8/9/2019 Revista Olimpica. II Trimestre 2009
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Gaspar Monge Jean Baptiste Joseph Fourier
Problemas de Matemtica
para Competencias olmpicas
Sociedad Ramamsem
II TRIMESTRE DEL 2009
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CONTENIDO
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Pgina
1. Presentacin 1
2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no Olmpicas 18
3. Problemas de Competencias no Olmpicas 40
4. CURIOSATO 47
5. Solucin a los problemas anteriores de la columna
Olimpiadas alrededor del mundo.
56
6. Olimpiadas alrededor del mundo 64
7. Lgica y Matemtica Recreativa 70
8. Gua y lecciones de entrenamiento para competencias
matemticas.
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1. Presentacin.
Esta publicacin es realizada por la Sociedad RAMAMSEM y va dirigida a todas aquellas
personas que deseen explorar una matemtica diferente a la que se ensea en secundaria,
y algo ms !Toda comunicacin o informacin con respecto a los problemas propuestos o soluciones,
pueden ser enviados a
[email protected] o bien [email protected] partir de esta publicacin, estaremos reseando la biografa de algunos matemticos
clebres no solamente para honrar su memoria sino tambin humanizar este gran campo
del conocimiento humano y universal como lo es la matemtica.
En nuestra portada aparecen representados los matemticos Gaspar Monge y Jean
Baptiste Joseph Fourier.
Estas referencias bibliogrficas han sido tomadas textualmente de 20 matemticos
clebres de Francisco Vera.
MONGE Y FOURIERDOS AMIGOS DE NAPOLEN
El parto mellizo del Clculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo tal
revolucin en el Anlisis que todos los matemticos del XVIII se apercibieron a investigar
en la rama analtica, dando de lado a la geomtrica que permaneca estacionaria desde
Pascal, discpulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de
la Geometra por la Geometra.
Y cuando el ao 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema didrico en la
Escuela Normal Superior de Pars, Europa no tiene, en realidad, ms que un solo gemetra
digno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporneos llamaban "el sabio
espaol" por antonomasia, y cuyo perfil matemtico fue dibujado por Antonio Snchez
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Prez en un artculo periodstico, recogido despus en sus Actualidades de Antao, Madrid,
1895.
Dice Snchez Prez: "Euler, primer matemtico de la humanidad, public una notabilsima
obra titulada Ciencia Naval en 1749, poca en que el sabio haba llegado al apogeo de su
gloria. Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre
cuestiones navales, comprender hasta qu punto se haba esmerado en dicha obra y
cuntos aos de afanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen
martimo y asombra al mundo. Empieza por observar que los gemetras que le han
precedido han admitido con ligereza algunas proposiciones de los nuevos principios de
filosofa natural, y los corrige. Necesita ms conocimientos de mecnica que los que hay en
su poca y crea la mayor parte de la mecnica de los slidos. Corregido Newton, creada
as casi por completo la nueva ciencia, empieza a rehacer la ciencia antigua, y tiene queabandonar el camino seguido por sus predecesores. As llega, por fin, a frmulas que
concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigor de sus teoras crea otra
que, si bien carece de importancia prctica, la tiene muy grande para los que aprecian la
ciencia por la ciencia: esta es la teora de los voladores o cometas. La opinin del mundo
sabio se haba rebelado contra las conclusiones de todos les gemetras. Habla Jorge Juan
y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen seala a cada gemetra sus errores;
y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que, con su autoridad,
sostenan la de Newton. Levque traduce el Examen al francs y la Academia de Pars
obtiene del Gobierno el privilegio de la publicacin."
Despus de la obra de Jorge Juan aparecieron: los " Freyen Perspective " de Lambert,
Zurich, 1774; los " Elments de Gomtrie " de Legendre, Pars, 1794, y la " Geometria di
compasso " de Mascheroni, Pava, 1797; pero el progreso mximo de la Geometra
corresponde a los ltimos aos del siglo XVIII y primeros del XIX que llenan tres nombres,
franceses los tres, y los tres hijos de la Revolucin, que hacen brotar del viejo tronco
eucldeo sendas ramas nuevas: Gaspar Monge, varias veces ministro, que da al mundo la
Geometra Descriptiva; Lzaro Carnot, llamado con justicia el Organizador de la Victoria,
que funda la Geometra de la Posicin, y Vctor Poncelet, prisionero de los rusos en
Saratov, que crea la Geometra Proyectiva.
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Hablemos del primero, que tiene en otro compatriota y coetneo, Fourier, el complemento
de su vida.
Gaspar Monge naci en Beaune, Borgoa, el 10 de mayo de 1746, y fue hijo de un afilador,
hombre aficionado a la cultura, que quera que sus retoos llegaran a ocupar la posicin
social que a l le haba sido imposible. Se comprende, pues, la alegra del afilador cuando
Gaspar gan el primer premio en el colegio, al que siguieron despus otros muchos, lo que
le vali el honroso ttulo de puer aurcus , que fue el orgullo de su padre.
Apenas contaba catorce aos cuando invent una bomba de incendios. Sus conterrneos
quedaron maravillados del talento de aquel nio, que contestaba invariablemente a las
preguntas que le hacan sobre su invento: "He empleado dos medios infalibles: una
tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad
geomtrica", palabras que caracterizan el genio de Monge: la perseverancia y la habilidadmanual. La primera, de acuerdo con la concepcin goethiana, le condujo a dar una nueva
direccin a la Geometra, y la segunda le permiti ser ejemplo vivo de los obreros que
estuvieron a sus rdenes en uno de los momentos ms dramticos de la historia de
Francia.
A los diecisis aos levant el plano de Beaune, trabajo que fue el origen de su carrera.
Sus profesores, que dependen del Oratorio de Lyon, lo propusieron que ingresara en su
orden y le recomendaron para que explicara Fsica en el Colegio Central de la ciudad del
Rdano; pero el afilador aconsej a su hijo que no aceptara porque un oficial de Ingenieros
le haba indicado que su porvenir estaba en la Escuela Militar de Mezires, y all acudi el
joven Gaspar ignorando que su humilde origen slo le permitira entrar en la seccin
prctica, cuya ms importante misin era la de dfiler un Port con arreglo a laboriosos
mtodos tradicionales que Monge no tard en simplificar; pero su genio inventiva tropez
con la resistencia pasiva de sus superiores cuyo misonesmo les impeda aceptar
novedades.
Sin embargo, Monge era tenaz, y pudo, al fin, imponer sus procedimientos. Entonces le
nombraron profesor adjunto, previo juramento de no revelar su secreto.
Poco despus, cuando slo tena veintids aos de edad, realiz algunas investigaciones
sobre las propiedades infinitesimales de las curvas y superficies y present a la Academia
de Ciencias de Pars, el 11 de enero de 1771, una Mmoire sur les dveloppes, les rayons
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de courbure et les diffrents genres d'inflxions des courbes a doble courbure , que tiene
excepcional importancia tanto para la Geometra Analtica como para la teora de curvas
alabeadas, y fue nombrado profesor titular de la Escuela: primero de Matemtica y luego,
adems, de Fsica, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador.
Pero esto no le impeda acudir a salones y tertulias. Hijo de su siglo, Monge gustaba del
dilogo galante y de la conversacin literaria, haciendo compatible la rigidez de su
formacin cientfica con la flexibilidad de su espritu de mosquetero. En una recepcin oy
hablar en trminos poco correctos de una joven y bella viudita a cierto galn despachado,
y, nuevo Quijote, no slo defendi caballerescamente a la dama, de la que ignoraba hasta
el nombre, sino que pasando a vas de hecho dio una descomunal bofetada al galn. Era
inevitable el desafo, y Monge propuso que fuera a muerte nada menos; pero los padrinos
pudieron arreglar el asunto por medio de un acta y no se verific el duelo. Unos mesesdespus, en otra recepcin, le fue presentada una joven de veinte aos cuya singular
belleza le produjo honda impresin: el consabido flechazo tan a la orden del da en aquella
poca. La joven era la viudita quien haba defendido, y Monge le propuso, sin ms
prembulos, casarse inmediatamente. Ella le contest que tena que arreglar algunas
cuentas pendientes de su esposo antes de decidirse a contraer nuevo matrimonio, a lo que
Monge respondi: "No se preocupe por eso. Yo he resuelto muchos problemas ms
difciles". Y en efecto, se cas con ella.
Esto ocurra el ao 1777, cuando ya su nombre era conocido en los centros cientficos de
Pars. Sus trabajos sobre las ecuaciones en derivadas parciales utilizando originales
consideraciones geomtricas, haban llamado la atencin de los matemticos, y con razn
dijo Lagrange: "Avec son aplication de 1'Analyse la representation des surfaces, ce diable
d'homme sera immortel" Por entonces empez a bullir en su cerebro la idea de la que con
feliz neologismo llam Geometra Descriptiva; pero la rivalidad entre las Escuelas Militares
francesas del antiguo rgimen retras el conocimiento de sus mtodos.
Tres aos ms tarde, Condorcet y D'Alembert aconsejaban al Gobierno la fundacin de un
Instituto de Hidrulica en el Louvre, y Monge fue llamado a Pars con la obligacin de
residir la mitad del ao en la capital y la otra mitad en Mezires.
Y aqu termina la primera poca de la vida de Monge, poca dedicada a la enseanza y a
la gestacin de su obra inmortal.
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La segunda poca es dinmica y tumultuosa. Nacido del pueblo, Monge abraz con
entusiasmo los principios de la Revolucin; y cuando despus de la batalla de Valmy, 20 de
septiembre de 1792, que, al decir de Goethe, abri una nueva era en la Historia, qued
abolida la Monarqua e implantada la Repblica en Francia, la Asamblea Legislativa le
nombr ministro de Marina, cargo que desempe hasta el 13 de febrero de 1793 en que
dimiti porque creyeron que no era suficientemente radical; pero fue reelegido el 18 al
convencerse la Convencin de que quien iba a producir una revolucin en la Geometra era
un perfecto revolucionario en el sentido que daban a esta palabra los hombres del 89.
Fue un ministro incorruptible. No ignoraba que su cabeza poda caer en el cesto fatal, pero
nunca claudic ante los ignorantes ni ante los ineptos, y su encendida fe en los destinos de
Francia slo abrigaba un temor que las disensiones internas de su pas, que estaba,
adems, desarmado, facilitaran la ofensiva del extranjero y redujesen a la nada lasconquistas de la Revolucin.
