r (xo ,y o ,z x y z x y - teses.usp.br · yo e zo são as coordenadas de um ponto do O desta...

40

4 Modelagem e análise cinemática da estrutura cinemática proposta

Na seção 4.1 é apresentado o modelo cinemático de posição para o mecanismo, onde as

coordenadas de posição do órgão terminal são relacionadas com o deslocamento angular dos

motores. A seção 4.2 propõe um procedimento de verificação de ocorrência de singularidade para

uma configuração qualquer ocupada pelo mecanismo. A seção 4.3 trata da determinação do

espaço de trabalho do mecanismo, bem como da otimização do volume referente a este espaço.

4.1 Análise cinemática do mecanismo

Na análise cinemática do mecanismo, foi adotado um sistema de referência fixo ou global

QXYZ, cuja origem Q coincide com o centróide da área do triângulo eqüilátero A1 A2 A3 (veja

figuras 4.1 a 4.3). A posição da plataforma móvel é definida pelo vetor ( )ooo z,y,xx =r

onde xo,

yo e zo são as coordenadas de um ponto do O desta plataforma, definido de tal maneira que

quando suas coordenadas xo e yo forem nulas, a projeção de O sobre o plano XY irá coincidir com

o ponto Q. O deslocamento angular dos motores é definido pelo vetor ( )321 θθθ ,,q =r

onde os

ângulos θi (i = 1,2,3) serão definidos nas seções seguintes.

O comprimento das barras inferiores e superiores é definido pelos parâmetros li e ls, sendo

( )321 ,,iACl iii =−= (4.1)

( )321 ,,iCBl iis =−= (4.2)

41

Figura 4.1- Diagrama cinemático do mecanismo

A análise cinemática a ser apresentada possui dois objetivos distintos: resolver o problema

da cinemática inversa, que ocorre na situação em que o vetor xr

é conhecido e se pretende

determinar o vetor qr

, e resolver o problema da cinemática direta, situação em que o vetor qr

é

definido e o vetor xr

é desconhecido.

Figura 4.2- Vista do órgão terminal

xxxx

yyyy

B1

B2

B3

OOOO h

s

b

X Y

Z

A1

B1

C1

B3

B2

C2

C3

A2

A3

42

Figura 4.3- Vista no plano XY quando o ponto O está sobre o eixo QZ

4.1.1 Cinemática Inversa

Como as coordenadas globais de cada ponto Bi são funções da posição do órgão terminal e

as coordenadas globais de cada ponto Ci são funções do deslocamento angular do motor i,

admitindo a hipótese de que a barra superior i seja um corpo rígido, a equação (4.3) permite

relacionar o posicionamento do órgão terminal ( xr

) com o deslocamento angular dos motores

( qr

):

( ) ( ) 2si

Qi

QT

iQ

iQ lCBCB =−− (4.3)

Para cada cadeia cinemática i, será desenvolvida uma equação como a 4.3. Assim, esta

equação irá representar um sistema formado por 3 equações desacopladas e independentes nas

incógnitas θ1, θ2 e θ3 O procedimento de solução a ser apresentado nas sub-seções 4.1.1.1 a

XXXX

A2

YYYY

A3 A1

r

r

B1

B2

B3

QQQQ

α

43

4.1.1.3 permitirá determinar o deslocamento angular dos motores para uma dada posição do

órgão terminal.

As coordenadas dos pontos Bi e Ci podem ser definidas pelo respectivo vetor posição do

ponto.

)QO()OB()QB( ii −+−=− (4.4)

)QA()AC()QC( iiii −+−=− (4.5)

Será demonstrado nas subseções seguintes que desenvolvendo-se a equação 4.3 para cada

uma das cadeias cinemáticas, obtém-se:

)3,2,1(0321 ==++ ieceseiiiii

θθ (4.6)

sendo que, i

e1 , i

e2 e i

e3 são termos independentes dos deslocamentos angulares iθ , porém

dependentes de ooo z,y,x . As relações trigonométricas 4.7, 4.8 e 4.9 (TSAI, 1999) permitem

substituir a variável i

θ da equação 4.4 pela variável it :

2i

i tgtθ

= (4.7)

21

2

i

ii

t

ts

+=θ (4.8)

44

2

2

1

1

i

ii

t

tc

+

−=θ (4.9)

Desta forma a equação (4.6) transforma-se numa equação polinomial do 2˚ grau na

variável it :

02 3212

23 =+++− )ee(tet)ee(iiiiiii

(4.10)

Para uma determinada posição do órgão terminal (coordenadas xo, yo, zo), a equação (4.10)

define dois valores para a variável it , o que permite obter pelas equações (4.8) e (4.9), dois

valores correspondentes para o deslocamento angular i

θ . Fisicamente, isto significa que o

mecanismo poderá ser montado de oito maneiras distintas, para uma mesma posição da

plataforma móvel. As figuras de 4.7 a 4.12 da seção 4.1.3 comparam diferentes configurações

para uma determinada posição do órgão terminal.

Nas seções 4.1.1.1, 4.1.1.2 e 4.1.1.3 são definidos os vetores )CB( ii − e os termos i

e1 ,

ie2 e

ie3 para cada cadeia ativa i do mecanismo.

4.1.1.1 Determinação do deslocamento angular θθθθ1

Obtidas as coordenadas dos pontos B1 e C1 (veja figura 4.4) por meio das equações 4.4 e

4.5, pode-se definir o vetor ( )11 CB − pela equação 4.11:

45

( )

k)s.lsb

z(

j)cc.lc.rsy(i)sc.ls.rcb

x(CB

io

ioio

r

rr

1

1111

2

2

θφ

αθααθαφ

−−+

++−−++−+=− (4.11)

sendo

22oo

o

zx

zc

+=φ (4.12)

22oo

o

zx

xs

+=φ (4.13)

Os coeficientes 11e , 12e e 13e da equação (4.6), obtidos pelo desenvolvimento da equação

(4.3) para o vetor ( )11 CB − , são:

( )oi zbsle 211 −= φ (4.14)

( )αααφα sccyrsc.bsxle ooi 222212 −+−+= (4.15)

22

222

22213

42

22

si

oooooo

lb

lrssrcrsbc

sbz)rcs(y)rsbc(xzyxe

−+++++−

−−+−−+++=

ααφ

φααφ (4.16)

