ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM
SISMICA ANISOTROPICA
Elias da Conceicao
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Programa de Pos-graduacao em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre
em Engenharia Civil.
Orientadores: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2011
ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM
SISMICA ANISOTROPICA
Elias da Conceicao
DISSERTACAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A
OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA
CIVIL.
Examinada por:
Prof. Webe Joao Mansur, Ph.D.
Dr. Cleberson Dors, D.Sc.
Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.
Dr. Andre Bulcao, D.Sc.
Prof. Claudio Jose Martins, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
FEVEREIRO DE 2011
Conceicao, Elias da
Estudo sobre operadores acusticos para modelagem
sısmica anisotropica/Elias da Conceicao. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2011.
XIV, 100 p.: il.; 29, 7cm.
Orientadores: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Dissertacao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referencias Bibliograficas: p. 87 – 94.
1. Modelagem Sısmica. 2. Diferencas Finitas. 3.
Anisotropia. 4. Equacao Acustica Anisotropica. 5.
Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica. I. Mansur, Webe
Joao et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Tıtulo.
iii
A resposta certa, nao importa
nada: o essencial e que as
perguntas estejam certas.
Mario Quintana
iv
Agradecimentos
Agradeco ao meus orientadores Prof. Webe Joao Mansur e Cleberson Dors, pelos
valiosos conselhos e incontaveis auxılios na preparacao deste trabalho.
Agradeco aos pesquisadores Ilya Tsvankin, Vladimir Grechka, Pat F. Daley, Paul
J. Fowler, Michael Slawinski e Alcides Aggio por disporem seus tempos com inumeras
explicacoes sobre anisotropia.
Aos amigos do LAMEC, expresso minha gratidao pela companhia e discussoes.
Especialmente a Leandro Di Bartolo, Wilson Duarte, Viviane Ferreira, Israel Nunes,
Wilian Jeronimo, Edivaldo Junior, Franciane Peters, Pablo Oyarzun, Cid Monteiro,
Gilmar e Raphael. Obrigado a Ivone pela ajuda com os tramites burocraticos du-
rante o curso.
Agradeco tambem ao Prof. Roberto Fernandes de Oliveira pelos excelentes cursos
ministrados e a Josias Silva pelo primeiro contato com a modelagem sısmica.
Obrigado a minha famılia, sem a qual nao chegaria ate aqui, em especial a minha
mae pelos valores ensinados. Muito obrigado a Jose Ernesto Valete pelo incentivo e
apoio.
Minha sincera gratidao e meu muito obrigado a minha noiva Gabriela, pela
cumplicidade e apoio durante toda minha vida academica.
Por fim, agradeco a CAPES pelo apoio financeiro prestado durante todo o curso.
v
Resumo da Dissertacao apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessarios para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M.Sc.)
ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM
SISMICA ANISOTROPICA
Elias da Conceicao
Fevereiro/2011
Orientadores: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Programa: Engenharia Civil
Neste trabalho, sao estudadas as equacoes de ondas acusticas e pseudo-acustica
em meios transversalmente isotropicos com eixo de simetria vertical (VTI), desen-
volvidas por Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] e Klıe e Toro [3]. Destaca-se
que o estudo busca a compreensao sobre a natureza da propagacao das ondas e
dos fenomenos que as governam, tal como suas limitacoes. A modelagem sısmica e
empregada com a finalidade de ilustrar os fenomenos presentes. Os tempos de tran-
sito sao comparados com os originados pela modelagem elastica anisotropica para
avaliacao da precisao cinematica da equacao pseudo-acustica.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
STUDY ABOUT ACOUSTIC OPERATORS FOR SEISMIC ANISOTROPIC
MODELING
Elias da Conceicao
February/2011
Advisors: Webe Joao Mansur
Cleberson Dors
Department: Civil Engineering
In this research, acoustic and pseudo-acoustic wave equations in vertical trans-
verse isotropic media (VTI), developed by Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] and
Klıe and Toro [3] are studied. It is emphasized that the study seeks the understand-
ing the nature of wave propagation, as well as the phenomena that control it, and
its limitations. The seismic modeling is applied in order to illustrate present phe-
nomena. The travel times are compared with those that come from elastic modeling
to evaluate kinematic accuracy of pseudo-acoustic wave equation.
vii
Sumario
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
Lista de Abreviaturas xiv
1 Introducao 1
1.1 Consideracoes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisao bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Teoria da Elasticidade 6
2.1 Princıpios basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Relacao constitutiva da elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Notacao de Voigt para o tensor de elasticidade . . . . . . . . . . . . . 11
3 Anisotropia e Sistemas de simetria 13
3.1 Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Sistemas de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Grupo de simetria e transformacoes . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Propagacao de ondas em meios elasticos anisotropicos 21
4.1 Equacao da onda elastica para meios isotropicos . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Ondas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Equacao da onda elastica para meios anisotropicos . . . . . . . . . . . 24
viii
4.3 Equacao de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Parametros de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4.1 Parametros de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4.2 Parametro de Alkhalifah e Tsvankin . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Propagacao de ondas em meios acusticos e pseudo-acusticos aniso-
tropicos 34
5.1 Aproximacoes de velocidade e relacoes de dispersao para meios VTI . 34
5.1.1 Aproximacao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.2 Aproximacao de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3 Aproximacao de Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Equacao de onda pseudo-acustica e acustica anisotropica . . . . . . . 36
5.2.1 Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1.1 Formulacao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2 Equacoes Acusticas Anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2.1 Formulacao de Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2.2 Formulacao de Klıe e Toro . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Analise das aproximacoes de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Modelagem numerica para propagacao de ondas 42
6.1 Discretizacao das Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.1.1 Discretizacao para a formulacao de Alkhalifah . . . . . . . . . 43
6.1.2 Discretizacao para as formulacoes de Zhang e Klıe . . . . . . . 45
6.1.3 Formulacao elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Condicoes iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Condicao de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Condicao de estabilidade e dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.1 Estabilidade numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.2 Dispersao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Fonte Sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.5 Matriz de tempo de transito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Exemplos e Discussoes 57
7.1 Formulacao Elastica e Pseudo-Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ix
7.1.1 Meio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.2 Interfaces Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1.3 Interface Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.1.4 Modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Formulacao Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.1 Meio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 Conclusoes e Trabalhos Futuros 85
Referencias Bibliograficas 87
A Discretizacao pelo Metodo de Diferencas Finitas 95
A.1 Operadores de diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B Simetrias do tensor de elasticidade 99
x
Lista de Figuras
2.1 Forcas atuando sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Tensoes distribuıdas em um cubo infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Modelo VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Polarizacao das ondas sısmicas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1 Comparacao para as aproximacoes de velocidade de fase . . . . . . . 41
6.1 Estencil de diferencas finitas o caso pseudo-acustico . . . . . . . . . . 44
6.2 Estencil de diferencas finitas para o caso acustico . . . . . . . . . . . 46
6.3 Malha intercalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Metodo da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 Funcao fonte e seu espectro de frequencias. . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1 Instantaneos para o campo de pressao em meio homogeneo - Formu-
lacao Pseudo-Acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 Instantaneos para o campo de tensao vertical (σzz) em meio homoge-
neo - Formulacao Elastica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo . . . . . . . . . . 60
7.4 Mecanismo de formacao da onda SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.5 Comparacao das MTT’s para meio homogeneo . . . . . . . . . . . . . 63
7.6 Comparacao das MTT’s para formulacao elastica e pseudo-acustica
no meio homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.7 Modelo de velocidade e parametros de anisotropia para interfaces pa-
ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
xi
7.8 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Paralelas - Primeira
camada isotropica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.9 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Paralelas - Primeira
camada anisotropica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.10 Sismogramas para modelo de interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . 69
7.11 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade para interfaces
paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.12 Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces paralelas) 71
7.13 Modelo de velocidade e parametros de anisotropia para interface in-
clinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.14 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Inclinada/Pseudo-
Acustica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.15 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade (Anticlinal) . . 75
7.16 Modelo anticlinal para velocidade Vpz e parametros de anisotropia . . 76
7.17 Instantaneos do campo de pressao (Anticlinal/Pseudo-Acustica) . . . 78
7.18 Instantaneos do campo de tensao vertical (Anticlinal/Elastica) . . . . 79
7.19 Sismogramas para modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.20 Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal) . . . . 81
7.21 Instantaneos para o campo de pressao em meio anisotropico homoge-
neo - Formulacao Acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.22 Frentes de onda para a velocidade grupo - Aproximacao de Thomsen
e Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.1 Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF) . . . . . . . 98
xii
Lista de Tabelas
7.1 Parametros utilizados na modelagem (Meio Homogeneo) . . . . . . . 58
7.2 Parametros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas) . . . . . . 65
7.3 Parametros utilizados na modelagem (Interface Inclinada) . . . . . . 72
7.4 Parametros utilizados na modelagem (Anticlinal) . . . . . . . . . . . 77
xiii
Lista de Abreviaturas
CCNR Condicoes de contorno nao reflexivas, p. 49
CFL Courant-Friedrichs-Lewy, p. 52
MDF Metodo das Diferencas Finitas, p. 1
MEF Metodo dos Elementos Finitos, p. 1
MTT Matriz de tempo de transito, p. 56
MVF Metodo dos Volumes Finitos, p. 2
SH Onda S (cisalhante) com polarizacao horizontal, p. 24
SV Onda S (cisalhante) com polarizacao vertical, p. 24
TI Transversalmente Isotropica, p. 3
TTI Tilted Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de simetria
qualquer), p. 3
VTI Vertical Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de sime-
tria vertical), p. 3
AVO Amplitude versus offset (afastamento), p. 3
xiv
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Consideracoes preliminares
Atualmente na area de Petroleo e Gas a procura por novas reservas de hidro-
carbonetos em areas antes nunca exploradas, particularmente em aguas ultra - pro-
fundas, requer um alto ındice de investimento em novas metodologias por parte das
empresas de exploracao, tendo em vista a alta complexidade geologica envolvida e
a presenca de fortes barreiras, como domos salinos, que dificultam a passagem das
ondas sısmicas.
O desenvolvimento de tecnicas computacionais mais robustas e eficientes, pode
auxiliar no desafio de contornar as dificuldades inerentes a profundidade de explora-
cao e a complexidade geologica da subsuperfıcie, permitindo assim simular a presenca
de reservas cada vez mais delgadas e irregulares.
Nesse contexto, a Modelagem Sısmica e uma linha de pesquisa importante para a
exploracao de petroleo. Por meio da modelagem, e possıvel estimar o comportamento
e as caracterısticas das ondas em subsuperfıcie, sendo util tanto para a compreensao
do fenomeno da propagacao das ondas, como ferramenta auxiliar nos processos de
imageamento. Existem formulacoes diversas para realizar a modelagem sısmica [4],
sendo relevantes no contexto deste trabalho os metodos baseados na equacao da
onda no domınio do tempo, seja elastica ou acustica.
Na modelagem os metodos numericos desempenham um papel de destaque, onde
os mais empregados para modelar ondas sısmicas sao: Metodo das Diferencas Finitas
(MDF), Metodo dos Elementos Finitos (MEF), Metodo dos Volumes Finitos (MVF)
1
e Metodo Pseudo-Espectral [4].
Para a modelagem fornecer resultados precisos o modelo fısico, que descreve
o meio geologico a ser explorado, deve ser o mais realista possıvel. Dessa forma,
explorar modelos que contemplem a anisotropia, isto e, a variacao das propriedades
do meio com a direcao [5], [6], [7], torna-se importante tendo em vista o atual cenario
da exploracao brasileira que contempla novos horizontes ainda desconhecidos e cada
vez mais complexos.
A anisotropia passou a ter um impacto significativo na industria de exploracao
nos ultimos trinta anos, devido a novas metodologias de aquisicao de dados que
contemplam os efeitos anisotropicos, e principalmente a evolucao computacional
que passou a permitir o uso de algoritmos mais precisos, revelando falhas no modelo
isotropico [8].
Embora a anisotropia tenha sido aplicada na area de exploracao de hidrocar-
bonetos nas ultimas tres decadas, seu estudo remonta desde o seculo XIX, quando
foi iniciado por reconhecidos Fısicos e Matematicos, como Augustin Louis Cauchy,
Augustin-Jean Fresnel, Lord Kelvin e George Green [8]. Green foi o primeiro a
usar a energia de deformacao e propor que poderiam haver 21 constantes elasticas
[9]; Lord Kelvin foi o primeiro a formular a equacao da onda elastica para meios
anisotropicos [8].
Na Geofısica, as pesquisas aplicadas ao tema iniciaram-se no final do seculo XIX
e inıcio do XX com os trabalhos pioneiros de Maurice Rudzki [10],[11]. No artigo de
Helbig et al. [8] ha um fragmento do trabalho de Rudzki [10] de 1897 que diz:
“If we have said that rocks must be treated as homogenous media, we
did not mean to imply that these media would be isotropic. Many rocks
can, of course, be regarded as isotropic, but in layered rocks one observes
often an orientation of the grains — one should think of the orientation
of mica flakes in gneiss and — moreover the structure of layered me-
dia is generally different parallel and perpendicular to the layers. The
dependence of the physical properties is shown by the well-known fact
that the conductivity of heat in layered media is different in directions
perpendicular and parallel to the layers. We have still another reason to
regard some rocks as anisotropic media. Rocks, in particular those at
2
greater depth, are subject to large, and by far not always uniform iso-
tropic pressure. But it is known that an isotropic body under uniaxial
pressure can and will behave as a birefringent one ”.
Dessa forma, Rudzki previa que rochas poderiam apresentar natureza aniso-
tropica, fato atualmente conhecido. Por essa razao determinados meios geologicos
passaram a ser tratados como tal.
Diversas classes de anisotropia sao encontradas na natureza, como: monoclınica,
ortotropica ou ortorrombica, tetragonal, trigonal, cubica e transversa isotropica ou
transversalmente isotropica (TI) [12], sendo a transversa isotropica e a ortorrombica
as mais aplicadas em sısmica de exploracao.
Muitas formacoes geologicas sao TI, como as formacoes de xisto, que sao dispos-
tas em camadas horizontais e causam anisotropia do tipo VTI (Vertical Tranverse
Isotropic), isto e, anisotropia TI com eixo de simetria vertical. Na hipotese em que
o eixo de simetria esta disposto em qualquer direcao, a anisotropia e dita ser TTI
(Tilted Tranverse Isotropic).
1.2 Revisao bibliografica
Atualmente o tema anisotropia cresceu consideravelmente na area de modelagem
sısmica. Um dos primeiros trabalhos encontrados na area de modelagem sısmica
anisotropica pertence a Peter Mora, que em 1989 desenvolveu um algoritmo baseado
em Diferencas Finitas em 3D para meios heterogeneos com 21 coeficientes elasticos
[13]. Posteriormente Igel et al. [14] desenvolveram operadores de diferencas finitas
para meios com simetria qualquer, utilizando grid intercalado e interpolacao dos
tensores de tensao e deformacao. No entanto a estrategia introduzida por estes
autores causa erros nas velocidades de fase e grupo das ondas, os quais dependem
da interpolacao e do grau de anisotropia utilizado.
Na linha de modelagem elastica para meios TI, Tsingas et al. [15] formularam
operadores para meios VTI, utilizando o esquema de MacCormack [16], esquema este
derivado das equacoes de Lax-Wendroff [17], podendo ser aplicado para analises de
AVO (Amplitude versus offset). Faria e Stoffa [18] desenvolveram operadores para
meios VTI baseados no trabalho de Levander para meios isotropicos [19], sendo
3
que os operadores apresentados mostraram-se mais estaveis em relacao aos metodos
classicos de Diferencas Finitas ate entao adotados.
Apesar da anisotropia ser classicamente um comportamento exibido por solidos,
em alguns tipos de aplicacoes geofısicas pode-se negligenciar as ondas cisalhantes.
Nestes casos pode ser mais adequado adotar formulacoes que simulem apenas a pro-
pagacao da onda qP (quasi-P) no meio anisotropico, para buscar principalmente a
reducao do custo computacional e a geracao de imagens em profundidade relaciona-
das somente ao modo de onda P.
Neste sentido, Tariq Alkhalifah [1] desenvolveu uma formulacao para meios acus-
ticos anisotropicos (i.e., somente onda qP) com simetria VTI, a partir de um trabalho
anterior, onde obteve a relacao de dispersao para meios transversos isotropicos [20].
A formulacao consiste em um sistema de equacoes diferenciais de quarta ordem aco-
pladas no espaco, tendo como parametros a velocidade de normal moveout (Vpn)1, e
os parametros de anisotropia de Thomsen [21].
Dando continuidade ao trabalho de Tariq, Klıe e Toro [3] desenvolveram uma
equacao semelhante, onde no entanto o sistema de equacoes diferenciais possue de-
rivadas acopladas no espaco e tempo, tornando o processo de resolucao complicado
e com maior custo computacional. Posteriormente foram realizadas extensoes da
equacao de Tariq para meios TTI, entre as quais destacam-se as de Zhang et. al [2]
e Zhou et al. [22].
Devido a equacao de Alkhalifah apresentar derivadas acopladas, tornando o pro-
cesso de discretizacao extenso, diversos autores propuseram formulacoes equivalentes
com a finalidade de eliminar o acoplamento das derivadas, entre os quais merecem
destaque, Zhou et al. [23], Zhang e Zhang [24], Du et al. [25] e Duveneck et al. [26].
No trabalho de Fowler et al. [27], e encontrada uma compilacao sobre as diferentes
aproximacoes para o desacoplamento das derivadas, alem das vantagens computa-
cionais para cada uma destas diferentes formulacoes. Empregando a equacao de
Alkhalifah, diversos algoritmos de migracao foram implementados, entre eles Zhang
e Zhang [24], destacando-se aqueles de Bale et al. [28], Du et al. [29] e Fletcher et
al. [30].
1Velocidade da onda obtida a partir do tempo de normal moveout, o qual e dado pela diferenca
entre o tempo de percurso (tx) para uma distancia especıfica fonte-receptor e o tempo (t0) para a
distancia nula fonte-receptor.
4
1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho
O enfoque deste trabalho reside no estudo da natureza das equacoes acusticas
anisotropicas para meios transversos isotropicos com eixo de simetria vertical (VTI)
desenvolvidas por Hector Klıe, Linbin Zhang e Tariq Alkhalifah. Compreender os
fenomenos presentes nas equacoes acusticas anisotropicas, suas limitacoes e dificul-
dades inerentes sera o enfoque principal do trabalho. A modelagem sısmica sera
empregada como ferramenta de analise das equacoes de ondas envolvidas, onde a
partir da mesma os tempos de transito serao avaliados utilizando como parametro
de comparacao os tempos originados pela modelagem elastica anisotropica.
