40
4 Modelagem e análise cinemática da estrutura cinemática proposta
Na seção 4.1 é apresentado o modelo cinemático de posição para o mecanismo, onde as
coordenadas de posição do órgão terminal são relacionadas com o deslocamento angular dos
motores. A seção 4.2 propõe um procedimento de verificação de ocorrência de singularidade para
uma configuração qualquer ocupada pelo mecanismo. A seção 4.3 trata da determinação do
espaço de trabalho do mecanismo, bem como da otimização do volume referente a este espaço.
4.1 Análise cinemática do mecanismo
Na análise cinemática do mecanismo, foi adotado um sistema de referência fixo ou global
QXYZ, cuja origem Q coincide com o centróide da área do triângulo eqüilátero A1 A2 A3 (veja
figuras 4.1 a 4.3). A posição da plataforma móvel é definida pelo vetor ( )ooo z,y,xx =r
onde xo,
yo e zo são as coordenadas de um ponto do O desta plataforma, definido de tal maneira que
quando suas coordenadas xo e yo forem nulas, a projeção de O sobre o plano XY irá coincidir com
o ponto Q. O deslocamento angular dos motores é definido pelo vetor ( )321 θθθ ,,q =r
onde os
ângulos θi (i = 1,2,3) serão definidos nas seções seguintes.
O comprimento das barras inferiores e superiores é definido pelos parâmetros li e ls, sendo
( )321 ,,iACl iii =−= (4.1)
( )321 ,,iCBl iis =−= (4.2)
41
Figura 4.1- Diagrama cinemático do mecanismo
A análise cinemática a ser apresentada possui dois objetivos distintos: resolver o problema
da cinemática inversa, que ocorre na situação em que o vetor xr
é conhecido e se pretende
determinar o vetor qr
, e resolver o problema da cinemática direta, situação em que o vetor qr
é
definido e o vetor xr
é desconhecido.
Figura 4.2- Vista do órgão terminal
xxxx
yyyy
B1
B2
B3
OOOO h
s
b
X Y
Z
A1
B1
C1
B3
B2
C2
C3
A2
A3
42
Figura 4.3- Vista no plano XY quando o ponto O está sobre o eixo QZ
4.1.1 Cinemática Inversa
Como as coordenadas globais de cada ponto Bi são funções da posição do órgão terminal e
as coordenadas globais de cada ponto Ci são funções do deslocamento angular do motor i,
admitindo a hipótese de que a barra superior i seja um corpo rígido, a equação (4.3) permite
relacionar o posicionamento do órgão terminal ( xr
) com o deslocamento angular dos motores
( qr
):
( ) ( ) 2si
Qi
QT
iQ
iQ lCBCB =−− (4.3)
Para cada cadeia cinemática i, será desenvolvida uma equação como a 4.3. Assim, esta
equação irá representar um sistema formado por 3 equações desacopladas e independentes nas
incógnitas θ1, θ2 e θ3 O procedimento de solução a ser apresentado nas sub-seções 4.1.1.1 a
XXXX
A2
YYYY
A3 A1
r
r
B1
B2
B3
QQQQ
α
43
4.1.1.3 permitirá determinar o deslocamento angular dos motores para uma dada posição do
órgão terminal.
As coordenadas dos pontos Bi e Ci podem ser definidas pelo respectivo vetor posição do
ponto.
)QO()OB()QB( ii −+−=− (4.4)
)QA()AC()QC( iiii −+−=− (4.5)
Será demonstrado nas subseções seguintes que desenvolvendo-se a equação 4.3 para cada
uma das cadeias cinemáticas, obtém-se:
)3,2,1(0321 ==++ ieceseiiiii
θθ (4.6)
sendo que, i
e1 , i
e2 e i
e3 são termos independentes dos deslocamentos angulares iθ , porém
dependentes de ooo z,y,x . As relações trigonométricas 4.7, 4.8 e 4.9 (TSAI, 1999) permitem
substituir a variável i
θ da equação 4.4 pela variável it :
2i
i tgtθ
= (4.7)
21
2
i
ii
t
ts
+=θ (4.8)
44
2
2
1
1
i
ii
t
tc
+
−=θ (4.9)
Desta forma a equação (4.6) transforma-se numa equação polinomial do 2˚ grau na
variável it :
02 3212
23 =+++− )ee(tet)ee(iiiiiii
(4.10)
Para uma determinada posição do órgão terminal (coordenadas xo, yo, zo), a equação (4.10)
define dois valores para a variável it , o que permite obter pelas equações (4.8) e (4.9), dois
valores correspondentes para o deslocamento angular i
θ . Fisicamente, isto significa que o
mecanismo poderá ser montado de oito maneiras distintas, para uma mesma posição da
plataforma móvel. As figuras de 4.7 a 4.12 da seção 4.1.3 comparam diferentes configurações
para uma determinada posição do órgão terminal.
Nas seções 4.1.1.1, 4.1.1.2 e 4.1.1.3 são definidos os vetores )CB( ii − e os termos i
e1 ,
ie2 e
ie3 para cada cadeia ativa i do mecanismo.