46

Figura 4.4 – (a) cadeia ativa 1; (b) cadeia passiva




( ) ( ) ( )kslzjclrshyixCB ioioo

rrr

2222 θθ −+−−−++=− (4.17)

Os coeficientes 21e , 22e e 23e da equação 4.6, obtidos pelo desenvolvimento da equação

(4.3) para o vetor ( )22 CB − , são:

iolze 221 −= (4.18)

( )oi yshrle −+−= 222 (4.19)

X Y

Z

Q A1

C1

B1

θ1

r

47

( ) ( ) ( ) 22222223 22

2 Sioooo llrshshrrshyzyxe −++−+−−−−+++= (4.20)

Figura 4.5 – cadeia ativa 2




( )

k)slsb

z(

j)](rc)(cclsy[i)](scl)(rscb

x[CB

io

ioio

r

rr

3

3333

2

2

θφ

ααθαθαφ

−++

+−−−−−+−−−−−=− (4.21)

Os coeficientes 31e , 32e e 33e da equação 4.6, obtidos pelo desenvolvimento da equação

4.3 para o vetor ( )33 CB − , são:

( )oi zbsle 231 +−= φ (4.22)

Y A2

B2

r

ZZZZ

QQQQ

C2

ls

li θ2

48

( ))(2)(22)()(232 αααφα −+−−+−+−−= sccyrsbcsxle ooi (4.23)

22

222

22233

42

22

si

oooooo

lb

lrs)(src)(rsbc

sbz)](rcs[y)](rsbc[xzyxe

−++++−+−++

+−+−−+−++=

ααφ

φααφ

(4.24)

Figura 4.6 – cadeia ativa 3

4.1.2 Cinemática Direta

Desenvolvendo a equação (4.3) para cada uma das cadeias cinemáticas e tomando como

incógnitas as coordenadas xo, yo, zo obtém-se o seguinte sistema de equações:

02

22222

112

12

12

=+−−++

+−−+++−+

C)slbs(zz

)rcsccl(yy)cslrsbc(xx

ioo

iooioo

θφ

αθαθααφ (4.25)

( )[ ] 0)2(22 222

222

=+−+−−−++ Cslzzclrshyyx iooiooo θθ (4.26)

X

Y

Z

A3

C3

B3

θ3

r Q

49

02

22222

332

32

32

=+−++

+−−−−−++−−−−−+

C)slbs(zz

)](rcsc)(cl[yy)]c)(sl)(rsbc[xx

ioo

iooioo

θφ

αθαθααφ (4.27)

lembrando que φc e φs podem ser calculados respectivamente pelas equações (4.12) e (4.13) da

subseção 4.1.1.1.

22oo

o

zx

zc

+=φ (4.12)

22oo

o

zx

xs

+=φ (4.13)

sendo 1C , 2C e 3C , termos apresentados a seguir:

ααφ

θαθθαφθφ

srcsrrsbc

lb

lccslcrlcscblslbsC siiiii

2

422

22

22

211111

+++−

−−++−−+= (4.28)

( ) ( )[ ] 22222

2 2)(2 θcshrlrshrshllC isi −−++−−−+−= (4.29)

)(srcsr)(rsbc

lb

lc)(cslcrlc)(scblslbsC siiiii

ααφ

θαθθαφθφ

−+++−+

+−++−++−+−=

2

422

22

22

233333 (4.30)

50

Para encontrar as incógnitas xo, yo e zo do sistema de equações anterior, foi empregado o

Método de Newton-Raphson. Para tanto, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB,

onde cada equação do sistema é calculada para um determinado valor do vetor Xr

= [xo, yo, zo]T

A cada nova iteração n, o valor do vetor Xr

é calculado por:

( )

θ

θ

θ

−

=

=−

−

−

−

−

−

−

),(

),(

),(

.

31

3

21

2

11

11

1

1

1

xf

xf

xf

J

z

y

x

z

y

x

Xn

n

n

o

no

no

no

no

no

no

n

r

r

r

(4.31)

sendo ),x(fn

11

1 θr− , ),x(f

n

21

2 θr− e ),x(f

n

31

3 θr− respectivamente as equações (4.25), (4.26) e

(4.27). A matriz oJ é definida por (4.32).

1

333333

222222

111111

−

∂

θ∂

∂

θ∂

∂

θ∂∂

θ∂

∂

θ∂

∂

θ∂∂

θ∂

∂

θ∂

∂

θ∂

=

n

ooo

ooo

ooo

o

z

xf

y

xf

x

xf

z

xf

y

xf

x

xf

z

xf

y

xf

x

xf

J

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

rrr

rrr

rrr

(4.32)

sendo

oo

i

o

i

o

oio

o

z

csbrs

z

cscsbl

z

csblbc

z

cbsxrsbccslx

x

xf

φφα+

φφθα−

−φθ

+φ−φφ

−α−φ+θα+=∂

θ∂

221

313

2

111 222

),(r

(4.33)

51

α−−θα+=∂

θ∂rcsccly

y

xfio

o

2222 111 ),(

r

(4.34)

2

2

2

21

313

12

2211 22

o

o

o

oi

o

oioio

o

o

o

z

csxbrs

z

csxcsbl

z

csxblbcxbsslz

z

cbsx

z

xf

φφα−

φφθα+

+φθ

−φ+φ−θ−+φφ

=∂

θ∂ ),(r

(4.35)

xx

xf

o

222 =∂

θ∂ ),(r

(4.36)

( )222 2 θ−−−+=

∂

θ∂clrshy

y

xfio

o

),(r

(4.37)

( )222 2 θ−=

∂

θ∂slz

z

xfio

o

),(r

(4.38)

( ) ( )

( ) ( )oo

i

o

i

o

oio

o

z

csbrs

z

cscsbl

z

csblbc

z

cbsxrsbccslx

x

xf

φφα−−

φφθα−−

−φθ

−φ+φφ

+α−−φ−θα−−=∂

θ∂

223

333

2

333 222

),(r

(4.40)

52

( ) ( )α−−−θα−−=∂

θ∂rcsccly

y

xfio

o

2222 333 ),(

r

(4.41)

( ) ( )2

2

2

23

333

32

2233 22

o

o

o

oi

o

oioio

o

o

o

z

csxbrs

z

csxcsbl

z

csxblbcxbsslz

z

cbsx

z

xf

φφα−+

φφθα−+

+φθ

+φ−φ+θ−+φφ

−=∂

θ∂ ),(r

(4.41)

O algoritmo define o vetor das incógnitas nXr

quando os valores absolutos das

equações ),x(f 11 θr

, ),x(f 22 θr

e ),x(f 33 θr

forem inferiores à precisão atribuída pelo usuário.

