REVISÃO PARA A PROVA
Cristina Alves de S. Cardoso
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Um dos principais objetos de que se ocupa a
Matemática são os números e as figuras
geométricas. O objetivo desta revisão é recordar e
aprofundar o que você já estudou. Vejamos então
os conjuntos numéricos abaixo.
NÚMEROS NATURAIS (IN)
O conjunto dos números naturais é representado
por:
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*,
obtido excluindo o zero de IN.
,...6,5,4,3,2,1,0IN
,...6,5,4,3,2,1*IN
NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por:
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
IN, pois IN é subconjunto de Z, ou seja, IN, está
contido em Z.
Z* = Z – {0} ou Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos
homens.” Leopold Kronecker
,...4,3,2,1,0,1,2,3,4...,Z
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Quando pensamos , por exemplo no cálculo de:
(-7) : (2) = ?, logo percebemos que esse resultado
não faz parte do conjunto dos números naturais e
tão pouco dos números inteiros. Daí a necessidade
de acrescentarmos as frações não aparentes, ou
seja aquela fração que indica um número inteiro.
Assim por exemplo, são números racionais:
2. e ,3
5 0, ,
2
1- 1,- ,
2
3 - ,2
Desse modo escrevemos que todo número racional
é um número x, tal que x, é igual a sobre b, com a e
b pertencente ao inteiros e b diferente de zero.
Matematicamente, temos:
Q = { x/x = , com a Z, b Z e b 0}.
Mas se os números racionais são números na forma
de fração como podemos dizer que -2 é um número
racional?
Simples, pois, assim como:
b
a
3
6- 2
3
0 0
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS
RACIONAIS
Dado um número racional , a representação
decimal desse número é obtida dividindo-se a
por b , podendo resultar em:
Decimais exatas, finitas:
Decimais ou dízimas periódicas, infinitas:
b
a
0,8 e 0,25 1
5
4
4
..0,1787878. 990
177 e 60, 0,6666...
3
2178,0
FRAÇÃO GERATRIZ
O decimal exato ou periódico que também pode
ser escrito na forma de fração, recebe o nome de
fração geratriz. Existem formas de se obter a fração
geratriz de uma dízima periódica: Veja os exemplos:
I X = 0,222... .(10)
II 10 X = 2,222... Resolvendo: II – I, temos:
9 X = 2
X = 9
2
I X = 0,17171717... .(10)
II 10 X = 1,71717171... .(10)
III 100 X = 17,171717..... Resolvendo: III – I, temos:
99 X = 17
X =
Mas vejamos uma dica:
0,171717... =
Período = 17
Antiperíodo = não há.
99
17
99
17
99
017
Escreve-se o número sem a
vírgula no numerador e no
denominador tantos “nove”,
de acordo com a quantidade
de algarismos que há no
período.
0, 178787878... E agora?
0, 178787878... =
Observe que houve algumas mudanças:
Período: 78
Antiperíodo: 1
Parte que não
repete: 01
990
177
990
01178
990
0178
Novamente escreve-se o número sem
a vírgula no numerador e no
denominador tantos “nove”, de acordo
com a quantidade de algarismos que
há no período. Porém devemos
também subtrair a parte que não
repete no numerador e acrescentar
um zero para cada algarismo do
antiperíodo.
VAMOS EXERCITAR?
1) Determine a fração geratriz das dízimas periódicas:
a) 0,666...
b) 5,121212...
c) 2,1909090...
2) Assinale a afirmação verdadeira.
a) 0,313131... é um número natural.
b) 5,47 é um número inteiro.
c) 3,1415926335... é um número real.
d) 5,171717... é um número racional.
...
3) Em relação aos números racionais, todas as
alternativas são verdadeiras, exceto:
a) o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos
números racionais.
b) o conjunto dos números inteiros pertence ao conjunto
dos números racionais.
c) 13 ; 0, 777...; 0; 4; ¾; -2; - 1/5; 0,3 são exemplos de
números racionais.
d) Todos os números racionais podem ser escritos na
forma de fração.
NÚMEROS IRRACIONAIS
COORDENADAS CARTESIANAS
A notação (a, b) é usada para indicar o par
ordenado de números reais a e b, no qual a é a
primeira coordenada e o número b é a segunda
coordenada.
O plano cartesiano é composto por um sistema de
eixos ortogonais, Ox e Oy, que tem a mesma origem
O. O eixo x é o das abscissas e y das ordenadas.
Dado um ponto P desse plano, dizemos que os
números a e b são as coordenadas cartesianas
desse
plano. Observe a seguir:
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Como calcular a
distancia entre dois
pontos quaisquer?
Observe os pontos A
e B, no plano
cartesiano,vamos
calcular a distancia
entre eles.
A distância de A até B pode ser calculada através
da fórmula da distância abaixo.
Agora marque os pontos A( 1, -4) e B( -3, 2) no
plano cartesiano e depois calcule a distância entre
eles.
d AB = 2
2x 12
2
1 y -y x -
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o
conjunto de todos os
pontos de um plano
equidistantes de um
ponto fixo que é o
centro dela. Veja ao
lado. E podemos
defini-la pela fórmula
da distância entre os
pontos Q e P.
x2 = x
x1 = a
y2 = y
y1= b
d PQ = 2
2x 12
2
1 y -y x -
d PQ =
r =
( r)2
=
r 2 =
2
2x 12
2
1 y -y x -
- -22
byax
2byax ) - -(22
2byax - -
2
Exemplo: Determine a equação da circunferência com
centro o(1, 4) e raio 2.
a = 1 e b = 4 , r = 2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
22 = (x – 1)2 + (y – 4)2
4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 logo a equação é:
4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 ou x² + y² - 2x - 8y +12 = 0 .
Observação: Quando o centro da circunferência estiver
na origem, ou seja, O(0,0), a equação simplificada é
esta:
r² = x² + y²
GEOMETRIA: TEOREMA DE TALES
Se duas transversais
intersectam um feixe
de paralelas, então a
razão entre dois
segmentos qualquer de
uma transversal é igual
á razão dos segmentos
correspondentes da
outra.
EXEMPLO
Pedro está construindo uma
fogueira, representada pela
figura abaixo. Ele sabe que
a soma de x e y é igual 42
e que as retas r, s e t são
paralelas. Então x – y é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 10
e) 12
8
6
x
y
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que
intersecta os outros dois lados em pontos distintos
determina outro triângulo semelhante ao primeiro.
Observe a atividade. (MACKENZIE - SP) Na figura
ao abaixo, MNPQ é um losango. Se MT = 12 e MS
= 6, quanto mede cada lado do losango?
MN = MQ= PQ= NP = X
Como o triângulo MTS é semelhante ao triângulo NTP,
então:
12
12 -X
XX
XX
6
4x
72x18
72x12x6
x1272x6
x12x126
x
6
x12
12
-
- -
-
-
ME
NS
AG
EM
FIN
AL
Só posso desejar a
vocês bons estudos e
ótimos resultados. A
vida nos apresenta
milhares de pessoas. E cada uma delas vem cumprir um
papel em nossa vida. Mas
cabe a nós o papel
principal.Boa prova a todos
ATÉ AQUI ME AJUDOU O
SENHOR!!!!!!!!!!!
Pense nisso.
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