9,45 9,02 8,55 8,55
PE P4 8,10 9,02 9,45 10,61 8,10 8,10 9,02 9,45 10,21
PE P5 8,55 8,55 9,02 9,84 9,02 8,10 8,10 8,55 9,84
PE P6 10,21 9,02 8,55 8,55 10,21 9,45 9,02 8,55 8,55
CC E9 10,66 11,71 12,80 12,80 10,66 10,96 11,71 12,80 12,80
CC E10 11,15 10,31 9,94 8,65 11,15 11,01 10,31 9,94 9,12
CC E11 16,02 16,02 16,02 12,75 16,02 16,02 16,02 16,02 12,75
Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2 (R$)
148
FIG. 9.6 – Custo unitário total dos serviços de terraplenagem (continuação)
FIG. 9.7 – Solução da distribuição de materiais de terraplenagem
FIG. 9.7 – Solução da distribuição de materiais de terraplenagem (continuação)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE PD PE PD
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 4,92 9,49 9,92 10,68 9,02 8,57 9,49 9,92 10,68 15,46 10,49 10,49
PD P2 9,02 8,57 9,02 10,31 9,49 9,02 8,57 9,02 10,31 15,46 10,35 10,35
PD P3 10,31 9,49 9,02 9,02 10,68 10,31 9,49 9,02 9,02 15,46 9,28 9,28
PE P4 8,57 9,49 9,92 11,08 8,57 8,57 9,49 9,92 10,68 15,46 10,49 11,10
PE P5 9,02 9,02 9,49 10,31 9,49 8,57 8,57 9,02 10,31 15,46 10,35 10,35
PE P6 10,31 9,49 9,02 9,02 10,68 9,92 9,49 9,02 9,02 15,46 9,28 9,28
CC E9 11,43 12,18 13,27 13,27 11,13 11,43 12,18 13,27 13,27 12,24 15,51 15,51
CC E10 11,48 10,78 10,41 9,12 11,62 11,48 10,78 10,41 9,59 15,56 8,56 8,56
CC E11 16,49 16,49 16,49 13,22 16,49 16,49 16,49 16,49 13,22 18,56 12,19 12,19
Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2 (R$)
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 63,20 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P2 28.652,43 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
PD P3 127.164,89 28.696,76 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6.425,08
PE P4 4.859,34 0,0 0,0 0,0 70.861,61 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 26.906,80 0,0 0,0 0,0
PE P6 0,0 0,0 24.891,71 32.501,70 0,0 1.130,86 61.926,63 21.852,01 26.635,17
CC E9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E10 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
160.739,86 28.696,76 24.891,71 32.501,70 70.861,61 28.037,66 61.926,63 21.852,01 33.060,25
= = = = = = = = =
160.739,86 28.696,76 24.891,71 32.501,70 70.861,61 28.037,66 61.926,63 21.852,01 33.060,25
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,56 -0,73 -0,73 -0,73 0,56 0,17 -0,26 -0,73 -0,73
26.635,17 26.635,17 24.891,71 32.501,70 26.635,17 1.130,86 40.287,29 21.852,01 26.635,17
6.425,08 6.425,08 19.130,71 19.130,71 4.859,34 19.130,71 19.130,71 19.130,71 19.130,71
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM (m³)
PREÇO SOMBRA
RHS Lower
RHS Upper
ATERRO
RESTRIÇÃO
FOLGA
PD PD PD PD PE PE PE PE PE
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P1
PD P2 4.719,12 0,0 0,0 0,0 0,0 1.553,65 0,0 0,0 0,0
PD P3 0,0 1.573,04 851,51 2.686,64 0,0 0,0 1.968,70 586,41 2.140,41
PE P4 0,0 0,0 0,0 0,0 2.067,65 0,0 0,0 0,0 0,0
PE P5
PE P6
CC E9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E10 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
CC E11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65 1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41
= = = = = = = = =
4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65 1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1,03 0,21 -0,26 -0,26 1,03 1,03 0,21 -0,26 -0,26
4.719,12 1.573,04 851,51 2.686,64 2.067,65 1.553,65 1.968,70 586,41 2.140,41
6.425,08 6.425,08 6.425,08 6.425,08 4.859,34 6.425,08 6.425,08 6.425,08 6.425,08
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM (m³)
PREÇO SOMBRA
RHS Lower
RHS Upper
ATERRO
RESTRIÇÃO
FOLGA
149
FIG. 9.7 – Solução da distribuição de materiais de terraplenagem (continuação)
RESULTADOS DA APLICAÇÃO: MS EXCEL E SOLVER
MOMENTO DE TRANSPORTE: 244.720,5
CUSTO TOTAL DE TERRAPLENAGEM: R$ 4.444.867,24
CUSTO DA ESCAVAÇÃO, CARGA E TRANSP.: R$ 3.117.460,88
CUSTO DA CONSTRUÇÃO DOS ATERROS: R$ 1.327.406,36
CUSTO DO MOMENTO EXTRAORDINÁRIO: R$ 0,00
CUSTO DE INDENIZAÇÃO: R$ 0,00
PD PE PD
B13 B14 B15
PD P1 0,0 0,0 0,0 63,20 = 63,20 0,0 7,54 63,20 26.635,17
PD P2 0,0 0,0 0,0 34.925,20 = 34.925,20 0,0 7,99 6.425,08 26.635,17
PD P3 0,0 0,0 0,0 172.093,44 = 172.093,44 0,0 9,28 6.425,08 26.635,17
PE P4 0,0 0,0 0,0 77.788,60 = 77.788,60 0,0 7,54 4.859,34 26.635,17
PE P5 0,0 0,0 0,0 26.906,80 = 26.906,80 0,0 7,93 19.130,71 1.130,86
PE P6 0,0 0,0 19.130,71 188.068,78 = 188.068,78 0,0 9,28 19.130,71 40.287,29
CC E9 0,0 ≤ 144.025,0 144.025,0 0,0 144.025,0 1E+30
CC E10 0,0 ≤ 90.503,0 90.503,0 0,0 90.503,0 1E+30
CC E11 0,0 ≤ 527.454,0 527.454,0 0,0 527.454,0 1E+30
0,0 0,0 19.130,71
≤ ≤ ≤
60.587,26 59.418,0 59.418,0
60.587,26 59.418,0 40.287,29
0,0 0,0 0,0
60.587,26 59.418,0 40.287,29
1E+30 1E+30 1E+30
RHS Upper
DISTRIBUIÇÃO DOS MATERIAIS DE TERRAPLENAGEM (m³)
PREÇO SOMBRA
RHS Lower
RHS Upper
FOLGA PREÇO SOMBRA RHS Low erRESTRIÇÃOCORTE
ATERRO
RESTRIÇÃO
FOLGA
150
9.2 APÊNDICE 2 – DESENVOLVIMENTO DO PROBLEMA DO ITEM 5.1: ESTUDO
REDUZIDO
9.2.1 MATRIZES DE ENTRADA DE DADOS
Nestas figuras pode ser notada a formatação feita com o intuito de facilitar a
leitura e interpretação dos dados no MS Excel, onde, as células das iterações que
não devem acontecer foram preenchidas com fonte na cor vermelha e fundo rosado;
as células das iterações com materiais apenas para construção de corpo de aterro
com fonte na cor preta; e, as células das iterações com materiais que podem ser
utilizados para a construção de corpo de aterro e camada final de terraplenagem
com fonte na cor azul. Este padrão foi adotado para as demais matrizes de dados.
FIG. 9.8 – Matriz de DMT entre escavações e aterros
DMT - Distância Média de transportes entre segmentos
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 77,77 484,42 654,98 1181,81 262,67 84,98 384,06
PD P2 109,68 452,51 623,07 1149,9 294,58 53,07 352,15
PD P3 370,23 191,96 362,52 889,35 555,13 207,48 91,6
PD P4 496,3 65,89 236,45 763,28 681,2 333,55 34,47
PD P5 833,82 271,63 101,07 425,76 1018,72 671,07 371,99
PD P6 889,97 327,78 157,22 369,61 1074,87 727,22 428,14
PD P7 960,95 398,76 228,2 298,63 1145,85 798,2 499,12
PD P8 1028,46 466,27 295,71 231,12 1213,36 865,71 566,63
PD P9 1128,95 566,76 396,2 130,63 1313,85 966,2 667,12
PE P10 75,66 637,85 808,41 1335,24 109,24 238,41 537,49
PE P11 39,41 601,6 772,16 1298,99 145,49 202,16 501,24
PE P12 24,23 537,96 708,52 1235,35 209,13 138,52 437,6
PE P13 283,82 278,37 448,93 975,76 468,72 121,07 178,01
PE P14 755,84 193,65 23,09 503,74 940,74 593,09 294,01
PE P15 877,21 315,02 144,46 382,37 1062,11 714,46 415,38
PE P16 968,9 406,71 236,15 290,68 1153,8 806,15 507,07
PE P17 1068,01 505,82 335,26 191,57 1252,91 905,26 606,18
PD S1 171,99 734,18 904,74 1431,57 12,91 334,74 633,82
PD T1 171,99 734,18 904,74 1431,57 12,91 334,74 633,82
CC E9 1391,99 1954,18 2124,74 2651,57 1207,09 1554,74 1853,82
CC E10 1618,01 1055,82 885,26 358,43 1802,91 1455,26 1156,18
151
FIG. 9.8 – Matriz de DMT entre escavações e aterros (continuação)
FIG. 9.8 – Matriz de DMT entre escavações e aterros (continuação)
DMT - Distância Média de transportes entre segmentos
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 573,33 1086,66 9,76 450,24 666,94 1185,19 239,56
PD P2 541,42 1054,75 41,67 418,33 635,03 1153,28 271,47
PD P3 280,87 794,2 302,22 157,78 374,48 892,73 532,02
PD P4 154,8 668,13 428,29 31,71 248,41 766,66 658,09
PD P5 182,72 330,61 765,81 305,81 89,11 429,14 995,61
PD P6 238,87 274,46 821,96 361,96 145,26 372,99 1051,76
PD P7 309,85 203,48 892,94 432,94 216,24 302,01 1122,74
PD P8 377,36 135,97 960,45 500,45 283,75 234,5 1190,25
PD P9 477,85 35,48 1060,94 600,94 384,24 134,01 1290,74
PE P10 726,76 1240,09 143,67 603,67 820,37 1338,62 86,13
PE P11 690,51 1203,84 107,42 567,42 784,12 1302,37 122,38
PE P12 626,87 1140,2 43,78 503,78 720,48 1238,73 186,02
PE P13 367,28 880,61 215,81 244,19 460,89 979,14 445,61
PE P14 104,74 408,59 687,83 227,83 11,13 507,12 917,63
PE P15 226,11 287,22 809,2 349,2 132,5 385,75 1039
PE P16 317,8 195,53 900,89 440,89 224,19 294,06 1130,69
PE P17 416,91 96,42 1000 540 323,3 194,95 1229,8
PD S1 823,09 1336,42 240 700 916,7 1434,95 10,2
PD T1 823,09 1336,42 240 700 916,7 1434,95 10,2
CC E9 2043,09 2556,42 1460 1920 2136,7 2654,95 1230,2
CC E10 966,91 453,58 1550 1090 873,3 355,05 1779,8
DMT - Distância Média de transportes entre segmentos
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 67,43 363,15 578,99 1104,32 3269,76 1690,24 1730,24
PD P2 35,52 331,24 547,08 1072,41 3301,67 1658,33 1698,33
PD P3 225,03 70,69 286,53 811,86 3562,22 1397,78 1437,78
PD P4 351,1 55,38 160,46 685,79 3688,29 1271,71 1311,71
PD P5 688,62 392,9 177,06 348,27 4025,81 934,19 974,19
PD P6 744,77 449,05 233,21 292,12 4081,96 878,04 918,04
PD P7 815,75 520,03 304,19 221,14 4152,94 807,06 847,06
PD P8 883,26 587,54 371,7 153,63 4220,45 739,55 779,55
PD P9 983,75 688,03 472,19 53,14 4320,94 639,06 679,06
PE P10 220,86 516,58 732,42 1257,75 3116,33 1843,67 1883,67
PE P11 184,61 480,33 696,17 1221,5 3152,58 1807,42 1847,42
PE P12 120,97 416,69 632,53 1157,86 3216,22 1743,78 1783,78
PE P13 138,62 157,1 372,94 898,27 3475,81 1484,19 1524,19
PE P14 610,64 314,92 99,08 426,25 3947,83 1012,17 1052,17
PE P15 732,01 436,29 220,45 304,88 4069,2 890,8 930,8
PE P16 823,7 527,98 312,14 213,19 4160,89 799,11 839,11
PE P17 922,81 627,09 411,25 114,08 4260 700 740
PD S1 317,19 612,91 828,75 1354,08 3020 1940 1980
PD T1 317,19 612,91 828,75 1354,08 3020 1940 1980
CC E9 1537,19 1832,91 2048,75 2574,08 2100 3160 3200
CC E10 1472,81 1177,09 961,25 435,92 4810 550 590
152
FIG. 9.9 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de escavação, carga e transporte
FIG. 9.9 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de escavação, carga e transporte (continuação)
Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte - SICRO 2
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 5,44 6,36 6,79 7,55 5,89 5,44 5,89
PD P2 5,44 6,36 6,79 7,55 5,89 5,44 5,89
PD P3 5,89 5,44 5,89 7,18 6,36 5,89 5,44
PD P4 6,36 5,44 5,89 6,79 6,79 5,89 1,79
PD P5 7,18 5,89 5,44 6,36 7,55 6,79 5,89
PD P6 7,18 5,89 5,44 5,89 7,55 6,79 6,36
PD P7 7,18 5,89 5,89 5,89 7,55 6,79 6,36
PD P8 7,55 6,36 5,89 5,89 7,95 7,18 6,36
PD P9 7,55 6,36 5,89 5,44 7,95 7,18 6,79
PE P10 5,44 6,79 7,18 7,95 5,44 5,89 6,36
PE P11 1,79 6,79 6,79 7,95 5,44 5,89 6,36
PE P12 1,79 6,36 6,79 7,95 5,89 5,44 6,36
PE P13 5,89 5,89 6,36 7,18 6,36 5,44 5,44
PE P14 6,79 5,44 1,79 6,36 7,18 6,36 5,89
PE P15 7,18 5,89 5,44 5,89 7,55 6,79 6,36
PE P16 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55 7,18 6,36
PE P17 7,55 6,36 5,89 5,44 7,95 7,18 6,79
PD S1 7,62 8,99 9,78 11 3,78 8,2 8,99
PD T1 23,25 26,2 27,05 27,42 18,94 24,11 26,2
CC E9 7,95 9 10,09 10,09 7,95 8,25 9
CC E10 8,39 7,55 7,18 5,89 9 8,25 7,55
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 6,36 7,55 1,79 6,36 6,79 7,55 5,89
PD P2 6,36 7,55 1,79 6,36 6,79 7,55 5,89
PD P3 5,89 6,79 5,89 5,44 5,89 7,18 6,36
PD P4 5,44 6,79 6,36 1,79 5,89 6,79 6,79
PD P5 5,44 5,89 6,79 5,89 5,44 6,36 7,18
PD P6 5,89 5,89 7,18 5,89 5,44 5,89 7,55
PD P7 5,89 5,89 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55
PD P8 5,89 5,44 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55
PD P9 6,36 1,79 7,55 6,36 5,89 5,44 7,95
PE P10 6,79 7,95 5,44 6,79 7,18 7,95 5,44
PE P11 6,79 7,95 5,44 6,36 6,79 7,95 5,44
PE P12 6,79 7,55 1,79 6,36 6,79 7,95 5,44
PE P13 5,89 7,18 5,89 5,89 6,36 7,18 6,36
PE P14 5,44 6,36 6,79 5,89 1,79 6,36 7,18
PE P15 5,89 5,89 7,18 5,89 5,44 5,89 7,55
PE P16 5,89 5,44 7,18 6,36 5,89 5,89 7,55
PE P17 6,36 5,44 7,18 6,36 5,89 5,44 7,95
PD S1 9,78 10,69 8,2 8,99 9,78 11 3,78
PD T1 27,05 27,42 24,11 26,2 27,05 27,42 18,94
CC E9 10,09 10,09 8,25 9 10,09 10,09 7,95
CC E10 7,18 6,36 8,25 7,55 7,18 5,89 8,39
Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte - SICRO 2
153
FIG. 9.9 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de escavação, carga e transporte (continuação)
FIG. 9.10 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de construção de corpo de aterro, camada final de terraplenagem e bota-fora
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 5,44 5,89 6,36 7,55 13,36 8,39 8,39
PD P2 1,79 5,89 6,36 7,55 13,36 8,39 8,39
PD P3 5,89 5,44 5,89 7,18 13,36 7,95 8,25
PD P4 5,89 5,44 5,44 6,79 13,36 7,95 7,95
PD P5 6,79 5,89 5,44 5,89 13,36 7,18 7,18
PD P6 6,79 6,36 5,89 5,89 13,36 7,18 7,18
PD P7 7,18 6,36 5,89 5,89 13,36 7,18 7,18
PD P8 7,18 6,36 5,89 5,44 13,36 6,79 6,79
PD P9 7,18 6,79 6,36 5,44 13,36 6,79 6,79
PE P10 5,89 6,36 6,79 7,95 13,36 9 9
PE P11 5,44 6,36 6,79 7,95 13,36 9 9
PE P12 5,44 6,36 6,79 7,55 13,36 8,39 8,39
PE P13 5,44 5,44 5,89 7,18 13,36 8,25 8,25
PE P14 6,79 5,89 5,44 6,36 13,36 7,55 7,55
PE P15 6,79 6,36 5,89 5,89 13,36 7,18 7,18
PE P16 7,18 6,36 5,89 5,89 13,36 6,79 7,18
PE P17 7,18 6,79 6,36 5,44 13,36 6,79 6,79
PD S1 8,2 8,99 9,78 10,69 17,02 11,9 11,9
PD T1 24,11 26,2 27,05 27,42 27,42 27,42 27,42
CC E9 8,25 9 10,09 10,09 10,09 13,36 13,36
CC E10 8,25 7,55 7,18 6,36 13,36 6,36 6,36
Custo unitário por m³ dos serviços de Escavação, Carga e Transporte - SICRO 2
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P2 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P3 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P4 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P5 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P6 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P7 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P8 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD P9 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P10 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P11 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P12 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P13 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P14 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P15 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P16 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PE P17 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD S1 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
PD T1 8,41 8,41 8,41 8,41 8,41 8,41 8,41
CC E9 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
CC E10 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62
Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo de Aterro, Camada Final de
Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2
154
FIG. 9.10 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de construção de corpo de aterro, camada final de terraplenagem e bota-fora (continuação)
FIG. 9.10 – Matriz de custos unitários por m³ dos serviços de construção de corpo de aterro, camada final de terraplenagem e bota-fora (continuação)
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P2 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P3 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P4 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P5 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P6 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P7 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P8 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD P9 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P10 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P11 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P12 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P13 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P14 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P15 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P16 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PE P17 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD S1 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