A estrutura do trabalho esta dividida em oito capıtulos: no capıtulo 2, e realizada
uma breve revisao sobre os principais conceitos da teoria de elasticidade. Sao apre-
sentados os tensores de tensao, deformacao e a relacao constitutiva da elasticidade,
conceitos importantes para a deducao da equacao elastica da onda.
No capıtulo 3 introduz-se o conceito de anisotropia, onde as diferentes classifica-
coes para cada tipo de anisotropia e as diversas variacoes do tensor de elasticidade
em funcao das classes de simetria serao abordadas.
No capıtulo 4, as equacoes de onda elastica em meios isotropicos e anisotropicos
sao apresentadas, tal como as relacoes de velocidades analıticas para o meio trans-
verso isotropico. Os diferentes parametros para caracterizacao da anisotropia sao
detalhados como funcao das propriedades do meio.
No capıtulo 5, serao vistas as aproximacoes de fase para velocidades de onda P,
as relacoes de dispersao, e as equacoes acusticas anisotropicas derivadas a partir de
cada relacao de velocidade apresentada.
No capıtulo 6, e descrito todo o tratamento numerico para a resolucao das equa-
coes elasticas e acusticas.
No capıtulo 7, estao os exemplos empregados para analise das equacoes, as dis-
cussoes a respeito dos resultados, e as respectivas ponderacoes.
Por fim, no capıtulo 8 constam as conclusoes, bem como os trabalhos futuros.
5
Capıtulo 2
Teoria da Elasticidade
2.1 Princıpios basicos
A teoria da elasticidade e o alicerce para a compreensao dos fenomenos que
envolvem a propagacao de ondas elasticas. Neste capıtulo serao introduzidos alguns
princıpios basicos sobre elasticidade. As secoes que seguem estao baseadas em Lay
e Wallace [31], Landau et al. [32] e Slawinski [33].
2.1.1 Deformacao
Quando corpos estao sujeitos a forcas eles sofrem deformacao, isto e, a distancia
entre dois pontos quaisquer do corpo e alterada devido a acao de tensoes. Desde que
essas deformacoes sejam infinitesimais, elas podem ser caracterizadas pelo tensor de
segunda ordem:
εi j =12
(∂ui
∂x j+∂u j
∂xi
), i, j = 1, 2, 3 = x, y, z, (2.1)
onde ~u = ~u(~r) e o vetor deslocamento com componentes (ux, uy, uz).
Dado tensor e conhecido como Tensor de deformacoes infinitesimais, sendo sua
forma matricial dada por:
εi j =
ε11 ε12 ε13
ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
.
6
As deformacoes com i , j em (2.1) sao chamadas de deformacoes angulares
ou cisalhantes, e com i = j, deformacoes normais. As deformacoes normais estao
relacionadas a variacoes de volume, sendo compressional a deformacao negativa e
dilatacional a positiva, enquanto as deformacoes angulares estao associadas ao cisa-
lhamento. Uma importante caracterıstica do tensor de deformacao infinitesimal e
sua simetria, expressa por:
εi j = ε ji. (2.2)
O traco do tensor de deformacao e chamado de dilatacao cubica (Θ), ou seja,
Θ =
3∑i=1
εii =
3∑i=1
∂ui
∂xi= ~∇ · ~u (2.3)
onde a equacao (2.3) corresponde a uma mudanca fracional no volume do corpo,
expressa por:
∆VV0
=V1 − V0
V0= Θ (2.4)
sendo,
V0 = Volume Inicial;
V1 = Volume Final.
2.1.2 Tensao
Quando ha forcas atuando sobre um solido, cada ponto do mesmo e afetado,
criando um campo de deformacoes associado as tensoes aplicadas em cada ponto do
corpo. Existem basicamente dois tipos de forcas externas, as forcas de volume e as
forcas de superfıcie. Como exemplo de forca de volume pode-se citar a forca peso,
~P = m~g (ou simplesmente peso), onde a massa m = m(ρ,v) e funcao da densidade e
volume do material, e como forcas de superfıcie, a forca de atrito e a forca normal.
Para compreender e definir o conceito de tensao, imagina-se inicialmente um
corpo em equilıbrio, com domınio Ω e contorno Γ , sujeito a um conjunto de forcas
externas, conforme apresentado na figura (2.1(a)). Uma vez que o referido corpo esta
em equilıbrio, ao se realizar um corte imaginario no mesmo, passando pelo ponto
7
Q, conforme ilustrado na figura (2.1(b)), encontrar-se-ao forcas internas chamadas
tensoes, responsaveis pelo equilıbrio local.
(a) Forcas externas atuando sobre um corpo
(b) Forcas externas e corte transversal paralelo ao plano x2x3
no ponto Q.
Figura 2.1: Forcas atuando sobre um corpo
Considerando a area hachurada da figura (2.1(b)) constituıda de elementos infi-
nitesimais de area ∆S , sobre os quais atuam tambem forcas internas infinitesimais
∆ ~F no ponto Q, sendo n o vetor normal a superfıcie. Pode-se definir o vetor de
tensao de Cauchy como,
T (k) = lim∆S→0
∆ ~F∆S
(2.5)
onde, o ındice k, especifica o elemento de superfıcie ∆S sobre o qual o vetor de tensao
esta atuando.
Com isto as tensoes na face x1, sao definidas como:
σ11 = lim∆S 1→0
∆ ~F1
∆S 1, σ12 = lim
∆S 2→0
∆ ~F2
∆S 2, σ13 = lim
∆S 3→0
∆ ~F3
∆S 3(2.6)
onde,
8
∆S 1 = ~∆S · x1, ∆S 2 = ~∆S · x2, ∆S 2 = ~∆S · x3.
sendo, x1, x1 e x1, vetores unitarios para as direcoes x1, x2 e x3 respectivamente.
Procedendo-se analogamente para as secoes nas faces x2 e x3, o vetor de tensoes
fica definido como:
Ti =
3∑j=1
σ jin j, i ∈ 1, 2, 3. (2.7)
onde:
σi j =
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
.com os elementos diagonais correspondendo as tensoes normais, e os demais as ten-
soes cisalhantes. A figura (2.2) apresenta as distribuicoes de tensoes em um cubo
infinitesimal.
Figura 2.2: Tensoes distribuıdas em um cubo infinitesimal.
Para o caso acustico, onde as tensoes cisalhantes nao estao presentes, a matriz
de tensoes assume a forma:
σi j =
−P 0 0
0 −P 0
0 0 −P
, P = −σ11 = −σ22 = −σ33
9
sendo P a pressao, definida como o negativo da tensao normal (Lei de Pascal).
Atraves da aplicacao da condicao de equilıbrio do momento angular ([32], [33])
no cubo da figura (2.2) demonstra-se a relacao de simetria,
σi j = σ ji. (2.8)
Como consequencia o numero de termos independentes relacionado ao tensor de
tensoes e reduzido a seis, de forma similar ao que ocorre com o tensor de deformacao
(2.2).
2.1.3 Relacao constitutiva da elasticidade
A relacao constitutiva fornece a relacao entre tensao e deformacao, especıfica
para um dado meio. Segundo Slawinski [33], tal relacao nao decorre de qualquer
princıpio fısico fundamental, no entanto nao contraria nenhum outro.
No caso da elasticidade, a relacao constitutiva, tambem chamada de Lei de Hooke
generalizada, e expressa como:
σi j =
3∑k=1
3∑l=1
Ci jklεkl (2.9)
onde Ci jkl e um tensor de 4a ordem, chamado de modulo elastico ou tensor de elasti-
cidade, que define as propriedades materiais do meio. Em um espaco tridimensional
o tensor de elasticidade tem a princıpio 34 = 81 componentes. Porem, devido as
simetrias dos tensores de tensao e deformacao anteriormente descritas, o numero de
constantes independentes se reduz a 36. A interpretacao fısica do tensor de elas-
ticidade pode ser entendida como o numero de direcoes necessarias para mensurar
alguma propriedade do material [33].
10
2.2 Notacao de Voigt para o tensor de elastici-
dade
Pelo fato do tensor de elasticidade ser de 4a ordem, sua representacao e de difıcil
visualizacao. No entanto a notacao de Voigt 1 explora a simetria dos tensores,
transformando tensores de 2a ordem em vetores e tensores de 4a ordem em matrizes
quadradas. E importante notar que apesar da notacao permitir esse intercambio,
matrizes e tensores sao entidades diferentes.
Escrevendo entao o tensor de elasticidade Ci jkl como uma matriz Cmn de dimensao
6x6, considerando os pares (i, j) e (k, l) (com i ≤ j e k ≤ l), atraves da notacao de
Voigt,
m = iδi j + (9 − i − j)(1 − δi j)
n = kδkl + (9 − k − l)(1 − δkl)(2.10)
onde δmn e o delta de Kronecker, ou seja,
δmn =
0, se m , n
1, se m = n
obtem-se a seguinte matriz:
C =
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C21 C22 C23 C24 C25 C26
C31 C32 C33 C34 C35 C36
C41 C42 C43 C44 C45 C46
C51 C52 C53 C54 C55 C56
C61 C62 C63 C64 C65 C66
. (2.11)
Entretanto, de acordo com (B.8), vide Apendice (B), Cmn = Cnm, logo (2.11)
1Woldemar Voigt - Fısico alemao, em 1887 foi um dos primeiros a formular as transformacoes
de coordenadas entre sistemas de referencia em repouso e em movimento
11
assume a seguinte forma:
C =
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66
. (2.12)
Por fim reescrevendo a equacao (2.9) matricialmente tem-se:
σ = Cε. (2.13)
ou,
σ11
σ22
σ33
σ23
σ13
σ12
=
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66
ε11
ε22
ε33
2ε23
2ε13
2ε12
. (2.14)
onde o fator 2, presente em ε23, ε13 e ε12 resulta da simetria do tensor de deformacao,
para k , l. Essa notacao e conveniente para explorar as diferentes formas da matriz
(2.12) sob transformacoes que a deixam invariante, ou seja, cada grupo de simetria
da matriz (2.9) leva-a a formas distintas, essas formas caracterizam os diferentes
tipos de anisotropia.
12
Capıtulo 3
Anisotropia e Sistemas de simetria
3.1 Anisotropia
A anisotropia representa a dependencia de uma determinada propriedade com a
direcao de medicao da mesma; no caso da sismologia de exploracao, com a velocidade
das ondas sısmicas.
O fato de determinados meios apresentarem anisotropia esta relacionado as suas
composicoes minerais e variacoes de temperatura [34], [35]. De acordo com Tsvankin
[6], anisotropia e heterogeneidade dependem da escala, isto e, um mesmo meio pode
ser heterogeneo e isotropico para pequenos comprimentos de onda ou heterogeno
anisotropico para comprimentos de onda maiores. Por exemplo, meios dispostos em
finas camadas podem causar anisotropia TI, para comprimentos de onda maiores que
a espessura da camada. Tal tipo de anisotropia e comum em bacias sedimentares
caracterizadas por um eixo de simetria vertical (VTI), figura (3.1).
Segundo Thomsen [21], a anisotropia em sequencias sedimentares, e causada
pelos seguintes fatores:
• Anisotropia intrınseca devido a orientacao dos graos minerais;
• Finas camadas isotropicas, desde que o comprimento de onda seja maior que
a espessura da camada;
• Fraturas verticais ou inclinadas.
Uma das consequencias da anisotropia na modelagem sısmica reside no tempo
de propagacao das ondas, tendo influencia direta no imageamento sısmico, ou seja,
13
Figura 3.1: Modelo VTI, possui o eixo vertical como eixo simetrico por rotacao.
a anisotropia causa variacoes no posicionamento dos refletores em sub-superfıcie
em relacao ao caso isotropico. Por essa razao o estudo da anisotropia na area de
sismologia de exploracao possui relevancia consideravel.
3.2 Sistemas de simetria
As relacoes que se seguem, tal como as descricoes fısicas presentes nesta secao,
estao baseadas em [12] e [33].
Alguns meios geologicos possuem simetria material, ou seja, medindo-se a ve-
locidade da onda nos mesmos, em diversas orientacoes de um dado sistema de co-
ordenadas, a velocidade tera a mesma magnitude. Com sistemas de coordenadas
apropriados, a verificacao das simetrias de um meio e feita atraves do tensor de
elasticidade (2.11).
3.2.1 Grupo de simetria e transformacoes
Para expressar a matriz de elasticidade (2.12) para diferentes tipos de anisotropia,
e necessario adotar um sistema de coordenadas apropriado que permita reconhecer
as simetrias do meio, isto e, e preciso um grupo de simetria que deixe invariante a
matriz (2.12) sob uma transformacao. Um grupo capaz de efetuar tal operacao e o
grupo O(n) denotado por:
O(n) := A ∈ Mat (R, n), A−1 = AT .
14
onde Mat(R, n) e o conjunto de todas as matrizes reais n x n, e O( n) e o grupo das
matrizes ortogonais n x n. Basicamente o interesse sobre O( n) se restringe a dois
tipos de matrizes do grupo, rotacoes e reflexoes, as quais introduzem as transforma-
coes ortogonais necessarias para o estudo dos diferentes tipos de anisotropia.
Definicao 3.2.1 O conjunto de transformacoes ortogonais dadas pela matriz A, o
qual deixa as propriedades elasticas do meio invariantes, e chamado de grupo de
simetria do meio.
De acordo com a teoria de grupo, se determinada matriz e invariante sob uma
transformacao ortogonal dada pelas matrizes A1, A2, ela tambem sera invariante sob
o produto A1A2. Alem disso se uma matriz e invariante sob A, sob A−1 tambem o
sera [33].
A transformacao utilizada em (2.12) a fim de encontrar as diferentes classes de
simetria, e do tipo:
C = MTACMA. (3.1)
A matriz de elasticidade e invariante sob a transformacao (3.1), dada pela matriz
MA, chamada de matriz de Bond. Tal matriz e obtida atraves de transformacoes
ortogonais sob os tensores de tensao e deformacao1.Dessa forma a equacao (3.1)
impoe uma condicao para encontrar as simetrias materiais da matriz de elasticidade.
A matriz de Bond e escrita como:
MA =
A211 A2
12 A213 A12A13 A11A13 A11A12
A221 A2
22 A223 A22A23 A21A23 A21A22
A231 A2
32 A233 A32A33 A31A33 A31A32
2A21A31 2A22A32 2A23A33 A22A33 + A23A32 A21A33 + A23A31 A21A32 + A22A31
2A11A31 2A12A32 2A13A33 A12A33 + A13A32 A11A33 + A13A31 A11A32 + A12A31
2A11A21 2A12A22 2A13A23 A12A23 + A13A22 A11A23 + A13A21 A11A22 + A12A21
.
(3.2)
Os termos Ai j sao as entradas das matrizes de rotacao, reflexao ou ambas multi-
plicadas, uma vez que a matriz continua invariante em relacao a multiplicacao.
1Maiores detalhes sobre como encontrar a matriz MA, ver [33]
15
Cada sistema de simetria descrito pelo tensor de elasticidade caracteriza um
tipo de anisotropia do meio geologico, com um numero de coeficientes elasticos
independentes, que variam de acordo com o grau de simetria. A seguir serao descri-
tos alguns sistemas de simetria de importante aplicacao na sismologia de exploracao.
1. Simetria de Ponto
A simetria de ponto e um sistema pertencente a todo meio, e consiste de uma
reflexao em torno da origem do sistema de coordenadas, ou seja, a matriz A e
da forma:
A-I :=
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
= −I. (3.3)
Utilizando as entradas de (3.3) em (3.2), a matriz torna-se:
MA−I =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
= I. (3.4)
Logo a equacao (3.1) pode ser reescrita como:
C = IT CI.
A qual e satisfeita identicamente para todo C. Portanto a simetria de ponto
pertence ao grupo de simetria de qualquer meio.
16
2. Meio Triclınico
Ctrc =
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66
. (3.5)
O modelo anisotropico mais geral possui 21 coeficientes independentes. Esse
grande numero inviabiliza a sua aplicacao em sismologia; a unica simetria
exibida e a simetria de ponto.
3. Meio Monoclınico
Possui uma reflexao sobre o plano como grupo de simetria, escolhendo a matriz
A de forma que a reflexao seja sobre o plano x1x2, ou seja , ao longo do eixo
x3,
A3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
. (3.6)
Expressando (3.2),
MA3 =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 1
. (3.7)
17
Logo a transformacao (3.1) requer,
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66
=
C11 C12 C13 −C14 −C15 C16
C12 C22 C23 −C24 −C25 C26
C13 C23 C33 −C34 −C35 C36
−C14 C24 −C34 C44 C45 −C46
−C15 C25 −C35 C45 C55 −C56
C16 C26 C36 −C46 −C56 C66
.
A igualdade acima implica que,
C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0. (3.8)
.
Entao a matriz de elasticidade que possui uma reflexao ao longo do eixo x3 e
dada por:
Cmono3 =
C11 C12 C13 0 0 C16
C12 C22 C23 0 0 C26
C13 C23 C33 0 0 C36
0 0 0 C44 C45 0
0 0 0 C45 C55 0
C16 C26 C36 0 0 C66
. (3.9)
4. Meio Ortorrombico ou Ortotropico
Caracterizado por dois planos de simetria ortogonais entre si, resultando em 9
constantes independentes. Considerando reflexoes ao longo dos eixos x1 e x3,
tem-se que:
A1A3A-I =
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
. (3.10)
Como A-I pertence ao grupo de simetria de qualquer meio, ela tambem foi con-
siderada. Portanto para obter a matriz de elasticidade do meio ortorrombico
18
empregam-se as relacoes obtidas para o meio monoclınico. Assim aplicando a
transformacao (3.1) encontra-se a seguinte relacao:
C16 = C26 = C36 = C45 = 0. (3.11)
Combinando as relacoes (3.8) e (3.11), a matriz ortorrombica e escrita como,
Corto =
C11 C12 C13 0 0 0
C12 C22 C23 0 0 0
C13 C23 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 0 0 0 0 C66
. (3.12)
5. Meio Transversalmente Isotropico (TI)
Conhecido tambem por meio Hexagonal, e de extensa aplicacao nos estudos
de anisotropia sısmica, tem como caracterıstica um eixo simetrico sob rotacao
para um dado angulo θ.
Desta forma, considerando uma matriz de rotacao sobre o eixo x3, tal que o
angulo θ < π2 , por exemplo θ = 2π
5 , tem-se:
Ax3( 2π5 ) =
cos 2π
5 sen 2π5 0
− sen 2π5 cos 2π
5 0
0 0 1
. (3.13)
Novamente de acordo com (3.1) a matriz de elasticidade e dada por,
CVTI =
C11 C11 − 2C66 C13 0 0 0
C11 − 2C66 C11 C13 0 0 0
C13 C13 C33 0 0 0
0 0 0 C55 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 0 0 0 0 C66
. (3.14)
19
Por possuir o eixo de simetria vertical esse tipo de anisotropia transversa e
conhecida como VTI (Vertical Transverse Isotropic).
