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7/26/2019 p22predilogl

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INE5403

FUNDAMENTOS DEMATEMTICADISCRETA

PARA ACOMPUTAO

MATERIAL EXTRAIDO DOS LIVROS-TEXTOS(KOLMAN/ROSEN)

UFSC - CTC - INE

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2 - MTODOS DEPROVA

2.1) Proposies

2.2) Predicados e quantificadores

2.3) Provas matemticas com predicados

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PREDICADOS E QUANTIFICADORES

Servem para declaraes da forma:

x >3

x=y+ 3x + y=z

Nem V nem F enquanto valores das variveisno so especificados.

Como produzirproposiesa partir destasdeclaraes??

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PREDICADOS

A declarao x maior do que 3 tem duas partes:

a varivelx(= sujeito)

maior do que 3 (= predicado)

Predicado: propriedadeque o sujeito da declarao pode ter.

Podemos denotar x maior do que 3 por P(x):

P opredicado

x avarivel

P(x) o valor dafuno proposicionalPemx.Quando um valor atribudo a x, P(x)se torna uma proposioe tem valor verdade.

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PREDICADOS

Exemplo:sejaP(x)a declarao x >3.

Quais so os valores verdade deP(4)e P(2)?

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PREDICADOS

Tambm podemos ter declaraescom mais de uma varivel.

Exemplo: x=y+ 3.

Pode ser denotado por Q(x, y)

Quando se atribui valores paraxe paray, Q(x, y)passa a terum valor verdade.

Quais so os valores verdade deQ(1, 2)e Q(3, 0)?

Exemplo: sejaR(x , y , z)dado por x + y=z.

Quais os valores verdade de R(1, 2, 3)e R(0, 0, 1)?

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PREDICADOS

Em geral, uma declarao envolvendo as n variveis x1, x2, . . . , xnpode ser denotada por:

P(x1, x2, . . . , xn)

que o valor dafuno proposicionalPpara a tupla:(x1, x2, . . . , xn)

Ptambm chamado depredicado

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QUANTIFICADORES

Atribuindo valores atodas as variveisem uma funo proposicional,o resultado umaproposiocom valor verdade determinado.

Outra formade criar uma proposio a partir de uma funoproposicional:

aquantificao

Discutiremos quantificaouniversale quantificaoexistencial.

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QUANTIFICADORUNIVERSAL

Muitas declaraes afirmam que uma propriedade V ou Fparatodosos valores de uma varivelem um domnio em particular

ou seja, em umuniverso de discurso

So expressas com umquantificador universal:

P(x)V para todos os valores de x

o universo de discursoque especifica os possveis valores davarivelx.

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Aquantificao universalde P(x) a proposio:

P(x) V para todos os valores de xno universo de discurso.

Denotada por: x P(x)

o quantificador universal

para todox,P(x)

para todos os x,P(x)

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Exemplo:SejaP(x)dado por x + 1 > x.

Qual o valor verdade da quantificao x P(x), sendo que ouniverso de discurso consiste detodos os nros reais?

Exemplo:SejaQ(x)a declarao x


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Quandotodosos elementos do universo de discurso podem serlistados:

x1, x2, . . . , xn

a quantificao universal fica omesmo que a conjuno:

P(x1) P(x2) . . . P(xn)

a qual V sse:

P(x1), P(x2), . . . , P (xn) so todos V

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Exemplo:qual o valor verdade dex P(x), onde:

P(x) x2


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Especificar bemo UD importante quando se usa quantificadores.

O valor verdade de uma declarao quantificada frequentemente

depende dequais elementosesto neste universo...

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Exemplo:Qual o valor verdade dex(x2 x)se:

o universo de discurso consiste de todos os nrosreais?

o UD consiste de todos os nrosinteiros?

Resposta:

note quex2

x sse x.(x 1)0

ou seja: sse x0 ou x1

logo: ??

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Para mostrar que uma declarao da formax P(x) F:

s preciso encontrarum valorde x no UD para o qualP(x) F

este valor chamado decontra-exemploda declaraox P(x)

Exemplo:SejaP(x)dado por x2 >0.

Vemos quex= 0 um contra-exemplo

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Q


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QUANTIFICADOREXISTENCIAL

Muitas declaraes matemticas estabelecem que existe umelemento com uma certa propriedade.

So expressas usando quantificaoexistencial.Forma-se uma proposio que V se e somente se P(x) V parapelo menos umvalor dexno universo de discurso.

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Q E


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A quantificao existencial de P(x) a proposio:

existe um elementoxno universo de discurso tal que P(x) V

usa-se a notao: x P(x)

o quantificador existencial

significa:

existe umxtal queP(x)

existe pelo menos umxtal queP(x)

para algumx,P(x)

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Q E


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Exemplo:SejaP(x)a declarao x >3.