PD T1 8,41 8,41 65,69 65,69 65,69 65,69 65,69
CC E9 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
CC E10 2,62 2,62 3,06 3,06 3,06 3,06 3,06
Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo de Aterro, Camada Final de
Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P2 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P3 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P4 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P5 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P6 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P7 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P8 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD P9 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P10 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P11 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P12 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P13 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P14 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P15 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P16 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PE P17 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD S1 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
PD T1 65,69 65,69 65,69 65,69 2,07 2,07 2,07
CC E9 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
CC E10 3,06 3,06 3,06 3,06 2,07 2,07 2,07
Custo unitário por m³ dos serviços de Construção e Compactação de Corpo de Aterro, Camada Final de
Terraplenagem e Bota-fora - SICRO 2
155
FIG. 9.11 – Matriz de custos unitários por m³ do Momento Extraordinário de Transporte
FIG. 9.11– Matriz de custos unitários por m³ do Momento Extraordinário de Transporte (continuação)
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0,46 0 0 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Custo unitário por m³ do Transporte Extraordinário - SICRO 2
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0,27 0 0 0 0,47 0
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Custo unitário por m³ do Transporte Extraordinário - SICRO 2
156
FIG. 9.11– Matriz de custos unitários por m³ do Momento Extraordinário de Transporte (continuação)
FIG. 9.12 – Matriz de custo unitário por m³ de indenização de empréstimos e bota-fora
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0,31 3,64 1,48 1,56
CC E9 0 0 0 0 0 0 0
CC E10 0 0 0 0 0 0 0
Custo unitário por m³ do Transporte Extraordinário - SICRO 2
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 0,0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
CC E10 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos
157
FIG. 9.12 – Matriz de custo unitário por m³ de indenização de empréstimos e bota-fora (continuação)
FIG. 9.12 – Matriz de custo unitário por m³ de indenização de empréstimos e bota-fora (continuação)
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
CC E10 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 0 0 0 0 0 0 0
PD P2 0 0 0 0 0 0 0
PD P3 0 0 0 0 0 0 0
PD P4 0 0 0 0 0 0 0
PD P5 0 0 0 0 0 0 0
PD P6 0 0 0 0 0 0 0
PD P7 0 0 0 0 0 0 0
PD P8 0 0 0 0 0 0 0
PD P9 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0 0 0 0 0 0 0
PE P11 0 0 0 0 0 0 0
PE P12 0 0 0 0 0 0 0
PE P13 0 0 0 0 0 0 0
PE P14 0 0 0 0 0 0 0
PE P15 0 0 0 0 0 0 0
PE P16 0 0 0 0 0 0 0
PE P17 0 0 0 0 0 0 0
PD S1 0 0 0 0 0 0 0
PD T1 0 0 0 0 0 0 0
CC E9 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
CC E10 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
Custo unitário por m³ de aquisição ou indenização de jazidas e empréstimos
158
FIG. 9.13 – Matriz dos custos totais por m³ de cada iteração
FIG. 9.13 – Matriz dos custos totais por m³ de cada iteração (continuação)
Pista PD PD PD PD PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
PD P1 8,06 8,98 9,41 10,17 8,51 8,06 8,51
PD P2 8,06 8,98 9,41 10,17 8,51 8,06 8,51
PD P3 8,51 8,06 8,51 9,8 8,98 8,51 8,06
PD P4 8,98 8,06 8,51 9,41 9,41 8,51 4,41
PD P5 9,8 8,51 8,06 8,98 10,17 9,41 8,51
PD P6 9,8 8,51 8,06 8,51 10,17 9,41 8,98
PD P7 9,8 8,51 8,51 8,51 10,17 9,41 8,98
PD P8 10,17 8,98 8,51 8,51 10,57 9,8 8,98
PD P9 10,17 8,98 8,51 8,06 10,57 9,8 9,41
PE P10 8,06 9,41 9,8 10,57 8,06 8,51 8,98
PE P11 4,41 9,41 9,41 10,57 8,06 8,51 8,98
PE P12 4,41 8,98 9,41 10,57 8,51 8,06 8,98
PE P13 8,51 8,51 8,98 9,8 8,98 8,06 8,06
PE P14 9,41 8,06 4,41 8,98 9,8 8,98 8,51
PE P15 9,8 8,51 8,06 8,51 10,17 9,41 8,98
PE P16 9,8 8,98 8,51 8,51 10,17 9,8 8,98
PE P17 10,17 8,98 8,51 8,06 10,57 9,8 9,41
PD S1 10,24 11,61 12,4 13,62 6,4 10,82 11,61
PD T1 31,66 34,61 35,46 36,29 27,35 32,52 34,61
CC E9 10,62 11,67 12,76 12,76 10,62 10,92 11,67
CC E10 11,11 10,27 9,9 8,61 11,72 10,97 10,27
Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2
Pista PE PE PD PD PD PD PE
Pista Cortes Aterros A8 A9 F1 F2 F3 F4 F5
PD P1 8,98 10,17 4,85 9,42 9,85 10,61 8,95
PD P2 8,98 10,17 4,85 9,42 9,85 10,61 8,95
PD P3 8,51 9,41 8,95 8,5 8,95 10,24 9,42
PD P4 8,06 9,41 9,42 4,85 8,95 9,85 9,85
PD P5 8,06 8,51 9,85 8,95 8,5 9,42 10,24
PD P6 8,51 8,51 10,24 8,95 8,5 8,95 10,61
PD P7 8,51 8,51 10,24 9,42 8,95 8,95 10,61
PD P8 8,51 8,06 10,24 9,42 8,95 8,95 10,61
PD P9 8,98 4,41 10,61 9,42 8,95 8,5 11,01
PE P10 9,41 10,57 8,5 9,85 10,24 11,01 8,5
PE P11 9,41 10,57 8,5 9,42 9,85 11,01 8,5
PE P12 9,41 10,17 4,85 9,42 9,85 11,01 8,5
PE P13 8,51 9,8 8,95 8,95 9,42 10,24 9,42
PE P14 8,06 8,98 9,85 8,95 4,85 9,42 10,24
PE P15 8,51 8,51 10,24 8,95 8,5 8,95 10,61
PE P16 8,51 8,06 10,24 9,42 8,95 8,95 10,61
PE P17 8,98 8,06 10,24 9,42 8,95 8,5 11,01
PD S1 12,4 13,31 11,26 12,05 12,84 14,06 6,84
PD T1 35,46 36,1 89,8 91,89 92,74 93,58 84,63
CC E9 12,76 12,76 11,36 12,11 13,2 13,2 11,06
CC E10 9,9 9,08 11,41 10,71 10,34 9,05 11,55
Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2
159
FIG. 9.13 – Matriz dos custos totais por m³ de cada iteração (continuação)
9.2.2 MATRIZES DO RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE DOS COEFICIENTES
DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
FIG. 9.14 – Matriz de custo reduzido para quantidades de corpo de aterro
Pista PE PE PE PE PD PE PD
Pista Cortes Aterros F6 F7 F8 F9 B13 B14 B15
PD P1 8,5 8,95 9,42 10,61 15,43 10,46 10,46
PD P2 4,85 8,95 9,42 10,61 15,43 10,46 10,46
PD P3 8,95 8,5 8,95 10,24 15,43 10,02 10,32
PD P4 8,95 8,5 8,5 9,85 15,43 10,02 10,02
PD P5 9,85 8,95 8,5 8,95 15,43 9,25 9,25
PD P6 9,85 9,42 8,95 8,95 15,43 9,25 9,25
PD P7 10,24 9,42 8,95 8,95 15,43 9,25 9,25
PD P8 10,24 9,42 8,95 8,5 15,43 8,86 8,86
PD P9 10,24 9,85 9,42 8,5 15,43 8,86 8,86
PE P10 8,95 9,42 9,85 11,01 15,43 11,07 11,07
PE P11 8,5 9,42 9,85 11,01 15,43 11,07 11,07
PE P12 8,5 9,42 9,85 10,61 15,43 10,46 10,46
PE P13 8,5 8,5 8,95 10,24 15,43 10,32 10,32
PE P14 9,85 8,95 8,5 9,42 15,43 9,62 9,62
PE P15 9,85 9,42 8,95 8,95 15,43 9,25 9,25
PE P16 10,24 9,42 8,95 8,95 15,43 8,86 9,25
PE P17 10,24 9,85 9,42 8,5 15,43 8,86 8,86
PD S1 11,26 12,05 12,84 13,75 19,09 13,97 13,97
PD T1 89,8 91,89 92,74 93,42 33,13 30,97 31,05
CC E9 11,36 12,11 13,2 13,2 12,21 15,48 15,48
CC E10 11,41 10,71 10,34 9,52 15,53 8,53 8,53
Custo unitário por m³ dos serviços de terraplenagem - SICRO 2
CA_RC ReduceCost / Custo Reduzido
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 0 2,21 6,27 3,4 0,08 0,39 1,27 2,21 3,85
PD P3 0 0,84 4,92 2,58 0,1 0,39 0,37 1,29 2,64
PD P4 3,75 4,12 8,2 5,47 3,81 3,67 0 4,12 5,92
PD P5 0,47 0,47 3,65 0,94 0,47 0,47 0 0,02 0,92
PD P6 0 0 3,18 0 0 0 0 0 0,45
PD P7 0 0 3,63 0 0 0 0 0 0,45
PD P8 0,37 0,47 3,63 0 0,4 0,39 0 0 0
PE P10 0,37 3,01 7,03 4,17 0 1,21 2,11 3,01 4,62
PE P11 0 6,29 9,92 7,45 3,28 4,49 5,39 6,29 7,9
PE P12 0 5,86 9,92 7,45 3,73 4,04 5,39 6,29 7,5
PE P13 0,06 1,35 5,45 2,64 0,16 0 0,43 1,35 3,09
PE P14 0,08 0,02 0 0,94 0,1 0,04 0 0,02 1,39
PE P15 0 0 3,18 0 0 0 0 0 0,45
PE P16 0 0,47 3,63 0 0 0,39 0 0 0
PE P17 0,82 0,92 4,08 0 0,85 0,84 0,88 0,92 0,45
PD S1 4,21 6,87 11,29 8,88 0 5,18 6,4 7,66 9,02
PD T1 4,68 8,92 13,4 10,6 0 5,93 8,45 9,77 10,86
CC E9 9,68 12,02 16,74 13,11 9,31 10,37 11,55 13,11 13,56
CC E10 10,17 10,62 13,88 8,96 10,41 10,42 10,15 10,25 9,88
160
FIG. 9.15 – Matriz de custo reduzido para quantidades de camada final de terraplenagem
FIG. 9.16 – Matriz de coeficientes das variáveis de bota-fora
CF_RC ReduceCost / Custo Reduzido
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P3 0 0,37 1,29 2,58 0,1 0 0,37 1,29 2,58
PD P5 0,08 0 0,02 0,94 0,1 0,08 0 0,02 0,47
PD P7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PE P10 0,37 2,54 3,4 4,17 0 0,82 2,11 3,01 4,17
PE P12 0 5,39 6,29 7,45 3,28 3,65 5,39 6,29 7,05
PE P17 0,45 0,45 0,45 0 0,85 0,45 0,88 0,92 0
CC E9 9,98 11,55 13,11 13,11 9,31 9,98 11,55 13,11 13,11
CC E10 10,03 10,15 10,25 8,96 9,8 10,03 10,15 10,25 9,43
BF_RC ReduceCost / Custo Reduzido
Pista PD PE PD
Pista Cortes Aterros B13 B14 B15
PD P1 8,31 3,34 3,34
PD P2 4,97 0 0
PD P3 7,86 2,45 2,75
PD P4 11,14 5,73 5,73
PD P5 7,04 0,86 0,86
PD P6 6,57 0,39 0,39
PD P7 6,57 0,39 0,39
PD P8 6,57 0 0
PD P9 6,57 0 0
PE P10 8,68 4,32 4,32
PE P11 11,96 7,6 7,6
PE P12 11,96 6,99 6,99
PE P13 7,92 2,81 2,81
PE P14 7,04 1,23 1,23
PE P15 6,57 0,39 0,39
PE P16 6,57 0 0,39
PE P17 7,02 0,45 0,45
PD S1 14 8,88 8,88
PD T1 7,09 4,93 5,01
161
FIG. 9.17 – Matriz de coeficientes das variáveis de corpo de aterro
FIG. 9.18 – Matriz de coeficientes das variáveis de camada final de terraplenagem
CA_OC ObjectCoeff / Coeficiente
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 8,06 8,98 9,41 10,17 8,51 8,06 8,51 8,98 10,17
PD P3 8,51 8,06 8,51 9,8 8,98 8,51 8,06 8,51 9,41
PD P4 8,98 8,06 8,51 9,41 9,41 8,51 4,41 8,06 9,41
PD P5 9,8 8,51 8,06 8,98 10,17 9,41 8,51 8,06 8,51
PD P6 9,8 8,51 8,06 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 8,51
PD P7 9,8 8,51 8,51 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 8,51
PD P8 10,17 8,98 8,51 8,51 10,57 9,8 8,98 8,51 8,06
PE P10 8,06 9,41 9,8 10,57 8,06 8,51 8,98 9,41 10,57
PE P11 4,41 9,41 9,41 10,57 8,06 8,51 8,98 9,41 10,57
PE P12 4,41 8,98 9,41 10,57 8,51 8,06 8,98 9,41 10,17
PE P13 8,51 8,51 8,98 9,8 8,98 8,06 8,06 8,51 9,8
PE P14 9,41 8,06 4,41 8,98 9,8 8,98 8,51 8,06 8,98
PE P15 9,8 8,51 8,06 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 8,51
PE P16 9,8 8,98 8,51 8,51 10,17 9,8 8,98 8,51 8,06
PE P17 10,17 8,98 8,51 8,06 10,57 9,8 9,41 8,98 8,06
PD S1 10,24 11,61 12,4 13,62 6,4 10,82 11,61 12,4 13,31
PD T1 31,66 34,61 35,46 36,29 27,35 32,52 34,61 35,46 36,1
CC E9 10,62 11,67 12,76 12,76 10,62 10,92 11,67 12,76 12,76
CC E10 11,11 10,27 9,9 8,61 11,72 10,97 10,27 9,9 9,08
CF_OC ObjectCoeff / Coeficiente
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P3 8,95 8,5 8,95 10,24 9,42 8,95 8,5 8,95 10,24
PD P5 9,85 8,95 8,5 9,42 10,24 9,85 8,95 8,5 8,95
PD P7 10,24 9,42 8,95 8,95 10,61 10,24 9,42 8,95 8,95
PE P10 8,5 9,85 10,24 11,01 8,5 8,95 9,42 9,85 11,01
PE P12 4,85 9,42 9,85 11,01 8,5 8,5 9,42 9,85 10,61
PE P17 10,24 9,42 8,95 8,5 11,01 10,24 9,85 9,42 8,5
CC E9 11,36 12,11 13,2 13,2 11,06 11,36 12,11 13,2 13,2
CC E10 11,41 10,71 10,34 9,05 11,55 11,41 10,71 10,34 9,52
162
FIG. 9.19 – Matriz de coeficientes das variáveis de bota-fora
FIG. 9.20 – Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de corpo de aterro
BF_OC ObjectCoeff / Coeficiente
Pista PD PE PD
Pista Cortes Aterros B13 B14 B15
PD P1 15,43 10,46 10,46
PD P2 15,43 10,46 10,46
PD P3 15,43 10,02 10,32
PD P4 15,43 10,02 10,02
PD P5 15,43 9,25 9,25
PD P6 15,43 9,25 9,25
PD P7 15,43 9,25 9,25
PD P8 15,43 8,86 8,86
PD P9 15,43 8,86 8,86
PE P10 15,43 11,07 11,07
PE P11 15,43 11,07 11,07
PE P12 15,43 10,46 10,46
PE P13 15,43 10,32 10,32
PE P14 15,43 9,62 9,62
PE P15 15,43 9,25 9,25
PE P16 15,43 8,86 9,25
PE P17 15,43 8,86 8,86
PD S1 19,09 13,97 13,97
PD T1 33,13 30,97 31,05
CA_OL ObjectLower / Limite inferior
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 -1E+20 6,77 3,14 6,77 8,43 7,67 7,24 6,77 6,32
PD P3 -1E+20 7,22 3,59 7,22 8,88 8,12 7,69 7,22 6,77
PD P4 5,23 3,94 0,31 3,94 5,6 4,84 -1E+20 3,94 3,49
PD P5 9,33 8,04 4,41 8,04 9,7 8,94 8,51 8,04 7,59
PD P6 9,8 8,51 4,88 8,51 10,17 9,35 8,96 8,51 8,06
PD P7 9,8 -1E+20 4,88 8,51 10,17 9,41 8,98 -1E+20 8,06
PD P8 9,8 8,51 4,88 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 8,06
PE P10 7,69 6,4 2,77 6,4 8,06 7,3 6,87 6,4 5,95
PE P11 -1E+20 3,12 -0,51 3,12 4,78 4,02 3,59 3,12 2,67
PE P12 -1E+20 3,12 -0,51 3,12 4,78 4,02 3,59 3,12 2,67
PE P13 8,45 7,16 3,53 7,16 8,82 -1E+20 7,63 7,16 6,71
PE P14 9,33 8,04 -1E+20 8,04 9,7 8,94 5,33 8,04 7,59
PE P15 -1E+20 8,51 4,88 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 8,06
PE P16 9,8 8,51 4,88 8,51 10,17 9,41 8,98 8,51 -1E+20
PE P17 9,35 8,06 4,43 8,06 9,72 8,96 8,53 8,06 7,61
PD S1 6,03 4,74 1,11 4,74 -1E+20 5,64 5,21 4,74 4,29
PD T1 26,98 25,69 22,06 25,69 -1E+20 26,59 26,16 25,69 25,24
CC E9 0,94 -0,35 -3,98 -0,35 1,31 0,55 0,12 -0,35 -0,8
CC E10 0,94 -0,35 -3,98 -0,35 1,31 0,55 0,12 -0,35 -0,8
163
FIG. 9.21 – Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de camada final de terraplenagem
FIG. 9.22 – Matriz de limite inferior para variação do coeficiente de bota-fora
CF_OL ObjectLower / Limite inferior
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P3 8,95 8,13 7,66 7,66 9,32 8,95 8,13 7,66 7,66
PD P5 9,77 -1E+20 8,48 8,48 10,14 9,77 -1E+20 8,48 8,48
PD P7 -1E+20 9,42 -1E+20 -1E+20 10,61 -1E+20 9,42 -1E+20 8,95
PE P10 8,13 7,31 6,84 6,84 -1E+20 8,13 7,31 6,84 6,84
PE P12 4,85 4,03 3,56 3,56 5,22 4,85 4,03 3,56 3,56
PE P17 9,79 8,97 8,5 8,5 10,16 9,79 8,97 8,5 -1E+20
CC E9 1,38 0,56 0,09 0,09 1,75 1,38 0,56 0,09 0,09
CC E10 1,38 0,56 0,09 0,09 1,75 1,38 0,56 0,09 0,09
BF_OL ObjectLower / Limite inferior
Pista PD PE PD
Pista Cortes Aterros B13 B14 B15
PD P1 7,12 7,12 7,12
PD P2 10,46 10,46 -1E+20
PD P3 7,57 7,57 7,57
PD P4 4,29 4,29 4,29
PD P5 8,39 8,39 8,39
PD P6 8,86 8,86 8,86
PD P7 8,86 8,86 8,86
PD P8 8,86 8,86 8,86
PD P9 8,86 -1E+20 8,86
PE P10 6,75 6,75 6,75
PE P11 3,47 3,47 3,47
PE P12 3,47 3,47 3,47
PE P13 7,51 7,51 7,51
PE P14 8,39 8,39 8,39
PE P15 8,86 8,86 8,86
PE P16 8,86 8,86 8,86
PE P17 8,41 8,41 8,41
PD S1 5,09 5,09 5,09
PD T1 26,04 26,04 26,04
164
FIG. 9.23 – Matriz de limite superior para variação do coeficiente de corpo de aterro
FIG. 9.24 – Matriz de limite superior para variação do coeficiente de camada final de terraplenagem
CA_OU ObjectUpper / Limite superior
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
PD P1 8,14 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PD P3 8,51 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PD P4 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,08 1E+20 1E+20
PD P5 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,53 1E+20 1E+20
PD P6 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 10,17 9,41 8,98 1E+20 1E+20
PD P7 9,8 8,51 1E+20 8,51 1E+20 1E+20 1E+20 8,51 1E+20
PD P8 1E+20 1E+20 1E+20 8,51 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P10 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,43 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P11 7,69 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P12 4,41 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P13 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,12 1E+20 1E+20 1E+20
