7/26/2019 p22predilogl
1/49
INE5403
FUNDAMENTOS DEMATEMTICADISCRETA
PARA ACOMPUTAO
MATERIAL EXTRAIDO DOS LIVROS-TEXTOS(KOLMAN/ROSEN)
UFSC - CTC - INE
UFSC/CTC/INE p. 1
7/26/2019 p22predilogl
2/49
2 - MTODOS DEPROVA
2.1) Proposies
2.2) Predicados e quantificadores
2.3) Provas matemticas com predicados
UFSC/CTC/INE p. 2
7/26/2019 p22predilogl
3/49
PREDICADOS E QUANTIFICADORES
Servem para declaraes da forma:
x >3
x=y+ 3x + y=z
Nem V nem F enquanto valores das variveisno so especificados.
Como produzirproposiesa partir destasdeclaraes??
UFSC/CTC/INE p. 3
7/26/2019 p22predilogl
4/49
PREDICADOS
A declarao x maior do que 3 tem duas partes:
a varivelx(= sujeito)
maior do que 3 (= predicado)
Predicado: propriedadeque o sujeito da declarao pode ter.
Podemos denotar x maior do que 3 por P(x):
P opredicado
x avarivel
P(x) o valor dafuno proposicionalPemx.Quando um valor atribudo a x, P(x)se torna uma proposioe tem valor verdade.
UFSC/CTC/INE p. 4
7/26/2019 p22predilogl
5/49
PREDICADOS
Exemplo:sejaP(x)a declarao x >3.
Quais so os valores verdade deP(4)e P(2)?
UFSC/CTC/INE p. 5
7/26/2019 p22predilogl
6/49
PREDICADOS
Tambm podemos ter declaraescom mais de uma varivel.
Exemplo: x=y+ 3.
Pode ser denotado por Q(x, y)
Quando se atribui valores paraxe paray, Q(x, y)passa a terum valor verdade.
Quais so os valores verdade deQ(1, 2)e Q(3, 0)?
Exemplo: sejaR(x , y , z)dado por x + y=z.
Quais os valores verdade de R(1, 2, 3)e R(0, 0, 1)?
UFSC/CTC/INE p. 6
7/26/2019 p22predilogl
7/49
PREDICADOS
Em geral, uma declarao envolvendo as n variveis x1, x2, . . . , xnpode ser denotada por:
P(x1, x2, . . . , xn)
que o valor dafuno proposicionalPpara a tupla:(x1, x2, . . . , xn)
Ptambm chamado depredicado
UFSC/CTC/INE p. 7
7/26/2019 p22predilogl
8/49
QUANTIFICADORES
Atribuindo valores atodas as variveisem uma funo proposicional,o resultado umaproposiocom valor verdade determinado.
Outra formade criar uma proposio a partir de uma funoproposicional:
aquantificao
Discutiremos quantificaouniversale quantificaoexistencial.
UFSC/CTC/INE p. 8
7/26/2019 p22predilogl
9/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Muitas declaraes afirmam que uma propriedade V ou Fparatodosos valores de uma varivelem um domnio em particular
ou seja, em umuniverso de discurso
So expressas com umquantificador universal:
P(x)V para todos os valores de x
o universo de discursoque especifica os possveis valores davarivelx.
UFSC/CTC/INE p. 9
7/26/2019 p22predilogl
10/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Aquantificao universalde P(x) a proposio:
P(x) V para todos os valores de xno universo de discurso.
Denotada por: x P(x)
o quantificador universal
para todox,P(x)
para todos os x,P(x)
UFSC/CTC/INE p. 10
7/26/2019 p22predilogl
11/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Exemplo:SejaP(x)dado por x + 1 > x.
Qual o valor verdade da quantificao x P(x), sendo que ouniverso de discurso consiste detodos os nros reais?
Exemplo:SejaQ(x)a declarao x
7/26/2019 p22predilogl
12/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Quandotodosos elementos do universo de discurso podem serlistados:
x1, x2, . . . , xn
a quantificao universal fica omesmo que a conjuno:
P(x1) P(x2) . . . P(xn)
a qual V sse:
P(x1), P(x2), . . . , P (xn) so todos V
UFSC/CTC/INE p. 12
7/26/2019 p22predilogl
13/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Exemplo:qual o valor verdade dex P(x), onde:
P(x) x2
7/26/2019 p22predilogl
14/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Especificar bemo UD importante quando se usa quantificadores.
O valor verdade de uma declarao quantificada frequentemente
depende dequais elementosesto neste universo...
UFSC/CTC/INE p. 14
7/26/2019 p22predilogl
15/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Exemplo:Qual o valor verdade dex(x2 x)se:
o universo de discurso consiste de todos os nrosreais?
o UD consiste de todos os nrosinteiros?
