III Jornada de Iniciação Científica - 2007
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TÉCNICAS ALTERNATIVAS DE MONITORAMENTO E CONTROLE
ESTATÍSTICO DE PROCESSOS AOS GRÁFICOS DE CONTROLE DE
SHEWHART
Rodrigo Rodenburg Magalhães (IC) e Raquel Cymrot (Orientadora)
Apoio: PIVIC Mackenzie
Resumo
A forma mais eficiente, para se detectar mudanças na média de alguma variável de interesse de
um processo de produção, é obtida mediante a utilização das cartas de controle estatístico.
Quando se deseja detectar pequenas mudanças na média, a carta tradicional de Shewhart pode
ser pouco eficaz, uma vez que não costuma detectar mudanças inferiores à ordem de 1,5 vezes o
desvio padrão do processo. A fim de melhorar o desempenho destas cartas de controle, outros
critérios podem ser acrescentados às cartas de Shewhart, como por exemplo, testes para
seqüências e uso de limites de alerta. A utilização destas regras adicionais pode, porém, reduzir o
comprimento médio da seqüência quando o processo está sob controle, sendo, portanto, não
recomendável. Cartas de controle alternativas, como o gráfico de controle de soma cumulativa
(CUSUM) e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA), foram
desenvolvidas e mostraram-se bastante ágeis na detecção de pequenas alterações na média de
uma variável de interesse. A utilização destes gráficos também é vantajosa no caso em que se
têm observações individuais, situação esta que torna impossível a estimação da variabilidade da
variável em estudo dentro do subgrupo racional. Foram realizadas simulações através das quais
se puderam constatar a eficiência e as vantagens de um método sobre o outro. A melhor escolha
da carta de controle a ser utilizada é de significativa importância, já que a velocidade e precisão na
identificação de qualquer anomalia em processos são fatores decisivos para aperfeiçoá-los.
Palavras chave: cartas de controle; CUSUM; EWMA
Abstract
The most efficient form of detecting changes in some interest variable mean in a production
process is obtained by using the statistic control charts. Whenever small changes in the mean are
wished to be found, Shewhart traditional chart may have little efficacy, once is not used to detect
changes less then an order of 1.5 times the process standard deviation. Aiming at improving the
control chart performance, other criteria may be added to Shewhart chart, such as sequence tests
and use of warning limits. The additional rules utilization may, however, reduce the mean sequence
length when the process is under control, it being, therefore, not advisable. Alternative control
charts, like the Cumulative Sum control chart (CUSUM) and the Exponentially Weighed Moving
Average control chart (EWMA) were developed and proved to be very agile in detecting small
alterations in an interest variable mean. Using these charts is also very advantageous in case of
individual observation, and under such situation, estimating the variable variability within its rational
group becomes unfeasible. Simulations were done whereby the efficiency and advantages of each
method could be verified. It is very important to make the best control chart choice, once the
velocity and accuracy in detecting any anomaly in the processes are decisive factors to improve it.
Key words: Control charts, CUSUM, EWMA
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1 INTRODUÇÃO
Até a revolução industrial, os processos produtivos eram realizados por
famílias de artesões. A qualidade do produto final era de responsabilidade do
artesão e a satisfação do cliente final trazia retorno imediato através de maiores
vendas e prestígio na sociedade.
Com o advento da industrialização, as tarefas de produção foram divididas
entre vários operários. A qualidade final só era detectada depois de pronto o
produto, muitas vezes já em posse do consumidor.
Falhas detectadas depois de encerrado o processo de produção, causam
um maior prejuízo, uma vez que aumentam o número de itens necessitados de
retrabalho, aumentam o número de refugos e obrigam o produtor a trabalhar com
um estoque bem maior. É importante salientar que um problema na qualidade,
detectado pelo consumidor, pode vir a causar a perda de boa imagem do
fabricante, trazendo muitas vezes prejuízos irreversíveis.
A obtenção da qualidade desejada ou até mesmo a superação desta meta
é um fator diferencial para a empresa, levando a uma melhor competitividade e
tendo como conseqüência a manutenção desta empresa no mercado e um
crescimento na rentabilidade do negócio (ALVES, 2003b).
Segundo Montgomery (2004), uma definição para qualidade é que esta é
inversamente proporcional à variabilidade.
O controle estatístico de processos (CEP) auxilia a distinguir as causas
especiais de variabilidade do processo, que ocorrem de forma esporádica das
causas comuns de variabilidade e tem enorme papel não só na detecção de
possíveis causas de anomalias no processo, bem como na percepção de
possíveis medidas que tragam benefícios em relação à qualidade do produto
final. O controle estatístico de processo não é apenas um detector de problemas.
É uma ferramenta importante para o aperfeiçoamento contínuo do processo de
produção.
Devido a estas características, o controle estatístico do processo tem sido
muito utilizado por parte da indústria nacional. Apenas para citar um exemplo,
Martins (2003) cita sua utilização na indústria brasileira de eletrodomésticos,
linha branca.
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Com a utilização do CEP verifica-se a estabilidade do processo de
produção, isto é, sua previsibilidade. Uma vez constatada a estabilidade do
processo pode-se analisar sua capacidade em atender às especificações do
mercado. O nível de capacidade do processo é parâmetro exigido em diversos
contratos de compra da produção. Quando o processo está sob controle com as
condições de operação mantidas tão uniformes quanto possível, tais amostras
são denominadas subgrupos racionais (ALVES, 2003a).