PE P14 1E+20 1E+20 7,59 1E+20 1E+20 1E+20 8,53 1E+20 1E+20
PE P15 9,8 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P16 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 10,17 1E+20 1E+20 1E+20 8,06
PE P17 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PD S1 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 10,61 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PD T1 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 32,03 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
CC E9 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
CC E10 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
CF_OU ObjectUpper / Limite superior
Pista PD PD PD PD PE PE PE PE PE
Pista Cortes Aterros F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
PD P3 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PD P5 1E+20 8,95 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,95 1E+20 1E+20
PD P7 10,24 1E+20 8,97 8,95 1E+20 10,24 1E+20 8,97 9,42
PE P10 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,5 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P12 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
PE P17 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 8,5
CC E9 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
CC E10 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 1E+20
165
FIG. 9.25 – Matriz de limite superior para variação do coeficiente de bota-fora
9.2.3 ARQUIVO DE SOLUÇÃO DO MPL PARA O PROBLEMA DO ITEM 5.1:
ESTUDO REDUZIDO
MPL Modeling System - Copyright (c) 1988-2015, Maximal Software, Inc. -------------------------------------------------------------------------------- MODEL STATISTICS Problem name: Terraplenagem Filename: Terraplenagem_R-02_V5.MPL Date: June 7, 2015 Time: 23:52 Parsing time: 1.45 sec MPL version: 4.2.14.107 Solver name: CPLEX (11.2.1) Objective value: 4047744.28480 Iterations: 0 Solution time: 0.03 sec Solver result: Optimal solution found Result code: 1 Constraints: 42 Variables: 300 Nonzeros: 600
BF_OU ObjectUpper / Limite superior
Pista PD PE PD
Pista Cortes Aterros B13 B14 B15
PD P1 1E+20 1E+20 1E+20
PD P2 1E+20 1E+20 10,46
PD P3 1E+20 1E+20 1E+20
PD P4 1E+20 1E+20 1E+20
PD P5 1E+20 1E+20 1E+20
PD P6 1E+20 1E+20 1E+20
PD P7 1E+20 1E+20 1E+20
PD P8 1E+20 8,86 1E+20
PD P9 1E+20 8,86 1E+20
PE P10 1E+20 1E+20 1E+20
PE P11 1E+20 1E+20 1E+20
PE P12 1E+20 1E+20 1E+20
PE P13 1E+20 1E+20 1E+20
PE P14 1E+20 1E+20 1E+20
PE P15 1E+20 1E+20 1E+20
PE P16 1E+20 8,86 1E+20
PE P17 1E+20 1E+20 1E+20
PD S1 1E+20 1E+20 1E+20
PD T1 1E+20 1E+20 1E+20
166
Density: 5 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MIN Custo = 4047744.2848 MACROS Macro Name Values ----------------------------------------------- CustoEscava 2739340.3682 CustoAterro 1308403.9166 CustoMExtra 0.0000 CustoInde 0.0000 CustoTotal 4047744.2848 ----------------------------------------------- DECISION VARIABLES VARIABLE QtdCAterro[matcaterro,caterro] : matcaterro caterro Activity Reduced Cost --------------------------------------------------------- P1 A1 59.7000 0.0000 P1 A2 0.0000 2.2100 P1 A3 0.0000 6.2700 P1 A4 0.0000 3.4000 P1 A5 0.0000 0.0800 P1 A6 0.0000 0.3900 P1 A7 0.0000 1.2700 P1 A8 0.0000 2.2100 P1 A9 0.0000 3.8500 P3 A1 34781.8000 0.0000 P3 A2 0.0000 0.8400 P3 A3 0.0000 4.9200 P3 A4 0.0000 2.5800 P3 A5 0.0000 0.1000 P3 A6 0.0000 0.3900 P3 A7 0.0000 0.3700 P3 A8 0.0000 1.2900 P3 A9 0.0000 2.6400 P4 A1 0.0000 3.7500 P4 A2 0.0000 4.1200 P4 A3 0.0000 8.2000 P4 A4 0.0000 5.4700 P4 A5 0.0000 3.8100 P4 A6 0.0000 3.6700 P4 A7 143.4000 0.0000 P4 A8 0.0000 4.1200 P4 A9 0.0000 5.9200 P5 A1 0.0000 0.4700 P5 A2 0.0000 0.4700 P5 A3 0.0000 3.6500 P5 A4 0.0000 0.9400
167
P5 A5 0.0000 0.4700 P5 A6 0.0000 0.4700 P5 A7 19158.7600 0.0000 P5 A8 0.0000 0.0200 P5 A9 0.0000 0.9200 P6 A1 0.0000 0.0000 P6 A2 0.0000 0.0000 P6 A3 0.0000 3.1800 P6 A4 0.0000 0.0000 P6 A5 10420.5600 0.0000 P6 A6 1130.8600 0.0000 P6 A7 25301.7800 0.0000 P6 A8 0.0000 0.0000 P6 A9 0.0000 0.4500 P7 A1 7229.1800 0.0000 P7 A2 28696.7600 0.0000 P7 A3 0.0000 3.6300 P7 A4 966.8100 0.0000 P7 A5 0.0000 0.0000 P7 A6 0.0000 0.0000 P7 A7 0.0000 0.0000 P7 A8 21852.0100 0.0000 P7 A9 0.0000 0.4500 P8 A1 0.0000 0.3700 P8 A2 0.0000 0.4700 P8 A3 0.0000 3.6300 P8 A4 31534.8900 0.0000 P8 A5 0.0000 0.4000 P8 A6 0.0000 0.3900 P8 A7 0.0000 0.0000 P8 A8 0.0000 0.0000 P8 A9 0.0000 0.0000 P10 A1 0.0000 0.3700 P10 A2 0.0000 3.0100 P10 A3 0.0000 7.0300 P10 A4 0.0000 4.1700 P10 A5 4134.8500 0.0000 P10 A6 0.0000 1.2100 P10 A7 0.0000 2.1100 P10 A8 0.0000 3.0100 P10 A9 0.0000 4.6200 P11 A1 17144.5000 0.0000 P11 A2 0.0000 6.2900 P11 A3 0.0000 9.9200 P11 A4 0.0000 7.4500 P11 A5 0.0000 3.2800 P11 A6 0.0000 4.4900 P11 A7 0.0000 5.3900 P11 A8 0.0000 6.2900 P11 A9 0.0000 7.9000 P12 A1 54441.6000 0.0000 P12 A2 0.0000 5.8600 P12 A3 0.0000 9.9200 P12 A4 0.0000 7.4500 P12 A5 0.0000 3.7300 P12 A6 0.0000 4.0400 P12 A7 0.0000 5.3900 P12 A8 0.0000 6.2900 P12 A9 0.0000 7.5000 P13 A1 0.0000 0.0600 P13 A2 0.0000 1.3500 P13 A3 0.0000 5.4500 P13 A4 0.0000 2.6400 P13 A5 0.0000 0.1600 P13 A6 26906.8000 0.0000 P13 A7 0.0000 0.4300 P13 A8 0.0000 1.3500 P13 A9 0.0000 3.0900
168
P14 A1 0.0000 0.0800 P14 A2 0.0000 0.0200 P14 A3 24891.7100 0.0000 P14 A4 0.0000 0.9400 P14 A5 0.0000 0.1000 P14 A6 0.0000 0.0400 P14 A7 17322.6900 0.0000 P14 A8 0.0000 0.0200 P14 A9 0.0000 1.3900 P15 A1 47083.0800 0.0000 P15 A2 0.0000 0.0000 P15 A3 0.0000 3.1800 P15 A4 0.0000 0.0000 P15 A5 0.0000 0.0000 P15 A6 0.0000 0.0000 P15 A7 0.0000 0.0000 P15 A8 0.0000 0.0000 P15 A9 0.0000 0.4500 P16 A1 0.0000 0.0000 P16 A2 0.0000 0.4700 P16 A3 0.0000 3.6300 P16 A4 0.0000 0.0000 P16 A5 55923.9500 0.0000 P16 A6 0.0000 0.3900 P16 A7 0.0000 0.0000 P16 A8 0.0000 0.0000 P16 A9 33060.2500 0.0000 P17 A1 0.0000 0.8200 P17 A2 0.0000 0.9200 P17 A3 0.0000 4.0800 P17 A4 0.0000 0.0000 P17 A5 0.0000 0.8500 P17 A6 0.0000 0.8400 P17 A7 0.0000 0.8800 P17 A8 0.0000 0.9200 P17 A9 0.0000 0.4500 S1 A1 0.0000 4.2100 S1 A2 0.0000 6.8700 S1 A3 0.0000 11.2900 S1 A4 0.0000 8.8800 S1 A5 286.7000 0.0000 S1 A6 0.0000 5.1800 S1 A7 0.0000 6.4000 S1 A8 0.0000 7.6600 S1 A9 0.0000 9.0200 T1 A1 0.0000 4.6800 T1 A2 0.0000 8.9200 T1 A3 0.0000 13.4000 T1 A4 0.0000 10.6000 T1 A5 95.5500 0.0000 T1 A6 0.0000 5.9300 T1 A7 0.0000 8.4500 T1 A8 0.0000 9.7700 T1 A9 0.0000 10.8600 E9 A1 0.0000 9.6800 E9 A2 0.0000 12.0200 E9 A3 0.0000 16.7400 E9 A4 0.0000 13.1100 E9 A5 0.0000 9.3100 E9 A6 0.0000 10.3700 E9 A7 0.0000 11.5500 E9 A8 0.0000 13.1100 E9 A9 0.0000 13.5600 E10 A1 0.0000 10.1700 E10 A2 0.0000 10.6200 E10 A3 0.0000 13.8800 E10 A4 0.0000 8.9600 E10 A5 0.0000 10.4100
169
E10 A6 0.0000 10.4200 E10 A7 0.0000 10.1500 E10 A8 0.0000 10.2500 E10 A9 0.0000 9.8800 --------------------------------------------------------- VARIABLE QtdCFinal[matcfinal,cfinal] : matcfinal cfinal Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------- P3 F1 0.0000 0.0000 P3 F2 0.0000 0.3700 P3 F3 0.0000 1.2900 P3 F4 0.0000 2.5800 P3 F5 0.0000 0.1000 P3 F6 0.0000 0.0000 P3 F7 0.0000 0.3700 P3 F8 0.0000 1.2900 P3 F9 0.0000 2.5800 P5 F1 0.0000 0.0800 P5 F2 1573.0400 0.0000 P5 F3 0.0000 0.0200 P5 F4 0.0000 0.9400 P5 F5 0.0000 0.1000 P5 F6 0.0000 0.0800 P5 F7 1968.7000 0.0000 P5 F8 0.0000 0.0200 P5 F9 0.0000 0.4700 P7 F1 4719.1200 0.0000 P7 F2 0.0000 0.0000 P7 F3 851.5100 0.0000 P7 F4 2686.6400 0.0000 P7 F5 0.0000 0.0000 P7 F6 1553.6500 0.0000 P7 F7 0.0000 0.0000 P7 F8 586.4100 0.0000 P7 F9 1119.4100 0.0000 P10 F1 0.0000 0.3700 P10 F2 0.0000 2.5400 P10 F3 0.0000 3.4000 P10 F4 0.0000 4.1700 P10 F5 2067.6500 0.0000 P10 F6 0.0000 0.8200 P10 F7 0.0000 2.1100 P10 F8 0.0000 3.0100 P10 F9 0.0000 4.1700 P12 F1 0.0000 0.0000 P12 F2 0.0000 5.3900 P12 F3 0.0000 6.2900 P12 F4 0.0000 7.4500 P12 F5 0.0000 3.2800 P12 F6 0.0000 3.6500 P12 F7 0.0000 5.3900 P12 F8 0.0000 6.2900 P12 F9 0.0000 7.0500 P17 F1 0.0000 0.4500 P17 F2 0.0000 0.4500 P17 F3 0.0000 0.4500 P17 F4 0.0000 0.0000 P17 F5 0.0000 0.8500 P17 F6 0.0000 0.4500 P17 F7 0.0000 0.8800 P17 F8 0.0000 0.9200 P17 F9 1021.0000 0.0000 E9 F1 0.0000 9.9800 E9 F2 0.0000 11.5500
170
E9 F3 0.0000 13.1100 E9 F4 0.0000 13.1100 E9 F5 0.0000 9.3100 E9 F6 0.0000 9.9800 E9 F7 0.0000 11.5500 E9 F8 0.0000 13.1100 E9 F9 0.0000 13.1100 E10 F1 0.0000 10.0300 E10 F2 0.0000 10.1500 E10 F3 0.0000 10.2500 E10 F4 0.0000 8.9600 E10 F5 0.0000 9.8000 E10 F6 0.0000 10.0300 E10 F7 0.0000 10.1500 E10 F8 0.0000 10.2500 E10 F9 0.0000 9.4300 ------------------------------------------------------- VARIABLE QtdBFora[matbfora,botafora] : matbfora botafora Activity Reduced Cost -------------------------------------------------------- P1 B13 0.0000 8.3100 P1 B14 0.0000 3.3400 P1 B15 0.0000 3.3400 P2 B13 0.0000 4.9700 P2 B14 0.0000 0.0000 P2 B15 3.5000 0.0000 P3 B13 0.0000 7.8600 P3 B14 0.0000 2.4500 P3 B15 0.0000 2.7500 P4 B13 0.0000 11.1400 P4 B14 0.0000 5.7300 P4 B15 0.0000 5.7300 P5 B13 0.0000 7.0400 P5 B14 0.0000 0.8600 P5 B15 0.0000 0.8600 P6 B13 0.0000 6.5700 P6 B14 0.0000 0.3900 P6 B15 0.0000 0.3900 P7 B13 0.0000 6.5700 P7 B14 0.0000 0.3900 P7 B15 0.0000 0.3900 P8 B13 0.0000 6.5700 P8 B14 10005.8500 0.0000 P8 B15 0.0000 0.0000 P9 B13 0.0000 6.5700 P9 B14 737.5000 0.0000 P9 B15 0.0000 0.0000 P10 B13 0.0000 8.6800 P10 B14 0.0000 4.3200 P10 B15 0.0000 4.3200 P11 B13 0.0000 11.9600 P11 B14 0.0000 7.6000 P11 B15 0.0000 7.6000 P12 B13 0.0000 11.9600 P12 B14 0.0000 6.9900 P12 B15 0.0000 6.9900 P13 B13 0.0000 7.9200 P13 B14 0.0000 2.8100 P13 B15 0.0000 2.8100 P14 B13 0.0000 7.0400 P14 B14 0.0000 1.2300 P14 B15 0.0000 1.2300 P15 B13 0.0000 6.5700 P15 B14 0.0000 0.3900
171
P15 B15 0.0000 0.3900 P16 B13 0.0000 6.5700 P16 B14 8766.1000 0.0000 P16 B15 0.0000 0.3900 P17 B13 0.0000 7.0200 P17 B14 0.0000 0.4500 P17 B15 0.0000 0.4500 S1 B13 0.0000 14.0000 S1 B14 0.0000 8.8800 S1 B15 0.0000 8.8800 T1 B13 0.0000 7.0900 T1 B14 0.0000 4.9300 T1 B15 0.0000 5.0100 -------------------------------------------------------- CONSTRAINTS CONSTRAINT TotalCorte[matbfora] : matbfora Slack Shadow Price ---------------------------------------------- P1 0.0000 7.1200 P2 0.0000 10.4600 P3 0.0000 7.5700 P4 0.0000 4.2900 P5 0.0000 8.3900 P6 0.0000 8.8600 P7 0.0000 8.8600 P8 0.0000 8.8600 P9 0.0000 8.8600 P10 0.0000 6.7500 P11 0.0000 3.4700 P12 0.0000 3.4700 P13 0.0000 7.5100 P14 0.0000 8.3900 P15 0.0000 8.8600 P16 0.0000 8.8600 P17 0.0000 8.4100 S1 0.0000 5.0900 T1 0.0000 26.0400 ---------------------------------------------- CONSTRAINT TotalAterro[vaterro] : vaterro Slack Shadow Price --------------------------------------------- A1 0.0000 0.9400 A2 0.0000 -0.3500 A3 0.0000 -3.9800 A4 0.0000 -0.3500 A5 0.0000 1.3100 A6 0.0000 0.5500 A7 0.0000 0.1200 A8 0.0000 -0.3500 A9 0.0000 -0.8000 F1 0.0000 1.3800 F2 0.0000 0.5600 F3 0.0000 0.0900 F4 0.0000 0.0900 F5 0.0000 1.7500 F6 0.0000 1.3800
172
F7 0.0000 0.5600 F8 0.0000 0.0900 F9 0.0000 0.0900 --------------------------------------------- CONSTRAINT TotalEmprestimo[emprestimo] : emprestimo Slack Shadow Price ------------------------------------------------ E9 144025.0000 0.0000 E10 90503.0000 0.0000 ------------------------------------------------ CONSTRAINT TotalBotafora[botafora] : botafora Slack Shadow Price ---------------------------------------------- B13 60587.2600 0.0000 B14 39908.5500 0.0000 B15 59414.5000 0.0000 ---------------------------------------------- RANGES OBJECTIVE VARIABLE QtdCAterro[matcaterro,caterro] : matcaterro caterro Object Coeff Lower Range Upper Range -------------------------------------------------------------------------- P1 A1 8.0600 -1E+020 8.1400 P1 A2 8.9800 6.7700 1E+020 P1 A3 9.4100 3.1400 1E+020 P1 A4 10.1700 6.7700 1E+020 P1 A5 8.5100 8.4300 1E+020 P1 A6 8.0600 7.6700 1E+020 P1 A7 8.5100 7.2400 1E+020 P1 A8 8.9800 6.7700 1E+020 P1 A9 10.1700 6.3200 1E+020 P3 A1 8.5100 -1E+020 8.5100 P3 A2 8.0600 7.2200 1E+020 P3 A3 8.5100 3.5900 1E+020 P3 A4 9.8000 7.2200 1E+020 P3 A5 8.9800 8.8800 1E+020 P3 A6 8.5100 8.1200 1E+020 P3 A7 8.0600 7.6900 1E+020 P3 A8 8.5100 7.2200 1E+020 P3 A9 9.4100 6.7700 1E+020 P4 A1 8.9800 5.2300 1E+020 P4 A2 8.0600 3.9400 1E+020 P4 A3 8.5100 0.3100 1E+020 P4 A4 9.4100 3.9400 1E+020 P4 A5 9.4100 5.6000 1E+020 P4 A6 8.5100 4.8400 1E+020 P4 A7 4.4100 -1E+020 8.0800 P4 A8 8.0600 3.9400 1E+020 P4 A9 9.4100 3.4900 1E+020 P5 A1 9.8000 9.3300 1E+020 P5 A2 8.5100 8.0400 1E+020 P5 A3 8.0600 4.4100 1E+020
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P5 A4 8.9800 8.0400 1E+020 P5 A5 10.1700 9.7000 1E+020 P5 A6 9.4100 8.9400 1E+020 P5 A7 8.5100 8.5100 8.5300 P5 A8 8.0600 8.0400 1E+020 P5 A9 8.5100 7.5900 1E+020 P6 A1 9.8000 9.8000 1E+020 P6 A2 8.5100 8.5100 1E+020 P6 A3 8.0600 4.8800 1E+020 P6 A4 8.5100 8.5100 1E+020 P6 A5 10.1700 10.1700 10.1700 P6 A6 9.4100 9.3500 9.4100 P6 A7 8.9800 8.9600 8.9800 P6 A8 8.5100 8.5100 1E+020 P6 A9 8.5100 8.0600 1E+020 P7 A1 9.8000 9.8000 9.8000 P7 A2 8.5100 -1E+020 8.5100 P7 A3 8.5100 4.8800 1E+020 P7 A4 8.5100 8.5100 8.5100 P7 A5 10.1700 10.1700 1E+020 P7 A6 9.4100 9.4100 1E+020 P7 A7 8.9800 8.9800 1E+020 P7 A8 8.5100 -1E+020 8.5100 P7 A9 8.5100 8.0600 1E+020 P8 A1 10.1700 9.8000 1E+020 P8 A2 8.9800 8.5100 1E+020 P8 A3 8.5100 4.8800 1E+020 P8 A4 8.5100 8.5100 8.5100 P8 A5 10.5700 10.1700 1E+020 P8 A6 9.8000 9.4100 1E+020 P8 A7 8.9800 8.9800 1E+020 P8 A8 8.5100 8.5100 1E+020 P8 A9 8.0600 8.0600 1E+020 P10 A1 8.0600 7.6900 1E+020 P10 A2 9.4100 6.4000 1E+020 P10 A3 9.8000 2.7700 1E+020 P10 A4 10.5700 6.4000 1E+020 P10 A5 8.0600 8.0600 8.4300 P10 A6 8.5100 7.3000 1E+020 P10 A7 8.9800 6.8700 1E+020 P10 A8 9.4100 6.4000 1E+020 P10 A9 10.5700 5.9500 1E+020 P11 A1 4.4100 -1E+020 7.6900 P11 A2 9.4100 3.1200 1E+020 P11 A3 9.4100 -0.5100 1E+020 P11 A4 10.5700 3.1200 1E+020 P11 A5 8.0600 4.7800 1E+020 P11 A6 8.5100 4.0200 1E+020 P11 A7 8.9800 3.5900 1E+020 P11 A8 9.4100 3.1200 1E+020 P11 A9 10.5700 2.6700 1E+020 P12 A1 4.4100 -1E+020 4.4100 P12 A2 8.9800 3.1200 1E+020 P12 A3 9.4100 -0.5100 1E+020 P12 A4 10.5700 3.1200 1E+020 P12 A5 8.5100 4.7800 1E+020 P12 A6 8.0600 4.0200 1E+020 P12 A7 8.9800 3.5900 1E+020 P12 A8 9.4100 3.1200 1E+020 P12 A9 10.1700 2.6700 1E+020 P13 A1 8.5100 8.4500 1E+020 P13 A2 8.5100 7.1600 1E+020 P13 A3 8.9800 3.5300 1E+020 P13 A4 9.8000 7.1600 1E+020 P13 A5 8.9800 8.8200 1E+020 P13 A6 8.0600 -1E+020 8.1200 P13 A7 8.0600 7.6300 1E+020 P13 A8 8.5100 7.1600 1E+020
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P13 A9 9.8000 6.7100 1E+020 P14 A1 9.4100 9.3300 1E+020 P14 A2 8.0600 8.0400 1E+020 P14 A3 4.4100 -1E+020 7.5900 P14 A4 8.9800 8.0400 1E+020 P14 A5 9.8000 9.7000 1E+020 P14 A6 8.9800 8.9400 1E+020 P14 A7 8.5100 5.3300 8.5300 P14 A8 8.0600 8.0400 1E+020 P14 A9 8.9800 7.5900 1E+020 P15 A1 9.8000 -1E+020 9.8000 P15 A2 8.5100 8.5100 1E+020 P15 A3 8.0600 4.8800 1E+020 P15 A4 8.5100 8.5100 1E+020 P15 A5 10.1700 10.1700 1E+020 P15 A6 9.4100 9.4100 1E+020 P15 A7 8.9800 8.9800 1E+020 P15 A8 8.5100 8.5100 1E+020 P15 A9 8.5100 8.0600 1E+020 P16 A1 9.8000 9.8000 1E+020 P16 A2 8.9800 8.5100 1E+020 P16 A3 8.5100 4.8800 1E+020 P16 A4 8.5100 8.5100 1E+020 P16 A5 10.1700 10.1700 10.1700 P16 A6 9.8000 9.4100 1E+020 P16 A7 8.9800 8.9800 1E+020 P16 A8 8.5100 8.5100 1E+020 P16 A9 8.0600 -1E+020 8.0600 P17 A1 10.1700 9.3500 1E+020 P17 A2 8.9800 8.0600 1E+020 P17 A3 8.5100 4.4300 1E+020 P17 A4 8.0600 8.0600 1E+020 P17 A5 10.5700 9.7200 1E+020 P17 A6 9.8000 8.9600 1E+020 P17 A7 9.4100 8.5300 1E+020 P17 A8 8.9800 8.0600 1E+020 P17 A9 8.0600 7.6100 1E+020 S1 A1 10.2400 6.0300 1E+020 S1 A2 11.6100 4.7400 1E+020 S1 A3 12.4000 1.1100 1E+020 S1 A4 13.6200 4.7400 1E+020 S1 A5 6.4000 -1E+020 10.6100 S1 A6 10.8200 5.6400 1E+020 S1 A7 11.6100 5.2100 1E+020 S1 A8 12.4000 4.7400 1E+020 S1 A9 13.3100 4.2900 1E+020 T1 A1 31.6600 26.9800 1E+020 T1 A2 34.6100 25.6900 1E+020 T1 A3 35.4600 22.0600 1E+020 T1 A4 36.2900 25.6900 1E+020 T1 A5 27.3500 -1E+020 32.0300 T1 A6 32.5200 26.5900 1E+020 T1 A7 34.6100 26.1600 1E+020 T1 A8 35.4600 25.6900 1E+020 T1 A9 36.1000 25.2400 1E+020 E9 A1 10.6200 0.9400 1E+020 E9 A2 11.6700 -0.3500 1E+020 E9 A3 12.7600 -3.9800 1E+020 E9 A4 12.7600 -0.3500 1E+020 E9 A5 10.6200 1.3100 1E+020 E9 A6 10.9200 0.5500 1E+020 E9 A7 11.6700 0.1200 1E+020 E9 A8 12.7600 -0.3500 1E+020 E9 A9 12.7600 -0.8000 1E+020 E10 A1 11.1100 0.9400 1E+020 E10 A2 10.2700 -0.3500 1E+020 E10 A3 9.9000 -3.9800 1E+020 E10 A4 8.6100 -0.3500 1E+020