4.1.1.1 Determinação do deslocamento angular θθθθ1
Obtidas as coordenadas dos pontos B1 e C1 (veja figura 4.4) por meio das equações 4.4 e
4.5, pode-se definir o vetor ( )11 CB − pela equação 4.11:
45
( )
k)s.lsb
z(
j)cc.lc.rsy(i)sc.ls.rcb
x(CB
io
ioio
r
rr
1
1111
2
2
θφ
αθααθαφ
−−+
++−−++−+=− (4.11)
sendo
22oo
o
zx
zc
+=φ (4.12)
22oo
o
zx
xs
+=φ (4.13)
Os coeficientes 11e , 12e e 13e da equação (4.6), obtidos pelo desenvolvimento da equação
(4.3) para o vetor ( )11 CB − , são:
( )oi zbsle 211 −= φ (4.14)
( )αααφα sccyrsc.bsxle ooi 222212 −+−+= (4.15)
22
222
22213
42
22
si
oooooo
lb
lrssrcrsbc
sbz)rcs(y)rsbc(xzyxe
−+++++−
−−+−−+++=
ααφ
φααφ (4.16)
46
Figura 4.4 – (a) cadeia ativa 1; (b) cadeia passiva
4.1.1.2 Determinação do deslocamento angular θθθθ2
Obtidas as coordenadas dos pontos B2 e C2 (veja figura 4.5) por meio das equações 4.4 e
4.5, pode-se definir o vetor ( )22 CB − pela equação 4.17:
( ) ( ) ( )kslzjclrshyixCB ioioo
rrr
2222 θθ −+−−−++=− (4.17)
Os coeficientes 21e , 22e e 23e da equação 4.6, obtidos pelo desenvolvimento da equação
(4.3) para o vetor ( )22 CB − , são:
iolze 221 −= (4.18)
( )oi yshrle −+−= 222 (4.19)
X Y
Z
Q A1
C1
B1
θ1
r
47
( ) ( ) ( ) 22222223 22
2 Sioooo llrshshrrshyzyxe −++−+−−−−+++= (4.20)
Figura 4.5 – cadeia ativa 2
4.1.1.3 Determinação do deslocamento angular θθθθ3
Obtidas as coordenadas dos pontos B3 e C3 (veja figura 4.6) por meio das equações 4.4 e
4.5, pode-se definir o vetor ( )33 CB − pela equação 4.21:
( )
k)slsb
z(
j)](rc)(cclsy[i)](scl)(rscb
x[CB
io
ioio
r
rr
3
3333
2
2
θφ
ααθαθαφ
−++
+−−−−−+−−−−−=− (4.21)
Os coeficientes 31e , 32e e 33e da equação 4.6, obtidos pelo desenvolvimento da equação
4.3 para o vetor ( )33 CB − , são:
( )oi zbsle 231 +−= φ (4.22)
Y A2
B2
r
ZZZZ
QQQQ
C2
ls
li θ2
48
( ))(2)(22)()(232 αααφα −+−−+−+−−= sccyrsbcsxle ooi (4.23)
22
222
22233
42
22
si
oooooo
lb
lrs)(src)(rsbc
sbz)](rcs[y)](rsbc[xzyxe
−++++−+−++
+−+−−+−++=
ααφ
φααφ
(4.24)
Figura 4.6 – cadeia ativa 3
4.1.2 Cinemática Direta
Desenvolvendo a equação (4.3) para cada uma das cadeias cinemáticas e tomando como
incógnitas as coordenadas xo, yo, zo obtém-se o seguinte sistema de equações:
02
22222
112
12
12
=+−−++
+−−+++−+
C)slbs(zz
)rcsccl(yy)cslrsbc(xx
ioo
iooioo
θφ
αθαθααφ (4.25)
( )[ ] 0)2(22 222
222
=+−+−−−++ Cslzzclrshyyx iooiooo θθ (4.26)
X
Y
Z
A3
C3
B3
θ3
r Q
49
02
22222
332
32
32
=+−++
+−−−−−++−−−−−+
C)slbs(zz
)](rcsc)(cl[yy)]c)(sl)(rsbc[xx
ioo
iooioo
θφ
αθαθααφ (4.27)
lembrando que φc e φs podem ser calculados respectivamente pelas equações (4.12) e (4.13) da
subseção 4.1.1.1.
22oo
o
zx
zc
+=φ (4.12)
22oo
o
zx
xs
+=φ (4.13)
sendo 1C , 2C e 3C , termos apresentados a seguir:
ααφ
θαθθαφθφ
srcsrrsbc
lb
lccslcrlcscblslbsC siiiii
2
422
22
22
211111
+++−
−−++−−+= (4.28)
( ) ( )[ ] 22222
2 2)(2 θcshrlrshrshllC isi −−++−−−+−= (4.29)
)(srcsr)(rsbc
lb
lc)(cslcrlc)(scblslbsC siiiii
ααφ
θαθθαφθφ
−+++−+
+−++−++−+−=
2
422
22
22
233333 (4.30)
50
Para encontrar as incógnitas xo, yo e zo do sistema de equações anterior, foi empregado o
Método de Newton-Raphson. Para tanto, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB,
onde cada equação do sistema é calculada para um determinado valor do vetor Xr
= [xo, yo, zo]T
A cada nova iteração n, o valor do vetor Xr
é calculado por:
( )
θ
θ
θ
−
=
=−
−
−
−
−
−
−
),(
),(
),(
.
31
3
21
2
11
11
1
1
1
xf
xf
xf
J
z
y
x
z
y
x
Xn
n
n
o
no
no
no
no
no
no
n
r
r
r
(4.31)
sendo ),x(fn
11
1 θr− , ),x(f
n
21
2 θr− e ),x(f
n
31
3 θr− respectivamente as equações (4.25), (4.26) e
(4.27). A matriz oJ é definida por (4.32).
1
333333
222222
111111
−
∂
θ∂
∂
θ∂
∂
θ∂∂
θ∂
∂
θ∂
∂
θ∂∂
θ∂
∂
θ∂
∂
θ∂
=
n
ooo
ooo
ooo
o
z
xf
y
xf
x
xf
z
xf
y
xf
x
xf
z
xf
y
xf
x
xf
J
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
rrr
rrr
rrr
(4.32)
sendo
oo
i
o
i
o
oio
o
z
csbrs
z
cscsbl
z
csblbc
z
cbsxrsbccslx
x
xf
φφα+
φφθα−
−φθ
+φ−φφ
−α−φ+θα+=∂
θ∂
221
313
2
111 222
),(r
(4.33)
51
α−−θα+=∂
θ∂rcsccly
y
xfio
o
2222 111 ),(
r
(4.34)
2
2
2
21
313
12
2211 22
o
o
o
oi
o
oioio
o
o
o
z
csxbrs
z
csxcsbl
z
csxblbcxbsslz
z
cbsx
z
xf
φφα−
φφθα+
+φθ
−φ+φ−θ−+φφ
=∂
θ∂ ),(r
(4.35)
xx
xf
o
222 =∂
θ∂ ),(r
(4.36)
( )222 2 θ−−−+=
∂
θ∂clrshy
y
xfio
o
),(r
(4.37)
( )222 2 θ−=
∂
θ∂slz
z
xfio
o
),(r
(4.38)
( ) ( )
( ) ( )oo
i
o
i
o
oio
o
z
csbrs
z
cscsbl
z
csblbc
z
cbsxrsbccslx
x
xf
φφα−−
φφθα−−
−φθ
−φ+φφ
+α−−φ−θα−−=∂
θ∂
223
333
2
333 222
),(r
(4.40)
52
( ) ( )α−−−θα−−=∂
θ∂rcsccly
y
xfio
o
2222 333 ),(
r
(4.41)
( ) ( )2
2
2
23
333
32
2233 22
o
o
o
oi
o
oioio
o
o
o
z
csxbrs
z
csxcsbl
z
csxblbcxbsslz
z
cbsx
z
xf
φφα−+
φφθα−+
+φθ
+φ−φ+θ−+φφ
−=∂
θ∂ ),(r
(4.41)
O algoritmo define o vetor das incógnitas nXr
quando os valores absolutos das
equações ),x(f 11 θr
, ),x(f 22 θr
e ),x(f 33 θr
forem inferiores à precisão atribuída pelo usuário.