O conhecimento sobre o processo determina o intervalo entre as
amostragens e o tamanho de cada sub-grupo racional amostrado. Deseja-se ter
ao mesmo tempo uma alta probabilidade de detecção das causas de possíveis
anomalias no processo e uma baixa probabilidade de falsos positivos, isto é, de
se detectar um problema que na realidade não existe. Além disso, a velocidade
de detecção de mudanças no comportamento do processo é uma característica
importantíssima, uma vez que possibilita a tomada de ações corretivas, evitando
maiores prejuízos. O objetivo é a manutenção do processo sob controle, isto é,
com desempenho adequado e previsível. (RAMOS, 2002)
Em 1931, Shewhart publicou os fundamentos do Controle Estatístico de
Processos, através da construção de cartas de controle para variáveis e
atributos. Tais cartas apresentavam limites de controle dentro dos quais
poderiam ocorrer variações aleatórias, de modo que, pontos fora destes limites
indicassem a possibilidade de existência de causas especiais, interferindo no
processo de produção (MOTGOMERY, 2004). Nestas cartas só é levada em
consideração a informação relativa ao último ponto coletado. Os limites de
controle são definidos em função de um tamanho de amostra n, fixo e pré-
estabelecido, a ser inspecionado a cada intervalo de tempo t. Esta amostra de
tamanho n deve constituir um subgrupo racional, isto é, supõe-se que haja
condições relativamente homogêneas dentro deste subgrupo, sendo que as
variações ocorrem apenas devido a causas comuns, que são naturalmente parte
do processo.
Pequenas mudanças no processo são difíceis de serem detectadas
através da utilização das cartas de Shewhart. Outras técnicas foram então
desenvolvidas a fim de detectar mudanças na média do processo inferiores a 1,5
σ, sendo σ o desvio padrão da variável controlada no processo de produção ou
se detectar pequenas variações na variabilidade do processo. Estas técnicas
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levam em conta as informações obtidas através das medidas realizadas durante
todo o processo e não somente a última medida realizada. Duas destas técnicas
são o gráfico de controle da soma cumulativa (do inglês, Cumulative Sum,
CUSUM) e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada
(do inglês, Exponentially Weighted Moving Average, EWMA).
1.1 Objetivos
Este trabalho teve como objetivo apresentar uma revisão da literatura
sobre as cartas de controle CUSUM e EWMA apresentando suas vantagens e
desvantagens em relação às cartas de controle de Shewhart e às cartas de
controle de Shewhart modificada.
Foram realizadas simulações utilizando conjuntos de dados nos quais
houve uma modificação na média da distribuição de probabilidades durante a
geração destes dados e construídas cartas de controle de Shewhart, de
Shewhart com modificação, CUSUM e EWMA. O objetivo destas simulações foi
comparar o desempenho destas cartas de controle e realizar uma análise crítica
de quando cada uma delas deve ser utilizada.
1.2 Justificativa
Quando o tamanho do subgrupo racional utilizado for igual a um, não há
como ser estimada a variabilidade da variável em estudo dentro deste subgrupo
racional. Esta situação ocorre, por exemplo,quando for utilizada uma tecnologia
de inspeção e medição automática e toda unidade fabricada é inspecionada,
quando a unidade observada tiver alto custo e o experimento realizado para
analisar a variável a ser controlada for destrutivo, quando a taxa de produção for
muito lenta. Neste caso, utiliza-se nas cartas de Shewhart, a amplitude móvel de
duas observações consecutivas para estimar tal variabilidade. Em tal situação os
gráficos de controle da soma cumulativa e da média móvel exponencialmente
ponderada são alternativas mais apropriadas, especialmente quando há um
pequeno deslocamento da média ou da variabilidade do processo.
Levando-se em conta a realidade da indústria eletroeletrônica, na qual a
qualidade é fator essencial para o sucesso da empresa, tem-se que pequenas
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variações no processo de produção devem ser rapidamente detectadas e
medidas que levem a melhoria do produto precisam ser prontamente
implantadas. Os gráficos de CUSUM e EWMA estudados neste projeto
propiciam a obtenção destes objetivos de forma mais rápida e precisa quando
comparados com a carta de controle de Shewhart. Simulações realizadas neste
trabalho comprovam tais afirmações.
REFERENCIAL TEÓRICO
As cartas de controle de Shewhart foram construídas supondo que a
variável em estudo tem uma distribuição aproximadamente Normal. Construindo-
se um intervalo, em geral com 99,73% de confiança (com 3 σ para cada lado),
obtêm-se os limites superior e inferior de controle. A fuga da suposição de
normalidade, especialmente em cartas com medidas individuais, em geral,
tornam as cartas de Shewhart inadequadas.
Para se estimar os parâmetros µ e σ devem-se coletar amostras
preliminares, cada uma contendo n observações da característica de qualidade
em estudo. Sendo as cartas de CUSUM e EWMA preferencialmente utilizadas
quando há só uma medida em cada sub-grupo racional, este artigo utilizará, para
comparação, as cartas de controle para dados individuais (x) e amplitude (R).
Neste caso, os limites de controle para o gráfico de dados individuais são:
REXd
RXLICX 2
2
3−=−= (1)
REXd
RXLSCX 2
2
3+=+= (2)
RDRd
dR
d
dRLICR 3
2
3
2
3 313 =
−=
−= , se D3 > 0. (3)
Se D3 ≤ 0, não existirá LICR.
RDRd
dR
d
dRLSCR 4
2
3
2
3 313 =
+=
+= (4)
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Os fatores E2, d2, d3 , D3 e D4 são tabelados e podem ser encontrados em
Ramos (2002).
A amplitude é calculada pelo módulo da diferença de cada observação em
relação à observação posterior. Ter-se-á, portanto, uma medida a menos que no
total de dados coletados. Pode-se também achar a amplitude de cada três
dados, cada quatro dados, etc. Os grupos de dados selecionados constituirão os
grupos móveis no cálculo da amplitude. E2 é um fator que varia com o tamanho
da amostra eR é a média das amplitudes móveis.
Segundo ALVES (2003a) deve-se tomar cuidado ao interpretar o gráfico
de amplitude móvel, pois as amplitudes são correlacionadas e tal correlação
pode induzir uma forma de seqüências ou ciclos no gráfico. Montgomery (2004)
chega a recomendar que não se utilize o gráfico de amplitude móvel, pois este
gráfico não fornece informação segura sobre mudança na variabilidade do
processo.
Segundo Montgomery e Runger (2003), quando é possível especificar
valores para a média e para o desvio padrão do processo, podem-se utilizar tais
valores padrões ou de referência na construção dos gráficos de x e R.