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E10 A5 11.7200 1.3100 1E+020 E10 A6 10.9700 0.5500 1E+020 E10 A7 10.2700 0.1200 1E+020 E10 A8 9.9000 -0.3500 1E+020 E10 A9 9.0800 -0.8000 1E+020 -------------------------------------------------------------------------- VARIABLE QtdCFinal[matcfinal,cfinal] : matcfinal cfinal Object Coeff Lower Range Upper Range ------------------------------------------------------------------------ P3 F1 8.9500 8.9500 1E+020 P3 F2 8.5000 8.1300 1E+020 P3 F3 8.9500 7.6600 1E+020 P3 F4 10.2400 7.6600 1E+020 P3 F5 9.4200 9.3200 1E+020 P3 F6 8.9500 8.9500 1E+020 P3 F7 8.5000 8.1300 1E+020 P3 F8 8.9500 7.6600 1E+020 P3 F9 10.2400 7.6600 1E+020 P5 F1 9.8500 9.7700 1E+020 P5 F2 8.9500 -1E+020 8.9500 P5 F3 8.5000 8.4800 1E+020 P5 F4 9.4200 8.4800 1E+020 P5 F5 10.2400 10.1400 1E+020 P5 F6 9.8500 9.7700 1E+020 P5 F7 8.9500 -1E+020 8.9500 P5 F8 8.5000 8.4800 1E+020 P5 F9 8.9500 8.4800 1E+020 P7 F1 10.2400 -1E+020 10.2400 P7 F2 9.4200 9.4200 1E+020 P7 F3 8.9500 -1E+020 8.9700 P7 F4 8.9500 -1E+020 8.9500 P7 F5 10.6100 10.6100 1E+020 P7 F6 10.2400 -1E+020 10.2400 P7 F7 9.4200 9.4200 1E+020 P7 F8 8.9500 -1E+020 8.9700 P7 F9 8.9500 8.9500 9.4200 P10 F1 8.5000 8.1300 1E+020 P10 F2 9.8500 7.3100 1E+020 P10 F3 10.2400 6.8400 1E+020 P10 F4 11.0100 6.8400 1E+020 P10 F5 8.5000 -1E+020 8.5000 P10 F6 8.9500 8.1300 1E+020 P10 F7 9.4200 7.3100 1E+020 P10 F8 9.8500 6.8400 1E+020 P10 F9 11.0100 6.8400 1E+020 P12 F1 4.8500 4.8500 1E+020 P12 F2 9.4200 4.0300 1E+020 P12 F3 9.8500 3.5600 1E+020 P12 F4 11.0100 3.5600 1E+020 P12 F5 8.5000 5.2200 1E+020 P12 F6 8.5000 4.8500 1E+020 P12 F7 9.4200 4.0300 1E+020 P12 F8 9.8500 3.5600 1E+020 P12 F9 10.6100 3.5600 1E+020 P17 F1 10.2400 9.7900 1E+020 P17 F2 9.4200 8.9700 1E+020 P17 F3 8.9500 8.5000 1E+020 P17 F4 8.5000 8.5000 1E+020 P17 F5 11.0100 10.1600 1E+020 P17 F6 10.2400 9.7900 1E+020 P17 F7 9.8500 8.9700 1E+020 P17 F8 9.4200 8.5000 1E+020 P17 F9 8.5000 -1E+020 8.5000
176
E9 F1 11.3600 1.3800 1E+020 E9 F2 12.1100 0.5600 1E+020 E9 F3 13.2000 0.0900 1E+020 E9 F4 13.2000 0.0900 1E+020 E9 F5 11.0600 1.7500 1E+020 E9 F6 11.3600 1.3800 1E+020 E9 F7 12.1100 0.5600 1E+020 E9 F8 13.2000 0.0900 1E+020 E9 F9 13.2000 0.0900 1E+020 E10 F1 11.4100 1.3800 1E+020 E10 F2 10.7100 0.5600 1E+020 E10 F3 10.3400 0.0900 1E+020 E10 F4 9.0500 0.0900 1E+020 E10 F5 11.5500 1.7500 1E+020 E10 F6 11.4100 1.3800 1E+020 E10 F7 10.7100 0.5600 1E+020 E10 F8 10.3400 0.0900 1E+020 E10 F9 9.5200 0.0900 1E+020 ------------------------------------------------------------------------ VARIABLE QtdBFora[matbfora,botafora] : matbfora botafora Object Coeff Lower Range Upper Range ------------------------------------------------------------------------- P1 B13 15.4300 7.1200 1E+020 P1 B14 10.4600 7.1200 1E+020 P1 B15 10.4600 7.1200 1E+020 P2 B13 15.4300 10.4600 1E+020 P2 B14 10.4600 10.4600 1E+020 P2 B15 10.4600 -1E+020 10.4600 P3 B13 15.4300 7.5700 1E+020 P3 B14 10.0200 7.5700 1E+020 P3 B15 10.3200 7.5700 1E+020 P4 B13 15.4300 4.2900 1E+020 P4 B14 10.0200 4.2900 1E+020 P4 B15 10.0200 4.2900 1E+020 P5 B13 15.4300 8.3900 1E+020 P5 B14 9.2500 8.3900 1E+020 P5 B15 9.2500 8.3900 1E+020 P6 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P6 B14 9.2500 8.8600 1E+020 P6 B15 9.2500 8.8600 1E+020 P7 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P7 B14 9.2500 8.8600 1E+020 P7 B15 9.2500 8.8600 1E+020 P8 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P8 B14 8.8600 8.8600 8.8600 P8 B15 8.8600 8.8600 1E+020 P9 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P9 B14 8.8600 -1E+020 8.8600 P9 B15 8.8600 8.8600 1E+020 P10 B13 15.4300 6.7500 1E+020 P10 B14 11.0700 6.7500 1E+020 P10 B15 11.0700 6.7500 1E+020 P11 B13 15.4300 3.4700 1E+020 P11 B14 11.0700 3.4700 1E+020 P11 B15 11.0700 3.4700 1E+020 P12 B13 15.4300 3.4700 1E+020 P12 B14 10.4600 3.4700 1E+020 P12 B15 10.4600 3.4700 1E+020 P13 B13 15.4300 7.5100 1E+020 P13 B14 10.3200 7.5100 1E+020 P13 B15 10.3200 7.5100 1E+020 P14 B13 15.4300 8.3900 1E+020 P14 B14 9.6200 8.3900 1E+020 P14 B15 9.6200 8.3900 1E+020
177
P15 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P15 B14 9.2500 8.8600 1E+020 P15 B15 9.2500 8.8600 1E+020 P16 B13 15.4300 8.8600 1E+020 P16 B14 8.8600 8.8600 8.8600 P16 B15 9.2500 8.8600 1E+020 P17 B13 15.4300 8.4100 1E+020 P17 B14 8.8600 8.4100 1E+020 P17 B15 8.8600 8.4100 1E+020 S1 B13 19.0900 5.0900 1E+020 S1 B14 13.9700 5.0900 1E+020 S1 B15 13.9700 5.0900 1E+020 T1 B13 33.1300 26.0400 1E+020 T1 B14 30.9700 26.0400 1E+020 T1 B15 31.0500 26.0400 1E+020 ------------------------------------------------------------------------- RANGES RHS CONSTRAINT TotalCorte[matbfora] : matbfora RHS Value Lower Range Upper Range --------------------------------------------------------------- P1 59.7000 0.0000 7288.8800 P2 3.5000 0.0000 59418.0000 P3 34781.8000 33814.9900 42010.9800 P4 143.4000 0.0000 25445.1800 P5 22700.5000 13934.4000 48002.2800 P6 36853.2000 28087.1000 76761.7500 P7 70261.5000 69294.6900 101796.3900 P8 41540.7400 31534.8900 81449.2900 P9 737.5000 0.0000 40646.0500 P10 6202.5000 2067.6500 46111.0500 P11 17144.5000 16177.6900 24373.6800 P12 54441.6000 53474.7900 61670.7800 P13 26906.8000 18140.7000 28037.6600 P14 42214.4000 33448.3000 67516.1800 P15 47083.0800 46116.2700 54312.2600 P16 97750.3000 88984.2000 137658.8500 P17 1021.0000 54.1900 2140.4100 S1 286.7000 0.0000 40195.2500 T1 95.5500 0.0000 40004.1000 --------------------------------------------------------------- CONSTRAINT TotalAterro[vaterro] : vaterro RHS Value Lower Range Upper Range -------------------------------------------------------------- A1 160739.8600 153510.6800 161706.6700 A2 28696.7600 0.0000 29663.5700 A3 24891.7100 0.0000 33657.8100 A4 32501.7000 966.8100 42507.5500 A5 70861.6100 30953.0600 79627.7100 A6 28037.6600 26906.8000 36803.7600 A7 61926.6300 36624.8500 70692.7300 A8 21852.0100 0.0000 22818.8200 A9 33060.2500 0.0000 41826.3500 F1 4719.1200 0.0000 5685.9300 F2 1573.0400 0.0000 10339.1400 F3 851.5100 0.0000 1818.3200 F4 2686.6400 0.0000 3653.4500
178
F5 2067.6500 0.0000 6202.5000 F6 1553.6500 0.0000 2520.4600 F7 1968.7000 0.0000 10734.8000 F8 586.4100 0.0000 1553.2200 F9 2140.4100 1021.0000 3107.2200 -------------------------------------------------------------- CONSTRAINT TotalEmprestimo[emprestimo] : emprestimo RHS Value Lower Range Upper Range ----------------------------------------------------------------- E9 144025.0000 0.0000 1E+020 E10 90503.0000 0.0000 1E+020 ----------------------------------------------------------------- CONSTRAINT TotalBotafora[botafora] : botafora RHS Value Lower Range Upper Range --------------------------------------------------------------- B13 60587.2600 0.0000 1E+020 B14 59418.0000 19509.4500 1E+020 B15 59418.0000 3.5000 1E+020 --------------------------------------------------------------- END
179
9.3 APÊNDICE 3 – MATRIZ DA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO ITEM 5.2: ESTUDO
EXPANDIDO
9.3.1 ENTRADA DE DADOS
FIG. 9.26 – Quadro das escavações: estudo expandido
CM km Vol. Acesso CInde
PD P1 27.670,0 1,60 0,0 0,0
PD P2 27.690,0 28,60 0,0 0,0
PD P3 27.710,0 29,50 0,0 0,0
PD P4 27.730,0 3,0 0,0 0,0
PD P5 27.750,0 0,50 0,0 0,0
PD P6 27.930,0 841,80 0,0 0,0
PD P7 27.950,0 3.643,10 0,0 0,0
PD P8 27.970,0 7.434,20 0,0 0,0
PD P9 27.990,0 8.957,40 0,0 0,0
PD P10 28.010,0 7.405,90 0,0 0,0
PD P11 28.030,0 4.539,30 0,0 0,0
PD P12 28.050,0 1.702,30 0,0 0,0
PD P13 28.070,0 244,40 0,0 0,0
PD P14 28.090,0 13,40 0,0 0,0
PD P15 28.110,0 78,40 0,0 0,0
PD P16 28.130,0 65,0 0,0 0,0
PD P17 28.390,0 3,60 0,0 0,0
PD P18 28.410,0 1.290,30 0,0 0,0
PD P19 28.430,0 4.221,30 0,0 0,0
PD P20 28.450,0 7.380,10 0,0 0,0
PD P21 28.470,0 9.805,20 0,0 0,0
PD P22 28.490,0 11.213,0 0,0 0,0
PD P23 28.507,47 9.007,79 0,0 0,0
PD P24 28.517,47 3.199,80 0,0 0,0
PD P25 28.530,0 13.432,60 0,0 0,0
Corte
180
FIG. 9.8 – Quadro das escavações: estudo expandido (continuação)
CM km Vol. Acesso CInde
PD P26 28.550,0 15.023,10 0,0 0,0
PD P27 28.570,0 17.305,30 0,0 0,0
PD P28 28.590,0 19.058,40 0,0 0,0
PD P29 28.610,0 18.874,70 0,0 0,0
PD P30 28.630,0 15.563,50 0,0 0,0
PD P31 28.650,0 9.964,70 0,0 0,0
PD P32 28.661,83 1.260,69 0,0 0,0
PD P33 28.671,83 5.041,85 0,0 0,0
PD P34 28.690,0 4.699,90 0,0 0,0
PD P35 28.710,0 3.158,20 0,0 0,0
PD P36 28.730,0 1.851,90 0,0 0,0
PD P37 28.750,0 674,20 0,0 0,0
PD P38 28.770,0 63,30 0,0 0,0
PE P39 27.570,0 1.663,80 0,0 0,0
PE P40 27.590,0 4.538,70 0,0 0,0
PE P41 27.610,0 7.303,50 0,0 0,0
PE P42 27.630,0 9.841,0 0,0 0,0
PE P43 27.650,0 11.466,0 0,0 0,0
PE P44 27.670,0 12.102,70 0,0 0,0
PE P45 27.690,0 11.740,50 0,0 0,0
PE P46 27.710,0 10.049,60 0,0 0,0
PE P47 27.730,0 6.720,40 0,0 0,0
PE P48 27.750,0 2.362,30 0,0 0,0
PE P49 27.770,0 0,10 0,0 0,0
PE P50 27.890,0 726,10 0,0 0,0
PE P51 27.910,0 3.376,20 0,0 0,0
PE P52 27.930,0 7.019,50 0,0 0,0
PE P53 27.950,0 8.026,20 0,0 0,0
PE P54 27.970,0 5.455,80 0,0 0,0
PE P55 27.990,0 2.051,0 0,0 0,0
PE P56 28.010,0 252,0 0,0 0,0
PE P57 28.350,0 451,10 0,0 0,0
PE P58 28.370,0 3.316,0 0,0 0,0
PE P59 28.390,0 7.810,80 0,0 0,0
PE P60 28.410,0 10.691,80 0,0 0,0
PE P61 28.430,0 10.875,10 0,0 0,0
PE P62 28.450,0 9.069,60 0,0 0,0
PE P63 28.469,59 6.665,15 0,0 0,0
PE P64 28.479,59 245,74 0,0 0,0
PE P65 28.490,0 5.387,0 0,0 0,0
PE P66 28.510,0 5.090,10 0,0 0,0
PE P67 28.530,0 6.409,60 0,0 0,0
PE P68 28.550,0 9.365,30 0,0 0,0
PE P69 28.570,0 13.920,20 0,0 0,0
PE P70 28.590,0 18.226,10 0,0 0,0
PE P71 28.610,0 19.985,30 0,0 0,0
PE P72 28.625,23 10.254,59 0,0 0,0
PE P73 28.635,23 8.861,11 0,0 0,0
PE P74 28.650,0 16.193,30 0,0 0,0
PE P75 28.670,0 12.264,80 0,0 0,0
PE P76 28.690,0 7.991,80 0,0 0,0
PE P77 28.710,0 3.973,30 0,0 0,0
PE P78 28.730,0 1.021,0 0,0 0,0
PD S1 27.450,0 286,70 0,0 0,0
PD T1 27.450,0 95,55 0,0 0,0
CC E9 26.400,0 144.025,0 150,0 0,05
CC E10 29.060,0 90.503,0 200,0 0,10
CC E11 31.380,0 527.454,0 200,0 0,0
Corte
181
FIG. 9.27 – Quadro das construções de aterros: estudo expandido
CM km Vol. Acesso CInde
PD A1 27.450,0 1.273,23 0,0 0,0
PD A2 27.470,0 4.616,46 0,0 0,0
PD A3 27.490,0 8.097,45 0,0 0,0
PD A4 27.510,0 9.758,70 0,0 0,0
PD A5 27.530,0 10.808,38 0,0 0,0
PD A6 27.550,0 11.888,87 0,0 0,0
PD A7 27.570,0 11.818,83 0,0 0,0
PD A8 27.590,0 11.155,36 0,0 0,0
PD A9 27.610,0 10.095,26 0,0 0,0
PD A10 27.630,0 8.615,33 0,0 0,0
PD A11 27.650,0 6.234,57 0,0 0,0
PD A12 27.670,0 4.293,80 0,0 0,0
PD A13 27.690,0 3.692,53 0,0 0,0
PD A14 27.710,0 3.790,37 0,0 0,0
PD A15 27.730,0 4.239,11 0,0 0,0
PD A16 27.750,0 4.237,65 0,0 0,0
PD A17 27.770,0 4.984,73 0,0 0,0
PD A18 27.790,0 6.034,85 0,0 0,0
PD A19 27.810,0 6.447,06 0,0 0,0
PD A20 27.830,0 6.537,84 0,0 0,0
PD A21 27.850,0 6.367,04 0,0 0,0
PD A22 27.870,0 6.066,68 0,0 0,0
PD A23 27.890,0 5.267,15 0,0 0,0
PD A24 27.910,0 3.374,02 0,0 0,0
PD A25 27.930,0 1.044,61 0,0 0,0
PD A26 28.070,0 1.004,93 0,0 0,0
PD A27 28.090,0 1.426,08 0,0 0,0
PD A28 28.110,0 821,78 0,0 0,0
PD A29 28.130,0 1.456,34 0,0 0,0
PD A30 28.150,0 3.261,61 0,0 0,0
PD A31 28.170,0 5.105,99 0,0 0,0
PD A32 28.190,0 6.077,89 0,0 0,0
PD A33 28.210,0 6.359,98 0,0 0,0
PD A34 28.230,0 3.182,17 0,0 0,0
PD A35 28.331,70 6.721,95 0,0 0,0
PD A36 28.350,0 7.768,73 0,0 0,0
PD A37 28.370,0 6.645,54 0,0 0,0
PD A38 28.390,0 3.321,68 0,0 0,0
PD A39 28.410,0 433,81 0,0 0,0
PD A40 28.750,0 8,04 0,0 0,0
PD A41 28.770,0 556,73 0,0 0,0
PD A42 28.790,0 1.394,92 0,0 0,0
PD A43 28.810,0 2.188,17 0,0 0,0
PD A44 28.830,0 3.240,65 0,0 0,0
PD A45 28.850,0 4.115,83 0,0 0,0
PD A46 28.870,0 4.405,09 0,0 0,0
PD A47 28.890,0 4.345,69 0,0 0,0
PD A48 28.910,0 3.981,68 0,0 0,0
PD A49 28.930,0 3.186,07 0,0 0,0
PD A50 28.950,0 2.366,37 0,0 0,0
PD A51 28.970,0 1.644,06 0,0 0,0
Aterro
182
FIG. 9.9 – Quadro das construções de aterros: estudo expandido (continuação)
CM km Vol. Acesso CInde
PD A52 28.986,62 667,56 0,0 0,0
PD A53 28.996,62 194,79 0,0 0,0
PD A54 29.010,0 206,08 0,0 0,0
PD A55 27.390,0 624,35 0,0 0,0
PE A56 27.410,0 4.197,57 0,0 0,0
PE A57 27.430,0 8.857,79 0,0 0,0
PE A58 27.450,0 11.451,94 0,0 0,0
PE A59 27.470,0 12.053,66 0,0 0,0
PE A60 27.490,0 11.434,35 0,0 0,0
PE A61 27.510,0 9.644,65 0,0 0,0
PE A62 27.530,0 6.754,29 0,0 0,0
PE A63 27.550,0 3.881,41 0,0 0,0
PE A64 27.570,0 1.552,54 0,0 0,0
PE A65 27.590,0 368,93 0,0 0,0
PE A66 27.610,0 40,12 0,0 0,0
PE A67 27.730,0 193,88 0,0 0,0
PE A68 27.750,0 1.036,78 0,0 0,0
PE A69 27.770,0 2.454,05 0,0 0,0
PE A70 27.790,0 4.067,12 0,0 0,0
PE A71 27.810,0 5.030,05 0,0 0,0
PE A72 27.830,0 5.220,91 0,0 0,0
PE A73 27.850,0 5.132,26 0,0 0,0
PE A74 27.870,0 3.694,03 0,0 0,0
PE A75 27.890,0 1.208,59 0,0 0,0
PE A76 28.010,0 1.582,80 0,0 0,0
PE A77 28.030,0 3.889,37 0,0 0,0
PE A78 28.050,0 4.942,74 0,0 0,0
PE A79 28.070,0 5.703,72 0,0 0,0
PE A80 28.090,0 6.498,32 0,0 0,0
PE A81 28.110,0 6.964,43 0,0 0,0
PE A82 28.130,0 7.228,47 0,0 0,0
PE A83 28.150,0 7.320,04 0,0 0,0
PE A84 28.170,0 7.197,32 0,0 0,0
PE A85 28.190,0 7.496,78 0,0 0,0
PE A86 28.203,92 3.102,65 0,0 0,0
PE A87 28.293,75 5.427,40 0,0 0,0
PE A88 28.310,0 8.403,56 0,0 0,0
PE A89 28.330,0 6.033,21 0,0 0,0
PE A90 28.350,0 1.987,83 0,0 0,0
PE A91 28.730,0 430,58 0,0 0,0
PE A92 28.750,0 1.875,19 0,0 0,0
PE A93 28.770,0 3.219,17 0,0 0,0
PE A94 28.790,0 4.149,38 0,0 0,0
PE A95 28.810,0 5.107,60 0,0 0,0
PE A96 28.830,0 5.446,29 0,0 0,0
PE A97 28.850,0 4.984,10 0,0 0,0
PE A98 28.870,0 3.883,32 0,0 0,0
PE A99 28.890,0 2.362,82 0,0 0,0
PE A100 28.910,0 1.072,86 0,0 0,0
PE A101 28.930,0 427,10 0,0 0,0
PE A102 28.949,76 101,83 0,0 0,0
Aterro
183
FIG. 9.9 – Quadro das construções de aterros: estudo expandido (continuação)
CM km Vol. Acesso CInde
PD F1 27.450,0 98,32 0,0 0,0
PD F2 27.470,0 196,63 0,0 0,0
PD F3 27.490,0 196,63 0,0 0,0
PD F4 27.510,0 196,63 0,0 0,0
PD F5 27.530,0 196,63 0,0 0,0
PD F6 27.550,0 196,63 0,0 0,0
PD F7 27.570,0 196,63 0,0 0,0
PD F8 27.590,0 196,63 0,0 0,0
PD F9 27.610,0 196,63 0,0 0,0
PD F10 27.630,0 196,63 0,0 0,0
PD F11 27.650,0 196,63 0,0 0,0
PD F12 27.670,0 196,63 0,0 0,0
PD F13 27.690,0 196,63 0,0 0,0
PD F14 27.710,0 196,63 0,0 0,0
PD F15 27.730,0 196,63 0,0 0,0
PD F16 27.750,0 196,63 0,0 0,0
PD F17 27.770,0 196,63 0,0 0,0
PD F18 27.790,0 196,63 0,0 0,0
PD F19 27.810,0 196,63 0,0 0,0
PD F20 27.830,0 196,63 0,0 0,0
PD F21 27.850,0 196,63 0,0 0,0
PD F22 27.870,0 196,63 0,0 0,0
PD F23 27.890,0 196,63 0,0 0,0
PD F24 27.910,0 196,63 0,0 0,0
PD F25 27.930,0 98,32 0,0 0,0
PD F26 28.070,0 98,32 0,0 0,0
PD F27 28.090,0 196,63 0,0 0,0
PD F28 28.110,0 196,63 0,0 0,0
PD F29 28.130,0 196,63 0,0 0,0
PD F30 28.150,0 196,63 0,0 0,0
PD F31 28.170,0 196,63 0,0 0,0
PD F32 28.190,0 196,63 0,0 0,0
PD F33 28.210,0 196,63 0,0 0,0
PD F34 28.230,0 98,32 0,0 0,0