6. Meio Isotropico
Um caso particular de anisotropia, onde todos os planos sao de simetria, e
dito ser isotropico. Neste caso como todos os planos sao simetricos entre si, a
velocidade apresenta a mesma magnitude em todas as direcoes. Desta forma
a matriz de elasticidade se resume a:
CISO =
C11 C11 − 2C55 C11 − 2C55 0 0 0
C11 − 2C55 C11 C11 − 2C55 0 0 0
C11 − 2C55 C11 − 2C55 C11 0 0 0
0 0 0 C55 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 0 0 0 0 C55
. (3.15)
λ = C11 − 2C55
µ = C55
(3.16)
onde λ e µ sao os coeficientes de Lame, seus significados fısicos serao vistos no
capıtulo seguinte.
20
Capıtulo 4
Propagacao de ondas em meios
elasticos anisotropicos
Neste capıtulo e apresentada a teoria que envolve a propagacao de ondas em
meios elasticos anisotropicos, incluindo a equacao da onda elastica, as relacoes de
velocidade e os parametros necessarios para quantificar a anisotropia. Ressalta-se
que a propagacao de ondas acusticas e concebida como um caso particular para o
meio elastico. Embora o enfoque deste trabalho seja sobre meios acusticos aniso-
tropicos, faz-se adequado iniciar o estudo para estes meios acusticos, a partir da
propagacao de ondas em meios elasticos. Para introduzir o estudo sobre a natureza
da propagacao das ondas sısmicas em meios anisotropicos, por conveniencia, sera
antes apresentada a propagacao de ondas elasticas em meios isotropicos homoge-
neos.
4.1 Equacao da onda elastica para meios isotro-
picos
Seja um meio englobado por um volume, onde as forcas variam continuamente no
tempo e espaco. Considerando as forcas de superfıcie e de volume, e entao aplicando
a 2a lei de Newton, tem-se que:
Σ Fi =
∫V
fi dV +
∫S
Ti dS .
21
Substituindo Ti por (2.7) e utilizando (2.8), segue que,
mai =
∫Vρ∂2ui
∂t2 dV =
∫V
fi dV +
∫S
3∑j=1
σi jn j dS . (4.1)
Aplicando o Teorema de Gauss1em (4.1),
∫Vρ∂2ui
∂t2 dV =
∫V
fi +
3∑j=1
∂σi j
∂x j
dV.
(4.2)
Eliminando a integral de volume, tem-se:
3∑j=1
∂σi j
∂x j+ fi = ρ
∂2ui
∂t2 . (4.3)
A equacao (4.3) e conhecida como equacao de Navier ou Lei de Cauchy do mo-
vimento. Tomando (2.9), a equacao (4.3) torna -se:
ρ∂2ui
∂t2 =∂
∂x j
3∑k=1
3∑l=1
Ci jklεkl
+ fi. (4.4)
Tratando de meio isotropico, o tensor Ci jkl pode ser escrito de acordo com Aris
[36] como,
Ci jkl = λδi jδkl + µ(δikδ jl + δilδ jk). (4.5)
Utilizando (4.5), pode-se reescrever a relacao (2.9) para um meio isotropico, tal
que:
σi j = λδi j
3∑k=1
εkk + 2µεi j. (4.6)
Substituindo (4.6) em (4.3),
ρ∂2ui
∂t2 = (λ + µ)∂
∂xi
3∑j=1
∂u j
∂x j+ µ
3∑j=1
∂2ui
∂x2j
+ fi . (4.7)
1O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial atraves de uma superfıcie fechada
S com o divergente do campo no interior do volume V, ou seja:∫S
Ti dS =
∫V
3∑i=1
∂Ti
∂xidV
22
A equacao (4.7) descreve a propagacao da onda elastica para meios isotropicos.
Os parametros λ e µ sao os parametros de Lame. O parametro µ controla a rigidez
do meio, chamado de Modulo de Rigidez, enquanto λ nao possui um significado
fısico direto como o modulo de rigidez. No entanto esse parametro associado com o
modulo de rigidez constitui o Modulo de Bulk ou Modulo de incompressibilidade,
κ = λ +23µ. (4.8)
Fisicamente o modulo de Bulk e responsavel por avaliar a resistencia a mudanca
de volume do meio.
4.1.1 Ondas P e S
Para compreensao dos tipos de onda que propagam-se no meio elastico isotropico,
faz-se necessario utilizar a decomposicao de Helmholtz [37], [38]. Entao de forma
equivalente, sera empregado os operadores divergente e rotacional. Para fins praticos
a equacao (4.7) e reescrita em notacao vetorial, tal que:
ρ∂2~u∂t2 = (λ + µ)~∇(~∇ · ~u) + µ∇2~u + ~f . (4.9)
Negligenciando a forca de volume, e utilizando a identidade vetorial abaixo [39],
(4.9) e reescrita como:
∇2~u = ~∇(~∇ · ~u) − ~∇ × (~∇ × ~u),
ρ∂2~u∂t2 = (λ + 2µ)~∇(~∇ · ~u) − µ~∇ × (~∇ × ~u). (4.10)
Decompondo (4.9) em dois campos, isto e, aplicando o operador de divergencia a
equacao, e entao usando a relacao ~∇ · (~∇ × ~u) = 0, obtem-se:
ρ∂2(~∇ · ~u)∂t2 = (λ + 2µ)∇2(~∇ · ~u).
Lembrando de (2.3),
∂2Θ
∂t2 = α2∇2Θ. (4.11)
23
α =
√λ + 2µρ
. (4.12)
A equacao (4.11) descreve um tipo de onda presente no meio elastico isotropico,
denominada onda P, onde α e a velocidade de propagacao da mesma. Atuando de
forma semelhante em (4.9), aplicando o operador rotacional e utilizando a identidade
~∇ × ~∇(~∇ · ~u) = ~0, tem-se:
∂2~Ψ
∂t2 = β2∇2~Ψ. (4.13)
~Ψ = ~∇ × ~u,
β =
õ
ρ. (4.14)
As equacoes (4.13) e (4.14) descrevem a outra onda presente no meio elastico
isotropico, dita onda S, onde β e sua velocidade de propagacao. E importante
notar que para o caso heterogeneo, µ = µ(~r), λ = λ(~r), ρ = ρ(~r), α = α(~r),
β = β(~r). A denominacao P e S, isto e, primaria e secundaria, surge da relacao
α/β > 1, a qual implica que a onda P propaga-se com maior velocidade com relacao
a S, considerando o mesmo meio. E importante destacar que a polarizacao (i.e.,
a direcao de vibracao das particulas no meio) para a onda P ocorre na direcao de
propagacao, por essa razao chamada tambem de onda longitudinal, compressional
ou dilatacional, enquanto para a onda S, a polarizacao ocorre nas direcoes horizontal
(onda SH) e vertical (onda SV), de acordo com a figura (4.1), sendo conhecida como
onda cisalhante, transversa ou distorcional.
4.2 Equacao da onda elastica para meios aniso-
tropicos
No meio elastico isotropico, como visto anteriormente, os dois modos de onda
P e S sao bem definidos, de modo que para a onda P a polarizacao ocorre sempre
na direcao de propagacao da mesma, enquanto a onda S, por possuir polarizacao
em relacao ao plano normal da direcao de propagacao, e conhecida como onda cisa-
lhante, transversa ou distorcional. Devido a isotropia, e possıvel trabalhar com esses
24
Figura 4.1: Polarizacao das ondas sısmicas P e S.
dois modos de onda, P e S, de forma localmente independentes, como visto com a
aplicacao dos operadores divergente e rotacional.
Quando trata-se de materiais anisotropicos, tanto a denominacao das ondas,
como seu desacoplamento, assume uma forma mais complexa. Neste caso, nao exis-
tem ondas puras P ou S, mas sim ondas denominadas qP (quasi P) e qS(quasi S),
de forma que para a onda qS ainda ha uma subdivisao, qSV(quasi SV) e qSH(quasi
SH), onde as mesmas propagam-se com diferentes velocidades, fenomeno conhecido
como birrefrigencia [35]. A denominacao qP e qS e relevante, pois no meio aniso-
tropico as direcoes de polarizacao nao sao perpendiculares ou paralelas a direcao de
propagacao [6].
A anisotropia adiciona outro fator de dificuldade, a decomposicao das ondas qP e
qS, onde a teoria envolvida para efetuar esta operacao envolve outros complicadores
como a direcao de polarizacao ([40], [41]), implicando em metodos computacional-
mente onerosos, que acabam por dificultar a utilizacao de formulacoes de ondas
elasticas desacopladas, isto e, formulacoes que empreguem somente um campo de
onda, qP ou qS.
Para entender melhor a natureza da propagacao de ondas elasticas em meios ani-
sotropicos, a seguir sera desenvolvida a equacao de onda para este meio, incluindo
suas relacoes de velocidade. Ressalta-se que, no caso de um meio anisotropico hete-
rogeneo, as grandezas envolvidas sao dependentes da posicao.
Em virtude do exposto acima, desprezando a forca de volume, a equacao (4.4) e
25
reescrita como:
ρ(~r)∂2ui
∂t2 =
3∑j=1
∂σi j
∂x j, i ∈ 1, 2, 3. (4.15)
Combinando (2.1) com (2.9),
ρ(~r)∂2ui
∂t2 =
3∑j=1
∂
∂x j
12
3∑k=1
3∑l=1
Ci jkl(~r)(∂uk
∂xl+∂ul
∂xk
) , i ∈ 1, 2, 3. (4.16)
Outra forma bastante usual para expressar (4.16) e encontrada usando a relacao
(B.4), vide Apendice (B), tal que:
ρ(~r)∂2ui
∂t2 =
3∑j=1
∂
∂x j
3∑k=1
3∑l=1
Ci jkl(~r)∂uk
∂xl
, i ∈ 1, 2, 3. (4.17)
Entretanto, para fins computacionais a equacao de campo unico (4.17) apresenta
problemas de estabilidade, sendo solucionados recentemente por Di Bartolo [42]. No
entanto, neste trabalho a equacao (4.15) sera descrita por um sistema de equacoes
diferenciais de primeira ordem, utilizando os campos de tensao e velocidades, como
segue:
ρ(~r)∂vi
∂t=
3∑j=1
∂σi j
∂x j, i ∈ 1, 2, 3. (4.18)
∂σi j
∂t=
12
3∑k=1
3∑l=1
[Ci jkl(~r)
(∂vk
∂xl+∂vl
∂xk
)], i ∈ 1, 2, 3. (4.19)
Tanto as equacoes (4.16) ou (4.17), quanto as equacoes (4.17) e (4.18) em
conjunto, descrevem o comportamento da onda elastica no meio anisotropico. A
partir de (4.16) e possıvel encontrar um conjunto de tres equacoes acopladas, onde
o numero de coeficientes elasticos independentes varia de acordo com a simetria
escolhida para o tensor de elasticidade. Para a secao seguinte a equacao (4.16) sera
utilizada na forma expandida, como segue:
ρ(~r)∂2ui
∂t2 =12
3∑j=1
3∑k=1
3∑l=1
[∂Ci jkl(~r)∂x j
(∂uk
∂xl+∂ul
∂xk
)+ Ci jkl(~r)
(∂2uk
∂x j∂xl+
∂2ul
∂x j∂xk
)](4.20)
26
O aspecto da equacao (4.20) favorece a introducao da equacao de Christofell,
necessaria para encontrar as velocidades de fase das ondas no meio anisotropico.
Destaca-se que para um meio isotropico homogeneo, (4.20) se reduz a (4.7).
4.3 Equacao de Christoffel
A equacao (4.20) em geral e de difıcil solucao. No entanto considerando como
solucao possıvel uma funcao da posicao e do tempo [33], dada por:
~u(~r, t) = ~U(~r) f (η), (4.21)
sendo ~U(~r) funcao vetorial da posicao, fornecendo a amplitude da onda, e f (η) uma
funcao escalar, que descreve a onda como funcao do tempo, cujo argumento e:
η = ω[ψ(~r) − t],
onde ω e a frequencia angular. A funcao ψ e chamada de funcao iconal. Normalmente
a funcao f (η) e descrita como uma funcao exponencial. Em resumo, a tentativa de
solucao e da forma:
u(~r, t) = U(~r) eiω[ψ(~r) − t]. (4.22)
Substituindo (4.22) em (4.20) e fazendo as devidas simplificacoes, um sistema de
tres equacoes e encontrado, onde uma delas, equacao (4.23), fornece o caminho para
encontrar as velocidades das ondas no meio anisotropico [33],
3∑k=1
3∑j=1
3∑l=1
Ci jkl(~r)p j pl − ρ(~r)δik
Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3, (4.23)
p j :=∂ψ
∂x j, j ∈ 1, 2, 3
onde p j e o vetor vagarosidade da frente de onda. Reescrevendo (4.23) como,
3∑k=1
3∑j=1
3∑l=1
Ci jkl(~r)p j pl
p2 −ρ(~r)p2 δik
Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3. (4.24)
p2 := ~p · ~p =1v2 .
27
fazendo o vetor normal a frente de onda, n2i =
p2i
p2 , e aplicando a densidade normali-
zada Ai jkl(~r) =Ci jkl(~r)ρ(~r)
, tem-se que:
p23∑
k=1
3∑j=1
3∑l=1
Ai jkl(~r)n jnl − V2δik
Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3. (4.25)
A equacao (4.25) e chamada de equacao de Christoffel; tal equacao permite
encontrar as velocidades das ondas no meio anisotropico. Escrevendo (4.25) em
notacao matricial como:
p2[Γ(~r, ~n) − V2I
]U(~r) = 0, (4.26)
Γ(~r, ~n) =
3∑j=1
3∑l=1
A1 j1l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A1 j2l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A1 j3l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A2 j1l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A2 j2l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A2 j3l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A3 j1l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A3 j2l(~r)n jnl
3∑j=1
3∑l=1
A3 j3l(~r)n jnl
. (4.27)
Para encontrar as velocidades, e preciso resolver a equacao (4.26), desde que
p2 , 0, o que implica em:
[Γ(~r, ~n) − V2I
]U(~r) = 0. (4.28)
Fazendo uso da notacao de Voigt, relacao (2.10), e considerando o meio VTI, isto
e, considerando a matriz de elasticidade (3.14), as entradas da matriz de Christoffel
(4.27) resultam em:
Γ11 = A11n21 + A66n2
2 + A55n23
Γ22 = A66n21 + A11n2
2 + A55n23
Γ33 = A55(n21 + n2
2) + A33n23, (4.29)
Γ12 = Γ21 = (A11 − A66)n1n2
Γ13 = Γ31 = (A13 + A55)n1n3
Γ23 = Γ32 = (A13 + A66)n2n3
28
Escolhendo o plano de propagacao como sendo o plano x1x3, ou seja, n2 = 0, e
substituindo as relacoes (4.29) em (4.27), lembrando que os cossenos diretores sao
dados por, n1 = sen θ, n3 = cos θ, sendo θ o angulo de fase, (4.28) torna-se:
A11 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 0 (A13 + A55) sen θ cos θ
0 A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 0
(A13 + A55) sen θ cos θ 0 A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V2
U1
U2
U3
=
0
0
0
.
Do sistema anterior, cuja solucao nao trivial e dada por det[Γ(~r, ~n) − V2I
]= 0,
resultam duas equacoes, (4.30) e (4.31), onde a equacao (4.31) e um sistema de
equacoes acopladas.
[A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2]U2 = 0, (4.30)
A11 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 (A11 + A55) sen θ cos θ
(A13 + A55) sen θ cos θ A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V2
U1
U3
= 0, (4.31)
a expressao (4.30) fornece a velocidade de fase para propagacao da onda SH, en-
quanto o sistema (4.31) produz as velocidades das ondas P e SV acopladas, conhecido
como propagacao P-SV. Resolvendo (4.30), tem-se:
VS H(θ) =√
A66 sen2 θ + A55 cos2 θ. (4.32)
A equacao (4.32) descreve a velocidade de propagacao da onda S, onde a direcao
de polarizacao esta situada no plano horizontal. Caso (θ = 0 - propagacao vertical),
VS H(0) =√
A55, enquanto na horizontal (θ = 90 ), VS H(90) =√
A66.
Para a propagacao P-SV (4.31), caso a onda propague paralela ao eixo de simetria
(θ = 0o), tem-se:
Vpz =√
A33; U1 = 0, U3 = 1, (4.33)
Vsz =√
A55; U1 = 1, U3 = 0. (4.34)
29
No caso em que (θ = 90), as velocidades sao,
Vpx =√
A11; U1 = 1, U3 = 0, (4.35)
Vsx =√
A55; U1 = 0, U3 = 1. (4.36)
Para tratar qualquer tipo de incidencia [6], a resolucao de (4.31) e expressa como,
2V2(θ) = A11 sen2 θ + A33 cos2 θ + A55 (4.37)
±√
[(A11 − A55) sen2 θ − (A33 − A55) cos2 θ]2 + (A13 + A55)2 sen2 2θ
Sendo assim, (4.37) descreve a velocidade de fase da propagacao P-SV para
qualquer θ, onde tomando o sinal negativo, tem-se a onda SV, e positivo, a onda
P. Como dito anteriormente, as ondas P e S sao referidas como quasi-P (qP) e
quasi-S (qS) respectivamente, sendo isto devido ao fato de quando toma-se θ =
0 na equacao (4.37), (4.33) e (4.34) sao obtidas. Devido a anisotropia, os planos
de polarizacao das ondas P e S nao sao perpendiculares ou paralelos a direcao de
propagacao como no caso isotropico, alem de as velocidades de fase e grupo da onda
nao serem coincidentes [6], [21]. Por simplicidade, daqui por diante o prefixo quasi
sera omitido.
4.4 Parametros de Anisotropia
4.4.1 Parametros de Thomsen
Na descricao das velocidades das ondas (4.32) e (4.37), foram empregados cinco
parametros de elasticidade normalizados, A11, A13, A33, A55, A66. No entanto, esta
notacao torna-se complicada para quantificar o grau de anisotropia de um meio ge-
ologico. Sendo assim, em 1986 Leon Thomsen [21] propos uma notacao pratica para
meios transversalmente isotropicos, atraves da introducao de tres parametros, a fim
de quantificar a anisotropia. Com isto, os cinco coeficientes elasticos normalizados
que caracterizam o meio VTI, podem ser substituıdos pelas velocidade Vpz e Vsz,
alem de tres parametros adimensionais ε, δ, γ, dados por:
30
ε =A11 − A33
2A33, (4.38)
γ =A66 − A55
2A55, (4.39)
δ =(A13 + A55)2 − (A33 − A55)2
2A33(A33 − A55), (4.40)
onde ε quantifica a anisotropia da onda P, γ representa a anisotropia da onda SH
e δ e responsavel pela dependencia angular da frente de onda P proximo ao eixo de
simetria [6]. Os tres parametros se reduzem a zero no meio isotropico. Ressalta-se
que o parametro δ apresentado e valido para meios com fraca anisotropia, ou seja,
|δ| 1.