As cartas tradicionais de Shewhart têm como único critério de estabilidade
do processo, o ponto cair fora dos limites de controle, ignorando quaisquer
informações fornecidas pela seqüência de pontos. Tal característica torna as
cartas de Shewhart pouco sensíveis a pequenas mudanças no processo. Com
relação à média são consideradas pequenas as mudanças em que o
deslocamento é inferior a 1,5 σ (MONTGOMERY, 2004). Para corrigir tal falha a
indústria adotou vários critérios complementares, porém, fora complicarem sua
utilização, podem levar a um “super- controle” aumentando drasticamente o
número de falsos positivos, isto é, a aumentando a probabilidade da carta
detectar que o processo sofreu alteração quando, na realidade, isto não ocorreu.
Neste trabalho serão adotados dois critérios adicionais, muito utilizados
nas indústrias nacionais, a saber: não haver sete pontos consecutivos acima ou
abaixo da média e não haver sete pontos consecutivos subindo ou descendo,
tanto para o gráfico das medidas individuais como para o gráfico das amplitudes.
Para ilustrar uma carta de Shewhart, foram geradas 30 observações a
partir de uma distribuição Normal com média igual a dez e desvio padrão igual a
um. As próximas 20 observações foram geradas a partir de uma distribuição
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Normal com média igual a onze e mesmo desvio padrão igual a um. Para gerar a
carta de Shewhart foram utilizados os valores especificados igual a 10 para a
média e 1 para o desvio padrão. Os dados gerados estão apresentados na
tabela 1 a seguir e o gráfico 1 apresenta a carta de Shewhart para a série de
dados da tabela 1.
Tabela 1 Valor das 50 observações geradas
11,73 9,13 9,16 9,41 11,20 9,13 10,83 9,84 11,54 12,5711,87 9,60 10,33 11,56 8,36 11,19 11,18 11,67 10,19 10,608,93 10,28 10,67 9,79 9,61 10,69 10,32 11,18 11,84 8,409,76 10,06 9,59 11,32 8,85 8,85 11,94 11,46 13,41 10,2910,63 10,06 10,45 10,93 10,62 10,17 10,74 11,41 10,42 11,28
Observa-se que embora a mudança na média do processo tenha ocorrido
na observação número 31, a carta detectou esta mudança somente na
observação 43, quando da utilização dos três critérios da carta de Shewhart
modificada e somente na observação número 44, quando da utilização da carta
de Shewhart.
Gráfico 1
Carta de Shewhart para as 50 observações geradas
Uma medida muito importante de análise das cartas de controle é o
comprimento médio da corrida (do inglês Average run length, ARL) que é o
número esperado de pontos plotados até que um ponto indique uma condição
fora de contole. Seja p a probabilidade de que, em uma carta de Shewhart, um
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ponto caia fora dos limites de controle. Baseado na distribuição geométrica
prova-se que:
p
ARL1
= (5)
Como a carta tradicional de Shewhart é construída com 3 desvios padrões
acima e abaixo da média, têm-se p = 0,0027 e ARL = 370,37.
Outros tipos de cartas de controle foram desenvolvidos. Page (1954) foi
quem primeiro propôs o uso das cartas de controle de soma acumulada
(CUSUM).
A carta CUSUM leva em conta o valor de todas as observações,
trabalhando com somas cumulativas e tem sua utilização particularmente
aconselhável quando o tamanho do subgrupo, n, é igual a um. A carta detecta
mais rapidamente pequenas mudanças. Seu uso permite, portanto, um controle
mais rigoroso do processo tornando possível ao analista mantê-lo centrado no
seu valor nominal (ALVES, 2003a).
A carta de CUSUM pode ser realizada através de um procedimento
tabular ou de um procedimento denominado Máscara V.
No procedimento tabular é utilizado um algoritmo para cálculo de somas
acumuladas unilaterais que são comparadas com um valor H a fim de determinar
se o processo está sob controle.
Seja:
0)( 0
1
0 =−=∑=
CexCi
j
ji µ (6)
A tabela 2 apresenta os cinco primeiros valores de Ci para os 50 dados
gerados.
Tabela 2 Valores de xi e de Ci para as cinco primeiras observações geradas
Amostra xi xi - 10 Ci = (xi - 10) + C i - 11 11,73 1,73 1,732 11,87 1,87 3,603 8,93 -1,07 2,534 9,76 -0,24 2,305 10,63 0,63 2,92
O gráfico 2 apresenta a carta CUSUM para as 50 observações geradas.
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Gráfico 2
Carta CUSUM para as 50 observações geradas
A carta CUSUM não é uma carta de controle, pois não existem limites
estatísticos de controle. No geral uma mudança na média do processo será
observada por uma mudança na inclinação da carta CUSUM. Além disto, a carta
também indica o número de observações relevantes para a determinação desta
mudança (EDWAN, 1963). Note que a partir da observação 31 ocorre uma
mudança na inclinação da carta CUSUM.
Neste trabalho todas as amostras têm tamanho igual a um e o desvio
padrão do processo, σ, é conhecido. Seja xi a i-ésima observação do processo.
Se o processo está sob controle X ~ N( µo ; σ2 ). Pode-se encarar µo como o
valor alvo para a característica X. Sejam:
Ci+ = max [ 0 , xi – (µ0 + k) + Ci-1
+ ] (7)
Ci- = max [ 0 , (µ0 – k) – xi + Ci-1
- ] (8)
, com C0+ = C0
- = 0 e k um valor de referência, geralmente metade da distância
entre o objetivo µ0 e o valor da média fora de controle µ1 = µ0 + δσ , isto é:
22
01 µµσ
δ −==k
(9)
Tanto Ci+ como Ci
- ao tornarem-se negativos passam a assumir o valor
igual a zero. Se Ci+ ou Ci
- excederem o intervalo de decisão H, o processo é
considerado fora de controle. Segundo Montgomery (2003), um valor
aconselhável para H é 4σ ou 5σ.
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Na tabela 3 é apresentado o algoritmo CUSUM e o gráfico 3 exibe o seu
gráfico. Para os dados gerados, adotou=se k = 0,5 e H = 5.
Gráfico 3
Carta CUSUM para as 50 observações geradas
As quantidades k, Ci+, Ci
-, N+ e N- podem ser usadas para estimar a nova
média do processo, a fim de se poder dimensionar a ação a ser feita no mesmo
de modo a trazê-lo de volta para o alvo µ0.