PD F35 28.331,70 163,30 0,0 0,0
PD F36 28.350,0 196,63 0,0 0,0
PD F37 28.370,0 196,63 0,0 0,0
PD F38 28.390,0 196,63 0,0 0,0
PD F39 28.410,0 98,32 0,0 0,0
PD F40 28.730,0 8,29 0,0 0,0
PD F41 28.750,0 106,61 0,0 0,0
PD F42 28.770,0 196,63 0,0 0,0
PD F43 28.790,0 196,63 0,0 0,0
PD F44 28.810,0 196,63 0,0 0,0
PD F45 28.830,0 196,63 0,0 0,0
PD F46 28.850,0 196,63 0,0 0,0
PD F47 28.870,0 196,63 0,0 0,0
PD F48 28.890,0 196,63 0,0 0,0
PD F49 28.910,0 196,63 0,0 0,0
PD F50 28.930,0 196,63 0,0 0,0
PD F51 28.950,0 196,63 0,0 0,0
PD F52 28.970,0 196,63 0,0 0,0
PD F53 28.986,62 130,07 0,0 0,0
PD F54 28.996,62 66,56 0,0 0,0
PD F55 29.010,0 149,64 0,0 0,0
Aterro
184
FIG. 9.9 – Quadro das construções de aterros: estudo expandido (continuação)
CM km Vol. Acesso CInde
PE F56 27.390,0 93,81 0,0 0,0
PE F57 27.410,0 187,62 0,0 0,0
PE F58 27.430,0 187,62 0,0 0,0
PE F59 27.450,0 187,62 0,0 0,0
PE F60 27.470,0 187,62 0,0 0,0
PE F61 27.490,0 187,62 0,0 0,0
PE F62 27.510,0 187,62 0,0 0,0
PE F63 27.530,0 187,62 0,0 0,0
PE F64 27.550,0 187,62 0,0 0,0
PE F65 27.570,0 187,62 0,0 0,0
PE F66 27.590,0 187,62 0,0 0,0
PE F67 27.610,0 95,72 0,0 0,0
PE F68 27.630,0 1,91 0,0 0,0
PE F69 27.690,0 2,58 0,0 0,0
PE F70 27.710,0 26,34 0,0 0,0
PE F71 27.730,0 117,57 0,0 0,0
PE F72 27.750,0 187,62 0,0 0,0
PE F73 27.770,0 187,62 0,0 0,0
PE F74 27.790,0 187,62 0,0 0,0
PE F75 27.810,0 187,62 0,0 0,0
PE F76 27.830,0 187,62 0,0 0,0
PE F77 27.850,0 187,62 0,0 0,0
PE F78 27.870,0 187,62 0,0 0,0
PE F79 27.890,0 93,81 0,0 0,0
PE F80 27.990,0 56,37 0,0 0,0
PE F81 28.010,0 150,18 0,0 0,0
PE F82 28.030,0 187,62 0,0 0,0
PE F83 28.050,0 187,62 0,0 0,0
PE F84 28.070,0 187,62 0,0 0,0
PE F85 28.090,0 187,62 0,0 0,0
PE F86 28.110,0 187,62 0,0 0,0
PE F87 28.130,0 187,62 0,0 0,0
PE F88 28.150,0 187,62 0,0 0,0
PE F89 28.170,0 187,62 0,0 0,0
PE F90 28.190,0 187,62 0,0 0,0
PE F91 28.203,92 73,55 0,0 0,0
PE F92 28.293,75 117,36 0,0 0,0
PE F93 28.310,0 187,62 0,0 0,0
PE F94 28.330,0 187,62 0,0 0,0
PE F95 28.350,0 93,81 0,0 0,0
PE F96 28.730,0 93,81 0,0 0,0
PE F97 28.750,0 187,62 0,0 0,0
PE F98 28.770,0 187,62 0,0 0,0
PE F99 28.790,0 187,62 0,0 0,0
PE F100 28.810,0 187,62 0,0 0,0
PE F101 28.830,0 187,62 0,0 0,0
PE F102 28.850,0 187,62 0,0 0,0
PE F103 28.870,0 187,62 0,0 0,0
PE F104 28.890,0 187,62 0,0 0,0
PE F105 28.910,0 187,62 0,0 0,0
PE F106 28.930,0 187,62 0,0 0,0
PE F107 28.949,76 129,63 0,0 0,0
PD B13 24.430,0 60.587,26 0,0 0,0
PE B14 29.430,0 59.418,0 0,0 0,0
PD B15 29.430,0 59.418,0 0,0 0,0
Aterro
185
9.3.2 SOLUÇÃO DO PROBLEMA
FIG. 9.28 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,6 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4049,892
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 6500,148 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 7160,001 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 247,179 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 1177,684 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 1375,424 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 553,438 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 3334,157 2047,874 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 9841 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 11466 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 11155,356 0 748,809 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 10095,258 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7864,925 2184,675
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
186
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 2045,264 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 7227,042 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 352,829 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 221,873 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 4616,457 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 95,55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 1.273,23 4.616,46 8.097,45 9.758,70 10.808,38 11.888,87 11.818,83 11.155,36 10.095,26 8.615,33 6.234,57
= = = = = = = = = = =
R estrição 1.273,23 4.616,46 8.097,45 9.758,70 10.808,38 11.888,87 11.818,83 11.155,36 10.095,26 8.615,33 6.234,57
A ctivity 1273,234 4616,457 8097,445 9758,703 10808,378 11888,874 11818,829 11155,356 10095,258 8615,334 6234,567
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 1,31 1,31 1,31 1,31 0,94 0,94 0,94 0,92 0,92 0,92 0,92
187
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 17 A 18 A 19 A 20 A 21 A 22
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 28,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 1037,846 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 359,929 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 1026,013 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 3199,804 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 4984,729 0 5726,587 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 6034,853 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 2906,528 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 1251,982 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 4293,799 1086,421 804,836 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 1325,524 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6367,037 0
P 53 0 0 1959,518 0 0 0 0 0 0 0 6066,682
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
188
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 17 A 18 A 19 A 20 A 21 A 22
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 3271,38 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 4239,107 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 720,471 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 4.293,80 3.692,53 3.790,37 4.239,11 4.237,65 4.984,73 6.034,85 6.447,06 6.537,84 6.367,04 6.066,68
= = = = = = = = = = =
R estrição 4.293,80 3.692,53 3.790,37 4.239,11 4.237,65 4.984,73 6.034,85 6.447,06 6.537,84 6.367,04 6.066,68
A ctivity 4293,799 3692,527 3790,367 4239,107 4237,65 4984,729 6034,853 6447,058 6537,837 6367,037 6066,682
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 0,92 0,92 0,92 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,49 -2,73
189
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 23 A 24 A 25 A 26 A 27 A 28 A 29 A 30 A 31 A 32 A 33
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 1134,369 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 792,606 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 276,225 1426,075 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 897,04
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 821,778 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 1456,335 0 990,402 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 3261,607 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 5267,153 188,647 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 2051 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 252 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 3782,419 0 0
190
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 23 A 24 A 25 A 26 A 27 A 28 A 29 A 30 A 31 A 32 A 33
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6077,889 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5462,937
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 728,707 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 333,171 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 5.267,15 3.374,02 1.044,61 1.004,93 1.426,08 821,78 1.456,34 3.261,61 5.105,99 6.077,89 6.359,98
= = = = = = = = = = =
R estrição 5.267,15 3.374,02 1.044,61 1.004,93 1.426,08 821,78 1.456,34 3.261,61 5.105,99 6.077,89 6.359,98
A ctivity 5267,153 3374,016 1044,606 1004,932 1426,075 821,778 1456,335 3261,607 5105,992 6077,889 6359,977
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -3,1 -3,1 -3,1 0,02 0,02 0,02 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35
191
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 34 A 35 A 36 A 37 A 38 A 39 A 40 A 41 A 42 A 43 A 44 A 45
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 3182,174 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 433,808 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 1394,919 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 8,042 0 0 1358,059 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 830,113 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 556,725 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 5822,967 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 898,982 2971,523 3038,876 0 0 0 0 0 0 0 0
192
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 34 A 35 A 36 A 37 A 38 A 39 A 40 A 41 A 42 A 43 A 44 A 45
P 61 0 0 4797,211 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 3606,663 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 3075,94 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 245,738 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3240,649 4115,827
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 3.182,17 6.721,95 7.768,73 6.645,54 3.321,68 433,81 8,04 556,73 1.394,92 2.188,17 3.240,65 4.115,83
= = = = = = = = = = = =
R estrição 3.182,17 6.721,95 7.768,73 6.645,54 3.321,68 433,81 8,04 556,73 1.394,92 2.188,17 3.240,65 4.115,83
A ctivity 3182,174 6721,949 7768,734 6645,539 3321,678 433,808 8,042 556,725 1394,919 2188,172 3240,649 4115,827
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -0,37 -4 -4 -4 -4,02 -4,08 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8
193
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 46 A 47 A 48 A 49 A 50 A 51 A 52 A 53 A 54 A 55 A 56 A 57
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2817,674
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1525,787
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 2408,812 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 1480,727 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
194
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 46 A 47 A 48 A 49 A 50 A 51 A 52 A 53 A 54 A 55 A 56 A 57
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4514,329
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 624,353 4197,57 0
P 72 0 0 3981,676 3186,07 2366,368 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 2864,962 0 0 0 1644,057 667,562 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 194,787 206,075 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 1996,276 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 4.405,09 4.345,69 3.981,68 3.186,07 2.366,37 1.644,06 667,56 194,79 206,08 624,35 4.197,57 8.857,79
= = = = = = = = = = = =
R estrição 4.405,09 4.345,69 3.981,68 3.186,07 2.366,37 1.644,06 667,56 194,79 206,08 624,35 4.197,57 8.857,79
A ctivity 4405,088 4345,689 3981,676 3186,07 2366,368 1644,057 667,562 194,787 206,075 624,353 4197,57 8857,79
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -0,8 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 -0,35 1,31 1,31 1,31
195
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 58 A 59 A 60 A 61 A 62 A 63 A 64 A 65 A 66 A 67 A 68 A 69
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29,5 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 40,116 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 3197,147 0 947,006 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 7601,877 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 1663,8 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 3881,412 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 1552,536 368,933 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 164,38 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1036,776 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
196
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 58 A 59 A 60 A 61 A 62 A 63 A 64 A 65 A 66 A 67 A 68 A 69
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 4143,486 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2454,051
P 70 0 0 0 9644,654 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 11165,244 4405,321 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 7648,343 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 635,324 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 286,7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 11.451,94 12.053,66 11.434,35 9.644,65 6.754,29 3.881,41 1.552,54 368,93 40,12 193,88 1.036,78 2.454,05
= = = = = = = = = = = =
R estrição 11.451,94 12.053,66 11.434,35 9.644,65 6.754,29 3.881,41 1.552,54 368,93 40,12 193,88 1.036,78 2.454,05
A ctivity 11451,944 12053,664 11434,348 9644,654 6754,292 3881,412 1552,536 368,933 40,116 193,88 1036,776 2454,051
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 1,31 0,94 0,94 0,94 0,92 0,92 0,55
197
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 70 A 71 A 72 A 73 A 74 A 75 A 76 A 77 A 78 A 79 A 80
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 1274,255 0 0 0 0
P 8 0 0 0 606,838 0 0 308,546 3889,37 1156,724 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 3786,02 4983,758 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 719,961 6498,317
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 556,126 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 726,1 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 3376,2 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 652,463 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
198
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 70 A 71 A 72 A 73 A 74 A 75 A 76 A 77 A 78 A 79 A 80
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 317,826 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 4067,117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 5030,049 5220,909 3799,321 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 4.067,12 5.030,05 5.220,91 5.132,26 3.694,03 1.208,59 1.582,80 3.889,37 4.942,74 5.703,72 6.498,32
= = = = = = = = = = =
R estrição 4.067,12 5.030,05 5.220,91 5.132,26 3.694,03 1.208,59 1.582,80 3.889,37 4.942,74 5.703,72 6.498,32
A ctivity 4067,117 5030,049 5220,909 5132,259 3694,026 1208,589 1582,801 3889,37 4942,744 5703,719 6498,317
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,49 -3,1 -3,1 -3,1 -3,1 -3,1
199
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 81 A 82 A 83 A 84 A 85 A 86 A 87 A 88 A 89 A 90 A 91
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 4253,363 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 244,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 13,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 78,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 40,403 0 0 0 0
P 21 2374,866 2450,621 0 0 0 0 0 4042,165 0 0 0
P 22 0 4712,852 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 7197,316 0 723,694 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 7496,775 2378,955 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 430,579
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 451,1 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 3316 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1987,833 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
200
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 81 A 82 A 83 A 84 A 85 A 86 A 87 A 88 A 89 A 90 A 91
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 5387 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 4361,393 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 2266,114 0 0