Para a primeira iteração, o usuário deve atribuir um valor inicial para o posicionamento do
órgão terminal (xo, yo e zo). Conforme foi comentado no capítulo 2, o método de Newton-
Raphson é sensível ao valor inicial atribuído para resolução da cinemática direta. A seguir, é
apresentada uma comparação entre os resultados obtidos pelas cinemáticas direta e inversa.
53
4.1.3 Exemplo de aplicação das cinemáticas inversa e direta
Os parâmetros do mecanismo utilizados em todos exemplos de aplicação desta subseção
estão apresentados na tabela 4.1 e o significado de cada um deles pode ser elucidado com as
figuras 4.1 a 4.3.
Tabela 4.1 – Parâmetros do mecanismo para os exemplos de aplicação
]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α
30 60 18 36 20 34,9857 2,0944
As tabelas de 4.2 a 4.8 apresentam os resultados dos exemplos de aplicação das
cinemáticas direta e inversa, onde pode ser verificada a perfeita correspondência entre os
resultados obtidos com os algoritmos para cálculo das cinemáticas direta e inversa. Nestas
tabelas, a cor verde representa valores conhecidos e a cor vermelha incógnitas. As coordenadas
do órgão terminal estão definidas em mm e os deslocamentos angulares dos motores em radianos.
Além disso, o algoritmo da cinemática inversa gera uma figura que representa a configuração
ocupada pelo mecanismo, mostrados nas figuras de 4.7 a 4.12. Este algoritmo também verifica o
comprimento das barras superiores, a partir da posição do órgão terminal e do deslocamento
angular dos motores.
54
Tabela 4.2 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo 0 1.1214e-004 10
yo 0 -9.9538e-005 10
zo 50 49.9999 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 2,7411280306 2,7411280306
θ2 0,3554231706 0,3554231706
θ3 0,4004719693 0,4004719693
Figura 4.7 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo
55
Tabela 4.3 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo
Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo 0 -0.0108 10
yo 0 0.0027 10
zo 50 50.0008 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 -0.2666 -0.2666
θ2 -2.8421 -2.8421
θ3 -2.8749 -2.8749
Figura 4.8 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo
56
Tabela 4.4 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo
Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo -15 -14.9999 0
yo -15 -15.0001 0
zo 50 49.9999 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 2,2443607853 2,2443607853
θ2 0,867830348 0,867830348
θ3 -0,132095553 -0,132095553
Figura 4.9 – Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo
57
Tabela 4.5 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo -15 -15.0016 0
yo -15 -15.0013 0
zo 50 49.9995 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 0.0709 0.0709
θ2 -2.8712 -2.8712
θ3 -3.1282 -3.1282
Figura 4.10 – Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo
58
Tabela 4.6 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo 0 9.7895e-005 0
yo -34.6507 -34.6510 0
zo 60 59.9998 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 9.7895e-005 2.355217
θ2 -34.6510 1.5599964
θ3 59.9998 0.7863826
Figura 4.11 – Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo
59
Tabela 4.7 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta
Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial
xo 0 -5.5600e-004 0
yo -34.6507 -34.6498 0
zo 60 60.0015 45
Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta
Motores Incógnitas Coordenadas
θ1 0.7864 0.7864
θ2 3.0028 3.0028
θ3 2.3552 2.3552
Figura 4.12 – Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo
60
Também foram simuladas diversas trajetórias para verificar a correspondência entre os
valores obtidos com os algoritmos para cálculo das cinemáticas direta e inversa. Foram atribuídos
valores para o vetor xr
dos pontos da trajetória e obtidos os valores correspondentes para o vetor
qr
por meio da cinemática inversa. A seguir, foi determinado o vetor xr
correspondente aos
valores de qr
, utilizando o algoritmo da cinemática direta. O valor inicial adotado para o primeiro
ponto da trajetória na cinemática direta foi 1xr
(adotado na cinemática inversa). Para cada posição
ixr
seguinte, o valor inicial adotado foi 1−ixr
(obtido pela própria cinemática direta).
O resultado de um exemplo de aplicação está apresentado na tabela 4.8 e na figura 4.13,
onde pode ser verificada a perfeita correspondência entre os resultados obtidos com os algoritmos
para cálculo das cinemáticas direta e inversa.
Tabela 4.8 - Comparação entre resultados obtidos com as cinemáticas direta e inversa para uma trajetória
Posição Vetor ixr
(adotado na
cinemática inversa) [mm]
Vetor iqr
[rad] Vetor ixr
(obtido pela
cinemática direta) [mm] i
iox ioy
ioz i1θ
i2θ i3θ
iox ioy
ioz
1 -30 -30 40 1,3551 1,4387 -0,8030 -29,9987 -30,0022 39,9986
2 -20 -20 40 2,1446 0,9521 -0,7299 -19,9998 -20,0013 40,0002
3 -10 -10 45 2,5353 0,5889 -0,1622 -10,0003 -10,0011 44,9992
4 0 0 45 2,8650 0,2266 0,2766 0,0001 0,0003 45,0003
5 10 10 45 3,0769 -0,0398 0,7463 9,9992 9,9995 44,9993
6 20 20 50 2,9780 0,0094 1,2626 19,9993 19,9991 49,9995
7 30 30 50 2,8824 0,0296 1,7478 29,9997 29,9995 49,9993
61
Figura 4.13- Comparação entre resultados das cinemáticas direta e inversa para uma trajetória
4.2 Singularidades
Singularidades são poses indesejáveis do mecanismo paralelo onde o órgão terminal
apresenta graus de liberdade além dos previstos, comprometendo a rigidez do conjunto, ou aquém
dos previstos, provocando o travamento de determinados movimentos. As configurações
singulares podem ser obtidas pela análise das matrizes Jacobianas.