Para a primeira iteração, o usuário deve atribuir um valor inicial para o posicionamento do

órgão terminal (xo, yo e zo). Conforme foi comentado no capítulo 2, o método de Newton-

Raphson é sensível ao valor inicial atribuído para resolução da cinemática direta. A seguir, é

apresentada uma comparação entre os resultados obtidos pelas cinemáticas direta e inversa.

53

4.1.3 Exemplo de aplicação das cinemáticas inversa e direta

Os parâmetros do mecanismo utilizados em todos exemplos de aplicação desta subseção

estão apresentados na tabela 4.1 e o significado de cada um deles pode ser elucidado com as

figuras 4.1 a 4.3.

Tabela 4.1 – Parâmetros do mecanismo para os exemplos de aplicação

]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α

30 60 18 36 20 34,9857 2,0944

As tabelas de 4.2 a 4.8 apresentam os resultados dos exemplos de aplicação das

cinemáticas direta e inversa, onde pode ser verificada a perfeita correspondência entre os

resultados obtidos com os algoritmos para cálculo das cinemáticas direta e inversa. Nestas

tabelas, a cor verde representa valores conhecidos e a cor vermelha incógnitas. As coordenadas

do órgão terminal estão definidas em mm e os deslocamentos angulares dos motores em radianos.

Além disso, o algoritmo da cinemática inversa gera uma figura que representa a configuração

ocupada pelo mecanismo, mostrados nas figuras de 4.7 a 4.12. Este algoritmo também verifica o

comprimento das barras superiores, a partir da posição do órgão terminal e do deslocamento

angular dos motores.

54

Tabela 4.2 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta

Órgão terminal Coordenadas Incógnitas Valor Inicial

xo 0 1.1214e-004 10

yo 0 -9.9538e-005 10

zo 50 49.9999 45

Coordenadas dos Cinem Inversa Cinemática Direta

Motores Incógnitas Coordenadas

θ1 2,7411280306 2,7411280306

θ2 0,3554231706 0,3554231706

θ3 0,4004719693 0,4004719693

Figura 4.7 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo

55

Tabela 4.3 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo

Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta


xo 0 -0.0108 10

yo 0 0.0027 10

zo 50 50.0008 45



θ1 -0.2666 -0.2666

θ2 -2.8421 -2.8421

θ3 -2.8749 -2.8749

Figura 4.8 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo

56

Tabela 4.4 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo

Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta


xo -15 -14.9999 0

yo -15 -15.0001 0

zo 50 49.9999 45



θ1 2,2443607853 2,2443607853

θ2 0,867830348 0,867830348

θ3 -0,132095553 -0,132095553

Figura 4.9 – Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo

57

Tabela 4.5 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta


xo -15 -15.0016 0

yo -15 -15.0013 0

zo 50 49.9995 45



θ1 0.0709 0.0709

θ2 -2.8712 -2.8712

θ3 -3.1282 -3.1282

Figura 4.10 – Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo

58

Tabela 4.6 - Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta


xo 0 9.7895e-005 0

yo -34.6507 -34.6510 0

zo 60 59.9998 45



θ1 9.7895e-005 2.355217

θ2 -34.6510 1.5599964

θ3 59.9998 0.7863826

Figura 4.11 – Exemplo de aplicação para primeira configuração do mecanismo

59

Tabela 4.7 - Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo Coordenadas do Cinem Inversa Cinemática Direta


xo 0 -5.5600e-004 0

yo -34.6507 -34.6498 0

zo 60 60.0015 45



θ1 0.7864 0.7864

θ2 3.0028 3.0028

θ3 2.3552 2.3552

Figura 4.12 – Exemplo de aplicação para segunda configuração do mecanismo

60

Também foram simuladas diversas trajetórias para verificar a correspondência entre os

valores obtidos com os algoritmos para cálculo das cinemáticas direta e inversa. Foram atribuídos

valores para o vetor xr

dos pontos da trajetória e obtidos os valores correspondentes para o vetor

qr

por meio da cinemática inversa. A seguir, foi determinado o vetor xr

correspondente aos

valores de qr

, utilizando o algoritmo da cinemática direta. O valor inicial adotado para o primeiro

ponto da trajetória na cinemática direta foi 1xr

(adotado na cinemática inversa). Para cada posição

ixr

seguinte, o valor inicial adotado foi 1−ixr

(obtido pela própria cinemática direta).

O resultado de um exemplo de aplicação está apresentado na tabela 4.8 e na figura 4.13,

onde pode ser verificada a perfeita correspondência entre os resultados obtidos com os algoritmos

para cálculo das cinemáticas direta e inversa.

Tabela 4.8 - Comparação entre resultados obtidos com as cinemáticas direta e inversa para uma trajetória

Posição Vetor ixr

(adotado na

cinemática inversa) [mm]

Vetor iqr

[rad] Vetor ixr

(obtido pela

cinemática direta) [mm] i

iox ioy

ioz i1θ

i2θ i3θ

iox ioy

ioz

1 -30 -30 40 1,3551 1,4387 -0,8030 -29,9987 -30,0022 39,9986

2 -20 -20 40 2,1446 0,9521 -0,7299 -19,9998 -20,0013 40,0002

3 -10 -10 45 2,5353 0,5889 -0,1622 -10,0003 -10,0011 44,9992

4 0 0 45 2,8650 0,2266 0,2766 0,0001 0,0003 45,0003

5 10 10 45 3,0769 -0,0398 0,7463 9,9992 9,9995 44,9993

6 20 20 50 2,9780 0,0094 1,2626 19,9993 19,9991 49,9995

7 30 30 50 2,8824 0,0296 1,7478 29,9997 29,9995 49,9993

61

Figura 4.13- Comparação entre resultados das cinemáticas direta e inversa para uma trajetória

4.2 Singularidades

Singularidades são poses indesejáveis do mecanismo paralelo onde o órgão terminal

apresenta graus de liberdade além dos previstos, comprometendo a rigidez do conjunto, ou aquém

dos previstos, provocando o travamento de determinados movimentos. As configurações

singulares podem ser obtidas pela análise das matrizes Jacobianas.