Resposta:
note quex2
x sse x.(x 1)0
ou seja: sse x0 ou x1
logo: ??
UFSC/CTC/INE p. 15
7/26/2019 p22predilogl
16/49
QUANTIFICADORUNIVERSAL
Para mostrar que uma declarao da formax P(x) F:
s preciso encontrarum valorde x no UD para o qualP(x) F
este valor chamado decontra-exemploda declaraox P(x)
Exemplo:SejaP(x)dado por x2 >0.
Vemos quex= 0 um contra-exemplo
UFSC/CTC/INE p. 16
Q
7/26/2019 p22predilogl
17/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
Muitas declaraes matemticas estabelecem que existe umelemento com uma certa propriedade.
So expressas usando quantificaoexistencial.Forma-se uma proposio que V se e somente se P(x) V parapelo menos umvalor dexno universo de discurso.
UFSC/CTC/INE p. 17
Q E
7/26/2019 p22predilogl
18/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
A quantificao existencial de P(x) a proposio:
existe um elementoxno universo de discurso tal que P(x) V
usa-se a notao: x P(x)
o quantificador existencial
significa:
existe umxtal queP(x)
existe pelo menos umxtal queP(x)
para algumx,P(x)
UFSC/CTC/INE p. 18
Q E
7/26/2019 p22predilogl
19/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
Exemplo:SejaP(x)a declarao x >3.
Qual o valor verdade da quantificao x P(x)?
O UD consiste de todos os nmeros reais.
Resposta: x P(x) ??
UFSC/CTC/INE p. 19
Q E
7/26/2019 p22predilogl
20/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
Exemplo:SejaQ(x)a declarao x=x + 1. Qual o valorverdade de x Q(x), se o UD consiste de todos os reais?
Resposta: x Q(x) ??
UFSC/CTC/INE p. 20
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
7/26/2019 p22predilogl
21/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
Se todos os elementos do universo de discurso podem serlistados:
por exemplo: x1, x2, . . . , xn
segue que a quantificao existencial o mesmo que a disjuno:
P(x1) P(x2) . . . P(xn)
a qual V ssepelo menos umentreP(x1), P(x2), . . . , P (xn)for V
UFSC/CTC/INE p. 21
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
7/26/2019 p22predilogl
22/49
QUANTIFICADOREXISTENCIAL
Exemplo:Qual o valor verdade dex P(x), onde:
P(x) a declarao x2 >10
o UD consiste dos inteiros positivos no maiores do que 4?
Resposta:
Como o UD {1, 2, 3, 4}, x P(x) omesmo que a disjuno:P(1) P(2) P(3) P(4)
ComoP(4) V, segue que x P(x) V
UFSC/CTC/INE p. 22
QUANTIFICADORES RESUMO
7/26/2019 p22predilogl
23/49
QUANTIFICADORES- RESUMO
Declarao Quando V? Quando F?
x P(x) P(x) Vpara todox Existe umx
para o qualP(x) Fx P(x) Existe umx P(x) Fpara todox
para o qualP(x) V
UFSC/CTC/INE p. 23
LIGANDO VARIVEIS
7/26/2019 p22predilogl
24/49
LIGANDO VARIVEIS
Quando:um quantificador usadosobre a varivel x
ou: quandoatribumos um valora esta varivel
dizemos que esta ocorrncia da varivel estligada(ou amarrada).
Uma ocorrncia de varivel que no est ligada a um quantificadorou fixa em um valor particular chamada delivre.
UFSC/CTC/INE p. 24
LIGANDO VARIVEIS
7/26/2019 p22predilogl
25/49
LIGANDO VARIVEIS
Todas as variveisque ocorrem em uma funo proposicionaldevemestar ligadas, para que ela seja considerada umaproposio.
Isto pode ser feito com uma combinao de:quantificadores universais
quantificadores existenciais
atribuies de valores
UFSC/CTC/INE p. 25
LIGANDO VARIVEIS
7/26/2019 p22predilogl
26/49
LIGANDO VARIVEIS
A parte de uma expresso lgica qual um quantificador aplicado o seuescopo.
Uma varivel livrese estiverfora do escopode todos osquantificadores na frmula que a especifica.
Exemplo:na declarao x Q(x, y):
a varivelxest ligada quantificaox
mas a varivelyest livre:
no est ligada a nenhum quantificadornenhum valor lhe est sendo atribudo.
UFSC/CTC/INE p. 26
LIGANDO VARIVEIS
7/26/2019 p22predilogl
27/49
LIGANDO VARIVEIS
Exemplo:na declarao x(P(x) Q(x)) x R(x):
Todas as variveis esto ligadas.