Con perfecta acuidad poltica, Monge denunci el peligro; y cuando se produjo la ofensiva,
la Convencin le autoriz, con fecha 10 de abril de 1793, para poner en prctica sus ideas
salvadoras. La primera preocupacin de Monge fue abastecer los arsenales que no tenan
municiones para hacer a la situacin. El cobre y el estao para fabricar el bronce de los
caones y el salitre indispensable para la plvora eran de procedencia extranjera. "Dadme
salitre y en tres das cargar los caones", dijo Monge a la Convencin. Y de dnde lo
sacaremos?", preguntaron los convencionales. "De los stanos de las casas", respondi
Monge respaldado por Berthollet que, como todos los cientficos, se haba adherido a la
causa de la Revolucin.
Toda la nacin se puso en pie de guerra. Se moviliz un ejrcito de novecientos mil
hombres para defender el suelo francs y bajo la direccin de Monge, Francia se convirti
en una inmensa fbrica de material blico. Slo en Pars se establecieron doscientas
cincuenta y ocho fraguas y quince herreras que construan mil fusiles diarios, la fbrica de
Grenoble puso en prctica los mtodos de Berthollet y dio treinta mil libras de plvora
diarias y las fundiciones produjeron al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de
hierro colado al ao.
Con una actividad verdaderamente sobrehumana, puestos los ojos en un alto ideal
patritico, Monge inspeccionaba fbricas y arsenales, correga personalmente los errores
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cometidos por los obreros, y por la noche, en vez de entregarse a un bien merecido
descanso, redactaba circulares relativas a la manera de trabajar con la mxima eficacia en
un tiempo mnimo. Su boletn sobre El arte de construir caones , fue el breviario de todas
las fbricas y an hoy, despus de siglo y medio, todava se puede consultar con provecho.
Por una natural reaccin biolgica, la popularidad del gran matemtico trajo como
consecuencia la formacin de un grupo enemigo, Un da, al salir de su casa, su esposa oy
susurrar misteriosamente a las vecinas que Monge y Berthollet iban a ser denunciados.
Loca de terror corri a las Tulleras, donde encontr al gran qumico sentado
tranquilamente bajo los castaos. Berthollet, que era un ironista plcido y bonachn, le dijo
que, en efecto, la noticia era cierta, pero que tardara una semana en convertirse en
realidad, y con su habitual placidez agreg: "Dentro de unos ocho das su esposo y yo
seremos detenidos, interrogados, condenados y ejecutados."La bella viudita recasada, que ya era una noble matrona, hecha y perfecta, vio a su esposo
ante la barra, acusado de traidor a la patria, y, luego de una tempestuosa sesin, presidida
por jueces parciales, subira a la carreta trgica para que la hoja de la guillotina realizara la
mortal ablacin del cuello que tantas veces haba ella rodeado con sus brazos.
Cuando Monge, al llegar a su casa por la noche, la encontr convertida en un mar de
lgrimas y conoci la causa de su inmensa tristeza, le dijo sencillamente: "No saba nada
de eso. Lo nico que s es que mis fbricas marchan estupendamente."
Pero algo haba de verdad en el rumor, porque poco despus el "ciudadano Gaspar Monge
fue denunciado por su portero, lo que le oblig a ausentarse de Pars hasta que pasara la
tormenta, que, afortunadamente, dur poco, y cuyo final coincide con el principio de una
nueva etapa de su vida.
El 9 de brumario del ao II, 30 de octubre de 1793, "la Convencin Nacional, queriendo
acelerar la poca en que pudiera hacer extender de una manera uniforme en toda la
Repblica la instruccin necesaria a los ciudadanos franceses", cre la Escuela Normal, en
la que ingresaran "los ciudadanos ya instruidos en las ciencias tiles, para aprender, bajo
la direccin de los profesores ms hbiles, el arte de ensear".
Los alumnos eran designados por los municipios a razn de uno por cada veinte mil
habitantes; deban tener veinticinco aos cumplidos, y "unir a costumbres puras el ms
probado patriotismo". Cobraran, adems, un sueldo de mil doscientos francos anuales.
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La Convencin empezaba a poner en prctica el lema: "Despus del pan, la educacin es
la primera necesidad de un hombre", que fue la divisa de Danton, equivalente al "Despensa
y escuela" que Joaqun Costa haba de defender en la Espaa sin pulso de fines del siglo
XIX, despus del colapso del 98.
En nombre del Comit de Instruccin Pblica, Lakanal redact el reglamento interior de la
Escuela en que, adems de las lecciones magistrales, habra conferencias y discusiones
en las que tomaran parte maestros y discpulos.
Monge fue nombrado profesor de Matemtica y se autoriz para explicar pblicamente sus
nuevas concepciones que cristalizaron en la creacin de la Geometra Descriptiva, cuyo
tratado no public hasta el ao 1800. Aunque segn su autor, la nueva ciencia tena por
objeto " tirer la nation franaise de la dpendence o elle a t jusqu' prsent de l'industrie
trangre ", toda la obra tiene carcter cientfico puro.Los dos objetivos que persegua Monge, eran, segn sus propias palabras: "El primero, dar
mtodos par representar en una hoja de dibujo, que no tiene ms que dos dimensiones,
largo y ancho, todos los cuerpos del Naturaleza, que tienen tres: longitud, anchura y
profundidad, siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente. El segundo
objeto es proporcionar el medio de reconocer las formas de los cuerpos luego una
descripcin exacta, y deducir de aqu todas las verdades que resulten en su forma y en sus
posiciones respectivas. Adems, de igual modo que una vez planteado un problema el
Anlisis da procedimientos para resolver las ecuaciones y deducir los valores de cada
incgnita, en la Geometra Descriptiva existen mtodos generales para construir todo lo
que resulta de la forma y de la posicin de los cuerpos. Esta comparacin de la Geometra
Descriptiva con el lgebra no es gratuita, puesto que ambas ciencias estn en ntima
relacin. No hay ninguna construccin de Geometra Descriptiva que no tenga una
traduccin analtica, y cuando las cuestiones no tienen ms de tres incgnitas, cada
operacin se puede considerar como la escritura de un espectculo en Geometra. Sera de
desear que estas dos ciencias estudiasen simultneamente: la Geometra Descriptiva
llevara a las ms complicadas operaciones analticas la evidencia que las caracteriza y, a
su vez, el Anlisis llevara a la Geometra la generalidad que le es propia.
La idea de Monge, como todas las ideas geniales, es muy sencilla. Supongamos dos
planos: uno horizontal otro vertical, en ngulo recto, a la manera de un libro abierto
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apoyado contra una pared. Si imaginemos cuerpo, un cilindro, por ejemplo, para fijar las
idea y lo proyectarnos sobre los dos planos, tendremos, circulo sobre el horizontal y un
rectngulo, de igual anchura que el dimetro del crculo, sobre el vertical. Abatiendo ahora
este plano sobre aqul, resulta un solo plano, como el libro abierto sobre la mesa, y en l
las dos proyecciones, de dos dimensiones, del cilindro, que tiene tres.
Este es un mtodo descriptivo que permite representar sobre una hoja de papel los cuerpos
del mundo exterior, y basta un pequeo entrenamiento para leer en el plano con la misma
facilidad con que se lee una fotografa area. Claro es que la concepcin de Monge ha
tenido desarrollos posteriores, pero es el genial gemetra francs quien hizo progresar la
ingeniera militar, el dibujo de mquinas y los mtodos grficos de construccin, y quien dio
forma definitiva a la obra encentada por Vitrubio para la arquitectura en la Roma de
Augusto; por Alberto Durero para la pintura en la Alemania luterana y por el polifacticoLeonardo da Vinci para ambas artes en la Italia del Renacimiento.
A la creacin de la Escuela Normal sigui la Central de Trabajos Pblicos. El 21 de ventoso
ao II, 11 de marzo 1794, Barre pidi una Escuela de Ingenieros civiles y militares. El
decreto, redactado por Fourcroy, se promulg el 7 de vendimiarlo ao III, 28 de septiembre
1794, y la Escuela se inaugur el 10 de frimario, 30 de noviembre, y el 15 de fructidor
siguiente, 1 de septiembre 1795, recibi el nombre de Escuela Politcnica, que conserva
todava.
Deba tener cuatrocientos alumnos, elegidos por concurso, y los estudios duraban tres
cursos, cobrando los estudiantes mil doscientos francos anuales, como los de la Normal.
Monge fue encargado de organizar la Escuela y explicar Matemtica.
La Convencin, que haba modificado por completo el sistema poltico y social de Francia,
no poda negarse a aceptar innovaciones pedaggicas, y puede decirse que, a partir del
ao 1795, los mtodos de enseanza sufrieron una transformacin radical en manos de
Monge. Hasta entonces, el sabio propiamente dicho slo enseaba rara vez. Era un
hombre dedicado a la investigacin, mal vestido y peor alimentado, que, por regla general,
saba lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo saba; un hombre al
margen de todos los dems, que slo tena contacto con sus compaeros de tal o cual
sociedad cientfica, de las que empezaron a crearse a fines del siglo anterior, y que
publicaba el resultado de sus meditaciones en alguna de las revistas que ya se editaban y
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a las que se debe la iniciacin del intercambio intelectual que es hoy una necesidad
imperativa y slo era entonces un balbuceo.
Pero a partir de Monge, el sabio no profesor es una excepcin. Creci de manera
sorprendente el nmero de vocaciones cientficas y, en particular, las matemticas, y ms
en particular las geomtricas. Monge form una verdadera escuela de gemetras que
ilustran los nombres de Lacroix, Hachette, Dupin, Briachon y Gaultier de Tours, para no
citar ms que a sus discpulos inmediatos, quienes introdujeron en la Geometra mtodos
demostrativos que habran rechazado los antiguos como una licencia incompatible con su
concepcin matemtica del rigor, pero que en manos de los gemetras de la escuela de
Monge condujeron a resultados felices.