Derivando as equações (4.25 - 4.27) do sistema da seção 4.1.2 em relação ao tempo e

somando-as membro a membro, obtém-se, na forma matricial:

62

0=+ qJxJ qx&r&r .. (4.42)

sendo:

Tooo ]z,y,x[x &&&&r = (4.43)

T],,[q 321 θθθ &&&&r = (4.44)

=

33

22

11

00

00

00

a

a

a

Jq (4.45)

sendo:

111111111 2222 θα+θ+θα−θφ+φαθ−θ−αθ−= scslsrlscylcsblcssblczssxla iioiiiooi )( (4.46)

[ ])(2 22222 shrsczsyla ooi +−−−= θθθ (4.47)

3333 22222 θαααθαφ s)](cslrl)(cyl)(sxl[c)](bsbsz[la iioioioi −−−−+−+−++−= (4.48)

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

Jx (4.49)

63

sendo:

)brssblbx(z

csc)

z

l(bbc)rscslx(b io

oo

iio αα

φφφφαθα −+−−−+−+=

23

111 12 (4.50)

αθα rcscclyb io 2222 112 −−+= (4.51)

)xxrsxsl(z

cbs

z

xcbl

z

xbcbsslzb oooi

oo

oi

o

oio

22

2

2

33

113 22 +−+−+−−= ααφφφφ

φθ (4.52)

oxb 221 = (4.53)

]clrshy[b io 222 2 θ−−−+= (4.54)

]slz[b io 223 2 θ−= (4.55)

)](brs)(sblbx[z

cs

c)z

l(bbc)](rsc)(slx[b

io

o

o

iio

ααφφ

φφαθα

−−−−+

+−+−−−−−=

2

3331 12

(4.56)

)(rcsc)(ciloyb αθα −−−−−= 2232232 (4.57)

64

])()([ oooi

oo

oi

o

oio xxrsxsl

z

cbs

z

xcbl

z

xbcbsslzb −α−+α−

φφ+

φ+

φ−φ+θ−=

2

2

2

33

333 22 (4.58)

Conforme foi comentado na seção 2.4, as configurações singulares ocorrerão quando o

det(Jq) for nulo, denominadas singularidades da cinemática inversa, ou quando o det(Jx) for nulo,

conhecidas como singularidades da cinemática direta. As singularidades da cinemática inversa

ocorrem no limite do espaço de trabalho, sendo importantes para a determinação do mesmo.

Nestas situações, não é possível realizar um movimento infinitesimal da plataforma móvel em

determinadas direções, ou seja, o mecanismo perde graus de mobilidade.

As singularidades da cinemática direta ocorrem dentro do espaço de trabalho. A

plataforma móvel pode adquirir um movimento infinitesimal mesmo com todos atuadores

parados, ou seja, o mecanismo adquire graus de mobilidade adicionais, tornando-se incontrolável.

Também é possível que os determinantes de Jq e Jx sejam ambos nulos. Nesta situação, o

mecanismo pode adquirir ou perder graus de mobilidade.

Nas seções 4.2.1 e 4.2.2 são apresentadas as maneiras empregadas para levantamento de

configurações singulares da cinemática inversa e da cinemática direta, respectivamente. Os

parâmetros dimensionais deste mecanismo empregados na avaliação das singularidades estão na

tabela 4.9, sendo ls o comprimento das barras superiores das cadeias ativas e li o comprimento das

inferiores. O significado da notação empregada nesta tabela pode ser elucidado com as figuras

4.2 e 4.3, aqui repetidas.

65

Tabela 4.9 – Parâmetros do mecanismo para levantamento de configurações singulares

]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α Amplitude das

juntas [graus]

150,00 150,00 42,50 127,48 147,21 119,00 2,0944 30



xxxx

yyyy

B1

B2

B3

OOOO h

s

b

XXXX

A2

YYYY

A3 A1

r

r

B1

B2

B3

QQQQ

α

66

4.2.1 Singularidades da cinemática inversa

A matriz Jq da seção 4.2 terá determinante nulo se pelo menos uma das seguintes

equações for nula:

022222 1111 =++−−−++−= θαααφαθφ s)scrcysxcbs(lc)bsz(la ooioi (4.59)

[ ] 02 2222 =−+−θ−θ−= )( ooi yshrsczla (4.60)

022222 3333 =−−−−−−+−++−= θαφαααθφ s)](scrc)(bs)(cy)(sx[lc)bsz(la ooioi (4.61)

a) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a11 seja nulo. A primeira

considera que os coeficientes do 1θc e do 1θs da equação (4.59) sejam nulos, ou seja:

02 =+− φsblzl ioi (4.62)

02222 =++−−− αααφα scrcysxcbs oo (4.63)

Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações (4.62) e (4.63)

simultaneamente, foi elaborado um algoritmo com o programa MATLAB, aplicando o método de

Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada yo do órgão

terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e zo.

67

As soluções encontradas para o sistema das equações (4.62) e (4.63) correspondem a

deslocamentos angulares dos motores na forma de números complexos (obtidos com a cinemática

inversa), ou seja, não são soluções que poderão ocorrer fisicamente.

Em outro levantamento, para anular os coeficientes do 1θc e do 1θs foi atribuído um

valor para zo, obtendo-se pela equação (4.62) o valor correspondente para o seno do ângulo φ, o

que permitiu obter, com a equação (4.13), o valor correspondente para xo.

22oo

o

zx

xs

+=φ (4.13)

-150-100-50050100150

-100

0

100

-50

0

50

100

150

200

Xo [mm]

Pose do Mecanismo para xo = 46.05 mm; yo = -21.9637 mm; zo = 50 mm

Yo [mm]

Zo [

mm

] cadeia1

Figura 4.14 – Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 1

Substituindo os valores de xo, zo e do cosseno do ângulo φ na equação 4.63 foi obtido o

valor correspondente para yo. O resultado obtido por este procedimento, para zo= 50 mm é

68

apresentado na figura 4.14. Construtivamente esta configuração singular corresponde a iminência

do alinhamento das barras superiores e inferiores.