O escopo de x a expresso:P(x) Q(x)
O escopo do quantificador x R(x)
Note que esta expressopodeser escrita como:x(P(x) Q(x)) yR(y)
UFSC/CTC/INE p. 27
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
28/49
NEGAES
Exemplo:Considere a sentena:
Todo aluno nesta sala j fez um curso de Clculo
Quantificao universal: x P(x)
ondeP(x) xj cursou Clculo
Anegao desta sentena:No verdade quetodo aluno nesta sala j tenha feito Clculo
Note que isto equivalente a:
Existe algumestudante em sala que no cursou Clculo
ou seja: x P(x)
UFSC/CTC/INE p. 28
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
29/49
NEGAES
Este exemploilustraa seguinte equivalncia:
x P(x) xP(x)
Isto pode ser provado generalizando a lei de De Morgan:
(P(x1) P(x2) P(xn))) (P(x1) P(x2) P(xn)))
UFSC/CTC/INE p. 29
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
30/49
NEGAES
Exemplo:Agora queremos negar:Existe um estudante nesta sala que j cursou Clculo
Trata-se de uma quantificao existencial: x Q(x)ondeQ(x) xj cursou Clculo
Anegao desta declarao:
No verdade queexista nesta sala um estudante que j tenhacursado Clculo
O que equivalente a:Todoestudante desta sala ainda no cursou Clculoou seja: xQ(x)
UFSC/CTC/INE p. 30
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
31/49
NEGAES
Este exemploilustraa seguinte equivalncia:
x Q(x) xQ(x)
Isto pode ser provado generalizando a outra lei de De Morgan:
(P(x1) P(x2) P(xn))) (P(x1) P(x2) P(xn)))
UFSC/CTC/INE p. 31
NEGAES - RESUMO
7/26/2019 p22predilogl
32/49
NEGAES RESUMO
Negao Declarao Quando V? Quando F?
Equivalente
x P(x) x P(x) Para todo x, Existe um xpara o qual
P(x) F P(x) V
x P(x) x P(x) Existe um xpara o qual Para todo x,
P(x) F P(x) V
UFSC/CTC/INE p. 32
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
33/49
NEGAES
Exemplo:Qual a negao de: Existe um poltico honesto?
SejaH(x): x honesto
Ento a declarao acima : x H(x)onde o UD consiste de todos os polticos
A negao disto : x H(x)
a qual equivalente a: xH(x)
a qual pode ser expressa como:
Todos os polticos no so honestos
ou: Todos os polticos so desonestos
UFSC/CTC/INE p. 33
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
34/49
N G S
Exemplo:Qual a negao de: Todos os americanos comemhambrguers?
SejaC(x): xcome hambrguers
Ento a declarao acima : x C(x)
onde o UD consiste de todos os americanos
A negao disto : x C(x)
que equivalente a: xC(x)
que pode ser expressa como:
Alguns americanos no comem hambrguers ou: Existepelo menos umamericano que no come
hambrguers
UFSC/CTC/INE p. 34
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
35/49
Exemplo:A negao de x(x2 > x)
a declarao: x(x2 > x)
que equivalente a: x(x2 > x)
a qual pode ser reescrita como: x(x2 x)
Note que o valor-verdade desta declarao depende do UD.
UFSC/CTC/INE p. 35
NEGAES
7/26/2019 p22predilogl
36/49
Exemplo:A negao de x(x2 = 2)
a declarao: x(x2 = 2)
que equivalente a: x(x2 = 2)
a qual pode ser reescrita como: x(x2 = 2)
Note que o valor-verdade desta declarao depende do UD.
UFSC/CTC/INE p. 36
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(1/6)
7/26/2019 p22predilogl
37/49
Regra de Inferncia Nome Observao
xP(x) Instanciao c especfico
. .
P(c) UniversalP(c)para umcarbitrrio Generalizao c arbitrrio
. . xP(x) Universal
xP(x) Instanciao c especfico. . P(c)para algum elementoc Existencial (no conhecido)
P(c)para algum elementoc Generalizao c especfico
. . xP(x) Existencial e conhecido
UFSC/CTC/INE p. 37
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(2/6)
7/26/2019 p22predilogl
38/49
Exemplo 1:Mostre que as premissasTodos nestaturma de Fundamentos j cursaram Clculo e Manoel um estudante nesta turmaimplicam na concluso
Manoel j cursou Clculo.