Baseado em (4.38), (4.39) e (4.40), e possıvel reescrever os coeficientes de elasti-
cidade, tal que:
A11 = V2pz(1 + 2ε), (4.41)
A33 = V2pz, (4.42)
A55 = V2sz, (4.43)
A66 = V2sz(1 + 2γ), (4.44)
A13 =
√(V2
pz − V2sz)2 + 2δV2
pz(V2pz − V2
sz) − V2sz. (4.45)
Adicionalmente a velocidade da onda SH em funcao de (4.39) pode ser escrita
como:
VS H = Vsz
√1 + 2γ sen2 θ. (4.46)
31
De acordo com Tsvankin [6], para tratar o comportamento das ondas P-SV,
divide-se (4.37) por V2pz, e substitui-se os parametros de Thomsen [6], de maneira
que:
V2(θ)V2
pz= 1 + ε sen2 θ −
f2±
f2
√(1 +
2ε sen2 θ
f
)2
− 2(ε − δ)sen2 2θ
f(4.47)
onde, f = 1 − V2sz/V
2pz. Notar que a velocidade de fase da onda P corresponde ao
sinal positivo na equacao (4.47), e a onda SV ao negativo.
Para o caso especıfico, conhecido como anisotropia elıptica, em que ε = δ, as
velocidades das ondas P e SV ficam,
VP(θ) = Vpz
√1 + 2δ sen2 θ. (4.48)
VS V(θ) = Vsz. (4.49)
Uma importante consideracao a ser feita acerca das velocidades envolve seu com-
portamento para meios com anisotropia fraca (|ε | 1, |δ| 1, |γ| 1), pois muitas
formacoes geologicas apresentam tais caracterısticas. Nestes casos, pode-se expandir
a raiz de (4.47) em serie de Taylor, desprezando os termos quadraticos em ε e δ, o
que resulta para a onda P em,
VP(θ) = Vpz
√1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2ε sen4 θ. (4.50)
Expandindo entao a raiz em serie binomial, tem-se:
VP(θ) = Vpz(1 + δ sen2 θ cos2 θ + ε sen4 θ). (4.51)
Analogamente para a onda SV, chega-se a:
VS V(θ) = Vsz
1 +
(Vpz
Vsz
)2
(ε − δ) sen2 θ cos2 θ
. (4.52)
32
4.4.2 Parametro de Alkhalifah e Tsvankin
Ao estudar a equacao (4.52) Tsvankin e Thomsen [43] definiram um novo para-
metro, dado por:
σ =
(Vpz
Vsz
)2
(ε − δ). (4.53)
O parametro σ e responsavel por controlar a anisotropia da onda SV. Outro
importante coeficiente foi introduzido por Alkhalifah e Tsvankin [44], para controlar
a anisotropia da onda P, alem de toda a parte do processamento sısmico relacionado
a mesma onda. Esse parametro e conhecido como:
η =ε − δ
1 + 2δ. (4.54)
Nota-se que quando η = 0, significa que ε = δ, recaindo no caso de anisotropia
elıptica; por esse motivo η e chamado de parametro de nao - elipticidade.
De acordo com as etapas de processamento sısmico, existe uma velocidade im-
portante, denominada velocidade de normal moveout (Vpn). A velocidade nmo para
a onda P pode ser escrita em funcao do parametro δ de Thomsen [21], de forma que:
Vnmo = Vpn = Vpz
√1 + 2δ. (4.55)
O parametro η pode ser tambem expresso como,
η =12
V2px
V2pn− 1
, (4.56)
onde Vpx possui relacao tanto com o parametro ε como η, sendo:
Vpx = Vpz
√1 + 2ε, (4.57)
Vpx = Vpn
√1 + 2η. (4.58)
As relacoes de velocidade demonstradas, alem dos parametros de anisotropia, de-
sempenham papel fundamental na formulacao das equacoes acusticas anisotropicas
que serao vistas no proximo capıtulo.
33
Capıtulo 5
Propagacao de ondas em meios
acusticos e pseudo-acusticos
anisotropicos
5.1 Aproximacoes de velocidade e relacoes de dis-
persao para meios VTI
Na presente secao sera discutida a ideia fundamental para a formulacao das equa-
coes acusticas e pseudo-acustica anisotropica, isto e, a aproximacao da velocidade
de fase para o meio de interesse, no caso, meio com isotropia transversa. Serao in-
vestigadas as aproximacoes propostas por Tariq Alkhalifah [20], Leon Thomsen [21]
e Francis Muir [45]. Existem diversas formas para obtencao de equacoes de onda, no
entanto, desde os primeiros trabalhos relacionados a meios acusticos anisotropicos,
a maneira mais comum para obte-las reside na aproximacao da velocidade de fase
da onda P, de modo a eliminar sua dependencia em relacao a onda SV, ou seja,
desacoplando os campos P e SV.
5.1.1 Aproximacao de Alkhalifah
As aproximacoes da velocidade de fase para a onda P em meios VTI sao im-
portantes para a obtencao das formulacoes acusticas, uma vez que a partir delas,
atraves de tecnicas de transformadas integrais, e possıvel obter equacoes de onda que
34
expressem com boa precisao o comportamento cinematico das ondas P. Alkhalifah
[20] propos uma aproximacao para velocidade, baseada na equacao analıtica (4.47)
da seguinte forma:
limVsz→0
V2p(θ) = V2
pz
(1 + 2ε sen2 θ −
12
+12
√(1 + 2ε sen2 θ
)2− 2(ε − δ) sen2 2θ
)(5.1)
Utilizando as relacoes ~k = ω~p e px =sen(θ)V(θ) , pz =
cos(θ)V(θ) , sendo ~p e ~k respectivamente
o vetor vagarosidade e o numero de onda em coordenadas cartesianas para duas
dimensoes (px, pz), (kx, kz) e ω a frequencia angular. Dessa maneira a seguinte relacao
de dispersao derivada por Alkhalifah [20] e obtida:
k2z =
V2pn
V2pz
(ω2
V2pn−
ω2k2x
ω2 − 2ηV2pn k2
x
). (5.2)
A relacao (5.2), tal como as relacoes de dispersao que serao vistas a seguir, sao a
base para alcancar as equacoes de ondas acusticas em meios com anisotropia VTI.
5.1.2 Aproximacao de Thomsen
A aproximacao da velocidade da onda P proposta por Thomsen [21], e a apro-
ximacao mais citada na literatura, chamada de anisotropia fraca. Tal aproximacao
e obtida como apresentada por Tsvankin [6] e Daley et.al [46], atraves da expansao
em serie de Taylor da equacao (4.47), desprezando os termos de ordem quadratica
em ε e δ, resultando em:
V2p(θ) = V2
pz
(1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2ε sen4 θ
)(5.3)
Observa-se que a equacao (5.3) e equivalente a equacao proposta por Thom-
sen (4.51) a menos de uma linearizacao. Procedendo-se de forma analoga a secao
anterior, pode-se obter sua relacao de dispersao, dada por:
k2z =
V2pz
ω2
[(k2
x + k2z )2 + 2δ k2
xk2z + 2ε k4
x
]− k2
x. (5.4)
35
5.1.3 Aproximacao de Muir
Outra aproximacao conhecida da literatura, desenvolvida por Muir e Dellinger
[45], sendo da forma:
V2p(θ) = V2
pe(θ) +(q − 1)V2
pxV2pzsen2(θ)cos2(θ)
V2pe(θ)
(5.5)
onde V2pe(θ) = V2
pxsin2(θ) + V2pzcos2(θ) e a componente eliptica da velocidade da
onda, e o coeficiente q pode ser reescrito de acordo com Fowler [47] e Fomel [48], na
forma q =1
1 + 2η. Logo a aproximacao torna-se :
V2p(θ) = V2
pe(θ) +V2
pz(V2pn − V2
px)sen2(θ)cos2(θ)
V2pe(θ)
(5.6)
e sua correspondente relacao de dispersao:
k2z =
1ω2V2
pz
[(V2
pxk2x + V2
pzk2z )2 + 2(1 + η)V2
pzV2pn k2
xk2z
]−
V2px
V2pz
k2x. (5.7)
5.2 Equacao de onda pseudo-acustica e acustica
anisotropica
A equacao da onda elastica e uma das principais ferramentas para a modelagem
sısmica, uma vez que ela contempla todos os eventos sısmicos, tais como reflexoes,
refracoes, difracoes, conversoes de ondas, entre outros [49].
Frequentemente na modelagem faz-se uso de tal equacao, pois em relacao a equa-
cao acustica, trata-se de uma equacao mais completa. Com relacao a obtencao de
imagens em profundidade, teoricamente por ser uma formulacao de maior abrangen-
cia, apresentaria uma resolucao superior a formulacao que contemple somente ondas
P. No entanto, na pratica, devido a conversao de ondas, a imagem sofre uma degene-
racao maior na resolucao, alem de em alguns casos causar o posicionamento incorreto
das interfaces [50]. Ademais a modelagem elastica apresenta alto custo computaci-
onal quando comparado a modelagem acustica, devido ao armazenamento das tres
componentes de tensao e as duas componentes de velocidade, alem de possuir um
criterio de dispersao baseado na onda S, o que exige um espacamento da malha me-
nor em relacao a modelagem acustica para representar o mesmo modelo geologico.
36
Ao modelar somente um campo de onda P ou S faz-se necessario para a equacao
elastica aplicar algoritmos de desacoplamento das ondas, o que eleva o tempo de
processamento, principalmente quando o meio considerado e anisotropico [51].
Durante os ultimos doze anos, foram desenvolvidos trabalhos com o interesse so-
mente sobre o campo de onda P, buscando encontrar uma equacao de onda acustica
para meios anisotropicos, que nao necessitasse da aplicacao de algoritmos de desaco-
plamento e demandasse baixo armazenamento computacional [1]. Os pioneiros neste
sentido foram Tariq Alkhalifah [1] seguido por Klıe e Toro [3], os quais formularam
as primeiras equacoes do genero para meios com isotropia transversa.
5.2.1 Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica
5.2.1.1 Formulacao de Alkhalifah
Como descrito anteriormente, Tariq Alkhalifah foi um dos primeiros a formular
uma equacao de onda somente para o campo de onda P em meios com isotropia
transversa [1]. Em seu trabalho Tariq aplicou a Transformada de Fourier a relacao de
dispersao (5.2) apresentada na secao (5.1.1) para obter a equacao de onda desejada.
Contudo no presente trabalho, para a demonstracao da formulacao, um processo
analogo sera empregado [52]. Assim, seja um campo de ondas planas dado por
Φ(~r, t) = ei(~k.~r−ωt), onde as seguintes propriedades sao validas:
~∇Φ(~r, t) = i~kΦ(~r, t) ,∂Φ(~r, t)∂t
= −iωΦ(~r, t). (5.8)
De modo que para a autofuncao Φ(~r, t), o autovalor do operador ~∇ e do operador
∂∂t sao dados respectivamentes por:
~∇ = i~k ,∂
∂t= −iω. (5.9)
Para obter entao a equacao de onda a partir da relacao de dispersao, basta
multiplicar (5.2) por Φ(~r, t) e aplicar a relacao (5.8), chegando-se a:
∂2P(x, z, t)∂t2 = (1 + 2η)V2
pn∂2P(x, z, t)
∂x2 + V2pz∂2P(x, z, t)
∂z2 − 2ηV2pnV2
pz∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 . (5.10)
P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)
∂t2 . (5.11)
37
sendo P(x, z, t) o campo de pressao e Φ(x, z, t) um campo auxiliar, podendo ser com-
parado a um campo potencial [53].
A equacao (5.10) em conjunto com (5.11) foi a equacao de onda desenvolvida
por Alkhalifah para meios transversos isotropicos, e posteriormente utilizada para
imageamento sısmico. Atualmente existem outras equacoes com caracterısticas se-
melhantes, descritas por um sistema de equacoes de segunda ordem [27] onde nao
ocorre a presenca de derivadas mistas como na equacao (5.10). Destaca-se que esta
e a forma mais empregada na industria, pois o desacoplamento das derivadas torna
mais simples a discretizacao da equacao [27]. No entanto como o presente trabalho
visa avaliar as diferencas entre as diferentes equacoes acusticas, optou-se por utilizar
a equacao original.
E importante observar que no limite isotropico, ou seja, quando ε = 0, δ = 0 e
Vpn = Vpz, a equacao (5.10) recai na equacao acustica isotropica classica. Ressalta-se
tambem que a denominacao “Pseudo-Acustica” para a formulacao de Alkhalifah e
empregada por alguns autores, como Du et al. [25] e Fowler et al. [27], devido a
ocorrencia de eventos gerados por ondas SV presentes na formulacao, eventos esses
que serao detalhados no capıtulo 7.
5.2.2 Equacoes Acusticas Anisotropicas
5.2.2.1 Formulacao de Zhang
A formulacao que sera apresentada a seguir foi desenvolvida por Linbin Zhang
et.al [2] no domınio do tempo e do numero de onda para meios TI com eixo de
simetria arbitrario. Por este trabalho tratar de meios TI com eixo de simetria
vertical, realizou-se a simplificacao da formulacao de Zhang para o requerido meio.
Ressalta-se ainda que a formulacao a ser demonstrada para meio TI sera no domınio
do espaco e tempo, diferentemente da formulacao original obtida por Zhang et al.
[2].
Para tanto, multiplica-se a relacao de dispersao (5.4) pelo campo Φ(~r, t), e entao
utilizando novamente os operadores (5.8),chegando a:
38
∂2P(x, z, t)∂x2 +
∂2P(x, z, t)∂z2 = V2
pz(1 + 2ε)∂4Φ(x, z, t)
∂x4 + V2pz∂4Φ(x, z, t)
∂z4
+2V2pz(1 + δ)
∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.12)
P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)
∂t2
O conjunto de equacoes (5.12) apresenta uma natureza mais complexa, pois alem
do acoplamento das derivadas espaciais, existe o acoplamento entre espaco e tempo.
Diferente da equacao derivada por Alkhalifah, a equacao (5.12) no limite isotropico
torna-se:
∂2P(x, z, t)∂x2 +
∂2P(x, z, t)∂z2 = V2
pz∂4Φ(x, z, t)
∂x4 + V2pz∂4Φ(x, z, t)
∂z4
+2V2pz∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.13)
Como o conjunto de equacoes (5.12) e formulado a partir da relacao de disper-
sao (5.4), e esta por sua vez a partir da aproximacao de velocidade de Thomsen
(5.3), os parametros de anisotropia estao restritos aos limites de aplicabilidade da
aproximacao de Thomsen [6], [21], [46], ou seja, |ε | 1 e |δ| 1.
5.2.2.2 Formulacao de Klıe e Toro
A ultima equacao que sera analisada neste trabalho foi desenvolvida por Klıe e
Toro [3]. Estes autores desenvolveram a equacao a partir da solucao de ondas planas
proposta para a equacao (5.10) por Tariq Alkhalifah [1]. No entanto, no presente
trabalho optou-se por empregar um processo equivalente, como realizado nas secoes
(5.2.1.1) e (5.2.2.1), ou seja, utilizando a relacao de dispersao (5.7) encontrada a
partir da aproximacao de velocidade de Muir (5.6), e entao repetindo todos os passos
das secoes (5.2.1.1) e (5.2.2.1). Sendo assim, a seguinte equacao e obtida:
(1 + 2η)V2pn∂2P(x, z, t)
∂x2 + V2pz∂2P(x, z, t)
∂z2 = (1 + 2η)2V4pn∂4Φ(x, z, t)
∂x4 + V4pz∂4Φ(x, z, t)
∂z4
+2V2pzV
2pn(1 + η)
∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.14)
39
P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)
∂t2
No limite isotropico (η = 0, Vpn = Vpz), as equacoes (5.14) e (5.12) sao equiva-
lentes, entretanto esse fato ocorre para δ ∈ R | ε = 0. Um caminho diferente para
verificar tal afirmacao seria empregar a aproximacao δ ∈ R | ε = 0 nas relacoes de
velocidade (5.4) e (5.6), o que resultaria na igualdade entre as mesmas.
A restricao sobre o parametro η aplicado a equacao (5.14) por Klıe e Toro [54]
e η > −14 . Tambem por utilizar a velocidade nmo (Vpn), a restricao δ ≥ −1
2 deve ser
respeitada.
5.3 Analise das aproximacoes de velocidade
As equacoes anisotropicas vistas nas secoes (5.2.1.1), (5.2.2.1) e (5.2.2.2), resul-
taram das diferentes aproximacoes de velocidade (5.1), (5.3) e (5.6), respectivamente
para a onda P. Por essa razao, ha uma relacao direta entre as aproximacoes de velo-
cidade investigadas e suas formulacoes acusticas, isto e, quanto melhor for a precisao
da aproximacao mais precisa sera a equacao de onda derivada.
A presente secao tem por objetivo avaliar as diferentes aproximacoes de veloci-
dade apresentadas na secao (5.1), comparando-as com a solucao analıtica (4.47). A
analise foi realizada utilizando o folhelho Greenhorn [55], o qual e utilizado como
parametro de comparacao em diversos trabalhos, pois o meio geologico envolvido
fornece um dos maiores graus de anisotropia [56].
As velocidades de fase da onda P para as diferentes aproximacoes da secao (5.1)
constam no grafico da figura (5.1), onde 0 a 90o foi a variacao sobre o angulo θ, com
∆θ = 0, 02o.
De acordo com a figura (5.1(b)), a aproximacao de Alkhalifah fornece uma esti-
mativa adequada para angulos abaixo de 30, para angulos maiores o erro relativo
nao excede 0.3%. Por outro lado a aproximacao de Thomsen indica erro crescente
em torno de 0.1% a 1.25% para angulos entre 30o e 60, decrescendo entre 60 e 90.
A aproximacao de Muir apresenta comportamento analogo a de Thomsen, contudo
com erros relativos menores para diferentes angulos.
40
(a) Comparacao entre as aproximacoes propostas para velocidade de fase.
(b) Erro relativo.
Figura 5.1: Comparacao das velocidades de fase da onda P para o folhelho Gree-
nhorn. Os parametros empregados sao ε = 0.255, δ = −0.051,Vpz = 3094 m/s,Vsz =
1509 m/s, ρ = 2370 Kg/m3.
41
Capıtulo 6
Modelagem numerica para
propagacao de ondas
6.1 Discretizacao das Equacoes
Por vezes, problemas encontrados em diversas areas da ciencia sao formulados
por equacoes diferenciais. Como exemplos podem-se citar, trajetoria balıstica, cur-
vatura de vigas, reacoes quımicas, decaimento radioativo, entre outros. Uma gama
destes problemas possuem solucao analıtica somente se forem simplificados, caso
contrario, e necessario recorrer aos metodos numericos para encontrar uma solucao.
