FGV-Economia Prova Discursiva Matemática - Questão 4 - Item b.

Como as cores se alternam, necessariamente, basta analisarmos 3 fatores:

quantas barras de 2 cm;

quantas barras de 1 cm;

a disposição dessas barras no código.

Note que, escolhida a ordem dessas barras, só há um jeito de pintá-las.

Considere que há 𝑥 barras de 1 cm (que chamaremos de barras simples, e representaremos

por 𝑆) e 𝑦 barras de 2 cm (que chamaremos de barras duplas, e representaremos por 𝐷).

Temos:

𝑥 + 2𝑦 = 13

Além disso, temos que a quantidade total de barras (𝑥 + 𝑦) deve ser ímpar, para que o código

comece e termine em barra preta (pbpbpb...pbp).

Dessa forma, temos apenas 4 possibilidades:

𝑥 = 1 e 𝑦 = 6 (ou seja, 1 barra simples e 6 barras duplas)

OU

𝑥 = 5 e 𝑦 = 4 (ou seja, 5 barras simples e 4 barras duplas)

OU

𝑥 = 9 e 𝑦 = 2 (ou seja, 9 barras simples e 2 barras duplas)

OU

𝑥 = 13 e 𝑦 = 0 (ou seja, 13 barras simples e nenhuma barra dupla)

A 1ª possibilidade se resume a contar os anagramas de 𝑆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷:

𝑃7(6)

=7!

6!= 7

(ou escolher 1 entre 7 posições, para 1 barra S: C7,1 = C7,6 = 7)

Na 2ª possibilidade, temos os anagramas de 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐷𝐷𝐷𝐷:

𝑃9(5,4)

=9!

5! 4!= 126

(ou escolher 5 entre 9 posições, para 5 barras S: C9,5 = C9,4 = 126)

Na 3ª possibilidade, os anagramas de 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐷𝐷:

𝑃11(9,2)

=11!

9! 2!= 55

(ou escolher 9 entre 11 posições, para 9 barras S: C11,9 = C11,2 = 55)

Na 4ª possibilidade, há apenas 1 caso a considerar.

Assim, temos um total de 7 + 126 + 55 + 1 = 189 possibilidades. RESPOSTA: 189