Qual o valor verdade da quantificao x P(x)?

O UD consiste de todos os nmeros reais.

Resposta: x P(x) ??

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Q E


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Exemplo:SejaQ(x)a declarao x=x + 1. Qual o valorverdade de x Q(x), se o UD consiste de todos os reais?

Resposta: x Q(x) ??

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QUANTIFICADOR EXISTENCIAL


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Se todos os elementos do universo de discurso podem serlistados:

por exemplo: x1, x2, . . . , xn

segue que a quantificao existencial o mesmo que a disjuno:

P(x1) P(x2) . . . P(xn)

a qual V ssepelo menos umentreP(x1), P(x2), . . . , P (xn)for V

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QUANTIFICADOR EXISTENCIAL


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Exemplo:Qual o valor verdade dex P(x), onde:

P(x) a declarao x2 >10

o UD consiste dos inteiros positivos no maiores do que 4?

Resposta:

Como o UD {1, 2, 3, 4}, x P(x) omesmo que a disjuno:P(1) P(2) P(3) P(4)

ComoP(4) V, segue que x P(x) V

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QUANTIFICADORES RESUMO


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QUANTIFICADORES- RESUMO

Declarao Quando V? Quando F?

x P(x) P(x) Vpara todox Existe umx

para o qualP(x) Fx P(x) Existe umx P(x) Fpara todox

para o qualP(x) V

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LIGANDO VARIVEIS


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LIGANDO VARIVEIS

Quando:um quantificador usadosobre a varivel x

ou: quandoatribumos um valora esta varivel

dizemos que esta ocorrncia da varivel estligada(ou amarrada).

Uma ocorrncia de varivel que no est ligada a um quantificadorou fixa em um valor particular chamada delivre.

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LIGANDO VARIVEIS


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LIGANDO VARIVEIS

Todas as variveisque ocorrem em uma funo proposicionaldevemestar ligadas, para que ela seja considerada umaproposio.

Isto pode ser feito com uma combinao de:quantificadores universais

quantificadores existenciais

atribuies de valores

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LIGANDO VARIVEIS


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LIGANDO VARIVEIS

A parte de uma expresso lgica qual um quantificador aplicado o seuescopo.

Uma varivel livrese estiverfora do escopode todos osquantificadores na frmula que a especifica.

Exemplo:na declarao x Q(x, y):

a varivelxest ligada quantificaox

mas a varivelyest livre:

no est ligada a nenhum quantificadornenhum valor lhe est sendo atribudo.

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LIGANDO VARIVEIS


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LIGANDO VARIVEIS

Exemplo:na declarao x(P(x) Q(x)) x R(x):

Todas as variveis esto ligadas.

O escopo de x a expresso:P(x) Q(x)

O escopo do quantificador x R(x)

Note que esta expressopodeser escrita como:x(P(x) Q(x)) yR(y)

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NEGAES


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NEGAES

Exemplo:Considere a sentena:

Todo aluno nesta sala j fez um curso de Clculo

Quantificao universal: x P(x)

ondeP(x) xj cursou Clculo

Anegao desta sentena:No verdade quetodo aluno nesta sala j tenha feito Clculo

Note que isto equivalente a:

Existe algumestudante em sala que no cursou Clculo

ou seja: x P(x)

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NEGAES


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NEGAES

Este exemploilustraa seguinte equivalncia:

x P(x) xP(x)

Isto pode ser provado generalizando a lei de De Morgan:

(P(x1) P(x2) P(xn))) (P(x1) P(x2) P(xn)))

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NEGAES


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NEGAES

Exemplo:Agora queremos negar:Existe um estudante nesta sala que j cursou Clculo

Trata-se de uma quantificao existencial: x Q(x)ondeQ(x) xj cursou Clculo

Anegao desta declarao:

No verdade queexista nesta sala um estudante que j tenhacursado Clculo

O que equivalente a:Todoestudante desta sala ainda no cursou Clculoou seja: xQ(x)

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NEGAES


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NEGAES

Este exemploilustraa seguinte equivalncia:

x Q(x) xQ(x)

Isto pode ser provado generalizando a outra lei de De Morgan:

(P(x1) P(x2) P(xn))) (P(x1) P(x2) P(xn)))

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NEGAES - RESUMO


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NEGAES RESUMO

Negao Declarao Quando V? Quando F?

Equivalente

x P(x) x P(x) Para todo x, Existe um xpara o qual

P(x) F P(x) V

x P(x) x P(x) Existe um xpara o qual Para todo x,

P(x) F P(x) V

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NEGAES


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NEGAES

Exemplo:Qual a negao de: Existe um poltico honesto?