La Politcnica ejerci una influencia decisiva en la enseanza de la Matemtica, a pesar de
sus dos defectos originales: el sistema centralizador, caracterstica, por otra parte, de lapoltica francesa, que hizo crecer demasiado el nmero de alumnos, y el criterio de los
tribunales examinadores que juzgaban por las esperanzas de los candidatos, lo que trajo
como consecuencia ciertos lamentables fracasos, como el de Galois; pero hay que hacer a
la Convencin la justicia de declarar que no slo supo dirigir el patriotismo y la abnegacin
de los franceses del perodo revolucionario, sino que su a veces exagerada neofilia fue
fecunda en materia de pedagoga matemtica mediante la creacin de las escuelas Normal
y Politcnica en las que dej imborrable huella de len uno de los ms grandes gemetras
de la Historia.
No hay que olvidar tampoco al ya citado Lakanal, que fund las Escuelas Centrales cuyos
becarios ostentaban el ttulo de "Discpulos de la Patria", ni a Condorcet, que cre la
Sociedad Nacional de Ciencias y Artes, el 5 de fructidor del ao III, 22 de agosto 1795, lo
que le acarre no pocos disgustos y sinsabores una vez apagado el fermento
revolucionario.
Y llegamos ya al ltimo perodo de la vida de Monge, que empieza el ao 1796 con una
carta de Napolen en la que el militar deca al matemtico: "Permtame que le agradezca la
acogida que el ministro de Marina de 1792 dispens en cierta ocasin a un joven oficial de
Artillera, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el
general del Ejrcito de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga."
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Esa carta fue el origen de la amistad entre Monge y Napolen, amistad desinteresada por
parte de ambos, lo que no tiene nada de particular respecto de Monge, que era noble, pero
s respecto de Napolen, que era un ambicioso y nada sensible a los afectos. Comentando
esta amistad, el astrnomo Arago pone en boca de Bonaparte esta frase: "Monge me adora
como a una amante."
Napolen no olvid que Monge, siendo ministro de Marina, le haba ayudado en su carrera,
y su gratitud se tradujo por el nombramiento, juntamente con Berthollet, de comisario del
Directorio para seleccionar las obras de arte "regaladas" por los italianos como aportacin
voluntaria" para contribuir a los gastos de guerra. Estos regalos y aportaciones voluntarias
son eufemismos napolenicos que hoy no nos sorprenden. Comparado con los dictadores
actuales, Napolen resulta un ingenuo en el arte de desvalijar; pero tuvo en cuenta la
opinin de Monge cuando ste le aconsej moderacin.Al ao siguiente de su viaje a Italia como perito de arte, Monge hubo de hacer otro como
miembro de la comisin nombrada para depurar responsabilidades con motivo del
asesinato del general Duphot. A la comisin se le ocurri la "luminosa" idea de proponer el
establecimiento de una Repblica de tipo francs, a lo que se opuso sensatamente cierto
diplomtico diciendo que haba que poner un lmite a todo, incluso a los derechos de
conquista. Los hechos le dieron la razn ocho meses despus cuando, proclamada la
Repblica en Italia, se encontr en un aprieto Napolen, entonces en El Cairo, y con ,
Monge, que era una de las pocas personas que conocan el plan de invasin a Egipto.
Y en este momento entra en escena Fourier, el creador de la Fsica matemtica moderna,
con su Teora analtica del calor , obra calificada por lord Kelvin de gran poema
matemtico, a pesar de su evidente falta de rigor desde el punto de vista de la Matemtica
pura.
Jos Fourier haba nacido en Auxerre el 21 de mayo de 1768. Tena, pues, treinta aos
cuando conoci a Napolen personalmente. Siendo un nio de ocho aos muri su padre,
que era un modesto sastre, y el huerfanito fue recomendado al obispo de Auxerre por una
dama caritativa. El prelado lo intern en la Escuela Militar de la ciudad, que regentaban los
benedictinos, donde no tard en destacarse por su talento. A los doce aos escriba
sermones para los signatarios de la Iglesia, quienes se los aprendan de memoria y los
lanzaban desde el plpito como piezas oratorias originales.
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Los benedictinos le aconsejaron que ingresara en su orden, y Fourier, que saba que la
Escuela Militar no poda conceder el ttulo de oficial al hijo de un sastre, decidi meterse a
fraile, a cuyo efecto hizo el noviciado en la abada de Saint Benoit; pero antes de
pronunciar los votos estall la Revolucin y Fourier cambi la vida silenciosa de la celda
conventual por la vida agitada del Pars de 1789, decidido a tomar parte en las revueltas
callejeras y dedicarse a la Matemtica, ciencia con la que haba trabado conocimiento en la
Escuela Militar de Auxerre.
Su inclinacin natural le gui hacia el estudio de las ecuaciones numricas, y el 9 de
diciembre de aquel ao glorioso present a la Academia de Ciencias una memoria que
caus gran sensacin en el mundo matemtico, y fue nombrado alumno de la Escuela
Normal. All conoci a Monge y al poco tiempo lleg a "matre de confrences", pasando
luego a la Politcnica, donde afirm su amistad con el creador de la Geometra Descriptiva.El ao 1798 ambos fueron nombrados, con Berthollet, miembros de la Legin de Cultura
que Napolen llev consigo a Egipto "para tender una mano segura a los pueblos
desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de
hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilizacin europea", palabras que no son
de un poltico, sino de un astrnomo, Arago que explicaba, en 1883, las razones que
movieron a Napolen para llevar a cabo la campaa de Egipto.
La flota francesa, que se compona de quinientos barcos, lleg a Malta el 8 de junio, y tres
das despus los gruones tomaban la plaza, Como primera medida civilizadora, Monge
cre quince escuelas elementales y una Superior calcada sobre el molde de la Politcnica.
A los pocos das, el Oriente , que llevaba el pabelln napolenico y a cuyo bordo iban los
tres mosqueteros de la cultura europea: Monge, Fourier y Berthollet, zarp rumbo a Egipto.
Durante la travesa, Napolen trazaba todas las maanas el plan de la tertulia nocturna
para despus de cenar. Eran charlas de tipo cientfico y los asuntos que ms preocupaban
al corso y que someta constantemente a discusin eran: la edad de la Tierra, su posible
destruccin por el agua o por el fuego y la pluralidad de mundos habitados. Este ltimo
tema demuestra que los delirios de Napolen superaban a los de Alejandro. El capitn
macedonio soaba modestamente con conquistar el mundo entonces conocido, mientras
que Napolen haca planes subconscientes para invadir los planetas del sistema solar,
porque el globo terrqueo, incluida Amrica, de la que tambin pens aduearse, era
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pequeo para su ambicin teratolgica. Si viviera hoy dira que su espacio vital empezaba
en la Luna.
El 1 de julio lleg la flota francesa a Alejandra, y Monge, Fourier y Berthollet
desembarcaron inmediatamente, apercibindose a remontar el Nilo hasta El Cairo, lo que si
bien les impidi presenciar el asalto de la ciudad a los acordes de la Marsellesa, les puso a
cubierto de una posible emboscada. Napolen era previsor; pero un da se llev un susto
descomunal al or un formidable caoneo procedente del ro. Temiendo por la suerte de los
miembros de la Legin de Cultura, abandon el campo de batalla y corri al galope de su
caballo hacia el sitio de donde procedan los caonazos. El barco fluvial de los intelectuales
haba varado en un banco de arena y era objeto de un ataque. Monge serva la pieza como
un consumado artillero e intentaba rechazar en vano a los asaltantes, quienes, al divisar el
famoso sombrero bicorne de Napolen, se dieron a la fuga.Despus de la batalla de las Pirmides, 20 de julio, el ejrcito francs entr en El Cairo
cantando a grito pelado "Allons, enfants de la patrie", y los egipcios, que no entendan una
palabra, protestaban a su manera por la noche: rebanando todos los cuellos franceses que
podan, al amparo de la oscuridad.
Estos atentados preocupaban a Napolen; pero como le preocupaban ms las noticias de
Pars, decidi regresar secretamente a Francia con Monge y Berthollet, dejando a Fourier
en El Cairo para que continuara su labor cultural. El viaje de vuelta no fue tan agradable
como el de ida. Evidentemente, el corso haba desertado ante el enemigo y en vez de
pensar en invadir los planetas pensaba en su suerte si lo atrapaban los ingleses. Como
todos los dictadores que en el mundo han sido -y son- gustaba de los efectos teatrales y no
se resignaba a morir de una manera vulgar. Qu lejos estaba entonces de pensar que iba
a acabar vulgarmente en un peasco perdido en medio del Atlntico!
Encarg a Monge nada menos que hiciese volar el barco si era atacado por los ingleses.
Justamente al otro da apareci una silueta sospechosa en el horizonte y todo el mundo se
apercibi a rechazar el ataque; pero result que el barco era francs. Cuando se le pas el
susto, Napolen pregunt por Monge y grande fue su inquietud al no aparecer ste por
parte alguna. Luego de un minucioso registro, lo encontraron en el polvorn con una mecha
encendida en la mano, y cost no poco trabajo convencerle de que aquello era una
barbaridad.
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Monge y Berthollet llegaron a Pars en lamentable estado. No se haban mudado de ropa
durante toda la travesa. A Monge, en particular, no le conoci su portero -tan sucio iba!- y
se negaba a dejarlo entrar en su casa.
El 2 de enero de 1802 regres Fourier. Haba estado en El Cairo hasta que los franceses,
despus de Trafalgar, se convencieron de que era a los ingleses a quienes corresponda
civilizar a Egipto.
Fourier fue nombrado prefecto del Isre con residencia en Grenoble, donde tuvo que
resolver no pocos problemas de orden pblico. La regin estaba agitada por las cuestiones
religiosas que recientes descubrimientos arqueolgicos hacan incompatibles con la
cronologa bblica; pero Fourier consigui la tranquilidad desempolvando los huesos de un
to abuelo: el bienaventurado Pedro Fourier, y los grenobleses se olvidaron de la Biblia para
cantar alabanzas en loor de su coterrneo, tregua que aprovech Fourier para realizargrandes trabajos pblicos: la desecacin de las marismas, entre ellos, que beneficiaron al
departamento.
Durante su estancia en Grenoble redact la Teora analtica del calor, cuya primera
memoria present a la Academia de Ciencias el ao 1807, obteniendo tal xito que los
acadmicos propusieron este tema para el Gran Premio de 1812, al que concurri Fourier y
se lo llev, a pesar de las reservas que hicieron Laplace, Lagrange y Legendre sobre el
rigor de ciertas proposiciones.
En esto radica precisamente la diferencia entre el matemtico puro y el fsico-matemtico.