P 68 0 0 7320,036 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 6.964,43 7.228,47 7.320,04 7.197,32 7.496,78 3.102,65 5.427,40 8.403,56 6.033,21 1.987,83 430,58
= = = = = = = = = = =
R estrição 6.964,43 7.228,47 7.320,04 7.197,32 7.496,78 3.102,65 5.427,40 8.403,56 6.033,21 1.987,83 430,58
A ctivity 6964,429 7228,473 7320,036 7197,316 7496,775 3102,649 5427,403 8403,558 6033,214 1987,833 430,579
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 0,02 0,02 0,02 -0,35 -0,35 -0,35 -0,43 -0,43 -0,43 -4 -4,45
201
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 92 A 93 A 94 A 95 A 96 A 97 A 98 A 99 A 100 A 101 A 102 F 1
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 372,618 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 98,315
P 28 0 0 0 3812,428 5446,288 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 618,561 0 0 4984,099 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 3883,318 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 2362,823 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 1072,863 0 0 0
P 34 0 3219,173 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 3158,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 1295,175 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
202
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O A 92 A 93 A 94 A 95 A 96 A 97 A 98 A 99 A 100 A 101 A 102 F 1
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 427,098 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 1875,194 0 0 0 0 0 0 0 0 0 101,83 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 1.875,19 3.219,17 4.149,38 5.107,60 5.446,29 4.984,10 3.883,32 2.362,82 1.072,86 427,10 101,83 98,32
= = = = = = = = = = = =
R estrição 1.875,19 3.219,17 4.149,38 5.107,60 5.446,29 4.984,10 3.883,32 2.362,82 1.072,86 427,10 101,83 98,32
A ctivity 1875,194 3219,173 4149,379 5107,603 5446,288 4984,099 3883,318 2362,823 1072,863 427,098 101,83 98,315
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -4,45 -4 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,35 -0,35 1,75
203
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 196,63
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22,296 196,63 0 196,63 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 196,63 196,63 196,63 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 196,63 196,63 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 174,334 0 196,63 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
204
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63
= = = = = = = = = = = = = =
R estrição 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63
A ctivity 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 1,75 1,75 1,75 1,75 1,38 1,38 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 1,3
205
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F 23 F 24 F 25 F 26 F 27 F 28 F 29
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 98,315 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 98,315 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 196,63 196,63 0 0 0 0 196,63 196,63 196,63
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 196,63 196,63 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
206
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F 23 F 24 F 25 F 26 F 27 F 28 F 29
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 98,32 98,32 196,63 196,63 196,63
= = = = = = = = = = = = = =
R estrição 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 98,32 98,32 196,63 196,63 196,63
A ctivity 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 98,315 98,315 196,63 196,63 196,63
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,93 0,93 -2,35 -2,66 -2,66 0,46 0,46 0,46 0,46
207
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 30 F 31 F 32 F 33 F 34 F 35 F 36 F 37 F 38 F 39 F 40 F 41 F 42 F 43
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 3,6 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 196,63 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 98,315 0 0 0 196,63 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 98,315 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 163,301 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 196,63 0 0 0 0 0 193,03 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 106,608 196,63 196,63
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
208
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 30 F 31 F 32 F 33 F 34 F 35 F 36 F 37 F 38 F 39 F 40 F 41 F 42 F 43
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8,293 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 196,63 196,63 196,63 196,63 98,32 163,30 196,63 196,63 196,63 98,32 8,29 106,61 196,63 196,63
= = = = = = = = = = = = = =
R estrição 196,63 196,63 196,63 196,63 98,32 163,30 196,63 196,63 196,63 98,32 8,29 106,61 196,63 196,63
A ctivity 196,63 196,63 196,63 196,63 98,315 163,301 196,63 196,63 196,63 98,315 8,293 106,608 196,63 196,63
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 0,09 0,09 0,09 0,09 0,07 0,01 -0,36 -3,56 -3,58 -3,64 -3,56 -0,36 -0,36 -0,36
209
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 44 F 45 F 46 F 47 F 48 F 49 F 50 F 51 F 52 F 53 F 54 F 55 F 56 F 57
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 93,811 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 187,622
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 196,63 196,63 196,63 0 0 196,63 196,63 196,63 196,63 130,071 66,559 149,644 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
210
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 44 F 45 F 46 F 47 F 48 F 49 F 50 F 51 F 52 F 53 F 54 F 55 F 56 F 57
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 196,63 196,63 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 130,07 66,56 149,64 93,81 187,62
= = = = = = = = = = = = = =
R estrição 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 130,07 66,56 149,64 93,81 187,62
A ctivity 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 196,63 130,071 66,559 149,644 93,811 187,622
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -0,36 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 1,75 1,75
211
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 58 F 59 F 60 F 61 F 62 F 63 F 64 F 65 F 66 F 67 F 68 F 69 F 70 F 71
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 64,288 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,578 26,337 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 117,57
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 187,622 0 0 0 0 0
P 27 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 19,484 0 95,716 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 103,85 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,905 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
212
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 58 F 59 F 60 F 61 F 62 F 63 F 64 F 65 F 66 F 67 F 68 F 69 F 70 F 71
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 95,72 1,91 2,58 26,34 117,57
= = = = = = = = = = = = = =
R estrição 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 95,72 1,91 2,58 26,34 117,57
A ctivity 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 95,716 1,905 2,578 26,337 117,57
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,38 1,38 1,36 1,36 1,36 1,36
213
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 72 F 73 F 74 F 75 F 76 F 77 F 78 F 79 F 80 F 81 F 82 F 83 F 84
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 187,622 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 56,373 150,184 187,622 187,622 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 187,622
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 187,622 0 0 0 0 0 0
P 20 187,522 0 0 0 0 0 0 93,811 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 187,622 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 187,622 187,622 187,622 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
214
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 72 F 73 F 74 F 75 F 76 F 77 F 78 F 79 F 80 F 81 F 82 F 83 F 84
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 93,81 56,37 150,18 187,62 187,62 187,62
= = = = = = = = = = = = =
R estrição 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 93,81 56,37 150,18 187,62 187,62 187,62
A ctivity 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 93,811 56,373 150,184 187,622 187,622 187,622
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice 1,36 1,3 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,93 -2,66 -2,66 -2,66 -2,66 -2,66
215
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 85 F 86 F 87 F 88 F 89 F 90 F 91 F 92 F 93 F 94 F 95 F 96 F 97
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 187,622 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 187,622 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 187,622 187,622 0 0 0 117,358 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 187,622 0 0 0 187,622 187,622 93,811 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 187,622 73,548 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
216
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 85 F 86 F 87 F 88 F 89 F 90 F 91 F 92 F 93 F 94 F 95 F 96 F 97
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 93,811 187,622
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 73,55 117,36 187,62 187,62 93,81 93,81 187,62
= = = = = = = = = = = = =
R estrição 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 73,55 117,36 187,62 187,62 93,81 93,81 187,62
A ctivity 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 73,548 117,358 187,622 187,622 93,811 93,811 187,622
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Shado w P rice -2,66 0,46 0,46 0,46 0,46 0,09 0,09 0,01 0,01 0,01 0,01 -3,56 -3,56
217
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 98 F 99 F 100 F 101 F 102 F 103 F 104 F 105 F 106 F 107 B 13 B 14
P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
P 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 28 0 187,622 187,622 187,622 0 37,23 187,622 187,622 0 0 0 1197,942
P 29 0 0 0 0 187,622 0 0 0 187,622 129,625 0 9178,518
P 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3254,077
P 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1560,174
P 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 674,2
P 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 63,3
P 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
218
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM : EST UD O EXP A N D ID O
C O R T E A T E R R O F 98 F 99 F 100 F 101 F 102 F 103 F 104 F 105 F 106 F 107 B 13 B 14
P 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 73 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3684,53
P 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P 78 187,622 0 0 0 0 150,392 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A tividade 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 129,63 0,0 19.615,74
= = = = = = = = = = ≤ ≤
R estrição 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 187,62 129,63 60.587,26 59.418,0
A ctivity 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 187,622 129,625 0 19615,741
Slack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60587,26 39802,259
Shado w P rice -3,56 -0,36 -0,36 -0,36 -0,36 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0 0
219
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
C O R T E A T E R R O B 15 A tividadeR estriçã
oA ctivity Slack
Shado w
P rice
P 1 0 1,60 = 1,60 1,6 0 3,49
P 2 0 28,60 = 28,60 28,6 0 3,49
P 3 0 29,50 = 29,50 29,5 0 3,49
P 4 0 3,0 = 3,0 3 0 10,46
P 5 0,5 0,50 = 0,50 0,5 0 10,46
P 6 0 841,80 = 841,80 841,8 0 7,2
P 7 0 3.643,10 = 3.643,10 3643,1 0 7,51
P 8 0 7.434,20 = 7.434,20 7434,2 0 7,51
P 9 0 8.957,40 = 8.957,40 8957,4 0 7,51
P 10 0 7.405,90 = 7.405,90 7405,9 0 7,51
P 11 0 4.539,30 = 4.539,30 4539,3 0 4,39
P 12 0 1.702,30 = 1.702,30 1702,3 0 4,39
P 13 0 244,40 = 244,40 244,4 0 4,39
P 14 0 13,40 = 13,40 13,4 0 4,39
P 15 0 78,40 = 78,40 78,4 0 4,39
P 16 0 65,0 = 65,0 65 0 4,39
P 17 0 3,60 = 3,60 3,6 0 5,21
P 18 0 1.290,30 = 1.290,30 1290,3 0 8,41
P 19 0 4.221,30 = 4.221,30 4221,3 0 8,43
P 20 0 7.380,10 = 7.380,10 7380,1 0 8,49
P 21 0 9.805,20 = 9.805,20 9805,2 0 8,49
P 22 0 11.213,0 = 11.213,0 11213 0 8,49
P 23 0 9.007,79 = 9.007,79 9007,792 0 8,49
P 24 0 3.199,80 = 3.199,80 3199,804 0 8,86
P 25 0 13.432,60 = 13.432,60 13432,6 0 8,86
P 26 0 15.023,10 = 15.023,10 15023,1 0 8,86
P 27 0 17.305,30 = 17.305,30 17305,3 0 8,86
P 28 0 19.058,40 = 19.058,40 19058,4 0 8,86
P 29 0 18.874,70 = 18.874,70 18874,7 0 8,86
P 30 0 15.563,50 = 15.563,50 15563,5 0 8,86
P 31 0 9.964,70 = 9.964,70 9964,7 0 8,86
P 32 0 1.260,69 = 1.260,69 1260,692 0 8,86
P 33 0 5.041,85 = 5.041,85 5041,849 0 8,86
P 34 0 4.699,90 = 4.699,90 4699,9 0 8,41
P 35 0 3.158,20 = 3.158,20 3158,2 0 5,21
P 36 0 1.851,90 = 1.851,90 1851,9 0 5,21
P 37 0 674,20 = 674,20 674,2 0 8,86
P 38 0 63,30 = 63,30 63,3 0 8,86
P 39 0 1.663,80 = 1.663,80 1663,8 0 3,1
P 40 0 4.538,70 = 4.538,70 4538,7 0 3,1
P 41 0 7.303,50 = 7.303,50 7303,5 0 3,47
P 42 0 9.841,0 = 9.841,0 9841 0 3,47
P 43 0 11.466,0 = 11.466,0 11466 0 3,47
P 44 0 12.102,70 = 12.102,70 12102,7 0 3,49
P 45 0 11.740,50 = 11.740,50 11740,5 0 3,49
P 46 0 10.049,60 = 10.049,60 10049,6 0 3,49
P 47 0 6.720,40 = 6.720,40 6720,4 0 3,49
P 48 0 2.362,30 = 2.362,30 2362,3 0 3,49
P 49 0 0,10 = 0,10 0,1 0 3,49
P 50 0 726,10 = 726,10 726,1 0 3,86
P 51 0 3.376,20 = 3.376,20 3376,2 0 3,86
P 52 0 7.019,50 = 7.019,50 7019,5 0 3,92
P 53 0 8.026,20 = 8.026,20 8026,2 0 7,14
P 54 0 5.455,80 = 5.455,80 5455,8 0 7,51
P 55 0 2.051,0 = 2.051,0 2051 0 7,51
P 56 0 252,0 = 252,0 252 0 7,51
P 57 0 451,10 = 451,10 451,1 0 4,84
P 58 0 3.316,0 = 3.316,0 3316 0 4,84
P 59 0 7.810,80 = 7.810,80 7810,8 0 8,41
P 60 0 10.691,80 = 10.691,80 10691,8 0 8,41
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM :
EST UD O EXP A N D ID O
220
FIG. 9.8 – Matriz da solução do problema do item 5.2: estudo expandido
(continuação)
C O R T E A T E R R O B 15 A tividadeR estriçã
oA ctivity Slack
Shado w
P rice
P 61 0 10.875,10 = 10.875,10 10875,1 0 8,41
P 62 0 9.069,60 = 9.069,60 9069,6 0 8,41
P 63 0 6.665,15 = 6.665,15 6665,146 0 8,43
P 64 0 245,74 = 245,74 245,738 0 8,43
P 65 0 5.387,0 = 5.387,0 5387 0 8,49
P 66 0 5.090,10 = 5.090,10 5090,1 0 8,49
P 67 0 6.409,60 = 6.409,60 6409,6 0 8,49
P 68 0 9.365,30 = 9.365,30 9365,3 0 8,49
P 69 0 13.920,20 = 13.920,20 13920,2 0 8,86
P 70 0 18.226,10 = 18.226,10 18226,1 0 8,86
P 71 0 19.985,30 = 19.985,30 19985,3 0 8,86
P 72 0 10.254,59 = 10.254,59 10254,585 0 8,86
P 73 0 8.861,11 = 8.861,11 8861,111 0 8,86
P 74 0 16.193,30 = 16.193,30 16193,3 0 8,86
P 75 0 12.264,80 = 12.264,80 12264,8 0 8,86
P 76 0 7.991,80 = 7.991,80 7991,8 0 8,86
P 77 0 3.973,30 = 3.973,30 3973,3 0 8,86
P 78 0 1.021,0 = 1.021,0 1021 0 8,41
S1 0 286,70 = 286,70 286,7 0 5,09
T 1 0 95,55 = 95,55 95,55 0 26,04
E9 0 0,0 ≤ 144.025,0 0 144025 0
E10 0 0,0 ≤ 90.503,0 0 90503 0
E11 0 0,0 ≤ 527.454,0 0 527454 0
A tividade 0,50
≤
R estrição 59.418,0
A ctivity 0,5
Slack 59417,5
Shado w P rice 0
D IST R IB UIÇÃ O D OS M A T ER IA IS D E T ER R A P LEN A GEM :
EST UD O EXP A N D ID O
221
9.4 APÊNDICE 4 – CÓDIGO DE PROGRAMAÇÃO EM MPL
A seguir será apresentado o código fonte de programação, formulado para o
desenvolvimento deste trabalho, na linguagem de programação matemática MPL de
forma comentada. Ao final desta seção, será apresentado de forma contínua.