Declaraes bsicas:
F(x): xest nesta turma de FundamentosC(x): xj cursou Clculo
Premissas:x(F(x) C(x))
F(Manoel)UFSC/CTC/INE p. 38
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(2/6)
7/26/2019 p22predilogl
39/49
Exemplo 1:
Premissas: x(F(x) C(x))
F(Manoel)
Estabelecendo a concluso a partir das premissas:
Passo Justificativa
1. x(F(x) C(x)) Premissa
2. F(Manoel) C(Manoel) Instanciao universalde (1)
UFSC/CTC/INE p. 39
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(2/6)
7/26/2019 p22predilogl
40/49
Exemplo 1:
Premissas: x(F(x) C(x))
F(Manoel)
Estabelecendo a concluso a partir das premissas:
Passo Justificativa
1. x(F(x) C(x)) Premissa
2. F(Manoel) C(Manoel) Instanciao universalde (1)
3. F(Manoel) Premissa
UFSC/CTC/INE p. 40
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(2/6)
7/26/2019 p22predilogl
41/49
Exemplo 1:
Premissas: x(F(x) C(x))
F(Manoel)
Estabelecendo a concluso a partir das premissas:
Passo Justificativa
1. x(F(x) C(x)) Premissa
2. F(Manoel) C(Manoel) Instanciao universalde (1)
3. F(Manoel) Premissa4. C(Manoel) (2), (3),Modus Ponens
UFSC/CTC/INE p. 41
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(3/6)
7/26/2019 p22predilogl
42/49
Exemplo 2 (1/10):Mostre que as premissasTem um estudantenesta turma que no leu o livro-texto e Todos nesta turma sesaram bem na primeira provaimplicam na conclusoAlgum quese saiu bem na primeira prova no leu o livro-texto.
Declaraes bsicas:T(x): xest nesta turmaL(x): xleu o livro-textoP(x): xse saiu bem na primeira prova
Premissas: x(T(x) L(x))
x(T(x) P(x))
Concluso: x(P(x) L(x))
UFSC/CTC/INE p. 42
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(4/6)
7/26/2019 p22predilogl
43/49
Exemplo 2 (2/10):
Premissas: x(T(x) L(x)) e x(T(x) P(x))
Concluso: x(P(x) L(x))
Passo Justificativa
1. x(T(x) L(x)) Premissa
UFSC/CTC/INE p. 43
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(4/6)
7/26/2019 p22predilogl
44/49
Exemplo 2 (3/10):
Premissas: x(T(x) L(x)) e x(T(x) P(x))
Concluso: x(P(x) L(x))
Passo Justificativa
1. x(T(x) L(x)) Premissa
2. T(a) L(a) Instanciao existencial de (1)
UFSC/CTC/INE p. 44
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(4/6)
7/26/2019 p22predilogl
45/49
Exemplo 2 (4/10):
Premissas: x(T(x) L(x)) e x(T(x) P(x))
Concluso: x(P(x) L(x))
Passo Justificativa
1. x(T(x) L(x)) Premissa
2. T(a) L(a) Instanciao existencial de (1)
3. T(a) Simplificao de (2)
UFSC/CTC/INE p. 45
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(4/6)
7/26/2019 p22predilogl
46/49
Exemplo 2 (5/10):
Premissas: x(T(x) L(x)) e x(T(x) P(x))
Concluso: x(P(x) L(x))
Passo Justificativa
1. x(T(x) L(x)) Premissa
2. T(a) L(a) Instanciao existencial de (1)
3. T(a) Simplificao de (2)
4. ?? ??
UFSC/CTC/INE p. 46
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(5/6)
7/26/2019 p22predilogl
47/49
Nota 1: comum que apaream tanto uma regra de infernciaproposicional quanto uma para quantificadores.
Por exemplo, Instanciao Universal e Modus Ponens sofrequentemente usadas juntas:
combinando x(P(x) Q(x)) e P(c),
ondec um elemento do UD
obtemos que Q(c) Verdadeiro.
UFSC/CTC/INE p. 47
INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(6/6)
7/26/2019 p22predilogl
48/49
Nota 2: Muitos teoremasomitem o quantificadorao definir que umapropriedade valepara todosos elementos de um conjunto.
Por exemplo, o real significado de:
Sex > y, ondexe yso reais positivos, entox2 > y2
: Para todosos reais positivos xe y, sex > y, entox2 > y2.
comum a lei de generalizao universal ser usada implicitamente:
no incio da prova, seleciona-seum elemento geraldo UD
passos subseqentes mostram que este elemento tem apropriedade em questo
conclui-se que o teorema valepara todos os elementosdo UD.UFSC/CTC/INE p. 48
LEITURAS SOBREPREDICADOS EQUANTIFICADORES
7/26/2019 p22predilogl
49/49
Rosen6: itens 1.3 e 1.5
UFSC/CTC/INE p. 49