Uma segunda possibilidade para anular o elemento a11 é se 1θc e o coeficiente do 1θs da

equação (4.59) forem nulos, ou seja:

( )oo ouc 270900 111 =θ=θ=θ (4.64)

02222 =++−−− αααφα scrcysxcbs oo (4.65)

O mecanismo foi idealizado de tal maneira que não deve existir uma pose do órgão

terminal em que o2701 =θ . Por outro lado, quando o901 =θ a equação 4.6 da cinemática inversa

(seção 4.1.1.1), que relaciona o ângulo 1θ com as coordenadas da origem do órgão terminal,

tomará a forma:

01311

=+ ee (4.66)

Para obter uma pose do órgão terminal que permita anular as equações 4.65 e 4.66


Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada zo do órgão

terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas

configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do mecanismo adotados nas

simulações.

69

Uma terceira possibilidade para anular o elemento a11 é se 1θs e o coeficiente do 1θc da


( )oo ous 18000 111 =θ=θ=θ (4.67)

02 =φ+− bszo (4.68)

Por outro lado, quando 01 =θs a equação 4.6 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1), que

relaciona o ângulo 1θ com as coordenadas da origem do órgão terminal, tomará a forma:

022 32 =+ ee (4.69)




terminal e são atribuídos valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas


simulações.

b) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a22 seja nulo. A primeira

considera que os coeficientes do 2θc e do 2θs da equação (4.60) são nulos:

70

0=oz (4.70)

shryo +−= (4.71)

Com os valores determinados pelas equações (4.70) e (4.71) foram levantadas diversas

configurações do mecanismo, para valores de xo que possam pertencer ao espaço de trabalho do

mecanismo (a definição dos limites do espaço de trabalho do mecanismo será abordada na seção

4.3). O resultado obtido por este procedimento para xo= 0 mm é apresentado na figura 4.15.

Construtivamente esta configuração singular corresponde ao alinhamento das barras superiores e

inferiores.

-200-100

0100

200

0100

200

-50

0

50

100

150

200

Xo [mm]

Pose do Mecanismo para xo = 0 mm; yo = 34.02 mm; zo = 0 mm

Yo [mm]

Zo [

mm

]

cadeia 2

Figura 4.15 – Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 2

71

Uma segunda possibilidade para anular o elemento a22 é se o 2θc e o coeficiente do 2θs

da equação (4.60) forem nulos, ou seja:

( )oo ouc 270900 222 =θ=θ=θ (4.72)

shryo +−= (4.71)


terminal em que o2702 =θ . Por outro lado, quando o902 =θ a equação 4.6 da cinemática

inversa (seção 4.1.1.1), que relaciona o ângulo 2θ com as coordenadas da origem do órgão

terminal, tomará a forma:

022 31 =+ ee (4.73)

Não foram obtidas configurações singulares fisicamente possíveis com os parâmetros do

mecanismo adotados nas simulações para atender as equações (4.71) a (4.73).



( )oo ous 18000 222 =θ=θ=θ (4.74)

0=oz (4.70)

72



022 32 =+ ee (4.75)

Não foi encontrada nenhuma configuração com montagem possível para atender as

equações (4.70) e (4.75).

c) Foram pesquisadas três possibilidades para que o elemento a33 fosse nulo. A primeira

considera que os coeficientes do 3θc e do 3θs da equação (4.61) são nulos, ou seja:

02 =−− φsblzl ioi (4.76)

0)(22)(2)(2)( =−−−−+−+−− αααφα scrcysxcbs oo (4.77)



Newton-Raphson. Neste algoritmo é atribuído um valor constante para a coordenada yo do órgão

terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e zo.

As soluções encontradas para o sistema das equações 4.76 e 4.77 correspondem a

deslocamentos angulares dos motores na forma de números complexos (obtidos com a cinemática

inversa), ou seja, não são soluções que poderão ocorrer fisicamente.

73

Em outro levantamento, para anular os coeficientes do 3cθ e do 3sθ foi atribuído um

valor para zo, obtendo-se pela equação (4.76) o valor correspondente para o seno do ângulo φ, o

que permitiu obter, com a equação (4.13), o valor correspondente para xo.

22oo

o

zx

xs

+=φ (4.13)

Substituindo os valores de xo, zo e do cosseno do ângulo φ na equação 4.77 foi obtido o

valor correspondente para yo.

-100

0

100-100

0

100

-50

0

50

100

150

200

Yo [mm]

Pose do Mecanismo para xo = -46.05 mm; yo = -21.9637 mm; zo = 50 mm

Xo [mm]

Zo [

mm

]

cadeia 3

Figura 4.16 - Singularidade - alinhamento das barras da cadeia 3

74

O resultado obtido por este procedimento, para zo= 50 mm é apresentado na figura 4.16.

Construtivamente esta configuração singular corresponde a iminência do alinhamento das barras

superiores e inferiores.

Uma segunda possibilidade para anular o elemento a33 é se 3θc e o coeficiente do 3θs da


( )oo ouc 270900 333 === θθθ (4.78)

0)(22)(2)(2)( =−−−−+−+−− αααφα scrcysxcbs oo (4.79)


terminal em que o2703 =θ .

Por outro lado, quando o903 =θ a equação 4.6 da cinemática inversa (seção 4.1.1.1)

tomará a forma:

03331 =+ ee (4.80)




terminal e são adotados valores iniciais para as coordenadas xo e yo.

75

Não foram obtidas configurações singulares fisicamente possíveis para os parâmetros do

mecanismo adotados nas simulações.



( )ooous 18000 333 =θ=θ=θ (4.81)

02 =φ+− bszo (4.81)



033 32 =+ ee (4.83)




terminal e são atribuídos valores iniciais para as coordenadas xo e yo. Não foram obtidas


simulações.

76

4.2.2 Singularidades da cinemática direta

Na seção 4.2 foi definida a matriz Jx foi definida pela equação (4.49):

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

J x (4.49)

Inicialmente o determinante desta matriz foi calculado por:

122133112332312213322113312312332211 bbbbbbbbbbbbbbbbbbJ x −−−++=)det( (4.84)

Para encontrar os valores das variáveis de posicionamento dos motores (θ1, θ2, θ3) e das

coordenadas de orientação do órgão terminal (xo, yo zo) que anulam o determinante de Jx, foi

elaborado um algoritmo com o programa MATLAB onde as variáveis acima foram discretizadas

em intervalos de 1 mm e o determinante foi calculado variando-as simultaneamente, dentro de

um intervalo adotado.