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Tabela 3 Algoritmo do CUSUM para procedimento tabular
período observação xi - 10,5 Ci+ N+
9,5 -xi Ci- N -
1 11,73 1,23 1,23 1 -2,23 0,00 02 11,87 1,37 2,60 2 -2,37 0,00 03 8,93 -1,57 1,03 3 0,57 0,57 14 9,76 -0,74 0,30 4 -0,26 0,31 25 10,63 0,13 0,42 5 -1,13 0,00 06 9,13 -1,37 0,00 0 0,37 0,37 17 9,60 -0,90 0,00 0 -0,10 0,27 28 10,28 -0,22 0,00 0 -0,78 0,00 09 10,06 -0,44 0,00 0 -0,56 0,00 010 10,06 -0,44 0,00 0 -0,56 0,00 011 9,16 -1,34 0,00 0 0,34 0,34 112 10,33 -0,17 0,00 0 -0,83 0,00 013 10,67 0,17 0,17 1 -1,17 0,00 014 9,59 -0,91 0,00 0 -0,09 0,00 015 10,45 -0,05 0,00 0 -0,95 0,00 016 9,41 -1,09 0,00 0 0,09 0,09 117 11,56 1,06 1,06 1 -2,06 0,00 018 9,79 -0,71 0,35 2 -0,29 0,00 019 11,32 0,82 1,17 3 -1,82 0,00 020 10,93 0,43 1,60 4 -1,43 0,00 021 11,20 0,70 2,30 5 -1,70 0,00 022 8,36 -2,14 0,16 6 1,14 1,14 123 9,61 -0,89 0,00 0 -0,11 1,03 224 8,85 -1,65 0,00 0 0,65 1,68 325 10,62 0,12 0,12 0 -1,12 0,56 426 9,13 -1,37 0,00 0 0,37 0,94 527 11,19 0,69 0,69 1 -1,69 0,00 028 10,69 0,19 0,88 2 -1,19 0,00 029 8,85 -1,65 0,00 0 0,65 0,65 130 10,17 -0,33 0,00 0 -0,67 0,00 031 10,83 0,33 0,33 1 -1,33 0,00 032 11,18 0,68 1,01 2 -1,68 0,00 033 10,32 -0,18 0,83 3 -0,82 0,00 034 11,94 1,44 2,27 4 -2,44 0,00 035 10,74 0,24 2,51 5 -1,24 0,00 036 9,84 -0,66 1,85 6 -0,34 0,00 037 11,67 1,17 3,02 7 -2,17 0,00 038 11,18 0,68 3,70 8 -1,68 0,00 039 11,46 0,96 4,65 9 -1,96 0,00 040 11,41 0,91 5,56 10 -1,91 0,00 041 11,54 1,04 6,60 11 -2,04 0,00 042 10,19 -0,31 6,29 12 -0,69 0,00 043 11,84 1,34 7,63 13 -2,34 0,00 044 13,41 2,91 10,55 14 -3,91 0,00 045 10,42 -0,08 10,46 15 -0,92 0,00 046 12,57 2,07 12,53 16 -3,07 0,00 047 10,60 0,10 12,63 17 -1,10 0,00 048 8,40 -2,10 10,52 18 1,10 1,10 149 10,29 -0,21 10,31 19 -0,79 0,32 250 11,28 0,78 11,09 20 -1,78 0,00 0
CUSUM superior CUSUM inferior
Estima-se:
HCseN
Ck i
i >++= ++
+
0ˆ µµ (10)
HCseN
Ck i
i >−−= −−
−
0ˆ µµ (11)
As escolhas de k e H influenciam a eficiência da carta de controle
CUSUM.
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Para n = 40, Ci+ = 5,56 > 5 logo o processo saiu de controle. Como N+ =10
temos que o processo estava pela última vez sob controle no período 30 = 40 –
10.
Pode-se estimar para quanto foi a média do processo através de (10).
056,1110
56,55,00,10ˆ 40
0 =++=++=+
+
N
Ckµµ
Note que a estimativa da nova média chegou bem perto do novo valor que
é igual a 11.
Gan (1991), em seu artigo An Optimal design of CUSUM Quality Control
Charts, apresenta gráficos que auxiliam na implementação dos quatro passos
para a obtenção do modelo ótimo de carta de controle CUSUM por ele
propostos, a saber: Selecionar o menor valor aceitável de ARL; decidir qual o
menor deslocamento na média para o qual é importante uma rápida detecção.
Selecionar o k que produz o mínimo ARL para o deslocamento selecionado;
determinar H tal que a carta CUSUM produza o ARL anteriormente escolhido e
fazer uma análise de sensibilidade comparando o ARL para o k e H selecionados
com outras escolhas de k e H que produzam o mesmo ARL. Se o ARL para o
deslocamento mínimo escolhido for muito grande, aumentar o tamanho da
amostra. Neste mesmo artigo, Gan (1991) diz concordar com muitos outros
autores quando sugere como melhor opção para k o valor da metade do menor
deslocamento na média para o qual é importante uma rápida detecção.
Em 1982, Lucas e Crosier propuseram que os valores de C0+ e C0
- não
fossem nulos e sim iguais a um outro valor, em geral H/2. Tal procedimento foi
denominado uso de resposta rápida inicial ou headstart. Quando o processo está
sob controle em seu início, a utilização de um headstart será inócua, porém,
quando o processo já começar fora de controle, o uso do headstart aumenta a
rapidez com que o problema é detectado, diminuindo seu ARL. Tal propriedade
fica clara no resultado das simulações apresentadas por estes autores.
Em 1981 Hawkins sugeriu um procedimento tabular do CUSUM para ser
utilizado no controle da variabilidade do processo, quando as observações são
individuais. Ele foi motivado em seus estudos pela necessidade de que em muitas
aplicações industriais este controle é muito importante. Seja yi o valor padronizado
da observação xi. Hawkins (1981) sugeriu o uso da estatística apresentada em
III Jornada de Iniciação Científica - 2007
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(12) quando a média µ0 é desconhecida e a estatística apresentada em (13)
quando a média µ0 é conhecida.
σ
1−−= ii
i
xxy (12)
σµ0−
= ii
xy (13)
Seja vi definido segundo a equação (14).
