Introdução
• Apesar das distribuições Binomial e Poisson serem de extrema
utilidade, elas não descrevem todos os casos;
• A distribuição binomial tem a desvantagem de ser impraticável
para grandes amostras;
• A distribuição de Poisson, apesar de ser bem ajustada a um
grande conjunto de dados, considera apenas números
inteiros;
• O que fazer quando temos uma variável aleatória contínua
como altura e peso?
Distribuição de Probabilidade –
Densidade de Probabilidade• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
discreta pode ser representada por um gráfico de barras;
• Tomemos por exemplo uma distribuição binomial com
probabilidade de sucesso igual a 0,5 e tamanho da amostra
variando de 5 a 40 qual a tendência que podemos observar
pelo desenvolvimento dos gráficos?
Densidade de Probabilidade de
Variáveis Aleatórias Contínuas• A densidade de probabilidade de uma variável aleatória
contínua X, definida em um espaço amostral S, é dada por
uma função que relaciona um intervalo contendo X com sua
probabilidade.
• O gráfico da função densidade de probabilidade (f.d.p)
representa uma tradução da distribuição de probabilidades do
caso discreto para o caso contínuo.
Distribuição Normal
• A distribuição contínua mais comum é a distribuição normal
ou Gaussiana;
• Assim como a distribuição de Poisson a distribuição normal
pode ser entendida como uma aproximação da distribuição
binomial com probabilidade de sucesso constante e tamanho
da amostra tendendo ao infinito;
• Diferentemente da Poisson, no entanto, a distribuição normal
pode representar qualquer intervalo pertencente ao conjunto
dos números reais.
Distribuição Normal
• Uma variável aleatória � tem distribuição normal com
parâmetros � e �� se sua densidade de probabilidade é dada
por:
� � �1
2��
���� �
���
• Em que ∞ � � � ∞;∞ � � ∞ e �� � 0.
• Observações:
• � representa uma constante, aproximadamente 3,1415;
• � representa uma outra constante, aproximadamente 2,7182;
• � representa a média da distribuição;
• �� representa o desvio-padrão da distribuição;
• Juntos, os parâmetros � e �� definem uma função densidade deprobabilidade normal.
Distribuição Normal
• Diferentemente de uma variável aleatória discreta, a
probabilidade de uma variável aleatória contínua ser igual a
um determinado valor é sempre nula;
• Não faz sentido pensar em valores únicos quando se considera
uma variável aleatória contínua, mas sim em intervalos;
• Assim como não se calcula a probabilidade de um único valor
para � , também não se utiliza, diretamente, a função
densidade de probabilidade (f.d.p.) para calcular as
probabilidades dos intervalos, deve-se considerar a curva
definida pela f.d.p. e calcular a área sob a mesma.
Distribuição Normal
• Muitas variáveis aleatórias de interesse na bioestatística
seguem uma distribuição aproximadamente normal:
• Pressão sanguínea;
• Nível sérico de colesterol;
• Altura;
• Peso;
• ...
Exemplo
• Suponha que o comprimento de recém-nascidos do sexo feminino
não portadores de anomalias congênitas seja uma variável aleatória
com distribuição aproximadamente normal de média 48,54cm e
desvio-padrão 2,5cm.
Intervalo de 2cm
Intervalo de 1cm Intervalo de 0,5cm
Propriedades da Distribuição
Normal• A distribuição normal é unimodal e simétrica em torno de sua
média �;
• � � � � � �� ��;
• O desvio padrão � é uma medida da dispersão dos dados ao
redor da média �:
• � � � � � � � � � � 0,6826;
• � � � 2� � � � � 2� � 0,9546;
• � � � 3� � � � � 3� � 0,9974.
Como Calcular a Probabilidade de
Pertencer a Determinado
Intervalo• Basta calcular a área sob a curva normal relativa a f.d.p. da
variável aleatória �;
• Para calcular a área sob um gráfico, é necessário resolver uma
integral, nem sempre trivial;
• Como fugir do cálculo de uma integral cada vez que quiser
calcular uma probabilidade?
• Como a construção de tabelas para todas as possíveis variáveis
aleatórias pertencentes a uma distribuição normal é
impossível (existem infinitas combinações de médias e desvios
padrão), utiliza-se a tabela da distribuição normal padrão.
Como usar a tabela?
• � � � 2,65 � 0,0040;
• � � � 0,5 � 1 � � � 0,5 � 1 0,3085 � 0,6915;
• � � � 1,85 � � � � 1,85 � 0,0322;
• � � � 2,46 � 1 � � � 2,46 � 1 � � � 2,46 �
0,9931;
• � 0,71 � � � 1,93 � 1 � � � 1,93 � � � 0,71 �
1 � � � 1,93 1 � � � 0,71 � � � � 0,71
� � � 1,93 � 0,2389 0,0268;
Exemplo• Voltemos para o exemplo dado, em que se pretende estudar o
comprimento de recém nascidos ( � 48,54cm e � � 2,5cm).
Exemplo
• Se subtrairmos 48,54cm de todas as observações teremos
uma distribuição normal com média 0cm e desvio padrão
2,5cm.
Exemplo
• Se, após subtrairmos 48,54cm, dividirmos todas as
observações por 2,5cm teremos uma distribuição normal com
média 0cm e desvio padrão 1cm.
Distribuição Normal
Padronizada• Uma variável aleatória � que siga um distribuição normal com
média � 0 ou desvio padrão � � 1 pode ser padronizada
pela seguinte expressão:
• � ����
�
• Conhecendo a relação entre uma variável aleatória � seguindo
uma distribuição normal diferente da padrão e a variável
aleatória � que segue uma distribuição normal padrão, é
possível calcular as probabilidades relativas à variável �
utilizando a tabela de probabilidades de �.
Exemplo
• Tomando � a variável aleatória relativa ao comprimento de recémnascidos (� � 48,54cm e � � 2,5cm). Tem-se:
• P � � 48,54 �?
• � � 48,54 ⟹ � ���,�����,��
�,�� 0 ⟹ P � � 48,54 � P � � 0 �
0,5
• P � � 44,79 �?
• � � 44,79 ⟹ � ���,�����,��
�,��
�,��
�,�� �1,5 ⟹ P � � 44,79 �
P � � �1,5 � P � � 1,5 � 0,0668
• P 46,04 � � � 51,04 �?
• � � 46,04 ⟹ � ��,�����,��
�,��
��,�
�,�� �1;� � 51,04 ⟹ � �
��,�����,��
�,��
�,�
�,�� 1 ⟹ P 46,04 � � � 51,04 �
P �1 � � � 1 � P � � �1 � P � � 1 � 0,8413 � 0,1587 �
0,6826.
Exercício
• Para a população de homens de 18 a 74 anos, nos Estados
Unidos, a pressão sanguínea sistólica tem distribuição
aproximadamente normal com média de 129 milímetros de
mercúrio (mm Hg) e desvio padrão de 19,8 mm Hg.
• Tome � como a variável aleatória que representa a pressão
sanguínea sistólica. Encontre:
• O valor de � que limite os 2,5% superiores e inferiores da curva
de pressão sanguínea sistólica;
• Qual a proporção de homens na população que tem pressão
sanguínea sistólica maiores do que 150mm Hg;
• Qual a proporção de homens na população que tem pressão
sanguínea sitólica entre 115 mm Hg e 145 mm Hg?
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