Derivando as equações (4.25 - 4.27) do sistema da seção 4.1.2 em relação ao tempo e
somando-as membro a membro, obtém-se, na forma matricial:
62
0=+ qJxJ qx&r&r .. (4.42)
sendo:
Tooo ]z,y,x[x &&&&r = (4.43)
T],,[q 321 θθθ &&&&r = (4.44)
=
33
22
11
00
00
00
a
a
a
Jq (4.45)
sendo:
111111111 2222 θα+θ+θα−θφ+φαθ−θ−αθ−= scslsrlscylcsblcssblczssxla iioiiiooi )( (4.46)
[ ])(2 22222 shrsczsyla ooi +−−−= θθθ (4.47)
3333 22222 θαααθαφ s)](cslrl)(cyl)(sxl[c)](bsbsz[la iioioioi −−−−+−+−++−= (4.48)
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
Jx (4.49)
63
sendo:
)brssblbx(z
csc)
z
l(bbc)rscslx(b io
oo
iio αα
φφφφαθα −+−−−+−+=
23
111 12 (4.50)
αθα rcscclyb io 2222 112 −−+= (4.51)
)xxrsxsl(z
cbs
z
xcbl
z
xbcbsslzb oooi
oo
oi
o
oio
22
2
2
33
113 22 +−+−+−−= ααφφφφ
φθ (4.52)
oxb 221 = (4.53)
]clrshy[b io 222 2 θ−−−+= (4.54)
]slz[b io 223 2 θ−= (4.55)
)](brs)(sblbx[z
cs
c)z
l(bbc)](rsc)(slx[b
io
o
o
iio
ααφφ
φφαθα
−−−−+
+−+−−−−−=
2
3331 12
(4.56)
)(rcsc)(ciloyb αθα −−−−−= 2232232 (4.57)
64
])()([ oooi
oo
oi
o
oio xxrsxsl
z
cbs
z
xcbl
z
xbcbsslzb −α−+α−
φφ+
φ+
φ−φ+θ−=
2
2
2
33
333 22 (4.58)
Conforme foi comentado na seção 2.4, as configurações singulares ocorrerão quando o
det(Jq) for nulo, denominadas singularidades da cinemática inversa, ou quando o det(Jx) for nulo,
conhecidas como singularidades da cinemática direta. As singularidades da cinemática inversa
ocorrem no limite do espaço de trabalho, sendo importantes para a determinação do mesmo.
Nestas situações, não é possível realizar um movimento infinitesimal da plataforma móvel em
determinadas direções, ou seja, o mecanismo perde graus de mobilidade.
As singularidades da cinemática direta ocorrem dentro do espaço de trabalho. A
plataforma móvel pode adquirir um movimento infinitesimal mesmo com todos atuadores
parados, ou seja, o mecanismo adquire graus de mobilidade adicionais, tornando-se incontrolável.
Também é possível que os determinantes de Jq e Jx sejam ambos nulos. Nesta situação, o
mecanismo pode adquirir ou perder graus de mobilidade.
Nas seções 4.2.1 e 4.2.2 são apresentadas as maneiras empregadas para levantamento de
configurações singulares da cinemática inversa e da cinemática direta, respectivamente. Os
parâmetros dimensionais deste mecanismo empregados na avaliação das singularidades estão na
tabela 4.9, sendo ls o comprimento das barras superiores das cadeias ativas e li o comprimento das
inferiores. O significado da notação empregada nesta tabela pode ser elucidado com as figuras
4.2 e 4.3, aqui repetidas.
65
Tabela 4.9 – Parâmetros do mecanismo para levantamento de configurações singulares
]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α Amplitude das
juntas [graus]
150,00 150,00 42,50 127,48 147,21 119,00 2,0944 30
Figura 4.2- Vista do órgão terminal
Figura 4.3- Vista no plano XY quando o ponto O está sobre o eixo QZ
xxxx
yyyy
B1
B2
B3
OOOO h
s
b
XXXX
A2
YYYY
A3 A1
r
r
B1
B2
B3
QQQQ
α
66
4.2.1 Singularidades da cinemática inversa
A matriz Jq da seção 4.2 terá determinante nulo se pelo menos uma das seguintes
equações for nula:
022222 1111 =++−−−++−= θαααφαθφ s)scrcysxcbs(lc)bsz(la ooioi (4.59)
[ ] 02 2222 =−+−θ−θ−= )( ooi yshrsczla (4.60)
022222 3333 =−−−−−−+−++−= θαφαααθφ s)](scrc)(bs)(cy)(sx[lc)bsz(la ooioi (4.61)
a) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a11 seja nulo. A primeira
considera que os coeficientes do 1θc e do 1θs da equação (4.59) sejam nulos, ou seja:
02 =+− φsblzl ioi (4.62)
02222 =++−−− αααφα scrcysxcbs oo (4.63)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações (4.62) e (4.63)
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada yo do órgão
terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e zo.
67
As soluções encontradas para o sistema das equações (4.62) e (4.63) correspondem a
deslocamentos angulares dos motores na forma de números complexos (obtidos com a cinemática
inversa), ou seja, não são soluções que poderão ocorrer fisicamente.
Em outro levantamento, para anular os coeficientes do 1θc e do 1θs foi atribuído um
valor para zo, obtendo-se pela equação (4.62) o valor correspondente para o seno do ângulo φ, o
que permitiu obter, com a equação (4.13), o valor correspondente para xo.
22oo
o
zx
xs
+=φ (4.13)
-150-100-50050100150
-100
0
100
-50
0
50
100
150
200
Xo [mm]
Pose do Mecanismo para xo = 46.05 mm; yo = -21.9637 mm; zo = 50 mm
Yo [mm]
Zo [
mm
] cadeia1
Figura 4.14 – Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 1
Substituindo os valores de xo, zo e do cosseno do ângulo φ na equação 4.63 foi obtido o
valor correspondente para yo. O resultado obtido por este procedimento, para zo= 50 mm é
68
apresentado na figura 4.14. Construtivamente esta configuração singular corresponde a iminência
do alinhamento das barras superiores e inferiores.
Uma segunda possibilidade para anular o elemento a11 é se 1θc e o coeficiente do 1θs da
equação (4.59) forem nulos, ou seja:
( )oo ouc 270900 111 =θ=θ=θ (4.64)
02222 =++−−− αααφα scrcysxcbs oo (4.65)
O mecanismo foi idealizado de tal maneira que não deve existir uma pose do órgão
terminal em que o2701 =θ . Por outro lado, quando o901 =θ a equação 4.6 da cinemática inversa
(seção 4.1.1.1), que relaciona o ângulo 1θ com as coordenadas da origem do órgão terminal,
tomará a forma:
01311
=+ ee (4.66)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.65 e 4.66
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada zo do órgão
terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas
configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do mecanismo adotados nas
simulações.
