Problemas em Programação Linear
Resolução e Análise de Sensibilidade
Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias
24 -25 Junho 2014
Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra com tomate e trigo de forma a
maximizar a receita. As receitas resultantes de cada hectare de tomate e trigo são
300 e 200 euros, respectivamente.
Recursos Necessidades (por ha) Disponibilidade
Tomate Trigo
Água (m3) 8000 0 320000
Mão-de-obra (DH) 40 20 2000
0,
200020403200008000
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
x – área para produção de tomate (ha)
y – área para produção de trigo (ha)
Exemplo: Formulação
2
0,
200020403200008000
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
40 50 80
80
100
x
y
Exemplo: Representação gráfica da região admissível
3
Solução admissível – solução (x,y) que satisfaz todas as restrições
Região admissível – conjunto das soluções admissíveis
Solução óptima – solução admissível com o melhor valor da função objectivo.
Definições
4
40 50 80
80
100
x
y
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
6000200300 yx
20
30
12000200300 yx
60
21000200300 yx
Exemplo: Resolução gráfica
5
40 50 80
80
100
x
y
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
20
30
60
6020
100 2
80
yx
yx
yxA
Solução óptima
Receita máxima
€ 18000)60(200)20(300
A
Problema em que a solução óptima é única
A solução óptima usa toda a terra e toda a mão-de-obra disponíveis - as restrições
da terra e da mão-de-obra dizem-se saturadas.
Exemplo: Resolução gráfica
6
40 50 80
80
100
x
y
0,
100 240
80
200400max
yx
yxx
yx
yxasujeito
6000200400 yx
15
30
60
,6020
100 2
80
yx
yx
yxA
Soluções óptimas
Receita máxima
€ 18000)60(200)20(300
... ,2040
100 240
yx
yxx
B
A
B
][AB Problema com soluções óptimas alternativas
20
Exemplo: Resolução gráfica
7
40 50 80
80
100
x
y
0,40
200400max
yxx
yxasujeito
6000200400 yx
15
30
60
Problema com solução não limitada
(não tem solução óptima)
Região admissível
não limitada
Região admissível não limitada Solução não limitada
Outros exemplos: Resolução gráfica
8 Solução não limitada Região admissível não limitada
40 50 80
80
100
x
y
0,
100 240
80
200400max
yx
yxx
yx
yxasujeito
30
60
Problema não admissível
(não tem soluções)
Outros exemplos: Resolução gráfica
9
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
B
C D
E
20
60
00
yx
D
040
yx
C
2040
100 240
yx
yxx
B
800
0
80
yx
x
yxE
Cada vértice, A, B, C, D, E, é solução única de um sistema com 2 restrições na
igualdade.
6020
100 2
80
yx
yx
yxA
Exemplo: Vértices (pontos extremos)
10
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
B
C D
E
20
60
1000
100 20
yx
yxx
F
F
F é solução única de um sistema
com 2 restrições na igualdade,
mas … não satisfaz a restrição da
terra – não é solução
admissível!
Um vértice é uma solução admissível que satisfaz 2 restrições na igualdade e
o sistema com estas 2 restrições tem uma única solução (o próprio vértice).
Exemplo: Vértices (pontos extremos)
11
Considere a região admissível de um problema de PL com
n variáveis, todas não negativas.
Um vértice é uma solução admissível que satisfaz n restrições na igualdade e
o sistema com estas n restrições é possível e determinado.
Vértices da região admissível
12
Propriedades dos vértices:
1. Há um nº finito de vértices.
2. Se existe solução óptima, esta é um vértice.
3. Se um vértice não tem vértices adjacentes com melhor valor da função
objectivo então não há vértices com melhor valor da função objectivo –
ou é vértice óptimo ou o problema não tem solução óptima.
4. Se existem soluções alternativas, estas são vértices e qualquer combinação
convexa destes.
Vértices da região admissível
13
INICIAR
Procurar um vértice
Encontrou ?
Procurar um vértice adjacente que melhora o valor da FO
Encontrou ?
Não Problema não admissível ou
o problema tem solução não limitada STOP
Sim
Sim
Não
Uma solução óptima foi encontrada ou o problema tem solução não limitada
STOP
Algoritmo do Simplex - para
problemas de PL
14
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
B
C D
E
0)0(200)0(300 : D
12000)0(200)40(300 : C
16000)20(200)40(300 : B
20
60
18000)60(200)20(300 : A 16000)80(200)0(300 : E
Solução óptima
Exemplo: Algoritmo do Simplex
15
Exemplo: Implementação do modelo numa folha de
cálculo
16
Exemplo: Implementação do modelo
17
Exe
mp
lo:
Imp
lem
en
taçã
o d
o m
od
elo
18
Exemplo: Implementação do modelo
19
Exe
mp
lo:
Imp
lem
en
taçã
o d
o m
od
elo
20
Exemplo: Resolução do modelo
21
Exemplo: Resolução do modelo
22
Exemplo: Análise de sensibilidade
Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de tomate pode
assumir sem alterar a solução óptima obtida x = 20, y =60 ?
Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de trigo pode
assumir sem alterar a solução óptima obtida x = 20, y =60 ?
Para quê ?
Se a receita resultante de cada hectare de tomate (trigo) alterar-se para um
dos valores obtidos, o problema não tem de ser resolvido de novo.
Avaliar a sensibilidade da solução às variações dos valores dos parâmetros
da FO.