No fenomeno de propagacao de ondas, existe uma necessidade quase inerente de
trata-lo por meio destes metodos, principalmente na area de sismologia de explo-
racao, especificamente na sısmica de reflexao, onde o domınio investigado possui
extensa complexidade.
A variedade de metodos numericos para solucao de equacoes de onda e extensa
[4], todavia nesse trabalho optou-se pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF)
(Apendice (A)), por ser amplamente aplicado na modelagem sısmica, apresentando
baixo custo computacional relativamente aos demais metodos, como MEF e MVF.
Para o estudo de fenomenos fısicos a modelagem numerica tem um papel de
destaque; por meio dela pode-se determinar quais grandezas fısicas atuam sobre
o sistema fısico e como elas o afetam [57]. Para modelagem sısmica, em geral as
grandezas de interesse correspondem a pressao, para o caso acustico, enquanto para
o elastico tem-se tensao, deslocamento ou velocidade.
42
Como mencionado anteriormente, na modelagem de ondas sısmicas aplicam-se os
metodos numericos para solucao das equacoes de onda; o que significa que as mesmas
devem ser resolvidas computacionalmente. Segundo Fortuna [57], para tratar o
modelo computacional e necessario expressar as equacoes e o domınio onde elas sao
validas. Como nao se pode obter solucoes numericas sobre regioes contınuas, devido
aos infinitos pontos da mesma, o domınio e entao discretizado, isto e, dividido em um
numero finito de pontos, para que somente nesses pontos as solucoes sejam obtidas
(Apendice (A)).
6.1.1 Discretizacao para a formulacao de Alkhalifah
As equacoes (5.10) e (5.11), referentes a aproximacao de Alkhalifah, sao discreti-
zadas pelas equacoes em diferencas finitas centrais (6.1) e (6.2), em segunda ordem
no espaco e no tempo (Apendice (A)), como segue:
Φ(x, z, t)∣∣∣∣n+1
i,k= 2Φn
i,k − Φn−1i,k + ∆t2Pn
i,k (6.1)
P(x, z, t)∣∣∣∣n+1
i,k= 2Pn
i,k − Pn−1i,k + ∆t2
(∂2P∂t2
)n
i,k(6.2)
onde,
(∂2P∂t2
)n
i,k= a1
(Pni+1,k − 2Pn
i,k + Pni−1,k
∆x2
)+ a2
(Pni,k+1 − 2Pn
i,k + Pni,k−1
∆z2
)−
a3
∆x2∆z2
[4Φn
i,k − 2(Φni−1,k + Φn
i,k−1 + Φni+1,k + Φn
i,k+1)+ Φni−1,k−1 (6.3)
+Φni+1,k−1 + Φn
i+1,k+1 + Φni−1,k+1
]
a1 = (1 + 2 ηi,k)V2pn (i,k) (6.4)
a2 = V2pz (i,k) (6.5)
a3 = 2 ηi,kV2pn (i,k)V
2pz (i,k) (6.6)
Sendo assim, o campo Φ(x, z, t) para a equacao (5.11) e calculado usando a for-
mula recursiva (6.1), e posteriormente o campo P(x, z, t) e calculado atraves de (6.2).
Os ındices (i,k) se referem as coordenadas (x,z) discretizadas no espaco, onde x =
i∆x, z = k∆z, sendo ∆x e ∆z os espacamentos entre os pontos da malha nas direcoes
43
x e z respectivamente (Apendice (A)); n corresponde a coordenada t discretizada
no tempo, onde t = n∆t, sendo ∆t o incremento temporal. As equacoes de (6.1) a
(6.3) podem ser reescritas conforme (6.7) substituindo (6.3) em (6.2) e usando (6.1),
tomando ∆x = ∆z = ∆h e C = ∆t2/∆h2, chega-se a:
Pn+1i,k = a1C
(Pni+1,k − 2Pn
i,k + Pni−1,k
∆h2
)+ a2C
(Pni,k+1 − 2Pn
i,k + Pni,k−1
∆h2
)−
a3C∆h2
[4Φn
i,k − 2(Φni−1,k + Φn
i,k−1 + Φni+1,k + Φn
i,k+1) + Φni−1,k−1 (6.7)
+Φni+1,k−1 + Φn
i+1,k+1 + Φni−1,k+1
]+ 2Pn
i,k − Pn−1i,k
A figura (6.1) indica a posicao relativa dos pontos no espaco e tempo, referentes
a esta discretizacao. A equacao (6.7) e uma equacao de diferencas finitas explıcita,
pois relaciona o campo Pn+1i,k no tempo n + 1 com campos determinados em passos
anteriores n e n − 1, constituindo um conjunto de equacoes independentes, ou seja,
para encontrar o campo Pn+1i,k em determinado ponto, nao e necessaria a solucao de um
sistema linear a cada passo de tempo, pois a equacao (6.7) e resolvida recursivamente
para todos os pontos no espaco e no tempo [17],[57].
Figura 6.1: Estencil para pontos no tempo n, n+1 e n−1 para o caso pseudo-acustico
anisotropico.
44
6.1.2 Discretizacao para as formulacoes de Zhang e Klıe
Para a discretizacao das equacoes (5.12) e (5.14) e conveniente substituir a ex-
pressao para o campo de pressao em funcao do potencial, conforme (5.11), obtendo
por exemplo, para a equacao (5.14), a seguinte equacao:
(1 + 2η)V2pn∂4Φ(x, z, t)∂x2∂t2 + V2
pz∂4Φ(x, z, t)∂z2∂t2 = (1 + 2η)2V4
pn∂4Φ(x, z, t)
∂x4 + V4pz∂4Φ(x, z, t)
∂z4
+2V2pzV
2pn(1 + η)
∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (6.8)
Realizando a discretizacao em segunda ordem no espaco e no tempo para a
equacao (6.8) obtem-se a seguinte equacao em diferencas finitas:
b1
4Φni,k − 2(Φn
i−1,k + Φn−1i,k + Φn
i+1,k + Φn+1i,k ) + Φn−1
i−1,k + Φn−1i+1,k + Φn+1
i+1,k + Φn+1i−1,k
∆h2∆t2
+ b2
4Φni,k − 2(Φn
i,k−1 + Φn−1i,k + Φn
i,k+1 + Φn+1i,k ) + Φn−1
i,k−1 + Φn−1i,k+1 + Φn+1
i,k+1 + Φn+1i,k−1
∆h2∆t2
=
b3
[Φn
i+2,k − 4Φni+1,k + 6Φn
i,k − 4Φni−1,k + Φn
i−2,k
(∆h)4
]+ b4
[Φn
i,k+2 − 4Φni,k+1 + 6Φn
i,k − 4Φni−1,k + Φn
i,k−2
(∆h)4
]+
b5
[4Φni,k − 2(Φn
i−1,k + Φni,k−1 + Φn
i+1,k + Φni,k+1) + Φn
i−1,k−1 + Φni+1,k−1 + Φn
i+1,k+1 + Φni−1,k+1
∆h2∆t2
](6.9)
onde,
b1 = (1 + 2ηi,k)V2pn (i,k) (6.10)
b2 = V2pz (i,k) (6.11)
b3 = (1 + 2ηi,k)2V4pn (i,k) (6.12)
b4 = V4pz (i,k) (6.13)
b5 = 2V2pz (i,k)V
2pn (i,k)(1 + ηi,k) (6.14)
A expressao do lado esquerdo da igualdade em (6.9) envolve cinco incognitas
avaliadas no tempo n+1, conforme ilustrado na figura (6.2), de forma que as equacoes
geradas estao acopladas, diferentemente da equacao de Alkhalifah discretizada (6.7).
O acoplamento ocorre devido aos termos de derivada mista ∂4Φ∂x2∂t2 , ∂4Φ
∂z2∂t2 , o que exige
45
a solucao de um sistema linear a cada passo de tempo. Observa-se que para a
formulacao de Zhang, equacao (5.12), a mesma expressao (6.9) e valida, a menos
dos coeficientes, que passam a ser dados por:
b1 = 1 (6.15)
b2 = 1 (6.16)
b3 = V2pz (i,k)(1 + 2εi,k) (6.17)
b4 = V2pz (i,k) (6.18)
b5 = 2V2pz (i,k)(1 + δi,k) (6.19)
Figura 6.2: Estencil para pontos no tempo n, n + 1 e n − 1 para o caso acustico
anisotropico.
Ao discretizar as equacoes (5.12) e (5.14), observou-se que as mesmas consti-
tuem um sistema de equacoes acoplado, equacao (6.9), por essa razao e conveniente
reescrever as equacoes (5.12) e (5.14) em notacao matricial como:
MPn = KΦn (6.20)
sendo M e K as matrizes de coeficientes, enquanto Pn e Φn sao vetores. Uma
vez calculado o campo Pni,k sobre o domınio atraves de (6.20), sendo o campo Φn
i,k e
Φn−1i,k dados pelas condicoes iniciais, o processo de marcha temporal e realizado por
meio de (5.11), isto e,
Φn+1i,k = 2Φn
i,k − Φn−1i,k + ∆t2Pn
i,k (6.21)
46
Em resumo o processo de modelagem atraves das equacoes (5.12) e 5.14) consiste
na solucao de um sistema de equacoes lineares dado por (6.20), seguido do processo
de marcha no tempo, dado por (6.21). Apesar da semelhanca entre as equacoes de
Zhang (5.12) e Klıe (5.14), observa-se que as respectivas matrizes de coeficientes
M possuem natureza distinta, sendo simetrica para a formulacao de Zhang, e nao
simetrica para a formulacao de Klıe. No entanto no meio homogeneo, a simetria e
mantida em ambas as matrizes. Destaca-se que para a solucao do sistema linear,
foi realizada a triangularizacao da matriz de coeficientes M atraves da fatoracao
LDLT , e em seguida empregou-se a retrosubstituicao [58]. Quanto ao esquema de
armazenamento matricial, optou-se por empregar o armazenamento comprimido por
linha, conhecido como armazenamento CRS (Compressed Row Storage) ou CSR
(Compressed Sparse Row) [59].
6.1.3 Formulacao elastica
Para fins de comparacao, foi utilizada a equacao elastica anisotropica de acordo
com o trabalho de Di Bartolo [42], onde as equacoes (4.17) e (4.18) para meios
bidimensionais com anisotropia VTI sao escritas com:
ρ∂v1
∂t=
∂σ11
∂x1+∂σ13
∂x3, (6.22)
ρ∂v3
∂t=
∂σ13
∂x1+∂σ33
∂x3, (6.23)
∂σ11
∂t= C11
∂v1
∂x1+ C13
∂v3
∂x3, (6.24)
∂σ33
∂t= C13
∂v1
∂x1+ C33
∂v3
∂x3, (6.25)
∂σ13
∂t= C55
(∂v1
∂x3+∂v3
∂x1
), (6.26)
onde as coordenadas sao (x1, x3) = (x, z), logo as velocidades sao dadas por
(v1, v3) = (vx, vz), e as tensoes por (σ11, σ33, σ13) = (σxx, σzz, σxz). Os coeficientes
C11, C33, C55 e C13 sao os coeficientes de elasticidade para o meio VTI. As relacoes
entre os coeficientes de elasticidade e os parametros de anisotropia sao dadas pelas
mesmas equacoes (4.41), (4.42), (4.43) e (4.45), observando-se que as mesmas devem
ser nao normalizadas para a densidade.
47
A malha aplicada para a discretizacao das equacoes (6.22) a (6.26) difere da
utilizada nas secoes (6.1.1) e (6.1.2), onde as incognitas e os parametros foram
avaliados nos mesmos pontos; quando isso ocorre a malha e dita ser co-localizada
[57]. Entretanto para a equacao elastica, incognitas e propriedades materiais sao
comumente definidas em posicoes diferentes, intermediarias, por essa razao a malha
e conhecida na literatura como malha intercalada ou deslocada. Este conceito foi
primeiramente empregado na modelagem de ondas sısmicas por Madariaga [60] e
posteriormente por Virieux [61], [62]. O intercalamento entre tensoes e velocidades
e descrito conforme a figura (6.3).
Figura 6.3: Malha intercalada no espaco e tempo (Modificado de Di Bartolo [42]).
Ao observar a figura (6.3), verifica-se que as grandezas estao espacadas de h2 , ou
seja, metade da distancia entre os pontos da malha, alem das tensoes e velocidades
estarem definidas em intervalos de tempo diferentes, respectivamente, n e n + 12 .
Por este motivo, ao utilizar a malha intercalada, o erro na discretizacao utilizando
diferencas centrais para as derivadas espaciais apresenta-se quatro vezes menor em
relacao a malha co-localizada [63]. O resultado da discretizacao como apresentado
em Di Bartolo [42] e:
48
Vxn+ 1
2( i, k) = Vx
n− 12
( i, k) + b ( i, k)∆th
(σn
xx ( i+ 12 , k) − σ
nxx ( i− 1
2 , k) + σnxz ( i, k+ 1
2 ) − σnxz ( i, k− 1
2 )
).
Vzn+ 1
2
( i+ 12 , k+ 1
2 )= Vz
n− 12
( i+ 12 , k+ 1
2 )+ b ( i+ 1
2 , k+ 12 )
∆th
(σn
xz ( i+1, k+ 12 ) − σ
nxz ( i, k+ 1
2 ) + σnzz ( i+ 1
2 , k+1) − σnxz ( i+ 1
2 , k)
).
σn+1xx ( i+ 1
2 , k) = σnxx( i+ 1
2 , k) + C11 ( i+ 12 , k)
∆th
(Vx
n+ 12
( i+1, k) − Vxn+ 1
2( i, k)
)+ C13 ( i+ 1
2 , k)∆th
(Vz
n+ 12
( i+ 12 , k+ 1
2 )− Vz
n+ 12
( i+ 12 , k−
12 )
).
(6.27)
σn+1zz ( i+1, k) = σn
zz( i+ 12 , k) + C33 ( i+ 1
2 , k)∆th
(Vz
n+ 12
( i+ 12 , k+ 1
2 )− Vz
n+ 12
( i+ 12 , k−
12 )
)+ C13 ( i+ 1
2 , k)∆th
(Vx
n+ 12
( i+1, k+ 12 )− Vx
n+ 12
( i, k)
).
σn+1xz ( i, k+ 1
2 ) = σnxz( i, k+ 1
2 ) + C55 ( i, k+ 12 )
∆th
(Vx
n+ 12
( i, k+1) − Vxn+ 1
2( i, k)
)+ C55 ( i, k+ 1
2 )∆th
(Vz
n+ 12
( i+ 12 , k+ 1
2 )− Vz
n+ 12
( i− 12 , k+ 1
2 )
).
6.2 Condicoes iniciais e de contorno
Todo problema fısico tem inıcio em um certo instante de tempo, geralmente t = 0,
com isso e necessario conhecer a grandeza regida pelo modelo matematico, no caso
a equacao diferencial, no dado instante de tempo, isto e, sua condicao inicial. Em
geral a condicao inicial utilizada neste trabalho e dada por,
u(x, z, t = 0) = ϕ(x, z),∂u∂t
(x, z, t = 0) = ψ(x, z). (6.28)
A condicao inicial descrita por (6.28) e conhecida como condicao de Cauchy [64],
onde u(x, z, t) pode ser o campo de pressao, e no caso vetorial, tensao ou velocidade.
Neste trabalho as funcoes ϕ(x, z) e ψ(x, z) assumiram valor nulo em todo o domınio,
ou seja, ϕ(x, z) = ψ(x, z) = 0.
Em relacao as condicoes de contorno para a modelagem sısmica, as mesmas
necessitam representar um meio infinito, exceto na superfıcie. Para esta funcao
as condicoes de contorno nao reflexivas (CCNR) sao frequentemente empregadas
49
[65]. O objetivo da CCNR e evitar reflexoes nas fronteiras do modelo numerico,
causadas pelo truncamento do modelo geologico real. Outra forma bastante usual
para impedir as reflexoes indesejadas e utilizar as camadas de amortecimento.
As camadas de amortecimento sao regioes criadas em torno das fronteiras, sua
funcao e causar um decaimento exponencial do campo de onda, diminuindo sua
amplitude, visando reduzir reflexoes na fronteira. A condicao mais conhecida para
esse proposito foi desenvolvida por Cerjan et al. [66]. No entanto, durante o de-
senvolvimento deste trabalho nao observou-se reducao significativa das amplitudes
empregando a condicao de Cerjan. Em relacao a CCNR proposta por Reynolds [65],
a mesma mostrou-se instavel para os operadores implementados.
Por nao ser o foco principal do trabalho, e visto que a analise das condicoes de
contorno para propagacao de ondas em meios infinitos gera uma linha de pesquisa
a parte, devido a complexidade do tema optou-se por empregar as condicoes de
Dirichlet e Neumann, e quando necessario, expandir o modelo numerico para simular
a condicao de comportamento no infinito, e assim evitar reflexoes nas fronteiras.
6.2.1 Condicao de Dirichlet e Neumann
Para simular a condicao de contorno na superfıcie aplicou-se a condicao de Diri-
chlet. Para tal condicao assume-se conhecido o valor do campo sobre a fronteira Γu,
isto e,
u(x, z, t) = u em Γu, (6.29)
onde o valor prescrito u = 0 foi aplicado como sendo o valor do campo na su-
perfıcie. Para a formulacao de Alkhalifah descrita na secao (5.2.1), a aplicacao da
condicao de Dirichlet e direta, entretanto para a formulacao de Zhang e Klıe, o
metodo utilizado foi o Metodo das Imagens [19], [49].
O Metodo das Imagens foi introduzido por Levander [19] para simular o campo
prescrito nulo em uma dada superfıcie, aplicando a relacao de anti-simetria, ou seja:
uni,k−1 = −un
i,k+1. (6.30)
Desta forma, de acordo com a figura (6.4), para a aplicacao da condicao de
Dirichlet no ponto (i, k), isto e, para fazer uni,k = 0, e necessario aplicar sobre as
50
equacoes (5.12) e (5.14) deste ponto, a relacao de anti-simetria (6.30). Assim para a
prescricao de toda a superfıcie da figura (6.4), a mesma ideia e aplicada aos demais
pontos da respectiva fronteira.
Figura 6.4: Metodo da imagem para condicao de Dirichlet no ponto (i, k). A seta
indica a igualdade (6.30) entre os pontos.
No caso da condicao de Neumann, o valor da derivada do campo na fronteira Γq
e conhecido, ou seja,
∂u∂n
(x, z, t) = q em Γq, (6.31)
onde n e a normal a fronteira. Para o valor prescrito foi utilizado q = 0. A
aplicacao para a formulacao (5.10) foi empregada atraves da discretizacao de (6.31)
em diferencas progressivas e regressivas em primeira ordem nas fronteiras esquerda,
direita e inferior, respectivamente. Abaixo seguem as discretizacoes para a aplicacao
na formulacao de Alkhalifah (5.10):
• Fronteira esquerda
un1,k = un
2,k, (6.32)
• Fronteira direita
unnx,k = un
nx−1,k, (6.33)
• Fronteira inferior
unnz,k = un
nz−1,k, (6.34)
51
sendo nx o numero total de pontos na direcao x e nz para a direcao z .