O algoritmo considera nulo o determinante quando |detJx| < ε, sendo ε a precisão atribuída

pelo usuário. Não houve convergência usando tal algoritmo, mesmo com a discretização adotada

(intervalos de 1 mm), não permitindo encontrar as soluções do sistema de equações que

correspondem a singularidades.

Uma outra maneira utilizada para calcular o determinante de Jx foi pelo teorema de

Laplace. Desenvolvendo o determinante pelo teorema de Laplace em relação aos elementos da

terceira coluna, obtém-se:

77

+

−

=

2221

121133

3231

121123

3231

222113

bb

bbb

bb

bbb

bb

bbbJdet x (4.85)

Para anulação da equação (4.85), os termos 12b , 22b e 32b devem ser iguais a zero:

α

αθ

cl

yrcscb

i

o−+=⇒= 112 0 (4.86)

i

oio

l

rshycclrshyb

−−+=∴=−−−+⇒= 2222 00 θθ (4.87)

)(cl

)(rcsycb

i

o

α

αθ

−

−−−=⇒=

20 332 (4.88)

O determinante de Jx foi desenvolvido considerando outras combinações de linhas e

colunas, porém, não foram obtidas configurações singulares para os parâmetros do mecanismo

adotados nas simulações.

Foi elaborado um algoritmo para calcular os valores dos deslocamentos angulares dos

motores das equações (4.86 - 4.88). Como estas equações são funções apenas da variável yo, o

algoritmo determina o deslocamento angular dos motores para -190 < yo < 110 mm, em intervalos

discretos de 1 mm. Com este algoritmo, foram obtidos diversos deslocamentos angulares dos

motores (θ1, θ2 e θ3) que aplicados no algoritmo da cinemática direta e em seguida no da inversa,

permitiram visualizar a pose correspondente do mecanismo, porém, para os parâmetros do

mecanismo adotados nas simulações, os deslocamentos angulares dos motores obtidos foram

obtidos na forma de números complexos.

78

4.3 Espaço de Trabalho

4.3.1 Considerações preliminares

O espaço de trabalho de um mecanismo pode ser definido como o espaço dentro do qual

este pode movimentar o órgão terminal (PAZOS, 2002). No mecanismo 3 RSS + CP, não é

possível caracterizar o espaço de trabalho como de orientação constante ou mesmo de orientação

variável, conforme anteriormente mencionado na revisão bibliográfica, visto que existe uma

dependência entre o ângulo de orientação da plataforma móvel φ e as coordenadas xo e zo.

4.3.2 Restrições físicas e cinemáticas

Conforme comentário da seção 2.4, as configurações singulares da cinemática inversa

limitam o espaço de trabalho do mecanismo. Além desta restrição cinemática, o espaço de

trabalho deste mecanismo é influenciado pelo comprimento das barras superiores e inferiores das

cadeias ativas, pelas dimensões da base fixa e do órgão terminal, pelo curso da junta prismática e

do par cilíndrico da cadeia passiva e pela amplitude das juntas esféricas.

Os parâmetros dimensionais empregados na avaliação do espaço de trabalho deste

mecanismo estão na tabela 4.10, sendo ls o comprimento das barras superiores das cadeias ativas

e li o comprimento das inferiores. O significado da notação empregada nesta tabela pode ser

elucidado com as figuras 4.2 e 4.3, aqui repetidas e pela figura 4.17.

79

Tabela 4.10 – Parâmetros do mecanismo para determinação do espaço de trabalho

]mm[ls ]mm[li ]mm[s ]mm[h ]mm[b ]mm[r ]rad[α Amplitude das

juntas [graus]

201,25 90,67 42,50 127,48 147,21 119,00 2,0944 30



xxxx

yyyy

B1

B2

B3

OOOO h

s

b

XXXX

A2

YYYY

A3 A1

r

r

B1

B2

B3

QQQQ

α

80

Figura 4.17 – limite da cota zo em função do curso do par prismático

Foi admitido um curso de 290 mm para a junta prismática da cadeia passiva, sendo que os

limites do deslocamento do par cilíndrico desta cadeia na direção do eixo Y foram restritos ao

intervalo -190 < yo < 110 mm e -90° < φ < 90°.

Tanto para as juntas que conectam as barras das cadeias ativas, quanto para as que unem o

órgão terminal às barras superiores, foi considerada uma junta esférica com amplitude de ±30°,

mostrada na figura 4.18a. A figura 4.18b mostra o deslocamento angular possível entre as barras

superiores e inferiores, a partir da posição de montagem.

Figura 4.18- Junta esférica: (a) foto do fabricante THK (2005); (b) amplitude entre as barras

30˚

30˚ Ci

Ai

Bi

Y A2

B2

r

ZZZZ

QQQQ

C2

ls

li θ2

(h-s)

OOOO

maxoz

par prismático da cadeia passiva

(a) (b)

81

4.3.3 Algoritmos para avaliação do espaço de trabalho

Para avaliar o espaço de trabalho do mecanismo, foram elaborados dois algoritmos com o

programa MATLAB, empregando o método da discretização. O primeiro algoritmo tem como

objetivo uma avaliação qualitativa do espaço de trabalho, permitindo a visualização da fronteira

do espaço de trabalho no plano XY para diferentes alturas na direção do eixo Z, como curvas de

nível empregadas nas plantas topográficas.

Inicialmente, as coordenadas xo, yo e zo do ponto O da plataforma móvel foram

discretizadas dentro de um domínio que não viola as limitações físicas dos parâmetros da tabela

4.10. Em seguida, para cada posição do ponto O, foram determinados os deslocamentos angulares

dos motores (θ1, θ2, e θ3) pela cinemática inversa. Se estes deslocamentos forem representados

por números reais, se os cursos máximos dos pares prismático e cilíndrico da cadeia passiva não

forem ultrapassados e se os determinantes das matrizes Jq e Jx não forem nulos, o algoritmo plota

um ponto azul, correspondente às coordenadas do ponto O (veja resultados nas figuras 4.21 a

4.26).

Para verificar se a amplitude máxima das juntas esféricas não foi violada, foram definidos

dois ângulos como variáveis. O ângulo i

γ , entre o eixo da junta esférica i e a correspondente

barra superior i, que pode ser calculado pela equação 4.89.