69
Uma terceira possibilidade para anular o elemento a11 é se 1θs e o coeficiente do 1θc da
equação (4.59) forem nulos, ou seja:
( )oo ous 18000 111 =θ=θ=θ (4.67)
02 =φ+− bszo (4.68)
Por outro lado, quando 01 =θs a equação 4.6 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1), que
relaciona o ângulo 1θ com as coordenadas da origem do órgão terminal, tomará a forma:
022 32 =+ ee (4.69)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.68 e 4.69
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada zo do órgão
terminal e são atribuídos valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas
configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do mecanismo adotados nas
simulações.
b) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a22 seja nulo. A primeira
considera que os coeficientes do 2θc e do 2θs da equação (4.60) são nulos:
70
0=oz (4.70)
shryo +−= (4.71)
Com os valores determinados pelas equações (4.70) e (4.71) foram levantadas diversas
configurações do mecanismo, para valores de xo que possam pertencer ao espaço de trabalho do
mecanismo (a definição dos limites do espaço de trabalho do mecanismo será abordada na seção
4.3). O resultado obtido por este procedimento para xo= 0 mm é apresentado na figura 4.15.
Construtivamente esta configuração singular corresponde ao alinhamento das barras superiores e
inferiores.
-200-100
0100
200
0100
200
-50
0
50
100
150
200
Xo [mm]
Pose do Mecanismo para xo = 0 mm; yo = 34.02 mm; zo = 0 mm
Yo [mm]
Zo [
mm
]
cadeia 2
Figura 4.15 – Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 2
71
Uma segunda possibilidade para anular o elemento a22 é se o 2θc e o coeficiente do 2θs
da equação (4.60) forem nulos, ou seja:
( )oo ouc 270900 222 =θ=θ=θ (4.72)
shryo +−= (4.71)
O mecanismo foi idealizado de tal maneira que não deve existir uma pose do órgão
terminal em que o2702 =θ . Por outro lado, quando o902 =θ a equação 4.6 da cinemática
inversa (seção 4.1.1.1), que relaciona o ângulo 2θ com as coordenadas da origem do órgão
terminal, tomará a forma:
022 31 =+ ee (4.73)
Não foram obtidas configurações singulares fisicamente possíveis com os parâmetros do
mecanismo adotados nas simulações para atender as equações (4.71) a (4.73).
Uma terceira possibilidade para anular o elemento a22 é se 2θs e o coeficiente do 2θc da
equação (4.60) forem nulos, ou seja:
( )oo ous 18000 222 =θ=θ=θ (4.74)
0=oz (4.70)
72
Por outro lado, quando 02 =θs a equação 4.4 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1), que
relaciona o ângulo 2θ com as coordenadas da origem do órgão terminal, tomará a forma:
022 32 =+ ee (4.75)
Não foi encontrada nenhuma configuração com montagem possível para atender as
equações (4.70) e (4.75).
c) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a33 fosse nulo. A primeira
considera que os coeficientes do 3θc e do 3θs da equação (4.61) são nulos, ou seja:
02 =−− φsblzl ioi (4.76)
0)(22)(2)(2)( =−−−−+−+−− αααφα scrcysxcbs oo (4.77)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.76 e 4.77
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada yo do órgão
terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e zo.
As soluções encontradas para o sistema das equações 4.76 e 4.77 correspondem a
deslocamentos angulares dos motores na forma de números complexos (obtidos com a cinemática
inversa), ou seja, não são soluções que poderão ocorrer fisicamente.
73
Em outro levantamento, para anular os coeficientes do 3cθ e do 3sθ foi atribuído um
valor para zo, obtendo-se pela equação (4.76) o valor correspondente para o seno do ângulo φ, o
que permitiu obter, com a equação (4.13), o valor correspondente para xo.
22oo
o
zx
xs
+=φ (4.13)
Substituindo os valores de xo, zo e do cosseno do ângulo φ na equação 4.77 foi obtido o
valor correspondente para yo.
-100
0
100-100
0
100
-50
0
50
100
150
200
Yo [mm]
Pose do Mecanismo para xo = -46.05 mm; yo = -21.9637 mm; zo = 50 mm
Xo [mm]
Zo [
mm
]
cadeia 3
Figura 4.16 - Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 3
74
O resultado obtido por este procedimento, para zo= 50 mm é apresentado na figura 4.16.
Construtivamente esta configuração singular corresponde a iminência do alinhamento das barras
superiores e inferiores.
Uma segunda possibilidade para anular o elemento a33 é se 3θc e o coeficiente do 3θs da
equação (4.61) forem nulos, ou seja:
( )oo ouc 270900 333 === θθθ (4.78)
0)(22)(2)(2)( =−−−−+−+−− αααφα scrcysxcbs oo (4.79)
O mecanismo foi idealizado de tal maneira que não deve existir uma pose do órgão
terminal em que o2703 =θ .
Por outro lado, quando o903 =θ a equação 4.6 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1)
tomará a forma:
03331 =+ ee (4.80)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.79 e 4.80
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada zo do órgão
terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e yo.
75
Não foram obtidas configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do
mecanismo adotados nas simulações.
Uma terceira possibilidade para anular o elemento a33 é se 3θs e o coeficiente do 3θc da
equação (4.61) forem nulos, ou seja:
( )ooous 18000 333 =θ=θ=θ (4.81)
02 =φ+− bszo (4.81)
Por outro lado, quando 03 =θs a equação 4.4 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1), que
relaciona o ângulo 3θ com as coordenadas da origem do órgão terminal, tomará a forma:
033 32 =+ ee (4.83)
Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.82 e 4.83
simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de
Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada zo do órgão
terminal e são atribuídos valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas
configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do mecanismo adotados nas
simulações.
76
4.2.2 Singularidades da cinemática direta
Na seção 4.2 foi definida a matriz Jx foi definida pela equação (4.49):
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
J x (4.49)
Inicialmente o determinante desta matriz foi calculado por:
122133112332312213322113312312332211 bbbbbbbbbbbbbbbbbbJ x −−−++=)det( (4.84)
Para encontrar os valores das variáveis de posicionamento dos motores (θ1, θ2, θ3) e das
coordenadas de orientação do órgão terminal (xo, yo zo) que anulam o determinante de Jx, foi
elaborado um algoritmo com o programa MATLAB onde as variáveis acima foram discretizadas
em intervalos de 1 mm e o determinante foi calculado variando-as simultaneamente, dentro de
um intervalo adotado.