El matemtico puro, el matemtico a secas, slo dispone de las leyes de la Lgica como
garanta de sus descubrimientos, mientras que el fsico tiene al alcance de la mano la
realidad del Universo para comprobar experimentalmente las deducciones de aqul. El
matemtico se mueve en la serena regin del pensamiento, mientras que el fsico acta en
la regin tumultuosa del mundo exterior. El primero; se da por satisfecho cuando sus
teoremas no tienen contradicciones internas ni estn en oposicin con proposiciones ya
demostradas o admitidas, mientras que el segundo exige el acuerdo entre la teora y la
prctica, y cuando falla este acuerdo le vuelve la espalda a los teoremas "demostrados",
con gran indignacin del matemtico que quiere ver el Universo como un sistema de
ecuaciones diferenciales con arreglo a un fanatismo que hinca sus races en el
determinismo newtoniano, y para quien la falta de un parmetro en una frmula es tan
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irritante como la falta de un acento para un helenista en un texto de Platn; pero a veces se
da el caso -tal el de Fourier- de que, despreciando la meticulosidad lgica, el fsico
construye un monumento matemtico imperecedero.
La Fsica no toma una ecuacin como, por ejemplo, la de Laplace relativa al movimiento de
un fluido y la tira contra la cabeza del matemtico para que le d una solucin general, sino
que, las ms veces, le pide algo mucho ms difcil: una solucin particular que satisfaga
ciertas condiciones dependientes del problema que quiere resolver. Anloga a la aludida
ecuacin de Laplace es la que encontr Fourier para el movimiento trmico de un
conductor y, mediante sucesivas experimentaciones con varillas metlicas, cre la teora de
los valores-fronteras adaptando las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las
condiciones iniciales dadas, y demostrando que toda funcin fsica se puede desarrollar en
serie trigonomtrica bajo ciertas condiciones que, afortunadamente, no tienen importanciadesde el punto de vista prctico, y que toda curva peridica, sin ordenadas infinitas, es
descomponible en un cierto nmero de curvas armnicas de perodos conmensurables, lo
que dio origen al invento de las mquinas llamadas analizadores armnicos, que permiten
determinar mecnicamente las amplitudes correspondientes a los perodos necesarios para
construir una curva peridica dada.
El ao 1812, en que Fourier gan el Gran Premio de la Academia de Ciencias, anunciado
como el ao de la victoria, fue el de la retirada de Rusia. Monge no haba ido a la campaa
porque era demasiado viejo. Tena sesenta y seis aos, y cuando el famoso Boletn XXIX
anunci la derrota del ejrcito francs y su literatura fue como el canto de cisne del imperio
napolenico, Monge recibi tal impresin que sufri un ataque de apopleja. Su amor a
Francia era grande, como tambin era grande su afecto a Napolen, lo que no le impeda
decirle a veces verdades como puos. Por ejemplo: cuando Bonaparte se coron
emperador, los alumnos de la Escuela Politcnica promovieron un alboroto que lleg a
odos del flamante csar, quien se quej a Monge preguntndole si los politcnicos se
haban declarado enemigos suyos, y Monge le contest tranquilamente: "Es natural. Me
cost mucho trabajo hacerlos republicanos y, como usted ha cambiado de casaca tan
bruscamente, no he tenido tiempo todava de hacerlos imperialistas."
La amistad de Fourier, en cambio, se enfri, y Luis XVIII lo respet en el cargo de prefecto
del Isre. Por cierto que cuando el 19 de mayo de 1815 Napolen volvi de Elba, Fourier,
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que estaba en Grenoble, march a Lyon para prevenir al rey de lo que suceda y el rey, con
su borbnica cerrazn mental, no le hizo caso. La consecuencia es demasiado conocida
para recordarla. Lo que s diremos es que Fourier fue detenido y conducido a Bourgoin ante
Napolen, que consultaba un mapa con un comps en la mano en el momento en que
Fourier entr en su despacho.
-Qu hay, prefecto? -le dijo Napolen sin levantar la vista del mapa-. Me ha declarado
usted la guerra?
-Seor -respondi Fourier-, mi deber...
-Su deber? Es usted tan ciego que no ve que nadie comparte su opinin? Lo nico que
siento es que usted, un egipcio , un hombre que ha compartido conmigo el pan del vivac,
un viejo amigo, figure hoy en las filas de mis adversarios. Seguramente olvida lo que yo
hice por usted en El Cairo.Fourier no quiso recoger la ltima frase. Era demasiado bueno para recordar a Napolen su
huda.
Dos das despus ste volvi a llamarle para darle cuenta de su plan.
-Qu le parece? -le pregunt.
-Un disparate condenado al fracaso -le respondi Fourier sin inmutarse.
Y agreg:
-Se puede usted encontrar con un fantico que le desbarate sus proyectos.
-Los Borbones no cuentan ni siquiera con un fantico.
Y cambiando el tema de la conversacin, aadi:
-Ya habr ledo que me han declarado fuera de ley. Yo ser ms indulgente. Me limitar a
expulsarlos de las Tulleras.
Cuando, en efecto, volvi a instalarse en las Tulleras, Napolen, aparte de sus proyectos
blicos, empez a preocuparse de la cultura con ms intensidad que antes. Al fin y al cabo
era hijo del siglo XVIII y discpulo de la Enciclopedia, y, con su natural visin de la realidad,
comprendi que los idelogos vencidos el 18 de brumarlo empezaban a dar seales de
descontento.
Era ya demasiada la sangre vertida y Francia se vea complicada en nuevas guerras. Los
esfuerzos militares afectaban profundamente la economa nacional, y aunque el bloqueo
aduanero y la exclusin de las manufacturas inglesas favorecan la industria francesa,
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hasta el punto de que en Italia slo se permita la importacin de productos textiles
fabricados en Francia, la patria de Watt segua siendo insustituible, gracias al maquinismo
que haba tomado formidable impulso en Inglaterra en el ltimo tercio del siglo XVIII.
En Francia faltaban especialmente el algodn y los productos coloniales: especias, caf y,
sobre todo, azcar. Por cierto que la falta de azcar dio origen a una nueva industria. La
Qumica haba descubierto la existencia de azcar en la remolacha, y dos alemanes,
Marggraff y Achard, consiguieron extraerla; Napolen, que careca de escrpulos, se
aprovech de este descubrimiento.
Por aquellos das empez la decidida proteccin a los sabios. Humboldt, Volta, Ampre,
Gay-Lussac y otros supieron de su liberalidad, y alguno tambin de su ingratitud.
En materia de enseanza reorganiz las escuelas Normal y Politcnica, dndoles un
acentuado matiz uniforme, centralista y utilitario. Napolen slo consideraba la Ciencia porsus aplicaciones prcticas y siempre prefiri las escuelas profesionales a las universidades,
porque ignoraba que las ideas son tanto ms fecundas cuanto ms abstractas y que los
grandes progresos industriales se gestan en el silencio fecundo del laboratorio.
Los ltimos aos de Fourier fueron tristes. De su estancia en Egipto sac la peregrina
consecuencia de que el calor del desierto es condicin indispensable para la salud y se
fajaba y forraba como una momia. En su casa haca siempre un insoportable calor de
horno.
Durante la segunda Restauracin tuvo que vender sus muebles para mal comer, pero su
situacin econmica mejor un poco cuando sus amigos consiguieron para l la direccin
de la Oficina de Estadstica del Sena.
La Academia de Ciencias lo llam a su seno en 1816 y los Borbones no le dejaron sentarse
en el codiciado silln; pero fue reelegido al ao siguiente, y desde el de 1822 desempe el
cargo de secretario perpetuo hasta su muerte, acaecida en Pars el 16 de mayo de 1830 a
consecuencia de un ataque cardaco, en los momentos en que correga las pruebas de
imprenta de su obra sobre ecuaciones numricas, fruto de cuarenta aos de estudios y
meditaciones.
El final de Monge fue ms lento. Aunque apenas se le vea, retirado casi siempre en su
casa de campo, no dej de ejercer influencia sobre Napolen, a quien sigui admirando -no
as Fourier- despus de Waterloo.
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La primera Restauracin produjo en su imperial amigo un hondo sentimiento de rencor
hacia los que haban cambiado de ideario poltico; pero atendi a los sentimientos de
piedad que le invoc Monge, cuya doble carrera de revolucionario y de favorito de
Napolen hizo de su cabeza, en el final de su vida, un objeto codiciado por los Borbones, lo
que le oblig a cambiar de domicilio varias veces para huir de los esbirros que lo
perseguan.
He aludido antes a la idea napolenica de conquistar Amrica, punto en que parecen estar
de acuerdo todos los historiadores. Sin embargo, la referencia de Monge difiere. Su
intimidad con Napolen le presta caracteres de verosimilitud.
Segn Monge, adems de sus ambiciones de conquistador, Bonaparte tena ambiciones
cientficas. Quera ser un segundo Humboldt.
-Voy a empezar una nueva etapa en mi vida -le dijo en una ocasin, poco antes deWaterloo- y quiero dejar obras y descubrimientos dignos de m, para lo cual necesito una
persona que primero me ponga al corriente del estado actual de la Ciencia y sea luego mi
compaero de viaje al Nuevo Mundo. Ambos recorreremos toda Amrica, desde Alaska al
cabo de Hornos para estudiar su fauna y su flora, as como los prodigiosos fenmenos de
la Fsica terrestre acerca de los cuales no han dicho todava su ltima palabra los
cientficos.
-Yo ser ese compaero -repuso Monge que tena ya cerca de setenta aos.
-Usted es demasiado viejo. Necesito un hombre joven.
Monge pens en Arago; pero los ingleses interrumpieron las negociaciones metiendo a
Napolen en el Belerophon y mandndolo a Santa Elena.
El gran gemetra muri el 28 de julio de 1818, causando gran consternacin en el mundo
cientfico. Los politcnicos pidieron permiso para asistir a su entierro; pero el rencoroso
Borbn que detentaba entonces el trono de San Luis, lo neg. Al da siguiente los
estudiantes acudieron en masa al cementerio, y sobre la tumba del maestro depositaron
una corona de rosas rojas, como a sangre de quien nunca reneg de ser un humilde hijo
del pueblo.
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2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no
Olmpicas.
A continuacin brindamos la solucin de los 30 ejercicios propuestos en la columna
Problemas de Competencias no Olmpicas de la edicin anterior.