Para a simulacao da condicao de Neumann para as formulacoes de Zhang (5.12)
e Klıe (5.14), a estrategia tambem foi o metodo das imagens, semelhante a condicao
de Dirichlet, no entanto a relacao assumida e de simetria, dada por:
• Fronteira esquerda
uni−1,k = un
i+1,k, (6.35)
• Fronteira direita
unnx+1,k = un
nx−1,k, (6.36)
• Fronteira inferior
unnz+1,k = un
nz−1,k, (6.37)
6.3 Condicao de estabilidade e dispersao
6.3.1 Estabilidade numerica
De acordo com Fortuna [57] um metodo numerico estavel e aquele onde quaisquer
erros ou perturbacoes na solucao nao sao amplificados sem limite. Como a amplifi-
cacao e puramente relativa ao metodo numerico, e nao a fısica do problema, ela deve
ser evitada para que haja convergencia da solucao. Em geral, para problemas tran-
sientes, os metodos de marcha explıcitos apresentam um limite no valor utilizado
de ∆t. Esse e normalmente expresso em funcao da dimensao da malha utilizada,
velocidade de propagacao, entre outros. Para as equacoes (6.7), (6.9) assumindo os
coeficientes (6.15) a (6.19) e (6.27), a restricao sobre ∆t e dada por:
∆t <1√
2min
(h
max (Vpx(x, z)),
hmax (Vpz(x, z))
)(6.38)
A condicao de estabilidade (6.38) e conhecida como Condicao de Courant-Friedrichs-
Lewy (CFL) [1].
52
Ja para a equacao (6.9) assumindo os coeficientes (6.10) a (6.14), a condicao
necessaria foi a mesma empregada por Klıe e Toro [54], equacao (6.39), condicao
esta derivada a partir da analise de Von Neumann [67], bastante empregada para
analise de estabilidade numerica.
(1 + 2η)V2pn + V2
pz +2ηV2
pnV2pz
(1 + 2η)V2pn + V2
pz
∆t2
h2 ≤ 1 (6.39)
6.3.2 Dispersao numerica
O fenomeno de dispersao numerica e causado em virtude das discretizacoes re-
alizadas pelo metodo numerico, fazendo com que as ondas viagem com velocidades
e frequencias distintas [68]. Devido a dispersao, a qualidade da solucao numerica
e afetada, diminuindo sua convergencia ao longo do tempo. Para controlar a dis-
persao, existe um criterio a ser aplicado para problemas de propagacao de ondas,
responsavel por estabelecer o maior valor possıvel para o espacamento utilizado na
malha, dependente da frequencia e velocidade da onda no meio [69], dado por:
h ≤Vmin
α fcorte, (6.40)
onde Vmin e a menor velocidade contida no modelo, α representa o numero de pontos
discretos por comprimento de onda, onde se considera o menor comprimento de
onda, referente a menor velocidade presente no meio. Tal parametro e dependente
da ordem da discretizacao, para operadores de segunda ordem, deve-se adotar valores
para α proximos a dez [50]. O parametro fcorte corresponde a frequencia de corte
associada a fonte utilizada para a geracao das ondas sısmicas. Maiores detalhes
sobre a fonte serao vistos na secao seguinte.
53
6.4 Fonte Sısmica
Na modelagem de ondas sısmicas e necessaria a aplicacao de uma fonte para que
inicie-se a propagacao da onda no meio. Uma fonte sısmica e uma regiao localizada,
dentro da qual a repentina liberacao de energia produz uma rapida tensao/pressao
sobre o meio circundante [70]. Basicamente a fonte e inserida a equacao diferencial,
ressalta-se que por essa razao deve-se tomar cuidado durante a discretizacao para
que a mesma seja levada em conta.
A fonte sısmica empregada na modelagem numerica para todas as equacoes de
ondas discretizadas neste trabalho e do tipo:
f (t) =[1 − 2π( fctdπ)2
]e−π( fctdπ)2
. (6.41)
Sendo:
t → Tempo
td → Tempo defasado devido a uma translacao no eixo temporal, de modo que a
wavelet inicie na origem,
td = t −2√π
fc
fc → Frequencia central da fonte,
fc =fcorte
3√π
fcorte → Frequencia de corte; maior frequencia contida no espectro da funcao
fonte.
A fonte empregada, figura (6.5(a)), e denominada wavelet de Ricker [71], a figura
(6.5(b)) apresenta o espectro de frequencias da desta funcao. Na teoria de wavelets,
(6.41) e referida como Mexican Hat [72]. Importante salientar que para a equacao
elastica, a fonte deve ser aplicada sobre os tensores de tensoes normais [61], [62].
54
(a) Funcao fonte. (b) Espectro de frequencias da funcao.
Figura 6.5: Funcao fonte e seu espectro de frequencias.
6.5 Matriz de tempo de transito
Ao resolver as equacoes diferenciais que descrevem o fenomeno de propagacao
de ondas pode-se conhecer a distribuicao de pressao, tensao ou deslocamento no
meio de interesse, dependendo da formulacao utilizada. O tempo de transito e outra
variavel de enorme interesse na sısmica, pois e parametro para varias etapas de
processamento sısmico, incluindo-se a migracao [73]. Por essa razao, neste trabalho
as matrizes de tempo de transito serao avaliadas.
A variedade de metodos para encontrar o tempo de transito e extensa, entre os
quais a solucao direta da Iconal [74] e o metodo de Tracado de Raios [75] sao os
tradicionais. Apesar deste trabalho nao aplicar nenhum dos metodos citados acima, e
possıvel avaliar o tempo de transito empregando as mesmas equacoes diferenciais que
descrevem a propagacao de ondas. Todavia e necessaria a aplicacao de um criterio
para obter o tempo de percurso referente a frente de ondas durante a propagacao, e
no presente caso, o criterio adotado sera aquele conhecido como criterio de amplitude
maxima proximo a primeira quebra (first break)1, o qual e empregado durante a
propagacao.
Tal criterio foi proposto por Bulcao [50], onde o autor realizou uma extensao
do trabalho de Loewenthal e Hu [77]. De acordo com a metodologia, a amplitude
maxima da frente de onda proximo a primeira quebra e registrada (ureg) para
cada ponto do modelo, registrando-se tambem o tempo associado a (ureg), que
1Primeiro evento interpretado como sinal, atribuido a onda gerada pela fonte sısmica [76]
55
sera considerado como o tempo de transito. O processo empregado e iterativo,
atualizando a amplitude registrada a cada passo de tempo n. Ao associar o tempo
de transito a cada ponto do modelo, obtem-se uma matriz de tempo de transito
(MTT). Segue abaixo o pseudocodigo da metodologia.
Algoritmo ( Matriz de tempo de transito )
1 cond1 ← [(t − MTT (i, k)) ≤ 1, 5 ∗ TG]
2 cond2 ←[|u(i, k, n)| > |ureg(i, k)|
]3 cond3 ←
[ureg(i, k) = 0
]4 se (cond2 e (cond1 ou cond3)) entao
5 ureg(i, k)← |u(i, k, n)|
6 MTT (i, k)← n∆t
7 fim se
fim
onde:
u(i, j, n) e o campo incidente;
ureg(i, k) e a matriz que registra a amplitude em cada ponto;
TG e o periodo da funcao fonte utilizada;
n e o passo temporal;
∆t e o incremento temporal;
t e o tempo registrado;
MTT (i, k) e a matriz de tempo de transito associada;
cond1, cond2 e cond3 sao variaveis logicas.
Como descrito por Bulcao [50], a metodologia tem a vantagem de apresentar
uma matriz com comportamento mais suave para regioes distantes da fonte, alem de
diminuir as descontinuidades causadas pela interferencia construtiva entre as ondas
oriundas da fonte e as refletidas nas interfaces. Enfatiza-se que no presente trabalho
as matrizes de tempo de transito da formulacao pseudo-acustica serao comparadas
com as advindas da formulacao elastica.
56
Capıtulo 7
Exemplos e Discussoes
Neste capıtulo sao apresentados alguns exemplos utilizando as equacoes acusticas
e pseudo-acustica. O principal objetivo e estudar a natureza das formulacoes pseudo-
acustica e acustica anisotropica comparando-as com a formulacao elastica.
As matrizes de tempo de transito para a formulacao pseudo-acustica e elastica
serao comparadas entre si, com a finalidade de avaliar a precisao cinematica forne-
cida pela formulacao pseudo-acustica. Para demonstrar a natureza da propagacao
de ondas em meios anisotropicos, alguns casos serao comparados para avaliar as
diferencas cinematicas entre meios isotropicos e anisotropicos.
Observa-se que todos os eixos cartesianos representados nas figuras deste capıtulo
estao na seguinte configuracao: (x, z)=( distancia (m), profundidade (m) ), exceto
para os sismogramas, onde (x, z)=( distancia (m), tempo (s) ).
7.1 Formulacao Elastica e Pseudo-Acustica
Os exemplos seguintes tratam da modelagem da equacao elastica anisotropica
e pseudo-acustica; os meios empregados para analise serao quatro: Homogeneo,
Interfaces Paralelas, Interfaces Inclinadas e Anticlinal.
7.1.1 Meio Homogeneo
O primeiro exemplo a ser destacado e o meio homogeneo, o mesmo empregado
na secao (5.3) para avaliacao das aproximacoes de velocidades. Sendo assim Vpz =
3094 m/s, Vsv = 1509 m/s, ρ = 2370 kg/m3, ε = 0.255 e δ = −0.051. O exemplo
57
Tabela 7.1: Parametros utilizados na modelagem (Meio Homogeneo)
Modelagem Pseudo-Acustica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,6 Incremento temporal (ms)
h 4,5 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 300 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 300 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 600 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s
ix f 150 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 150 Posicao da fonte na malha para direcao z
Modelagem Elastica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,35 Incremento temporal (ms)
h 2,5 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 540 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 540 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 1030 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s
ix f 270 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 270 Posicao da fonte na malha para direcao z
tem como objetivos avaliar os modos de onda presentes na equacao pseudo-acustica,
verificar as diferencas entre os tempos de transito no meio isotropico e anisotropico,
alem da comparacao dos mesmos com os advindos da modelagem elastica. A tabela
(7.1) descreve os parametros empregados na modelagem. Ao observar a tabela (7.1),
a modelagem pseudo-acustica emprega um valor para o espacamento (h) da malha
maior e o passo total de analise (Ntotal) menor, em relacao a modelagem elastica,
para representar o mesmo meio. Isto e devido ao criterio de dispersao empregado
para modelagem pseudo-acustica, o qual independe da onda S.
As figuras (7.1(a)) e (7.1(b)) mostram instantaneos (snapshots) do campo de
pressao em 0.24s a partir da equacao de Alkhalifah, para um meio anisotropico e
58
isotropico homogeneo respectivamente, enquanto as figuras (7.2(a)) e (7.2(b)) apre-
sentam, para a formulacao elastica, as respostas para o campo de tensao vertical
(σzz) no mesmo instante de tempo.
(a) Campo de pressao no meio anisotropico (b) Campo de pressao no meio isotropico
Figura 7.1: Instantaneos para o campo de pressao em meio homogeneo - Formulacao
Pseudo-Acustica.
(a) Campo de tensao vertical no meio aniso-
tropico
(b) Campo de tensao vertical no meio isotro-
pico
Figura 7.2: Instantaneos para o campo de tensao vertical (σzz) em meio homogeneo
- Formulacao Elastica.
Ao observar a figura (7.1(a)) verifica-se a criacao de um artefato em forma de
“diamante”, tal artefato representa uma onda SV resultante da formulacao de Al-
khalifah. A onda SV decorre da aproximacao Vsv = 0, equacao (5.1), da qual foi
59
originada a equacao de onda (5.10). A aproximacao realizada causa o desacopla-
mento da onda S somente na vertical, implicando entretanto, para direcoes diferentes
do eixo de simetria, na existencia da onda SV, como verificado na figura (7.1(a)).
(a) Frente de onda para velocidade de fase da onda P e SV.
(b) Frente de onda para velocidade de grupo P e SV.
Figura 7.3: Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo; a curva em preto
representa a solucao analıtica (elastica) e em vermelho a aproximacao de Alkhalifah.
As frentes mais internas correspondem a onda SV, enquanto as externas a onda P.
Para elucidacao do fenomeno, as figuras (7.3(a)) e (7.3(b)) sao apresentadas,
onde as mesmas representam as frentes de onda P e SV para a velocidade de fase
e grupo. As frentes de onda para velocidades de grupo foram calculadas de acordo
60
com Tsvankin [6]:
Vgrp,sv(φ) = V ph
p,sv(θ)~n +∂V ph
p,sv(θ)∂θ
∂~n∂θ
(7.1)
onde ~n e o vetor normal a frente da onda, ~n = (nx, nz) = (sen(θ), cos(θ)); Vgrp,sv e V ph
p,sv
sao respectivamente as velocidade de grupo e fase para as ondas P ou SV.
As frentes de onda para velocidade de fase P e SV da solucao analıtica foram
criadas a partir de (4.39), enquanto para as frentes de onda da aproximacao de
Alkhalifah, a mesma equacao e empregada, entretanto com Vsv = 0. Dessa forma,
conhecendo as velocidades de fase e aplicando (7.1), a frente de onda para velocidade
de grupo e obtida.
A figura (7.3(b)) corrobora a ideia da geracao de onda SV na formulacao de Al-
khalifah (5.10), por essa razao a mesma e referida como formulacao Pseudo-Acustica
[25]. Outro fato apresentado decorre por comparacao direta entre as figuras (7.1(a)),
(7.3(a)) e (7.3(b)), onde a velocidade de propagacao da onda no meio e dada pela
velocidade de grupo [78]. Ao realizar em (4.39) a simplificacao Vsz = 0, a expressao
resultante para velocidade de fase da onda SV torna-se:
limVsz→0
Vsv(θ) =Vpz√
2
√1 + 2ε sen2(θ) −
√(1 + 2ε sen2(θ))2 − 2(ε − δ)sen2(2θ) (7.2)
O desacoplamento total (Vsv(θ) = 0) na formulacao pseudo-acustica, ocorre de
fato somente quando ε = δ, ou seja, para meios isotropicos ou com anisotropia
elıptica, tornando possıvel a conversao de ondas. O mecanismo de criacao das ondas
SV foi descrito por Grechka et al. [79], figura (7.4).
A figura (7.4) mostra a variacao da cuspide originada para diferentes valores de
σ, lembrando que o parametro σ e responsavel pelo controle da anisotropia da onda
SV, como descrito na secao (4.4). Da figura (7.4), quando a anisotropia torna-se
crescente, ou seja, quando a velocidade da onda SV na direcao do eixo de simetria
decresce, a formacao da cuspide torna-se evidente, atingindo sua completa formacao
para σ = ∞, ou seja, quando Vsv = 0.
Devido a simplificacao realizada, a condicao de estabilidade ε ≥ δ e requerida
pela expressao (7.2), para nao haver complexos para velocidade. Em conjunto com a
61
(a) Frente de onda para σ ≈ 1.29. (b) Frente de onda para σ ≈ 2.93.
(c) Frente de onda para σ ≈ 11.72. (d) Frente de onda para σ ≈ ∞.
Figura 7.4: Frentes de onda SV para as velocidades de fase (linha contınua) e grupo
(linha pontilhada).
condicao de estabilidade citada, outra condicao, δ ≥ −12 e necessaria, pois a formula-
cao de Alkhalifah emprega como parametro a velocidade nmo (Vpn), equacao (4.57),
dessa forma a condicao sobre δ nao permite valores complexos para tal velocidade.
Logo pelas condicoes citadas, e necessario que η ≥ 0.
Em relacao aos tempos de transito, as diferencas para os meios isotropico e ani-
sotropico da formulacao pseudo-acustica sao representadas na figura (7.5(a)), sendo
a anisotropia fator relevante na analise do tempo de transito, fato evidenciado pelo
erro absoluto dado na figura (7.5(b)), onde a diferenca entre os tempos cresce em
regioes distantes do ponto de aplicacao da fonte. Por outro lado, a figura (7.6)
exibe as diferencas entre os tempos de transito no meio anisotropico para as for-
62
(a) Comparacao das MTT’s para meio anisotropico e isotro-
pico. Curva branca (isotropico), curva preta (anisotropico), os
valores representam o tempo em segundos.
(b) Erro Absoluto.
Figura 7.5: Comparacao das MTT’s para meio homogeneo
mulacoes elastica e pseudo-acustica. Todavia em comparacao a formulacao elastica,
figura (7.6(a)), tomada como solucao de referencia, a formulacao de Alkhalifah em
primeira analise apresenta erro menor que 0.04%, conforme figura (7.6(b)). E impor-
tante notar que devido a formulacao elastica empregar um espacamento da malha
menor em relacao a pseudo-acustica, a matriz de tempo de transito foi reamostrada
para regioes coincidentes. Para a obtencao da MTT dada pela formulacao elastica,
a tensao vertical (σzz) ou horizontal (σxx) pode ser empregada para registro das am-
plitudes, ou inclusive uma combinacao linear de ambas [26], sendo que no presente
63
(a) Comparacao das MTT’s para a formulacao elastica e pseudo-
acustica. Curva branca (elastica), curva preta (pseudo-acustica).
(b) Erro Relativo.
Figura 7.6: Comparacao das MTT’s para formulacao elastica e pseudo-acustica no
meio homogeneo.
trabalho optou-se pela utilizacao da tensao vertical (σzz).
Em resumo, a formacao de Alkhalifah e cinematicamente viavel, entretanto a
anisotropia da onda SV assume valor extremo, alem da conversao de ondas, podendo
ocasionar problemas de resolucao durante a migracao, principalmente em meios TTI
[30]. A singularidade da onda P, isto e, direcoes da frente de onda caracterizada por
velocidades P e SV iguais [80], e as identicas polarizacoes das ondas P e SV ao
longo do plano isotropico e do eixo de simetria, sao outros inconvenientes citados
64
por Grechka et al.[79], envolvendo a formulacao de Alkhalifah.
7.1.2 Interfaces Paralelas
O proximo exemplo, envolvendo interfaces paralelas, tem por finalidade apre-
sentar as diferencas entre sismogramas pseudo-acusticos, ao considerar o posicio-
namento da fonte em camada isotropica e anisotropica. Enfatiza-se que a matriz
de tempo de transito tambem sera avaliada. Na tabela (7.2) constam os parame-
tros da modelagem, e na figura (7.7) estao os modelos de velocidade e anisotropia
empregados.
