normal
Prof. Dr. Jhames SampaioUniversidade de Brasília
‣ lei dos 68,2 - 95,4 - 99,7%‣ definição
‣ normalização
‣ calculando probabilidades
a curva em formato de sino
A distribuição normal também é chamada distribuição gaussiana, distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e astrônomos francês Pierre–Simon Laplace (1749 – 1827) e alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).
notação:
Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição normal se, dados os parâmetros e , sua função densidade é dada por:
‣ unimodal e simétrica‣ formato de sino
‣ segue rígidas diretrizes de como os dados se distribuem ao redor da média
‣ muitas variáveis na vida real apresentam distribuição aproximadamente normal
a distribuição normal
a distribuição normal
‣ uma das vantagens da distribuição n o r m a l r e s i d e n a s d i f e r e n t e s possibilidades para a função densidade e, consequentemente, alocação dos dados em termos de posição central e dispersão
prat
ican
doUm médico coletou uma série de medições de pulso cardíaco que seguem a distribuição normal. Ele reportou apenas 3 estatísticas: a média (=110 batidas por minuto), o mínimo (=65 batidas por minuto) e o máximo (=155 batidas por minuto). Qual das opções abaixo tem a maior probabilidade de ser desvio padrão da distribuição?
(a) 5
(b) 15
(c) 35
(d) 90
110�±�(3×5)�=�(95,�125)��
110�±�(3×15)�=�(65,�155)��
110�±�(3×35)�=�(5,�215)110�±�(3×90)�=�(-160,�380)�
15565 110
prat
ican
doUm escritório gestor de admissões quer testar qual dentre dois candidatos teve melhor desempenho, de acordo com a padronização de seus exames, em relação àqueles que realizaram o mesmo exame: Patrícia que conseguiu 1800 no exame SAT ou João que conseguiu 24 no exame ACT? O exame SAT teve distribuição N(1500, 3002) e o exame ACT N(21, 52).
Patrícia João
‣ o valor (Z) padronizado de uma observação representa o número de desvios padrões que ele está acima ou abaixo da média
‣ score Z de média = 0‣ observações atípicas: |Z| > 2‣ definido para qualquer forma de distribuição
padronizando observações
observado - médiaZ = desvio padrão
prat
ican
doUm escritório gestor de admissões quer testar qual dentre dois candidatos teve melhor desempenho, de acordo com a padronização de seus exames, em relação àqueles que realizaram o mesmo exame: Patrícia que conseguiu 1800 no exame SAT ou João que conseguiu 24 no exame ACT. O exame SAT teve distribuição N(1500, 3002) e o exame ACT N(21, 52).
Patrícia
João
1800 - 1500300 = 1
24 - 215 = 0,6
PatríciaJoão
‣ dizemos que uma variável aleatória é normal padrão se possui distribuição normal com média zero e variância um
normal padrão
‣ representamos a normal padrão pela letra Z
notação:
‣ a função densidade de uma normal não possui primitiva conhecida
calculando probabilidades
‣ o que se faz é calcular a integral numericamente para, assim, obtermos as probabilidades desejadas
‣ na prática, utilizamos computadores ou a tabela da normal padrão
‣ a distribuição normal é determinada unicamente por suas média e variância, isto é, se somarmos ou multiplicarmos valores a uma variável normal ela continua normal; muda-se apenas os valores da média e variância
calculando probabilidades
normalizando uma normal qualquer
obtendo uma normal qualquer a partir de uma normal padrão
prat
ican
doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento fi c a r a m a b a i x o d e Patrícia?
0,84134
Z�=�
P(Z�<�1)�=�
1800�-�1500300 =�1
0,84134
> pnorm(1800, mean = 1500, sd = 300)
[1] 0.8413447
R
prat
ican
doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?
1600�-�1500300
=�0,33
2200�-�1500300 =�2,33
P(0,33�<�Z�<�2,33)
=�P(Z�<�2,33)�-�P(Z�<�0,33)�
prat
ican
doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?
0,3608
P(0,33�<�Z�<�2,33)
=�0,3608
=�P(Z�<�2,33)�-�P(Z�<�0,33)�
=�0,99010�-�0,62930
prat
ican
doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?
> pnorm(2200,1500,300)-pnorm(1600,1500,300)
[1] 0.359626
R
0,3608
prat
ican
doAs notas do ACT tem distr ibu ição N(21, 52) . Quan to s po r c en to ficaram abaixo de 18?
P(Z�<�-0,6)�
18�-�215
=
=�-0,6
P(Z�>�0,6)
=�1�-�P(Z�<�0,6)
P(Z�<�-t)=�P(Z�>�t)=�1�-�P(Z�<�t)
-t t0
prat
ican
doAs notas do ACT tem distr ibu ição N(21, 52) . Quan to s po r c en to ficaram abaixo de 18?
P(Z�<�-0,6)�= P(Z�>�0,6)
=�1�-�P(Z�<�0,6)
=�1�-�0,72575
=�0,27425
0,27425
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