349,0
822,0|| −= i
i
yv (14)
Montgomery (2004) afirma que a estatística vi é sensível tanto a
mudanças na média como a mudanças na variância. Tem-se:
Si+ = max [ 0 , vi – k + S i-1
+ ] (15)
Si- = max [ 0 , – k – vi + S i-1
- ] (16)
, com S0+ = S0
- = 0 e com os valores k e H selecionados como no CUSUM para o
controle da média do processo. Hawkins (1981) sugere o uso de k = 0,25 e H = 6.
O procedimento de Máscara V se aplica aos valores Ci da soma dos
valores das observações padronizadas. Seja yi conforme a equação (13). Tem-
se:
∑=
−+==i
j
iiii CyyC1
1 (17)
O gráfico 4 mostra uma máscara V típica. O processo de decisão consiste
em colocar a máscara V sob o gráfico das somas Ci, com o ponto O sobre o
último valor de Ci e a linha OP paralela ao eixo horizontal. Se todos os pontos
anteriores a Ci se localizarem dentro dos dois braços da máscara, o processo
estará sob controle. O desempenho da máscara V depende das escolhas de d e
do ângulo θ. Existe equivalência entre os procedimentos tabular e máscara V se
k = A tanθ e H = A d tan θ, com A igual a escala unitária do eixo y
(MONTGOMERY, 2004).
Montgomery (2004), entretanto, desaconselha o uso da máscara V
citando entre outros problemas a dificuldade de uso em cartas unilaterais, a
impossibilidade de se utilizar algo equivalente ao headstart, a dificuldade de
interpretação e a ambigüidade associada aos erros tipo I (α) e erro tipo II (β).
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14
Gráfico 4 Máscara V típica
Fonte MONTGOMERY (2004, p. 267)
Outro tipo de carta a ser estudada é o gráfico de controle da média móvel
exponencialmente ponderada (do inglês, Exponentially Weighted Moving
Average, EWMA) que foi introduzido por Roberts (1959). Segundo Hunter
(1986), a carta de EWMA teve sua origem em trabalhos de econometria. Ela é
útil tanto para o controle da qualidade de itens manufaturados como no controle
da qualidade em processos contínuos de produção. A carta EWMA é fácil de ser
plotada, é fácil de ser interpretada e seus limites de controle são facilmente
calculados.
O procedimento da carta EWMA é baseado em médias móveis
geométricas. Seja:
1)1( −−+= iii zxz λλ (18)
, com 0 < λ ≤ 1 constante e o valor inicial z0 igual a µ0 (alvo do processo) ou z0 =
x .
Segue que:
∑−
=− −+−=
1
0
0)1()1(i
j
i
ji
j
i zxz λλλ (19)
Os pesos dados a uma observação decrescem geometricamente com a
distância entre esta observação e a observação atual. No caso em que há uma
observação por vez, Borror, Montgomery e Runger (1999) concluíram que a
carta de controle para média móvel exponencialmente ponderada é robusta à
suposição de normalidade.
Segundo Montogomery (2004), os limites das cartas de controle são
dados por:
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15
])1(1[)2(
2
0
iLLIC λλ
λσµ −−
−−= (20)
])1(1[)2(
2
0
iLLSC λλ
λσµ −−
−+= (21)
que se aproximarão assintoticamente para os valores a seguir, quando o gráfico
já está rodando por vários períodos de tempo.
)2(
0 λλ
σµ−
−= LLIC (22)
)2(
0 λλ
σµ−
+= LLSC (23)
Montgomery (2004) recomenda que enquanto o processo estiver no
começo, se use os limites exatos de controle.
Para ilustrar a construção desta carta será utilizado novamente o conjunto
de dados no qual houve um deslocamento da média de um desvio padrão, a
partir da 31ª observação. A tabela 4 mostra os valores de zi para 1 ≤ i ≤ 5,
utilizando λ = 0,1 e o gráfico 5 mostra a carta EWMA construída. Para a
construção da carta EWMA adotou-se λ = 0,1 e L = 2,7, conforme recomendação
de Montgomery (2004).
Tabela 4
Cinco primeiros valores de zi para construção da carta EWMA, com λ = 0,1. observação xi zi
1 11,73 10,1732 11,87 10,3433 8,93 10,2024 9,76 10,1585 10,63 10,205
Crowder (1987) propôs um método simples para estimar o comprimento
médio das seqüências e o desvio padrão do comprimento das seqüências,
assumindo distribuição Normal para o comprimento das seqüências. O
procedimento foi estendido para alguns casos de não normalidade. Em 1989 o
mesmo autor revisa os procedimentos para utilizar a carta de EWMA e apresenta
gráficos tais que haja uma identificação rápida dos parâmetros ótimos para esta
carta (CROWDER, 1989). Montgomery (2004) propõe o uso de λ ente 0,05 e
0,25. Este autor sugere que se utilizem valores menores de λ quando o objetivo
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16
for detectar pequenas mudanças na média do processo. Quando λ é pequeno é
sugerido o uso de L entre 2,6 e 2,8 ao invés de se usar L = 3,0.
Gráfico 5
Carta EWMA para as 50 observações geradas
Rhoads, Montgomery e Mastrangelo (1996) propuseram do uso de uma
resposta inicial rápida para a carta EWMA de forma similar a que Lucas e
Crosier (1982) fizeram para a carta CUSUM.
Para controlar a variabilidade de um processo, Crowder e Hamilton (1992)
mostraram que a carta de média móvel exponencialmente ponderada baseada
na transformação log da variância amostral é superior às cartas de controle de
Shewhart. MacGregor e Harris (1993) propuseram a utilização da carta de
variância móvel exponencialmente ponderada (EWMV) e da carta de variância
média exponencialmente ponderada (EWMS) a fim de monitorar vários tipos de
variabilidade em processos contínuos. Estas cartas são especialmente úteis no
controle de cartas para observações individuais e para observações
autocorrelacionadas que são variações da carta EWMA para controle do desvio
padrão do processo.
METODOLOGIA
Foram gerados quatro conjuntos de cem amostras de tamanho cinqüenta.