O algoritmo considera nulo o determinante quando |detJx| < ε, sendo ε a precisão atribuída
pelo usuário. Não houve convergência usando tal algoritmo, mesmo com a discretização adotada
(intervalos de 1 mm), não permitindo encontrar as soluções do sistema de equações que
correspondem a singularidades.
Uma outra maneira utilizada para calcular o determinante de Jx foi pelo teorema de
Laplace. Desenvolvendo o determinante pelo teorema de Laplace em relação aos elementos da
terceira coluna, obtém-se:
77
+
−
=
2221
121133
3231
121123
3231
222113
bb
bbb
bb
bbb
bb
bbbJdet x (4.85)
Para anulação da equação (4.85), os termos 12b , 22b e 32b devem ser iguais a zero:
α
αθ
cl
yrcscb
i
o−+=⇒= 112 0 (4.86)
i
oio
l
rshycclrshyb
−−+=∴=−−−+⇒= 2222 00 θθ (4.87)
)(cl
)(rcsycb
i
o
α
αθ
−
−−−=⇒=
20 332 (4.88)
O determinante de Jx foi desenvolvido considerando outras combinações de linhas e
colunas, porém, não foram obtidas configurações singulares para os parâmetros do mecanismo
adotados nas simulações.
Foi elaborado um algoritmo para calcular os valores dos deslocamentos angulares dos
motores das equações (4.86 - 4.88). Como estas equações são funções apenas da variável yo, o
algoritmo determina o deslocamento angular dos motores para -190 < yo < 110 mm, em intervalos
discretos de 1 mm. Com este algoritmo, foram obtidos diversos deslocamentos angulares dos
motores (θ1, θ2 e θ3) que aplicados no algoritmo da cinemática direta e em seguida no da inversa,
permitiram visualizar a pose correspondente do mecanismo, porém, para os parâmetros do
mecanismo adotados nas simulações, os deslocamentos angulares dos motores obtidos foram
obtidos na forma de números complexos.
78
4.3 Espaço de Trabalho
4.3.1 Considerações preliminares
O espaço de trabalho de um mecanismo pode ser definido como o espaço dentro do qual
este pode movimentar o órgão terminal (PAZOS, 2002). No mecanismo 3 RSS + CP, não é
possível caracterizar o espaço de trabalho como de orientação constante ou mesmo de orientação
variável, conforme anteriormente mencionado na revisão bibliográfica, visto que existe uma
dependência entre o ângulo de orientação da plataforma móvel φ e as coordenadas xo e zo.
4.3.2 Restrições físicas e cinemáticas
Conforme comentário da seção 2.4, as configurações singulares da cinemática inversa
limitam o espaço de trabalho do mecanismo. Além desta restrição cinemática, o espaço de
trabalho deste mecanismo é influenciado pelo comprimento das barras superiores e inferiores das
cadeias ativas, pelas dimensões da base fixa e do órgão terminal, pelo curso da junta prismática e
do par cilíndrico da cadeia passiva e pela amplitude das juntas esféricas.
Os parâmetros dimensionais empregados na avaliação do espaço de trabalho deste
mecanismo estão na tabela 4.10, sendo ls o comprimento das barras superiores das cadeias ativas
e li o comprimento das inferiores. O significado da notação empregada nesta tabela pode ser
elucidado com as figuras 4.2 e 4.3, aqui repetidas e pela figura 4.17.
79
Tabela 4.10 – Parâmetros do mecanismo para determinação do espaço de trabalho
]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α Amplitude das
juntas [graus]
201,25 90,67 42,50 127,48 147,21 119,00 2,0944 30
Figura 4.2- Vista do órgão terminal
Figura 4.3- Vista no plano XY quando o ponto O está sobre o eixo QZ
xxxx
yyyy
B1
B2
B3
OOOO h
s
b
XXXX
A2
YYYY
A3 A1
r
r
B1
B2
B3
QQQQ
α
80
Figura 4.17 – limite da cota zo em função do curso do par prismático
Foi admitido um curso de 290 mm para a junta prismática da cadeia passiva, sendo que os
limites do deslocamento do par cilíndrico desta cadeia na direção do eixo Y foram restritos ao
intervalo -190 < yo < 110 mm e -90° < φ < 90°.
Tanto para as juntas que conectam as barras das cadeias ativas, quanto para as que unem o
órgão terminal às barras superiores, foi considerada uma junta esférica com amplitude de ±30°,
mostrada na figura 4.18a. A figura 4.18b mostra o deslocamento angular possível entre as barras
superiores e inferiores, a partir da posição de montagem.
Figura 4.18- Junta esférica: (a) foto do fabricante THK (2005); (b) amplitude entre as barras
30˚
30˚ Ci
Ai
Bi
Y A2
B2
r
ZZZZ
QQQQ
C2
ls
li θ2
(h-s)
OOOO
maxoz
par prismático da cadeia passiva
(a) (b)
81
4.3.3 Algoritmos para avaliação do espaço de trabalho
Para avaliar o espaço de trabalho do mecanismo, foram elaborados dois algoritmos com o
programa MATLAB, empregando o método da discretização. O primeiro algoritmo tem como
objetivo uma avaliação qualitativa do espaço de trabalho, permitindo a visualização da fronteira
do espaço de trabalho no plano XY para diferentes alturas na direção do eixo Z, como curvas de
nível empregadas nas plantas topográficas.
Inicialmente, as coordenadas xo, yo e zo do ponto O da plataforma móvel foram
discretizadas dentro de um domínio que não viola as limitações físicas dos parâmetros da tabela
4.10. Em seguida, para cada posição do ponto O, foram determinados os deslocamentos angulares
dos motores (θ1, θ2, e θ3) pela cinemática inversa. Se estes deslocamentos forem representados
por números reais, se os cursos máximos dos pares prismático e cilíndrico da cadeia passiva não
forem ultrapassados e se os determinantes das matrizes Jq e Jx não forem nulos, o algoritmo plota
um ponto azul, correspondente às coordenadas do ponto O (veja resultados nas figuras 4.21 a
4.26).
Para verificar se a amplitude máxima das juntas esféricas não foi violada, foram definidos
dois ângulos como variáveis. O ângulo i
γ , entre o eixo da junta esférica i e a correspondente
barra superior i, que pode ser calculado pela equação 4.89.
