Questão4 b [gv2015]-economia discursiva ]
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FGV-Economia Prova Discursiva Matemática - Questão 4 - Item b.
Como as cores se alternam, necessariamente, basta analisarmos 3 fatores:
quantas barras de 2 cm;
quantas barras de 1 cm;
a disposição dessas barras no código.
Note que, escolhida a ordem dessas barras, só há um jeito de pintá-las.
Considere que há 𝑥 barras de 1 cm (que chamaremos de barras simples, e representaremos
por 𝑆) e 𝑦 barras de 2 cm (que chamaremos de barras duplas, e representaremos por 𝐷).
Temos:
𝑥 + 2𝑦 = 13
Além disso, temos que a quantidade total de barras (𝑥 + 𝑦) deve ser ímpar, para que o código
comece e termine em barra preta (pbpbpb...pbp).
Dessa forma, temos apenas 4 possibilidades:
𝑥 = 1 e 𝑦 = 6 (ou seja, 1 barra simples e 6 barras duplas)
OU
𝑥 = 5 e 𝑦 = 4 (ou seja, 5 barras simples e 4 barras duplas)
OU
𝑥 = 9 e 𝑦 = 2 (ou seja, 9 barras simples e 2 barras duplas)
OU
𝑥 = 13 e 𝑦 = 0 (ou seja, 13 barras simples e nenhuma barra dupla)
A 1ª possibilidade se resume a contar os anagramas de 𝑆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷:
𝑃7(6)
=7!
6!= 7
(ou escolher 1 entre 7 posições, para 1 barra S: C7,1 = C7,6 = 7)
Na 2ª possibilidade, temos os anagramas de 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐷𝐷𝐷𝐷:
𝑃9(5,4)
=9!
5! 4!= 126
(ou escolher 5 entre 9 posições, para 5 barras S: C9,5 = C9,4 = 126)
Na 3ª possibilidade, os anagramas de 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐷𝐷:
𝑃11(9,2)
=11!
9! 2!= 55
(ou escolher 9 entre 11 posições, para 9 barras S: C11,9 = C11,2 = 55)
Na 4ª possibilidade, há apenas 1 caso a considerar.
Assim, temos um total de 7 + 126 + 55 + 1 = 189 possibilidades. RESPOSTA: 189