O modelo em MPL pode ser redigido dentro do próprio programa “MPL for
Windows” ou através de um editor de texto, como por exemplo, o “Bloco de Notas”
do Windows desde que ao ser salvo tenha o formato de texto puro ASCII e seja
salvo com a extensão de arquivo “*.mpl”, onde o “*” é o nome do arquivo salvo.
Por se tratar de um arquivo de texto puro, uma forma de mantê-lo organizado é
através de quebras de linhas para separar os blocos do código, como se fossem
parágrafos, e estabelecer um critério de indentação para hierarquizar as informações
através de recuos a partir da margem esquerda feitos com uma contagem de
espaços. A indentação auxilia a rápida leitura e interpretação do código de
programação digitado.
Outro cuidado importante que se deve ter ao elaborar um código de
programação, independente da linguagem utilizada, é de documentar o que está
sendo programado através de comentários. Os comentários são textos que são
redigidos ao longo do código com a finalidade de explicar ou traduzir o que foi
programado de forma clara e objetiva. Nas linguagens de programação os
comentários geralmente são precedidos de um caractere especial que identifica o
início do texto do comentário. Em algumas linguagens de programação é preciso
inserir novamente este caractere ao final do texto para encerrar o comentário. Em
outras linguagens de programação cada linha do comentário deve ser precedida por
este caractere especial. O MPL aceita as duas últimas formas descritas acima: pode
ser feito um comentário entre chaves “{ }” como caracteres especiais de início e fim
do comentário, suportando a quebra de linhas; ou, pode ser usado o sinal de
exclamação “!” no início de cada comentário em cada linha.
O modelo MPL deste trabalho lê a entrada de dados diretamente da do arquivo
do MS Excel, apresenta os resultados através de relatórios próprios e também
insere os resultados da otimização no mesmo arquivo de origem dos dados de
222
entrada, podendo se necessário, ser programado para salvar em arquivos de texto
separadamente ou exportar para outra base de dados.
Para que o MPL reconheça um intervalo de dados dentro de uma planilha do MS
Excel, é necessário que este intervalo seja definido através de um nome dentro da
planilha do MS Excel. Um intervalo de células identificado por um nome será
reconhecido como um vetor pelo MPL. Se este intervalo for de entrada de dados, o
MPL o reconhecerá até que encontre uma célula vazia, portanto, o preenchimento
dos dados deverá ser contínuo. Se o intervalo for para apresentação dos resultados,
ele poderá ser definido na forma de uma matriz determinada em um intervalo
composto de linhas e colunas, onde o MPL o interpretará como um vetor contínuo,
ou apenas a primeira célula, onde o MPL preencherá as células seguintes de forma
contínua com todos os resultados obtidos para aquele grupo de resultados que
estão sendo exportados.
9.4.1 DECLARAÇÃO DO TÍTULO DO MODELO
O título é um elemento opcional, porém sua declaração facilitará a identificação
nos relatórios de saída dos dados. Para o modelo deste trabalho foi estabelecido o
título de “Terraplenagem” conforme apresentado no trecho do código mostrado
abaixo:
TITLE { Título } Terraplenagem; { Distribuição de Materiais de Terraplenagem }
9.4.2 DECLARAÇÃO DAS OPÇÕES DO MODELO
As opções são utilizadas quando se deseja declarar as bases de dados que
serão utilizadas para informar os índices e valores ao problema. No modelo deste
223
trabalho foram declarados o arquivo do MS Excel que contém os dados do problema
e a planilha em que estes se encontram, conforme apresentado no trecho do código
abaixo:
OPTIONS { Opções } Excelworkbook = "Terraplenagem_MPL_R-00.xlsx" {Arquivo do MS Excel contendo os dados de entrada e as planilhas de apresentação do modelo} Excelsheetname = "Tabelas-R" {Planilha dentro do MS Excel onde estão os dados organizados e onde serão apresentados os resultados}
9.4.3 DECLARAÇÃO DOS ÍNDICES DO MODELO
A seção INDEX do MPL é o local onde serão indicados todos os elementos que
serão tratados pelo modelo e talvez, a parte da modelagem que exija maior atenção
do programador ou do usuário do modelo. O MPL reconhece a entrada de dados
através de elementos declarados inicialmente na forma de vetores. Também
reconhece subgrupos de elementos contidos dentro destes vetores e combinação de
vetores já declarados na modelagem. Uma matriz pode ser entendida pelo MPL
como a combinação de dois vetores.
Neste trabalho, a modelagem trata da combinação de valores entre escavações
e aterros. Sendo assim, inicialmente foram declarados dois vetores destes dois
grupos de elementos. O primeiro foi denominado “corte”, que é o conjunto de todas
as escavações do modelo, e o segundo foi denominado “aterro”, que é o conjunto de
todos os aterros do modelo.
O conjunto de escavações englobam os cortes obrigatórios determinados pela
geometria e os empréstimos que poderão ser utilizados. O conjunto dos aterros
englobam os corpos de aterros e camadas finais de terraplenagem que devem ser
construídos e os bota-foras que estão disponíveis.
Somente esta divisão em dois grandes grupos não permite que o modelo
classifique os elementos que estão sendo tratados por ele. Torna-se necessário criar
224
subgrupos dos elementos contidos no vetor das escavações e no vetor dos aterros
para possibilitar categorizá-los. Estes subgrupos receberam a seguinte divisão:
Escavações:
- “matcaterro”: dentro do vetor de elementos “corte”, corresponde à lista de
todos os materiais que podem ser utilizados para a construção de corpo de
aterro. Esta lista será preenchida pelos materiais em que a qualidade atenda
as características mínimas desejadas para a construção de um corpo de
aterro;
- “matcfinal”: dentro do vetor de elementos “corte”, corresponde à lista de
todos os elementos que podem ser utilizados para a construção de camada
final de terraplenagem. Esta lista será preenchida pelos materiais em que a
qualidade atenda as características mínimas desejadas para a construção
de uma camada final de terraplenagem. Os materiais contidos nesta lista
também fazem parte da lista anterior, pois também podem ser utilizados
para construção de corpo de aterro, porém, prioritariamente, serão
destinados a compor camada final de terraplenagem;
- “matbfora”: dentro do vetor de elementos “corte”, corresponde à lista de
todos os materiais que podem ser destinado aos bota-foras. Esta lista é
preenchida por todos os materiais de escavação obrigatória, que não é o
caso dos materiais provenientes dos empréstimos, que são de escavação
opcional;
- “emprestimo”: dentro do vetor de elementos “corte”, corresponde à lista de
todos os empréstimos.
Aterros:
- “caterro”: dentro do vetor de elementos “aterro”, corresponde à lista de
corpos de aterros a serem construídos;
- “cfinal”: dentro do vetor de elementos “aterro”, corresponde à lista das
camadas finais a serem construídas;
- “botafora”: dentro do vetor de elementos “aterro”, corresponde à lista dos
bota-foras que podem ser construídos;
- “vaterro”: dentro do vetor de elementos “aterro”, corresponde à lista dos
aterros e camadas finais de terraplenagem.
225
Para que o MPL reconheça cada iteração que deverá acontecer e cruzar as
informações entre as escavações e os aterros de forma correta, ainda é necessário
criar uma matriz resultante do cruzamento dos vetores “corte” e “aterro”. Par isto foi
criada a matriz “QuantMat” que relaciona todas as iterações resultantes do
cruzamento das escavações com os aterros.
Como apresentado no item 9.1.2, as informações em que o modelo MPL vai
tratar serão lidas de uma planilha do MS Excel. Para que cada vetor seja
reconhecido, é necessário que ele tenha sido declarado dentro da planilha da pasta
de trabalho do MS Excel. A declaração de cada vetor é feita a partir da ferramenta
“Definir Nomes” do MS Excel.
A ferramenta “Definir Nome” atribui um nome para um conjunto de células dentro
de uma planilha do MS Excel. O MPL reconhece apenas conjunto de células
contínuas, seja na forma de linhas, counas ou linhas e colunas.
Os vetores “corte” e “aterro” foram lidos dos conjuntos de células do MS Excel
com os nomes de “Corte” e “Aterro”, respectivamente. Os grupos de nomes “Corte” e
“Aterro” foram definidos a partir de grupos de células contendo várias linhas e
colunas cada um. Os elementos foram listados na primeira coluna de cada grupo; na
segunda coluna forma listados os CMs de cada elemento; na terceira coluna foram
listados os volumes respectivos; na quarta coluna, para os empréstimos e bota-
foras, foram listadas as extensões adicionais a DMT além do eixo de projeto; e, na
quinta coluna, para os empréstimos, o custo unitário de indenização para a
aquisição de materiais, quando esta condição existir.
Os demais vetores que caracterizam os subgrupos das escavações ou dos
aterros são definidos dentro da planilha do MS Excel apenas por linhas ou colunas
que os listam e identificam, visto que as propriedades que o modelo vai solicitar já
foram listadas nas colunas adicionais dos grupos “Corte” e “Aterro”.
A matriz “QuantMat” é resultante da combinação todas as escavações e todos
os aterros. Da forma como a matriz foi declarada, “QuantMat[corte,aterro];”, ela será
resultante da combinação de cada elemento do vetor “corte” com cada elemento do
vetor “aterro”, onde cada combinação “[corte,aterro]” será o endereço reservado a
uma iteração do modelo.
226
O trecho do modelo MPL deste trabalho, contendo a declaração dos vetores e
os todos os nomes dos grupos de células da planilha do MS Excel pode ser viso a
seguir:
INDEX { Declaração das variáveis } corte := EXCELSPARSE("Corte", 1); {Lista de todas as escavações} matcaterro[corte] := EXCELRANGE("MatCAterro"); {Lista dos materiais para construção de corpo de aterro} matcfinal[corte] := EXCELRANGE("MatCFinal"); {Lista dos materiais para construção de camada final de terraplenagem} matbfora[corte] := EXCELRANGE("MatBFora"); {Lista de materiais que podem ir para bota-fora} emprestimo[corte] := EXCELRANGE("MEmprestimo"); {Lista dos empréstimos} aterro := EXCELSPARSE("Aterro", 1); {Lista de todas as camadas de aterros e bota-foras} caterro[aterro] := EXCELRANGE("CAterro"); {Lista dos corpos de aterro} cfinal[aterro] := EXCELRANGE("CFinal"); {Lista das camadas finais de terraplenagem} botafora[aterro] := EXCELRANGE("CBotafora"); {Lista de bota-foras} vaterro[aterro] := EXCELRANGE("VAterro"); {Lista de aterros e camadas finais de terraplenagem} QuantMat[corte,aterro]; {Matriz de cortes x aterros}
9.4.4 ENTRADA DE DADOS
A seção DATA é onde são feitas as entradas de dados no MPL. Os dados de
entrada sempre serão vinculados a algum elemento declarado na seção INDEX.
Este modelo foi programado para que os dados sejam lidos diretamente da planilha
do MS Excel, da mesma forma como descrito, através de grupos de células com um
nome atribuído.
227
A primeira tabela de dados a ser carregada pelo modelo foi denominada
“CUnEscav”, em função dos vetores “corte” e “aterro”, que contém os custos
unitários por m³ de escavação carga e transporte de materiais, conforme TAB. 4.2,
que no MS Excel, o intervalo de dados desta tabela, recebe o nome de
“CustoEscava”.
A segunda tabela de dados a ser carregada pelo modelo foi denominada
“CUnAterro”, em função dos vetores “corte” e “aterro”, que contém os custos
unitários por m³ de construção de corpo de aterro, camada final e bota-fora,
conforme TAB. 4.3, que no MS Excel, o intervalo de dados desta tabela, recebe o
nome de “CustoAterro”.
A terceira tabela de dados a ser carregada pelo modelo foi denominada
“CMExtra”, em função dos vetores “corte” e “aterro”, que contém os custos unitários
por m³ de momento extraordinário de transporte, conforme TAB. 4.4, que no MS
Excel, o intervalo de dados desta tabela, recebe o nome de “CMExtra”.
A quarta tabela de dados a ser carregada pelo modelo foi denominada “CInde”,
em função dos vetores “corte” e “aterro”, que contém os custos unitários por m³ de
indenização por aquisição de material de empréstimos, se for esta a condição,
conforme TAB. 4.5, que no MS Excel, o intervalo de dados desta tabela, recebe o
nome de “CInde”.
Além das tabelas de custos, também é necessário que o modelo carregue os
volumes de cada material.
Os cortes obrigatórios foram identificados através do vetor “matbfora”, que são
os materiais escavados que podem ir para um bota-fora. Assim sendo, este vetor
identifica dentro do conjunto de células denominado “Corte” no MS Excel, na terceira
coluna, os volumes dos cortes obrigatórios.
Os aterros obrigatórios foram identificados através do vetor “vaterro”, que são
todas as construções de corpo de aterro e de camada final de terraplenagem. Assim
sendo, este vetor identifica dentro do conjunto de células denominado “Aterro” no
MS Excel, na terceira coluna, os volumes dos corpos de aterro e de camadas finais.
Os empréstimos foram identificados através do vetor “emprestimo”, que são os
materiais que podem ser escavados se necessário ou apresentar um bom
custo/benefício. Assim sendo, este vetor identifica dentro do conjunto de células
228
denominado “Corte” no MS Excel, na terceira coluna, os volumes disponíveis nos
empréstimos.
Os bota-foras foram identificados através do vetor “botafora”, que são os locais
com capacidade de receber material excedente ou com características que não
atendam aos requisitos de construção de corpo de aterro ou camada final de
terraplenagem. Assim sendo, este vetor identifica dentro do conjunto de células
denominado “Aterro” no MS Excel, na terceira coluna, a capacidade em volume de
cada bota-fora.
O trecho do modelo MPL deste trabalho, correspondente a entrada de dados,
pode ser visto a seguir:
DATA {Dados de Entrada} { CUSTOS UNITÁRIOS POR M³ DE MATERIAL TRANSPORTADO } CUnEscav[corte,aterro] := EXCELRANGE("CustoEscava"); {Custo unitário por m³ da Escavação, Carga e Transporte em função da DMT entre segmentos (R$/m³)} CUnAterro[corte,aterro] := EXCELRANGE("CustoAterro"); {Custo unitário por m³ da Compactação do Corpo de Aterro, Camada Final de Terraplenagem e de Bota-Fora (R$/m³)} CMExtra[corte,aterro] := EXCELRANGE("CMExtra"); {Custo unitário por m³ do Momento Extraordinário de Transporte (R$/m³)} CInde[corte,aterro] := EXCELRANGE("CInde"); {Custo unitário por m³ de indenização de aquizição de material de emprestimo (R$/m³)} { VOLUMES DAS CAMADAS DE ESCAVAÇÃO E ATERROS } VolCorte[matbfora] := EXCELSPARSE("Corte", 3); {Volume dos cortes (m³)} VolAterro[vaterro] := EXCELSPARSE("Aterro", 3); {Volume dos aterros (m³)} VolEmprestimo[emprestimo] := EXCELSPARSE("Corte", 3); {Volume dos empréstimos (m³)} VolBotafora[botafora] := EXCELSPARSE("Aterro", 3); {Volume dos bota-foras (m³)}
9.4.5 DECLARAÇÃO DAS VARIÁVEIS
229
Na seção DATA do modelo MPL são declaradas as variáveis de decisão do
problema de PL. Estas variáveis são definidas com base nos vetores declarados na
seção INDEX.
Para o modelo representar de forma correta o problema da distribuição de
materiais de terraplenagem, as variáveis de decisão Xij precisaram ser subdivididas
em três subgrupos de acordo com a finalidade do material transportado:
- Materiais para construção dos corpos de aterro: compreende todos os
materiais escaváveis, de todas as categorias em que o solo de origem
atenda as exigências, mínimas de CBR e máxima de expansão,
especificadas para a construção dos corpos de aterro. Somente estas
escavações vão iteragir com os segmentos do grupo de corpos de aterro.
Estas variáveis de decisão são definidas pelo cruzamento dos vetores
“matcaterro” e “caterro”, resultando em uma matriz definida com o número
de linhas pelo primeiro vetor e o número de colunas pelo segundo vetor;
- Materiais para construção das camadas finais: compreende todos os
materiais escaváveis, de todas as categorias em que o solo de origem
atenda as exigências, mínimas de CBR e máxima de expansão,
especificadas para a construção das camadas finais de terraplenagem.
Somente estas escavações vão iteragir com os segmentos do grupo de
camadas finais de terraplenagem. Estas variáveis de decisão são definidas
pelo cruzamento dos vetores “matcfinal” e “cfinal”, resultando em uma matriz
definida com o número de linhas pelo primeiro vetor e o número de colunas
pelo segundo vetor;
- Materiais enviados para bota-fora: compreende todos os materiais
escaváveis, de todas as categorias, exceto os materiais provenientes dos
empréstimos. Somente estas escavações vão iteragir com os segmentos do
grupo de bota-foras. Estas variáveis de decisão são definidas pelo
cruzamento dos vetores “matbfora” e “botafora”, resultando em uma matriz
definida com o número de linhas pelo primeiro vetor e o número de colunas
pelo segundo vetor.
Desta forma, o modelo interpretará apenas os intervalos compreendidos nestes
três subgrupos, descartando as iterações que não estiverem presentes neles,
reduzindo a quantidade de variáveis de decisão que podem receber um valor
230
positivo, enquanto que as demais variáveis de decisão permanecerão com seu valor
igual a zero. Consequentemente o número de iterações que o solucionador irá
realizar será bem menor do que se tivesse que analisar todas as combinações entre
escavações e aterros.
Junto da declaração das variáveis do modelo também são inseridos os
comandos para exportar os resultados encontrados. Além dos valores encontrados
pela otimização paras as variáveis de decisão, são exportados os resultados da
análise de pós-otimização que são:
Activity: Corresponde a atividade ou o valor encontrado para a variável
de decisão;
ReduceCost Corresponde ao custo reduzido das variáveis de decisão;
ObjectCoeff Corresponde ao coeficiente que atuou na variável, neste caso,
corresponde ao custo unitário total dos serviços por m³;
ObjectLower Corresponde ao menor valor que o coeficiente da variável
poderá assumir sem que a solução ótima seja alterada. O
solucionador “CoinMP” não apresenta este resultado;
ObjectUpper Corresponde ao maior valor que coeficiente da variável poderá
assumir sem que a solução ótima seja alterada. O solucionador
“CoinMP” não apresenta este resultado.
Para que o MS Excel receba os dados corretamente, é necessário definir um
nome para cada grupo de células com exatamente a mesma dimensão que cada
matriz de variáveis. Cada item de análise da pós-otimização precisará de um grupo
de células de igual dimensão reservado e com nome definido no MS Excel.
O trecho do código de programação do modelo referente à declaração de
variáveis com os comandos para exportar os valores encontrados é apresentado a
seguir. Nele poderá ser visto os nomes atribuídos a cada intervalo de células da
planilha do MS Excel que receberá os resultados encontrados e os dados de pós-
otimização.
