Movimento Periódico

Jusciane da Costa e Silva

Mossoró, Março de 2010

Universidade Federal Ruraldo Semiarido - UFERSA

Sumário Movimento

Movimento Harmônico Simples (MHS)

Velocidade e Aceleração MHS

Energia MHS

Movimento Circular

MOVIMENTO

A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.

Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação.

Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos.

Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.

MOVIMENTO

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

Consideremos o sistema massa mola:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

A força restauradora é função apenas da deformação

Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:

Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

)(xFF

0

)(

dx

dFxxF

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

Sendo que

Portanto

Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

kdx

dF

kxxF

)(

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:

Chegando a

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

0..

xx ou

esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

Combinando tais propriedades, podemos dizer que

onde C1 e C2 são constantes.

Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.

Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

)()()( 2211 txCtxCtx

tetx )(

logo

derivando, encontramos que

logo a solução geral da equação diferencial geral fica

i

titi eCeCtx 21)(

Lembrando que

)()cos( tisente ti

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.

fazendo

cos21

21

ACC

AsenCC

)()cos()cos()()( tseniAtAsentx

Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:

)cos()(

)()(

tAtx

tAsentx

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

Onde A é a amplitude de oscilação e e são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.

ooscilatóriTermo

const

faseAmplitude

m

toDeslocamen

tkxsenAtxy

fase .

)(),(

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|.

CICLO – é uma oscilação completa.

PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s).

FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

)()( tAsentx Função periódica de 0t de período 2.

T 2

FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ.

1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1

2

1

Tf

f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.

Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência

f 2

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é:

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

)()(

)cos()(

)(

tsenAtv

tAdt

d

dt

tdxtv

a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de A até –A.

A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é:

)()cos()(

)()(

)(

22 txtAta

tAsendt

d

dt

tdvta

a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de A até –A.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva.

Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton.

que é a lei de Hooke, para k = m2.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

kxxmmaF )( 2

Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia cinética dada por

ENERGIA NO MHS

)(2

1

)(2

1

)(2

1

2

1

2

1

22

22

222

22

tsenkAK

tsenm

kmAK

tsenmAK

dt

dxmmvK

Que é a energia cinética do meu sistema.

A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x.

integrando

substituindo x(t)

ENERGIA NO MHS

kxdxFdxdW

UkxdW 2

2

1

)(2

1 22 tsenkAU

Que é a energia potencial do meu sistema.

A energia total do oscilador harmônico será

ENERGIA NO MHS

constAmE

ttsenAmE

UKE

22

2222

2

1

)(cos)(2

1

E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

Energias num MHS

ENERGIA NO MHS

Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos).

Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A).

Exemplo OHS

Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples:

Pêndulo Simples

Pêndulo Físico

Pêndulo de torção

Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível.

A força restauradora é a componente tangencial da força resultante:

para pequenos deslocamentos

logo

PÊNDULO SIMPLES

mgsenF

sen

xL

mgmgF

A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

A freqüência angular () de um pêndulo simples com amplitude pequena será

L

g

m

Lmg

m

k

/

A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

g

L

fT

L

gf

212

2

1

2

PÊNDULO SIMPLES

O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.

PÊNDULO FÍSICO

))(( hsenmgz

O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.

Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples.

)(mghz

A equação do movimento zz I

22

2

2

2

)(

I

mgh

dt

ddt

dIImgh z

A freqüência angular () de um pêndulo físico com amplitude pequena será

I

mgh

A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

mgh

I

fT

I

mghf

212

2

1

2

PÊNDULO FÍSICO

PÊNDULO TORÇÃO

Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR.

MHS ANGULAR

O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular 0.

Em t = 0, a fase inicial = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

t0

A

txCOS

)(

t0

MHS ANGULAR

)()( 0 tACOStx

O deslocamento no movimento circular é

conhecendo o deslocamento, podemos encontrar