Tabela 7.2: Parametros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas)
Modelagem Pseudo-Acustica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,5 Incremento temporal (ms)
h 3,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 1300 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 500 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 2700 Numero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s
ix f 650 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 5 Posicao da fonte na malha para direcao z
Modelagem Elastica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,15 Incremento temporal (ms)
h 1,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 3900 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 1500 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 9000 Numero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s
ix f 1950 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 15 Posicao da fonte na malha para direcao z
65
(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).
(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).
(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).
Figura 7.7: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade e parametros de anisotropia.
66
(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.3s.
(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.
(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.
(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.9s.
Figura 7.8: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo
(primeira camada isotropica).
67
(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.3s.
(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.
(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.
(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.9s.
Figura 7.9: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo
(primeira camada anisotropica).
68
Como exemplo inicial, a fonte foi posicionada na primeira camada isotropica,
sendo os snapshots apresentados para diferentes instantes de tempo, conforme figura
(7.8), enquanto a figura (7.9) apresenta os snapshots considerando o posicionamento
da fonte em camada anisotropica (ε = 0.2, δ = 0).
Ao posicionar a fonte na primeira camada anisotropica, pode-se observar a pro-
pagacao de ondas SV, figura (7.9). Em contrapartida ao considerar a mesma fonte
em camada isotropica, os eventos de ondas S sao suprimidos, figura (7.8). A solucao
para suprimir os eventos gerados pela onda SV foi sugerida por Tariq Alkhalifah [1].
Todavia, como sera demonstrado na proxima secao, a ideia apresentada por Tariq
nem sempre e valida.
A figura (7.10) mostra os sismogramas para os diferentes posicionamentos da
fonte, isto e, o posicionamento da fonte em camada isotropica e anisotropica. E
possıvel observar da figura (7.10(b)) a onda SV direta e refletida, resultado do po-
sicionamento da fonte na camada anisotropica.
(a) Sismograma (primeira camada isotro-
pica).
(b) Sismograma (primeira camada aniso-
tropica)
Figura 7.10: Sismogramas para modelo de interfaces paralelas.
69
(a) Modelo de velocidade da onda S (Vsz).
(b) Modelo de densidade.
Figura 7.11: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade (onda S vertical) e densi-
dade.
70
(a) Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces pa-
ralelas). Curva branca (elastica), curva preta (pseudo-acustica).
(b) Erro relativo.
Figura 7.12: Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces parale-
las).
Considerando a fonte na camada isotropica, as matrizes de tempo de transito elas-
tica e pseudo-acustica foram comparadas, figura (7.12), onde o modelo empregado
para modelagem elastica foi o mesmo da figura (7.7), alem do modelo de densidade
e onda S vertical para a modelagem elastica, dado pela figura (7.11). O erro relativo
apresentado pela figura (7.12(b)) entre 0,005% e 0,015% ocorre em regioes onde ha
71
interferencia entre as ondas refletidas e head waves 1, sendo que nas demais regioes
o erro e praticamente nulo.
7.1.3 Interface Inclinada
Para o modelo de interface inclinada, a funcao e ilustrar o fenomeno de criacao
da onda SV para a formulacao pseudo-acustica, mesmo posicionando a fonte em
camada isotropica. Na tabela (7.3) estao contidos os parametros da modelagem,
enquanto na figura (7.13) esta presente o modelo empregado.
Tabela 7.3: Parametros utilizados na modelagem (Interface Inclinada)
Modelagem Pseudo-Acustica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,2 Incremento temporal (ms)
h 2,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 1400 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 785 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 3600 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 72s
ix f 700 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 5 Posicao da fonte na malha para direcao z
Da figura (7.14) a conversao de ondas fica evidente, mesmo com a fonte posici-
onada em meio isotropico. A situacao contrasta com a proposta apresentada por
Alkhalifah [1], onde posicionando a fonte em uma camada isotropica ou elıptica, a
onda SV seria eliminada. De fato em alguns casos isto pode ocorrer, como obser-
vado na figura (7.8). Todavia e possıvel que para altos contrastes de anisotropia, a
conversao torne-se acentuada, conforme apresentado por Grechka et al. [79].
Um dos principais problemas inerentes a esta conversao seria para conversoes do
tipo P-SV-P, onde a onda SV seria convertida novamente em onda P, podendo criar
ruıdos nas ondas P puras (nao convertidas) registradas do meio isotropico [79].
1Onda caracterizada por refratar com angulo crıtico [76].
72
(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).
(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).
(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).
Figura 7.13: Modelo de interface inclinada - Velocidade e parametros de anisotropia.
73
(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.4s.
(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.
(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.6s.
(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.
Figura 7.14: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo
(Interface Inclinada). As setas brancas indicam a presenca da onda SV, enquanto
as pretas indicam os eventos espurios gerados pela conversao P-SV
74
7.1.4 Modelo Anticlinal
O modelo anticlinal representa a geologia de diversos reservatorios de petroleo
[81], onde a ideia do exemplo e validar os tempos de transito obtidos pela equacao de
Alkhalifah para meios onde a geologia expoe certa complexidade. Os sismogramas
para os meio elastico e pseudo-acustico serao comparados entre si, tal como suas
matrizes de tempo de transito. A figura (7.15) mostra os modelos de densidade e
velocidade (Vsz) empregados na modelagem elastica, e a figura (7.16) os modelos de
velocidade (Vpz) e anisotropia ε e δ, utilizados em ambas as formulacoes, elastica
e pseudo-acustica. Todos os parametros relacionados a modelagem estao na tabela
(7.4).
(a) Modelo de velocidade da onda S (Vsz).
(b) Modelo de densidade
Figura 7.15: Modelo Anticlinal - Velocidade (onda S vertical) e densidade.
75
(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).
(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).
(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).
Figura 7.16: Modelo anticlinal - Velocidade e parametros de anisotropia.
76
Tabela 7.4: Parametros utilizados na modelagem (Anticlinal)
Modelagem Pseudo-Acustica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,65 Incremento temporal (ms)
h 5,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 30 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 1400 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 900 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 3900 Numero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s
ix f 700 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 6 Posicao da fonte na malha para direcao z
Modelagem Elastica
Parametro Valor Descricao (Unidade)
∆t 0,4 Incremento temporal (ms)
h 3,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z
fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)
Nx 2334 Numeros de pontos na malha para direcao x
Nz 1500 Numeros de pontos na malha para direcao z
Ntotal 6338 Numero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s
ix f 1167 Posicao da fonte na malha para direcao x
kz f 10 Posicao da fonte na malha para direcao z
Os snapshots gerados a partir das formulacoes pseudo-acustica e elastica sao
apresentados respectivamente nas figuras (7.17) e (7.18). A conversao da onda SV
mencionada anteriormente na secao (7.1.3) reaparece nos instantaneos das figuras
(7.17(c)) e (7.17(d)), todavia mais acentuada devido a complexa geologia. Os mes-
mos instantaneos para a formulacao elastica estao presentes nas figuras (7.18(c)) e
(7.18(d)), contudo nao e observado nenhum tipo de ruıdo semelhante ao causado
pela formulacao pseudo-acustica.
77
(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.97s.
(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 1.62s.
(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 2.27s.
(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 2.4s.
Figura 7.17: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo
(Anticlinal). As setas pretas indicam os eventos espurios gerados pela conversao
P-SV.
78
(a) Instantaneo do campo de tensao em t = 0.97s.
(b) Instantaneo do campo de tensao em t = 1.62s.
(c) Instantaneo do campo de tensao em t = 2.27s.
(d) Instantaneo do campo de tensao em t = 2.4s.
Figura 7.18: Instantaneos do campo de tensao vertical (σzz) em diferentes instantes
de tempo (Anticlinal).
79
Os sismogramas para ambas as formulacoes, pseudo-acustica e elastica,
encontram-se na figura (7.19), nos quais observa-se que embora a equacao de Alkha-
lifah produza conversoes indesejadas, uma vez que a ideia primordial da formulacao
e a propagacao somente de ondas P, tais conversoes apresentadas para o exemplo
nao possuem amplitude relativamente alta, nao sendo registradas no sismograma,
conforme figura (7.19(a)). Contudo, os artefatos apresentados pelas figuras (7.17(c))
e (7.17(d)), podem ocasionar no processo de imageamento, com aplicacao da con-
dicao de imagem [30], eventos espurios, principalmente em regioes de singularidade,
onde ocorre maior concentracao de energia [79]. Devido ao nao registro das ondas
SV, e possıvel distinguir os diferentes eventos associados a onda S pela formulacao
elastica, conforme figura (7.19(b)).
(a) Sismograma pseudo-acustico. (b) Sismograma elastico (Componente
σzz).
Figura 7.19: Sismogramas elastico e pseudo-acustico (Modelo Anticlinal).
Os tempos de transito, figura (7.20(a)), associados as formulacoes elastica e
pseudo-acustica indicam a adequada aproximacao cinematica da formulacao pseudo-
acustica, mesmo em meios com maior complexidade, exceto nas regioes onde o erro
relativo, figura (7.20(b)), aponta valores entre 0,005% e 0,02%, sendo estes erros
80
devidos as conversoes de onda.
(a) Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal). Curva branca
(elastica), curva preta (pseudo-acustica)
(b) Erro relativo
Figura 7.20: Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal).
81
7.2 Formulacao Acustica
7.2.1 Meio Homogeneo
Como mencionado na secao (7.1), a formulacao pseudo-acustica gera tempos de
transito similares a formulacao elastica, com o inconveniente da formacao de ondas
SV. Neste topico sera demonstrado que as formulacoes de Zhang (5.12) e Klıe (5.14)
excluem totalmente a onda SV. Como exemplo, o mesmo meio da secao (7.1.1) sera
empregado para analise das equacoes. Tal como na secao (7.1.1) os snapshots da
simulacao serao apresentados. Os parametros empregados para a modelagem sao os
mesmos citados na tabela (7.1) para a modelagem pseudo-acustica.
(a) Campo de pressao - Formulacao de Zhang
(b) Campo de pressao - Formulacao de Klıe
Figura 7.21: Instantaneos para o campo de pressao em meio anisotropico homogeneo
- Formulacao Acustica.
82
As formulacoes de Zhang e Klıe excluem em definitivo a onda SV, figura (7.21),
presente na formulacao de Alkhalifah. A diferenca presente nos instantaneos da
figura (7.21) envolve a pequena variacao na frente de onda na direcao de 45o, para os
quatro quadrantes. A confirmacao pode ser verificada pela figura (7.22), que mostra
as frentes de onda para as aproximacoes de velocidade (5.3) e (5.6), aproximacoes
estas que originaram as equacoes de Zhang (5.12) e Klıe (5.14), respectivamente.
(a) Frentes de onda para velocidade de grupo da onda P e SV.
(b) Zoom das frentes de onda para velocidade de grupo P e SV.
Figura 7.22: Frentes de onda para a velocidade grupo, a curva em preto representa
a solucao analıtica (elastica); a em verde a aproximacao de Thomsen, e a em azul a
aproximacao de Muir. A frente interna representa a onda SV, enquanto as frentes
externas a onda P.
83
De fato, a variacao na frente da onda ocorre, conforme ilustrado pelas figuras
(7.22(b)). Sendo assim, a princıpio para o meio em questao, a aproximacao de Muir
forneceria uma melhor estimativa sobre o tempo de transito, por consequencia a
formulacao de Klıe e Toro.
84
Capıtulo 8
Conclusoes e Trabalhos Futuros
Neste trabalho foram estudadas diferentes formulacoes para a equacao acustica
da onda em meios com isotropia transversa com o eixo de simetria vertical (VTI),
entre elas, as formulacoes propostas por Tariq Alkhalifah (5.10), Klıe e Toro (5.12) e
Zhang (5.14). Todas as equacoes de onda foram derivadas a partir de aproximacoes
de velocidade de fase para a onda P. Ao discretizar a equacao pseudo-acustica pelo
Metodo das Diferencas Finitas, a pressao pode ser calculada de forma explıcita,
diferente das equacoes de Zhang [2], equacao (5.12), e Klıe [3], equacao (5.14), onde
houve a necessidade da resolucao de um sistema linear acoplado ao processo de
marcha temporal.
Foi visto que a formulacao proposta por Tariq Alkhalifah [1], equacao (5.10), nao
e totalmente acustica, ou seja, nao contempla somente ondas P, gerando regioes com
presenca de ondas SV, criando anisotropia extrema (σ = ∞). Tanto a anisotropia
extrema, quanto a geracao de ondas SV, devem-se a simplificacao realizada (Vsz = 0)
para a aproximacao de velocidade de fase analıtica, equacao (4.37), a qual tinha
finalidade de obter uma equacao que simulasse somente o campo de onda P em meio
anisotropico.
De forma geral, os resultados decorrentes da modelagem pseudo-acustica apre-
sentaram precisao cinematica adequada quando comparados a modelagem elastica,
entretanto os problemas ocasionados pela formulacao evidentemente se apresentam
relevantes para processos de imageamento [30].
As equacoes propostas por Klıe e posteriormente por Zhang contornam a barreira
imposta pela formulacao pseudo-acustica, todavia com a desvantagem da resolucao
85
de um sistema linear a cada passo de tempo. Porem, as condicoes de estabilidade
η > −14 para a equacao de Klıe, |ε | 1 e |δ| 1 para a equacao de Zhang, tornam
maiores as variacoes sobre os parametros de anisotropia ε e δ em relacao a equacao
pseudo-acustica ( ε ≥ δ), e consequentemente maiores variacoes sobre η. Entre as
equacoes de Klıe e Zhang, a primeira apresentou uma matriz de coeficientes M nao
simetrica, enquanto a segunda uma matriz simetrica, tendo como vantagem uma
solucao com custo computacional teoricamente inferior. Todavia a formulacao de
Klıe, apesar da matriz nao ser simetrica, mostrou a princıpio melhor aproximacao
pela frente da onda, figura (7.22(a)); isto foi devido a aproximacao de velocidade para
onda P de Muir apresentar melhor precisao em relacao a aproximacao de Thomsen,
aproximacao esta empregada para formulacao de Zhang.
Uma vez que a formulacao acustica anisotropica mostra boas perspectivas, pois
remove definitivamente a presenca de ondas SV, pretende-se dar seguimento as pes-
quisas efetuadas neste trabalho, principalmente nos seguintes temas:
1. Aplicacao de modelos mais complexos para as equacoes acusticas anisotropicas.
2. Expansao das equacoes pseudo-acustica e acusticas para meios TTI.
3. Implementacao de metodos iterativos para solucao das equacoes acusticas.
4. Avaliacao do custo computacional para as equacoes acusticas.
5. Implementacao de algoritmos de migracao reversa no tempo para as referidas
formulacoes, e as comparacoes entre as imagens geradas.
86
Referencias Bibliograficas
[1] ALKHALIFAH, T., “An acoustic wave equation for anisotropic media”, Geophy-
sics , v. 65, n. 4, pp. 1239–1250, 2000.
[2] ZHANG, L., RECTOR III, J. W., MICHAEL, H. G., “Finite difference model of
wave propagation in acoustic tilted TI media”, Geophysical Prospecting ,
v. 53, pp. 843–852, 2005.
[3] KLIE, H., TORO, W., “Modeling in transversely isotropic media with the acous-
tic wave equation”, Fifth International Conference on Mathematical and
Numerical Aspects of Wave Propagation, pp. 168–172, 2000.
[4] CARCIONE, J. M., HERMAN, G. C., TEN KROODE, A., “Seismic modeling”,
Geophysics , v. 67, n. 4, pp. 1304–1325, 2008.
[5] HELBIG, K., “Anisotropy and Dispersion - Two side of a coin”, Geophysics ,
v. 74, n. 2, pp. WA15–WA26, 2009.
[6] TSVANKIN, I., Seismic Signatures and Analysis of Reflection Data in Anisotro-
pic Media. Oxford, Elsevier Science, 2001.
[7] THOMSEN, L., “Seismic Anisotropy”, Geophysics , v. 66, n. 1, pp. 40–41, 2001.
[8] HELBIG, K., THOMSEN, L., “75-plus years of anisotropy in exploration and
reservoir seismics: A historical review of concepts and methods”, Geophy-
sics , v. 70, n. 6, pp. 9ND–23ND, 2005.
[9] LYUBIMOV, Y., “From the history of Physics: George Green: his life and works
(on the occasion of the bicentenary of his birthday)”, Physics Uspekhi ,
v. 37, pp. 97–109, 1994.
87
[10] RUDZKI, M., “Uber die Gestalt elastischer Wellen in Gesteinen”, Bulletin of
the Academy of Sciences Cracow , pp. 387–393, 1897.
[11] RUDZKI, M., “Sur la propagation d’une onde elastique superficielle dans un
milieu transversalement isotrope”, Bulletin of the Academy of Sciences
Cracow (IA), pp. 47–58, 1912.
[12] BOS, L., GIBSON, P., SLAWINSKI, M., “Classes of anisotropic media: A
tutorial”, Studia Geophysica and Geodaetica, v. 48, pp. 265–287, 2004.
[13] MORA, P.,“Modeling Anisotropic Seismic Waves in 3- D”, 59th Annual Internat.
Mtg. Soc. Expl. Geophysics, Expanded Abstracts , pp. 1039–1046, 1989.
[14] IGEL, H., MORA, P., RIOLLET, B., “Anisotropic wave propagation through
finite-difference grids”, Geophysics , v. 60, n. 4, pp. 1203–1216, 1995.
[15] TSINGAS, C., VADIFIS, A., KANASEWICH, E.,“Elastic Wave Propagation in
Transversely Isotropic Media Using Finite Differences”, Geophysical Pros-
pecting , v. 38, pp. 933–949, 1990.
[16] MACCORMACK, R. W., “The Effect of viscosity in hypervelocity impact cra-
tering”, AIAA, v. 40, n. 5, pp. 69–354, 1969.
[17] EVANS, G., BLACKLEDGE, J., YARDLEY, P., Numerical Methods for Partial
Differential Equations. London, Springer, 1999.
[18] FARIA, E. L., STOFFA, P. L., “Finite-difference modeling in transversely iso-
tropic media”, Geophysics , v. 59, n. 2, pp. 282–289, 1994.
[19] LEVANDER, A. R., “Fourth-order finite-difference P-SV seismograms”, Ge-
ophysics , v. 53, n. 11, pp. 1425–1436, 1988.
[20] ALKHALIFAH, T., “Acoustic approximations for processing in transversely
isotropic media”, Geophysics , v. 63, n. 2, pp. 623–631, 1998.
[21] THOMSEN, L., “Weak elastic anisotropy”, Geophysics , v. 51, n. 10, pp. 1954–
1966, 1986.
88
[22] ZHOU, H., ZHANG, G., BLOOR, R., “An anisotropic acoustic wave equation
for modeling and migration in 2D TTI media”, SEG Technical Program
Expanded Abstracts , v. 25, n. 1, pp. 194–198, 2006.