Les recordamos que la forma de resolver cada ejercicio no necesariamente es la
nica, as que invitamos al estimable lector a enviarnos sus soluciones a los mismos.
LGEBRA.
1. Hallar todas las soluciones reales de la ecuacin
280616212252183222 ++=+++ xxxxxx
(High School Problems, 2000)
SOLUCIN (de Edward T.H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario y Lino
Demasi, estudiante del Saint Ignatius High School, Thunder Bay, Ontario)Notemos que, completando cuadrados, tenemos
3x2 18x + 52 = 3(x 3)2 + 25,
2x2 12x + 162 = 2(x 3)2 + 144,
x2 + 6x + 280 = (x 3)2 + 289.
De aqu que, el miembro izquierdo es al menos 1712514425 =+=+ y el miembro
derecho es a lo sumo 17289 = de donde x = 3 es la nica solucin.
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2. Determine todos los primos p para los cuales el sistema
p + 1 = 2x2
p2 + 1 = 2y2
tiene una solucin en los enteros x, y.
(Bundeswettbewerb Mathematik, Alemania, Primera Ronda, 1997)
SOLUCIN (Oficial):
Podemos asumir que y > x 2; p > y. Restando las ecuaciones dadas, tenemos:
p(p 1) = 2(y + x)(y x).
Se sigue que p > y x; 2p > y + x, por lo anterior p = x + y; p 1 = 2(y x). Eliminando y de
estas ltimas ecuaciones, tenemos p + 1 = 4x 4x = 2x2 x = 2 p = 7. Es fcil verificar
que 7 satisface las condiciones del enunciado.
3. Resuelva para enteros x, y la ecuacin 6(x! + 3) = y2 + 5.
(High School Problems, 2000)
SOLUCIN (Oficial):
La ecuacin dada implica que 6x! + 13 = y2. Claramente x 0. Si x 5, entonces
x! 0 (md 5), implica que y2 = 6x! + 13 3 (md 5). Pero los cuadrados mdulo 5 son 0, 1,
4, as x 4.
Si x = 0 1, entonces y2 = 19, no teniendo soluciones enteras la ecuacin dada.
Si x = 2, entonces y2 = 25, obteniendo (x, y) = (2, 5).
Si x = 3, entonces y2 = 49, obteniendo (x, y) = (3, 7).
Si x = 4, entonces y2
= 157, no teniendo soluciones enteras la ecuacin dada.As, las cuatro soluciones enteras son (x, y) = (2, 5) y (3, 7).
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4. Dado que x2 + y2 = 28, xy = 14, determine el valor de x2 y2.
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,
2000)
SOLUCIN (de Herberth Wilson, Profesor del Liceo Nuevo de Limn, Limn, Costa Rica):
Si 142822 ==+ xyyx . Entonces 2822822 ==+ xyyx
Tenemos que:
( )
yxyx
yx
yxyx
xyyx
xyyx
==
=
=+
=+
=+
0
0
02
02
2
2
22
22
22
De esta manera
022
22
=
=
=
yx
yx
yx
5. Cul es el mayor nmero triangular que es menor que 500?
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,
2000)
SOLUCIN (Oficial):
Recordemos que los nmeros triangulares son de la forma2
)1( +nndonde n es un
nmero natural. As, debemos encontrar el mayor entero n tal que 5002
)1(
+nno sea
.1000)1( +nn Desde que 322 = 1032 se tiene que n < 32. Chequeando n= 31 hallamos
31 32 = 992 y as el nmero triangular buscado es 496.
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6. Una operacin * est definida como A * B = AB BA . Determine el valor de 2 * (1).
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,
2000)
SOLUCIN (Oficial):
De acuerdo con la definicin de la operacin *, tenemos
2 * (1) = 2 1 (1)2 = 1/2 1 = 1/2.
7. Pruebe que para cualesquiera nmeros reales :,,, dcba
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,
2000)
SOLUCIN (Oficial):
(a) Consideremos la diferencia bc ad. Claramente (bc ad)2 0. Desarrollando el
miembro izquierdo de la desigualdad tenemos b2c2 2abcd + a2d2 0 y de aqu es
fcil obtener 2abcd b2c2+ a2d2.
(b) Podemos usar el razonamiento de la parte (a) para probar la parte (b). Siendo a,b,
cy dnmeros reales arbitrarios obtenemos
2abcd b2c2+ a2d2.
2abdc b2d2+ a2c2.
2adcb c2d2+ a2b2.
Y, sumando miembro a miembro, estas desigualdades obtenemos
6abcd a2b + a2c2+ a2d2+b2c2+ b2d2+ c2d2.
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8. Determine todas las soluciones de la ecuacin
(Murrays Quickies de la revista Crux Mathematicorum, 1995)
SOLUCIN (Oficial):
Desde que la ecuacin puede ser escrita como (x 1)5 = 32(x + 1)5,
.4,3,2,1,0,21
1==
+
rwx
x r
donde w es una de las cinco races de la unidad. Con lo cual
.4,3,2,1,0,
21
21=
+= r
w
wx
r
r
9. Cuntos nmeros de seis dgitos que son cuadrados perfectos tienen la propiedad de
que al sumarles una unidad a cada uno de sus dgitos el nmero resultante es tambin un
cuadrado perfecto ?
(Murrays Quickies de la revista Crux Mathematicorum, 1997)
SOLUCIN (Oficial):
Si el cuadrado perfecto de seis dgitos est dado por
m2 = a 105 + b 104 + ca 103 + d 102 + e 10+ f,
entonces
n2 = (a + 1) 105 + (b + 1) 104 + (c + 1) 103 + (d + 1) 102 + (e + 1) 10+ (f + 1).
Entonces
n + m = di y n m = 111 111/ di
donde di es uno de los divisor de 111 111. Desde que 111 111 es un producto de cinco
nmeros primos, este tiene 32 divisores positivos diferentes. Pero di > 111 111/ di por lo
que tenemos al menos 16 soluciones de la forma m = (d i 111 111/ di) / 2. Como m2 es un
nmero de seis dgitos, tenemos que 632,46 200 10 < 2m < 2 000.
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Chequeando los varios divisores, vemos que existen cuatro soluciones. Una de ellas
corresponde a di = 3 13 17 = 1 443 as que m = (1 443 7 11) / 2 = 683 y m2 = 466 489.
Entonces, 466 489 + 111 111 = 577 600 = 7602. Los otros son dados por la tabla
di m m2 n2 n
3 7 37 = 777 317 100 489 211 600 460
3 11 37 = 1 221 565 319 225 430 336 656
7 11 13 = 1 001 445 198 025 309 136 556
10. La suma de tres enteros a, b y c es cero. Pruebe que 2a 4 + 2b4 + 2c4 es el cuadrado de
un entero.
(XXXIX Republic Competition of Mathematics in Macedonia, Class I, 1999)SOLUCIN (Andrei Simion, estudiante, Brooklyn Technical High School, New York):
Sea p(x) = x3 + sx2 + qx + r un polinomio de grado tres cuyas races son a, b y c. De
acuerdo a los Teoremas de Vite s = -(a + b + c) = 0. Entonces
a3 + qa + r = 0.
b3 + qb + r = 0.
c3 + qc + r = 0.
Multiplicando cada una de estas ltimas ecuaciones por 2, 2b y 2c, respectivamente, ysumndolas tenemos:
2a4 + 2b4 + 2c4 + 2q(a2 + b2 + c2 ) = 0
(el trmino con r desaparece desde que a + b + c = 0). Como,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 2(ab + bc + ac) = 2q
se tiene
2a4 + 2b4 + 2c4 4q2 = 0
y2a4 + 2b4 + 2c4 = (2q)2
y, as, lo hemos probado.
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GEOMETRA.
1. Calcule la diagonal AC del siguiente paralelogramo
donde el paralelogramo est formado por cuatro tringulos equilteros de lado 1.
(Concurso Regional de Mxico, 1993)
SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):
Al ser los tringulos equilteros se tiene que ADC = 120, AD = 2 y DC = 1. Luego,
aplicando la ley de cosenos al tringulo ADC obtenemos
AC2 = AD2 + DC2 2 AD DC cos ADC
de donde concluimos que AC = 7 .
2. El permetro de un rectngulo es 56 metros. La razn de su largo al ancho es 4 : 3.
Determine la longitud, en metros, de una de las diagonales del rectngulo.
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,
2000)
SOLUCIN (Oficial):
Sean a y b las longitudes del largo y ancho (en metros) del rectngulo. Como su permetro
es 56, tenemos 2a + 2b = 56 o bien a + b = 28. Tambin tenemos que a : b = 4 : 3 o bien
a = 4b/3. Haciendo la sustitucin correspondiente en la primera ecuacin tenemos
4b/3 + b = 28 de donde b = 12 y, en consecuencia a = 16. Aplicando el teorema de
Pitgoras la longitud de la diagonal es 20.
B 1 C
1
A D
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3. En el interior de un cuadrado r, cuatro cuartos crculos son dibujados, con radios r y
centrados en los vrtices del cuadrado. Como se indica en la figura siguiente.
Determine el rea de la regin sombreada.
(Maritimes Mathematics Competition, 1999)
I SOLUCIN (de Richard Tod, The Royal Forest of Dean, Gloucestershire, Inglaterra):Consideremos la figura siguiente
en donde c representa el rea sombreada, a y b representan las reas de fuera del reasombreada.
Desde que el rea del cuadrado es 2r tenemos
.44 2rcba =++ (1)
Considere el cuarto de crculo ABC. ste tiene un rea de .4
2r
As, tenemos
.432
2r
cba
=++ (2)
Considere el tringulo equiltero ABP cuya rea es .4
32
r
Considere la sexta parte del crculo ABP cuya rea es .4
2r
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La diferencia es .4
3
6
2r
Necesitamos el doble de esta diferencia y tenemos
.2
3
32
2rcba
=++
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3) se tiene
.3
333 2rc
+=
II SOLUCIN (Catherine Shevlin, Wallsend, Inglaterra)
Sea el origen de coordenadas el centro del cuadrado de lado 1. Entonces el cuarto de
crculo DBP tiene ecuacin
As, el rea general es
Esto es
Simplificando, obtenemos
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4. Un arbelos consiste de tres arcos semicirculares como muestra la figura:
Un crculo es colocado en el interior del arbelos tal que es tangente a los tres semicrculos.