]l
u)CB(arccos[
s
iiii
r⋅−
=γ (4.89)
82
sendo o ponto Ci (i = 1,2,3) o centro da junta esférica que conecta a barra inferior i à barra
superior i. e iur
um versor ortogonal à barra inferior i, contido no plano definido pelos pontos Q,
Ai e Ci , com sentido indicado na figura 4.19.
Figura 4.19- Identificação do ângulo i
γ
O ângulo i
ξ , entre o eixo da junta esférica i e a correspondente barra superior i, que pode
ser calculado pela equação 4.90.
]l
v)BC(arccos[
s
iiii
r⋅−
=ξ (4.90)
sendo Bi o centro da junta esférica que conecta a barra superior i à plataforma móvel i e ivr
um
versor na direção do eixo da junta esférica i, inclinado a 45° em relação ao plano da plataforma
móvel, ou seja, o versor que define a orientação da montagem desta junta na plataforma móvel
(veja figura 4.20).
Ci
Ai
Bi
iur
iγ
83
Figura 4.20- Identificação do ângulo i
ξ
Houve correspondência entre os valores dos ângulos calculados com as equações 4.89 e
4.90 do algoritmo para definição do espaço de trabalho e os valores obtidos com um desenho em
AUTOCAD.
Se os valores dos ângulos calculados pelas equações 4.64 e 4.65 pertencerem ao intervalo
90° ± 30°, o algoritmo plota um quadrado vermelho (� ) em torno das coordenadas do ponto O na
figura que representa o espaço de trabalho do mecanismo, cujos resultados são apresentados nas
figuras 4.21 a 4.26, cuja legenda utilizada é:
. ( ponto azul) ponto pertencente ao espaço de trabalho sem levar em conta amplitude
das juntas esféricas:
� (quadrado vermelho ) ponto que pertence ao espaço de trabalho levando-se em conta a
amplitude das juntas esféricas.
B1
C1
B3
B2
O
1ξ 1vr
84
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 0 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 10 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 20 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 30 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 40 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 50 mm
Figura 4.21- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 0 e 50 mm
85
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 60 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 70 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 80 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 90 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 100 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 110 mm
Figura 4.22- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 60 e 110 mm
86
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 120 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 130 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 140 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 150 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 160 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 170 mm
Figura 4.23- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 120 e 170 mm
87
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 180 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 185 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 190 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 195 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 200 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 205 mm
Figura 4.24- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 180 e 205 mm
88
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 210 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 215 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 220 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 225 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 230 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 235 mm
Figura 4.25- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 210 e 235 mm
89
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 240 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 245 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 250 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 255 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 260 mm
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Xo [mm]
Yo [
mm
]
Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 265 mm
Figura 4.26- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 240 e 265 mm
90
Pelas figuras 4.21 a 4.26 pode ser constatado como o espaço de trabalho é bastante
influenciado pela amplitude das juntas esféricas. Na figura 4.28 esta influência será novamente
abordada.
O segundo algoritmo permite que se obtenha uma estimativa do volume do espaço de
trabalho do mecanismo, ou seja, o volume do lugar geométrico possível de ser alcançado pelo
ponto O. Partindo-se de gráficos como os das figuras 4.21 a 4.26, é possível obter uma estimativa
inicial das fronteiras do espaço de trabalho, definindo assim os valores extremos das coordenadas
xo, yo e zo. Esta estimativa inicial evita cálculos com posições do órgão terminal muito afastadas
do limite do espaço de trabalho, reduzindo o tempo de processamento computacional.
Em seguida, este algoritmo verifica se os pontos do intervalo formado pelos valores
extremos das coordenadas xo, yo e zo pertencem ao espaço de trabalho do mecanismo. Para isso, o
algoritmo verifica se cada posição da origem do órgão terminal pode ser atingida sem violar as
limitações físicas das juntas esféricas, o curso máximo dos pares prismático e cilíndrico da cadeia
passiva, se os deslocamentos angulares dos motores (θ1, θ2, θ3) são definidos por números reais e
se os determinantes das matrizes Jq e Jx não são nulos. Estes pontos correspondem ao centro
geométrico de paralelepípedos, que podem ser vistos na figura 4.27 (b)
Figura 4.27- (a) passo para as variáveis xo e yo (b) dimensões do paralelepípedo
∆y
∆x
∆y
∆x
(a) ( b )
∆z
∆x
∆y
91
Desta forma, o volume do espaço de trabalho pode ser estimado pela equação (4.91)
)n...j(...nvV zyx
n
jjpar 1
1
===∑=
∆∆∆ (4.91)
sendo:
:V volume do espaço de trabalho
:jparv volume de cada paralelepípedo j
:n número de pontos encontrados que pertencem ao espaço de trabalho
x∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas xo
y∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas yo
z∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas zo
Vale destacar que a precisão deste volume está diretamente relacionada com a
discretização adotada, ou seja, com o valor dos passos zyx e, ∆∆∆ . Para avaliar a influência do
passo adotado, foram calculados volumes do espaço de trabalho para diferentes passos,
apresentados na tabela 4.11.
Como citado anteriormente, a amplitude das juntas esféricas tem forte influência sobre o
espaço de trabalho. Isto pode ser evidenciado pela figura 4.28.
Os parâmetros do mecanismo adotados para as simulações apresentadas na figura 4.28 e
na tabela 4.11 estão descritos na tabela 4.10.
92
Tabela 4.11 – Influência do passo adotado sobre o valor estimado do espaço de trabalho
Passo [mm] Volume do ET [dm3] Tempo de
processamento [seg] 1 0,9216
766,032
2 0,9228 97,078
2,5 0,9312 53,5
5 0,9227 6,34
10 0,916 0,922
15 0,9383 0,297
20 0,928 0,110
.