[23] ZHOU, H., ZHANG, G., BLOOR, R., “An anisotropic acoustic wave equation
for VTI media”, 68th EAGE Conference and Exhibition, 2006.
[24] ZHANG, H. J., ZHANG, Y., “Reverse time migration in 3D heterogeneous TTI
media”, SEG Technical Program Expanded Abstracts , v. 27, n. 1, pp. 2196–
2200, 2008.
[25] DU, X., FLETCHER, R., FOWLER, P., “A New Pseudo-acoustic Wave Equa-
tion for VTI Media”, 70th EAGE Conference and Exhibition, 2008.
[26] DUVENECK, E., MILCIK, P., BAKKER, P. M., et al., “Acoustic VTI wave
equations and their application for anisotropic reverse-time migration”,
SEG Technical Program Expanded Abstracts , v. 27, n. 1, pp. 2186–2190,
2008.
[27] FOWLER, P. J., DU, X., FLETCHER, R. P., “Coupled equations for reverse
time migration in transversely isotropic media”, Geophysics , v. 75, n. 1,
pp. S11–S22, 2010.
[28] BALE, R. A., GRAY, S. H., GRECH, M. K., “TTI wave-equation migration”,
77th Annual Internat. Mtg. Soc. Expl. Geophysics, Expanded Abstracts ,
pp. 2295–2300, 2007.
[29] DU, X., BANCROFT, J. C., LINES, L. R., “Anisotropic reverse-time migration
for tilted TI media”, Geophysical Prospecting , v. 55, pp. 853–869, 2007.
[30] FLETCHER, R. P., DU, X., FOWLER, P. J., “Reverse time migration in tilted
transversely isotropic (TTI) media”, Geophysics , v. 74, n. 6, pp. WCA179–
WCA187, 2009.
[31] LAY, T., WALLACE, T. C., Modern Global Seismology, Volume 58 (Interna-
tional Geophysics). London, Academic Press, 1995.
89
[32] LANDAU, L. D., PITAEVSKII, L. P., LIFSHITZ, E., et al., Theory of Elasti-
city, Third Edition: Volume 7 (Theoretical Physics, Vol 7). 1986.
[33] SLAWINSKI, M. A., Seismic Waves and Rays in Elastic Media. Oxford, Else-
vier Science, 2003.
[34] BABUSKA, V., CARA, M., Seismic Anisotropy in the Earth (Modern Appro-
aches in Geophysics). London, Kluwer Academic Publishers, 1991.
[35] ANDERSON, D. L., Theory of the Earth. Oxford, Blackwell Science, 1990.
[36] ARIS, R., Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics (Dover
Books on Engineering). New York, Dover Publications, 1990.
[37] GRAFF, K. F., Wave motion in elastic solids . USA, Ohio State University
Press, 1975.
[38] PUJOL, J., Elastic Wave Propagation and Generation in Seismology . Oxford,
Cambridge University Press, 2003.
[39] HSU, H. P., Analise Vetorial . Rio de Janeiro, LTC, 1972.
[40] DELLINGER, J., ETGEN, J., “Wave-field separation in two-dimensional ani-
sotropic media”, Geophysics , v. 55, n. 7, pp. 914–919, 1990.
[41] YAN, J., SAVA, P., “Elastic wave-mode separation for VTI media”, Geophysics ,
v. 74, n. 5, pp. WB19–WB32, 2009.
[42] DI BARTOLO, L., “Modelagem Sısmica Anisotropica Atraves do Metodo das
Diferencas Finitas Utilizando Sistemas de Equacoes de Segunda Ordem”,
Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Outubro
2010.
[43] TSVANKIN, I., THOMSEN, L., “Nonhyperbolic reflection moveout in aniso-
tropic media”, Geophysics , v. 59, n. 8, pp. 1290–1304, 1994.
[44] ALKHALIFAH, T., TSVANKIN, I., “Velocity analysis for transversely isotropic
media”, Geophysics , v. 60, n. 5, pp. 1550–1566, 1995.
90
[45] MUIR, F., DELLINGER, J., “A Practical Anisotropy System”, Stanford Explo-
ration Project Report , v. 44, pp. 59–62, 1985.
[46] DALEY, P., KREBES, E., LINES, L., “Phase velocity approximations in a
transversely isotropic medium”, CREWES Research Report , v. 16, pp. 1–
16, 2004.
[47] FOWLER, P. J., “Practical VTI approximations: a systematic anatomy”, Jour-
nal of Applied Geophysics , v. 54, pp. 347–367, 2003.
[48] FOMEL, S., “On anelliptic approximations for qP velocities in VTI media”,
Geophysical Prospecting , v. 52, pp. 247–259, 2004.
[49] FICHTNER, A., Full Seismic Waveform Modelling and Inversion (Advances in
Geophysical and Environmental Mechanics and Mathematics). New York,
Springer, 2010.
[50] BULCAO, A., “Modelagem e Migracao Reversa no Tempo Empregando Ope-
radores Elasticos e Acusticos”, Tese de Doutorado, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Outubro 2004.
[51] SANTOS, M. A. C., FILHO, D. M. S., OSORIO, P. L. M., “Modelagem e
migracao em profundidade 2D em meios com simetria polar local”, Revista
Brasileira de Geofısica, v. 25, pp. 141–158, 2007.
[52] MACEDO, A., Eletromagnetismo. Rio de Janeiro, Guanabara, 1988.
[53] DALEY, P., “Various topics in pseudo-differential operator theory applied to
scalar qP wave propagation in transversely isotropic medium”, CREWES
Research Report , v. 19, pp. 1–19, 2007.
[54] KLIE, H., TORO, W., “A new acoustic wave equation for modeling in aniso-
tropic media”, SEG Technical Program Expanded Abstracts , v. 20, n. 1,
pp. 1171–1174, 2001.
[55] JONES, L. E. A., WANG, H. F., “Ultrasonic velocities in Cretaceous shales
from the Williston basin”, Geophysics , v. 46, n. 3, pp. 288–297, 1981.
91
[56] CARVALHO, R. A. D., “Tempo de transito em meios com isotropia transversal
vertical(VTI): aproximacoes e inversao dos parametros”, Tese de Douto-
rado, Universidade de Campinas , Agosto 2009.
[57] FORTUNA, A. D. O., Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluıdos:
Conceitos basicos e Aplicacoes . Sao Paulo, EDUSP, 2000.
[58] FILHO, F. F. C., Algoritmos Numericos, 2a Edicao. Rio de Janeiro, LTC, 2007.
[59] SAAD, Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition. Phi-
ladelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.
[60] MADARIAGA, R., “Dynamics of a expanding circular fault”, Bulletin of the
Seismological Society of America, v. 66, n. 3, pp. 639–666, 1976.
[61] VIRIEUX, J., “SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress
finite difference method”, Geophysics , v. 49, n. 11, pp. 1933–1942, 1984.
[62] VIRIEUX, J., “P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress
finite-difference method”, Geophysics , v. 51, n. 4, pp. 889–901, 1986.
[63] FORNBERG, B., “High-Order Finite Differences and the Pseudospectral
Method on Staggered Grids”, SIAM Journal on Numerical Analysis, v. 27,
n. 4, pp. 904–918, 1990.
[64] BRAGA, C. L. R., Notas de Fısica-Matematica: Equacoes Diferenciais, Fun-
coes de Green e Distribuicoes . Sao Paulo, Livraria da Fısica, 2006.
[65] REYNOLDS, A. C., “Boundary conditions for the numerical solution of wave
propagation problems”, Geophysics , v. 43, n. 6, pp. 1099–1110, 1978.
[66] CERJAN, C., KOSLOFF, D., KOSLOFF, R., et al., “A nonreflecting boundary
condition for discrete acoustic and elastic wave equations”, Geophysics ,
v. 50, n. 4, pp. 705–708, 1985.
[67] VON NEUMMAN, J., RICHTMYER, R., “A method for the numerical calcula-
tion of hydrodynamic shocks”, Journal of Applied Physics , v. 21, pp. 232–
237, 1950.
92
[68] STRIKWERDA, J., Finite Difference Schemes and Partial Differential Equati-
ons . Philadelphia, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics,
2004.
[69] ALFORD, R., KELLY, K., BOORE, D., “Accuracy of finite-difference modeling
of the acoustic wave equation”, Geophysics , v. 39, n. 6, pp. 834–842, 1974.
[70] KEAREY, P., BROOKS, M., HILL, I., Geofısica de Exploracao. Sao Paulo,
Oficina de Textos, 2009.
[71] NORMAN, R., “The form and laws of propagation of seismic wavelets”, Ge-
ophysics , v. 18, n. 1, pp. 10–40, 1953.
[72] ADDISON, N., The Illustrated Wavelet Transform Handbook . London, Taylor
& Francis, 2002.
[73] YLMAZ, O., Seismic Data Analysis . v. 1. USA, Society of Exploration Ge-
ophysicists, 2001.
[74] VIDALE, J., “Finite-difference calculation of travel times”, Bulletin of the Seis-
mological Society of America, v. 78, n. 6, pp. 2062–2070, 1988.
[75] CERVENY, V., Seismic ray theory . Cambridge, Cambridge University Press,
2001.
[76] SHERIFF, R. E., Encyclopedic Dictionary of Applied Geophysics (Geophysical
References, V. 13). USA, Society of Exploration, 2002.
[77] LOEWENTHAL, D., ZIE HU, L., “Two methods for computing the imaging
condition for common-shot prestack migration”, Geophysics , v. 56, n. 3,
pp. 378–381, 1991.
[78] CARCIONE, J. M., Wave Fields in Real Media, Volume 38, Second Edition:
Wave Propagation in Anisotropic, Anelastic, Porous and Electromagne-
tic Media (Handbook of Geophysical Exploration: Seismic Exploration).
Oxford, Elsevier Science, 2007.
[79] GRECHKA, V., ZHANG, L., RECTOR III, J. W., “Shear waves in anisotropic
acoustic media”, Geophysics , v. 69, n. 2, pp. 576–582, 2004.
93
[80] CRAMPIN, S., YEDLIN, M., “Shear-wave singularities of wave propagation in
anisotropic media”, Journal of Geophysics , v. 49, pp. 43–46, 1981.
[81] DAVIS, G. H., REYNOLDS, S. J., Structural Geology of Rocks and Regions,
2nd Edition. USA, Wiley, 1996.
[82] BECACHE, E., FAUQUEUX, S., JOLY, P., “Stability of perfectly matched
layers, group velocities and anisotropic waves”, Journal of Computational
Physics, v. 188, n. 2, pp. 399 – 433, 2003.
[83] ABRAMOWITZ, M., STEGUN, I. A., Handbook of Mathematical Functions:
with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . New York, Dover Pu-
blications, 1965.
94
Apendice A
Discretizacao pelo Metodo de
Diferencas Finitas
A.1 Operadores de diferencas finitas
O Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e um de solucao numerica para equacoes
diferenciais, geralmente baseado na aproximacao por Serie de Taylor das derivadas
envolvidas na equacao diferencial. Dessa forma, o domınio do problema e discre-
tizado por uma serie de pontos, denominado de malha, figura A.1(b), sendo cada
ponto denominado no, onde sao calculadas as incognitas envolvidas. De acordo com
a figura A.1(b), ∆x e ∆z sao as distancias entre os pontos da malha nas direcoes x
e z, respectivamente, nao necessariamente iguais. Logo, um dado ponto (i, k) possui
coordenadas (xo + ∆x, z0 + ∆z), onde (xo, z0) representa a origem do sistema de co-
ordenadas, geralmente adotado (0,0). Os numeros de pontos nas direcoes x e z sao
respectivamente nx e nz.
As aproximacoes por diferencas finitas sao classificadas de acordo com o erro
dominante no truncamento da Serie de Taylor, ou seja, o erro que causara maior
influencia sobre a solucao numerica [57], onde por exemplo o termo O(∆x)2 presente
na discretizacao (A.1), significa que a aproximacao possui ordem dois, pois o erro
cometido na discretizacao da derivada espacial e proporcional ao quadrado do
espacamento ∆x. Importante notar que a expressao O(∆x)2, indica como o erro
local de truncamento varia em funcao do espacamento da malha, e nao o valor do
erro [57]. As aproximacoes em diferencas finitas sao comumente definidas como
95
diferencas regressiva, progressiva e central [17]. A diferenca regressiva aproxima
a derivada da funcao no ponto, utilizando um ponto vizinho anterior, enquanto a
progressiva utiliza um ponto posterior, e a central emprega ambos. Abaixo seguem
algumas aproximacoes de segunda ordem no espaco.
• Progressivas
∂ f∂x
∣∣∣∣∣∣ni,k
=−3 f n
i,k + 4 f ni+1,k − f n
i+2,k
2∆x+ O(∆x)2 (A.1)
∂2 f∂x2
∣∣∣∣∣∣ni,k
=2 f n
i,k − 5 f ni+1,k + 4 f n
i+2,k − f ni+3,k
(∆x)2 + O(∆x)2 (A.2)
∂3 f∂x3
∣∣∣∣∣∣ni,k
=−5n
i,k + 18 f ni+1,k − 24 f n
i+2,k + 14 f ni+3,k − 3 f n
i+4,k
2(∆x)3 + O(∆x)2 (A.3)
∂4 f∂x4
∣∣∣∣∣∣ni,k
=3 f n
i,k − 14 f ni+1,k + 26 f n
i+2,k − 24 f ni+3,k + 11 f n
i+4,k − 2 f ni+5,k
(∆x)4 + O(∆x)2 (A.4)
• Regressivas
∂ f∂x
∣∣∣∣∣∣ni,k
=3 f n
i,k − 4 f ni−1,k + f n
i−2,k
2∆x+ O(∆x)2 (A.5)
∂2 f∂x2
∣∣∣∣∣∣ni,k
=2 f n
i,k − 5 f ni−1,k + 4 f n
i−2,k − f ni−3,k
(∆x)2 + O(∆x)2 (A.6)
∂3 f∂x3
∣∣∣∣∣∣ni,k
=5n
i,k − 18 f ni−1,k + 24 f n
i−2,k − 14 f ni−3, j + 3 f n
i+4,k
2(∆x)3 + O(∆x)2 (A.7)
∂4 f∂x4
∣∣∣∣∣∣ni,k
=3 f n
i,k − 14 f ni−1,k + 26 f n
i−2,k − 24 f ni−3,k + 11 f n
i−4,k − 2 f ni−5,k
(∆x)4 + O(∆x)2 (A.8)
96
• Centrais
∂ f∂x
∣∣∣∣∣∣ni,k
=f ni+1,k + f n
i−1,k
2∆x+ O(∆x)2 (A.9)
∂2 f∂x2
∣∣∣∣∣∣ni,k
=f ni+1,k − 2 f n
i,k + f ni−1,k
(∆x)2 + O(∆x)2 (A.10)
∂3 f∂x3
∣∣∣∣∣∣ni,k
=f i + 2, kn
− 2 f ni+1,k + 2 f n
i−1,k − f ni−2,k
(∆x)3 + O(∆x)2 (A.11)
∂4 f∂x4
∣∣∣∣∣∣ni,k
=f ni+2,k − 4 f n
i+1,k + 6 f ni,k − 4 f n
i−1,k + f ni−2,k
(∆x)4 + O(∆x)2 (A.12)
onde o O ındice n e referente ao tempo de analise e i,k as coordenadas x e z.
Outras derivadas importantes, sao as mistas [83].
∂2 f∂x∂z
∣∣∣∣∣∣ni,k
=f ni+1,k+1 − f n
i+1,k−1 − f ni−1,k+1 + f n
i−1,k−1
4(∆x)(∆z)+ [O(∆x)2,O(∆z)2] (A.13)
∂4 f∂x2∂z2
∣∣∣∣∣∣ni,k
=4 f n
i,k − 2( f ni−1,k + f n
i,k−1 + f ni+1,k + f n
i,k+1) + f ni−1,k−1 + f n
i+1,k−1 + f ni+1,k+1 + f n
i−1,k+1
(∆x)2(∆z)2
+[O(∆x)2,O(∆z)2] (A.14)
As formulas em diferencas para o caso onde a funcao a ser derivada possui depen-
dencia temporal sao analogas as anteriores. Maiores detalhes podem ser encontrados
nos textos de Fortuna [57], Evans et al. [17].
97
(a) Regiao contınua
(b) Regiao discretizada
Figura A.1: Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF)
98
Apendice B
Simetrias do tensor de elasticidade
As simetrias do tensor de elasticidade sao de natureza notavel, elas ocorrem em
razao das simetrias dos tensores de tensao e deformacao, alem da simetria introdu-
zida por uma funcao escalar chamada Energia potencial de deformacao.
Seja a equacao (2.9),
σi j =
3∑k=1
3∑l=1
Ci jklεkl
σ ji =
3∑k=1
3∑l=1
C jiklεkl
(B.1)
utilizando (2.8), tem-se:
3∑k=1
3∑l=1
(Ci jkl −C jikl)εkl = 0
Ci jkl = C jikl (B.2)
Na equacao (B.2), foi utilizada a simetria do tensor de tensao para encontrar uma
simetria do tensor de elasticidade. Igualmente, utilizando o tensor de deformacao,
verifica-se que:
Ci jklεkl = Ci jlkεlk (B.3)
Devido a (2.2) e possıvel escrever:
99
3∑k=1
3∑l=1
(Ci jkl −Ci jlk)εkl = 0
Ci jkl = Ci jlk (B.4)
A relacao (B.2) mostra que o tensor de elasticidade e invariante sob a permutacao
nos dois primeiros ındices, enquanto (B.4) indica a invariancia nos dois ultimos.
Em razao das simetrias dos tensores de tensao e deformacao, tal como as sime-
trias demonstradas, verifica-se que o numero de termos independentes do tensor de
elasticidade se reduz de 81 para 26 componentes. Uma ultima simetria relacionada
a energia potencial de deformacao faz com que o numero de termos independentes
seja reduzido a 21, como descrito a seguir.
Em sistemas conservativos, a tensao pode ser relacionada a uma energia potencial
de deformacao [38] por:
σi j =∂W(εi j)∂εi j
(B.5)
onde W(εi j) e a funcao energia potencial de deformacao de um sistema conserva-
tivo. Em resumo, a tensao e derivada dessa funcao potencial. Reescrevendo (B.5)
em funcao de (2.9), e entao diferenciando ambos os lados em relacao a εkl, obtem-se:
Ci jkl =∂2W(ε)∂εkl∂εi j
(B.6)
como W(ε) e uma funcao de classe C2,
∂2W(ε)∂εkl∂εi j
=∂2W(ε)∂εi j∂εkl
(B.7)
em consequencia de (B.7), tem-se:
Ci jkl = Ckli j (B.8)
100
Top Related