8/18/2019 Rendas e Taxas equivalentes
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Análise de Projectos
ESAPL IPVC
Taxas Equivalentes
Rendas
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Taxas Equivalentes
Duas taxas i e i’, referentes a períodos
diferentes, dizem-se equivalentes se,aplicadas a um mesmo capital, produziremdurante o mesmo prazo de tempo, o mesmo
valor acumulado.
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Taxas Equivalentes
em regime de juro simples
0 1
i
Seja i uma taxa de período unitário.
0 11/m 2/m (m-1)/m
i’
…
Fraccione-se este período unitário emm partes iguais, por forma a que cada
novo período fique igual a 1/m doperíodo de i. Seja i’ a taxa de juro parao novo período.
m é o número de vezes que o período da taxa i’ está contido no período da taxa i. Podemos então
dizer que: Período de i
Período de i’m =
De acordo com a definição, dizemos então que i e i’ são equivalentes se, durante o intervalo [0,1]produzirem o mesmo valor acumulado.
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Se o capital inicial for unitário, ou seja, C0=1, sabemos que:
1 + i é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;1 + mi’ é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .
Como pretendemos que esses valores sejam iguais:
(1 + i) = (1 + mi’) mi’ = i ou
i’ = i/m
Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência detaxas em regime de juro simples.
Taxas Equivalentes
em regime de juro simples
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Partindo exactamente dos mesmos pressupostos anteriores,
teremos para o caso do regime de juro composto:1 + i é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;(1 + i’)m é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .
Como pretendemos que esses valores sejam iguais:
(1 + i) = (1 + i’)m Elevando ambos os membros a i/m obtemos mi’ = i ou
(1 + i)1/m = (1 + i’) i’ = (1 + i)1/m - 1
Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência detaxas em regime de juro composto.
Taxas Equivalentes
em regime de juro composto
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Rendas
Denomina-se por Renda um conjunto decapitais que se vencem em momentosequidistantes.
Chama-se deTermo da Renda
a cada umdesses capitais.
E chama-se de Período da Renda ao
intervalo de tempo que decorre entre osvencimentos de dois termos consecutivos.
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Rendas – condição necessária
e condição suficiente
Não é condição necessária para que se fale
de uma renda que os capitais vencidos emcada momento sejam iguais.
É condição suficiente para que se fale de
uma renda que o intervalo de tempo quedecorre entre o vencimento de dois termosconsecutivos (o período da renda) seja uma
constante. Falamos assim de anuidades,
semestralidades, trimestralidades,
mensalidades, etc..
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Classificação das Rendas
Quanto ao número de termos: Renda Temporária – a que tem nº limitado de termos
Renda Perpétua – a que tem nº ilimitado de termos
Quanto à dependência de factores aleatórios: Renda Certa – a disponibilidade dos termos é
absoluta
Renda Incerta – o vencimento dos termos estácondicionado por qualquer facto aleatório
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Quanto ao momento a que são referidos os
seus Valores Actuais: Renda Imediata – o Valor Actual é referido ao
momento que coincide com o início do 1º período.
Renda Diferida – o Valor Actual é referido a ummomento anterior ao início do 1º período.
Quanto à relação entre Período e Taxa: Renda Inteira – o período da renda e o período da
taxa são coincidentes.
Renda Fraccionada – os períodos da renda e da taxa
não são coincidentes.
Classificação das Rendas
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Classificação dos Termos das
Rendas
Quanto ao seu vencimento: Termos Normais – aqueles que se vencem no fim do
período a que dizem respeito.
Termos Antecipados – aqueles que se vencem no
início do período a que dizem respeito. Quanto ao seu valor:
Termos Constantes – aqueles que apresentam todos
o mesmo valor. Termos Variáveis – aqueles que apresentam valores
desiguais.
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Valor Actual de uma Renda
Imediata
Seja a renda uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normaise unitários:
O Valor Actual (em t ) de cada um dos seus termos será:
(1+i)-1 ; (1+i)-2 ; (1+i)-3 ; ... ; (1+i)-(n-1) ; (1+i)-n ; ou seja, uma progressãogeométrica de razão (1+i)-1 .
Calcular o Valor Actual da renda não custa então mais do que calcular o somatóriodaquela progressão.
0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n
1º Período Último Período
... ...
1€ 1€ 1€
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O somatório de uma progressão geométrica é dado pela expressão:
Valor Actual de uma Renda
Imediata
r
r a n
−−1)1( Em que a é o primeiro termo da progressão, r é a razão e n onúmero de termos.
Então teremos:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 111
1
1
1111
11111 −
+−−
−
−−
+−+−+=
+−+−+=
iii
iii
nn
V.A.Multiplicando ambos ostermos da fracção por (1+i)obtemos:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
i
i
ii
iii nn −
−
+−−+−
=++−
++−+=
11
111
111
1
11
V.A.