Suponga que los radios de los dos menores semicrculos son a y b, y que el radio del
crculo es r. Asumiendo que a > b > r y que a, b y r estn en progresin aritmtica, calcule
a / b.
(Maritimes Mathematics Competition, 1999)
SOLUCIN (Catherine Shevlin, Wallsend, Inglaterra)
El radio del semicrculo mayor es a + b. As, el centro del semicrculo mayor est a unadistancia a y b de los centros de los semicrculos menores como se muestra en la figura
anterior.
Aplicando la ley de cosenos a dos tringulos, tenemos
Eliminando cos , y resolviendo para r, tenemos
Si a,b y r estn en progresin geomtrica, tenemos
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o, equivalentemente
Haciendo x = a / b tenemos
As, .23=b
a
5. Propuesto por Toshio Seimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista Crux
Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.
Dado el tringulo ABC con BAC = 90. El incrculo del tringulo ABC interseca a BC
en D. Sean E y F los pies de las perpendiculares desde D a AB y AC respectivamente. Sea
H el pie de la perpendicular desde A a BC. Prueba que el rea del rectngulo AEDF es
igual a AH2 / 2.
I SOLUCIN: (de Dimitar Mitkov Kunchev, estudiante, Baba Tonka School of Mathematics,
Rousse, Bulgaria):
Sea .,, aBCbACcAB === Entonces, si s es el semipermetro del ABC tenemos
2
cbacsCD
+== y .
2
bcacsDB
+== Desde que los tringulos EBD y
ABC son semejantes, tenemos que ,2 a
bbcaED
BC
BD
AC
ED
+== y usando la
semejanza entre los tringulos FDC y ,ABC obtenemos similarmente
.
2 a
ccbaFD
+= Si denotamos por S el rea del rectngulo ,AEDF entonces
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( )( ) ( )
.22
14
24
2
44
22
2
22
2
222
2
22
2
AHabc
acbbc
ababca
bca
bca
a
bccbabcaFDEDS
=
==+=
=
++==
Hemos usado el teorema de Pitgoras y la frmula de la altura en un tringulo rectngulo:
.a
bcAH=
II SOLUCIN (de Vclav Konen, Ferris State University, Big Rapad, MI, USA):
Sea r el inradio del tringulo .ABC De la figura:
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) .coscoscos1
cos22cos2cos12
2
cos1
2
45cos2
2
2
222
2222
AEEDrsenBrBrrBsenBsenBBr
BsenBsenBBBsenBr
senBBrBrrAH
=++=+++=
+++++=
++=
+=
o
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6. Propuesto por Vedula N. Murty, Visakhapatnam, India. Tomado de la revista Crux
Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.
Si los ngulos A, B, C del tringulo ABC satisface cos A sen (A/2) = sen (B /2)sen (C/2)
pruebe que el tringulo ABC es issceles.
SOLUCIN (de Murray Seymur Klamkin (fallecido el 6 de agosto de 2004), University of
Alberta, Edmonton, Alberta)
Sustituya C por ( )BA + para obtener
+=2222
cosBA
senB
senA
senA
o
bien .2
cos22
cos
+=BAB
senA
senA
Esta ltima ecuacin podemos rescribirla como
+
+=
+
+2222
AsenB
AsenA
AsenA
Asen
o bien
+=
B
Asen
Asen
22
3de donde B
AA+=
22
3o .
22
3=++ B
AA
En el primer caso BA = y en el segundo .CA =
7. Pruebe que en cualquier tringulo acutngulo ABC,
Cot A + cot B + cot C = ,4
222
k
cba ++
donde k es el rea del tringulo ABC.
(J.I.R. MC Knight Problems Contest 1986)
SOLUCIN (de Vedula N. Murty, Dover, PA, USA) :
Usaremos las siguientes frmulas conocidas ,2
,
2
cos222
R
asenA
bc
acbA =
+= donde R
es el circunradio del tringulo ABC, y .4R
abck= De aqu, obtenemos
).cot
222
abc
acbRA
+=
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Usando esta ecuacin y las ecuaciones semejantes para Bcot y ,cotC tenemos
cot A + cot B + cot C = .4
222
k
cba ++
8. Sea ABC un tringulo y D un punto sobre el lado BC. Si P es punto sobre AD,
demuestra que la razn entre las reas de los tringulos ABCy PBCes igual a la razn
entre los segmentos ADy PD.
(Material de Capacitacin a docentes de Limn, Costa Rica, 2008)
SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):
Consideremos la siguiente figura
A C
B
D
P
Notemos que los tringulos ABDyBPDcomparten la misma altura trazada desde Be
igual sucede con los tringulos ADCyPDC yla altura trazada desde C. Sean 1h y 2h
dichas alturas entonces
( )( ) PD
AD
hhPD
hhAD
hPDhPD
hADhAD
PDCPBD
ADCABD
PBC
ABC=
+
+=
+
+
=++
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)()(
)()(
1
1
1
1
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9. Muestre que la mediana ma es la media geomtrica de b y c si y slo si a = 2 b c.
(Material de Capacitacin a docentes de Limn, Costa Rica, 2008)
SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):
( ) .22242422
4
22
2
22
22222222
222222
acbacbacbcbbcacb
bcacbbcacbbcma
===+=+
=+=+=
10. Sea ABCun tringulo tal que BAC = 2 ABC. Sean a= BC, b= ACy c= AB.
Demuestra que a2 = b(b + c).
(Material de Capacitacin a docentes de Limn, Costa Rica, 2008)
SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):
Sea ABC = entonces BAC = 2. Aplicando la Ley de Senos sen
b
sen
a=
2de
donde, al simplificar la expresin, se obtiene .2
cosb
a= Aplicando la Ley de Cosenos se
tiene
2cos2222 += bccba que es equivalente a
1cos22 2222 += bccba
+= 12
22
2222
b
abccba
+= 1422 2
2
222b
abccba
+= 1
22
2
2222
b
abccba
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bcb
cacba 2
2222 ++=
bccb
b
caa 222
22 ++=+
bccbb
ca 21
222 ++=
+
( )22 cbb
cba +=
+
( )cbba += 2
11. LMNO es un cuadrado. P es un punto en el interior del cuadrado tal que NOP es un
tringulo equiltero. Cunto mide el ngulo PMN ?
(Nat West U K Junior Mathematical Challenge, 1994)
SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):
Consideremos la siguiente figura:
M
L
N
O
P
Como NOP es equiltero entonces PNM = 30. Al ser PN = MN entonces el tringulo
MNP es issceles y, finalmente, PMN = 75.
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TEORA DE NMEROS.
1. Pruebe que dos nmeros consecutivos cualesquiera son primos relativos.
( CEOC, 1991 )
SOLUCIN (Oficial):
Sean n y n + 1 dos nmeros consecutivos cualesquiera, se debe probar que ( n, n + 1 ) = 1.
En efecto, por el algoritmo de Euclides tenemos
n + 1 = n 1 + 1
n = 1 n + 0
Luego, ( n + 1, n ) = 1.
2. Propuesto por Paul Yiu, Florida Atlantic University, Boca Ratn, Florida. Tomado de la
revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.
Suponga que un tringulo de lados enteros contiene un ngulo de 120, los dos lados que
le forman difieren en una unidad. Pruebe que la longitud del mayor lado es la suma de dos
cuadrados consecutivos.
SOLUCIN (de Jeremy Young, estudiante, Nottingham High School, Nottingham, Reino
Unido):
Sea b la longitud del lado opuesto al ngulo de medida 120, y sean a y a + 1 las longitudes
de los otros lados. Aplicando la Ley de Cosenos tenemos: b2 = 3a2 + 3a + 1 o bien,
3(2b + 1)(2b 1) = (6a + 3)2. Como 2b + 1 y 2b 1 son corrimos, existen enteros m, n tales
que
2b + 1 = m2, 2b 1 = 3n2 (1)
o bien
2b + 1 = 3m2
, 2b 1 = n2
(2)Si (1), entonces m2 3n2 = 2, lo cual es imposible en mdulo 3. Por tanto, debe cumplirse
(2) y as b = (n2 + 1) / 2. Como b es un entero entonces n es impar. Luego, podemos
expresar ,2
1
2
122
++
=nn
b la cual es una suma de cuadrados consecutivos.
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3. Propuesto por Zun Shan y Edward T. H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo,
Ontario. Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.
Es bien conocido y fcil de probar que el producto de cuatro enteros consecutivos ms uno
siempre es un cuadrado perfecto. Tambin es fcil de probar que el producto de
cualesquiera dos nmeros enteros positivos consecutivos ms uno nunca es un cuadrado
perfecto. Ahora, note que 2 3 4 + 1 = 52 y 4 5 6 + 1 = 112.
(a) Halle otro nmero natural n tal que n(n + 1)(n + 2) + 1 es un cuadrado perfecto.
(b) Existirn otros nmeros?
SOLUCIN (de Michael Lambrou, Universidad de Creta, Creta, Grecia):
En el artculo de D.W. Boyd y H. H. Kisilevsky: La ecuacin Diofntica
u(u + 1)(u + 2)(u + 3) = v(v + 1)(v + 2), publicado en Pacific Journal of Mathematics, vol. 40,
1972, pp 23 32, existe una completa y no elemental solucin de la mencionada ecuacin.Ahora, en el presente problema se requiere resolver la ecuacin v(v + 1)(v +2) + 1 = m2.
Haciendo m 1 = u(u + 3) se tiene m + 1 = (u + 1)(u + 2), hemos reducido a la ecuacin
resuelta en Boyd y Kisilevsky. As, de ese artculo, la otra nica solucin es
(v, m) = (55, 419). Esto responde a ambas partes (a) y (b).
4. Determine el nmero entero de dos dgitos tal que la diferencia entre l y el producto de
sus dgitos es 12.(The Alberta High School Mathematics Competition, Part I, November 16, 1999)
SOLUCIN (Oficial):
Sean x, y los dos dgitos del nmero buscado entonces, de acuerdo al enunciado, se tiene
10x + y xy = 12, o bien (x 1)(10 y) = 2 cuyas soluciones son (2, 8) y (3, 9) as que
tenemos dos nmeros que satisfacen las condiciones: 28 y 39.