Cada valor foi gerado a partir de uma distribuição Normal. Para cada amostra os
trinta primeiros números foram gerados a partir de uma distribuição Normal com
III Jornada de Iniciação Científica - 2007
17
média 10,0 e desvio padrão 1,0. Para os vinte últimos números variou-se a
média, mantendo-se o mesmo desvio padrão. Nos quatro conjuntos de dados, as
médias foram respectivamente modificadas para 10,5; 11,0; 11,5 e 12,0
correspondendo respectivamente a mudanças na média de 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0
desvios padrões.
Para cada amostra foram construídas as cartas de controle de Shewhart,
CUSUM e EWMA. Para os quatro conjuntos de dados com médias a partir da
31º observação iguais a 10,5; 11,0; 11,5 e 12,0 adotaram-se nas cartas CUSUM,
H = 5 e k respectivamente iguais a 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 e nas cartas EWMA, L
= 2,7 e λ respectivamente iguais a 0,05; 0,10; 0,10 e 0,10. Foram gerados ao
todo 1200 cartas de controle sendo 400 de cada tipo (Shewhart, CUSUM e
EWMA).
Para a carta de Shewhart modificada adotaram-se três critérios de
estabilidade do processo, a saber: não ter ponto fora dos limites de controle, não
ter sete pontos seguidos subindo ou descendo e não ter sete pontos seguidos
acima ou abaixo da média, tanto para o gráfico de X como para o gráfico das
amplitudes. Para análise da carta de Shewhart adotou-se só o primeiro critério.
Para todas as cartas de controle, foi anotada em que observação foi
detectada, pela primeira vez, a ocorrência de mudança na média, após este fato
ter realmente ocorrido, isto é após a 30ª observação.
Como houve amostras em que as mudanças não foram detectadas até o
instante 50, optou-se por utilizar o teste não paramétrico de Friedman para
comparar se, em média, as quatro cartas apontaram a ocorrência de mudança
na média do processo em uma mesma observação. Como houve empates nos
postos atribuídos em uma mesma amostra, foi utilizado o teste não paramétrico
de Friedman com ajustes. Quando o teste apontou para diferenças nestas
médias, testaram-se, par a par, as hipóteses de igualdade entre as médias do
número das observações em que os gráficos detectaram a mudança ocorrida
(CONOVER, 1999). Para melhor visualização, foram construídos os gráficos de
Boxplot para os quatro tipos de cartas de controle, com marcação das médias,
para as observações em que pela primeira vez, após a 30º observação, as
cartas detectaram a mudança ocorrida.
Todas as cartas foram analisadas quanto ao fato de terem sinalizado ou
não pelo menos um falso positivo, isto é, alguma alteração antes da 31ª
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18
observação, quando esta ainda não havia ocorrido. Para comparar se a
proporção de falsos alarmes foi igual para os quatro tipos de cartas de controle
foi realizado o teste Q de Cochran. Para testar se cada par de tipos de cartas de
controle tem a mesma probabilidade de falsos alarmes foram realizados testes
não paramétricos de McNemar (CONOVER, 1999). Para melhor visualização
foram construídos gráficos de setor para o número de falsos positivos em cada
tipo de carta.
Todas as hipóteses foram testadas utilizando um nível de significância α
igual a 0,05. Para cada teste foi calculado seu nível descritivo (P) e conclusões
foram tiradas a cerca da significância das hipóteses testadas.
As análises estatísticas foram realizadas no Laboratório de Simulação da
Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, com a
utilização do software estatístico MINITAB. Tal programa foi utilizado na geração
das amostras, na construção das cartas de controle, na construção de gráficos
de setor, boxplot e na realização de alguns testes não paramétricos.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para os quatro conjuntos, os dados foram coletados segundo a tabela 5.
Esta tabela, do conjunto de dados no qual a média se deslocou em 1 desvio
padrão, será apresentada somente com as primeiras cinco linhas.
Tabela 5 Primeiro alerta efetivo e primeiro falso positivo para cada tipo de carta de controle
observação Shewhart Shewhart mod. CUSUM soma contador EWMA Shewhart Shewhart mod. CUSUM EWMA1 37 37 33 5,00 3 37 27 8 0 02 100 47 45 5,89 15 44 0 29 0 03 100 34 49 5,13 9 47 0 0 0 04 43 31 38 6,68 8 38 6 6 0 05 100 37 35 5,29 5 50 0 24 0 0
1º alerta Falso positivo
A Tabela 6 mostra em cada conjunto de dados com médias modificadas
respectivamente para 10,5; 11,0; 11,5; e 12,0, para os quatro tipos das cartas de
controle, a soma dos postos atribuídos ao número das observações nas quais
houve a detecção da mudança da média a partir do momento em que esta
realmente ocorreu.
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19
Tabela 6 Soma dos postos para cada tipo de carta de controle em cada conjunto de dados.
Carta de controle nova média = 10,5 nova média = 11,0 nova média = 11,5 nova média = 12,0Shewhart 314,0 346,5 295,5 254,5Shewhart modificada 213,0 222,0 198,5 191,0CUSUM 172,5 220,0 280,0 319,0EWMA 300,5 211,5 226,0 235,5
Para testar a hipótese H0 de que, em média, o número das observações
nas quais os quatro tipos de carta de controle detectaram a mudança ocorrida na
média do processo são iguais, foi realizado o teste ajustado de Friedman e
calculada a estatística T2 que tem distribuição de Fisher com graus de liberdade
3 (nº de tipos de carta de controle – 1) e 297 ((nº de amostras – 1) x (nº de tipos
de carta de controle – 1)). Ao nível de significância de 5% a região crítica é: R.C.
= {T2 | T2 ≥ 2,6350}. Quando a hipótese é rejeitada, afirma-se que, em média, os
postos médios atribuídos ao número das observações em que os quatro tipos de
carta de controle detectaram a mudança ocorrida na média do processo não são
iguais. Para os quatro conjuntos de dados, com média modificada em 0,5; 1,0;
1,5; e 2,0 desvios padrões, os valores de T2 foram respectivamente iguais a
62,4481 (P = 2,48E–31), 42,7146 (P = 5,61E–23), 18,5947 (P = 4,42E–11) e
29,3510 (P = 1,20E –16).