]l

u)CB(arccos[

s

iiii

r⋅−

=γ (4.89)

82

sendo o ponto Ci (i = 1,2,3) o centro da junta esférica que conecta a barra inferior i à barra

superior i. e iur

um versor ortogonal à barra inferior i, contido no plano definido pelos pontos Q,

Ai e Ci , com sentido indicado na figura 4.19.

Figura 4.19- Identificação do ângulo i

γ

O ângulo i

ξ , entre o eixo da junta esférica i e a correspondente barra superior i, que pode

ser calculado pela equação 4.90.

]l

v)BC(arccos[

s

iiii

r⋅−

=ξ (4.90)

sendo Bi o centro da junta esférica que conecta a barra superior i à plataforma móvel i e ivr

um

versor na direção do eixo da junta esférica i, inclinado a 45° em relação ao plano da plataforma

móvel, ou seja, o versor que define a orientação da montagem desta junta na plataforma móvel

(veja figura 4.20).

Ci

Ai

Bi

iur

iγ

83

Figura 4.20- Identificação do ângulo i

ξ

Houve correspondência entre os valores dos ângulos calculados com as equações 4.89 e

4.90 do algoritmo para definição do espaço de trabalho e os valores obtidos com um desenho em

AUTOCAD.

Se os valores dos ângulos calculados pelas equações 4.64 e 4.65 pertencerem ao intervalo

90° ± 30°, o algoritmo plota um quadrado vermelho (� ) em torno das coordenadas do ponto O na

figura que representa o espaço de trabalho do mecanismo, cujos resultados são apresentados nas

figuras 4.21 a 4.26, cuja legenda utilizada é:

. ( ponto azul) ponto pertencente ao espaço de trabalho sem levar em conta amplitude

das juntas esféricas:

� (quadrado vermelho ) ponto que pertence ao espaço de trabalho levando-se em conta a

amplitude das juntas esféricas.

B1

C1

B3

B2

O

1ξ 1vr

84

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 0 mm

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]

Volume do Espaço de Trabalho para Zo = 10 mm

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


Figura 4.21- Espaço de trabalho para a cota zo variando entre 0 e 50 mm

85

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]



86

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]



87

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]



88

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]



89

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]


-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Xo [mm]

Yo [

mm

]



90

Pelas figuras 4.21 a 4.26 pode ser constatado como o espaço de trabalho é bastante

influenciado pela amplitude das juntas esféricas. Na figura 4.28 esta influência será novamente

abordada.

O segundo algoritmo permite que se obtenha uma estimativa do volume do espaço de

trabalho do mecanismo, ou seja, o volume do lugar geométrico possível de ser alcançado pelo

ponto O. Partindo-se de gráficos como os das figuras 4.21 a 4.26, é possível obter uma estimativa

inicial das fronteiras do espaço de trabalho, definindo assim os valores extremos das coordenadas

xo, yo e zo. Esta estimativa inicial evita cálculos com posições do órgão terminal muito afastadas

do limite do espaço de trabalho, reduzindo o tempo de processamento computacional.

Em seguida, este algoritmo verifica se os pontos do intervalo formado pelos valores

extremos das coordenadas xo, yo e zo pertencem ao espaço de trabalho do mecanismo. Para isso, o

algoritmo verifica se cada posição da origem do órgão terminal pode ser atingida sem violar as

limitações físicas das juntas esféricas, o curso máximo dos pares prismático e cilíndrico da cadeia

passiva, se os deslocamentos angulares dos motores (θ1, θ2, θ3) são definidos por números reais e

se os determinantes das matrizes Jq e Jx não são nulos. Estes pontos correspondem ao centro

geométrico de paralelepípedos, que podem ser vistos na figura 4.27 (b)

Figura 4.27- (a) passo para as variáveis xo e yo (b) dimensões do paralelepípedo

∆y

∆x

∆y

∆x

(a) ( b )

∆z

∆x

∆y

91

Desta forma, o volume do espaço de trabalho pode ser estimado pela equação (4.91)

)n...j(...nvV zyx

n

jjpar 1

1

===∑=

∆∆∆ (4.91)

sendo:

:V volume do espaço de trabalho

:jparv volume de cada paralelepípedo j

:n número de pontos encontrados que pertencem ao espaço de trabalho

x∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas xo

y∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas yo

z∆ : passo ou acréscimo nas coordenadas zo

Vale destacar que a precisão deste volume está diretamente relacionada com a

discretização adotada, ou seja, com o valor dos passos zyx e, ∆∆∆ . Para avaliar a influência do

passo adotado, foram calculados volumes do espaço de trabalho para diferentes passos,

apresentados na tabela 4.11.

Como citado anteriormente, a amplitude das juntas esféricas tem forte influência sobre o

espaço de trabalho. Isto pode ser evidenciado pela figura 4.28.

Os parâmetros do mecanismo adotados para as simulações apresentadas na figura 4.28 e

na tabela 4.11 estão descritos na tabela 4.10.

92

Tabela 4.11 – Influência do passo adotado sobre o valor estimado do espaço de trabalho

Passo [mm] Volume do ET [dm3] Tempo de

processamento [seg] 1 0,9216

766,032

2 0,9228 97,078

2,5 0,9312 53,5

5 0,9227 6,34

10 0,916 0,922

15 0,9383 0,297

20 0,928 0,110

.

10 20 30 40 50 60 700

1

2

3

4

5

6

7

8Volume do Espaço de Trabalho X Amplitude das juntas esfericas

Amplitude das juntas esfericas [graus]

Volu

me d

o E

spaço d

e T

rabalh

o [

dm

3]

Fig. 4.28– Influência da amplitude das juntas no volume do espaço de trabalho

93

4.4 Otimização do Espaço de Trabalho

A otimização do espaço de trabalho visa encontrar os parâmetros de projeto que

maximizam o volume do espaço de trabalho que pode ser atingido pelo ponto O da plataforma

móvel. Com o intuito de reduzir o número de variáveis e facilitar a otimização do espaço de

trabalho, foram assumidas as seguintes hipóteses:

a) os triângulos que formam a base e o órgão terminal são equiláteros;

b) o curso máximo da junta prismática da cadeia passiva (que restringe a altura máxima

alcançada pela origem do órgão terminal - zomax na figura 4.29) foi definida no início do projeto,

em 290 mm;

c) o curso do par cilíndrico da cadeia passiva foi determinado no início do projeto,

restringindo o deslocamento da cadeia passiva na direção Y ao intervalo -190 < yo < 110 mm,

bem como o ângulo φ entre -90° e 90°.

d) a dimensão dos lados do triângulo da base (medida r da figura 4.29) é conhecida;

e) as juntas esféricas estão definidas, com amplitude de ± 30°.