SejaH(x): x honesto

Ento a declarao acima : x H(x)onde o UD consiste de todos os polticos

A negao disto : x H(x)

a qual equivalente a: xH(x)

a qual pode ser expressa como:

Todos os polticos no so honestos

ou: Todos os polticos so desonestos

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NEGAES


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N G S

Exemplo:Qual a negao de: Todos os americanos comemhambrguers?

SejaC(x): xcome hambrguers

Ento a declarao acima : x C(x)

onde o UD consiste de todos os americanos

A negao disto : x C(x)

que equivalente a: xC(x)

que pode ser expressa como:

Alguns americanos no comem hambrguers ou: Existepelo menos umamericano que no come

hambrguers

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NEGAES


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Exemplo:A negao de x(x2 > x)

a declarao: x(x2 > x)

que equivalente a: x(x2 > x)

a qual pode ser reescrita como: x(x2 x)

Note que o valor-verdade desta declarao depende do UD.

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NEGAES


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Exemplo:A negao de x(x2 = 2)

a declarao: x(x2 = 2)

que equivalente a: x(x2 = 2)

a qual pode ser reescrita como: x(x2 = 2)

Note que o valor-verdade desta declarao depende do UD.

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INFERNCIAS NALGICA DEPREDICADOS(1/6)


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Regra de Inferncia Nome Observao

xP(x) Instanciao c especfico

. .

P(c) UniversalP(c)para umcarbitrrio Generalizao c arbitrrio

. . xP(x) Universal

xP(x) Instanciao c especfico. . P(c)para algum elementoc Existencial (no conhecido)

P(c)para algum elementoc Generalizao c especfico

. . xP(x) Existencial e conhecido

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Exemplo 1:Mostre que as premissasTodos nestaturma de Fundamentos j cursaram Clculo e Manoel um estudante nesta turmaimplicam na concluso

Manoel j cursou Clculo.

Declaraes bsicas:

F(x): xest nesta turma de FundamentosC(x): xj cursou Clculo

Premissas:x(F(x) C(x))

F(Manoel)UFSC/CTC/INE p. 38



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Exemplo 1:

Premissas: x(F(x) C(x))

F(Manoel)

Estabelecendo a concluso a partir das premissas:

Passo Justificativa

1. x(F(x) C(x)) Premissa

2. F(Manoel) C(Manoel) Instanciao universalde (1)

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Exemplo 1:


F(Manoel)


Passo Justificativa



3. F(Manoel) Premissa

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Exemplo 1:


F(Manoel)


Passo Justificativa



3. F(Manoel) Premissa4. C(Manoel) (2), (3),Modus Ponens

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Exemplo 2 (1/10):Mostre que as premissasTem um estudantenesta turma que no leu o livro-texto e Todos nesta turma sesaram bem na primeira provaimplicam na conclusoAlgum quese saiu bem na primeira prova no leu o livro-texto.

Declaraes bsicas:T(x): xest nesta turmaL(x): xleu o livro-textoP(x): xse saiu bem na primeira prova

Premissas: x(T(x) L(x))

x(T(x) P(x))

Concluso: x(P(x) L(x))

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Exemplo 2 (2/10):

Premissas: x(T(x) L(x)) e x(T(x) P(x))


Passo Justificativa

1. x(T(x) L(x)) Premissa

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Exemplo 2 (3/10):



Passo Justificativa


2. T(a) L(a) Instanciao existencial de (1)

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Exemplo 2 (4/10):



Passo Justificativa



3. T(a) Simplificao de (2)

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Exemplo 2 (5/10):



Passo Justificativa



3. T(a) Simplificao de (2)

4. ?? ??

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Nota 1: comum que apaream tanto uma regra de infernciaproposicional quanto uma para quantificadores.

Por exemplo, Instanciao Universal e Modus Ponens sofrequentemente usadas juntas:

combinando x(P(x) Q(x)) e P(c),

ondec um elemento do UD

obtemos que Q(c) Verdadeiro.

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Nota 2: Muitos teoremasomitem o quantificadorao definir que umapropriedade valepara todosos elementos de um conjunto.

Por exemplo, o real significado de:

Sex > y, ondexe yso reais positivos, entox2 > y2

: Para todosos reais positivos xe y, sex > y, entox2 > y2.

comum a lei de generalizao universal ser usada implicitamente:

no incio da prova, seleciona-seum elemento geraldo UD

passos subseqentes mostram que este elemento tem apropriedade em questo

conclui-se que o teorema valepara todos os elementosdo UD.UFSC/CTC/INE p. 48

LEITURAS SOBREPREDICADOS EQUANTIFICADORES


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Rosen6: itens 1.3 e 1.5

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