Pode-se, portanto, concluir ao nível de significância de 5% que as cartas
de controle não são todas iguais quanto ao número da observação que, em
média, detectam a mudança ocorrida na média do processo.
Foram testados, então, todos os contrastes dois a dois. Considera-se que
dois tipos de carta de controle não detectam a mudança ocorrida em média no
mesmo momento se o valor absoluto da diferença da soma de seus postos
exceder um determinado valor que é calculado em função dos postos obtidos, do
número de variáveis (tipos de cartas de controle), do número de respostas e do
valor t297;2,5% da distribuição t de Student. Para os quatro conjuntos de dados,
com média modificada em 0,5; 1,0; 1,5; e 2,0 desvios padrões, o valor máximo
foi respectivamente igual a 24,08; 27,46; 29,33 e 27,30.
As tabelas 7 e 8 apresentam os contrastes realizados, a diferença
absoluta das soma dos postos, o nível descritivo P de cada teste e a conclusão
obtida ao nível de significância de 5% para os quatro conjuntos de dados.
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Tabela 7 Contrastes entre os tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), diferença absoluta entre as soma de postos, nível descritivo e conclusão obtida
com modificações nas médias de 0,5 e 1,0 desvios padrões.
Contrastes Diferença P Conclusão Diferença P Conclusãoabsoluta absoluta
(1) e (2) 101,0 7,31E-09 rejeita-se H0 124,50 1,55E-09 rejeita-se H0
(1) e (3) 141,5 5,74E-12 rejeita-se H0 126,50 1,12E-09 rejeita-se H0
(1) e (4) 13,5 2,80E-01 não se rejeita H0 135,00 2,88E-10 rejeita-se H0
(2) e (3) 40,5 2,65E-03 rejeita-se H0 2,00 8,87E-01 não se rejeita H0
(2) e (4) 87,5 1,09E-07 rejeita-se H0 10,50 4,58E-01 não se rejeita H0
(3) e (4) 128,0 5,34E-11 rejeita-se H0 8,50 5,48E-01 não se rejeita H0
nova média = 10,5 nova média = 11,0
Tabela 8 Contrastes entre os tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), diferença absoluta entre as soma de postos, nível descritivo e conclusão obtida com
modificações nas médias de 1,5 e 2,0 desvios padrões.
Contrastes Diferença P Conclusão Diferença P Conclusãoabsoluta absoluta
(1) e (2) 97,0 5,63E-07 rejeita-se H0 63,5 9,48E-05 rejeita-se H0
(1) e (3) 15,5 3,08E-01 não se rejeita H0 64,5 7,81E-05 rejeita-se H0
(1) e (4) 69,5 7,55E-05 rejeita-se H0 19,0 1,82E-01 não se rejeita H0
(2) e (3) 81,5 8,71E-06 rejeita-se H0 128,0 7,75E-10 rejeita-se H0
(2) e (4) 27,5 7,61E-02 não se rejeita H0 44,5 3,43E-03 rejeita-se H0
(3) e (4) 54,0 1,19E-03 rejeita-se H0 83,5 2,01E-06 rejeita-se H0
nova média = 11,5 nova média = 12,0
O gráfico 6 apresenta um conjunto de gráficos boxplot com os postos
médios marcados para cada carta. O boxplot apresenta o menor valor que não é
uma observação discrepante, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o
maior valor que não é observação discrepante, dando uma visão tanto das
medidas de posição, como da variabilidade envolvida.
Para testar a hipótese H0 de que as proporções de algum falso positivo
são as mesmas para os quatro tipos de carta foi utilizado o teste Q de Cochran.
A tabela 9 mostra as proporções com que cada tipo de carta de controle
detectou uma mudança na média do processo quando esta ainda não tinha
ocorrido (falso positivo).
A estatística Q tem distribuição Quiquadrado com 3 com graus de
liberdade (nº de tipos de carta de controle – 1). Ao nível de significância de 5% a
região crítica é: R.C. = {χ2 | χ2 ≥ 7,815}. Para os quatro conjuntos de dados, com
média modificada em 0,5; 1,0; 1,5; e 2,0 desvios padrões, os valores de Q foram
respectivamente iguais a 73,8700 (P = 6,33E–16), 119,9321 (P = 7,98E–26),
III Jornada de Iniciação Científica - 2007
21
121,4043 (P = 3,85E–26) e 125,3750 (P = 5,37E –27). Ao nível de significância
de 5%, rejeitou-se H0 para os quatro conjuntos de dados e afirma-se que as
proporções de pelo menos um falso positivo não são iguais para os quatro tipos
de cartas.
Gráfico 6 Gráficos de boxplot para os quatro tipos de carta de controle com modificações nas médias de
0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões
Tabela 9 Proporção de falso positivo para os quatro tipos de cartas de controle, com modificações nas
médias de 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões
Carta de controle nova média = 10,5 nova média = 11,0 nova média = 11,5 nova média = 12,0Shewhart 0,24 0,26 0,25 0,25Shewhart modificada 0,62 0,62 0,55 0,56CUSUM 0,29 0,04 0,00 0,00EWMA 0,12 0,05 0,04 0,03
Probabilidade de falso positivo
Para testar se as probabilidades de pelo menos um falso positivo para
cada par de cartas de controle são iguais foram realizados testes de McNemar.
Os resultados destes testes estão apresentados nas tabelas 10 e 11.
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22
Tabela 10 Contrastes entre as proporções de falsos positivos para os quatro tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), estatística para o teste de
McNemar, nível descritivo do teste realizado e conclusão obtida com modificações nas médias de 0,5 e 1,0 desvios padrões.
Contrastes Estatística P Conclusão Estatística P Conclusãode McNemar de McNemar
p1 e p2 38,000 7,07E-10 rejeita-se H0 38,000 7,07E-10 rejeita-se H0p1 e p3 0,806 3,69E-01 não se rejeita H0 16,133 5,90E-05 rejeita-se H0p1 e p4 5,000 1,69E-02 rejeita-se H0 3,000 4,92E-05 rejeita-se H0p2 e p3 10,000 1,57E-03 rejeita-se H0 54,258 1,76E-13 rejeita-se H0p2 e p4 43,103 5,19E-11 rejeita-se H0 55,068 1,16E-13 rejeita-se H0p3 e p4 2,000 2,21E-04 rejeita-se H0 4,000 1,00E+00 não se rejeita H0
nova média = 11,0nova média = 10,5
Tabela 11 Contrastes entre as proporções de falsos positivos para os quatro tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), estatística para o teste de
McNemar, nível descritivo do teste realizado e conclusão obtida com modificações nas médias de 1,5 e 2,0 desvios padrões.