Esta é a expressão que nos dá o valor actual de uma renda com as característicasanteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de Desconto de umaRenda.
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Valor Acumulado de uma
Renda Imediata
Seja de novo uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normaise unitários:
O Valor Acumulado ou Futuro (em t ) de cada um dos seus termos será:
(1+i)n-1
; (1+i)n-2
; (1+i)n-3
; ... ; (1+i)n-(n-1)
; (1+i)n-n
; ou seja, também umaprogressão geométrica de razão (1+i)-1 .
Calcular o Valor Acumulado desta renda não custa então mais do que calcular osomatório daquela progressão.
0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n
1º Período Último Período
... ...
1€ 1€ 1€
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Seguindo exactamente o mesmo raciocínio que o anterior:
Valor Acumulado de uma
Renda Imediata
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) 1
11
1
1
11
11
11
111−
−−
−
−−
+−
+−+=
+−
+−+=
i
ii
i
ii nnn
V.F.Multiplicando ambos ostermos da fracção por (1+i)obtemos:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )i
i
ii
iii
nn
11111
1111
11
−+=++−
++−+=−
−−
V.F.
Esta é a expressão que nos dá o valor acumulado ou futuro de uma renda com ascaracterísticas anteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor deCapitalização de uma Renda.
Note-se ainda que capitalizando a expressão do Valor Actual durante n períodos, ouseja, multiplicando-a por (1+i)n, se obtém a expressão do Valor Acumulado. Pode-seassim afirmar que o valor actualizado de uma renda, capitalizado durante n períodos,é igual ao valor acumulado da mesma renda, ao fim de n períodos.
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Valor Actual e Acumulado de Renda
Imediata com Termos Antecipados
Os casos vistos anteriormente referiam-se a rendas com termos normais,ou seja, com termos vencidos no fim de cada período.
No caso da renda possuir termos antecipados, ou seja, vencidos noprincípio de cada período: O Valor Actual da Renda difere do V.A. do caso anterior pelo facto do primeiro
termo não dever ser actualizado (já que se vence no início da contagem de
tempo). Isso será o mesmo que fazer uma actualização a menos, ou seja, nofundo usar o anterior valor actual e capitalizá-lo por um período – multiplicá-lo por(1+i):
O Valor Futuro da Renda difere do V.F. do caso anterior pelo facto de faltarcapitalizar o último termo. Isso será o mesmo que fazer mais uma capitalizaçãode um período, ou seja, também multiplicar o anterior V.F. por (1+i):
( )( )i
i
i n
++−
=−
111
V.A.
( )( )i
i
i n
+−+
= 111
V.F.
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Valor Actual de Rendas
Diferidas
Quer no caso do Valor Actual duma renda temporária, certa, inteira e diferida de tperíodos com n termos normais e unitários, quer no caso do Valor Actual de umarenda temporária, certa, inteira e diferida de t+1 períodos com n termos antecipadose unitários, a expressão a utilizar será:
0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n... ...
1€ 1€ 1€
t+n+1
V.A. se termosnormais
V.A. se termosantecipados
( )( ) 11
1
111 −−
+=+
=+−
ii
vi
iv
n
t com ,
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Em ambos os casos, com termos normais e comtermos diferidos, o Valor Acumulado éexactamente igual ao que seria no caso dasRendas Imediatas:
Valor Acumulado ou Futuro de
Rendas Diferidas
0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n... ...
1€ 1€ 1€
t+n+1
V.F. se termosnormais
V.F. se termosantecipados
( )i
i n 11 −+=V.F. ( ) ( )ii
i n
+−+= 111
V.F.
No caso de termos normais No caso de termos antecipados
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Rendas Perpétuas
Se o número de termos de uma renda for ilimitado a renda terá adesignação de Perpétua, ou dir-se-á tratar-se de uma Perpetuidade.
O seu valor Actual será:
( )ii
i n
n
111lim =
+−=
−
∞→
V.A. No caso dos termos serem normais, ou:
( )i
ii
i
+=+=
11
1V.A. No caso dos termos serem antecipados.
Se a renda for diferida:
t
ii
V.A. ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=
1
11
No caso de uma renda perpétua, falar de valor futuro ou acumulado não fazqualquer sentido.
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Factor de Reposição do
Capital
Corresponde ao valor de cada um dos n termos de uma
renda imediata de valor actual unitário, ou seja, aomontante anual necessário para repor ao fim de nperíodos um total unitário, tendo em conta os jurossobre o montante ainda não reposto. O seu valor é dado
pelo inverso do factor de Desconto de uma Renda:
( ) t ii
−+−= 11F.R.C.
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