VARIABLES { Variáveis de Decisão } QtdCAterro[matcaterro, caterro] -> QCA {Materiais para construção dos corpos de aterro} EXPORT TO EXCELRANGE("CA_Qtd") EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("CA_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("CA_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("CA_OC")
231
EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("CA_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("CA_OU"); QtdCFinal[matcfinal, cfinal] -> QCF {Materiais para construção das camadas finais} EXPORT TO EXCELRANGE("CF_Qtd") EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("CF_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("CF_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("CF_OC") EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("CF_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("CF_OU"); QtdBFora[matbfora, botafora] -> QBF {Materiais enviados para bota-fora} EXPORT TO EXCELRANGE("BF_Qtd") EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("BF_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("BF_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("BF_OC") EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("BF_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("BF_OU");
9.4.6 EQUAÇÕES DO MODELO
Na seção MACROS do modelo MPL as equações do problema de PL são
lançadas. As equações deste trabalho cruzam os valores das quantidades de
material a ser transportado das escavações para os aterros, variáveis de decisão,
com os custos unitários para cada serviço, conforme cada parcela da EQ. 4.2.
A primeira equação calcula os custos totais com os serviços de escavação carga
e transporte; a segunda, os custos totais com as construções de corpo de aterro,
camada final de terraplenagem e bota-fora; a terceira, os custos totais com momento
extraordinário de transporte; e, a quarta com os custos totais de indenização por
aquisição de material de empréstimo.
A quinta equação soma as quatro primeiras e obtém o valor total dos serviços
relacionados com a distribuição dos materiais de terraplenagem.
A seguir, é apresentado o trecho do código de programação do MPL que trata
das equações do modelo.
MACROS { Equações que compõem a Função Objetivo } {Custo Total de Escavação, carga e Transporte}
232
CustoEscava := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CUnEscav) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CUnEscav) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CUnEscav); {Custo da construção dos corpos de aterro, camada final de terraplenagem e compactação de bota-fora} CustoAterro := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CUnAterro) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CUnAterro) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CUnAterro); {Custo do Momento Extraordinário de Transporte} CustoMExtra := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CMExtra) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CMExtra) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CMExtra); {Custo da indenização por aquisição de material de empréstimo} {A última parcela da equação prevê a indenização de algum material destinado a bota-fora, porém isto acontecerá em casos extremos e indicará alguma inconsistência na declaração das restrições} CustoInde := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CInde) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CInde) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CInde); {Custo da Execução da Terraplenagem} CustoTotal := CustoEscava + CustoAterro + CustoMExtra + CustoInde;
9.4.7 DECLARAÇÃO DO MODELO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE PL
A seção MODEL trata do tipo de solução da PO que o modelo será solucionado.
O critério adotado para o modelo de solução deste trabalho é o de minimização dos
custos. O trecho do código de programação MPL desta seção é apresentado a
seguir.
MODEL { Modelo de Otimização } MIN Custo = CustoTotal; {Minimizar a FO CustoTotal}
9.4.8 DECLARAÇÃO DAS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA DE PL
233
A seção SUBJECT TO trata da declaração das restrições do modelo. Nela
também estão os comandos para exportar as informações de pós-otimização da
solução encontrada para o problema de PL que estão relacionadas às restrições. As
informações de pós-otimização encontradas são:
Activity: Corresponde a atividade da restrição. No caso em estudo
representa o valor encontrado para a restrição. Na versão para
estudantes do “MPL for Widows” o solucionador “CoinMP”
apresenta o valor da folga (Slack) da restrição e não da
atividade, o que não acontece na versão acadêmica;
Slack: Corresponde a folga da restrição. No caso em estudo
representa quanto material ainda tem disponível para o
elemento analisado. Na versão para estudantes do “MPL for
Widows” o solucionador “CoinMP” apresenta o valor da
atividade (Activity) da restrição e não da folga, o que não
acontece na versão acadêmica;
ShadowPrice: Corresponde ao preço sombra da restrição que é o valor que
será adicionado a FO caso seja adicionado mais uma unidade
do elemento analisado a restrição. Talvez esta seja a
informação mais valiosa dos resultados obtidos da otimização
da distribuição de materiais de terraplenagem, pois quanto
mais negativo for o valor apresentado, maior será a redução de
custo com o aumento do maciço de terra analisado. Isto quer
dizer que se o maciço for de corte, é conveniente implantar um
empréstimo lateral junto deste corte, ao passo que, se o
maciço for um aterro, é conveniente implantar um bota-fora
lateral junto deste aterro;
RhsValue: Corresponde ao valor encontrado para a restrição.
RhsLower: Corresponde ao limite inferior em que o valor da restrição
poderá ser reduzido sem que a solução ótima mude. O
solucionador “CoinMP” não apresenta este resultado. O
solucionador CPLEX 300 (restrito a 300 variáveis e restrições)
apresentou valores precisos para os intervalos em várias
simulações;
234
RhsUpper: Corresponde ao limite superior em que o valor da restrição
poderá ser aumentado sem que a solução ótima mude.
Associado ao preço sombra, a informação deste limite pode
indicar qual volume de material é conveniente para a
implantação de um empréstimo ou bota-fora lateral. O
solucionador “CoinMP” não apresenta este resultado. O
solucionador CPLEX 300 (restrito a 300 variáveis e restrições)
apresentou valores precisos para os intervalos em várias
simulações.
As restrições deste trabalho estão relacionadas aos volumes obrigatórios e
volumes opcionais de distribuição dos materiais. As duas primeiras restrições tratam
das escavações, onde os cortes obrigatórios devem ser escavados na sua totalidade
e os empréstimos até a sua totalidade; a terceira e a quarta tratam dos aterros, onde
os corpos de aterros e as camadas finais de terraplenagem devem ser construídos
na sua totalidade e os bota-foras até o limite de sua capacidade; e, a quinta restringe
as variáveis de decisão a valores positivos. O MPL dispensa esta última restrição,
pois adota como padrão que todas as variáveis tratadas em um problema de PO são
positivas. A seguir o trecho do código MPL deste modelo apresenta os nomes dados
a cada restrição e aos intervalos de células que receberão os dados de pós-
otimização no MS Excel, bem como os vetores que determinam a dimensão de cada
grupo de células da planilha.
SUBJECT TO { Restrições } {Volume de corte deve ser integral} TotalCorte[matbfora] -> TCor EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_C_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_C_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_C_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_C_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_C_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_C_RhsU"): SUM(aterro IN QuantMat: QtdCAterro[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdCFinal[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdBFora[aterro]) = VolCorte[matbfora]; {Volume de aterro deve ser integral} TotalAterro[vaterro] -> TAte EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_A_Ac")
235
EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_A_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_A_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_A_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_A_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_A_RhsU"): SUM(corte IN QuantMat: QtdCAterro[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdCFinal[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdBFora[corte]) = VolAterro[vaterro]; {Volume disponível para Empréstimo} TotalEmprestimo[emprestimo] -> TEmp EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_E_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_E_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_E_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_E_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_E_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_E_RhsU"): SUM(aterro IN QuantMat: QtdCAterro[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdCFinal[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdBFora[aterro]) <= VolEmprestimo[emprestimo]; {Capacidade em volume de botafora} TotalBotafora[botafora] -> TBF EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_B_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_B_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_B_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_B_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_B_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_B_RhsU"): SUM(corte IN QuantMat: QtdCAterro[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdCFinal[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdBFora[corte]) <= VolBotafora[botafora];
9.4.9 LIMITES
A seção BOUNDS, complementar as restrições, trata dos limites em que as
variáveis de decisão devem respeitar. Neste modelo não foi estabelecido nenhum
limite adicional às restrições declaradas.
Esta seção também é a última antes do modelo MPL ser finalizado, como pode
ser visto no trecho do código MPL a seguir:
BOUNDS { Limites } END
236
9.4.10 CÓDIGO CONTÍNUO DO MODELO MPL
TITLE { Título } Terraplenagem; { Distribuição de Materiais de Terraplenagem } OPTIONS { Opções } Excelworkbook = "Terraplenagem_MPL_R-00.xlsx" {Arquivo do MS Excel contendo os dados de entrada e as planilhas de apresentação do modelo} Excelsheetname = "Tabelas-R" {Planilha dentro do MS Excel onde estão os dados organizados e onde serão apresentados os resultados} INDEX { Declaração das variáveis } corte := EXCELSPARSE("Corte", 1); {Lista de todas as escavações} matcaterro[corte] := EXCELRANGE("MatCAterro"); {Lista dos materiais para construção de corpo de aterro} matcfinal[corte] := EXCELRANGE("MatCFinal"); {Lista dos materiais para construção de camada final de terraplenagem} matbfora[corte] := EXCELRANGE("MatBFora"); {Lista de materiais que podem ir para bota-fora} emprestimo[corte] := EXCELRANGE("MEmprestimo"); {Lista dos empréstimos} aterro := EXCELSPARSE("Aterro", 1); {Lista de todas as camadas de aterros e bota-foras} caterro[aterro] := EXCELRANGE("CAterro"); {Lista dos corpos de aterro} cfinal[aterro] := EXCELRANGE("CFinal"); {Lista das camadas finais de terraplenagem} botafora[aterro] := EXCELRANGE("CBotafora"); {Lista de bota-foras} vaterro[aterro] := EXCELRANGE("VAterro"); {Lista de aterros e camadas finais de terraplenagem} QuantMat[corte,aterro]; {Matriz de cortes x aterros} DATA {Dados de Entrada}
237
{ CUSTOS UNITÁRIOS POR M³ DE MATERIAL TRANSPORTADO } CUnEscav[corte,aterro] := EXCELRANGE("CustoEscava"); {Custo unitário por m³ da Escavação, Carga e Transporte em função da DMT entre segmentos (R$/m³)} CUnAterro[corte,aterro] := EXCELRANGE("CustoAterro"); {Custo unitário por m³ da Compactação do Corpo de Aterro, Camada Final de Terraplenagem e de Bota-Fora (R$/m³)} CMExtra[corte,aterro] := EXCELRANGE("CMExtra"); {Custo unitário por m³ do Momento Extraordinário de Transporte (R$/m³)} CInde[corte,aterro] := EXCELRANGE("CInde"); {Custo unitário por m³ de indenização de aquizição de material de emprestimo (R$/m³)} { VOLUMES DAS CAMADAS DE ESCAVAÇÃO E ATERROS } VolCorte[matbfora] := EXCELSPARSE("Corte", 3); {Volume dos cortes (m³)} VolAterro[vaterro] := EXCELSPARSE("Aterro", 3); {Volume dos aterros (m³)} VolEmprestimo[emprestimo] := EXCELSPARSE("Corte", 3); {Volume dos empréstimos (m³)} VolBotafora[botafora] := EXCELSPARSE("Aterro", 3); {Volume dos bota-foras (m³)} VARIABLES { Variáveis de Decisão } ! Quantidade[corte, aterro] -> Qtd; { as quantidades são variáveis dos ítens declarados} QtdCAterro[matcaterro, caterro] -> QCA {Materiais para construção dos corpos de aterro} EXPORT TO EXCELRANGE("CA_Qtd") EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("CA_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("CA_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("CA_OC") EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("CA_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("CA_OU"); QtdCFinal[matcfinal, cfinal] -> QCF {Materiais para construção das camadas finais} EXPORT TO EXCELRANGE("CF_Qtd") EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("CF_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("CF_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("CF_OC") EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("CF_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("CF_OU"); QtdBFora[matbfora, botafora] -> QBF {Materiais enviados para bota-fora} EXPORT TO EXCELRANGE("BF_Qtd")
238
EXPORT Activity TO EXCELRANGE ("BF_Ac") EXPORT ReducedCost TO EXCELRANGE ("BF_RC") EXPORT ObjectCoeff TO EXCELRANGE ("BF_OC") EXPORT ObjectLower TO EXCELRANGE ("BF_OL") EXPORT ObjectUpper TO EXCELRANGE ("BF_OU"); MACROS { Equações que compõem a Função Objetivo } {Custo Total de Escavação, carga e Transporte} CustoEscava := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CUnEscav) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CUnEscav) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CUnEscav); {Custo da construção dos corpos de aterro, camada final de terraplenagem e compactação de bota-fora} CustoAterro := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CUnAterro) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CUnAterro) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CUnAterro); {Custo do Momento Extraordinário de Transporte} CustoMExtra := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CMExtra) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CMExtra) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CMExtra); {Custo da indenização por aquisição de material de empréstimo} {A última parcela da equação prevê a indenização de algum material destinado a bota-fora, porém isto acontecerá em casos extremos e indicará alguma inconsistência na declaração das restrições } CustoInde := SUM(corte, aterro: QtdCAterro * CInde) + SUM(corte, aterro: QtdCFinal * CInde) + SUM(corte, aterro: QtdBFora * CInde); {Custo da Execução da Terraplenagem} CustoTotal := CustoEscava + CustoAterro + CustoMExtra + CustoInde; MODEL { Modelo de Otimização } MIN Custo = CustoTotal; {Minimizar a FO CustoTotal} SUBJECT TO { Restrições } {Volume de corte deve ser integral} TotalCorte[matbfora] -> TCor EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_C_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_C_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_C_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_C_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_C_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_C_RhsU"):
239
SUM(aterro IN QuantMat: QtdCAterro[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdCFinal[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdBFora[aterro]) = VolCorte[matbfora]; {Volume de aterro deve ser integral} TotalAterro[vaterro] -> TAte EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_A_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_A_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_A_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_A_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_A_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_A_RhsU"): SUM(corte IN QuantMat: QtdCAterro[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdCFinal[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdBFora[corte]) = VolAterro[vaterro]; {Volume disponível para Empréstimo} TotalEmprestimo[emprestimo] -> TEmp EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_E_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_E_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_E_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_E_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_E_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_E_RhsU"): SUM(aterro IN QuantMat: QtdCAterro[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdCFinal[aterro]) + SUM(aterro IN QuantMat: QtdBFora[aterro]) <= VolEmprestimo[emprestimo]; {Capacidade em volume de botafora} TotalBotafora[botafora] -> TBF EXPORT Activity TO EXCELRANGE("R_B_Ac") EXPORT Slack TO EXCELRANGE("R_B_Sl") EXPORT ShadowPrice TO EXCELRANGE("R_B_SP") EXPORT RhsValue TO EXCELRANGE("R_B_RhsV") EXPORT RhsLower TO EXCELRANGE("R_B_RhsL") EXPORT RhsUpper TO EXCELRANGE("R_B_RhsU"): SUM(corte IN QuantMat: QtdCAterro[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdCFinal[corte]) + SUM(corte IN QuantMat: QtdBFora[corte]) <= VolBotafora[botafora]; BOUNDS { Limites } END
240
10 ANEXOS
241
10.1 ANEXO 1 – TABELA DE CUSTOS UNITÁRIOS: SICRO2 SET/2014
242
243
244
245
GLOSSÁRIO DE TERMOS TÉCNICOS E EXPRESSÕES USADAS
TERRAPLENAGEM:
- Aterros. Segmento de rodovia cuja implantação requer depósito de materiais
provenientes de cortes e/ou de empréstimos no interior dos limites das seções de
projeto (Off sets) que definem o corpo estradal, o qual corresponde a faixa
terraplenada. (DNIT, 2009)
- Bota-fora: Material de escavação dos cortes, não aproveitado nos aterros,
devido a sua má qualidade, ao seu volume, ou à excessiva distância de transporte, e
que é depositado fora da plataforma da rodovia, de preferência nos limites da faixa
de domínio, quando possível. O local de bota-fora é o lugar estabelecido para
depósito de materiais inservíveis. (DNIT, 2009)
- Camada final. Parte do aterro constituída de material selecionado, como base
em preceitos técnico-econômicos, com 60,0 cm de espessura, situada sobre o corpo
do aterro ou sobre o terreno remanescente de um corte e cuja superfície é definida
pelo greide de terraplenagem. (DNIT, 2009)
- Canteiro de obras. Instalações específicas, contendo, no caso geral, os
seguintes compartimentos: guarita, recrutamento, segurança, transportes,
ambulatório, escritório, laboratório, almoxarifado, oficina mecânica, abastecimento
de combustíveis, borracheiro, lavagem, lubrificação, alojamento de pessoal e
recreação. (DNIT, 2009)
- Compactação. Operação por processo manual ou mecânico, destinada a
reduzir o volume de vazios de um solo ou outro material, com a finalidade de
aumentar-lhe a massa específica, resistência e estabilidade. (DNIT, 2009)
- Corpo do aterro. Parte do aterro situada sobre o terreno natural até 0,60 m
abaixo da cota correspondente ao greide de terraplenagem. (DNIT, 2009)
- Cortes. Segmento de rodovia, em que a implantação requer a escavação do
terreno natural, ao longo do eixo e no interior dos limites das seções do projeto (“Off
sets”) que definem o corpo estradal, o qual corresponde à faixa terraplenada. (DNIT,
2009)
246
- Corte a céu aberto. Escavação praticada na superfície do solo. (DNIT, 2009)
- Corte a meia encosta. Escavação para passagem de uma rodovia, que atinge
apenas parte de sua seção transversal. (DNIT, 2009)
- Corte em caixão. Escavação em que os taludes estão praticamente na
vertical. (DNIT, 2009)
- Cota vermelha. Denominação usualmente adotada para as alturas de corte e
de aterro. (DNIT, 2009)
- Desmatamento. Corte e remoção de toda vegetação de qualquer densidade e
posterior limpeza das áreas destinadas a implantação da plataforma a ser
construída. (DNIT, 2009)
- Destocamento e limpeza. Operações de escavação e remoção total dos tocos
e raízes e da camada de solo orgânico, na profundidade necessária até o nível do
terreno considerado apto para terraplenagem das áreas destinadas a implantação
da plataforma a ser construída. (DNIT, 2009)
- Empréstimo. Área indicada no projeto, ou selecionada, onde serão escavados
materiais a serem utilizados na execução da plataforma da rodovia e nos segmentos
em aterro. Tais áreas são utilizadas para suprir a deficiência ou insuficiência de
materiais extraídos dos cortes. (DNIT, 2009)
- Equipamentos em geral. Máquinas, veículos, equipamentos outros e todas as
unidades móveis utilizadas na execução dos serviços e obras. (DNIT, 2009)
- Faixa terraplenada. Faixa correspondente a largura que vai de crista a crista
do corte, no caso de seção plena em corte; do pé do aterro ao pé do aterro, no caso
de seção plena em aterro; e da crista do corte ao pé do aterro, no caso da seção
mista. É a área compreendida entre as linhas “off sets”. (DNIT, 2009)
- Ocorrência de material ou jazida. Área indicada para a obtenção de solos ou
rocha a empregar na execução das camadas do pavimento e/ou das obras-de-arte
especiais, das obras de drenagem e das obras complementares. (DNIT, 2009)
- “Off sets”. Linha de estacas demarcadoras da área de execução dos serviços.
(DNIT, 2009)
- Plataforma da estrada. Superfície do terreno ou terrapleno, compreendido
entre os dois pés dos cortes, no caso da seção em corte; de crista a crista do aterro,
no caso de seção em aterro; e do pé do corte a crista do aterro, no caso de seção
247
mista. No caso dos cortes, a plataforma compreende também a sarjeta. (DNIT,
2009)
- Serviços preliminares de terraplenagem propriamente dita. Todas as
operações de preparação das áreas destinadas à implantação do corpo estradal,
área de empréstimos e ocorrência de material, pela remoção de material vegetal e
outros, tais como: árvores, arbustos, tocos, raízes, entulhos, matacões, além de
qualquer outro considerado como elemento de obstrução. (DNIT, 2009)
- Talude. Superfície inclinada do terreno natural, de um corte ou de um aterro.
(DNIT, 2009)
- Talude escalonado. Talude em geral alto, em que se praticam banquetas, com
vistas a redução da velocidade das águas pluviais superficiais, para facilitar a
drenagem e aumentar a estabilidade do maciço. (DNIT, 2009)
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