5. En la ecuacin cuadrtica x2 14x + k = 0, k es un entero positivo. Las races de la
ecuacin son dos diferentes nmeros primos ., qp Determine el valor de .p
q
q
p +
(The Alberta High School Mathematics Competition, Part I, November 16, 1999)
SOLUCIN (Oficial):
Tenemos que p + q = 14 por lo que uno de ellos es 3 y el otro es 11. Luego, la suma
buscada es 133/33.
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FUNCIONES O SUCESIONES.
1. Propuesto por M. Selby, University of Windsor. Tomado de la revista Crux
Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 1991.
Sea ( ) ,347 nnA += donde n es un entero positivo. Halle una expresin simple para
[ ] ,1 nn AA + donde [ ]x es el mayor entero menor o igual que .x
SOLUCIN (de Guo-Gang Gao, estudiante, Universit de Montral)
Si ( ) 3322
nn
n
ba +=+ donde na y nb son enteros entonces ( ) 3322
nn
n
ba =
de donde resulta que ( ) ( ) nn 22 3232 ++ es un entero. Como ( ) ,132 2
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2. Propuesto por Ray Killgrove y Robert Sternfeld, Indiana State University, Terre Haute.
Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 1991.
Una traslacin g de una funcin f es una funcin g(x) = f(x + a) para alguna constante a.
Suponga que una traslacin de una funcin f: IR IR es impar y otra traslacin es par.
Pruebe que f es peridica. Es verdadero el recproco?
SOLUCIN (de Saint Olaf Problem Solving Group, Saint Olaf College, Northfield,
Minnesota):
Sabemos que existen a y b tales que para todo x, f(x + a) = f(x + a) y f(x + b) = f(x + b).
Esto implica que f(2a + x) = f(x) y f(2b + x) = f(x). As,
f(x +4(a b)) = f(2a + (x + 2a 4b)) = f(4b x 2a) = f(2a + x 2b) = f(2b x) = f(x) con
lo que f(x) tiene periodo 4(a b). Si a = b, entonces f(x + a) = f(a x) = f(a +x) lo cual
implica que f(x) es la funcin cero.
El recproco es falso. La funcin f(x) = x - [x] es un contraejemplo.
3. Pruebe que f(x) = sen2(x + ) + sen2(x + ) 2cos( )sen(x + )sen(x + ) es una
funcin constante de x.
(Sciences Annual Mathematics Competition, 1999)
SOLUCIN (de Edward T. H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario)
Derivando y utilizando la conocida frmula ,22
2
+=+ba
senba
senbsenasen
tenemos
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
+++++
+++=
xsenxxxsen
xsenxsenxf
coscoscos2
22)(,
( ) ( ) )2(cos2cos)2(2 ++= xsenxsen = 0
Al ser la primera derivada igual a cero se concluye que la funcin es constante. Adems,
como )()( 2 = senf concluimos que )()( 2 = senxf
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4. Una funcin real de variable real f est definida para enteros positivos, y un entero
positivo a satisface: f(a) = f(1995), f(a + 1) = f(1996), f(a + 2) = f(1997), f(n + a) =1)(
1)(
+
nf
nf
para cualquier entero positivo.n
(a) Pruebe que f(n + 4a) = f(n) para cualquier entero positivo .n
(b) Determine el menor valor posible de a.
(10th Nordic Mathematical Contest)
SOLUCIN (Mohammed Aassila, Estrasburgo, Francia):
a. de1)(
1)()(
+
=+nf
nfanf deducimos que
)(
1
11)(
1)(
11)(
1)(
))(()2(nf
nf
nf
nf
nf
aanfanf =+
+
+
=++=+
y
).()2(
1)2)2(()4( nf
anfaanfanf =
+=++=+
(b) El menor valor de a es 3. En efecto, si a = 1 se tendra
)1(
1)3()44983()1995()()1(
ffaffaff ==+===
de donde [ ] 1)1( 2 =f lo cual es imposible.
Si a = 2, entonces
1)2(1)2()2()4()42494()1996(
)1()3()42493()1995()()2(
+=+==+==
+==+===
ffaffaff
affaffaff
de donde [ ] 1)2( 2 =f lo cual es imposible.
Si a = 3, por construccin tenemos1)(
1)()3()(
+
=+=+nf
nfnfanf y, por (a)
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),()4()12( nfanfnf =+=+ con lo que
),1995()121663()3()( fffaf =+==
),1996()121664()4()1( fffaf =+==+
),1997()121665()5()2( fffaf =+==+ como se requera.
5. En cierta fiesta, la primera vez que la campana de la puerta son un invitado lleg. En
cada siguiente campanada dos invitados ms llegaban que en la campanada anterior.
Cuntos invitados haban llegado a la fiesta despus de 20 campanadas?
(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,2000)
SOLUCIN (Oficial):
Sea an el nmero de personas que llegaron en la nava campanada. Entonces an = 2n 1.
Sea bn el nmero de personas que haban llegado despus de la nava campanada.
Entonces tenemos
b1 = 1
b n + 1 = bn + an + 1 = bn + 2n + 1 para todo n 1, es decir b n + 1 bn = bn + 2n + 1
De donde, al escribir los primeros 20 obtenemos
b1 = 1
b2 b1 = 3
b3 b2 = 5
b20 b19 = 39
Cuando efectuamos la suma de estas igualdades, miembro a miembro, obtenemosb20 = 1 + 3 + 5 + + 39 = 400
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3. Problemas de Competencias no Olmpicas.
Esta columna consistir en 30 ejercicios propuestos que se separarn por categoras(lgebra, Geometra, Teora de Nmeros y Funciones o Sucesiones) y de menor a mayor
nivel de dificultad. Es importante destacar que el nivel de dificultaden que se ordenarn
los ejercicios de cada categora es valorado por nosotros (los editores) de acuerdo a
criterios establecidos pero ello no significa que esta valoracin pueda ser diferente para el
estimable lector.
Por otro lado, la solucin de los mismos se presentar hasta la prxima edicin conla finalidad de que nuestros lectores participen activamente envindonos soluciones y / o
comentarios que puedan enriquecer la discusin de cada ejercicio. Sin embargo, de no
darse esa participacin en algunos ejercicios, se publicar, al menos, una solucin oficial
brindada por los encargados de esta seccin.
LGEBRA.
1. x, y, z son tres nmeros reales tales que xy = 24, yz = 48, xz = 72.
Cunto vale x + y + z?
(Gironalino del Grupo Tutor, nmero 8, Italia)
2. Propuesto por Nicos D. Diamantes, estudiante, Universidad de Patras, Grecia. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1991.
Hallar una raz real de .0122010 35 =+ yyy
3. Hallar todos los enteros positivos zyx ,, que satisfacen la ecuacin
.4)(5 xyzxzyzxy =++
(Competicin Matemtica Intercolegial de la Sociedad Matemtica de Singapur, 1988)
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4. Propuesto por Victor Oxman, estudiante, Universidad de Haifa, Haifa, Israel. Tomado de
la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1998.
Suponga que cba ,, son nmeros reales positivos tales que
( )( )( ).bacacbcbaabc +++= Claramente cba == es una solucin. Determine todas las otras soluciones.
5. Determine el nmero de soluciones ( )zyx ,, en enteros positivos de la ecuacin
.233 =++ zyx
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
6. Determine cul de los siguientes nmeros es el mayor: 86 + .95 +
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
7. Para nmeros reales no negativos zyx ,, que satisfacen ,1=++ zyx pruebe que
.641
1
1
1
1
1
+
+
+ zyx
(CEOC, 1992)
8. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
(Memorial University Undergraduate Mathematics Competition, September 25, 1997)
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9. Propuesto por Waldemar Pompe, estudiante, Universidad de Varsovia, Polonia. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1997.
Un nmero de cuatro dgitos abcd es llamado faulty si satisface las siguientes
propiedades: el producto de los dos ltimos dgitos c y d es igual al nmero ,ab mientras
que el producto de 1c y 1d es igual al nmero de dos dgitos .ba Determine todos los nmeros faulty !
10. Determine todos los pares ordenados de enteros tales que .5336 += yx
(15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)
GEOMETRA.
1. Los botones de un telfono estn dispuestos como lo indica la siguiente figura
Si los botones estn separados un centmetro, de centro a centro, cuando usted marca el
nmero 592 7018 determine la distancia que han recorrido sus dedos.(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
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2. El tringulo ABC es equiltero con lados tangentes al crculo de centro O y radio .3
Determine el rea del cuadriltero .AOCB
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
3. El tringulo ABC es tal que A = 30, C = 45 y AB mide el doble de la altura sobre
AC. Determine el valor deABBC.
( Competencia Colegial de USA, 1972 )
4. Sean cba ,, los lados y ,, los ngulos opuestos de un tringulo. Muestre que si
coscoscos 222 cabcab == entonces el tringulo es equiltero.
(Competencia Hngara, 1987)
5. Propuesto por Toshio Scimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista Crux
Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1991.
Sea M el punto medio del segmento BCdel tringulo .ABC Suponga que
CBAM = y .15o=MAC Calcule la medida del ngulo .C
6. El cuadrngulo ABCD est inscrito en un crculo con radio 1 en el cual una de las
diagonales, ,AC es un dimetro del crculo, mientras que la otra diagonal, ,BD es
congruente con .AB Las diagonales se intersecan en .P Es conocido que .5
2=PC
Cunto mide CD ?
(Concurso Matemtico por Equipos BALTIC WAY - 92, Vilnius, 1992)
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7. AB es un dimetro de un crculo de radio 1. CD es una cuerda perpendicular a AB
que le interseca en .E Si el arco CAD es3
2de la circunferencia del crculo. Determine la
longitud del segmento .AE
(Competencia Matemtica de Alberta High School, Noviembre 1996, I Parte)
8. A y B son dos puntos sobre el dimetro MN de un semicrculo. FEDC ,,, son
puntos sobre el semicrculo tales que .FBNDBMEANCAM == Pruebe que
.DFCE= (Competencia Matemtica de Alberta High School, Febrero 1997 Segunda Ronda)
9. El cuadriltero ABCD cumple las siguientes propiedades:
(1) El punto medio O del lado AB es el centro de un semicrculo;
(2) Los lados CBDCAD ,, son tangentes a este semicrculo.