10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
7
8Volume do Espaço de Trabalho X Amplitude das juntas esfericas
Amplitude das juntas esfericas [graus]
Volu
me d
o E
spaço d
e T
rabalh
o [
dm
3]
Fig. 4.28– Influência da amplitude das juntas no volume do espaço de trabalho
93
4.4 Otimização do Espaço de Trabalho
A otimização do espaço de trabalho visa encontrar os parâmetros de projeto que
maximizam o volume do espaço de trabalho que pode ser atingido pelo ponto O da plataforma
móvel. Com o intuito de reduzir o número de variáveis e facilitar a otimização do espaço de
trabalho, foram assumidas as seguintes hipóteses:
a) os triângulos que formam a base e o órgão terminal são equiláteros;
b) o curso máximo da junta prismática da cadeia passiva (que restringe a altura máxima
alcançada pela origem do órgão terminal - zomax na figura 4.29) foi definida no início do projeto,
em 290 mm;
c) o curso do par cilíndrico da cadeia passiva foi determinado no início do projeto,
restringindo o deslocamento da cadeia passiva na direção Y ao intervalo -190 < yo < 110 mm,
bem como o ângulo φ entre -90° e 90°.
d) a dimensão dos lados do triângulo da base (medida r da figura 4.29) é conhecida;
e) as juntas esféricas estão definidas, com amplitude de ± 30°.
Figura 4.29 – vista da cadeia 2 quando zo é máximo
Y A2
B2
r
ZZZZ
QQQQ
C2
ls
li θ2
(h-s)
OOOO
maxoz
par prismático da cadeia passiva
94
Aplicando o Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo ∆ A2QB2 do plano YZ,
obtém-se:
( ) ( )[ ]222shrzll
maxosi −−+=+ (4.92)
A razão entre os comprimentos das barras superiores e inferiores é definida por:
i
sbarra
l
lK = (4.93)
Pela expressão (4.94) o comprimento das barras superiores vale:
barrais Kll = (4.94)
Pela hipótese “b”, zomax é conhecido. Fazendo uso das equações (4.92) e (4.94) pode-se
obter o comprimento das barras inferiores pela equação (4.95).
( )[ ]
barra
maxo
iK
shrzl
+
−−+=
1
22
(4.95)
Pela hipótese “c”, o projetista define a dimensão da base do mecanismo, ou seja, a medida
r da figura 4.2. A razão entre as alturas dos triângulos equiláteros A1A2A3 e B1B2B3, que formam,
respectivamente, a base do mecanismo e o órgão terminal, é definida por (veja figuras 4.2 e 4.3):
95
r
shKtriângulos
−= (4.96)
Como o triângulo B1B2B3 que define o órgão terminal é equilátero (hipótese “a”), 3
hs = .
Com base nos comentários feitos nesta subseção, a função objetivo a ser otimizada é o
volume do espaço de trabalho que pode ser atingido pelo ponto O da plataforma móvel e as
variáveis de projeto são a razão entre as barras inferiores e superiores das cadeias ativas ( barraK )
e a razão entre as dimensões dos triângulos ( triângulosK ).
Utilizando os parâmetros da tabela 4.12, foi calculado o volume do espaço de trabalho
para diversos valores das variáveis barraK e triângulosK e os resultados obtidos são apresentados na
tabela 4.13 e a figura 4.30 mostra a variação do volume do espaço de trabalho em função destes
resultados.
Tabela 4.12 – Parâmetros do mecanismo para otimizar o espaço de trabalho Curso do par cilíndrico
[mm]
Curso do par
prismático [mm]
r [mm] ]rad[α Amplitude das juntas [graus]
300 290 119,00 2,0944 ± 30°
96
Tabela 4.13 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo
Ktriângulos Kbarra Volume do ET [dm3]
0,25 0,0009
0,5 0,0257
0,75 0,135
1 0,3791
1,25 0,7638
0,25 1,5 1,1190
1,75 1,1953
2 1,1440
2,25 1,0438
2,5 0,9302
2,75 0,8222
3 0,7289
0,25 0,0046
0,5 0,0659
0,75 0,2657
1 0,6390
1,25 1,0567
0,5 1,5 1,1959
1,75 1,2024
2 1,1549
2,25 1,0627
2,5 0,9458
2,75 0,8337
3 0,7357
97
Tabela 4.13 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo
Ktriângulos Kbarra Volume do ET [dm3]
0,25 0,0180
0,5 0,1226
0,75 0,4266
1 0,8921
1,25 1,1260
0,75 1,5 1,1819
1,75 1,1373
2 1,0087
2,25 0,8621
2,5 0,7248
2,75 0,6017
3 0,4978
0,25 0,0227
0,5 0,1975
0,75 0,6309
1 0,9792
1,25 1,1007
1 1,5 1,0166
1,75 0,8447
2 0,6600
2,25 0,4891
2,5 0,3448
2,75 0,2235
3 0,1312
98
00.5 1
1.52
2.53
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
K da barraK do triangulo
Volu
me d
o E
T [
dm
3]
Figura 4.30- Volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK
Observando a figura 4.30 e os dados da tabela 4.13, pode ser verificado que o volume
máximo do espaço de trabalho é obtido quando 21 ≤≤ barraK e 120 ≤≤ triângulosK, . A partir
desta observação, foram obtidos novos valores do volume do espaço de trabalho para pontos
dentro do intervalo acima, com uma discretização maior do que aquela empregada na elaboração
da tabela 4.13, cujos resultados estão apresentados na tabela 4.14. A figura 4.31 mostra a
variação do volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK , a partir destes
resultados.
99
Tabela 4.14 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo Ktriângulos Kbarra Volume do Espaço de Trabalho
[dm3]
1,125 0,4929
1,25 0,6875
1,375 0,8977
0,2 1,500 1,0667
1,625 1,1654
1,750 1,1880
1,875 1,1754
2,000 1,1406
1,125 0,7494
1,25 0,9693
1,375 1,1192
0,4 1,500 1,1870
1,625 1,2084
1,750 1,2036
1,875 1,1836
2,000 1,1524
1,125 0,9710
1,25 1,1019
0,6 1,375 1,1671
1,500 1,1982
100
Tabela 4.14 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo Ktriângulos Kbarra Volume do Espaço de Trabalho
[dm3]
1,625 1,2037
1,750 1,1950
0,6 1,875 1,1727
2,000 1,1283
1,125 1,0505
1,25 1,1227
1,375 1,1613
0,8 1,500 1,1710
1,625 1,1481
1,750 1,0933
1,875 1,0251
2,000 0,9513
1,125 1,0657
1,25 1,1007
1,375 1,0784
1,0 1,500 1,0166
1,625 0,9365
1,750 0,8447
1,875 0,7513
2,000 0,6600
101
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
10.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
K da barraK do triangulo
Volu
me d
o E
T [
dm
3]
Figura 4.31- Volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK
Observando a figura 4.31 e os dados da tabela 4.14, conclui-se que o maior volume para o
espaço de trabalho é alcançado com a razão barraK em torno de 1,7 e a razão triângulosK entre 0,4 e
0,6.
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