Figura 4.29 – vista da cadeia 2 quando zo é máximo

Y A2

B2

r

ZZZZ

QQQQ

C2

ls

li θ2

(h-s)

OOOO

maxoz

par prismático da cadeia passiva

94

Aplicando o Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo ∆ A2QB2 do plano YZ,

obtém-se:

( ) ( )[ ]222shrzll

maxosi −−+=+ (4.92)

A razão entre os comprimentos das barras superiores e inferiores é definida por:

i

sbarra

l

lK = (4.93)

Pela expressão (4.94) o comprimento das barras superiores vale:

barrais Kll = (4.94)

Pela hipótese “b”, zomax é conhecido. Fazendo uso das equações (4.92) e (4.94) pode-se

obter o comprimento das barras inferiores pela equação (4.95).

( )[ ]

barra

maxo

iK

shrzl

+

−−+=

1

22

(4.95)

Pela hipótese “c”, o projetista define a dimensão da base do mecanismo, ou seja, a medida

r da figura 4.2. A razão entre as alturas dos triângulos equiláteros A1A2A3 e B1B2B3, que formam,

respectivamente, a base do mecanismo e o órgão terminal, é definida por (veja figuras 4.2 e 4.3):

95

r

shKtriângulos

−= (4.96)

Como o triângulo B1B2B3 que define o órgão terminal é equilátero (hipótese “a”), 3

hs = .

Com base nos comentários feitos nesta subseção, a função objetivo a ser otimizada é o

volume do espaço de trabalho que pode ser atingido pelo ponto O da plataforma móvel e as

variáveis de projeto são a razão entre as barras inferiores e superiores das cadeias ativas ( barraK )

e a razão entre as dimensões dos triângulos ( triângulosK ).

Utilizando os parâmetros da tabela 4.12, foi calculado o volume do espaço de trabalho

para diversos valores das variáveis barraK e triângulosK e os resultados obtidos são apresentados na

tabela 4.13 e a figura 4.30 mostra a variação do volume do espaço de trabalho em função destes

resultados.

Tabela 4.12 – Parâmetros do mecanismo para otimizar o espaço de trabalho Curso do par cilíndrico

[mm]

Curso do par

prismático [mm]

r [mm] ]rad[α Amplitude das juntas [graus]

300 290 119,00 2,0944 ± 30°

96

Tabela 4.13 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo

Ktriângulos Kbarra Volume do ET [dm3]

0,25 0,0009

0,5 0,0257

0,75 0,135

1 0,3791

1,25 0,7638

0,25 1,5 1,1190

1,75 1,1953

2 1,1440

2,25 1,0438

2,5 0,9302

2,75 0,8222

3 0,7289

0,25 0,0046

0,5 0,0659

0,75 0,2657

1 0,6390

1,25 1,0567

0,5 1,5 1,1959

1,75 1,2024

2 1,1549

2,25 1,0627

2,5 0,9458

2,75 0,8337

3 0,7357

97

Tabela 4.13 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo

Ktriângulos Kbarra Volume do ET [dm3]

0,25 0,0180

0,5 0,1226

0,75 0,4266

1 0,8921

1,25 1,1260

0,75 1,5 1,1819

1,75 1,1373

2 1,0087

2,25 0,8621

2,5 0,7248

2,75 0,6017

3 0,4978

0,25 0,0227

0,5 0,1975

0,75 0,6309

1 0,9792

1,25 1,1007

1 1,5 1,0166

1,75 0,8447

2 0,6600

2,25 0,4891

2,5 0,3448

2,75 0,2235

3 0,1312

98

00.5 1

1.52

2.53

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

K da barraK do triangulo

Volu

me d

o E

T [

dm

3]

Figura 4.30- Volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK

Observando a figura 4.30 e os dados da tabela 4.13, pode ser verificado que o volume

máximo do espaço de trabalho é obtido quando 21 ≤≤ barraK e 120 ≤≤ triângulosK, . A partir

desta observação, foram obtidos novos valores do volume do espaço de trabalho para pontos

dentro do intervalo acima, com uma discretização maior do que aquela empregada na elaboração

da tabela 4.13, cujos resultados estão apresentados na tabela 4.14. A figura 4.31 mostra a

variação do volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK , a partir destes

resultados.

99

Tabela 4.14 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo Ktriângulos Kbarra Volume do Espaço de Trabalho

[dm3]

1,125 0,4929

1,25 0,6875

1,375 0,8977

0,2 1,500 1,0667

1,625 1,1654

1,750 1,1880

1,875 1,1754

2,000 1,1406

1,125 0,7494

1,25 0,9693

1,375 1,1192

0,4 1,500 1,1870

1,625 1,2084

1,750 1,2036

1,875 1,1836

2,000 1,1524

1,125 0,9710

1,25 1,1019

0,6 1,375 1,1671

1,500 1,1982

100

Tabela 4.14 – Volume do espaço de trabalho em função das dimensões do mecanismo Ktriângulos Kbarra Volume do Espaço de Trabalho

[dm3]

1,625 1,2037

1,750 1,1950

0,6 1,875 1,1727

2,000 1,1283

1,125 1,0505

1,25 1,1227

1,375 1,1613

0,8 1,500 1,1710

1,625 1,1481

1,750 1,0933

1,875 1,0251

2,000 0,9513

1,125 1,0657

1,25 1,1007

1,375 1,0784

1,0 1,500 1,0166

1,625 0,9365

1,750 0,8447

1,875 0,7513

2,000 0,6600

101

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

K da barraK do triangulo

Volu

me d

o E

T [

dm

3]

Figura 4.31- Volume do espaço de trabalho em função de barraK e triângulosK

Observando a figura 4.31 e os dados da tabela 4.14, conclui-se que o maior volume para o

espaço de trabalho é alcançado com a razão barraK em torno de 1,7 e a razão triângulosK entre 0,4 e

0,6.

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