Pruebe que .42 BCADAB = (15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)
10. Tomado de Advanced Problems de Crux Mathematicorum, 1998.
Dado un cuadriltero ABCD con ,120,60,2,3 oo ===+= DAADCDABAD
halle la longitud del segmento desde D hasta el punto medio de .BC
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TEORA DE NMEROS.
1. Determine la cantidad de valores de xque hace que la expresin18
98
++
x
xsea un
nmero entero.
(Problema de la Semana del 22/07 a 28/07 Tercer Nivel, 2006, Olimpiada Panamea de
Matemtica)
2. Se obtiene el nmero n, al efectuar el producto ( ) ( ) .55559999
5200792007
43421K
43421K
vecesveces
Halle la suma
de los dgitos de n.(Problema de la Semana 17, del 25 de junio al 1 de julio, Tercer Nivel, Olimpiada
Panamea de Matemtica)
3. Cul de los nmeros x = 16 806789, y = 3441315 es mayor ?
(Competencia escolar de Leningrado, 1984)
4. Si n es un nmero natural impar mayor que 2, demuestre que n( n
2
1 ) es divisible por24.
(CEOC, 1992)
5. Determinar para cules nmeros primos p se cumple que 2p + p2 es primo.
(CEOC, 1992)
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FUNCIONES O SUCESIONES.
1. Colaboracin de Yakub Aliyev, Facultad de Pedagoga, Departamento de Matemticas,
Qafqaz University, Khyrdalan AZ 0101, Azerbaijan.
Hallar todos los nmeros reales ba, para los cuales existe una funcin ++ RRf : con
2)1(f , y para toda +Ryx, la igualdad bxay yfxfxyf )()()( = se satisface.
2. Halle todas las funciones :f IR IR tal que xxf )( y )()()( yfxfyxf ++ para
todo yx, IR.
(CEOC, 1991)
3. Propuesto por efket Arslanagi, Universidad de Sarajevo, Bosnia y Herzegovina.
Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1997.
Halle todos los trminos de la sucesin ( )INna nnn += 112 23 que son cuadrados
de algn entero positivo.
4. Propuesto por Hojoo Lee, estudiante, Universidad Kwangwoon, Corea del Sur. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2008.
Halle todas las funciones :f tal que ( ) ( ) ( ) ++= nmmmnfmnfnf .,22
5. Propuesto por Yakub N. Aliyeb, Universidad Estatal de Baku, Baku, Azerbaijan.
Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2007.
Halle todas las funciones :f IRIR tales que 1)1( =f y, para todos los nmeros reales
yx, tenemos ).(2)(3)( yfxfyxf xy +=+
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4. CURIOSATO.
Esta columna tiene como finalidad mostrar ejercicios de preparacin o competencia
olmpicas en fases iniciales que se desarrollan en otros pases.
Estos tipos de ejercicios son, en su mayora, de seleccin nica y se procurar brindar la
solucin de todos los ejercicios que se propongan. Es importante hacer notar que los
mismos pueden servir de preparacin para estudiantes que participan en los distintos
niveles de la Olimpiada Costarricense de Matemtica.
La mayora de problemas que presentamos en esta columna son ejercicios de olimpiadas
nacionales e internacionales. Esperamos que este trabajo sirva como material de apoyo a
los maestros que entrenan estudiantes para olimpiadas matemticas y que sirva tambinde motivacin y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a problemas retadores e
interesantes que son tpicos de olimpiadas matemticas.
En esta columna presentamos el examen y soluciones del XI CONCURSO DE
PRIMAVERA DE MATEMTICAS: Segunda Fase, NIVEL I para estudiantes de 5 y 6 de
primaria, Madrid, Espaa.
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XI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMTICAS2 FASE : Da 21 de abril de 2007
NIVEL I (5 y 6 de primaria) Lee detenidamente las instrucciones !!!
Escribe ahora tu nombre y los datos que se te piden en la hoja de respuestas
* No pases la pgina hasta que se te indique.* Duracin de la prueba: 1 HORA 30 MINUTOS.* No est permitido el uso de calculadoras, reglas graduadas, ni ningn otro instrumento de medida.
* Es difcil contestar bien a todas las preguntas en el tiempo indicado. Concntrate en las que veas ms asequibles.
Cuando hayas contestado a esas, intntalo con las restantes.
* No contestes en ningn caso al azar. Recuerda que es mejor dejar una pregunta en blanco que contestarla
errneamente:
* MARCA CON UNA CRUZ ( ) EN LA HOJA DE RESPUESTAS LA QUE CONSIDERES
CORRECTA.* SI TE EQUIVOCAS, ESCRIBE "NO" EN LA EQUIVOCADA Y MARCA LA QUE CREAS
CORRECTA.
CONVOCA:
Facultad de Matemticas de la U.C.M.COLABORAN:
Universidad Complutense de MadridConsejera de Educacin de la Comunidad de Madrid
Educamadridwww.profes.net (SM) - Grupo ANAYA - El Corte Ingls
Yalos Instruments, S.L. - SAS
Cada respuesta correcta te aportar 5 puntos.
Cada pregunta que dejes en blanco 2 puntos.
Cada respuesta errnea 0 puntos.
1. En esta rejilla de puntos la distancia en horizontal o en vertical de puntos consecutivos
es 1 cm. Cul es, en cm, la longitud de la espiral trazada?
A) 30 B) 31 C) 32 D) 35 E) 36
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2. El abuelo ha repartido su coleccin de postales entre sus cuatro nietos. Todos
recibieron el mismo nmero de postales. Si el nmero de postales es uno de los que figura
en las respuestas, cuntas postales tena el abuelo?
A) 14 B) 18 C) 28 D) 33 E) 42
3. Un coche con cuatro elefantes dentro pesa 16 toneladas. Si todos los elefantes pesan lo
mismo y el coche vaco pesa una tonelada ms que un elefante, cuntas toneladas pesa
el coche vaco?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 12
4. Cul de las siguientes operaciones da como resultado 50?
A) 15 + 10 x 2 B) 100 : 5 C) 2 x (5 x 10) D) (20 + 80) : 10 E) 200 : 4
5. Un mismo producto se vende en distintos envases. Cul sale ms barato?
A) 120 g a 0,45 B) 150 g a 0,65 C) 200 g a 1,10 D) 250 g a 1,25 E) 400 g a 2,10
6. La estrella hexagonal de la figura tiene 12 cm2 de rea. Cul es, en cm2, el rea del
hexgono regular circunscrito?
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21
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7. He preguntado a mis tres amigos si eran capaces de adivinar cuntos libros tengo en mi
habitacin. Azucena dice que 183, Bruno que 194 y Celia que 152. Y yo les digo que uno
se ha equivocado por 11 libros, otro por 20 y otro por 22. Cunto suman las cifras del
nmero de libros que tengo en mi habitacin?
A) 10 B) 5 C) 7 D) 14 E) 12
8. En esta pirmide, cada ladrillo es la suma de los dos ladrillos que lo sostienen. Cul es
la suma de los nmeros de la fila de abajo?
A) 1467 B) 1740 C) 2007 D) 1747 E) 1627
9. Estos tres hexgonos regulares son del mismo tamao. X, Y, Zrepresentan las reas
de las zonas sombreadas. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Xes igual a Ypero no a Z B) Xes igual a Zpero no a Y X Y Z
C) Yes igual a Zpero no a X D) X, Yy Zson las tres iguales
E) X, Yy Zson las tres distintas
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10. Si + = , = + , + = + + + , entonces, + + =
A) + B) C) D) E) +
11. A Julin le encantan los animales. Tiene en su casa 39 mascotas entre gatos, perros,
hmsteres, tortugas y periquitos. Tiene tantos gatos como perros y el doble de hmsteres
que de perros. El nmero de tortugas es la tercera parte que el nmero de hmsteres y
tiene siete periquitos ms que tortugas. Cuntos periquitos tiene Julin?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
12. Los ngulos de la siguiente figura son todos rectos y la longitud de algunos de sus
lados, en cm, est indicada en el dibujo. El rea de la figura, en cm2, es:
A) 41 B) 104 C) 112 D) 64 E) 95
13. Cul de estos nmeros es primo?
A) 2001 B) 2003 C) 2005 D) 2007 E) 2009
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14. En la figura de la derecha, los segmentos ABy CDson paralelos. El ngulo A es de 28
y el ngulo Cde 52. Cunto mide el ngulo x?
A) 62 B) 80 C) 100 D) 280 E) 120
15. Qu fraccin del rectngulo grande est sombreada? (Los polgonos interiores son
cuadrados)
A) 11/16 B) 9/16 C) 5/8 D) 3/4 E) 2/3
16. Por la tubera superior se introducen 1000 litros de agua. Cada vez que el lquido llega a
una bifurcacin, se separa en dos partes iguales y discurre la mitad por cada lado.
Cuntos litros de agua llegarn al recipiente B?
A) 750 B) 500 C) 666 D) 600 E) 800
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17. Por el camino que lleva al cementerio hay una hilera de cipreses plantados a la misma
distancia entre s. Un verano de fuerte sequa murieron todos los cipreses menos los dos
de los extremos y uno ms que se salv. Cuntos cipreses haba antes de la sequa si
slo recuerdo que haba menos de 25?
A) 6 B) 12 C) 14 D) 15 E) 19
18. Una leona tarda en comerse una cebra 6 horas, mientras que un gran len tarda la
mitad de tiempo que la leona. Si un amanecer cazan los dos juntos una cebra, cunto
tiempo tardarn en devorarla?
A) 9 horas B) 3 horas C) 1 hora y media D) 4 horas y media E) 2 horas
19. En un tringulo, la medida de cada lado es un nmero entero. El mayor es doble que el
mediano y ste, doble que el menor. Cul de estos nmeros no puede ser el permetro dedicho tringulo?
A) 84 B) 77 C) 14 D) 97 E) 70
20. Hemos construido un castillo con cubos iguales. Cuntos cubos, como mnimo, hemos
utilizado si sus vistas son stas?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 E) 21
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21. Si el camino sigue siempre el mismo patrn, cul es la secuencia de flechas que
llevan del 675 al 677?
22. Cul de estas figuras no puede ser trazada sin levantar el lpiz del papel y sin pasar
dos veces por un mismo segmento?
23. Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el nmero
de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta 1 al nmero de la pantalla. Utilizando slo las
teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el 53. Cuntas veces, como mnimo,
debes pulsar las teclas?
A) 4 B) 6 C) 10 D) 15 E) 53
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