Movimento Periódico
Jusciane da Costa e Silva
Mossoró, Março de 2010
Universidade Federal Ruraldo Semiarido - UFERSA
Sumário Movimento
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Velocidade e Aceleração MHS
Energia MHS
Movimento Circular
MOVIMENTO
A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.
Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação.
Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos.
Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.
MOVIMENTO
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
Consideremos o sistema massa mola:
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
A força restauradora é função apenas da deformação
Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:
Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos
)(xFF
0
)(
dx
dFxxF
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
Sendo que
Portanto
Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.
kdx
dF
kxxF
)(
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:
Chegando a
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
0..
xx ou
esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.
Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
Combinando tais propriedades, podemos dizer que
onde C1 e C2 são constantes.
Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.
Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.
)()()( 2211 txCtxCtx
tetx )(
logo
derivando, encontramos que
logo a solução geral da equação diferencial geral fica
i
titi eCeCtx 21)(
Lembrando que
)()cos( tisente ti
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.
fazendo
cos21
21
ACC
AsenCC
)()cos()cos()()( tseniAtAsentx
Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:
)cos()(
)()(
tAtx
tAsentx
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
Onde A é a amplitude de oscilação e e são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.
ooscilatóriTermo
const
faseAmplitude
m
toDeslocamen
tkxsenAtxy
fase .
)(),(
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|.
CICLO – é uma oscilação completa.
PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s).
FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
)()( tAsentx Função periódica de 0t de período 2.
T 2
FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ.
1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1
2
1
Tf
f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.
Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência
f 2
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)
A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é:
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS
)()(
)cos()(
)(
tsenAtv
tAdt
d
dt
tdxtv
a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de A até –A.
A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é:
)()cos()(
)()(
)(
22 txtAta
tAsendt
d
dt
tdvta
a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de A até –A.
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS
Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva.
Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton.
que é a lei de Hooke, para k = m2.
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS
kxxmmaF )( 2
Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia cinética dada por
ENERGIA NO MHS
)(2
1
)(2
1
)(2
1
2
1
2
1
22
22
222
22
tsenkAK
tsenm
kmAK
tsenmAK
dt
dxmmvK
Que é a energia cinética do meu sistema.
A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x.
integrando
substituindo x(t)
ENERGIA NO MHS
kxdxFdxdW
UkxdW 2
2
1
)(2
1 22 tsenkAU
Que é a energia potencial do meu sistema.
A energia total do oscilador harmônico será
ENERGIA NO MHS
constAmE
ttsenAmE
UKE
22
2222
2
1
)(cos)(2
1
E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.
Energias num MHS
ENERGIA NO MHS
Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos).
Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A).
Exemplo OHS
Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples:
Pêndulo Simples
Pêndulo Físico
Pêndulo de torção
Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível.
A força restauradora é a componente tangencial da força resultante:
para pequenos deslocamentos
logo
PÊNDULO SIMPLES
mgsenF
sen
xL
mgmgF
A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.
A freqüência angular () de um pêndulo simples com amplitude pequena será
L
g
m
Lmg
m
k
/
A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:
g
L
fT
L
gf
212
2
1
2
PÊNDULO SIMPLES
O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.
PÊNDULO FÍSICO
))(( hsenmgz
O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.
Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples.
)(mghz
A equação do movimento zz I
22
2
2
2
)(
I
mgh
dt
ddt
dIImgh z
A freqüência angular () de um pêndulo físico com amplitude pequena será
I
mgh
A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:
mgh
I
fT
I
mghf
212
2
1
2
PÊNDULO FÍSICO
PÊNDULO TORÇÃO
Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR.
MHS ANGULAR
O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular 0.
Em t = 0, a fase inicial = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:
t0
A
txCOS
)(
t0
MHS ANGULAR
)()( 0 tACOStx
O deslocamento no movimento circular é
conhecendo o deslocamento, podemos encontrar
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