Contrastes Estatística P Conclusão Estatística P Conclusãode McNemar de McNemar
p1 e p2 30,000 4,32E-08 rejeita-se H0 31,000 2,58E-08 rejeita-se H0
p1 e p3 0,000 5,96E-08 rejeita-se H0 0,000 5,96E-08 rejeita-se H0
p1 e p4 1,000 5,72E-06 rejeita-se H0 1,000 2,98E-06 rejeita-se H0
p2 e p3 55,000 1,21E-13 rejeita-se H0 56,000 7,25E-14 rejeita-se H0
p2 e p4 51,000 9,24E-13 rejeita-se H0 53,000 3,34E-13 rejeita-se H0
p3 e p4 4,000 1,25E-01 não se rejeita H0 3,000 6,25E-01 não se rejeita H0
nova média = 11,5 nova média = 12,0
O gráfico 7 apresenta um conjunto de gráficos de setor para a
porcentagem de pelo menos um falso positivo para cada carta para os quatro
conjuntos de dados estudados.
No que se refere à detecção de mudanças na média, para um
deslocamento na média de 0,5 desvio padrão, a melhor carta de controle foi a
CUSUM (apresentou menor posto médio), seguida pela carta de Shewhart
modificada. As cartas de Shewhart e EWMA foram as piores cartas em termos
de detectar as mudanças ocorridas e tiveram desempenho estatisticamente
iguais. Com relação à probabilidade de ocorrência de pelo menos um falso
positivo a carta EWMA foi a melhor. As cartas CUSUM e Shewhart tiveram
desempenho estatisticamente equivalentes e a carta de Shewhart modificada foi
a que teve pior desempenho.
III Jornada de Iniciação Científica - 2007
23
Gráfico 7
Gráficos de setor das porcentagens de pelo menos um falso positivo para os quatro tipos de carta de controle com modificações nas médias de 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões
No que se refere à detecção de mudanças na média, para um
deslocamento na média de 1,0 desvio padrão, as cartas de controle CUSUM,
EWMA e Shewhart modificada foram seguida pela carta de Shewhart
modificada. As cartas de Shewhart e EWMA tiveram desempenho
estatisticamente iguais. A carta de Shewhart modificada foi a pior carta em
termos de detectar as mudanças ocorridas. Com relação à probabilidade de
ocorrência de pelo menos um falso positivo as cartas CUSUM e EWMA foram as
melhores, apresentando uma probabilidade muito pequena de falsos positivos. A
carta de Shewhart teve um desempenho pior e a carta de Shewhart modificada
foi a que teve um desempenho realmente muito ruim (62% de cartas com pelo
menos um falso positivo).
Este padrão de comportamento das cartas de controle em relação à
probabilidade de pelo menos um falso positivo se repetiu tanto para um
deslocamento na média de 1,5 desvios padrões, como para um deslocamento na
média de 2,0 desvios padrões. Já no que se refere à detecção de mudanças na
média, para um deslocamento na média de 1,5 desvio padrão, as melhores
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24
cartas foram a de Shewhat modificada e a EWMA. As cartas de Shewhat
modificada e a EWMA tiveram desempenho estatisticamente iguais, assim como
as cartas CUSUM e de Shewhart. Com relação a um deslocamento na média de
2,0 desvios padrões, a melhor carta foi novamente a Shewhat modificada. As
cartas CUSUM, e Shewhart tiveram desempenho estatisticamente iguais e a
carta EWMA foi a que apresentou pior desempenho.
CONCLUSÃO
As cartas de Shewhart modificadas apresentaram para todos os valores
de deslocamento da média, sempre probabilidades altíssimas de apresentar pelo
menos um falso positivo. Esta conclusão se torna ainda mais importante se
levado em conta que neste estudo, usaram-se apenas dois critérios adicionais
para a estabilidade do processo, a saber: não haver sete pontos seguidos
subindo ou descendo e não haver sete pontos seguidos acima ou abaixo da
média. Na prática, muitas indústrias utilizam ainda mais critérios adicionais para
a verificação de estabilidade do processo, aumentando consequentemente ainda
mais as probabilidades de se parar o processo sem motivo e de se perder uma
grande quantidade de tempo e recursos procurando uma causa especial que de
fato não existe. Um número excessivo de falsos alarmes provoca ajustes
desnecessários, levando a uma perda de confiança na ferramenta de cartas de
controle, causando prejuízos na produção.
Quando o deslocamento da média foi pequeno, da ordem de 0,5 desvio
padrão, a carta CUSUM foi a que teve melhor desempenho, levando em conta
tanto à velocidade de detecção das mudanças como a probabilidade de
apresentar pelo menos um falso positivo. Para deslocamentos da ordem de 1,0
desvio padrão as cartas CUSUM e EWMA foram as que apresentaram melhor
desempenho.
Para um deslocamento da ordem de 1,5 desvio padrão a carta EWMA foi
a que teve melhor desempenho, levando em conta tanto à velocidade de
detecção das mudanças como a probabilidade de apresentar pelo menos um
falso positivo. Quando o deslocamento foi maior, da ordem de 2,0 desvios
padrões, a carta de Shewhart já dá mostras de melhora em seu desempenho.
III Jornada de Iniciação Científica - 2007
25
Vale ressaltar que os desempenhos das cartas CUSUM e EWMA
dependem muito da escolha dos parâmetros destas cartas. Neste estudo
utilizamos valores recomendados na literatura de forma geral. Outras
simulações, com outros valores de parâmetros, poderiam alterar um pouco
essas conclusões. Na prática, uma vez escolhido o valor de deslocamento que
se deseja detectar, vale a pena fazer simulações com um maior número de
parâmetros a fim de se encontrar a melhor configuração a ser utilizada.
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estatística de processos. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-
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(Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de Minas Gerais,
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