23
0,
100 240
80
2001
max
yx
yxx
yx
yxc
asujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
Solução óptima
Exemplo: Análise de sensibilidade
24
0,
100 240
80
2001
max
yx
yxx
yx
yxc
asujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
Solução óptima
Exemplo: Análise de sensibilidade
25
0,
100 240
80
2001
max
yx
yxx
yx
yxc
asujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
Solução óptima
E
Exemplo: Análise de sensibilidade
26
0,
100 240
80
2001
max
yx
yxx
yx
yxc
asujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
Solução óptima
B
Exemplo: Análise de sensibilidade
27
0,
100 240
80
2001
max
yx
yxx
yx
yxc
asujeito
40 50 80
80
100
x
y
A
Solução óptima
xc
yyxc
xyyx
xyyx
2001300600200
1
21001002
8080
Declive -1
Declive -2
400,200
1 200
1 400
1 1
2001 2
2001 ccc
cc
Cultivar 20 ha de tomate e 60 ha de trigo é solução óptima quando a
receita resultante de cada hectare de tomate estiver entre 200 e 400 € e a
receita de cada hectare de trigo permanecer igual a 200 ha.
Exemplo: Análise de sensibilidade
28
Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de trigo pode
assumir sem alterar a solução óptima obtida x = 20, y =60 ?
2002
e 400,2001
ccCom
a solução óptima é x = 20 e y = 60, mas a receita não permanece igual a
18000 €.
Ex: com c1= 200, a receita obtida é 16000 €.
Exemplo: Análise de sensibilidade
29
Cultivar 20 ha de tomate e 60 ha de trigo é solução óptima sempre que a
receita resultante de cada hectare de trigo estiver entre 150 e 300 € e a
receita de cada hectare de tomate permanecer igual a 300 ha.
Exemplo: Análise de sensibilidade
30
Qual a influência do aumento da área disponível na receita máxima? Ou do
aumento da água? Ou da mão-de-obra ?
Exemplo: Análise de sensibilidade
31
40 50 81
81
100
x
y
0,
100 240
81
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
20
30
60
Solução óptima
A’
6219
100 2
81 '
yx
yx
yxA
Solução óptima
Receita máxima
€ 18100)62(200)19(300
Se a área disponível aumentasse 1ha, a receita máxima aumentaria
€ 1001800018100
O valor da terra para o agricultor é 100 €/ha, com os os actuais níveis
disponíveis da terra, água e mão-de-obra (80 ha, 320000 m3, 2000 DH).
Exemplo: Análise de sensibilidade
32
O preço sombra da
restrição da terra é
100 €/ha
A receita máxima
aumentaria
100 € se a
área total aumentasse
de 80 para 81 ha
100(2) = 400 € se a área
total aumentasse de 80 para
82 ha …
Exemplo: Análise de sensibilidade
33
100(20) = 2000 € se a área
total aumentasse de 80 para
100 ha
100(21) = 2100 € se a área
total aumentasse de 80 para
101 ha? NÃO!
O preço sombra de uma restrição mede o impacto no valor óptimo da função
objectivo provocado pelo aumento (ligeiro) do lado direito da restrição.
O preço sombra de uma restrição mede o impacto no valor óptimo da função
objectivo provocado pelo aumento (ligeiro) do lado direito da restrição.
A receita máxima
diminuiria
100 € se a
área total diminuísse
de 80 para 79 ha …
100(20) = 2000 € se a área
total diminuísse de 80 para
60 ha
Exemplo: Análise de sensibilidade
34
100(21) = 2100 € se a área
total diminuísse de 80 para
59 ha? NÃO!
40 50 80
80
100
y
90 yx
Exemplo: Análise de sensibilidade
x
35
Porque é que o preço sombra da restrição x + y ≤ b é 100 €/ha se 60 ≤ b ≤ 100 ?
40 80
80
100
x
y
70 yx
Exemplo: Análise de sensibilidade
36
40 0 80
80
100
x
y
50 yx
40 50 80
80
100
y
140 yx
x
Equação redundante
Exemplo: Análise de sensibilidade
37
40 50 80
80
100
y
100 yx
x 40 80
80
100
x
y
60 yx
Exemplo: Análise de sensibilidade
38
bbZ
b
bb
yxZ
bby
bx
yx
byx
10010000)(*
10010000
)2100(200)100(300
200300*
100,60 se 2100
100
1002por dada é óptima Solução
Os preços sombra da restrição x + y ≤ b com 60 ≤ b ≤ 100 são iguais a
(Z*(b))’ =100.
Restrição não saturada => preço sombra da restrição nulo
Preços sombra
39
40 50 80
80
100
x
y
20
A
Preço sombra da restrição
8000x ≤ 320000 é nulo
Mantendo y = 60, quais os valores que x pode assumir sem violar as restrições ?
Mantendo x = 20, quais os valores que y pode assumir sem violar as restrições ?
Exemplo: Mais resultados
40
0,
60
100 240
80
200300max
yx
y
yxx
yx
yxasujeito
40 50 80
80
100
x
y
20
Exemplo: Mais resultados
41
40 50 80
80
100
x
y
20
0,20
100 240
80
200300max
yxx
yxx
yx
yxasujeito
60
Exemplo: Mais resultados
42
O custo reduzido de uma variável mede o impacto na função objectivo
provocado pela entrada de 1 unidade da variável na solução.
Uma variável com valor não nulo tem custo reduzido nulo.
Exemplo: Mais resultados
43
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
0,
200020403200008000
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
160000)8000(20ou
160000)20(8000320000
0)20(0ou
0)60(20)20(402000
Exemplo: O modelo original ou o modelo simplificado ?
44
100/(101-100) -> 100/(2020-2000)=5
202020401012 yxyx
20(20)=400
20(8000)=160000
Exemplo: O modelo original ou o modelo simplificado ?
45
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
0,
200020403200008000
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
É preferível implementar o modelo original !
Exemplo: O modelo original ou o modelo simplificado ?
Aqui não há diferenças!
46
0,
100 240
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
0,
200020403200008000
80
200300max
yx
yxx
yx
yxasujeito
Top Related